第4章 恒定电流场一
电磁场与电磁波第二版答案陈抗生
电磁场与电磁波第二版答案陈抗生【篇一：2011版电磁场与电磁波课程标准】xt>课程编号：适用专业：总学时数：学分：07050021 通信工程本科理论32学时 3一、课程目的及性质电磁场与电磁波是通信技术的理论基础，通过本课程的学习，使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。
使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。
培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生学会用场的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。
为后续课程打下坚实的理论基础。
二、本课程的基本内容第一章矢量分析（一）教学目的与要求1、理解矢量的标积和矢积；2、理解标量场的方向导数与梯度；3、理解矢量场的通量、散度与散度定理；4、理解矢量场旋度的散度，标量场梯度的旋度；5、理解亥姆霍兹定理、正交曲面坐标系。
（二）教学的重点与难点 1、 2、 3、矢量场中的散度定理和斯托克斯定理；无散场、无旋场的含义；格林定理。
（三）课时安排理论6课时（四）主要内容第一节：标量与矢量（1）课时 1、 2、 3、矢量的代数运算矢量的标积与矢积标量场的方向导数与梯度第二节：矢量场（1）课时 1、矢量场的通量、散度与散度定理 2、矢量场的环量、旋度与旋度定理第三节：无散场与无旋场（1）课时1、矢量场旋度的梯度2、标量场梯度的旋度3、格林定理第四节：矢量场的基本定义和坐标系 1、格林定理2、矢量场的唯一性定义3、亥姆霍兹定理4、正交曲面坐标系（3）课时第二章静电场（一）教学目的与要求 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、8、（二）教学的重点与难点 1、 2、 3、 4、电荷分布与电场强度、电位的关系式；静电场边界中：束缚电荷与电场，极化强度的关系；电场能量；虚位移方法在求解电场作用力的应用。
理解电通量定理，电场线及电场强度方向；理解真空中静电场的积分和微分形式；理解电荷的面密度和线密度与电位、电场强度的关系；理解束缚电荷与极化强度的关系；理解介质中静电场的微分与积分形式；理解静电场的边界条件；理解电容与电场能量的关系；理解虚位移方法在求解作用力的方法在常电荷，常电位系统中的应用。
电磁学第四章恒定电流和电路
电磁学第四章恒定电流和电路前三章讨论了静电场，场源电荷相对于观察者是静止不动的。
从本章起讨论电荷运动时引起的有关现象。
若电荷作有规则的定向运动就会形成电流，要维持电流的存在，必须要有相应的电场，所以本章主要讨论恒定电流和电场，并引入许多重要的物理概念。
§ 4.1恒定电流一、电流、电流强度、电流密度导体放在静电场中时，导体中的自由电子在外电场作用下发生定向运动，当导体内部场强为零时，定向运动停止。
若能使内部场强不为零，定向运动就会持续下去，这时，在导体中就有电流产生。
1、电流（1）定义：带电粒子（在外电场作用下）作宏观的定向运动便形成电流（叫做电流）本章只讨论：导体内部的电流。
（2）载流子：导体中的能在电场力作用下发生定向运动的带电粒子叫做该导体的载流子，它们是形成电流的内在因素。
不同性质的导体有不同的载流子：金属导体的载流子是自由电子，酸、碱、盐的水溶液中的载流子：是正负离子等。
（3）电流的方向正电荷运动的方向为电流的方向。
结论:A :导体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电势处指向低电势处；B :导体中的载流子为负电荷（自由电子），此时可以把电流等效为等量的正电荷沿负电荷的反方向运动形成。
2、电流强度描述，电流的大小（1）定义：单位时间内通过导体任一横截面的电荷量，叫做该截面的电流强度。
（这里的截面可以推广到任意曲面）Aq表示为：I 二lim t >0-△t（2）电流强度I是反映导体中某一截面整体特征的标量。
A qI就某S面：1=三：平均地反映了S面的电流特征。
3、电流密度J（1）定义：导体中每一点的J的方向是该点正电荷运动方向（电场方向），J的大小等于过该点并与电流方向（正电荷运动方向）垂直的单位面积上的电流强度，写为：(2) J与I有不同：I是一个标量，描写导体中的一个面;J是矢量点函数，描写导体中的一个点。
(3) J与I的普遍关系只反映了J与I的特殊关系（要求面元与J垂直），下面推dS_导J与I的一般关系nJ在导体中某点处取一任意面元dS （dS与J并非垂直），面元dS的法线方向n?与该点的J夹角为二，则dS在与J垂直的平面上的投影为：dS〕二dScos^而dl 二JdS = JdScos^ （标量）二J r?d^ = J dS（二矢量点乘仍为标量）所以通过导体中任意曲面S的电流强度I与J的关系为：I 二J dSS此式说明：一曲面上的I是J对该曲面的通量（J通量）。
恒定电场的边界条件
当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密 度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。
如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为ε0)的分 界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
E1n
E2n
s 0
1E1n 2E2n
ρs是分界面上自由电荷面密度
s
01
1 2
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场 §4.2 恒定电场与静电场的比拟 §4.3 恒定磁场的基本方程 §4.4 恒定磁场的矢量磁位 §4.5 介质中的磁场 §4.6 恒定磁场的边界条件 §4.7 电感的计算 §4.8 恒定磁场的能量和力
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
恒定电流的电流强度定义
I Q t
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
一、微分形式的欧姆定律和焦耳定律
化,故dQ/dt=0
sJ ds 0 J 0
S E ds 0
恒定电流连续性方程的微分形式
S E ds 0
如果导体的导电性能均匀, σ是常数
说明：导体内部任一闭合面S内包含的净电荷Q=0。 所
以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒
定电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电
第04章 恒定电流场(1)
6.17 107
5.80 107 4.10 107 3.54 107
10 3
10 5
金
铝 黄铜 铁
干土
变压器油 玻璃 橡胶
10 11
10 12
4-1 电流
一、基本概念
电流、传导电流与运流电流。
传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形 成的电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。 各向同性导电媒质：导电特性不因电场方向而改变的媒质 线性导电媒质：σ不随 E 和 的量值而改变的媒质 J 均匀导电媒质：若媒质中σ处处为常数（不随空间坐标变化），即为均匀 导电媒质
为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然定 义为对于单位正电荷的作用力，以 E'表示。由于外电场使正电荷移
向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指向正
极板。可见，在外源中外电场 E' 的方向与极板电荷形成的电场 E 的 方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向时，外
由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断
地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了 在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。 当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极 板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场，且在外源内部 保持E E '，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电 流。 注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不 是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这 种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外 源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。
计算电场强度和电流密度
条件：在dt时间内，穿过端面S的电荷量
v
vdt
为dq= Svdt。因此，电流I= Sv， I = JS
因此有：
J v
对于导电介质，带电粒子的运动速度与介质中的电场强度 有关。当电场强度不是很高时，带电粒子的运动速度与电 场强度成正比，即：
v = E
u称为带电粒子在介质中的迁移率。
电磁场与电磁波
外 源
中形成电场 E ，其方向由
正极板指向负极板。
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流场
极板上电荷产生的电场力阻
P E N
应来测定通过导线的电流，并采用
验电器来测定电势差，在1827年发 现了以他名字命名的欧姆定律。 电流和电阻这两个术语也是由欧 姆提出的。
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流场
运流电流的电流密度不与电场强度成正比，而且电流密度
的方向与电场强度的方向也可能不同。 可以证明
l S
J v
式中的 为电荷密度。
面电流密度是一个矢量，方向为电流的流动方向。 如果电流沿一根横截面积几乎为零的细丝流动，称之为线 电流。线电流也是一个矢量，大小等于流过细丝的电流强 度，方向为电流的流动方向。
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流场
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流场
关于导电介质中电流密度和电场强度的讨论
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流场
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流场
欧姆定律 设沿电流方向取一个长度为l，横截面积
l S U
为S的微小圆柱，因体积很小，其中的
J，E 电流密度可视为均匀分布，又因为电流
密度与柱体端面垂直，因此，通过该圆柱 的电流I：
恒定电流场
恒定电流场与静电场的比拟
对应物理量
静电场 恒定电场
E E
D J
q
I
C G
因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的 分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用 已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情 况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场 相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟。
r Q E 0
r Q J 0
r
E
rr
J E
() 0
对于均匀的导电媒质
2 0
恒定电场的电位满足拉普拉斯方程
例4.1 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1和2、
2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。
解：极板是理想导体，为等位
面，电流沿z方向。
o
U 由 J1n J2n J1 J2 J
2
I
vv J dS
S
S
ev
2U
πr
( ev
tdr)
2Ut
π
b a
dr r
2Ut
π
ln
b a
因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为 RV π I 2t ln b a
例4.4 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介
质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2 、电导率为 1和2 。设内
b)]
介质2外表面的电荷面密度为
S 2
r 2er
r E2
r c
21U0
c[ 2 ln(b a) 1 ln(c
b)]
两种介质分界面上的电荷面密度为
《电磁场理论》第四章 恒定电场1
u r r u r J (r ) d S
S
（4.4）
上述电流密度 J 用来描述电流在某体积内流动的情况，所以称为体电流密度。 如果电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，如图4.1.2所示，则称为面电流。任意 一点面电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，大小等于通过垂直与电流方向的单位
u r
1
1 n 2
2
n
（4.21） （4.22）
u r
1 2
若界面为电介质和导体的交界面，因介质中各点 J ＝ 0 ，由 J n 的连续性，则在导体一 侧，有
Jn 0
（4.23） (4.24)
n
0
120
设分界面两侧的电场线与法线 n 的夹角分别为 1 , 2 ， 如图4.4.1， 由 （4.19） 和 （4.20） 可得
i ( t ) lim q t dq dt
（4.1）
t 0
电流的单位为 A （安培） 。若电荷流动的速度不随时间改变，则有
t 0
lim
q t
dq dt
I (恒 定 值 )
（4.2）
这种情况下的电流称为恒定电流。 电流在穿过任一截面时，在该截面上有确定的分布和方向，电流强度并不能描述电 流在电流场中的分布情况，而电流产生的场 与电流的分布有关。从场的观点来看，电流 是一个通量，它并没有说明电流在导体内某 一点的分布情况，为了研究导体内不同点的 电荷运动情况，需引入电流密度的概念。 如图4.1.4所示，在垂直于电荷流动的方 向取一个面积元 S ，若流过 S 的电流为
J 0
（4.11）
这表明从任意封闭面穿出的恒定电流为 0，或者说恒定电流场是一个无散场。
恒定电流场的边界条件
恒定电流场的边界条件引言恒定电流场是指在一个稳定的电路中，电流大小不随时间变化而保持恒定。
在研究恒定电流场时，我们需要考虑边界条件，即定义在空间中各个边界上的条件。
本文将详细介绍恒定电流场的边界条件及其影响。
1. 边界条件的定义在恒定电流场中，边界条件是指定义在空间中各个边界上的条件。
这些条件可以是关于电流、电压或电阻等方面的限制。
通过设置合适的边界条件，我们可以模拟不同情况下的实际电路，并对其性能进行分析和优化。
2. 理想导体表面的边界条件理想导体表面是指没有任何阻抗和损耗的导体表面。
在恒定电流场中，理想导体表面上有两个重要的边界条件：•法向电流密度为零：理想导体表面上垂直于表面方向的电流密度为零。
这意味着理想导体表面上不存在横向漏电现象。
•切向电场强度为零：理想导体表面上的电场强度沿表面方向没有分量，即切向电场强度为零。
这是因为理想导体表面上的自由电荷会排斥外部电场，并且在静电平衡时，内部和外部的电场必须相等。
这些边界条件保证了理想导体表面上的电流分布均匀，且不会有能量损耗。
3. 非理想导体表面的边界条件实际情况中，导体表面往往存在一定的阻抗和损耗。
在恒定电流场中，非理想导体表面上的边界条件与理想导体有所不同：•法向电流密度与法向电场强度之间满足欧姆定律：非理想导体表面上垂直于表面方向的电流密度与法向电场强度之间满足欧姆定律。
即J n=σE n，其中J n是法向电流密度，σ是导体材料的电导率，E n是法向电场强度。
•切向电场强度与切向电流密度之间满足边界条件：非理想导体表面上的切向电场强度和切向电流密度之间满足一定的边界条件。
具体的边界条件取决于导体表面的性质和外界条件。
这些边界条件反映了非理想导体表面上电流和电场之间的相互作用，以及能量损耗和传输效率。
4. 其他边界条件除了导体表面上的边界条件外，恒定电流场中还可以存在其他类型的边界条件，如：•电势差固定的边界：在一些特殊情况下，我们需要在空间中设置一些区域，使得这些区域内部的电势差保持固定。
第四章 恒定电流场
3
电磁场与电磁波
恒定电流场
穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通 量， 即
I = ∫ J ⋅ dS
S
大多数导电介质中 某点的传导电流密度J 与该 大多数导电介质中，某点的传导电流密度 点的电场强度 E 成正比，即
J = σE
式中， σ 称为电导率，单位为 S/m 。 上式又称为欧姆定律 U = IR 的微分形式。
10
电磁场与电磁波
恒定电流场
注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的 电荷并不是静止的 它们是在不断地更替中保持分 电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分 布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷。
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电磁场与电磁波
恒定电流场
\ ⊕ E \ ⊕ ⊕ 导电介质 \ \ ⊕ \ ⊕ P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ \ \ \ E\ \ N
外 源
外电场由负极板 负极 N 到正极板 极 P 的线积分称为 分 外源的电动势，以e 表示，即
e=∫
P N
E ′ ⋅ dl
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电磁场与电磁波
恒定电流场
达到动态平衡时，在外源内部 式又可写为
e = −∫
P N
， ′ 所以上 E = −E
E ⋅ dl
驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的 静电场一样 也是一种保守场 因此 静电场一样，也是一种保守场。因此，
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第四章作业解答
ρS
J1n = J 2 n
σ 1 E1n = σ 2 E2 n
ε1 ε 2 ε1 ε2 ρ S = D1n − D2 n = ε 1 E1n − ε 2 E2 n = J1n − J 2 n = − J n σ σ σ1 σ2 2 1
特殊情况
ε1 ε 2 − =0 σ1 σ 2
v ∇× E = 0 v ∇⋅D = 0 v v D = εE
v ∇× E = 0 r ∇• J = 0 r r J = σE
E1t = E2t
D1n = D2 n
E1t = E2t
J1n = J 2 n
ε ⇔σ
of Information
r r E⇔E
r r D⇔J
Nanjing University
推广
r r J = σE
Nanjing
University
of
Information
Science
&
Technology
第四章 恒定电场与恒定磁场 电导率为无限大的导体称为理想导电体。由上式可见， 电导率为无限大的导体称为理想导电体。由上式可见，在理想 理想导电体 导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流， 导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流， 从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。 从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。 电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 理想介质 媒 质 电导率(S/m) 电导率 媒 质 电导率(S/m) 电导率 4
第四章 恒定电场与恒定磁场
第四章 恒定电场与恒定磁场
电磁学第四章恒定电流和电路
dq en dS u dt
J enu
铜导线一般 n～1028m-3 ，u～0.15mm/sec 所以，电流密度大小为J～104 库/秒米2。
6
4. I 与 J 的关系：
通过导体中任意截面 S的电流 强度为：
I
导体中各点的 J 可以有不同的量值和方向，它是空
电流密度矢量的通量等于该面内 电荷量的减少率. 物理实质：电荷守恒定律. 3.恒定电流和恒定电场
S
要在导体中维持恒定电流，必须在导体内建立 dq 一个不随时间变化的恒定电场.这就要求激发 dt 0 电场的电荷分布不随时间变化，即
9
电流稳恒条件
J dS 0
S
上式表明，形成恒定电流时，在导体内从任一闭合 曲面流入的电荷量等于流出的电荷量. 恒定电场 激发电场的电荷分布不随时间变化，所建立 起的电场也不随时间变化，称为恒定电场. 讨论: ①稳恒的含义是指物理量不随时间改变. 稳恒条件可说成电荷分布不随时间变化，而并不意 味着电荷不能运动. 形成恒定电流的电荷处于宏观的定向运动状态之中.
电流线上每一点的切线方向就是 的方向，电流线的疏密表示它 J 的大小。 J 即| | 电流线的疏密度。
根据电荷守恒，在有电流分布的空间作一闭合 曲面，单位时间内穿入、穿出该曲面的电量等于 曲面内电量变化速率的负值。
8
2.电流连续性方程
dq J dS dt S
§4.4 电动势和全电路欧姆定律
4.4.1 非静电力
稳恒电流线必然是闭合的。然而仅有静电场不可能实现稳恒 电流。因为静电场的一个重要性质是
E dl 0
L
即电场力沿闭合回路移动电荷所做的功为0。若电场力将电 荷从一点移到另一点做正功，电势能减小，则从后一位置 回到原来位置电场力做负功，电势能增加。由于导体存在 电阻，电场移动电荷所做的功转化为电阻上消耗的焦耳热， 这就不可能使电荷再返回电势能较高的原来位置，即电流 线不可能是闭合的。结果引起电荷堆积，破坏稳恒条件。
《恒定电流场》课件
目录
Contents
• 恒定电流场的基本概念 • 恒定电流场的物理性质 • 恒定电流场的应用 • 恒定电流场的实验研究 • 恒定电流场的发展前景
01 恒定电流场的基本概念
电流场的中运动所 产生的电场，其特征是电荷在电 场中受到电场力的作用而产生运 动。
02
维持电流场的持续需要保持电源与负载之间的能量平衡，以保持电荷的运动状态。
电流场的产生与维持涉及到电路中的电阻、电容和电感等元件的作用，以及电源的 特性和负载的性质。
02 恒定电流场的物理性质
电场与电流的关系
电流产生电场
电流在空间中流动时，会激发电场，电场的方向与电流的方 向垂直。
电场对电流的作用
电流场的测量技术
1 2
电流测量
使用电流表或高精度测量仪器来测量电流的大小 和方向，以获取电流场的详细信息。
电位测量
通过测量电位差来了解电流场中的电场强度和电 势分布，有助于分析电流场的特点和规律。
3
磁场测量
在某些情况下，可能需要测量磁场强度和方向， 以进一步了解电流场对周围物体的影响。
实验结果的分析与解释
磁场力
电流在磁场中受到磁场力的作用，磁 场力的大小与电流的大小和磁场的强 度有关。
03 恒定电流场的应用
电子设备中的电流场
集成电路
在集成电路中，恒定电流场用于驱动电子设备，实现信号的传输和处理。
电子元件
在电子元件中，恒定电流场用于产生磁场和电场，实现电子元件的功能。
电流场在电磁学中的应用
电磁感应
数据处理
01
对实验数据进行处理和分析，包括数据整理、图表绘制等，以
便更好地理解和解释实验结果。
结果解释
广工工程电磁场复习重点
第一章矢量分析1. 标量和矢量的概念，标量积和矢量积。
2. 直角坐标系下的方向导数的求解，直角坐标系下的梯度求解，两者的关系？梯度和等值面的方向关系例1-4-1 1-4-2。
3. 矢量场通量的定义及求解，散度的定义及直角坐标系下的求解，散度定理，拉普拉斯算子的定义例1-5-1。
4. 矢量场环量的定义及求解，旋度的定义及直角坐标系下的求解，旋度定理。
5. 无散场和无旋场的定义，分别可以用什么来表示。
6. 矢量场惟一性定理的内容，亥姆霍兹定理的内容、表达式及含义。
第二章静电场1. 静电场的概念，电场强度，电通量，电场线的概念（与什么电荷有关）；2. 高斯定律的内容（积分式和微分式）及应用的前提条件，静电场的散度及旋度例2-2-33. 电位的定义，电位与电场强度的关系（积分式和微分式），电位与电场力做功的关系，等位面的定义，等位面与电场强度的方向关系4. 自由电荷与束缚电荷（极化电荷）的区别，介质分子的分类，极化的概念、分类，电极化强度的定义，由电极化率对介质的分类，各向同（异）性、（非）均匀、（非）线性、静止（运动）。
5. 电通密度的定义，介质中的静电场方程（积分式和微分式），电通密度线的概念（与什么电荷有关），介电常数的概念，相对介电常数的概念6. 什么叫静电场的边界条件✓介质-介质边界条件？束缚电荷面密度如何求解？（注意与基本方程对应的模型，边界法线方向由1->2）✓什么是静电平衡？导体中及导体表面的电场分布及电位分布？✓导体和介质边界条件的内容，自由电荷面密度？束缚电荷面密度？✓什么是静电屏蔽？电荷处于金属空腔内部及外部，空腔接地及不接地情况下，电场分布？例2-6-17. 电容的定义，部分电容的概念，求等效电容的步骤，例2-7-18. 静电场能量密度？静电场能量的计算9. 库仑定律，虚位移法求电场力常电荷系统、常电位系统例2-9-1第三章静电场的边值问题1. 有源区及无源区的电位微分方程？2. 静电场的唯一性定理？3. 镜像法的实质？四种系统的镜像法求解。
恒定电流场的电流线 闭合曲线
恒定电流场的电流线闭合曲线
恒定电流场中的电流线是由电流所激发的磁感线构成的曲线。
在一个闭合电路中，电流线是从正极沿着导体流向负极，并在负极再次回到正极，形成一个闭合的循环。
当导体中有恒定电流通过时，会产生一个形状类似于环状的磁场，磁感线从导体的正极端流向负极端，然后通过环外空间再返回到正极端，形成一个闭合的磁场线圈，也就是闭合曲线。
这个闭合曲线的形状取决于导体的几何形状，比如可以是一个简单的直线闭合回路，也可以是一个复杂的螺旋形状闭合回路。
无论是什么形状，只要是一个闭合的电流回路，它所产生的磁场都会形成一个闭合曲线。
EM04恒定电流场概述
第四章 恒定电流场
武 汉 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院
1
本章要点
1、电流
2、电动势
3、恒定电流场 4、恒定电流场的边界条件 5、导电介质的能量损耗 6、恒定电流场与静电场的比拟 7、恒定电流场的应用
2
1、电流 恒定电流场：导体中的电子维持连续不断的定 向移动，并具有恒定的电场强度。
J E
1、电流
有些金属具有很大的σ数值，导电性很好， 被称为良导体。在很多情况下良导体中的电场 强度非常小，可以近似被看作是理想导体。 某些绝缘体的σ数值非常小，它们的导电性 能非常差，有时候可以近似被看作是理想介质。
9
1、电流
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比， 而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能 不同。可以证明运流电流的电流密度J与运动速 度v的关系为
b
b
U
0
R
I
2 L
13
2、电动势 首先讨论开路情况下外源内部的作用过程。
在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极 板P，负电荷不断地移向负极板N。 极板上的电荷在外源中形成电场 E ，其方向由正极 板指向负极板。 极板上电荷产生的电场力阻止 电荷移动，一直到该电场力等于非 静电力时，电荷运动方才停止，极 板上的电荷也就保持恒定。 既然外源中的非静电力表现为 对于电荷的作用力，因此，这种非 静电力是由外电场产生的，以 E′ 当 E =-E′ 时 ， 表示。
恒定电流场中的电场强度由外加电压产生， 可以存在于导体中。
静电场中的电场强度由静止电荷产生，不可以 存在于导体中。
3
1、电流 电流的分类：
第04章 恒定电流场(1)
J E
由积分形式的恒定电流场方程导出边界两侧
电流密度的切向分量关系为：
1
J1t
2
J 2t
而边界两侧电流密度的法向分量关系为
J1n J 2n
1E1n 2 E2n
J1t J 2t 1 2
因此恒定电流场的边界条件为
n ( E2 E1 ) 0 n ( J 2 J1 ) 0
近似地看作等位面。
2）理想介质与良导体
由于 J 2 0 J1n J 2n 所以有 J1n 0 J1 J1t
E2n J 2n / 2 0 / 0 E2n 0
2 2 E2 E2 E n 2t
因此，E2不垂直导体表面, 导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是 由于σ1有限, 导体中沿电流方向存在电场。而在静电场中, 导体内电场强度为
当一种导电媒质为不良导体( 2
tan 2 2 1010 7 1017 得 tan 2 1017 tan 1 tan 1 1 10
当 σ1>>σ2 ，第一种媒质为良导体，第二种媒质为
不良导体时，只要 θ1≠π/2, θ2≈0 ，即在不良导体中， 电力线近似地与界面垂直，这时可将良导体的表面
dI J dS
那么，穿过任一截面 S 的电流 I 为
I J dS
S
此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量。 实验表明，多数导电媒质中某点的传导电流密度J 与该点的电场强度 E 成 正比，即
J E
式中 称为电导率，其单位为 S/m 。 值愈大表明导电能力愈强，即
零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。在这
第4章 恒定电流场(谭老师)
第 4 章 恒定电场
主讲人：谭萍/陈德智
dzhchen@ 华中科技大学 电气与电子工程学院
2013年4月
0 引言
（1） 恒定电场(恒定电流场)
• 静电场研究在绝缘介质中静止电荷产生的电场，主角是 E 和 D。
• 恒定电场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。 主角是 J 和 E 。
密度为描述电流各点在单位面积上的大小和方向
J (A / m 2 ):
⎪⎧大小： ⎨
J＝ lim ΔS →0
ΔI ΔS
⎪⎩方向：正电荷运动方向
∵ ΔI
=
Δq Δt
=
ρ v Δτ
Δt
=
ρ v ΔSΔl
Δt
=
ρ v ΔSV
V
Δl ΔS
∴面积元ΔS处的 J = ρvV
电流密度的定义与电荷分布及电荷运动速度的关系
3）J=γE 仅适用于传导电流，而J=ρV 均使用
焦耳热效应： 电流流过导体，导体
要发热，称为焦耳热效应。单位体积 内的热功率为：
p = E ⋅J = γ E2
导体中消耗的总功率为
P = ∫V E ⋅JdV
P = UI = El ⋅ JS = EJ ⋅V = p ⋅V
§3-11 焦耳定律
¾ 导体有电流时，必伴随功率损耗
⇒ xdx = ydy ⇒ x 2 − y 2 = K
∫ ( ) ∴ I = n ⋅ dl × J s l ∫ [ ( )] = ez ⋅ exdx × ex y + e y x l ∫= ez ⋅ [ez xdx] l 5 ∫= xdx = 10.5A x=2
xy平面上的面电流
表面外法线方向 n = ez
4 恒定电流场
恒定电场产生恒定磁场的源是恒定电流 而产生恒定电场的源只能是外加电源。
电流密度电流密度定义电流密度与电 荷密度及电荷 运动速度的关 系欧姆定律的微 分形式恒定电流场电流场方程电荷守恒定律 电流连续性 原理静电比拟 功率损耗 电阻计算 边界条件基本概念：• 电介质中的静电场• 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场• 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电 场• 恒定电流场与恒定电场相互依存，电流J与电场E方向一致恒定电 源恒定电 荷恒定电 场恒定电 流• 首先介绍维持恒定电场的电源及其局外场强； • 然后重点讨论电源外导电媒质中恒定电流场的基 本方程微分形式∇×E=0和∇⋅J=0； • 引入恒定电场电位及其拉普拉斯方程∇2ϕ=0； • 通过静电比拟的方法介绍镜像法、部分电导和接 地电阻。
4.1 导电媒质中的电流电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即i = lim (Δq Δt) = dq dt Δt → 0单位: A （安培） 电流方向: 正电荷的流动方向形成电流的条件： • 存在可以自由移动的电荷 • 存在电场说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不 同的。
在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流 的分别状态。
1. 体电流(Volume Current)ΔS电荷在某一体积内定向运动所形en成的电流称为体电流，用电流密度矢量 J 来描述。
J=enΔi lim ΔS →0 ΔS=endi dSJ体电流密度矢量单位：A/m2 。
正电荷运动的方向流过任意曲面S 的电流为电流是积分量i = ∫S J ⋅ dS2. 面电流(Surface Current)电荷在一个厚度可以忽略的 薄层内定向运动所形成的电流称en et JS为面电流，用面电流密度矢量 JS来描述其分布JS=etlimΔl →0Δi Δl=etdi dlΔldh0→0面电流密度矢量单位：A/m。
恒定电流场的边界条件
恒定电流场的边界条件
一、引言
恒定电流场是指电流在空间中的分布和方向都不随时间变化的电场。
在研究恒定电流场时，需要考虑边界条件。
本文将详细介绍恒定电流场的边界条件。
二、恒定电流场的基本概念
1. 电流密度
电流密度是指单位面积内通过的电荷量，通常用符号J表示，单位为安培/平方米（A/m²）。
2. 恒定电流场
恒定电流场是指在空间中，电荷分布和方向不随时间变化的情况下形成的电场。
3. 恒定磁场
恒定磁场是指在空间中，磁荷分布和方向不随时间变化的情况下形成的磁场。
三、边界条件
1. 介质表面上法向分量相等
当一条导线或一段导体与介质相接触时，由于介质对于电流有一定的阻力，因此会发生反射和折射现象。
根据安培环路定理可知，在介质表面上法向分量相等，即：
J1n = J2n
其中J1n和J2n分别表示介质内外表面处法向分量。
2. 介质表面上切向分量相等
介质表面上的切向分量也应满足相等条件，即：
J1t = J2t
其中J1t和J2t分别表示介质内外表面处切向分量。
3. 界面上磁场连续
由于恒定电流场和恒定磁场之间存在密切的联系，因此，在界面上磁场也应满足连续条件。
四、总结
恒定电流场的边界条件是指在空间中，电荷分布和方向不随时间变化的情况下形成的电场。
在研究恒定电流场时，需要考虑边界条件。
边界条件包括介质表面上法向分量相等、介质表面上切向分量相等和界面上磁场连续。
这些条件可以帮助我们更好地理解恒定电流场的性质和特点。
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第 4 章 恒定电场
主讲人：丁永华
yhing@ 华中科技大学 电气与电子工程学院 2013年3月
恒定电场(恒定电流场)研究的问题
【例】截面积为S，电导率为γ的导 体，外加电压U，电流为I。求内部 电场和表面电场。 电荷运动，导体内部电场不为0
• 静电场研究在绝缘介质中静止电
• 恒定电场的基本方程
• 恒定电场与静电场的比拟 • 电导与电阻
第 4 章 恒定电场
• • • • 恒定电场的电流和电源 恒定电场的基本方程 导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟 电导与电阻
电流：电荷的定向移动形成电流。
电流强度I：单位时间内通过某一截面的电荷量
q dq I lim t 0 t dt
J1n ~ 0 E2t E1t J1t / 1 ~ 0
良导体表面内侧，电流法 向分量很小，电流近似平 行于良导体表面流动。
E1t E1n E2t E2 n
良导体表面外侧，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导 体表面。 恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对 于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不 大，其表面可以近似视为等位面。
fe E e lim q0 q
Ee dl
b
a
Ee 和 E 实际方向相反
电源的功率：
P I
第 4 章 恒定电场
• 恒定电场的电流和电源
• 恒定电场的基本方程
• 恒定电场与静电场的比拟 • 电导与电阻
第 4 章 恒定电场
• 恒定电场的电流和电源
• 恒定电场的基本方程
• 恒定电场与静电场的比拟 • 电导与电阻
• 静电场便于计算—— 通过静电比拟计算恒定电场
•
恒定电场便于实验——某些静电场问题可用恒定电流场模拟
第 4 章 恒定电场
• 恒定电场的电流和电源
• 恒定电场的基本方程
• 恒定电场与静电场的比拟 • 电导与电阻
第 4 章 恒定电场
• 恒定电场的电流和电源
• 恒定电场的基本方程
• 恒定电场与静电场的比拟 • 电导与电阻
电荷守恒定律
dq 电荷守恒是自然界中一 J d S 条非常重要的守恒定律。 S dt
出去多少就少 多少；守恒。
JdV dV dq
S
J dS
v
v
dt
t
J ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ t
在Maxwell 方程组中实际上包含了这一定律。看修正 D 的安培环路定律 H J t 两边取散度，左端旋度的散度恒为0，故得
E2t E1t
折射定律
J E
E /J tan 1 J1t / J1n 1 1t 1n 1 tan 2 J 2t / J 2n 2 E2t / J 2n 2
良导体与不良导体的交界面
如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 1 远大 于 2，则
2 E1n E2 n ~ 0 J1n ~ 0 1
2 2 0
21 0
(0 ) 4
( ) 4 2
U
1
0
2
2 1
4
4
1
1 2 2
4
1 2
2
4
0
0
例2 设平行双输电线间距 d=50cm，电压U=100V， 电流 I=300A，导体截面 S=150mm2，求导线内部 及表面场强。 5.8 107
分析：内部
a A
0
B
E2n
E1
E2
r
d
J E1 E1 E1t J
由边界条件 E2t E1t 0.035(V m) 由电轴法，沿AB E 2 n
材 银 铜 金 铝 铁 料
E2t E1t J1t / 1 ~ 0
材 海 湿 干 玻 料 水 土 土 璃
/S· m-1
6.2×107 5.8×107 4.1×107 3.5×107 1.0×107
/S· m-1
5~3 2×10－4 10－2~10－3 10－5 10－12
蒸馏水
基本方程
设 I J
•
静电比拟法
当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电 比拟法，由电容计算电导。
C Q U S D dS G I U J dS
S
E dl E dl
L L
S S
E dS
E dS
例3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外半径分别为R1、R2，长度 为 l ,中间媒质的电导率为 ，介电常数为 解法一 设
注意导体内部净 电荷密度为0。
电导：导体中若存在电场，
则产生电流，电流密度正 比于电场强度： J E （欧姆定律的微分形式）
焦耳热效应： 电流流过导体，导体
要发热，称为焦耳热效应。
均匀
P UI El JS EJ V p V
p E J E2
单位体积内的 热功率为：
电流密度 J： 空间某点处垂直于 电流方向的截面上单位面积内的 电流量：
均匀 分布
I J I JS S
非均匀
d I J dS
I J dS
S
微观上：按体密度
分布的电荷，以速度v 运动，则电流密度为
J i v i
i
I q SL J v S tS tS
（1） 电导与电阻－恒定电流场的电路参数
电阻定义为两个电极之间的电压与电流之比。 R U
电导定义为电阻的倒数： G I / U
I
（2） 漏电导与绝缘电阻
工程中，电极之间有时需填充不导电的材料作电绝缘。 而实际上，这些材料 0 ，因此当电极间加直流电压时， 总会有电流从正电极经绝缘材料流到负电极，这种电流称为 漏电流
媒质交界面条件
• 媒质交界面条件实际上是基本方程在媒质交界面上 的表现形式。 D D2 n D1n
静电场下：
恒定电流场下：
E 0 J 0 E 0
E2t E1t
J 2 n J1n
n (J 2 J1 ) 0 n ( E2 E1 ) 0
• 恒定电场的电流和电源
• 恒定电场的基本方程
• 恒定电场与静电场的比拟 • 电导与电阻
第 4 章 恒定电场
• 恒定电场的电流和电源
• 恒定电场的基本方程
• 恒定电场与静电场的比拟 • 电导与电阻
静电场（ 基本 方程 电位 函数
0）
恒定电流场
对应量
E 0 D 0 D E
求得
2 2 U E1 1 2 d
2 1 U E2 1 2 d
交界面上面电荷密度为
2 2 只有当 2 1 1 2 ，即 时，媒质分解面上 1 1
无集聚电荷。
2( 2 1 1 2 ) U D2 n D1n 2 E2 1E1 1 2 d
例1 一平行板电容器填充两
种媒质，电导率和电容率分
别为1、1和 2、2，两板 之间的电压为U。求媒质交 界面上积聚的电荷密度。 解：设媒质1、2中的电场为E1、E2，则
d d 2U E1 E2 U E1 E2 2 2 d
交界面上
J1n J 2n 1E1 2 E2
U 漏电阻（绝缘电阻）:极间电压U与漏电流I之比为。 R I I 漏电导定义为绝缘电阻的倒数 G U
（3） 电导的计算
• 直接用电流场计算
J I E U E dl G U I 设 U (或 ) E J E I J dS G U
I q
C G
D ds q 其它 q C U
s
J ds I
I G U
s
静电比拟的条件
静电比拟：右图 静电场与恒定电 场有完全相似的 结构和形式完全 相同的解答。
•
两种场电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）；
• 相应电极的电压相同； • 界面具有相似的几何形状，且满足条件 1 / 2 1 / 2
0.035(V m)
1 1 ( ) 2 0 r d r
d ln 两导体之间电压 U A B 0 a 0 有： U 1 1 E2n ( ) 1700(V m) d a a d a 2ln a 结论： E2n E2t
荷产生的电场，主角是 E 和 D。 • 恒定电场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。主角 是J和E。 • 电流会产生磁场。但当电流分布不随时间变化时，电场和磁 场可以分开研究，本章只研究电场。
• 遵循同样的路线：基本方程－位函数－边值问题－电路参 数：电阻。
第 4 章 恒定电场
• 恒定电场的电流和电源
Maxwell 方程组
SB dS 0
S
D dS q
D
B 0
D H J t Β E t
B l E dl S t dS
D l H dl S (J t ) dS
本构关系： D＝ E， B＝m H， J E
导体内部电流平行于导体流动；
导线表面分布有不随时间变化的面电荷；(如何产生的？ )
导体表面外侧，电力线近似垂直于导体表面；
恒定电场拉普拉斯方程 J E J 0
J 0
Const
E
在均匀导电媒质中，将电位函数的定义式代入 散度方程
2 0 0