第十章____重积分(高等数学教案)
高等数学(下)课件D10_习题课
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物 线 线 例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯 量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标 平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型 曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可 以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、 计y x 2 , ∫
高等数学(II)(第十章、重积分)
27
Z
A ( x )
(x)
z f ( x, y)
2
1
(x)
f ( x , y ) dy
y
1( x )
所以：
2(x)
2 (x)
D
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
a
[
a
b
f(x .y ) dy ]dx
1 (x)
3-12
28
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定 积分计算;
2）积分次序: X-型域 3）积分限确定法: 先Y后X;
域中一线穿—定内限， 域边两线夹—定外限
为方便，上式也常记为：
b
dx
a
2 (x)
f(x .y ) dy
1 (x)
29
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理：
d
x 1( y)
D
x 2( y)
c
D
f ( x, y )d
6
得 (3) 求和. 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，
到原曲顶柱体体积的近似值，即
V
i1
n
V i f ( i , i ) i .
i1
n
(4) 取极限. 将区域 D 无限细分且每一个子域趋 向于缩成一点， 这个近似值就趋向于曲顶柱体的体
积， 即
V lim
0
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作
则称 f ( x , y )
可积 , 称 I 为 f ( x , y ) 在D上的二重积分.
(周5学时) 《高等数学II》教学大纲
高等数学Ⅱ一、 说明（一） 课程性质高等数学课程是高等学校理科类、工科类、管理类学生的一门必修的、重要的专业基础理论课。
（二） 教学目的本课程的教学目的是使学生理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，培养学生的数学素质，培养学生变量数学的观点和具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
（三） 教学内容本教材的主要教学内容为空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
（四） 教学时数本课程的教学时数为90课时。
（五） 教学方式以课堂讲授为主，并组织学生进行适当的讨论。
(六) 参考教材同济大学应用数学系《高等数学》，北京：高等教育出版社二．教学要求及安排第八章空间解析几何与向量代数教学要点：通过本章学习，要求学生理解空间解析几何的知识，通过引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后运用坐标系讨论向量运算。
教学时数：16学时教学内容：第一节向量及其线性运算（2学时）向量概念、向量的线性运算、空间直角坐标系、利用坐标作向量的线性运算、向量的模、方向角、投影第二节数量积向量积混合积（2学时）两向量的数量积、两向量的向量积、向量的混合积第三节曲面及其方程（3学时）曲面方程的概念、旋转曲面、柱面、二次曲面第四节空间曲线及其方程（3学时）空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程、空间曲线在坐标面上的投影第五节平面及其方程（3学时）平面的点法式方程、平面的一般方程、两平面的夹角第六节空间直线及其方程（3学时）空间直线的一般方程、空间直线的对称式方程与参数方程、两直线的夹角、直线与平面的夹角、杂例第九章多元函数微分法及其应用教学要点：通过本章学习，要求学生通过类比方法在一元函数的基础上学习多元函数的微分和积分问题。
第十章____重积分(高等数学教案)
重积分【教学目标与要求】1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。
【教学重点】1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。
3.二、三重积分的几何应用及物理应用。
【教学难点】1.利用极坐标计算二重积分；2.利用球坐标计算三重积分；3.物理应用中的引力问题。
【教学课时分配】 (10学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§10. 1 二重积分的概念与性质【回顾】定积分设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)分割：用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). (2)代替：任取ξ i[x i -1, x i ] 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n )（3）作和：曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=∆≈ni iix f A 1)(ξ.(4)取极限：记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→∆=ni iix f A 1)(lim ξλ.则§10. 1 二重积分的概念与性质一、引例1曲顶柱体的体积V设有一立体, 它的底面是xOy 面上的闭区域D , 其侧面为母线平行于z 轴的柱面, 其顶是曲面z =f (x , y )非负连续. 称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于xoy 面的平面。
《高等数学》课程教案
《高等数学》课程教案一、课程简介《高等数学》是工科、理科以及部分经济管理科学专业的一门基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握数学分析、线性代数、概率论等基本理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 理解并掌握高等数学的基本概念、原理和方法。
2. 能够熟练运用高等数学知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
三、教学内容第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质2. 函数的连续性3. 极限的运算法则4. 无穷小与无穷大5. 极限存在的条件第二章：导数与微分1. 导数的概念2. 基本导数公式3. 导数的运算法则4. 高阶导数5. 微分第三章：积分与不定积分1. 积分概念2. 基本积分公式3. 积分的运算法则4. 不定积分5. 定积分第四章：级数1. 数项级数概念2. 收敛性与发散性3. 级数的运算法则4. 幂级数5. 傅里叶级数第五章：常微分方程1. 微分方程的概念2. 一阶微分方程的解法3. 高阶微分方程4. 线性微分方程5. 微分方程的应用四、教学方法采用讲授、讨论、实践相结合的方法，引导学生主动探索、积极参与，培养学生的动手能力和创新能力。
五、教学评价1. 平时成绩：包括作业、小测、课堂表现等，占总评的40%。
2. 期中考试：测试学生对高等数学知识的掌握程度，占总评的30%。
3. 期末考试：全面测试学生的综合素质，占总评的30%。
六、多元函数微分学1. 多元函数的概念2. 多元函数的求导法则3. 偏导数4. 全微分5. 多元函数微分学在实际问题中的应用七、重积分1. 二重积分概念及性质2. 二重积分的计算3. 三重积分概念及性质4. 三重积分的计算5. 重积分的应用八、向量分析1. 空间解析几何基础2. 向量的概念及运算3. 空间向量的线性运算4. 空间向量的数量积与角积5. 空间向量的坐标运算及其应用九、常微分方程初步1. 微分方程的概念与分类2. 常微分方程的解法3. 常微分方程的数值解法4. 常微分方程的应用5. 常微分方程在工程与科学计算中的重要性十、线性代数的应用1. 线性方程组及其解法2. 矩阵的概念与运算3. 特征值与特征向量4. 二次型及其判定5. 线性代数在实际问题中的应用十一、概率论与数理统计1. 随机事件及其概率2. 随机变量及其分布3. 数学期望与方差4. 大数定律与中心极限定理5. 数理统计的基本方法十二、数学软件与应用1. MATLAB软件简介2. MATLAB在高等数学中的应用3. Mathematica软件简介4. Mathematica在高等数学中的应用5. 数学软件在实际问题中的应用教学方法：1. 通过案例分析、实际应用问题引导学生理解和掌握理论知识。
第十章-重积分的应用
第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。
尤其是在几何和物理两方面。
几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。
物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。
在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。
通过这一章节的学习，我们认为应到达如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。
2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。
3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。
一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。
如图： y[错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S y Dσ[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。
问题在于区域D ，假设先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题假设先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。
[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰yyDdx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。
[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。
注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(y x y x +=ρ，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。
高等数学第十章第四节重积分的应用课件.ppt
4
y
D o ax
例7.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.
解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球
z
所占域为
则
l
(x2 y2 ) dxdydz (用球坐标) x o
y
( r 2 sin2 cos2 r 2 sin2 sin2 )
r 2 sin drd d
连续体的转动惯量可用积分计算.
设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数
(x, y, z). 该物体位于(x , y , z) 处的微元
z
对 z 轴的转动惯量为
d I z (x2 y2 ) (x, y, z) d v
因此物体 对 z 轴 的转动惯量:
o
y
I z (x2 y2 ) (x, y, z) dxdydz x
2
Fz G (z a)dz d
R
0
R2 z2
rd r
0
[r
2
(z
a)2
3
]2
R
2
G
(
R
z
a)
a
1
z
1 R2 2az a2
dz
2
G
2R
1 a
R
(z a)
d
R2
2az
a2
R
G
M a2
M 4 R3 为球的质量
3
ex 设有一高度为 h(t)( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其
y2
y
x2
D
o
Io D (x2 y2 ) (x, y) dxdy
x
例6.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径
《高等数学》课程教案
《高等数学》课程教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对高等数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生认识高等数学在自然科学和社会科学中的重要地位。
二、教学内容1. 第一章：极限与连续教学重点：极限的定义、性质，函数的连续性，无穷小比较，洛必达法则。
2. 第二章：导数与微分教学重点：导数的定义，求导法则，高阶导数，隐函数求导，微分方程。
3. 第三章：积分与面积教学重点：不定积分，定积分，积分计算方法，面积计算，弧长与曲线长度。
4. 第四章：级数教学重点：数项级数的概念，收敛性判断，功率级数，泰勒级数，傅里叶级数。
5. 第五章：常微分方程教学重点：微分方程的基本概念，一阶线性微分方程，可分离变量的微分方程，齐次方程，线性微分方程组。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 运用示例法，通过典型例题展示解题思路和技巧。
3. 组织练习法，让学生在课堂上和课后进行数学练习，巩固所学知识。
四、教学评价1. 过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思维品质和问题解决能力。
2. 终结性评价：通过课后作业、单元测试、期中考试等方式，检验学生掌握高等数学知识的情况。
五、教学资源1. 教材：《高等数学》及相关辅助教材。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。
3. 习题库：提供丰富的习题，供学生课后练习。
4. 网络资源：利用网络平台，提供相关的高等数学学习资料和在线答疑。
5. 辅导资料：为学生提供补充讲解和拓展知识点的辅导资料。
六、第六章：多元函数微分学教学重点：多元函数的极限与连续，偏导数，全微分，高阶偏导数，方向导数，雅可比矩阵与行列式。
七、第七章：重积分教学重点：二重积分，三重积分，线积分，面积分，体积积分，重积分的计算方法，对称性原理。
八、第八章：常微分方程的应用教学重点：常微分方程在物理、生物学、经济学等领域的应用，求解方法，数值解法，稳定性分析。
高等数学下册(第10章)重积分及其应用教案
.
性质7（二重积分中值定理）设在闭区域上连续, 是的面积, 则在上至少存在一点, 使.
性质8（对称性质）设闭区域 关于 轴对.
（1）若被积函数关于变量为奇函数, 即, 则.
（2）若当被积函数关于变量为偶函数, 即时, 则.
性质9（轮换对称性）设闭区域关于轴对称,则.
注 （1）曲顶柱体的体积是函数在上的二重积分, 即＝.
（2）平面薄片的质量是面密度在薄片所占平面区域上的二重积分, 即.
（3）如果在闭区域上连续, 则在闭区域上的二重积分必定存在.
（4）若有界函数在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续, 则在上可积.
（5）二重积分的几何意义: 当时, 就是曲顶柱体体积; 当时, 柱体在面的下方, 此时二重积分是曲顶柱体体积的相反数; 如果在的若干部分是正的, 而在其他部分都是负的, 则我们可以把面上方的曲顶柱体体积取成正, 面下方的曲顶柱体体积取成负, 则在上的二重积分就等于这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和.
-型区域的特点是:在区域内, 任意平行于轴的直线与的边界至多有两个交点, 且左右边界的曲线方程是的函数.如果一个区域既是-型区域又是-型区域, 称为简单区域.
3.混合型区域 若有界闭区域, 它既不是-型区域又不是-型区域, 则称之为混合型区域.
其特点是:在区域内,存在平行于轴和轴的直线与的边界交点多于两个.
;
(3) 在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )为的变化范围, 即
.
(4) 将三重积分写成关于变量 的三次积分
.
一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或者扇形区域,被积函数含有或()时, 用柱面坐标计算比较简单.
高等数学下册第十章 重积分
sin x dxd y
π sin x dx
x
dy
Dx
0x
0
π
0 sin x dx
y yx
D xπ
o
πx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx
2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
y y 2(x) D
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
x o a y 1(x)b x
则
f (x, y) dx d y
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
D
即先对y后对x积分
y d
x 2(y)
(2)
若D为Y -型区域
D
:
1(
y) c
x y
2 ( y)
d
y
x 1(y)
例 计算二重积分
exyds 其中D {(x, y) x y 1}
D
答案为 e e1
-1
1
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
D2
为D 的面积, 则
1d d
D
大学高等数学教案(学生必备
大学高等数学教案（学生必备）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质了解函数的定义与表示方法掌握函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等1.2 极限的概念与性质理解极限的定义与性质掌握极限的计算方法，如无穷小、无穷大、夹逼定理等1.3 导数与微分理解导数的定义与性质掌握导数的计算方法，如四则运算法则、复合函数求导等1.4 微分学的应用学习微分在实际问题中的应用，如优化问题、物理问题等第二章：平面解析几何2.1 坐标系与直线方程了解坐标系的定义与性质掌握直线的点斜式、截距式、一般式方程等2.2 圆的方程与性质了解圆的方程与性质学习圆的标准方程、参数方程等2.3 解析几何的应用学习解析几何在实际问题中的应用，如几何图形分析、坐标变换等第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等3.2 导数的应用学习函数的单调性、凹凸性、极值、拐点等3.3 应用题解析分析并解决实际问题，如优化问题、物理问题等第四章：积分及其应用4.1 不定积分与定积分理解不定积分与定积分的概念与性质掌握积分计算方法，如基本积分表、换元积分、分部积分等4.2 积分的应用学习积分在几何、物理、概率等方面的应用4.3 无穷级数了解无穷级数的概念与性质学习级数的收敛性、发散性等第五章：常微分方程5.1 微分方程的基本概念理解微分方程的定义与解的概念5.2 线性微分方程学习线性微分方程的解法，如常系数、变系数等5.3 微分方程的应用学习微分方程在物理、工程等方面的应用第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质理解多元函数的定义与表示方法掌握多元函数的性质，如偏导数、方向导数等6.2 偏导数与全微分理解偏导数的定义与计算方法学习全微分的概念与计算6.3 多元函数的极值与优化学习多元函数的极值判定条件掌握优化问题的求解方法第七章：重积分7.1 一重积分理解一重积分的概念与性质掌握一重积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、极坐标积分等7.2 二重积分理解二重积分的概念与性质学习二重积分的计算方法，如直角坐标系、极坐标系等7.3 三重积分与变限积分了解三重积分的概念与性质学习变限积分的计算方法与应用第八章：向量分析8.1 向量及其运算理解向量的定义与表示方法掌握向量的运算，如加法、减法、数乘、点乘、叉乘等8.2 空间解析几何学习空间解析几何的基本概念与运算掌握空间直线、平面、球的方程与性质8.3 向量函数与场学习向量函数的概念与性质了解场的基本概念与运算第九章：常微分方程续9.1 线性微分方程组学习线性微分方程组的解法与解的结构9.2 非线性微分方程了解非线性微分方程的概念与特点学习非线性微分方程的解法，如迭代法、变换法等9.3 微分方程的应用案例分析并解决实际问题，如生物种群模型、经济模型等第十章：数值分析与计算机算法10.1 数值分析基本概念了解数值分析的目标与方法学习数值逼近、数值积分、数值解微分方程等基本内容10.2 计算机算法与编程学习算法设计与分析的基本概念掌握常用的数学软件与编程技巧10.3 数值分析在实际中的应用学习数值分析在物理、工程、经济学等领域中的应用案例重点和难点解析一、函数与极限：极限的定义与性质，特别是极限的计算方法，如无穷小、无穷大、夹逼定理等。
高数教案第十章重积分
高等数学教案第十章 重积分§10-1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念(一）引例1。
曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =.当(,)x y D ∈时，(,)f x y 在D 上连续且(,)0f x y ≥，以后称这种立体为曲顶柱体. 曲顶柱体的体积V 可以这样来计算:（1） 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ∆，2σ∆,，n σ∆,以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1∆Ω，2∆Ω，,n ∆Ω。
（假设i σ∆所对应的小曲顶柱体为i ∆Ω,这里i σ∆既代表第i 个小区域,又表示它的面积值，i ∆Ω既代表第i 个小曲顶柱体，又代表它的体积值.）图10—1—1从而 1nii V ==∆Ω∑ (将Ω化整为零)（2) 由于(,)f x y 连续，对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。
因此，可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是∆Ω∆∆i i i ii i if ≈∀∈()()()ξησξησ(以不变之高代替变高， 求i ∆Ω的近似值）(3） 整个曲顶柱体的体积近似值为V f i i ii n≈=∑()ξησ∆1(4) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。
为此，我们引入区域直径的概念：一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小，意指让区域的直径趋向于零。
设n 个小区域直径中的最大者为λ， 则V f ni i ii =→=∑lim (),λξησ01∆2.平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(),x y 处的面密度为(),x y ρ,这里(),0x y ρ≥，而且(),x y ρ在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M .图10—1-2将D 分成n 个小区域 1σ∆，2σ∆，，n σ∆，用i λ记i σ∆的直径， i σ∆既代表第i个小区域又代表它的面积.当{}1max i i nλλ≤≤=很小时, 由于(),x y ρ连续， 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的， 那么第i 小块区域的近似质量可取为ρξησξησ(,)(,)i i i i i i∆∆∀∈于是 ∑=∆≈ni i i iM 1),(σηξρM i i ii n=→=∑lim (,)λρξησ01∆两种实际意义完全不同的问题， 最终都归结同一形式的极限问题。
(完整版)高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
三重积分教案
一、教材依据和教学参考：《高等数学（第五，六版）》同济大学主编高等教育出版社《数学分析讲义（第三版）》刘玉琏等主编高等教育出版社《数学分析》华东师大主编高等教育出版社《数学的思想、方法与应用》张顺燕编著北京大学出版社《高等数学学习指南》高仪新主编东北师范大学出版社二、教材分析及教学任务从本章开始进入多元函数积分学，微积分分为微分学和积分学两部分经过长期发展，系统的微分法和积分法给出了几何学以及各自然学科中产生的直关概念所需的精确描述。
教学目的：（1）掌握二重积分的概念及计算的计算方法（直角坐标、极坐标）（2）掌握三重积分的概念计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）；（3）应用重积分求一些几何量与物理量（面积、体积、质量等）。
教学重点：二重、三重积分的定义、计算及应用。
教学难点：二重、三重积分的计算。
主要教学方法：（1）从实际问题出发，在解决实际问题的时候抽象出积分概念，把数学建模的思想融入到高等数学的教学中，培养学生“提出问题——分析问题——解决问题”的理论与实际结合能力。
（2）充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学，注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。
（3）同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍和数学方法的应用，提高教学效果。
三、学生能力分析1.现有知识储备：定积分以及二重积分的概念，应用及其计算。
2.现有能力特征：具有一定归纳、类比、抽象思维能力。
四、教学准备：复习定积分和二重积分积分的概念是高等数学中最重要的概念之一，是学习专业课必备的基础知识，在工程技术和经济领域中也有着广泛的应用，我们将从解决实际的问题中抽象出三重积分的概念，并寻求三重积分的解法一、 课程设计1．概念（提出问题） （分析问题） （解决问题） （应用）2．计算(,)d Df x y σ⎰⎰二次积分（相当两次定积分） (,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰二、教学目标1.知识目标：通过三重积分概念的形成过程，了解三重积分概念的实际背景，从而掌握三重积分的概念。
高等数学电子教案：第10章 重积分
设曲面S由方程z = f（x，y）给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数
f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x，y）。我们要计算曲面S的面积A。
曲面面积的公式为：
设曲面的方程为x=g（y，z）或y=h（z，x），可分别把曲面投影到yOz面上（投影区域记作Dyz）或zOx面上（投影区域记作Dzx），类似地可得
相关
参考
资料
《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P232-P245
《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P551-P560
教
学
过
程
教学思路、主要环节、主要内容
10.3三重积分的概念及计算方法
一、三重积分的定义：二重积分的定义推广就可得到三重积分的定义。
章节
第十章重积分
习题
课时
2
教
学
目
的
通过对习题的讲解使学生掌握重积分的计算方法。
教学
重点
及
突出
方法
总习题十及补充例题。
教学
难点
及
突破
方法
相关
参考
资料
《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社，P284-P310
教
学
过
程
教学思路、主要环节、主要内容
第十章的习题及《数学复习指南》2004版（理工）上的例题、习题。
二、性质：与二重积分性质相同。
三、三重积分的计算法
1.直角坐标系下计算三重积分（先一后二）
设 ，则有
利用直角坐标计算三重积分时，应注意以下两点：
（1）应画出积分区域的图形。当积分区域为长方体、四面体等时，宜采用直角坐标计算。
高等数学 教案 上交大 第10章 重积分
第十章重积分
教学要求
理解重积分的概念，了解它的性质。
掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）；会用重积分求一些几何理和物理量（如体积、曲面面积、质量、质心、转动惯量等）。
教学重点
二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；三重积分的计算方法（直角坐标、一次二重法、柱坐标、球坐标）。
教学难点
二重积分直角坐标的计算方法；三重积分的一次二重法、柱坐标、球坐标的计算方法。
课时安排
本章安排16课时。
教学大纲
第一节二重积分
第二节直角坐标系中二重积分的计算
第三节极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算
第四节二重积分的应用
第五节三重积分（一）
第六节三重积分（二）
第七节含参变量的积分
主要概念
1．二重积分
2．三重积分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。
【教学重点】
1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；
2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。
3.二、三重积分的几何应用及物理应用。
高等数学教案 重积分
重分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.
[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
【教学难点】
1.利用极坐标计算二重积分；
2.利用球坐标计算三重积分；
3.物理应用中的引力问题。
【教学课时分配】 (10学时)
第1 次课 §１ 第2 次课 §2 第3 次课 §3
第4 次课 §4 第5次课 习题课
【参考书】
[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.