高中数学选修2-1圆锥曲线基本知识点与典型题举例(后附答案)汇总
高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程2.2知识点总结含同步练习题及答案
y2 x2 + =1 a2 a2 − c 2
①
由椭圆的定义可知，2a > 2c，即 a > c，所以，a2 − c 2 > 0 ． − − − − − − 当点 M 的横坐标为 0 时，即点在 y 轴上，此时 |OM | = √a2 − c 2 ，令
y2 x2 − − − − − − b = |OP | = √a2 − c 2 ，那么 ① 式就是 + = 1 (a > b > 0) a2 b2
椭圆
5
4
解： 如图所示，由题意知椭圆的右焦点 F2 的坐标为 (c, 0)，将 x = c 代入椭圆方程得
y=±
所以 A(c,
b2 . a
b2 b2 ) ，B(c, − )． a a −→ − −→ −→ − − −→ − b2 b2 因为 OA ⋅ OB = 0 ，OA = (c, )，OB = (c, − ) ，所以 a a c2 − (
）
A．2
8
B．4
C．6
D．
解：B 由椭圆定义可知，|P F1 | + |P F2 | = 2a = 10 ，所以 |P F2 | = 2a − |P F1 | = 4 ．
y2 x2 + = 1： k−3 5−k （1）若方程表示圆，求 k 的取值范围； （2）若方程表示椭圆，求 k 的取值范围； （3）若方程表示焦点在 x 轴的椭圆，求 k 的取值范围； （4）若方程表示焦点在 y 轴的椭圆，求 k 的取值范围．
所以椭圆的标准方程为
2 2
6 5 2 2 y c x √5 （4）把方程 4x 2 + 9y 2 = 36 化为 + = 1 ，则其焦距为2√5 ．由题意知 = 9 4 a 5 ，而 c = √5 ，所以 a = 5 ， b 2 = a2 − c 2 = 20 ． y2 y2 x2 x2 故椭圆方程为 + =1 或 + =1 ． 25 20 25 20 y2 1 x2 ，则 m =______． + = 1 的离心率为 4 m 2 16 解： 3 或 3 − − − 1 √− 4− − m 当焦点在 x 轴上时， = ，解得 m = 3 ； 2 2 − − − − 1 16 √− m − 4 当焦点在 y 轴上时， ． = ，解得 m = − − 2 3 √m 16 综上， m = 3 或 m = ． 3 y2 x2 已知椭圆 + = 1(a > b > 0) ，过椭圆的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A ，B 两点， a2 b2 −→ − −→ − 若 OA ⋅ OB = 0 ，求椭圆的离心率 e ．
高二数学选修2-1第二章圆锥曲线知识点+习题+答案
第二章圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点F i , F2的距离之和等于常数（大于| F,F2| ）的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质：3、设是椭圆上任一点，点到F,对应准线的距离为d,，点到F2对应准线的距离为d2,则丄丄d i d24、平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F i F2 ）的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.5、双曲线的几何性质：b 6实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.7、设 是双曲线上任一点，点 到F i 对应准线的距离为d i ，点 到F 2对应准线的距离为8、平面内与一个定点F 和一条定直线丨的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦点，定直线I 称为抛物线的准线. 9、 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、两点的线段，称为抛物线的“通径”即|| 2p .10、 焦半径公式： 若点 x °,y 。
在抛物线 2y 2px p 0上，焦点为F ，则 Fx 卫 X 。
27若点 x °,y ° 在抛物线 2y2px p 0上，焦点为F ，贝H Fp 7；若点 x °,y 。
在抛物线 2X 2py p 0上，焦点为F ，则 F y0号若点 X o ,y o 在抛物线 2X2py p0上，焦点为F ，贝 JI Fy 。
p2 .11、抛物线的几何性质:d 2，则F iF2d 1d 2圆锥曲线测试题一、选择题：1 •已知动点M的坐标满足方程13「x2—y2|12x 5y 12|，则动点M的轨迹是（）A.抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 以上都不对2 22•设P是双曲线笃L 1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x 2y 0, R、F2分别a 9是双曲线的左、右焦点，若IPFJ 5，则|PF2 | （）A. 1 或5B. 1 或9C. 1D. 93. 设椭圆的两个焦点分别为只、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点巳若厶F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）•A. B. 辽1C. 2 ,2 D. .2 12 24. 过点（2,-1）引直线与抛物线y x2只有一个公共点，这样的直线共有（）条A. 1 C. 35. 已知点A（ 2,0）、B（3,0），动点P（x,y）满足PA PB y2，则点P的轨迹是（）A.圆 B .椭圆 C.双曲线 D.抛物线2 26. 如果椭圆——1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）36 9A x 2y 0B x 2y 4 0C ■ 2x 3y 12 0D x 2y 8 0214x7、无论 为何值，方程x 2 2sin y 21所表示的曲线必不是( )二、填空题：22 2 29、 对于椭圆— ' 1和双曲线— ' 1有下列命题：16979①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点；②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点； ③双曲线与椭圆共焦点； ④椭圆与双曲线有两个顶点相同•其中正确命题的序号是10、 若直线(1 a)x y 1 0与圆x 2 y 2 2x 0相切，贝U a 的值为 _______________________ 11、 抛物线y x 2上的点到直线4x 3y 8 0的距离的最小值是 _______________12、 抛物线 C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小，则点Q 的坐 标 。
数学选修2-1圆锥曲线复习
=4-12+4=-4
∴OA⊥OB
(理科） 例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆
x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说
明它是什么样的曲线
Y
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。
分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0
e>1
X轴 （p/2,0)
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
一、选择题：
1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值
范围是( D )
A.(0, +∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
2.设F1，F2分别是双曲线
x2 a2
y2 b2
1
的左、右焦点，若双
2
2
A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支 不含顶点
其方程为 x2 a2
y2 3a2
1 x 0.
16 16
探索提高
练习2.ABC顶点为A(0, 2),C(0, 2),三边长a,b, c 成等差数列,公差d 0,求动点B的轨迹方程.
解：由题意 BC BA 2 AC 8且 BC BA 动点B的轨迹是以A、C为焦点，以8为长轴长 的椭圆在y轴右边的部分，故所求轨迹方程为
配方，得（x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
P
O1
O2
当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时，有 |O1P|=R+2
选修2-1圆锥曲线章复习
选修2-1圆锥曲线章复习知识点一 定义和性质的应用设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．解 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝ 5. 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. (1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20. 即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43. 所以|PF 1||PF 2|＝72.(2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2. 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去)．所以|PF 1||PF 2|＝2.知识点二 圆锥曲线的最值问题已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最值．解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA ′|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210. 知识点三 轨迹问题抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形F ARB ，求顶点R 的轨迹方程．解 设直线AB ：y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x ，y )，由题意F (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2＝4y，可得x 2－4kx ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k .又AB 和RF 是平行四边形的对角线， ∴x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y ＋1. 而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝4k 2－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4ky ＝4k 2－3，消去k 得x 2＝4(y ＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2－16>0， ∴k >1或k <－1，∴x >4或x <－4.∴顶点R 的轨迹方程为x 2＝4(y ＋3)，且|x |>4.知识点四 直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当k ＝0,0<b <1时，求△AOB 的面积S 的最大值；(2)⊥OB →，求证直线l 与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．解 (1)把y ＝b 代入x 22＋y 2＝1，得x ＝±2－2b 2.∴∴S △AOB=21× b22·2212b b +-= ，当且仅当b 2 =21，即 时取等号．∴△AOB 的面积S (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由 得(1+2k 2)x 2+4kbx+2b 2-2=0，∴x 1+x 2=-241kb k +，x 1·x 2= 222212b k-+. 又∵OA ⊥OB ， ∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)=0， 即x 1x 2+y 1y 2=0.又x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2 +( k x 1+b)(k x 2+b)=(k 2+1)·x 1x 2+kb(x 1 + x 2) +b 2=(k 2+1) 222212b k-+-kb 241kb k ++b 2 =222322012b k k--=+， ∴3b 2 = 2k 2+2.又设原点O 到直线l 的距离为d ，则d = ==∴l与以原点为圆心，以3该圆的方程为x 2 + y 2 = 32.考题赏析1．(陕西高考)已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使· = 0？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解(1)如图所示，设A(x 1 , 2 x 12)， B(x 2,2x 22)，把y=kx +2代入 y = 2x 2，得2x 2-kx -2=0， 由韦达定理得x 1 + x 2 = 2k ， x 1x 2 = -1，∴x N = x M =1224x x k+= ， ∴N 点的坐标为2(,)48k k .设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y -28k = m ()4k x -，将y=2x2代入上式得2x 2-mx +248mk k -0= ∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ=m 2-8（248mk k -） = m 2-2mk +k 2 = (m -k)2=0， ∴m=k ，即l ∥AB.（2）假设存在实数k ，使·NB →＝0，则NA ⊥NB .又∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.又|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1) ＝12k 2＋1·k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k=±2 , 使·NB →＝02．(福建高考)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的一个焦点为F (1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ， (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．解 方法一 (1)由题设a=2，c=1，从而b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程为22143x y += (2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．设A(m ，n)，则B(m ，-n)(n ≠0)，22143m n +=.① AF 与BN 的方程分别为：n (x －1)－(m －1)y ＝0，n (x －4)＋(m －4)y ＝0.设M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n (x 0－1)－(m －1)y 0＝0， ②n (x 0－4)＋(m －4)y 0＝0， ③由②③得x 0＝5m －82m －5，y 0＝3n2m －5.由于x 204＋y 203＝(5m －8)24(2m －5)2＋3n 2(2m －5)2＝(5m －8)2＋12n 24(2m －5)2＝(5m －8)2＋36－9m 24(2m －5)2＝1.所以点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)设AM 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0.设A (x 1，y 1)、M (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝43·3t 2＋33t 2＋4.令3t 2＋4＝λ (λ≥4)，则|y 1－y 2|＝43·λ－1λ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ2＋1λ ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ－122＋14，因为λ≥4,0<1λ≤14，所以当1λ＝14，即λ＝4，t ＝0时，|y 1－y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN ＝12|NF |·|y 1－y 2|有最大值92.方法二 同方法一．(2)(ⅰ)由题意得F (1,0)、N (4,0)，设A (m ，n )，则B (m ，－n ) (n ≠0)，m 24＋n 23＝1.①AF 与BN 的方程分别为n (x －1)－(m －1)y ＝0，② n (x －4)＋(m －4)y ＝0.③由②③得：当x ≠52时，m ＝5x －82x －5，n ＝3y2x －5.④把④代入①，得x 24＋y 23＝1 (y ≠0)．当x ＝52时，由②③得⎩⎨⎧32n －(m －1)y ＝0，－32n ＋(m ＋4)y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，y ＝0，与n ≠0矛盾．所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (y ≠0)，即点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)同方法一.讲练学案部分 章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1C ．－1020 D.102答案 A解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m ＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 答案 B解析 由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．则抛物线的准线方程为y ＝p2，由抛物线的定义知|PF |＝p 2－(－2)＝p2＋2＝4，所以p ＝4，抛物线方程为x 2＝－8y ，将y ＝－2代入，得x 2＝16，∴k ＝x ＝±4.3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B. 5 C.52D ．5 答案 B解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2， ∴c 2＝5a 2， ∴c 2a 2＝5.∴e ＝ca＝ 5.4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0 答案 A解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.由x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝－12.∴弦所在的方程为y －1＝－12(x －1)即x ＋2y －3＝0.5．以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 方程可化为y 212－x 24＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．由题意知椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c 2＝a 2－b 2＝12，∴b 2＝a 2－12＝16－12＝4.∴所求方程为x 24＋y 216＝1.6．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 答案 C解析 由于没有x 或y 的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 答案 B解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k4.又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ， 即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ， ∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π3，则P 点坐标为( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫455，±4155 C.⎝⎛⎭⎫12，±32 D ．(4，±83)答案 B解析 由y ＝±3x 及x 216＋y 212＝1 (x >0)得解．10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( ) A.65 B.125 C.32 D ．3 答案 D解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412. 可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32.11．过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(0<b <a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是( )A ．abB ．acC ．bcD ．b 2 答案 C 解析 S △ABF 2＝S △OAF 2＋S △OBF 2 ＝12c ·|y 1|＋12c ·|y 2|(y 1、y 2分别为A 、B 两点的纵坐标)，∴S △ABF 2＝12c |y 1－y 2|≤12c ·2b ＝bc . 12．抛物线x 2＝ay (a <0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由已知得准线方程为y ＝－a4，∴P 点坐标为(0，－a4)．设抛物线的切线l 1的方程为y ＝kx －a 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －a 4x 2＝ay ，得x 2－akx ＋a 24＝0，由题意得Δ＝a 2k 2－4×a 24＝0，解得k 2＝1，∴y ＝x －a4，∴∠MPN ＝π4，∴π4π12＝3，∴t ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则AB 的长为________．答案 8解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．则直线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1.得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1， |AB |＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(36－4)＝8.14．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋4y 2＝1解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)由题意知 x 0＝x ，y 0＝2y ，∵P (x 0，y 0)在圆上，有x 20＋y 20＝1，∴x 2＋4y 2＝1.即为所求的轨迹方程．15．F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，P 为抛物线上任意一点，以PF 为直径作圆，则该圆与y 轴的位置关系是__________．答案 相切 解析 设P (x 0，y 0)，PF 中点为M ，则M 到y 轴距离d ＝x 0＋p 22＝12|PF |.16．椭圆x 225＋y29＝1上一点P 到两焦点的距离积为m ，则当m 最大时，点P 的坐标是________．答案 (0,3)或(0，－3)解析 设椭圆的两焦点分别为F 1、F 2由椭圆定义知： |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 由基本不等式知：m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．即|PF 1|＝|PF 2|＝5，m 取最大值． 所以P 点为椭圆短轴的端点．三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a (a>0)，|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立坐标系，设P(x ，y)是曲线上的任意一点，则A(-a,0)，B(a,0)，C(0，- b)，D(0，b)． 由题意知：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，化简得：x 2-y 2= 222a b -即动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222a b - .18．(12分)k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．解 当k <0时，曲线y 24－x 2－8k ＝1为焦点在y 轴的双曲线；当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2；当0<k <2时，曲线x 28k＋y 24＝1为焦点在x 轴的椭圆；当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；当k >2时，曲线y 24＋x 28k＝1为焦点在y 轴的椭圆．19．(12分)已知椭圆x 29＋y 24＝1及点D (2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36. ②①－②，得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，因为M (x ，y )为AB 中点，所以x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .所以4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0.当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 9y .又y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，所以y －1x －2＝－4x9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.因为当x 1＝x 2时，中点M (2,0)满足上述方程，所以点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.20．(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB 的宽恰好为拱高CD 的4倍，若|AB |＝a 米，求能使卡车通过的a 的最小整数的值．解以拱顶为原点，拱高所在的直线为y 轴建立坐标系，如图，点B 的坐标为(,)24aa -，设抛物线方程为x 2=-2py (p>0)，将点B 的坐标代入得2()2a =-2p ·()4a -，解得p = 2a，所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(-0.8，y)代入抛物线方程得y=-0.64a，依题意点E 到拱底AB 的距离为4a -|y| =4a -0.64a≥3，解得a ≥12.21. 所以能使卡车通过的a 的最小整数值为13.21．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的点M ⎝⎛⎭⎫1，32到它的两焦点F 1、F 2的距离之和为4，A 、B 分别是它的左顶点和上顶点．(1)求此椭圆的方程及离心率；(2)平行于AB 的直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，求|PQ |的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)由题意2a ＝4，∴a ＝2.将M ⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程得：14＋94b 2＝1， ∴b 2＝3，因此所求椭圆方程为： x 24＋y 23＝1，e ＝c a ＝12. (2)由题意，直线l 的斜率k ＝k AB ＝3－00－(－2)＝32.∴设l 的方程为y ＝32x ＋b . 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋b ，x 24＋y23＝1.得：6x 2＋43bx ＋4b 2－12＝0. 由Δ＝48b 2－24(4b 2－12)>0，得：－6<b <6，x 1＋x 2＝－233b ，x 1·x 2＝2b 2－63.∴|PQ |＝⎝⎛⎭⎫1＋34[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝73(6－b 2)，∴b ＝0时，|PQ |max ＝14.∴l 的方程为y ＝32x . ∴|PQ |的最大值为14，此时l 的方程为y ＝32x . 22.（14分）已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，而·=0，||=| |.·PF →＝0，||＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，OA ·OB →＝－4，且46≤|AB |≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)设动点N 的坐标为(x ，y )，||＝|PN →|，得M (－x,0)(x >0)，P (0，y 2)，＝(－x ，－y 2)， PF →＝(1，－y 2)，由·PF →＝0，得－x ＋y 24＝0，因此，动点N 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)． (2)设l 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，·OB →＝－4， 得y 1＝22，y 2＝－22， |AB |＝42<46，不合题意． 故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ·OB →＝－4， 得x 1x 2＋y 1y 2＝－4，由点A ，B 在抛物线y 2＝4x (x >0)上，有y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ， 得ky 2－4y ＋4b ＝0，所以4bk ＝－8，b ＝－2k .∵Δ＝16(1＋2k 2)>0， ∴|AB |2＝1＋k 2k 2(16k2＋32)，因为46≤|AB |≤430， 所以96≤1＋k 2k 2(16k2＋32)≤480，解得直线l 的斜率的取值范围为[－1，－12]∪[12，1]．。
高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程2.1知识点总结含同步练习题及答案
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程
一、学习任务 了解曲线与方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程． 二、知识清单
轨迹与轨迹方程 曲线系
三、知识讲解
1.轨迹与轨迹方程 描述： 一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件 的点的轨迹方程． 在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 F (x, y) = 0 之间具有如下关系： （1）曲线 C 上点的坐标都是方程 F (x, y) = 0 的解； （2）以方程 F (x, y) = 0 的解为坐标的点都是曲线 C 上． 那么，曲线 C 叫做方程 F (x, y) = 0 的曲线，方程 F (x, y) = 0 叫做曲线 C 的方程． 例题： 设圆 C : (x − 1)2 + y 2 = 1 ，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解：解法一：直接法．
所以 P 点轨迹方程为 (x −
1 2 1 ) + y 2 = (0 < x ≤ 1)． 2 4
A 、B 是抛物线 y 2 = 4ax(a > 0) 上的两动点，且 OA ⊥ OB ，OP ⊥ AB 于点 P ，求动点 P 的轨迹． 解：设点 P 的坐标为 (x, y) ，直线 OA 的方程为 y = kx ，显然 k ≠ 0，则直线 OB 的方 1 程为 y = − x．由 k { y 2= kx, y = 4ax,
1+λ 4 11 ，代入 ① 式整理得 4x − 3y + 2 = 0 ，即 = ，所以 λ = − 2+λ 3 7
求解下列各题： （1）求过两圆 x 2 + y 2 + 6x − 4 = 0 和 x2 + y 2 + 6y − 28 = 0 的交点，且圆心在直线 x − y − 4 = 0 上的圆的方程； （2）求经过圆 C1 ：x 2 + y 2 − 6x = 0 与圆 C2 ：x2 + y 2 = 4 的交点，且经过点 P (2, −2) 的圆 C 的方程． 解：（1）设所求的圆的方程为 x 2 + y 2 + 6x − 4 + λ(x2 + y 2 + 6y − 28) = 0(λ ≠ −1)，即
高中数学选修2-1圆锥曲线基本知识点与典型题举例(后附答案)汇总
高中数学选修2--1圆锥曲线基本知识点与典型题举例一、椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F i、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F i F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距•第二定义：平面内到定点F与到定直线I的距离之比是常数e(Ovevl)的点的轨迹是椭圆，定点叫做椭圆的焦点，定直线I叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率•2.例1. F 1，F2是定点，且|F i F2|=6，动点M满足|MF i|+|MF2|=6，贝U M点的轨迹方程是()(A)椭圆(B) 直线(C) 圆(D) 线段例2.已知ABC 的周长是16, A(_3,0) , B (3,0),则动点的轨迹方程是= 1(y =0)2 2例3.若F(c , 0)是椭圆才吉二1的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为皿最小值为m 则椭圆上与F 点的距离等于中的点的坐标是((A)2 2x y d 12516(B)2516= 1(y =0)(C)2 2x y d116 25b 2(B)(-c,_ —)a(C)(0，± b) (D) 不存在设 F 1(- c ，x 20)、F 2(C , 0)是椭圆二 + ab 2=1(a>b>0)的两个焦点, P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点 ,若/ PFF 2=5/PER,则椭圆的离心率为() (A)( c .a例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; ____________ . _________⑵ 焦点坐标为(-.一3,0), (• 3,0),并且经过点(2 ,1);⑶椭圆的两个顶点坐标分别为(；,0) , (3,0),且短轴是长轴的-3⑷离心率为弓，经过点(2，。
)； ------------ . ----------2例7. F ,、F 2是椭圆—y 2 =1的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则4| PF 1 | | PF 2 |的最大值是 _________ .(A)子(B)(C)(D)例5. P 点在椭圆 的坐标是 45 20F 1F 2是两个焦点，若PF 1 _PF 2，贝U P 点二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点R、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2av| F1F2I)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距•第二定义：平面内到定点F与到定直线I的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线，定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线，常数e叫做双曲线的离心率例8 .命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a （a>0）；命 题乙：点P 的轨迹是双曲线。
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
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21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装第二章圆锥曲线与方程本章知识结构：圆锥曲线的实际背景本章知识要点：标准方程简单的几何性质椭圆双曲线抛物线※※※※※※※※※※※※简单应用订2.1曲线与方程一、曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.二、求曲线的方程1.解析几何：用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.2.求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合PMp(M)；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)0；第1页共6页※※※※※※※※※※※※线※※※※※※※※※※盘点知识夯实基础逐步提高（4）化方程f(x,y)0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简言之：①建系、取点②列式③代换④化简⑤证明.2.2椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2；当2aF1F2时，表示线段F1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：标准方程当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab图形范围对称轴对称中心axa，bybaya，bxbx轴、y轴坐标原点O(0,0)x轴、y轴坐标原点O(0,0)第2页共6页高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装长轴短轴顶点坐标焦点坐标离心率长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b(a,0)，(0,b)(c,0)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a(0,a)，(b,0)(0,c)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a※※※※※※※※※※※※注意：1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，e的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.c且0e1，e可以刻画椭圆a2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.4.椭圆的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线订※※※※※※※※※※※※线ca2l：x的距离的比是常数e(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的ac焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.x2y25.椭圆方程221(ab0)常用三角换元为xacos,ybsin.ab三、点与椭圆位置关系※※※※※※※※※※x2y2点P(x0,y0)与椭圆221(ab0)位置关系：abx02y02（1）点P(x0,y0)在椭圆内221（含焦点）ab（2）点P(x0,y0)在椭圆上x0y012222abx02y02（3）点P(x0,y0)在椭圆外221ab第3页共6页盘点知识夯实基础逐步提高四、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系相交相切相离（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)2x1x2，或|PP则|PP12|1k12|1公共点有两个公共点有且只有一个公共点无公共点判定方法000直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式1y1y2(k0).k22.3双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，表示分别以F1F2时，轨迹不存在.二、双曲线的标准方程与几何性质：标准方程当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时x2y221(a0,b0)2aby2x221(a0,b0)2ab图形第4页共6页高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装范围对称轴对称中心实轴虚轴顶点坐标焦点坐标渐近线离心率xa，或xaya，或yax轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2bx轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2b※※※※※※※※※※※※(a,0)(c,0)，其中c2a2b2xyb0，即yxabace(其中e1)a(0,a)(0,c)，其中c2a2b2yxa0，即yxabbce(其中e1)a订注意：1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、※※※※※※※※※※※※线b、c之间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，e张口就越大.c且e1.e越大，双曲线的a2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e2.3.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定ca2直线l：x的距离的比是常数e(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双ac曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.※※※※※※※※※※x2y25.共渐近线的双曲线可写成22(0)；abx2y221(b2a2).共焦点的双曲线可写成2ab第5页共6页盘点知识夯实基础逐步提高2.4抛物线一、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程图形焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率注意：1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.22.若点M(x0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02p(,0)2px2x0(p,0)2px2x0p(0,)2py2p(0,)2py2y0y轴y0y轴x轴(0,0)e1x轴(0,0)e1(0,0)e1(0,0)e1p.23.若过焦点的直线交抛物线y2px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长ABx1x2p.第6页共6页扩展阅读：21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示线段F1F2；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时2标准方程xy21(ab0y2x2a2b2)a2b21(ab0)图形范围axa，bybaya，bxb对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)长轴、短轴长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b顶点坐标(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2离心率eca(其中0e1)eca(其中0e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，eca且0e1，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：xa24.椭圆的第二定义：c的距离的比是常数eca(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.三、点与椭圆位置关系P(xx2y2x22点0y00,y0)与椭圆a2b21(ab0)位置关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆内a2b21（2）点P(xy22（3）点P(xx220y00,0)在椭圆上x0y0b210,y0)在椭圆外a2a2b21四、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系公共点判定方法相交有两个公共点0直线与椭圆方程首相切有且只有一个公共点0先应消去一个未知数得一元二次方程相离无公共点0的根的判别式（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)则|PP12|1k2x1x2，或|PP12|11k2y1y2(k0).双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示分别以F1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、双曲线的标准方程与几何性质：当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时2标准方程xy21(a0,y2a2b2b0)a2x2b21(a0,b0)图形范围xa，或xaya，或ya对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)实轴、虚轴实轴长2a，虚轴长2b实轴长2a，虚轴长2b顶点坐标(a,0)(0,a)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2渐近线xayb0，即ybyxaaxab0，即ybx离心率eca(其中e1)eca(其中e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，eca且e1.e越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线为yx离心率e2.a23.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：xc的距离的比是常数eca(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.2.4抛物线一、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点坐标(p2,0)(p2,0)(0,p2)(0,p2)准线方程xpppp2x2y2y2范围x0x0y0y0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e11e1e1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.2.若点M(x2p0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02.3.若过焦点的直线交抛物线y22px(p0于)A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长ABx1x2p.友情提示：本文中关于《21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程：该篇文章建议您自主创作。
高二数学选修2-1第二章圆锥曲线-知识点+习题+答案汇编
第二章 圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．4、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．7、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．8、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线． 9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 10、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.C. 21 4．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条A. 1B.2C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ）A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对8．方程02=+ny mx 与)02>n mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（二、填空题：9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题： ① 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .10．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 11、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 。
人教A版高中数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程-圆锥曲线基本题型总结习题
圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0) C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线12.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） (1)求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ． 双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a -c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________.【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B.3C. 5D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝ 椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2tan sin cos 121sin 21cos 1 -)cos (12 (1)-(2)(2)2a (1)COS 2-2 1 b 2b PFPF S 2bPFPF 4c 4a PFPF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得双曲线的焦点三角形面积：2tanbS 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．【注：小题中可以直接套用公式。
2019年人教版 高中数学【选修 2-1】第二章 圆锥曲线与方程章末总结word版含答案
2019 年编·人教版高中数学章末总结知识点一 圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重 要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总 之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2，F 1，F 2 为左、右焦点，P 为双曲线上 一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝12 3，求双曲线的标准方程．知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点， 二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是 一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲 线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 )，反映在消元后的方程上，该方程 是一次的．例 2如图所示，O 为坐标原点，过点 P(2，0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y 2＝2x 于 M(x 1， y 1)，N(x 2，y 2)两点． (1)求 x 1x 2 与 y 1y 2 的值； (2)求证：OM ⊥ON.知识点三 轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y)，根据几何条件直接寻求 x 、y 之间的关 系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为 已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标 x 、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标 x 、y 之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可 直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点 P(x ，y)的坐标 x ，y 所满足的关系式时，借助第 三个变量 t ，建立 t 和 x ，t 和 y 的关系式 x ＝φ(t)，y ＝Φ(t)，再通过一些条件消掉 t 就间 接地找到了 x 和 y 所满足的方程，从而求出动点 P(x ，y)所形成的曲线的普通方程． 例 3 设点 A 、B 是抛物线 y 2＝4px (p>0)上除原点 O 以外的两个动点，已知 OA ⊥OB ， OM ⊥AB ，垂足为 M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点， 解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题 必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、 数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋m 与椭圆 ＋ ＝1 相交于 A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)， 例 5 已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆 ＋ ＝1 内的两定点，点 M 是椭圆上的动点，求|MA| 或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．x 2 y 2 4 3A 2 为椭圆的右顶点且 AA 2⊥BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建 立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．x 2 y 2 25 9＋|MB|的最值．y 2 例 6 已知 F 1、F 2 为椭圆 x 2＋ 2 ＝1 的上、下两个焦点，AB 是过焦点 F 1 的一条动弦， 求△ABF 2 面积的最大值．∵e ＝ ＝2，∴c ＝2a.∴所求的双曲线方程为 － ＝1.1 在)，则直线 OB 的方程为 y ＝－ ，进而可求 A ⎝ k2 ， k ⎭、k章末总结重点解读例 1 解x 2y 2如图所示，设双曲线方程为a 2－b 2＝1 (a>0，b>0)．c a 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c ，在 △PF 1F2 中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF2|2－2|PF 1||PF2|cos 60°＝(|PF 1|－|PF2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)，即 4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.①又 S △PF 1F 2＝12 3，1 ∴2|PF 1||PF 2|sin 60°＝12 3，即|PF 1||PF 2|＝48.②由①②，得 c 2＝16，c ＝4，则 a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，x 2 y 24 12 例 2 (1)解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为：y ＝k(x －2)．把 y ＝k(x －2)代入 y 2＝2x ，消去 y 得 k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故 k 2≠0 且 Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，2x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋k 2，∵M 、N两点在抛物线上，∴y 2· y 2＝4x 1· x 2＝16，而 y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.例 3 解 设直线 OA 的方程为 y ＝kx (k ≠±1，因为当 k ＝±1 时，直线 AB 的斜率不存x ⎛4p 4p ⎫1－k 2从而 k OM ＝ k ∴直线 OM 的方程为 y ＝ x ，① ⎧Δ＝64m k －16(3＋4k )(m －3)>0， －1 ⎩x x ＝4(m －3). ⎧3＋4k －m >0， ⎩x x ＝4(m －3). ＋4k ＋4k 3＋4k 2 3＋4k 2 3＋4k 2 3＋4k 2B(4pk 2，－4pk)．于是直线 AB 的斜率为 k AB ＝k ， k 2－1 ， k 2－1 k－k 直线 AB 的方程为 y ＋4pk ＝k 2 (x －4pk 2)．②将①②相乘，得 y 2＋4pky ＝－x(x －4pk 2)，即 x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p(k 2x －ky)，③又 k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p)2＋y 2＝4p 2.当 k ＝±1 时，易求得直线 AB 的方程为 x ＝4p.故此时点 M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p)2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)上．∴点 M 的轨迹方程为(x －2p)2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为 2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明 设 A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)， ⎧⎪y ＝kx ＋m ， 联立⎨x 2 y 2 ⎪⎩ 4 ＋ 3 ＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，2 2 2 2 则即⎨x 1＋x 2＝－38mk 2， 2 1 2 3＋4k 2 2 2 ⎨x 1＋x 2＝－38mk 2，2 1 2 3＋4k 2 又 y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m) ＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2 3(m 2－4k 2) ＝ . ∵椭圆的右顶点为 A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0. ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. 3(m 2－4k 2) 4(m 2－3) 16mk ∴ ＋ ＋ ＋4＝0.时，l 的方程为y ＝k ⎝x －7⎭，直线过定点⎝7，0⎭，＋2 ＋2 k 2＋2 ＝2 2× ≤2 2× ＝2. ∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，2k 解得 m 1＝－2k ，m 2＝－ 7 ，且均满足 3＋4k 2－m 2>0.当 m 1＝－2k 时，l 的方程为 y ＝k(x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当 m 2＝－ 2k 7 ⎛ 2⎫ ⎛2 ⎫ ∴直线 l 过定点．例 5 解 因为 A(4,0)是椭圆的右焦点，设 A ′为椭圆的左焦点，则 A ′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA ′|＝10.如图所示，则 |MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA ′|＋|MB|－|MA ′|＝10＋|MB|－|MA ′|≤10＋ |A ′B|.当点 M 在 BA ′的延长线上时取等号．所以当 M 为射线 BA ′与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)max ＝10＋|A ′B|＝10＋2 10.又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA ′|－|MA ′|＋|MB|＝10－(|MA ′|－|MB|)≥10－|A ′B|，当 M 在 A ′B 的延长线上时取等号．所以当 M 为射线 A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)min ＝10－|A ′B|＝10－210.例 6 解由题意，|F1F2|＝2.设直线 AB 方程为 y ＝kx ＋1，代入椭圆方程 2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，2k 1则 x A ＋x B ＝－k 2 ，x A ·x B ＝－k 2 ，∴|x A －x B |＝ 8(k 2＋1).1 k 2＋1S △ABF 2＝2|F 1F 2|·|x A －x B |＝2 2× k 2＋21 1 12 k 2＋1＋ k 2＋1当 k 2＋1＝ 1 ，即 k ＝0 时，k 2＋1S △ABF 2有最大面积为 2.。
选修2-1圆锥曲线与方程典型例题
高中数学选修2-1第二章——圆锥曲线与方程典型题型讲练测一、椭圆、双曲线与抛物线二、曲线与方程求轨迹方程的主要方法：直接法，定义法，相关点法（代入法），参数法，交轨法，待定系数法等．1．已知点(0,1)A -，B 在直线3y =-上，点M 满足M B ∥O A ，MA AB MB BA =，则点M 的轨迹方程为 ．变式1：点P 到点(3,0)F 的距离的4倍与它到直线2x =的距离的3倍之和记为d ，当点P 运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和，则点P 的轨迹C 为 ．变式2：已知定点(1,0)A -，(2,0)F ，定直线l ：12x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为 ．2．(2,0)M -和(2,0)N 是平面上的两点，动点P 满足6P M P N +=，则点P 的轨迹方程为 ；若动点Q 满足QM QN -=Q 的轨迹方程为 ．变式1：动圆P 与定圆C ：22(2)1x y ++=外切，与定直线l ：1x =相切，则点P 的轨迹方程为 ．变式2：1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的左右焦点，点P 在椭圆上，过焦点2F 向12F PF ∠的外角平分线作垂线，垂直为D ，并延长2F D 交1F P 于点Q ，则点D 的轨迹方程为 ；点Q 的轨迹方程为 ．变式3：1F 、2F 是双曲线的左右焦点，点P 在双曲线上（不是顶点），过焦点1F 引12F PF ∠的平分线的垂线，垂直为Q ，并延长2F D 交1F P 于点Q ，则点Q 的轨迹方程为 ．变式4：在正方体1111ABC D A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一动点，若点P 到直线B C 与到直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹为 ．变式5：正三棱锥S A B C -中，侧面SA B 与底面ABC 所成的锐二面角为α，顶点P 在侧面SA B 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，若sin PQ PS α=，则动点P 的轨迹为 ．变式6：线段A B 的长度为定值，A α∈，B α∉，C α∈，若A B C ∆的面积为定值S ，则点C 的轨迹为 ．变式7：已知直线l 、m 是两条互相垂直的异面直线，两异面直线间的距离为定值d ，过直线l 作平面α，使m ∥α，点P 是平面α内一动点，点P 到直线l 、m 的距离分别为1d 和2d ，若12d d =，则点P的轨迹为 ．3．已知A 为椭圆2212516xy+=上的点，点(2,1)B 为定点，若2AP PB =，则点P 的轨迹方程为 ．变式1：C 在抛物线2y x =上，(1,1)A -、(2,4)B 是两个定点，则A B C ∆的重心G 的轨迹方程为 ．变式2：设0λ>，点(1,1)A ，点B 在抛物线2y x =上，点Q 满足B Q Q A λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线与点M ，点P 满足Q M M P λ=，则点P 的轨迹方程为 ．变式3：椭圆的中心为原点O ，离心率e =2x =（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：O P O M O N =+2uu u r uuur uuu r，其中,M N 是椭圆上的点，直线O M 与O N 的斜率之积为1-2，问：是否存在两个定点,F F 12，使得PF PF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．4．过点(0,1)M 的直线与椭圆2214xx +=交于A 、B 两点，点O 是坐标原点，点P 满足1()2O P O A O B =+，则动点P 的轨迹方程为 ．变式1：已知圆C ：2224222(21)4510x y m x m y m m m +-+-++-+=，则圆心C 的轨迹方程为 ．变式2：已知圆C ：22221122()2()210x y t x t y t ttt+-+--++-=（0t >），则圆心C 的轨迹方程为 ．5．过点(0,)M p 作直线l 与抛物线22(0)x py p =>交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，且1l 和2l 相较于点P ．（Ⅰ）求证：直线1l 和2l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）求点P 的轨迹方程． 变式：已知双曲线2212xy -=的左右顶点为1A 、2A ，点00(,)P x y 和00(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点，则直线1A P 和直线2A Q 的交点E 的轨迹方程为 ．。
高中数学知识点总结(选修2-1)
高中数学知识点总结—数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2.“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。
若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。
6.四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8.用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10.全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。
人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结
精心整理数学选修2-1圆锥曲线知识归纳一、复习总结：名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆即aMFMF221=+当2a﹥2c时，轨迹是椭圆当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线即aMFMF221=-当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222=+byax焦点在y轴上时：12222=+bxay注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222=-byax焦点在y轴上时：12222=-bxay常数cba,,的关系222bac+=，渐近线焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：抛物线：图形方程 焦点 准线二、知识点：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距． （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．(4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1abe -=10<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．（识记方法）以下4-7点要求不高，或者不要求.4.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率5．椭圆的准线方程对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=6.椭圆的焦半径公式：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式:21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a exc =-=-其中e 是离心率其中21,F F 分别是椭圆左右焦点．焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：其中e 是离心率其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点．焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x以下为椭圆重要结论：（要求记忆1、2、3条，了解4、5）1.准线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)c b c c a c c a p 2222=-=-= 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22b a.2.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>两焦半径与焦距构成三角形的面积:1221||tan2F PF P F PFS c y b ∆∠==． 3椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，当静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线l 击出，经椭圆壁反弹后再回到A ，若l 与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是(???D) A.4b?????????????B.2(a-c)?????????????C.2(a+c)????????????D.4a4.椭圆的的内外部:（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.5.椭圆的切线方程:(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221x y a b +=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.8．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上11．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心. （2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为a 2,a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±bya x ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔12．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e13．共渐近线的双曲线系如果双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x以下14-17点要求不高，或者不要求. 14．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率．15．双曲线的准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=16.双曲线的焦半径（了解）定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF （21,F F 分别是左、右焦点）焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF （21,F F 分别是下、上焦点）17．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221x x e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=18．双曲线的重要结论：(识记（1）-（4）点，了解（5）点)（1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c=．（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22b a.（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot 2F PF F PFS b ∆∠=.（4）焦点到渐近线的距离总是b . （5）双曲线的切线方程:(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221x y a b -=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=.（3）双曲线22221x y a b-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.19抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线20．抛物线的准线方程：(1))0(22>=p px y ,焦点:)0,2(p ，准线l ：2px -= (2))0(22>=p py x ,焦点:)2,0(p ，准线l ：2p y -=(3))0(22>-=p px y ,焦点:)0,2(p -，准线l ：2p x =(4))0(22>-=p py x ,焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号21．抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．22抛物线的焦半径公式：（画图即可）抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y pp y PF -=-= 23．直线与抛物线： （1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到 关于x 的二次方程02=++c bx ax （*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得： 联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点（相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=， （3）焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ，)(21x x p AB ++=（识记）抛物线)0(22>-=p px y ，)(21x x p AB +-=抛物线)0(22>=p py x ，)(21y y p AB ++=抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p d 2=通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦． （5）若已知过焦点的直线倾斜角θ（识记这条结论）则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y （6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221.3p y y -=⇒结论和421px x =（7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p （8）过抛物线px y 22=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，则pFQ PF 211=+． 24．抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧==222pt y pt x （t 为参数）25.提示.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：设为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：?????推导：。
人教课标版高中数学选修2-1典型例题：圆锥曲线的对称问题
圆锥曲线中存在点关于直线对称问题在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点A,B关于直线L对称，求方程中参数的范围.对于此类问题抓住两点A,B关于直线L对称，对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1或k1，k2中一个为0，一个不存在）和两点连线中点C在对称直线L上(也是L与L AB的交点)，分析一：（第一种通法）由于L AB与圆锥曲线交于两点AB，所以L AB与圆锥曲线方程联立方程组，得一元二次方程，△＞0求参数的范围，步骤如下：1．假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.2．联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.3．把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.分析二：（第二种通法）由于中点C为相交弦AB的中点，所以可用点差法，求出参数与中点的关系，又中点C在对称直线L上，故可用参数表示中点的坐标代入不等式，求出参数的范围第二种通法，不过首先说明以下问题：弦中点位置问题抛物线弦中点在内部弦中点在Ⅰ（交点在同一支上）弦中点在抛物线“内部”或Ⅱ（交点不在同一支上）步骤如下：1.设出两点和中点坐标（x，y）；2.用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；3.联立直线方程，求出交点，即中点；4.由中点位置及对应范围求出参数取值范围.例1：已知椭圆C ：13222=+y x ,试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y=4x ＋m ，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称.解法一：设存在两点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)关于l 对称，中点为C （x 0,y 0），则AB 所在直线为y=－14 x ＋b.与椭圆联立得：825x 2－bx ＋2b 2－6=0， ∴ x 0= x 1＋x 22 = 254b y 0=y 1＋y 22 = －41×254b +b= 2524b ∵ C 在y=4x ＋m 上, ∴2524b = 254b ×4＋m, b=825m .又∵ △=b 2－4×825 (2b 2－6)>0, 故 b 2<825,即(－825m )2<825，解得：－522<m<522. 由上可知:当 －522<m<522时,椭圆C 上有不同两点关于直线y=4x ＋m ，对称. 解法二：设存在两点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)关于l 对称，中点为C （x,y ），则 3x 12＋2y 12=63x 22＋2y 22=6, 得 y 1－y 2x 1－x 2 =－)(2)(32121y y x x ++=－0023y x =－ 14 ,∴ y 0=6x 0 联立y 0=4 x 0＋m,解的x 0=2m , y 0=3m, ∵M 在椭圆内部，∴()1332222〈+⎪⎭⎫ ⎝⎛m m 即－522<m<522.. 由上可知:当－522<m<522时,椭圆C 上有不同两点关于直线y=4x ＋m 对称. 例2．已知双曲线x 2－ y 23 =1,双曲线存在关于直线l ：y=k x ＋4的对称点，求k的取值范围.注：对于此类求斜率k 范围要考虑k=0和k≠0，因为要用到－ 1k .解法一：由题意k≠0:设存在两点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)关于l 对称，中点为C （x 0,y 0），则AB 所在直线为y=－k1x ＋b.代入x 2－ y 23 =1得：(3k 2－1)x 2＋2kb x －(b 2+3) k 2=0，显然3k 2－1≠0,即k 2 ≠31 x 0= x 1＋x 22 = 132--k kb y 0= y 1＋y 22 = －k 1×132--k kb +b= 13322-k b k ∵ C 在y=k x ＋4上,∴13322-k b k = k ×132--k kb ＋4, ∴k 2 b=3k 2－1∴b=2213k k - 又∵ △= 4k 2 b 2+4×(3k 2－1) (b 2+3) k 2>0, ∴k 2 b 2+3k 2－1>0∴k 2 b 2+ k 2 b>0∴ b 2+ b>0∴b>0或b<－12213k k ->0或2213kk -<－1解得: k <－33或k>33或－21<k <0或0<k <21 由上可知:当 k <－33或k>33或－21<k <0或0<k <21时, 双曲线x 2－ y 23 =1存在关于直线l ：y=kx ＋4的对称点解法二：由题意k≠0:设存在两点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)关于l 对称，中点为C （x 0,y 0）， 3x 12－y 12=33x 22－y 22=3, 得y 1－y 2x 1－x 2 =2121)(3y y x x ++=003y x =－k1,∴ y 0=－3kx 0 联立y 0= k x 0＋4解得x 0=－k 1 y 0=3, 20x －320y >1（交点AB 在同一支上）或20x －320y <0 （交点AB 在两支上）∴k 2< 41或k 2>31且 k≠0解得: k <－33或k>33或－21<k <0或0<k <21 由上可知:当 k <－33或k>33或－21<k <0或0<k <21时,例3．k为何值时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线l：y=k（x－1）＋1对称(同上)另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法：例：在抛物线y= ax2－1上存在两点关于直线x＋y=0对称，求a的范围.解：显然a≠0.设存在两点为A（x1,y1）、B(x2,y2)，y1－y2 x1－x2=ax12－ax22x1－x2= a（x1＋x2）=1，即x1＋x2=1a，y1＋y22＋x1＋x22=0，即x1x2=1－aa2，这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中因为存在这样的两点，点关系求出两根之和、两根之积故方程x2－1a x＋1－aa2=0的△>0，当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两根即1a2－41－aa2>0，a>34.点关于直线对称所产生的垂直及，构造方程，利用△求出参数范围. 中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.。
选修2-1数学复习资料
数学第二章知识点一：圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。
定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数叫做离心率。
①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；②e=1时轨迹是抛物线；③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。
知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质1．椭圆：(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；(3)椭圆的的简单几何性质:范围：，，对称性：关于x轴、y轴和原点对称焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，离心率是，准线方程是；2．双曲线(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.(3)双曲线的简单几何性质范围：，；对称性：关于x轴、y轴和原点对称焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距＝；离心率是，准线方程是；渐近线：.3．抛物线(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)标准方程四种形式：，，，。
(3)抛物线的几何性质范围：，，对称性：关于x轴对称焦点，顶点，对称性：关于x轴对称离心率：，准线方程是；知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。
1．直线与圆锥曲线C的位置关系判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。
①当a≠0时，若Δ＞0，则与C相交；若Δ=0，则与C相切；若Δ＜0，则有与C相离。
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三、 . 抛物线
1. 抛物线的定义 :
平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
上 ). 定点 F 叫做抛物线的焦点 , 定直线 l 叫做抛物线的准线 .
2. 抛物线的标准方程及其几何性质 ( 如下表所示 )
标准方 程
y2 2px( p 0) y2 2px(p 0)
x2 2py( p 0)
迹方程是 ( )
(A) 椭圆 (B) 直线 (C) 圆 (D) 线段
1 / 18
例 2. 已知 ABC 的周长是 16， A( 3,0) ， B(3,0) , 则动点的轨迹方程是
()
(A) x 2 y 2 1 (B) x 2 y 2 1( y 0) (C) x2 y 2 1 (D) x 2 y 2 1( y 0)
( 点 F 不在 l x2 2py(p 0)
图形
对称轴
x轴
x轴
y轴
焦点 顶点
p F ( ,0)
2
p F ( ,0)
2
p F (0, )
2
原点 (0,0)
准线 离心率
p x
2
p x
2
p y
2 e1
注 : 通径为 2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦 .
例 15. 顶点在原点，焦点是 (0, 2) 的抛物线方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( )
(A) 圆(B) 椭圆
(C) 双曲线
(D) 抛物线
例 10. 过点 (2 ，-2) 且与双曲线 x 2 y 2 1有相同渐近线的双曲线的方程是 2
()
(A) x2 4
y 2 1 (B) y 2
2
4
x2 1 (C) x 2
2
2
y 2 1 (D) y 2
4
2
x2 1 4
例 11. 双曲线 x2 y2 1(n 1) 的两焦点为 F1, F2 , P 在双曲线上 , 且满足 n
V PF1 PF2 2 n 2 , 则 PF1F2 的面积为 ( )
(A)1 ( B) 1 (C )2 (D )4 2
例 12 设 ABC 的顶点 A( 4,0) ， B(4,0) ，且 sin A sin B 1 sin C ，则第三个
2
顶点 C 的轨迹方程是 ________.
4 / 18
例 13. 根据下列条件，求双曲线方程 :
高中数学选修 2--1 圆锥曲线 基本知识点与典型题举例
一、椭圆
1. 椭圆的定义：
第一定义：平面内到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定值 2a(2 a>|F 1F2|) 的
点的轨迹叫做椭圆 , 这两个定点叫做椭圆的焦点 , 两焦点的距离叫做椭圆的焦距 .
第二定义 : 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0< e<1) 的点
25 16
25 16
16 25
16 25
例 3.
若
F( c，0) 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1的右焦点， F 与椭圆上点的距离的最大
值为 M，最小值为 m，则椭圆上与 F 点的距离等于 M m 的点的坐标是 ( ) 2
(A)( c，
b2 )
a
b2 ( B)( c, ) (C)(0 ，± b) (D)
⑴与双曲线 x2
y2 1 有共同渐近线，且过点 (-3 ， 2 3 ) ；
9 16
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 ( 3 2 ，2). 16 4
例 14.
设双曲线
2
x
y2
1上两点 A、B，AB中点 M（ 1，2）求直线 AB方程；
2
注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）
5 / 18
( A) x2=8y (D) y2= 8x
(B) x2= 8y
y轴
p F (0, )
2 p y 2
的轨迹是椭圆 , 定点叫做椭圆的焦点 , 定直线 l 叫做椭圆的准线 , 常数 e 叫做椭圆
的离心率 .
2. 椭圆的标准方程及其几何性质 ( 如下表所示 )
标准 方程
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
2
2
xy
b2 a2 1(a b 0)
图形
顶点
( a,0) , (0, b)
(0, a) , ( b,0)
a
不存在
例4
设
F1(-
c，0) 、F2( c，0) 是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1( a>b>0) 的两个焦点，
P 是以
F1F2 为直径的圆与椭圆的一个交点 , 若∠ PF1F2=5∠PF2F1, 则椭圆的离心率为 ( )
(A) 3
(B)
6
(C)
2
(D)
2
2
3
2
3
例 5.P 点在椭圆 x2
45
坐标是 .
对称 轴
焦点
x 轴， y 轴，长轴长为 2a ，短轴长为 2b
F1( c,0) 、 F2( c,0)
F1 (0, c) 、 F2(0, c)
焦距
焦距为 F1 F2 2c(c 0), c2 a2 b2
离心 率
e c (0< e<1)
a
例 1. F 1， F2 是定点，且 |F 1F2|=6 ，动点 M满足 |MF1|+|MF 2|=6 ，则 M点的轨
y 2 1上， F1、F2 是两个焦点，若 PF1
20
PF2 ，则 P 点的
例 6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1) 长轴与短轴的和为 18，焦距为 6;.
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(2) 焦点坐标为 ( 3,0) , ( 3,0) , 并且经过点 (2 ，1);.
(3) 椭圆的两个顶点坐标分别为 ( 3,0) , (3,0) , 且短轴是长轴的 1 ;____.
3
(4) 离心率为 3 ，经过点 (2 ，0);.
2
例 7. F1、 F2 是椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点，点 4
P 在椭圆上运动，则
| PF1 | | PF2 |的最大值是．
二、双曲线 1. 双曲线的定义： 第一 定义 ：平 面内 到两 个 定 点 F1 、 F2 的 距离之 差的绝对值 等于定 值 2a(0<2a<| F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线 , 这两个定点叫做双曲线的焦点 , 两焦点 的距离叫做双曲线的焦距 . 第二定义 : 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e( e>1) 的点的 轨迹是双曲线 , 定点叫做双曲线的焦点 , 定直线 l 叫做双曲线的准线 , 常数 e 叫做 双曲线的离心率
例 8 . 命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a( a>0) ；命 题乙：点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的 ( )
( A) 充要条件 ( B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也
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不必要条件
例 9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log 23 的点的轨迹是（）