麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程
第二章 光纤光学的基本方程
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 程函方程与射线方程 波导场方程 模式及其基本性质
波动光学理论
❖ 用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光 纤中传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性 质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布及 其它许多特性。
❖ 采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理， 研究电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中 的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。
n r
dr ds
dn ds
❖ 上两矢量式点乘，第二项因两矢量正交为零，故有
K
1
R
eR
n r nr
❖ 因曲率半径总是正的，所以等式右边必须为正：
n r nr
0时，eR 与er 夹角小于
2
；
n r n r
0时，eR
与er
夹角大于
2
；
A B C A C B A B C
❖ 得到
{S r • S r }E0 n 2E0 0
即
S r • S r n 2 程函方程
或 S 2 n 2， S(r ) n r
或
S r
eR
❖ 即光线前进时，向折射率高的一侧弯曲。
n’ n dr/ds
n’ >n
例3：光线在圆柱体中的传播
z
光线方程：d ds
n(r)
dr ds
n(r)
r
0
光线方程在圆柱坐标中可分解成三个标量方程：
设折射率分布横截面为中心对称分布，纵向不变，则：
由麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程
由麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程麦克斯韦方程组：\nabla \cdot \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \rho\nabla \cdot \mathrm{B} = 0\nabla \times \mathrm{E} = - \frac{\partial\mathrm{B}}{\partial t}\nabla \times \mathrm{B} = \mu_0 \mathrm{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}其中，- \mathrm{E} 表示电场强度；- \mathrm{B} 表示磁场强度；- \rho 表示电荷密度；- \mathrm{J} 表示电流密度；- \epsilon_0 表示真空介电常数；- \mu_0 表示真空磁导率。
根据法拉第电磁感应定律，有\nabla \times \mathrm{E} = - \frac{\partial\mathrm{B}}{\partial t}将其代入第四个式子中，得\nabla \times \mathrm{B} = \mu_0 \mathrm{J} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}对两个式子分别取旋度，得\nabla \times (\nabla \times \mathrm{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \mathrm{B} \nabla \times (\nabla \times \mathrm{B}) = \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E})根据矢量恒等式\nabla \times (\nabla \times \mathrm{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathrm{A}) - \nabla^2 \mathrm{A}得到\nabla(\nabla \cdot \mathrm{E}) - \nabla^2 \mathrm{E} = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{B}) \nabla(\nabla \cdot \mathrm{B}) - \nabla^2 \mathrm{B} = \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} - \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E}) 由于磁场无源，即 \nabla \cdot \mathrm{B} = 0，因此第二个式子可以简化为\nabla^2 \mathrm{B} = - \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E})对第一个式子取散度，得\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{B}) 将第一个式子和上式代入第二个式子中，得到\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathrm{E}}{\partial t^2} + \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times\mathrm{J})因为电荷守恒方程为 \nabla \cdot \mathrm{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}，所以上式可以进一步化简为\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathrm{E}}{\partial t^2} - \mu_0 \frac{\partial^2 \mathrm{J}}{\partial t^2} 这就是亥姆霍兹方程。
基尔霍夫公式
（4）
3． 基尔霍夫衍射积分公式的证明 ． ⑴ 应用基尔霍夫边界条件 为了简化亥姆霍兹－基尔霍夫公式，使其成为更便于计算衍射问题的形式，可按图 x 的方式选 取闭合面 S = Σ + Σ1 + Σ 2 ，其中
图3
Σ1 －位于 ( ξ ,η ) 平面上一个无穷大的不透明屏；
Σ －不透明屏上一个开孔（衍射孔径） ；
r
P
∂E 来表示（图 1） 。下面介 ∂n
r
n
ε
P1
Sε
S
V
图1
图2
3． 应用格林定理 ． 格林定理表示为：
∫∫∫ ( G∇ E − E∇ G )dv = ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ
2 2 v S
∂E
∂G
（5）
式中 E 为包围 P 点的任意封闭面 S 上的电场， 格林函数 G =
（17）
上式中， Ω 是 Σ 2 对 P 点所张的立体角， d ω 是立体角元。由于
GR = exp ( jkR ) 在 Σ 2 上一致有界，只要满足下述的索末菲辐射条件：
∂E lim R + jkE = 0 R →∞ ∂n
（18）
对 Σ 2 的积分就会随着 R → ∞ 而消失。
exp ( jkR ) R
∂G ( P ) 1 e jkR 1 = cos ( n , R ) jk − ≈ − jkG ∂n R R 因为:R → ∞, con ( n , R ) = −1
（16）
于是，对 Σ 2 的积分化简为：
1 4π ∂E ∂E + E ( jkG ) dσ = ∫∫ R + ( jkE ) ( GR ) dω G ∫∫ ∂n ∂n Σ1 Ω
麦克斯韦方程推导
麦克斯韦方程推导
麦克斯韦方程源自20世纪几何力学的领军人物，又名二阶微分方程，被广泛
应用于解决空气动力学、流体力学、水动力学、以及大量的物理力学建模问题中。
建筑领域的实际应用更是数不胜数。
首先要明确的是，麦克斯韦方程是一个基于二阶微分的公式，一般式可以写成：u’’(t) + au’(t) + bu(t) = f(t)。
若该公式在某一区间上有一解，则该区间
称为麦克斯韦方程稳定区间。
由此可见，麦克斯韦方程是一个重要的描述均衡状态的工具，可以应用于建筑领域的实际模拟中求解均衡形状的问题。
建筑工程学中的许多理论以及应用实践，都离不开麦克斯韦方程的支持。
在一
般来说，麦克斯韦方程可应用于定量了解建筑物抗震性能、结构可靠性评价，以及振动模拟等研究中。
它可以用来求解梁板受弯曲力时的平衡状态，从而指导建筑设计者正确选定承重构件的材料和尺寸。
同样，它可以用来模拟建筑物受到地质灾害（如地震）的影响，从而控制结构抗震性能的变化。
此外，建筑设计过程伴随着众多因素的变化，例如温度变化、湿度变化等，麦
克斯韦方程也可以被用来模拟这些变化对建筑物形态和结构性能的变化情况。
那么根据麦克斯韦方程做出的形态及结构性能模拟结果，专业建筑设计师可以依此做出设计的调整，以期达到合理的建筑结构便捷性，节约原材料成本以及满足安全和美观的要求。
综上所述，麦克斯韦方程无疑是在建筑工程学中的力学研究中不可或缺的一环，它的发展与应用使得建筑设计变得更加科学精确，不仅可以造福于生活环境资源永续利用，更能带来极大的改善让人们拥有更舒适安静的生活环境。
《电动力学》公式推导荟萃
1. 电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t DJ H B tBE D 0ρ和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v Jρ=，结合公式E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(EtD HE J⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( Et D E H ⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []Et D H E H E⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( Et D H t B H E⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(令H E S⨯=H t B E t D t w ⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂对应的积分形式为注释:对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出能量密度为)(21B H D E w ⋅+⋅=而H E S⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。
************************************************练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。
2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将E D ε=，ϕ-∇=E代入f D ρ=⋅∇ 得f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(即ερϕεεϕf -=∇⋅∇+∇12对于均匀介质, 有0=∇ε此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中f ρ为自由电荷体密度。
注释:当0=∇ε，或E⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。
3. 静电场能量公式的推导在线性介质中，电场总能量为⎰∞⋅=dVD E W 21 对于静电场，利用ρϕ=⋅∇-∇=D E,给出ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E所以⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ)( 又=⋅⎰∞s d D ϕ，故注释:（1）电场能量分布于空间电场中。
亥姆霍兹方程
, z) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面 上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
18
复振幅分布及其角程讨论传播规律
19 0 6
将 U(x, y, z) 表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的 顺序，可以推导出，二阶线性微分方程
算得到为
A( f x , f y , z) U (x, y, z) exp[ j (xf x yf y )]dxdy
由于各个不同空间频率 的空间傅里叶分量可看作是沿不同
方向传播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅
分布的角谱
同时有逆变换为 U (x, y, z) A( f x , f y , z) exp[ j (xf x yf y )]dfxdf y
6
球面波的复振幅表示
19 0 6
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的 波面，称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点 光源的集合,它所发出的光波就是球面波的叠加 这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。 球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点 到球心的距离成反比 当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在 光场中任何一点产生的复振幅可写作
exp
j
k z
x x
y
y
位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族
x x y y C
10
平面波的复振幅表示
19 0 6
在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的 光波称为平面波 如波矢量 k 表示光波的传播方向，其大小为 k 2 ，方 向余弦为 cos,cos,cos ，则平面波传播到空间某点的复振 幅的一般表达式为 U (x, y, z) a exp( jk r)
基尔霍夫公式
2 － 以考察点 P 为球心，半径 R 趋于无穷大的 球面。
于是公式（4）的亥姆霍兹－基尔霍夫积分可表示为：
E
7/26/2021
p
1 4
1 2
E
n
exp jkr
r
E
exp jkr
n学 习文r档
d
（14）
为了确定这三个面上的 E ，E 值，可以应用基尔霍夫边界条件（或基尔霍夫 n
（21）
7/26/2021
学习文档
⑶ 亥姆霍兹－基尔霍夫积分的进一步化简
如图 x 所示，对孔径平面上的任意点 Q ，设 E 是从 S0 点发出的单色球面波在 Q 点的分布，格林函数为 Q 点
发出的球面子波对考察点 P 的贡献量，于是有：
E Q A e jkr0 ，
r0
G Q e jkr
r
（22）
所示的闭合面传播时，光波复振幅 7/26/2021
E
r
可用学上习式文来档描述。
2．亥姆霍兹－基尔霍夫定理 1882 年，基尔霍夫从亥姆霍兹方程出发，利用数学上的格林定理，导出
了一个求解标量波衍射的基本公式，即亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
E p
1 4
s
E n
exp
r
jkr
E
n
exp
r
2E K 2E 0
（6）
2E K 2E 0
并将上述方程代入格林定理，容易证明其左边：
G2E E2Gdv 0
v
于是，格林定理化简为：
S
G
E n
E
G n
d
S
G
E n
E
G n
d
（7） （8） （9）
求解亥姆霍兹方程
求解亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程是物理学中的一类重要方程，广泛应用于声学、电磁学、量子力学等领域。
求解亥姆霍兹方程是这些领域中的重要问题，下面我们来探讨一下。
一、亥姆霍兹方程的定义亥姆霍兹方程是一个二阶偏微分方程，它的一般形式为：$$ \Delta u + k^2 u = f $$其中，$u$是未知函数，$k$是常数，$f$是给定的源函数，$\Delta$是拉普拉斯算子。
该方程可以描述一个介质中的波动现象。
二、亥姆霍兹方程的求解方法亥姆霍兹方程的求解方法主要有两种：分离变量法和格林函数法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解亥姆霍兹方程的方法。
该方法将未知函数表示为一系列单独的函数的乘积，从而将亥姆霍兹方程转化为一系列常微分方程，再求解这些常微分方程。
例如，对于一个圆柱体内的亥姆霍兹方程，我们可以将未知函数表示为：$$ u(r,\theta,z) = H(r) G(\theta) F(z) $$其中，$r$、$\theta$和$z$分别是圆柱体内的径向、角向和轴向坐标，$H$、$G$和$F$是对应的函数。
代入亥姆霍兹方程，得到：$$ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r\frac{\partial H}{\partial r} \right) G F + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 G}{\partial \theta^2} H F + \frac{\partial^2 F}{\partial z^2} H G + k^2 H G F = f $$将分离变量后的方程化为各自的常微分方程后，我们可以分别求解$H$、$G$和$F$，再将其乘积得到原方程的解。
2. 格林函数法格林函数法也是一种常用的求解亥姆霍兹方程的方法。
该方法基于格林函数理论，通过求解一些特定的泊松方程来构造出亥姆霍兹方程的格林函数，从而求得原方程的解。
光纤通信第5章-光纤波导-模式与场
2、分离变量
令
(x, y, z) (x, y)eiz
代入亥姆赫兹方程
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
得到
t2(x ,y ) 2(x ,y ) 0
————即光纤中的波导场方程
其中：横向拉普拉斯算符
t2
2
2 z 2
光线的传播角从零到临界角，传播角越小模式级别越低，沿中心轴传播的模式为 零级，临界传播角模式级别最高；
横模－横向场分布（表现为不同光斑花样）
（1）x, y 轴对称 TEMmn m－X向暗区数 n－Y向暗区数
TEM00
TEM10
TEM20
TEM03
TEM11
（2）旋转对称 TEMmn m－暗直径数；n－暗环数(半径方向)
1、模式数量：光纤的结构参数决定了光纤中允许存
在的导模数量。
M
g （2 g
Байду номын сангаас2）V
2
其中g为折射率分布参数
光纤的结构参数由归一化频率V表征：
V
2 0
a
n12 n22 k0an1
2
V越大，允许存在的导模数就越多。 模 式 数 量 与 光 纤 直 径 和 数 值 孔 径 成 正 比 ， 和 波 长 成 反 比 。
3．简谐时变场的波动方程— —亥姆霍兹方程
分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程
利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程为标量波动方程
设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离时空坐标，得到 的波动方程就称为亥姆霍兹（Helmholtz
推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、均匀、各向同 性而且电磁场是简谐的。
亥姆霍兹方程推导
亥姆霍兹方程与波动场中的其他物理量，如速度、加速度、位移等密切相关。 通过该方程，可以建立这些物理量之间的联系，为波动现象的研究提供方便。
推导亥姆霍兹方程的目的
揭示波动现象的本质
通过推导亥姆霍兹方程，可以深入了解波动现象的本质和规律，掌握波动场的基 本性质和传播特点。
为实际应用提供理论支持
亥姆霍兹方程的解的性质
解的存在性和唯一性
在一定的边界条件和初始条件下，亥姆霍兹方程存在唯一 解。解的存在性和唯一性可以通过数学方法如分离变量法、 格林函数法等来证明。
解的振荡性质
亥姆霍兹方程的解具有振荡性质，即解在空间中呈现周期 性的变化。这种振荡性质与波的传播和干涉现象密切相关。
解的衰减性质
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解会随着距离的增加而逐 渐衰减。这种衰减性质与波的扩散和衰减现象有关。
将亥姆霍兹方程转化为等价的变分问题，即 求泛函的极值问题。
网格剖分
将求解区域剖分为有限个单元，每个单元内的 解用形函数近似表示。
单元分析
对每个单元进行分析，建立单元刚度矩阵和荷载 向量。
总体合成
将所有单元的刚度矩阵和荷载向量按照一定规则合 成总体刚度矩阵和荷载向量。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对总体刚度矩阵和荷载向 量进行修正。
进而研究热传导的规律。
05
数值方法求解亥姆霍兹方程
有限差分法
差分格式
将亥姆霍兹方程中的微分项用差分格式近似，从 而将偏微分方程转化为代数方程。
网格划分
在求解区域上划分网格，将连续的空间离散化， 便于计算机处理。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对差分方程进行修正，以 保证解的正确性。
(完整版)麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。
综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。
这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。
因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。
变化电磁场的规律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。
《电动力学》知识点归纳及典型例题分析(学生版)
《电动力学》知识点归纳及典型例题分析一、知识点归纳知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇+∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;;B D J t D H t B Eρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==Jρ）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;0;B D t D H t B E（齐次的麦克斯韦方程组）知识点2：位移电流及与传导电流的区别。
答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=⋅∇J在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。
一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有.0≠∂∂-=⋅∇t J ρ现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=⨯∇ 取两边散度，由于0≡⨯∇⋅∇B ，因此上式只有当0=⋅∇J 时才能成立。
在非恒定情形下，一般有0≠⋅∇J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。
由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。
把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+⋅∇D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=⨯∇0μ。
此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。
由电荷守恒定律.0=∂∂+⋅∇tJ ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=⋅∇E 两式合起来得：.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式.0tEJ D ∂∂=ε 位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。
它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。
而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。
知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。
麦克斯韦方程组和电磁波方程微分形式的推导
麦克斯韦方程组和电磁波方程微分形式的推导
麦克斯韦方程组和电磁波方程是物理学中最重要的方程组之一，它们描述了电
磁场的变化。
它们的推导可以追溯到1865年，当时由詹姆斯·麦克斯韦提出的电
磁学理论。
首先，我们从麦克斯韦方程组开始。
它由四个方程组成，分别是：
∇·E=ρ/ε
∇·B=0
∇×E=-∂B/∂t
∇×B=με∂E/∂t+μJ
其中，E和B分别表示电场和磁场，ρ表示电荷密度，ε表示真空介电常数，μ表示真空磁导率，J表示电流密度。
这四个方程可以用牛顿第二定律来推导，即：
F=ma
其中，F表示电磁力，m表示电荷，a表示加速度。
由此可以得出：
∇·E=ρ/ε
∇·B=0
∇×E=-∂B/∂t
∇×B=με∂E/∂t+μJ
接下来，我们来看看电磁波方程的微分形式。
它可以由以下方程推导出来：
∇·E=ρ/ε
∇·B=0
∇×E=-∂B/∂t
∇×B=με∂E/∂t+μJ
将上述方程分别对E和B求偏导，可以得到：
∂E/∂t=-c∇×B
∂B/∂t=c∇×E
其中，c表示光速。
将上述两个方程组合在一起，可以得到电磁波方程的微分形式：
∇×(1/c∇×E)=∇·(1/c∇×B)
这就是麦克斯韦方程组和电磁波方程微分形式的推导过程。
它们是物理学中最重要的方程组之一，用于描述电磁场的变化。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。
综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。
这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。
因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。
变化电磁场的规律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。
麦克斯韦方程组微分形式推导
麦克斯韦方程组微分形式推导
麦克斯韦方程组是描述电磁波传播和电荷粒子运动的重要方程组，包括四个方程：电场高斯定律、磁场高斯定律、安培环路定理以及法拉第电磁感应定律。
这里给出麦克斯韦方程组的微分形式推导。
首先，根据高斯定律，可以得到电场和磁场的散度形式：
$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$。
$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$。
其中，$\rho$是电荷密度，$\varepsilon_0$是真空介电常数。
接着，根据安培环路定理和法拉第电磁感应定律，可以得到电场和磁场的旋度形式：
$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial
\mathbf{B}}{\partial t}$。
$\nabla \times
\mathbf{B}=\mu_0\left(\mathbf{J}+\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$。
其中，$\mathbf{J}$是电流密度，$\mu_0$是真空磁导率。
以上四个方程就是麦克斯韦方程组的微分形式。
这些方程提供了描述电磁现象的基本工具，可以用来分析、计算电磁场的性质和变化规律。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。
综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。
这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。
因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。
变化电磁场的规律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的根本纪律,可总结归纳成以下四条根本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤登时给出了静电场和稳恒磁场的纪律,对变更电场和变更磁场其实不实用.麦克斯韦在稳恒场理论的基本上,提出了涡旋电场和位移电流的概念：1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念,揭示出变更的磁场可以在空间激发电场,并经由过程法拉第电磁感应定律得出了二者的关系,即上式标明,任何随时光而变更的磁场,都是和涡旋电场接洽在一路的.2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念,揭示出变更的电场可以在空间激发磁场,并经由过程全电流概念的引入,得到了一般情势下的安培环路定理在真空或介质中的暗示情势,即上式标明,任何随时光而变更的电场,都是和磁场接洽在一路的.分解上述两点可知,变更的电场和变更的磁场彼此不是孤立的,它们永久亲密地接洽在一路,互相激发,构成一个同一的电磁场的整体.这就是麦克斯韦电磁场理论的根本概念.在麦克斯韦电磁场理论中,自由电荷可激发电场,变更磁场也可激发电场,则在一般情形下,空间任一点的电场强度应当暗示为又因为,稳恒电流可激发磁场,变更电场也可激发磁场,则一般情形下,空间任一点的磁感强度应当暗示为是以,在一般情形下,电磁场的根本纪律中,应当既包含稳恒电.磁场的纪律,如方程组（1）,也包含变更电磁场的纪律,依据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念,变更的磁场可以在空间激发变更的涡旋电场,而变更的电场也可以在空间激发变更的涡旋磁场.是以,电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独消失.变更电磁场的纪律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间,由变更磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线.经由过程场中任何关闭曲面的电位移通量等于零,故有：2.电场的环路定来由本节公式（2）已知,涡旋电场长短保守场,知足的环路定理是3.磁场的高斯定理变更的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场雷同,都是涡旋状的场,磁感线是闭合线.是以,磁场的高斯定理仍实用,即4.磁场的安培环路定来由本节公式（3）已知,变更的电场和它所激发的磁场知足的环路定理为在变更电磁场的上述纪律中,电场和磁场成为不成朋分的一个整体.将两种电.磁场的纪律归并在一路,就得到电磁场的根本纪律,称之为麦克斯韦方程组,暗示如下上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分情势.将麦克斯韦方程组的积分情势用高级数学中的办法可变换为微分情势.微分情势的方程组如下上面四个方程可一一解释如下：在电磁场中任一点处（1）电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度;（2）电场强度的旋度等于该点处磁感强度变更率的负值;（3）磁场强度的旋度等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和;（4）磁感强度的散度处处等于零.麦克斯韦方程是宏不雅电磁场理论的根本方程,在具体运用这些方程时,还要斟酌到介质特征对电磁场的影响,即,以及欧姆定律的微分情势.方程组的微分情势,平日称为麦克斯韦方程.在麦克斯韦方程组中,电场和磁场已经成为一个不成朋分的整体.该方程组体系而完全地归纳分解了电磁场的根本纪律,并预言了电磁波的消失.。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组之杨若古兰创作关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变更电场和变更磁场其实不适用.麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变更的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式标明，任何随时间而变更的磁场，都是和涡旋电场联系在一路的.2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变更的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了普通方式下的安培环路定理在真空或介质中的暗示方式，即上式标明，任何随时间而变更的电场，都是和磁场联系在一路的. 综合上述两点可知，变更的电场和变更的磁场彼此不是孤立的，它们永久密切地联系在一路，彼此激发，构成一个统一的电磁场的全体.这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念.在麦克斯韦电磁场理论中，自在电荷可激发电场，变更磁场也可激发电场，则在普通情况下，空间任一点的电场强度应当暗示为又因为，稳恒电流可激发磁场，变更电场也可激发磁场，则普通情况下，空间任一点的磁感强度应当暗示为是以，在普通情况下，电磁场的基本规律中，应当既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变更电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变更的磁场可以在空间激发变更的涡旋电场，而变更的电场也能够在空间激发变更的涡旋磁场.是以，电磁场可以在没有自在电荷和传导电流的空间单独存在.变更电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自在电荷的空间，由变更磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线.通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非守旧场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变更的电场发生的磁场和传导电流发生的磁场不异，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线.是以，磁场的高斯定理仍适用，即4.磁场的安培环路定理由本节公式（3）已知，变更的电场和它所激发的磁场满足的环路定理为在变更电磁场的上述规律中，电场和磁场成为不成分割的一个全体.将两种电、磁场的规律合并在一路，就得到电磁场的基本规律，称之为麦克斯韦方程组，暗示如下上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分方式.将麦克斯韦方程组的积分方式用高等数学中的方法可变换为微分方式.微分方式的方程组如下上面四个方程可一一说明如下：在电磁场中任一点处（1）电位移的散度等于该点处自在电荷的体密度；（2）电场强度的旋度等于该点处磁感强度变更率的负值；（3）磁场强度的旋度等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和；（4）磁感强度的散度处处等于零. 麦克斯韦方程是宏观电磁场理论的基本方程，在具体利用这些方程时，还要考虑到介质特性对电磁场的影响，即，和欧姆定律的微分方式.方程组的微分方式，通常称为麦克斯韦方程.在麦克斯韦方程组中，电场和磁场曾经成为一个不成分割的全体.该方程组零碎而完好地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在.。
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麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程
麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程，它描述了电场和磁场的相互作用。
在电磁波方程的推导过程中，亥姆霍兹方程是一个重要的中间步骤。
在本文中，我们将推导麦克斯韦方程组，然后展示如何通过亥姆霍兹方程推导出电磁波方程。
一、麦克斯韦方程组的推导
1.高斯定理
第一个麦克斯韦方程是高斯定理，它描述了电场和电荷密度的关系。
根据高斯定理，一个封闭曲面上的电通量等于该曲面内的电荷总量的四倍πε0 (其中ε0是真空介电常数)。
∮ E·ds = 4πε0 Q
这个方程表明了电场的源是带电粒子。
如果一个闭合曲面内没有电荷，电场通量将为零。
2.法拉第电磁感应定律
第二个麦克斯韦方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场和电场的相互作用。
根据法拉第电磁感应定律，磁通量变化速率与产生感应电动势的电场强度成正比。
ε = -dΦm/dt
这个方程表明了磁场的变化会产生电场。
电场和磁场是紧密相连的。
3.安培环路定理和位移电流定律
第三个和第四个麦克斯韦方程分别是安培环路定理和位移电流定律。
安培环路定理描述了磁场和电流的相互作用，而位移电流定律描述了电场和时间变化的磁场之间的关系。
根据安培环路定理，通过一个封闭回路的磁通量之和等于该回路内的电流总和。
∮ B·ds = μ0 I
其中μ0是真空磁导率。
根据位移电流定律，电场的旋转率等于时间变化的磁场的散度的负值。
rot E = - dB/dt
二、亥姆霍兹方程的推导
亥姆霍兹方程是电磁波方程的一个重要的中间步骤。
它可以通过麦克斯韦方程和一些向量运算得到。
我们首先从安培环路定律开始:
∮ B·ds = μ0 I
由斯托克斯定理得：
∮ B·ds = ∬(rot B)·ds
将rot B替换为-μ0ε0(dE/dt)，得到
∮ B·ds = -μ0ε0(d/dt ∫ E·ds)
因此，
d/dt ∫ E·ds + ∮ B·ds = 0
利用高斯定理，
∮ (E·ds) = 4πε0 Q
则
d/dt ∫ E·ds + ∬(rot E)·ds = 0
将rot E替换为- dB/dt得到
d/dt ∫ E·ds - ∬(dB/dt)·ds = 0
简化得到
d^2/dt^2 ∫ E·ds - ∬(d^2B/dt^2)·ds = 0
然后，我们使用向量恒等式
rot(rot A) = grad(div A) - ∇^2 A
其中，grad表示梯度，div表示散度，∇^2表示拉普拉斯算子。
将div E替换为ρ/ε0，得到
rot(rot E) = grad(div E) - ∇^2 E
由于电场没有源，因此div E = 0，可得到
∇^2 E = - μ0ε0(d^2E/dt^2)
这个方程就是亥姆霍兹方程。
三、总结
本文介绍了麦克斯韦方程组的推导和亥姆霍兹方程的推导。
两个方程都是电磁学中的基本方程，可以用于描述电和磁的相互作用和电磁波的传播。
理解这些方程对于电磁学和无线通信等应用有很大的意义。