矩阵可交换的充要条件

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交换矩阵

A
=
1 2
2 3
的可交换矩阵。
解：设矩阵
B
a c
b d
为
A
的可交换矩阵。则有
AB
BA.
AB
=
1 2
2a
3
c
b d
a 2c 2a 3c
b 2d 2b 3d
C
a b 1 2 a 2b 2a 3b
BA
c
d
2
3
c
2d
2c
3d
D
a 2 a 2b
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。（3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C
定理 6： ( A B)2 A2 2AB B2 ；证明：充分性 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又 ( A B)2 A2 2AB B2 ，从而 AB BA 2AB 即 AB BA；必要性：若 AB BA 则 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 2AB B2 ，必要性得证。定理 7： (AB) AB ；证明：充分性由题知 (AB) AB ，又因为 (BA) AB ，

交换矩阵

且 b11 b22 为任意数值，但 a11 b22 ，对 b12 不做要求。
例：
A
3 0
5 3
，则可与
A
交换的矩阵为
B
5 0
6 5
。
则
AB
BA
15
0
43
15
。
（3）对于三阶上三角矩阵，如果其主对角线的元素相同，则与之可交换的矩阵同样为上三角矩阵，主对角线的值也一样。
a11 a12 a13
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。（3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C
○1
○ 再在 1 式两边同时右乘 A1 ，则出现 BA1 A1BAA1 A1B
所以 A1与B 可交换。该性质得证。
四、可交换矩阵的性质
上面我们了解到了一些可交换矩阵的判定方法和一些性质。掌握了这些，下面给出可交换矩阵的求法。（1）先介绍最基础最简单的基础求法。根据可交换矩阵的定义求。
例
1：求矩阵
所以成立 ( AB)1 A1B1 。
定理 9： ( AB)* A*B* 证明：充分性因为 ( AB)* B* A* ，又由题可知 ( AB)* A*B* ，

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题基础课程教学资料第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。

若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为：A =??n a a a 00000021,任何对角矩阵B 设为n b b b0000021，则AB=??n n b a b a b a000002211，而BA =??n n a b a b a b000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。

再证充分性，设 A =??nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211，与B 可交换，则由AB=BA ，得：nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222111122111=nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212222221211121111，比较对应元素，得0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。

又j i a a ≠，)(j i ≠，所以0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。

2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T均为对称矩阵. 证明：(TAA )T =(A T )T A T =AA T，所以，TAA 为对称矩阵。

(A A T)T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。

3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设A =??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。

由于O A =2，故A 2=AA T =nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nn nnn n a a a a a a a a a 212221212111=0。

矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。

矩阵可交换成立的条件与性质

长春师范学院本科生毕业论文矩阵可交换成立的条件与性质系（部）：数学系专业：数学与应用数学学号：0707140305学生姓名：史丹指导教师：魏丽莉职称：副教授2010年12月摘要摘要：矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义。

众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠BA。

但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律。

可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。

本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵。

关键词：矩阵；可交换；条件；性质；上3角矩阵TheConditionsForTheCommutationofMatrixandsomeproper tiesofTheCommutativeMatrixAbstract：Matrix, a important content inaltitude-mathematics, has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, AB≠BA . Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effection. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and part of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.Key Words：Matrix;interchangeable;conditions;property;upper triangular matrix目录前言 (1)1.矩阵可交换成立的条件 (2)2.可交换矩阵的性质 (6)3.几类常用的可交换矩阵 (8)4.可交换矩阵的应用 10 总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)前言矩阵的乘法不适合交换律是指一般情形而说的,但是对于个别矩阵,它满足一定的条件,即它是可交换的。

(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称：指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。

但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中指导教师：内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB BA.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an importantcontent inaltitude-mathematics,it has agreattheoretic significanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefields.Asfaraswehaveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunderthenormal condition,thatis tosay,normally, AB BA.Whereas, insomecertainconditions, the multiplication of matrix couldsatisfy the exchange rule. Theexchangeable matrixhasmanyspecial properties and important effections. This paperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyof theexchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeablematrix.All of thesearediscussed from the conceptof exchangeable matrix and relativeinformation.KeyWords：matrix interchangeable conditions property upper triangularmatrix目录引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 一可交换矩阵及相关定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1(一)矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1(二)可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 二可交换矩阵成立的条件与性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3(一)可交换矩阵成立的条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3(二)相关结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5(三)可交换矩阵的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 三几类常用的可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 四可交换矩阵的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 五总结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10可交换矩阵成立的条件与性质引言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵1、矩阵的定义由m n个数a ij i1,2,,m,j1,2, ,n 排成的m行n列的数表a11 a12a1na21 a22 a2nA1a n1 a n2a nn称为m行n列矩阵，简称m n矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为A a ij或A mn．这里的a ij表示位于A的第i行第j列的元素.m n称为矩阵的阶数.矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O.两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算1加减法设Aa ij mn,Bbij mn为同型矩阵，则A B a ij b ij mn 2这里若设B为B的负矩阵，即 B bij m n，则可以定义减法运算A B a ijb ij mn 32数与矩阵的乘积设A a ijmn,kR为实数，则kA称为矩阵A的数乘，且kAka ijmn 4 即给A的每个元素均乘以数k.3矩阵的乘积设A aijm5,B bij5n，则ABCc ijmn 5 称c为矩阵A与矩阵B的乘积.其中c ij a i1b1j a i2b2j a i5b5j i 1,2, ,m;j 1,2, ,n即C的第i行第j列元素为A的第i行各元素与B的第j列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A的行数与B的列数相等时，A与B才能相乘．4对称矩阵在一个n阶方阵A中，若元素满足如下性质：A ij A ji,0i,jn1 6 则称A为对称矩阵.5反对称矩阵设A是一个n阶方阵，如果A T A 7 则称A为反对称矩阵.㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点： 1. AB 有意义时，BA 不一定有意义.2. AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现 ABBA.因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵A,B 满足：ABBA8则称矩阵A 和B 是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若AB BA 成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设fxa m x ma m1x m1a 1x 1a 09 系数a 0,a 1, ,a m 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记faaA mam1 A m1aAa Em1 0容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵 A *是可交换的，且二者的乘积为 AIn;对于任何方阵A ，fx a A PaA P1a p I 与gAbA qb A q1 bI 可交换. 011 q (一)可交换矩阵成立的条件定理1[1]设n 阶方阵A,B 满足条件A BAB.则A,B 可交换. 证明由条件A BAB,diage 1,e nI ，变形可得I AIBAB(AI)B(IA)(AI)(B I)即(A I)(B I) I ，所以A I 为可逆矩阵，其逆矩阵为 BI ，有(AI)(BI) (BI)(AI)I即ABABI BABAI ，从而可得AB BA.定理2[3]设A,B 均为对称矩阵，则A,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵. 证明设A,B 均为对称矩阵，由于AB BA ，故AB TB T A TBAAB 所以AB 是对称的.推论设A为n阶对称矩阵，则A,A T都可交换.定理3[3]设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.证明设A T A，B T B,由于AB BA,所以AB T B T A T BA AB 10所以AB为反对称矩阵.反之，若AB为反对称矩阵,则AB AB T B T A T BA11 从而ABBA.定理4[3]设A,B均为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．证明因A,B均为反对称矩阵，故有A T A，B T B，又因为A,B可交换，故有ABBA成立.从而AB T B T A T B A AB BA 12 反之，若AB为对称矩阵，则AB AB T B T A T B A BA AB 13 所以A,B是可交换矩阵.定理５[3]若A,B为同阶可逆矩阵，则A,B可交换的充要条件是A1,B 1可交换.证明因AB BA,故有AB1BA1B1A1A1B 114 即A1与B1是可交换的.反之，因A 1，B1可交换，故有BA1A1B1B1A1AB 115 两边求逆得到ABBA.推论可逆矩阵A,B可交换的充要条件是AB1B1A1.定理6[3]若A,B为n阶方阵，则AB可交换的条件是AB T A T B T证明如果ABBA，那么AB T BA T A T B T精品文档精品文档定理7[5]矩阵A能与一切n阶矩阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵.证明若A与一切n阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A必为一对角线矩阵.设d1d2A ..d n取矩阵1 1 . . 10 0 . . 0B . . . . 0. . . . .0 0 . . 0代入条件AB BA,得d1d2d n，所以A是一个数量矩阵.反之，设A aI,B为任意n阶矩阵，则AB aIB aB Ba BIa BIa BA 16引理1(1)A0时（即A为零矩阵时），与A可交换得矩阵B可以是任意的与A同价的B矩阵.(2)A的幂矩阵总是与A可交换.定理8[7]与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n1次的多项式矩阵.定理9[7]一个矩阵A化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A可交换的矩阵其充要条件为B可化为A的n1次多项式.定理10[7]下列均是A,B可交换的充要条件:(1)A B ABABABAB(2)AB'A'B'定理11[5]可逆矩阵A,B可交换的充要条件是：ABAB．定理12[7](1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．(2)设A,B有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.(二)相关结论定理13[7]设A,B是可交换矩阵，则以下结论成立：(1)A2B2 A B A B A B A B(2)AB(3)AB 2A 2 2AB B22A 2 2AB B2精品文档(4) AB K B K A K,AB m B m A，其中k,m分别为正整数A mB m ABA m1A m2B B m1B m m(5) A C m k A mk B kk0证明(1) 因为A B A B A2AB BA B2A B A B A2AB BA B2由已知AB BA，可得A2B2ABAB ABAB(2) A B2ABA B A2ABBAB2由已知AB BA，可得A B2A22AB B2同理可得：A B2A22AB B2(3)由已知ABBA,可得AB k ABAB AB AABB AB AA AB B A k B k,AB m ABB B BAB B BB BA B m A(4)运用数学归纳法①当m 2时，由（1）等式成立，即A2B2 A B A B②假设m k 1时，等式成立，即有A k1B k1AB A k2 A k3BB k2③当m k时，由已知AB BA，有A kB k A k1B k1ABA k1B B k1AABA k2A k3B B k2ABA k2BB k1AA k A k1B A2B k2 B2A k2 B3A k3 B3A k1BB k1A由性质有B k1AAB k1，A k1BBA k1因此，上式可转化为：A kB k A k A k1B A2B k2 B2A k2 B k A k1BB k1AA k A k1B A2B k2 AB k1BA k1-B2A k2 B3A k3 B k 精品文档ABA k1A k2B B k1A k1ABA k2BAB B k1AB即证得A mB m A BA m1A m2B B m1同理可证得A mB m A m1A m2B B m1 A B(5)对m用数学归纳法同（4）即可得证.(三)可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.[2]性质1 设A,B可交换,则有:(1)ABBA,BAAB,其中m,k都是正整数(2)AfBfBA,其中fB是B的多项式,即A与B的多项式可交换(3) A BA BAAB？B AAB?BABB m m(4) A C m k A m1B kk0性质2[4](矩阵二项式定理) 设A,B可交换,则有：(1)若A,B均为对合矩阵,则AB也为对合矩阵(2)若A,B均为幂等矩阵,则AB,A B AB也为幂等矩阵(3)若A,B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵(4)若A,B均为幂零矩阵,则AB,A B均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n阶实方阵，定理14[7]（1）设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换(2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换(3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换(4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换(5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换精品文档(6)设A*是A的伴随矩阵,则A*与A可交换(7)设A可逆,则A与A可交换(8) 设AB E,则A,B可交换.定理15[7](1) 设AB AB,其中, 为非零实数,则A,B可交换(2) 设Am ABE,其中m为正整数, 为非零实数,则A,B可交换.定理16[7](1) 设A可逆,若ABO或A AB或A BA,则A,B可交换(2) 设A,B均可逆,若对任意实数ｋ,均有AA kEB,则A,B可交换.四、可交换矩阵的应用例1设A与所有的n阶矩阵均可交换，证明A一定是数量矩阵.证明记a ijnn，用E ij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的n n矩阵.因A与任何矩阵均可交换，因此必与E ij可交换.由AE ij E ij A,得a ii a jj i,j 1,2, ,n及a ij0i j,i,j 1,2, ,n.故A是数量矩阵.例2与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？解不妨设B为可逆矩阵，由于AB BA，所以对于任意可逆阵B都有B 1AB A即A的任意线性变换仍是A自己，这样的矩阵只能是KI．例3 如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换，则A一定是数量矩阵，即 A aE．证明记A ij用E ij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A与任何矩阵均可交换，所以必与E可交换.由AE ij E ij A得a ji a ij（i j 1,2,3, n 及a ij0i不等于j）故A是数量矩阵．例4若矩阵A1,A2都与B可交换，则KA1 LA2,A1A2也都与B可交换.解由已知A1B BA1，A2B BA2，那么KA1LA2B KA1B LA2B BKA1 BLA2 BKA1 LA2A1A2B A1A2B A1BA2A1BA2BA1A2．精品文档例 5 A与B可交换（即AB BA)的充分必要条件是AB为对称矩阵（即AB T AB）．解题目根本就是错的，A取单位阵，B取任意非对称阵，那么AB非对称但ABBA．一定要加一个条件A和B本身都是对称阵才有结论.若ABBA，则AB T BA T A T B T AB.反之，若AB T AB，则AB B T A T BA．例6设A,B为乘积可交换的n阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n阶可逆矩阵P,使得都为对角矩阵.证明在V中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为A,B,且A,B 与对角形相似.例7所有与A可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如A B2A22AB B2A和B可交换.A B AB A2B2A和B可交换.A和B 可交换(不是!)有二项公式.例8(1)设矩阵A diaga1,a2, ,a n为对角矩阵，其中ij 时，a i a j i,j1,2, ,n,则A,B可交换的充要条件是B为对角矩阵.若A,B均为对角矩阵则，A,B可交换．若B与A diaga1,a2,,a n可交换，i不等于j 时，a i a j，（i,j 1,2,n），证明设Bb ijnn,AB C ij nn,BA d ij n n，因为A为对角矩阵，故c ij a i b ij,d ij a j b ij i,j 1,2,,n由AB BA,即c ij d ij i,j 1,2,,n得a i a jb ij 0而i j时，a i a j0i,j 1,2, ,n,精品文档故b ij0i j,i,j 1,2, ,n所以B为对角矩阵．五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．参考文献[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.[2]. 戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)[4].戴笠辉、颜七笙，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)[5].李瑞娟、张厚超，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C的显式解及其应用》，2002致谢本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨精品文档向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表!课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.精品文档。

矩阵可交换的条件

矩阵可交换的条件矩阵可交换的条件_________________________矩阵交换，是指将一个矩阵的行和另一个矩阵的行互换，使两个矩阵的行数、列数、元素值都相同，其中一个矩阵的行和另一个矩阵的行互换。

矩阵可交换的条件，也就是一个矩阵可以和另一个矩阵交换的条件，主要有以下几点：##### 一、行数相同要想进行矩阵交换，首先，行数必须相同，即A矩阵和B矩阵的行数必须相同，否则不可以进行交换。

##### 二、列数相同其次，列数也必须相同，即A矩阵和B矩阵的列数必须相同，否则不可以进行交换。

##### 三、元素值相同再者，元素值也必须相同，即A矩阵和B矩阵的元素值必须相同，否则不可以进行交换。

##### 四、行有序性最后，行有序性必须保持一致，即A矩阵和B矩阵的行有序性必须保持一致，否则不可以进行交换。

以上是矩阵可交换的条件。

这里要注意的是，进行矩阵交换时，不仅仅要求行数、列数、元素值都要相同，而且还要求行有序性也要相同。

只有当A矩阵和B矩阵的行数、列数、元素值、行有序性都相同时，才能进行矩阵交换。

此外，在实际应用中，我们也可以将多个矩阵进行交换：将三个或三个以上的矩阵进行交换（即将三个或三个以上的矩阵的行和列进行交换）。

要想实现多个矩阵的交换，就必须要求多个矩阵的行数、列数、元素值都是一致的（即必须保证多个矩阵的大小是一致的）；而且多个矩阵的行有序性也是一致的。

只有当多个矩阵的大小、元素值、行有序性都是一致的时，才能实现多个矩阵的交换。

总之，要想实现多个矩阵之间的交换（即将多个矩阵的行和列进行交换），就必须要求多个矩阵的大小、元素值、行有序性都是一致的。

只有当多个矩阵满足上述条件时，才能实现多个矩阵之间的交换。

(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称:指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正,能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范.但对参考书目及参考文献的依赖性太大,应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中指导教师:内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容,在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义。

众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的,即在通常情况下，BAAB≠。

但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。

本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude—mathematics，it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields。

As far as we have concerned， the multiplication of matrix could not satisfy the exchange ruleAB≠. Whereas, in some certain under the normal condition, that is to say, normally，BAconditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections。

可交换矩阵浅析

= a22 ， b11 = b22 ，所以 AB = BA 。
′ −1 −1 A′B′ = ⎡( A − kE ) B ⎤′ ⎡( A − kE ) A⎤ = B′ ( A − kE )′ A′ [ ( A − kE )′] = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 −1 B′( A2 − kA)′ [ ( A − kE )′] = B′ [ ( A − kE ) A]′ [ ( A − kE )′] = B′A′ = ( AB)′ 。
[3]
ai ≠ a j (i ≠ j ) ，
B = ( bij ) n×n (i, j = 1, 2,L , n) ，因 AB = BA ，得到元素 ai ·bij = bij ·a j = a j ·bij ， ai - a j ) bij = 0， ai ≠ a j ， ( 因
199
2009 年
αβ
( A − β E )( B − α E ) = E ，故依定理 2.1 ⑥ 得： 1 ( B − α E )
αβ
性质 4.2 与主对角线上的元素互不相等的 n 阶对角阵 A 可交换
( A − β E ) = E ，于是 BA − α A − β B + αβ E = αβ E ，故 BA = α A +
两边取转置得 AB = BA 。或由 A−1 B −1 = ⎡( A − kE ) B ⎤ ⎣ ⎦
−1
−1
−1
⎡( A − kE )−1 A⎤ = B −1 ( A − kE )−1 A−1 ( A − kE ) = B ( A − kA) ⎣ ⎦
−1
2
aij ) n×n 中元素满足 aij =0， ≠ j ， i
定义 1.3 在 n 阶对角阵 A 中， a11 若

矩阵可交换的条件及其性质

中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。

可交换矩阵

(1) A - B = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A
+ B)
(2) ( A ±B) 2 = A 2 ±2 AB + B2 ;
(3) ( AB)′= A′B′;
(4) ( AB)= AB
定理5
可逆矩阵 A , B 可交换的充要条件是：
(AB) = A ·B .
定理6
零矩阵.
(1) 设 A , B 均为(反) 对称矩阵, 则 A , B 可交换的充要条件是 AB 为对称矩阵; (2) 设 A , B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则 A , B 可交换的充要条件是 AB 为反对称矩阵.
编辑本段可交换矩阵的一些性质
性质1
设 A , B 可交换,则有:
(1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中 m , k 都是正整数;
可交换矩阵
目录
矩阵可交换的几个充分条件和必要条件定理1 定理2 定理3 定理4 定理5 定理6
可交换矩阵的一些性质性质1 性阵,即矩阵 A，B 满足：A·B=B·A。
高
等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指 n 阶实方阵.。
编辑本段矩阵可交换的几个充分条件和必要条件
定理1
下面是可交换矩阵的充分条件：
(1) 设 A , B 至少有一个为零矩阵,则 A , B
可交换;
(2) 设 A , B 至少有一个为单位矩阵, 则 A , B 可交换;
(3) 设 A , B
至少有一个为数量矩阵, 则 A , B 可交换;
(4) 设 A , B 均为对角矩阵,则 A , B 可
(2) 设 A m +αAB

矩阵可交换的条件及其性质

两矩阵合同充要条件

两矩阵合同充要条件
在线性代数中，矩阵合同是一种重要的概念，它描述了两个矩阵之间的相似性。

如果两个矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P，使得A = P^TBP，那么我们称矩阵A和B是合同的。

合同关系在矩阵理论和应用中具有广泛的重要性，因此研究矩
阵合同的性质和条件是非常有意义的。

首先，我们来讨论两个矩阵合同的充分条件。

如果矩阵A和B是合同的，那
么它们具有相同的秩。

这是因为合同矩阵之间存在一个可逆矩阵P，它可以将一个
矩阵映射为另一个矩阵，而不改变其秩。

因此，如果A和B是合同的，它们的秩
必然相同。

另外，合同矩阵具有相同的特征值。

这是因为如果A和B是合同的，它们之
间存在一个可逆矩阵P，使得A = P^TBP。

而特征值是矩阵的一个固有性质，它不
受矩阵相似变换的影响。

因此，合同矩阵具有相同的特征值。

接下来，我们来讨论两个矩阵合同的必要条件。

如果矩阵A和B具有相同的
秩和相同的特征值，那么它们是合同的。

这是因为如果A和B具有相同的秩，它
们之间存在一个可逆矩阵P，可以将一个矩阵映射为另一个矩阵。

而如果A和B
具有相同的特征值，那么它们可以被对角化为对角矩阵，而对角矩阵之间存在一个可逆矩阵P，使得A = P^TBP。

总之，两个矩阵合同的充要条件是它们具有相同的秩和相同的特征值。

矩阵合
同是矩阵之间相似性的一种重要描述，它在线性代数理论和实际应用中具有广泛的重要性。

因此，研究矩阵合同的性质和条件对于深入理解矩阵理论和应用具有重要意义。

一类上三角形矩阵可交换的充要条件

一类上三角形矩阵可交换的充要条件
高丽
【期刊名称】《滨州师专学报》
【年(卷),期】2000(016)004
【摘要】经了一类上三角形矩阵可交换的充要条件，并由此得到了求其逆矩阵的一种简便方法，且证明了该类矩阵不可对角化。

【总页数】3页(P31-33)
【作者】高丽
【作者单位】滨州师范专科学校，山东滨州256604
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.MIMO连续系统中可交换矩阵的充要条件 [J], 郭树理;段志生;黄琳
2.矩阵可交换的充要条件 [J], 金辉
3.矩阵可交换的充要条件 [J], 尹克瑞
4.论矩阵可交换的充要条件 [J], 钱微微;蔡耀志
5.整数环上一类三阶矩阵方程有解的充要条件 [J], 黎洪键
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可交换矩阵的几个充要条件及其性质

可交换矩阵的几个充要条件及其性质在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB 有意义时,矩阵BA 未必有意义,即使AB ,BA 都有意义时它们也不一定相等.但是当A ,B 满足一定条件是,就有BA AB =,此时也称A 与B 是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n 阶实方阵.§1矩阵可交换成立的几个充分条件定理1.1(1)设A ,B 至少有一个为零矩阵,则A ,B 可交换;(2)设A ,B 至少有一个为单位矩阵,则A ,B 可交换;(3)设A ,B 至少有一个为数量矩阵,则A ,B 可交换;(4)设A ,B 均为对角矩阵,则A ,B 可交换;(5)设A ,B 均为准对角矩阵,则A ,B 可交换;(6)设*A 是A 的伴随矩阵,则A 与*A 可交换;(7)设A 可逆,则A 与1-A 可交换;(8)设E AB =,则A ,B 可交换.证(1)对任意矩阵A ,均有OA AO =,O 表示零距阵,所以A ,B 至少有一个为零矩阵时,A ,B 可交换;(2)对任意矩阵A ,均有EA AE =,E 表示单位矩阵，所以A ,B 至少有一个为单位矩阵时,A ,B 可交换;(3)对任意矩阵A ,均有A kE kE A )()(=,k 为任意实数,则)(kE 为数量矩阵,所以A ,B 至少有一个为数量矩阵时,A ,B 可交换;(4),(5)显然成立; (6)A A E A AA **==,所以矩阵A 与其伴随矩阵可交换;(7)A A E AA 11--==,所以矩阵A 与其逆矩阵可交换;(8)当E AB =时,A ,B 均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A ,B 可交换. 定理1.2(1)设B A AB βα+=,其中α,β为非零实数,则A ,B 可交换,(2)设E AB A m =+α,其中m 为正整数,α为非零实数,则A ,B 可交换. 证(1)由B A AB βα+=可得E E B E A αβαβ=--))((,即E E B E A =--))((1αβαβ,故依定理1.1(8)得E E A E B =--))((1βααβ,于是E E B A BA αβαββα=+--,所以AB B A BA =+=βα;(2)由E AB A m =+α得E B A A m =+-)(1α,故依定理1.1(8)得E A B A m =+-)(1α,于是E BA A m =+α,所以可得BA AB =.定理1.3(1)设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则A ,B 可交换;(2)设A ,B 均可逆,若对任意实数k ,均有B kE A A )(-=,则A ,B 可交换. 证(1)若O AB =,由A 可逆得O AB A B A A B ===--)()(11,从而O BA =,故BA AB =; 若AB A =,同理可得E AB A B A A B ===--)()(11,故BA AB =;若BA A =,则E A BA AA B B ===--11)()(,故BA AB =.(2)因A ,B 均可逆,故由B kE A A )(-=得kE A -可逆,且A kE A B 1)(--=,则两边取转置可得BA AB =.或由两边取逆可得BA AB =.§2矩阵可交换成立的几个充要条件定理2.1下列均是A ,B 可交换的充要条件:(1)***)(B A AB =;(2)''')(B A AB =;(3)))(())((22B A B A B A B A B A +-=-+=-;(4)2222)(B AB A B A +±=±.证(1))⇐因为***)(B A AB =,两边同时取伴随矩阵可得BA AB =; )⇒因为BA AB =,两边同时取伴随矩阵可得***)(B A AB =;(2))⇐因为''')(B A AB =,两边取转置可得BA AB =;)⇒因为BA AB =,两边取转置可得''')(B A AB =;(3))⇐因为22))((B BA AB A B A B A -+-=-+,))((22B A B A B A -+=-, 所以BA AB =;同理由22))((B BA AB A B A B A --+=+-,可证BA AB =,)⇒因为BA AB =,且22))((B BA AB A B A B A -+-=-+,所以))((22B A B A B A -+=-;同理由22))((B BA AB A B A B A --+=+-,可证))((22B A B A B A -+=-;(4))⇐因为222)(B BA AB A B A -±±=±,又由条件知2222)(B AB A B A +±=±,所以BA AB =;)⇒因为BA AB =,222)(B BA AB A B A -±±=±,所以2222)(B AB A B A +±=±; 定理2.2可逆矩阵A ,B 可交换的充要条件是111)(---=B A AB . 证)⇐因为111)(---=B A AB ,两边取逆可得BA AB =;)⇒因为BA AB =,两边取逆可得111)(---=B A AB ;定理2.3(1)设A ,B 均为(反)对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵;(2)设A ,B 有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.证(1)设A ,B 均为对称矩阵,由定理2.1(2)AB B A AB ==''')(,因此AB 为对称矩阵;若A ,B 均为反对称矩阵,则AB B A B A AB =--==))(()(''',因此AB 也为对称矩阵.(2)若A ,B 中有一个为对称矩阵,不妨设A 为对称矩阵,则B 为反对称矩阵,则,)()('''AB B A B A AB -=-==因此AB 为反对称矩阵.定理2.4设A ,B 均为对称正定矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称正定矩阵.证充分性由定理2.3(1)可得,下面证明必要性.因A ,B 为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P ,Q ,使'PP A =,'QQ B =,于是''QQ PP AB =,'''1))((Q P Q P ABP P =-所以ABP P 1-为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而AB 与ABP P 1-相似,从而AB 的特征值也全为正数,因此AB 为对称正定矩阵.§3可交换矩阵的一些性质定义3.1(1)幂等矩阵:若A 为矩阵,且A A =2,则A 幂等矩阵.(2)幂零矩阵:若A 为矩阵,且)(*Z k O A k ∈=,则A 为幂零距阵.(3)幂幺矩阵:若A 为矩阵,且E A k =,E 为单位矩阵,则A 为幂幺矩阵.性质3.1设A ,B 可交换,则有:(1)))(B ()B )((1-m 211-m 21B A B AA B A A B A B A m m m m m m -+⋯++=+⋯++-=-----; (2)∑=-=+nk k k n k nn B A C B A 0)((矩阵二项式定理). (3)A B AB m m =,k k k B A AB =)(,l l BA B A =,其中l k m ,,都是正整数;(4)A B f B Af )()(=,其中)(B f 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换; 证(1)对m 用数学归纳法可证得.当1=m 时,明显成立.假设当k m =时,有下证当1+=k m 时结论也成立.故对一切正整数m ,结论成立.(2)用数学归纳法当1=n 时,B A B A B A +=+=+111)(,结论成立.假设当k n =时,有下面证当1+=k n 时结论也成立.由BA AB =得i j j i A B B A =,于是而i k i k i k C i k i k i k i i k i k k i k i k i k i k C C 11)!1(!)!1()!1(!!)1(!)!1()!1(!)!(!!+-=-++=-++-+=-+-+-=+. 所以11k 1111C )(+++++++⋯++=+k k k k k k k BAB B A C A B A . 故对一切正整数n ,二项式定理成立.（3）由BA AB =可得A B A B BB B B m m )1(=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=-个个个m m m BB BA BB A AB , 同理可证k k k B A AB =)(,l l BA B A =.(4)由(3)可证得.性质3.2设A ,B 可交换,(1)若A ,B 均为幂等矩阵,则AB ,AB B A -+也为幂等矩阵;(2)若A ,B 均为幂零距阵,则AB ,B A +均为幂零距阵;(3)若A ,B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵;证(1)由BA AB =,A A =2,B B =2,AB B A AB ==222)(,及即可证得;(2)设O A k =,O B l =,取},max{l k h =,则O B A AB h h h =)(,即AB 为幂零距阵;令1-+=l k m ,则O B A C B A mk k k m k m m==+∑=-0)(,所以B A +为幂零距阵. (3)由BA AB =,E A k =,E B k =,E E B A AB k k k ===2)(可证得; 性质3.3设A ,B 可交换,若A ,B 分别为n 阶Hermite 正定矩阵和非负定矩阵,则AB 为Hermite 非负定矩阵;证因为AB BA A B AB H H H ===)(,所以AB 是Hermite 矩阵.又因为0>A ,所以存在n 阶可逆Hermite 矩阵C 使2C A =.于是则AB 与BC C H 具有相同的特征值.由0≥B 知0≥BC C H ,故BC C H 的特征值均为非负数,从而AB 的特征值均为非负数.即0≥AB .性质3.4(1)AB 与BA 的特征多项式相等,即)()(λλBA AB f f =,从而AB 与BA 的特征值也相同(包括重数也一致).(2)多项式||AB E +λ与||BA E +λ相等,即||||BA E AB E +=+λλ. 推论3.4.1(1)AB E -与BA E -的特征多项式相等.(2)AB E +与BA E +的特征多项式相等.证因为|)1(||)(|AB E AB E E +-=+-λλ,|)1(||)(|BA E BA E E +-=--λλ,由性质3.4可知|)1(||)1(|BA E AB E +-=+-λλ,所以|)(||)(|BA E E AB E E --=--λλ. 同理可证|)(||)(|BA E E AB E E +-=+-λλ.推论3.4.2(1)A AB -与A BA -的特征多项式相等.(2)A AB +与A BA +的特征多项式相等.证(1)因为)(E B A A AB -=-,A E B A BA )(-=-.根据性质3.4知)(E B A -与A E B )(-的特征多项式相等,故A AB -与A BA -的特征多项式相等. 同理可证A AB +与A BA +的特征多项式相等.性质3.5(1)矩阵AB E +λ与BA E +λ的秩相等)0(≠λ,即秩)(AB E +λ=秩)(BA E +λ.特别地,秩)(AB E +=秩)(BA E +.(2)AB 与BA 的特征矩阵的秩相等)0(≠λ,即秩)(AB E -λ=秩)(BA E -λ.特别地,秩)(AB E -=秩)(BA E -.性质3.6若A ,B 中有一个是可逆的,则AB 与BA 相似.证不妨设A 可逆,由A AB A BA )(1-=知,AB 与BA 相似.性质3.7(1)AB 与BA 同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵.(2)||||BA AB =.(3)AB 与BA 的迹相等,即)()(BA tr AB tr =.性质3.8(1)BA AB -不可能相似于)0(≠k kE .(2)对可逆矩阵A ,不可能有A BA AB =-.证(1)因为0)()()(=-=-BA tr AB tr BA AB tr ,而0(≠=kn kE tr (当0≠k 时),由于相似矩阵的迹相等,所以BA AB -不可能相似于非零矩阵kE .(2)若存在可逆矩阵A ,使A BA AB =-则E BA A B =--1,于是E B BA A -=-1,即B 与E B -相似,从而)()()(B tr n B tr E B tr =-=-这是不可能的.性质3.9(1)设A ,B 同为(反)对称矩阵,则BA AB +是对称矩阵,BA AB -是反对称矩阵.(2)设A ,B 有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则BA AB +是反对称矩阵,BA AB -是对称矩阵.推论3.9.1(1)设A ,B 同为实(反)对称矩阵,则BA AB -的特征值的实部为零.(2)设A ,B 有一为实对称矩阵,另一个为实反对称矩阵,则BA AB +的特征值的实部为零.证(1)由性质3.9(1)知BA AB -是实反对称矩阵.因为实反对称矩阵的特征值只能是零或纯虚数,所以BA AB -的特征值的实部为零.同理可证(2).参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社，2003.[2]戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001.[3]戴立辉等.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质[J].华东地质学院学报.2002:353-355.[4]闫家灏,赵锡英.可交换矩阵[J].兰州工业高等专科学校学报.2002:51-54.[5]李瑞娟,张厚超.可交换矩阵浅析[J].和田师范专科学校学报.2009:199-200.。