江苏省高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面向量真题体验 文

专题二 三角函数与平面向量
真题体验·引领卷
一、填空题
1．(2013·江苏高考)函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 2．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1
7，则tan β的值为________．
3．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．
4．(2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．
5．(2010·江苏高考)在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a
b
＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B
＝________． 6．(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC .若DE →
＝
λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
7．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2
3
π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若
a·b ＝0，则k 的值为________．
8．(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
9．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →
＝2，则AB →·AD →
的值是________．
10．(2014·江苏高考)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 二、解答题
11．(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．
12．(2014·江苏高考)已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α的值；
(2)求cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π6－2α的值．
13．(2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；
(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．
专题二 三角函数与平面向量
真题体验·引领卷
1．π [利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π
2
＝π.]
2．3 [∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝1
7，解得tan β
＝3.]
3．－3 [∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨
⎪⎧2m ＋n ＝9，
m －2n ＝－8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝2，
n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]
4.
62 [因为由图象可知振幅A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4
，
所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入f (x )＝
2sin(2x ＋φ)，解得一个符合的φ＝π3，从而y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，
∴f (0)＝
6
2
.] 5．4 [b a ＋a b ＝6cos C ⇒6ab cos C ＝a 2＋b 2
，6ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2，a 2＋b 2＝3c 22
.
tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ·cos B sin A ＋sin B cos A
sin A sin B
＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝1cos C ·sin 2
C sin A sin B ， 由正弦定理得：上式＝1cos C ·c
2
ab
＝4.]
6.12 [如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23
AC →，
则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12
.]
7.54 [因为e 1，e 2是夹角为2
3
π的两个单位向量，所以 e 1·e 2＝||e 1||e 2cos 〈e 1，e 2〉＝cos
2π3＝－1
2
，又a·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0， 即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝0，解得k ＝54.]
8.π6 [根据题意，将x ＝π3代入可得cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，∴
2π3＋φ＝2k π＋π6或23π＋φ＝2k π＋56π(k ∈Z )．又∵φ∈[0，π)，∴φ＝π
6.]
9．22 [由题图可得，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →
，
BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →.
∴AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫
AD →－34AB →
＝AD →2－12AD →·AB →－316
AB →2
＝2，
故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →
＝22.]
10.
6－2
4
[∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝
a ＋2b
2
，
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝
a 2
＋b 2
－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ＋2b 22
2ab
＝3a 2
＋2b 2
－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，
当且仅当3a 2
＝2b 2
，即a
b
＝
23
时等号成立．
∴cos C 的最小值为
6－2
4
.] 11．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2
－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12
＝7，所以
BC ＝7.
(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC
sin A
，
所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7
＝21
7.
因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2
C ＝
1－37＝27
7
.
因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×
217×277＝437
. 12．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，
所以cos α＝－1－sin 2
α＝－255.
故sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α
＝
22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22
×55＝－10
10. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×
55×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－255＝－4
5， cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝3
5
，
所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
32×35＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45 ＝－4＋3310
.
13．(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2
＋(sin α－sin β)2
＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a ·b ＝0，因此a ⊥b .
(2)解 由已知条件⎩
⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，
sin α＋sin β＝1，
cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π， 又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1， 即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π
6
.
当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π
6.
所以，α，β的值分别为5π6，π
6
.。