概率C1章3%2C4节
概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章 随机向量
概率论与数理统计
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随 机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于
这正是参数为
的 分布的概率密度。
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X
X
Y
Y
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解: (1)串联情况
X
Y
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(2)并联情况
X
Y
感谢聆听 批评指导
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二维正态分布 若(X.,Y)的概率密度为
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4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设 数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
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(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
记作
或记为
.
第一章 概率论的基本概念
第一章 概率论的基本概念一、随机事件其运算1．随机试验、样本点和样本空间(1)随机试验随机试验具有如下特点的试验．1、在相同的条件下，试验可以重复进行．2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不止一个．3、每一次试验出现那一个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间随机试验的每一个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的一个样本点，记为ω．随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等． 随机试验的随机事件可以表示为它的一些样本点组成的集合．在一次试验中，若试验结果是随机事件A 中的一个样本点，则称在一次试验中事件A 发生． 只包含一个样本点的事件称为基本事件． 在任何一次试验中都发生的事件，称为必然事件，它就是Ω所表示的事件，因而用Ω表示必然事件．在任何一次试验中都不发生的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表示的事件，因而用φ表示不可能事件．3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系设A ,B 为二事件，若A 发生必导致B 发生，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ⊂．B A ⊂⇔A ∈∀ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系设A ,B 为二事件，若B A ⊂并且A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2．(3)事件的并设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 至少一个发生(A 发生或B 发生)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3．(4)事件的交设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 同时发生(A 发生且B 发生)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差设A ,B 为二事件，称事件“A 发生且B 不发生”为A 减去B 的差，记为B A −．B A − }|{B A ∉∈=ωωω且．见图1—5．(6)互不相容关系设A ,B 为二事件，若A ,B 不能同时发生，称A ,B 互不相容或互斥，记为AB φ=． A ,B 互不相容⇔AB φ=，见图1—6． (7)对立事件设A 为一事件，称事件“A 不发生”为A 的余事件或A 的对立事件，记为A ．A =A −Ω，即φ=Ω=+A A A A ，，见图1—7．(8)完备事件组 构成完备事件组，若,,,,21n H H H )( 21j i H H H H H j i n ≠=Ω=++++φ， ．换句话说，如果有限个或可数个事件两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组． ,,,,21n H H H 4．事件的运算法则对于任意事件，，有C B A ,, ,,,,21n A A A (1) 交换律 A B B A A B B A ∩∩∪∪==，．(2) 结合律 C B A C B A ∪∪∪∪)()(=；C B A C B A ∩∩∩∩)()(=．(3) 分配律 ；)()()(C A B A C B A ∩∪∩∪∩=)()()(C A B A C B A ∪∩∪∩∪=．() ∪∩∪ ∪∩ ∪∪ ∪∩)()(11n n A A A A A A A =． (4) 对偶律 ，；B A B A B A B A ∪∩∩∪==∩∩ ∩ ∪∪ ∪n n A A 11=； ∪∪ ∪ ∩∩ ∩n n A A 11=．下列关系和运算要熟记：Ω⊂⊂A φ；；B A B A B A ∪∩⊂⊂)(或B B A A B A B A ==⇒⊂∪∩且；A B A ⊂−；φ=−⇒⊂B A B A ；φφ=A ∩；A A =∪φ；φ=Ω；Ω=φ；A B B A ⊂⇒⊂；AB A B A B A −==−∩；)(A B A B A ∪∪=．【例1】写出下列随机试验的样本空间： (1)从袋中任取3个球，记录取球的结果．(2)从袋中不放回地接连取出3个球，记录取球的结果． (3)从袋中有放回地接连取出3个球，记录取球的结果．(4)从袋中不放回地一个一个地取球，直到取得白球为止录取球的结果．【例2】今有3个球、4个盒子．写出下列随机试验的样本空间：(1)将3个球任意地放入4个盒子中去、每个盒子放入的球数不限，记录放球的结果． (2)将3个球放入4个盒子中去，每个盒子至多放入1个球，记录放球的结果．【例3】写出下列随机试验的样本空间： (1)在上任取一点，记录其坐标． )1,0((2)将一尺之捶折成三段，记录三段的长度 (3)在上任取三点，记录三点的坐标．)1,0(【例4】写出下列随机试验的样本空间，用样本点的集合表示所述事件，并讨论它们之间的相互关系．(1)袋中有3个白球和2个黑球，从其中任取2个球，令A 表示 “取出的全是白球”，B 表示“取出的全是黑球”，表示“取出的球颜色相同”， (C i A 2,1=i )表示“取出的2个球中恰有i 个白球”，表示“取出的2个球中至少有1个白球”． D (2)袋中有2个正品和2个次品，从袋中有放回地接连抽取产品3次，每次任取1件，令 ()表示“第次取出的是正品”，i A 3,2,1=i i B 表示“3次都取得正品”． (3)从l，2，3，4这4个数字中，任取—数，取后放回，然后再任取一数．先后取了3次，令A 表示“3次取出的数不超过3”，B 表示“3次取出的数不超过2”，表示“3次取出的数的最大者为3”．C (4)将3个球任意地放入4个盒子中去，令A 表示“恰有3个盒子中各有1球”，B 表示“至少有2个球放入同1个盒子中”．【例5】设为3事件，试用表示下列事件： C B A ,,C B A ,,(1)至少有1个发生． C B A ,, (2)都不发生．C B A ,,(3)不都发生．C B A ,,(4)不多于1个发生． C B A ,,【例6】什么样的事件X 满足下列等式： (1)B A X A X =)()(∪∪∪． (2)．B A X A ∪∪=(3)． )()(C B C A X AB ∪∩∪∪=二、事件的概率及其性质1．事件概率的定义(1)古典概型满足下列条件的随机试验，称为古典概型．10 有限性：样本点的总数是有限的；20等可能性：所有基本事件是等可能的；①概率的定义：设随机试验为古典概型，样本空间为},,{1n ωω =Ω，A 是一个事件．},,{1r i i A ωω =，则事件的概率为含样本点的个数含样本点的个数Ω==A n r A P )(． ②概率的性质：对于古典概型，事件的概率具有下列性质． 10． 1)(0≤≤A P 20．1)(=ΩP 30有限可加性：若两两互不相容，则n A A A ,,,21 ∑===ni i n i i A P A P 11)()(∪．(2)几何概型满足下列条件的随机试验，称为几何概型．10有限性：样本空间是直线、二维或三维空间中度量(长度、面积或体积)有限的区间或区域．20均匀性：样本点在样本空间上是均匀分布的(可通俗地称为是等可能的) ．①概率的定义：在几何概型中，Ω为样本空间，A 是一个事件，定义事件A 的概率)()()(Ω=L A L A P ． 其中,分别是)(A L )(ΩL A ,的度量．Ω②概率的性质：对于几何概型，事件的概率具有下列性质． 10． 1)(0≤≤A P 20．1)(=ΩP 30若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P ∪．(3)事件的频率和性质以及概率的统计定义①事件的频率：将试验重复独立地进行次，若其中事件n A 发生了次，则称为A n A n A 在这n 次试验中出现的频数，称比值为n n A /A 在这次试验中出现的频率，记为，即．n )(A f n =)(A n f n n A /②频率的性质：事件的频率有如下性质： 101)(0≤≤A f n ． 20．1)(=ΩP 30 若两两互不相容，则m A A A ,,,21 ∑===mi i n m i i n A f A f 11)()(∪．2．概率的公理化定义及性质(1)概率的公理化定义设随机试验E 的样本空间为，以ΩE 的所有随机事件组成的集合(即的一些子集组成的集合)为定义域，定义一个函数(Ω)(A P A 为任意随机事件)，即任意一个随机事件A 与一个实数，且满足：)(A P 10．0)(≥A P 20．1)(=ΩP 30 可列可加性：若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P ∪．(2)概率的性质 100)(=φP ．20 有限可加性：若两两互不相容，则．n A A A ,,,21 ∑===ni in i iA P A P 11)()(∪30可减性：如果B A ⊂，则)()()(A P B P A B P −=−，)()(B P A P ≤⇒． （无条件等式)()()(AB P B P A B P −=−） 40对于任意事件A ，有1)(≤A P ． 50一般加法公式：==)(1∪n i i A P ∑=ni i A P 1)(∑≤<≤−nj i j i A A P 1)( ++∑≤<<≤nk j i k j i A A A P 1)()()1(211n n A A A P −−+【例7】袋中有3个白球及5个黑球，(1)从袋中任取4个球，求取得2个白球及2个黑球的概率．(2)从袋中不放回地接连取出4个球，求取得2个白球及2个黑球的概率． (3)从袋中有放回地接连取出 4个球，求取得2个白球及2个黑球的概率．【例8】设有个人，每个人都等可能地被分配到个房间中的任一间()，求下列事件的概率：n N N n < 事件：某指定的间房中各有1个人． 1A n 事件：恰有间房各有1个人． 2A n 韦件：某指定的房间中有个人．3A k 事件：当4A N n =时，恰有一间房空着．【例9】编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的车皮随机地发往三个地区,和的各2，3和4节，求发往同一地区的车皮编号相邻的概率． 1E 2E 3E【例10】从0,1,2,…,9这10个数字中任取1个，取后放回，先后取了6个数字，求下列事件的概率：事件：6个数字全不相同． 1A 事件：不含0与9． 2A 事件：0恰好出现2次． 3A 事件：至少出现2个0．4A 事件：6个数字中最大的是6． 5A 事件：6个数字的总和是20．6A【例11】有5名插班生，其中有3名男生、2名女生．现将他们按每班1人任意地分配到编号为1—5的5个班中去，求下列事件的概率：事件：3名男生被分到班号相连的3个班中．1A 事件：至少有2个男生被分到的班号或2个女生被分到的班号相连． 2A【例12】从n 双尺码不同的鞋子中任取r 2 (n r ≤2)只，求下列事件的概率： 事件：所取1A r 2只鞋子中只有2只成双 事件：所取2A r 2只鞋子中至少有2只成双．事件：所取3A r 2只鞍子恰成r 双．【例13】在线段AB 上任取一点，该点将AB 分成两段，求下列事件的概率： 事件：其中一段大于另一段的倍． 1A m 事件：其中每一段都小于另一段的倍．2A m【例14】设只1个泊位的码头有甲、乙两艘船停靠，2船各自可能在1昼夜的任何时刻到达．设两艘船停靠的时间分别为1小时和2小时，求下列事件的概率： 事件：码头空闲超过2小时．1A 事件：一艘船要停靠必须等待一段时间． 2A【例15】在线段上任取3个点，求下列事件的概率： AC 321,,A A A 事件：位于与之间．1B 2A 1A 1A 事件：能构成1个三角形． 2B 321,,AA AA AA【例16】若,5.0)(=A P 4.0)(=B P ,3.0)(=−B A P ，求和)(B A P ∪)(B A P ∪.【例17】对于任意两个互不相容的事件A 与B ，以下等式中只有一个不正确，它是： (A) ；)()(A P B A P =−(B) )()(A P B A P =−1)(−+B A P ∪； (C) )()()(B P A P B A P −=−； (D) ； (E) )())()((A P B A B A P =−∩∪)()()(B A P A P B A P ∪−=−.三、条件概率和乘法公式1．条件概率的定义及性质(1)条件概率的定义设为两个事件，，则称B A ,0)(>B P )()()|(B P AB P B A P =为B 发生的条件下A 的条件概率．(2)条件概率的性质 条件概率满足： 10． 0)|(≥B A P 20．1)|(=ΩB P 30可列可加性：若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)|()|(i i i i B A P B A P ∪．2．关于条件概率的三个定理(1)乘法公式若，则0)(>A P )()()(A B P A P AB P =． 推广 若，则0)(21>n A A A P )()()()(12112121−=n n n A A A A P A A P A P A A A P ．(2)全概率公式设是样本空间的一个划分（或称为完备事件组），即两两不交：n B B B ,,,21 Ωn B B B ,,,21 j i B B j i ≠=,φ，且Ω=n B B B ∪ ∪∪21．则∑==ni i i B P B A P A P 1)()|()(．(3)贝叶斯公式设是样本空间Ω的一个划分，若事件n B B B ,,,21 A 满足：，则有0)(>A P n i B P BA PB P B A P A B P nj j ji i i ,,2,1,)()|()()|()|(1==∑=．)(i B P （），通常叫先验概率．，（n i ,,2,1 =)|(A B P i n i ,,2,1 =），通常称为后验概率．如果我们把A 当作观察的“结果”，而理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断．n B B B ,,,21【例18】在3重努利试验中，设5.0)(=A P ，若已知A 至少出现1次，求A 至少出现1次的概率．【例19】口袋个装有个白球、个黑球，一次取出球，发现都是同一颜色的球，求它们都是黑球的概率． 12−n n 2n【例20】假设一个人在一年内患感冒的次数X 服从参数为5的泊松分布；正在销售的一种药品A 对于75%的人可以将患感冒的次数平均降低到3次，而对于25%的人无效．现在有某人试用此药一年，结果在试用期患感冒两次，试求此药有效的概率α．【例21】对产品作抽样检验时，每100件为一批，逐批进行．对每批检验时，从其中任取1件作检查，如果是次品，就认为这批产品不合格；如果是合格品，则再检查下件．检验过的产品不放回．如此连续检查5件．如果检查5件产品都是合格品，则认为这批产品合格而被接受．假定一批产中有5％是次品，求这批产品被接受的概率．【例22】加工零件需要经过两道工序，第—道工序出现合格品的概率为0.9，出现次品的概今为0.1第一道工序加工出来的合格的，在第二道工序中出现合格品的概率为0.8，出现次品的概率为0.2；第一道工序加工出来的次品，在第二道工序出现次品或出现废品的概率都是0.5．分别求经过两道工序加工出来的零件是合格品、次品、废品的概率．【例23】在某工厂中有甲、乙、丙3台机器生产同样的产品，它们的产量各占25％，35％，40％，并且在各自的产品中．废品各占5％，4％，2％，从产品中任取1件，求它是废品的概率．若取出的是废品，分别求它是甲、乙、丙机器生产的概率．【例24】乒乓球盒内有12个球，其中9个是新球．第一次比赛时任取3个使用，用后放回．第二次比赛时再任取3个球，求此3个球全是新球的概率．若第二次取出的3个球全是新球，求第一次取出使用的3个球也是新球的概率．【例25】袋中装有5个白球和2个黑球，从中任取5个放入一个空袋中．再从这个袋的5个球做任取3个球放入另一个空袋个．最后从第三个袋中任取1球，求从第三个袋中取出白球的概率．若从第三个袋取出的是白球，分别求从第一个袋中取出放入第二个袋的5个球全是白球的概率、从第二个袋中取出放入第三个袋的3个球全是白球的概率．四、事件的独立性1．二事件的独立性定义 设为二事件，若B A ,)()()(B P A P AB P =，则称相互独立． B A , 性质 若，则相互独立的充要条件是)0(>A P B A ,)()|(B P A B P =． 定理 若相互独立，则B A ,A 与B ，A 与B ，A 与B 均独立． 2．三个或三个以上事件的独立性（1）三个事件相互独立 设为三个事件，若满足： C B A ,,)()()(B P A P AB P =； )()()(C P A P AC P =；)()()(C P B P BC P =；)()()()(C P B P A P ABC P =，则称相互独立，简称独立.C B A ,,C B A ,,若只满足上面的前三个式子，称两两独立．两两独立，未必相互独立. C B A ,,C B A ,,（2）个事件相互独立 如果n 个事件满足：n n A A A ,,,21 )()()(j i j i A P A P A A P =， n j i ≤<≤1， 共个等式； 2nC )()()()(k j i k j i A P A P A P A A A P =， n k j i ≤<<≤1 共个等式； 3nC … … … … … … … … … … … … … … … … … …)()()()(2121n n A P A P A P A A A P = 共个等式 nn C 这等式成立，则称相互独立，简称独立．1232−−=+++n C C C n nn n n n A A A ,,,21 n A A A ,,,21 若相互独立，是中的个事件，则相互独立．n A A A ,,,21 k i i i A A A ,,,21 n A A A ,,,21 k k i i i A A A ,,,21若相互独立，将任意n A A A ,,,21 m )1(n m ≤≤个事件换成它的对立事件后，所得个事件仍独立．n 若相互独立，则．n A A A ,,,21 ∏==−−=ni in i iA P A P 11))(1(1)(∪3．独立试验序列概型贝努利试验 对一个试验E ，如果只考虑两个结果A 和A ，且，p A P =)(q p A P =−=1)(，则称E 为贝努利试验．n 重贝努利试验 将贝努利试验E 重复独立地做次，称为n 重贝努利试验．n 二项概率公式 在n 重贝努利试验中，若用表示在n 次试验中k n A ,A 出现次，则k kn k k n k n q p C A P −=)(,，，n k ,,1,0 =p q −=1．【例26】设有两门高射炮，每—门击中飞机的概率都是0.6，求同时射击一发炮弹能击中飞机的概率．若欲以99％的概率击中飞机，求至少需要多少门高射炮同时射击．【例27】今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击，甲命中的概率为，乙命中的概率为，甲先射，谁先命中谁得胜，分别求甲、乙获胜的概率． 1p 2p【例28】甲、乙二人进行下棋比赛，假设每局甲胜的概率为α，乙胜的概率为β，且1=+βα，在每局比赛中谁获胜谁得1分．如果谁的积分多于对方2分，谁就获得全场的胜利，分别求甲、乙二人获得全场胜利的概率．【例29】检查产品质量时，从其中连续抽查若干件，如果废品不超过2件，则认为这批产品合格而被接收．现有一大批产品，其废品率为0.1． (1)若连续抽查10件．求这批产品被接收的概率．(2)为使这批产品被接收的概率不超过0.9．应至少抽查多少件产品．【例30】保险公司为某年龄段的人设计一项人寿保险，投保人在1月1日向保险公司交纳保险费10元，1年内若投保人死亡，家属可向保险公司领取5000元，已知在1年内该年龄段的人的死亡率为0.0005，(1)若有10000人投保，水保险公司获利不少于50000元的概率． (2)若有7000人投保，求保险公司亏损的概率．。
概率的基本性质(经典)
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第 三 章 概 率
温故知新
当几个集合是有限集时，常用列举法列出集 合中的元素，求集合A∪B与A∩B中的元素个 数．A∩B中的元素个数即为集合A与B中____ 公共___元素的个数；而当A∩B＝Ø时， A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数 __之和____；而当A∩B≠Ø时，A∪B中的元 素个数即为A、B中元素个数之和_____减去 __A∩B中的元素个数．本节要学习的互斥事 件和对立事件与集合之间的运算有着密切的 联系，学习中要仔细揣摩、认真体会
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第 三 章 • 某班有50名同学，其中男女各25名，今有这个班的一个学 生在街上碰到一个同班同学，则下列结论正确的是( ) 概 • A．碰到异性同学比碰到同性同学的概率大 率 上 • B．碰到同性同学比碰到异性同学的概率大 页 • C．碰到同性同学和异性同学的概率相等 • D．碰到同性同学和异性同学的概率随机变化 下
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第 三 章 概 率
被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要 回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了 哪个问题，所以都会如实回答．如果被调查者中的600人 (学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计 在这600人中闯过红灯的人数是( ) 上 页 A．30 B．60 C．120 D．150 下 [答案] B 页
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
高考总复习数学精品课件 第11章 第4节 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A
1∪A2∪…∪An=Ω,且
P(B)= ∑ P(Ai)P(B|Ai)
P(A )>0, i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,有____________________.我们称
i
=1
这个公式为全概率公式.
指的是对目标事件B有贡献的全部原因
20
20
摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过 1 万人次的条件下,随后一天接
纳顾客量超过 1 万人次的概率是( D )
7
9
4
7
A.10
B.10
C.5
D.9
解析 设“某天接纳顾客量超过 1 万人次”为事件 A,“随后一天的接纳顾客量超
7
9
7
()
7
20
过 1 万人次”为事件 B,则 P(A)= ,P(AB)= ,所以 P(B|A)=
1.事件的相互独立性
事件 A 与事件 对任意的两个事件 A 与 B,如果 P(AB)=P(A)P(B)成立,则
B 相互独立
称事件 A 与事件 B 相互独立,简称为独立
性质
若事件 A 与事件 B 相互独立,则 A 与, 与 B,与也都
相互独立
2.条件概率
条件概率
的定义
条件概率
的性质
当P(A)=0时,我们不定义条件概率
5.(人教B版选择性必修第二册4.1.3节练习A第5题)加工某一零件需经过三
道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为
1 1 1
, ,
70 69 68
3
影响,则加工出来的零件的次品率为__________.
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第1章 随机事件与概率
第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。
随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。
统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。
（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。
2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。
在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。
样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。
样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。
3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。
事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。
基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。
两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。
空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。
①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。
事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。
（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。
概率论习题
第_章随机事件及其概率第一节随机事件第1题设A,B,C为三个随机事件，试用A,B,C的运算关系表示下列事件；⑴D= “A,B,C至少有一个发生”；(2) E= 发生，而B,C都不发生”；⑶F= “A,B,C中恰有一个发生”；(4) G= “A,B,C中恰有两个发生”;(5) H= “A,B,C中至少有两个不发生”;第2题设A={xl<x<5} ,B={x3<x<7},C={xx<]},都是/?={x|-oo<x<+oo冲的集合，试求下列各集合。
(AUB)riC第3题化简(ABUC)(AC)第4题证明：(AHB)-B=A-AB=AB=A-B第5题设A,B,C为3个随机事件，与A互斥的事件是(D)o(A) ABUAC(B) A(BUC)(C) ABC(D)AUMJC第6题对于任意2事件A和B,与AUB=B,不等价的是(D)。
(A)A U B,(B)P U A,(C)AP=0,(Q)BA=0第二节随机事件的概率第7题设随机事件A、B、C互不相容，且P(A)=0・2,P(B)=0・3,P(C)=0・4, 则円(AU®-C］等于()。
第8题对于随机事件A和B,有P(A-B) 等于(C).(A)P(A)-P(B)； (B).P(A)-P(B)+P(AB) (C).P(A)-P(AB)(D).P(A)+P(B)+P(AB)第9题设A、B、C是三个随机事件, 且P(A)=0・3, P(B)=0.4, P(C)=0.6,P(AC)=P(BC)=P(AB)=0.25,P(ABC)=0.2,试求下列各事件的概率：(1)“三个事件中至少有一个发生”记为D1;(2)“三个事件中至少有两个发生”记为D2;第10题设A,B,C为三个事件，已知P(A)=0.3,P(B)=0. & P(C)=0.6, P(AB)=0・2, P(AC)=0, P(BC)=0.6,试求：(1) P(AU^) ；(2) P(AB) ；(C) P(AU5UQ第行题设A和B为随机事件，A和B 至少有一个发生的概率为1/4, A生且B不发生的概率为1/12,求P(B).第12题已知P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AC)=P(BC)=^,P(AB)=O,求事件A,BC全不发生的概率。
CH1第4节 等可能概型(古典概型)
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
说明
随机选取n( 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为
365 364 ( 365 n 1) p . n 365
而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) p 1 . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球} 第3次摸到红球 4种 第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球
第3次摸球 第2次摸球 第1次摸球
10种
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位 不能为0，求数字0出现3次的概率.
( 3 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
6 3 12! 15! . p2 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
概率四习题
第四章 大数定律及中心极限定理导 学——极限论在概率研究中的应用本章是承前启后的一章：明晰了“频率与概率的关系”，这是一个遗留问题。
并将《概率论》部分划上了一个句号，这是承前；说它启后，有定理设定：⋯⋯,21,,,n X X X 独立同分布，这一设定在《数理统计》部分一直沿用了下去。
全章由四节组成，§1节特征函数，§2节大数定律，讲了三个定理， §3节随机变量序列的两种收敛性，§4节中心极限定理。
三个定理。
“大数”及“极限”均要求+∞→n ，在实际问题中，n 充分大即可。
§2节主要研究对象为：算术平均值()n X X nX +⋯+=11；§4节的主要研究对象为： n ni iX X X+⋯+=∑=11，比nX 1少了。
§2节的学习，不妨先从复习入手。
第二、三章已熟悉了()()⋅⋅D E 及,先推算出21)(,)(σμnX D X E =⋯==⋯=这是核心推导之一，后面学《数理统计》会反复使用，再由契比雪夫不等式及夹逼原理，可推出定理一，其中NX D 2)(σ=中的n1很宝贵。
定理二是由定理一推得的，关键点为：n A X X X n +⋯++=21及X X n n n ni i A ==∑=11，于是可用定理一了。
推导本身是一件很愉快的事。
§2节的三个定理可在比对中学习。
定理一（契）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 一定为同分布，（贝）是由定理一（契）的特例。
定理二（马）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 独立或同分布。
定理三（辛）不要求)(X D 一定存在，“契”“马”与“辛”的结论均为：μ−→−PX ,即算术平均值依概率收敛于数学期望。
“贝”的结论为：p nn PA −→−，即频率依概率收敛于概率。
这个结论很精致，十分简单了。
翻开§4节，一堆一堆的符号映入眼中，让人头大。
其实，若标准化方法娴熟，这一节并不难。
1-5 条件概率
(二)乘法定理
(二)乘法定理 对于两个事件A,B，若P(A)>0，则 若P(B)>0，则 P(AB)=P(A)P(B|A) P(AB)=P(B)P(A|B)
对于三个事件A,B,C，若P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 注意：由于ABA，故P(A)P(AB)，从而必有 P(A)>0 对于n个事件A1,A2,„,An (n≥2)，且P(A1A2„An-1) > 0，则 P(A1A2„An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)„P(AnA1A2„A
例题2
法一： 由条件概率定义
6 12 9 12 2 3
P(B|A)
P ( AB ) P ( A)
法二： 在缩减的样本空间SA=A中，直接得
P(B|A)=6/9=2/3
法三： 第一次抽取的样本空间为：S1={1,2,3,4} 当A发生，即第一次抽取一只一等品后，其样本空 间S2只剩下3个元素，而其中只有两个元素是一等品， 因此 P(B|A)=2/3。
P (Bi A) P(A)
B1 B2
Bn A
P ( A Bi )P (Bi )
P ( A B j )P (B j )
j1
n
i 1,2 , , n
P(Bi)>0(i=1,2,„,n)
全概率公式和贝叶斯公式的应用
在很多实际问题中，P(A)不易直接求得，但却容易找到样本
空间S的一个划分B1,B2,„,Bn，且P(Bi)和P(A|Bi)或为已知，或易
随机地取一只元件，求它是次品的概率； 3 0.03 0.05 (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此 次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。 试求这些概率。 设事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi(i=1,2,3)表示 解： “所取到的产品是由第i家工厂提供的”，则B1,B2,B3是样本空 间S的一个划分。由题意 P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05 P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03
概率C1_3
2) 若 A1 A2 , 且 An A, 则
n 1
lim P ( An ) P ( A).
n
电子科技大学
概
率
14.1.20
证：在2）中
令 Bn A An , 则B1 B2 ,
且
n 1
Bn ( An A)
n 1
A
A A A A n n 1
B
AB
A
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
B C A
掷骰子问题
电子科技大学
概
率
14.1.20
推论 概率具有次可加性
n n P Ai P ( Ai ). i 1 i 1
次品的概率. 解法一 设A={选到的3件产品中有次品}，
Ai ={选到的3件产品中恰有i 件次品} ，i =1,2,3. 有 A =A1∪A2 ∪ A3，且A1, A2, A3互不相容， 所以有
P ( A) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
电子科技大学
概
1 5 2 45 2 5 1 45
, 或 Ai F
i 1
n
电子科技大学
概
率
14.1.20
4. 对差运算封闭, 即若 A F , B F 则 A B F A B A B F 二、概率空间
定义1.3.3 设(Ω,F )是一可测空间,对 A F 定义在F 上的实值集函数P (A), 满足
1) 非负性：对A F , 0 P ( A) 1; 2) 规范性:P(Ω) = 1;
2024-2025学年高中数学第3章概率§11.11.2随机事件的概率(教师用书)教案北师大版必修3
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6.课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调概率的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括概率的基本概念、组成部分、案例分析等。
强调概率在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用概率。
10.提高合作能力和解决问题的能力：通过小组讨论和案例分析，学生能够与他人合作，共同解决问题，提高合作能力和解决问题的能力。
内容逻辑关系
①随机事件的定义和分类：必然事件、不可能事件、随机事件
②概率的定义和性质：概率的计算方法，包括古典概率、几何概率和条件概率；概率的基本性质，如互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘积公式等。
-互斥事件的概率加法公式：P(A+B) = P(A) + P(B)
-独立事件的乘积公式：P(AB) = P(A) * P(B)
③概率的运用
-抽奖问题：计算获奖的概率
-概率论的基本问题：计算某个事件发生的概率
教学评价与反馈
1.课堂表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的积极性，以及学生的反应和理解程度，评价学生对概率知识的掌握情况。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于概率的短文或报告，以巩固学习效果。
学生学习效果
1.理解概率的基本概念：学生能够理解概率的定义，掌握概率的基本计算方法和性质，如互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘积公式等。
2.掌握随机事件的分类：学生能够区分必然事件、不可能事件和随机事件，并能够运用这些概念解决实际问题。
2.数据分析：通过讲解概率的定义和性质，培养学生收集、整理、分析和处理数据的能力，使学生能够运用几何概率和条件概率的方法解决实际问题。
高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质课件新人教A版必修3
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3
个均为红球,故C∩A=A.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
互动探究 在本例中A与D是什么关系?事件A与B的交事件是什么?
解:由本例的解答,可知A⊆D.
因为A,B是互斥事件,所以A∩B=⌀.
故事件A与B的交事件是不可能事件.
集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1与集合D1相等.
3.请指出如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件
发生?
提示如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
4.如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?
提示如果事件D2与事件H同时发生,就意味着事件C5发生.
然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意
不能重复和遗漏.
2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求
其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,
避免错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概
点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于
1},D2={出现的点数大于4},D3={出现的点数小于6},E={出现的点
数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出
现的点数为奇数},等等.
1.上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机
5.事件D3与事件F能同时发生吗?
提示事件D3与事件F不能同时发生.
概率论第一章习题解答(全)
10 9 8 120 ； 3 2 1
事件 A 所包含基本事件数（即 5 固定，再从 6，7，8，9，10 这 5 个数中任选 2 个） ：
C52
5 4 10 2
事件 B 所包含的基本事件数（即 5 固定，再从 1,2，3,4 这 4 个数中任选 2 个） ：
故
43 6 2 10 1 6 1 P ( A) ； P( B) 120 12 120 20
1 1 1 1 1 1 1 17 ； 2 3 5 10 15 20 30 20 17 3 (ⅳ) P ( ABC ) P ( A B C ) 1 P ( A B C ) 1 ； 20 20
(ⅴ) 且 因为 ABC ( A B )C ( s ( A B ))C C ( AC BC )
P ( ABC ) P (( A B )C ) P (C ) P ( AC ) P ( BC ) 1 1 1 7 5 15 20 60
(ⅵ)
因为
P ( AB C ) P ( AB ) P (C ) P ( ABC )
已知 P ( AB )
4 7 ， P ( ABC ) ，故 15 60
而 故
ABC AB ， P ( AB ) 0 ，所以
P ( ABC ) 0
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) 1 1 1 1 5互不相容，所以 AB ， AB A ， P ( AB ) P ( A) （ⅱ）因为 A A( B B ) AB AB ，且 AB AB ， 所以
浙大概率论与数理统计课件概率论
例2：从上例的袋中不放回的摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球数不限， 记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)． 解：
原来这不是等可能概型
总样本点数为 ，每点出现的概率相等，而其中有 个 样本点使 发生，
①，②，…，
n
S＝{ }，
①，②，…，
a
{ }
{红色}
解2： 视哪几次摸到红球为一样本点
解4： 记第k次摸到的球的颜色为一样本点： S＝{红色,白色}，
*ห้องสมุดไป่ตู้
解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.
例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
概率论与数理统计第一章习题参考答案
1第一章 随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482）455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解：用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球，只白球，11只红球，只红球，11只黑球”， 用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”， 用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” （1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===CC C P6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解：用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” （1）3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P（2）31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解： 用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解：、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解：用、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解：用、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ， 则9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ， 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解：用、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”， C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ； 01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解：用、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解：用、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”， C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解：用、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”， C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得由已知得5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P （1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解：用、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立）相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解：设、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解：令、解：令A ：“产品真含杂质”，A ：“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ，6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15（1）{}2501.08.02.03123315=´==C X P（2）{}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P（3）{}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P（4）{}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大，P 很小，所以利用)8(p 近似地～X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k（2）{}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P（3）64764181321412141321412=-===þýüîí죣òxdx x X P（4）271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ，则，则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或 有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解：、解： （1）{}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P（2）Y~b(10，275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10（3）{}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12（1）由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解：{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ，¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时，（X ，Y ）联合分布律为）联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ，}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x =-×-===+¥-+¥-+¥+¥+-+¥¥-òòò8=\c{}()()()4402042228,2-+¥-+¥-+¥+-+¥>=-×-===>òòòòe ee dy edxdxdy y x f X P yyxx y x xY X 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/6 31/6 1/6 0D ：xy x ££¥<£00{}()òò>=>yx dxdy y x f Y X P ,()()dx e e dy edxx yx xy x 0402042028-+¥-+-+¥-×==òòò()ò¥++¥----=÷øöçèæ-=+-=2626323122x x xxe e dx eeD ：xy x -££££101{}()dy edxY X P xyx òò-+-=<+10421081 ()()òò------=-=1422101042222dx eedx eex xx yx()()22104221----=--=e e ex x16、（1）61)2(122=-=òdx x x s ， îíìÎ=其他,0),(,6),(G y x y x f（2）îíì<<==ò其他,010,36)(2222x x dy x f x xXïïïîïïíì<£-=<<-==òò其他,0121),1(66210),2(66),(12y y yY y y dx y y y dx y x f17、（1）Y X0 1 2 P{X=x i } 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 20.02 0.06 0.300.38 P{Y=y i } 0.16 0.34 0.501（2）D ：+¥<£+¥<£y x x 0或：yx y <£+¥<£00()()ïîïíì£>==\òò+¥-¥+¥-00,x x dye dy y xf x f xy Xîíì£>=-00x x e x()()ïîïíì£>==òò-¥+¥-00,0y y dxe dx y xf y f yy Yîíì£>=--00y y ye y22、（1）Y 1 Y 2 -11-14222qq q =×()q q-124222qq q =×()q q-12()21q -()q q-1214222qq q =×()q q-124222qq q =×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq（2）{}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD ：1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|，当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时，1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时，当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、（1）X Y =，当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时，当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为（2）)21(+=X Y ，当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时，1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时，当时，当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y（3）2X Y =，当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时，当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîí죣-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîí죣-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立，且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知，22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时，当时，当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时，当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X ， íì<<=其他,010,1)(y y f Y ，ïïîïïí죣-=<£==-=òòò-¥¥-其他,021,210,)()()(110z zY X Z z z dy z z dy dy y f y z f z f32 解（1）()()îíì£>=ïîïíì£>==---¥+¥-òò00030023,3203x x e x x dye dy y xf x fxxX()()ïîïí죣=ïîïí죣==òò¥+-¥+¥-其它其它20212023,03y y dx e dx y x f y f xY（2）()()îíì>-£=ïîïíì>£==--¥-òò100030303x e x x dt e x dt t f x F xx txX X()()ïïîïïíì³<£<=ïïîïïíì³<£<==òò¥-21202121202100y y yy y y dt y dt t f y F y yY Y ()(){}()()Z F Z F Z Y X P Z FY X ×=£=\,max max ()ïïîïïíì³-<£-<=--21201210033z e z z ez Z z（3）()÷øöçèæ-=þýüîíìì£<211121max max F F Z P ()21121121233×÷÷øöççèæ---=--e e 233412141--+-=ee33、（1）ïîïíì<<=其他率密度为）上服从均匀分布，概，在（,00,1)(10l x lx f X X（2）两个小段均服从上的均匀分布),0(l ,ïîïíì<<=其他,010,1)(1x lx f X),m i n (21X X Y =, 2)1(1)(ly y F Y --=ïîïíì<<-=其他,00,)(2)(2l y l y l y f Y 34、（1）U 的可能取值是0，1，2，31201}2,3{}1,3{}0,3{}3{12029}2,1{}2,0{}2,2{}1,2{}0,2{}2{32}1,1{}0,1{}1,0{}1{121}0,0{}0{===+==+=======+==+==+==+=======+==+=========Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P y X P U P Y X P U P U 0 1 2 3 P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0，1，2，3，4，5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，为取到的电视机中包含的次品数， 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则，则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ，故6)(==l X E（2）由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛，则)(X E 不存在。
概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度讲解
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X
st
|
X
s}
P{( X
st)(X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t} s}
1 F(s t) 1 F(s)
e(st ) e s
e t
P{ X
t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)
f ( x)dx 1.
A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.
《概率学》3.4二维随机变量的条件分布
第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
例2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求
fY X ( y x).
当 – r < x < r 时，
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
2
1 ,
r2 x2
0,
r2 x2 y 其他
r2 x2
f
(x,
y)
1 / 0,
x,
0 x 1,0 y x;
其他.
1 5
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
练习对于随机向量(X,Y)已知
fY
X (y
x)
2y
1
x
2
,
0,
x y 1
4x(1 x2 ),
fX (x)
其他
0,
求Y在X=0和X在Y=1条件下的条件概率分布.
X
Y
1
2
3 P(X=xi)
0
0.1
0.2
0.3 0.6
1
0.1
0.2
0.1 0.4
解 再计算 (X, Y)关于Y的边缘概率分布
由公式
P{Y xi
X
yj}
pi j p j
i 1, 2,
得在Y=1条件下X的条件概率分布为：
X|Y=1 0
1
pi| j
1
2
求P{X+Y≥1}，
P{Y<0.5},
P Y
2 3
X
1 2
0 x 1 其他
高等数学c1教材
高等数学c1教材高等数学是大学数学的重要学科之一，对于理工类专业的学生来说尤为重要。
C1教材是高等数学的一本教材，涵盖了该学科的基础内容。
本文将对高等数学C1教材进行详细介绍，包括其内容特点、学习方法和应用领域。
一、C1教材的内容特点高等数学C1教材是高等数学的入门教材之一，主要涉及以下几个方面的内容：1. 函数与极限：C1教材首先介绍了函数的概念和相关性质，引入了函数的极限概念，并介绍了常见的极限计算方法，如夹逼准则、洛必达法则等。
这部分内容为后续章节的学习奠定了基础。
2. 导数与微分：C1教材接着介绍了导数的概念和基本性质，包括导数的定义、导数的计算公式和导数的几何意义等。
然后，讲解了微分的概念和应用，包括微分近似、微分中值定理等。
3. 微分中值定理与导数应用：C1教材在这一部分详细介绍了微分中值定理的几种形式和应用，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
同时，还介绍了导数的应用，如切线与法线方程、单调性与极值等。
4. 不定积分和定积分：C1教材接下来介绍了不定积分和定积分的概念，并讲解了基本的计算方法和性质。
还包括了定积分的应用，如几何应用、物理应用等。
5. 微分方程：C1教材最后一部分介绍了微分方程的基本概念和解法，包括一阶常微分方程和二阶常微分方程的解法以及应用。
二、学习高等数学C1教材的方法要学好高等数学C1教材，学生需要采用正确的学习方法。
以下是一些建议：1. 系统学习：按照C1教材的顺序进行学习，逐章逐节地掌握每个概念和方法。
建议边学边做例题，深入理解其中的思想和原理。
2. 多练习：高等数学是一门需要多做题来提高理解和应用能力的学科。
建议做完每一章的习题，巩固所学知识。
同时，解答一些复杂问题，提高解题能力。
3. 提问解惑：学习过程中，遇到问题应及时寻求解答。
可以向同学、老师请教，或通过互联网搜索相关知识。
对于不理解的概念或方法，要多问几次，确保完全理解。
4. 做笔记：在学习过程中，要做好笔记，记录重要的公式和定理，方便复习和总结。
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(3)若i j, Ai Aj (i, j 1,2,, k )
则：f n ( Ai ) f n ( Ai )
i 1 i 1
k
k
(互斥有限可加性)
3、特点：
(1)随机波动性： A S , A , A S
nB C C ,
2 2 2 4
C nC C C (?)
1 4 1 2
2 4
nC C C (?) 42 C
1 4 1 5
例2、有8件产品中6正2次,先后随机 地各取一件(不放回),记A={都取到正 品},B={取到一正品一次品}，C={第 二次取到次品}. 求：P(A),P(B),P(C).
(1)非负性：P( A) 0 (2)规范性：P( S ) 1 (3)互斥可列可加性：
i j, Ai Aj P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
则称P(A)为A发生的概率.
▲三、概率的性质：
1、A P( A) 0 (反之不一定!)
2、i j, Ai Aj P( Ai ) P( Ai )
总事件数
(1)样本点由试验及其目的 确定
(2)求n总及nA：标准统一 不重不漏 ,
3、应用举例：
例1、从有外形质量相同的4白2红6小球 的袋中任取两球,记A={一红一白},B={同 P(A),P(B),P(C). 色},C={至少一白}.求：
n总 C , nA C C ,
2 6
1 2
1 4
且P( AB) P( A) P(B)
5、A S , P( A) 1
6、A, B S ,
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
(1) P( AB) P( A) P( B) P( A B)
(2)多除少补原理： ( Ai ) P
n p2
30
40
50
64
100
ห้องสมุดไป่ตู้
>365
1.000
0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
注2：小概率原理(实际推断原理).
小结：
1、古典概型的定义. 2、古典概型的概率公式及其应用：
(1)排列与组合的区别：有无顺序. (2)抽样：总体数量很大(>100)时 不放回可视作放回.
(3)超几何分布概率公式：
pk
k mk C D C N D m CN
,0 k min(D, m)
(4)分球入箱问题. 很小概率的事件在一次 (5)小概率原理： 试验中几乎是不发生的.
作业1-3：25页习题6,8,11 (只列式)
i 1
n
P( Ai ) P( Ai Aj ) (1)n1 P( Ai )
i 1
n
n
1 i j n
i 1
▲例1、已知：P( A) 0.5, P( B) 0.4,
P( A B) P( AB) 0.3,
求：P( AB), P( B A), P( A B), P( AB ), P( AB), P( A B), P[ B( A B)]
ABC与P(ABC) 例2、说出区别和联系： 解：(1)ABC：事件A、B、C的积事件, 表示事件A、B、C同时发生； (2)P(ABC)：事件ABC的概率, 表示事件A、B、C同时发生的 可能性的大小；
(3)P(ABC)是ABC的概率.
小结： 1、频率的定义、性质、特点． 2、概率的性质及其应用． 3、事件与概率的关系. 作业1-2：25页习题3
nk C C
k D
m k N D
C C pk C
k D
mk N D m N
(超几何分布概率公式)
(2)P( A) 1 P( A)
1 p0 1
m C N D m CN
例5、(分球入箱问题)
n个球放入M个箱子( n M ),可重复.记
A={每箱至多放一球}；B={预先指定的
n
i 1 i 1
n
(i, j 1,2,, n) (互斥有限可加性)
3、P( A) 1 P( A)
4、P( A B) P( AB) P( A) P( AB)
(1)P( AB) P( A) P( AB) P(B) P(B A)
(2) B A P( B) P( A)
3
(2)n总 P
3 100
3 60
P( A) 0.212 nA P
例4、N件产品中有D件次品,从中任取 m件.求： (1)恰好取到k件次品的概率 pk
其中0 k min(D, m), k Z
(2)至少有一件次品的概率P(A).
解：)n总 C (1
m N
某箱子恰好放k个球}.求P(A),P(B).
n总 M , nA P ,
n
n M
nB C (M 1)
k n
n k
ex：假设每个人的生日(月、日)在一年的365 天等可能，求：n个人生日各不相同的概率p1 及n个人中至少有2人生日相同的概率p2. n P365 , p2 1 p1 解：p1 n 365 注1：n足够大时, p1 0, p2 1.
§1.4 古典概型
( 1、满足：1)S {1 , 2 ,, n }
(2)i j, P{i } P{ j }
(i, j 1,2,, n)
的概率模型称为古典概型.
2、A {i1, i 2 ,, ik } S有：
有利事件数
P ( A)
k n
nA n总
f n (A)可遍取 0,1]内有理数 [
(2)趋定性： A S , 1 pA [0,1], st：
f n ( A) pA (n )
二、概率P(A)：
P 1、统计定义： ( A) lim f n ( A)
n
2、公理化定义：
A S ,若集合实值函数P(· )满足：
n总 P , nA P ,
2 8
2 6
nB P P P P ,
1 6 1 2 1 2 1 6
nC P P P
2 2 1 6
1 2
例3、同批次元件100只按性能分为甲 40乙60,从中依次取3只,记A={取到 全是乙类},分(1)放回,(2)不放回求P(A).
(1)n总 100 3 P( A) 0.216 nA 60
§1.3 频率与概率
一、频率： 1、定义：相同条件下的n次试验中事件
A发生的次数(频数)k与n的比值称为
事件A 在这n次试验中发生的频率．
f n ( A)
k n
nA n
2、性质：
(1)A S , f n ( A) 0 (非负性) f n ( A) [0,1] f n ( A) Q