第三章 第五节 数列的综合应用

解析：由题意 ＝－3b 解析：由题意b2＝ac(ac＞0)，∴Δ＝b2－4ac＝－ 2＜0. ＞ ， ＝ ＝－ 答案： 答案：A
4．5·12汶川大地震后，《三维设计》系列丛书于 ． 汶川大地震后， 三维设计》系列丛书于2008年8月 汶川大地震后 年 月 向北川中学捐书三万册， 向北川中学捐书三万册，计划以后每年比上一年多捐 5000册，则5年共捐 册 年共捐________万册． 万册． 年共捐 万册 解析：由题意知 解析：由题意知a1＝3，d＝0.5 ， ＝ S5＝3×5＋ × ＋ 答案： 答案：20 ×0.5＝20. ＝
数列应用问题的常见模型 1.等差模型： 等差模型： 等差模型 一般地，如果增加 或减少 的量是一个固定的具体量时， 或减少)的量是一个固定的具体量时 一般地，如果增加(或减少 的量是一个固定的具体量时， 该模型是等差模型，增加 或减少 的量就是公差， 或减少)的量就是公差 该模型是等差模型，增加(或减少 的量就是公差，其一般 形式是： ＋ 常数). 形式是：an＋1－an＝d(常数 常数
天中， 前n天中，每天流感病毒患者构成等差数列，而后 －n 天中 每天流感病毒患者构成等差数列，而后30－ 天也是等差数列，求两数列的和 天也是等差数列，求两数列的和.
设第n天新患者人数最多 则从n＋ 天起该市医疗 天新患者人数最多， 【解】 设第 天新患者人数最多，则从 ＋1天起该市医疗 部门采取措施，于是， 天流感病毒感染者总人数， 部门采取措施，于是，前n天流感病毒感染者总人数，构成 天流感病毒感染者总人数 一个首项为20，公差为 的等差数列的 项和， 的等差数列的n项和 一个首项为 ，公差为50的等差数列的 项和，Sn＝20n＋ ＋ ×50＝25n2－5n(1≤n≤30，n∈N)，而后 －n天的 ＝ ， ∈ ，而后30－ 天的 流感病毒感染者总人数，构成一个首项为 ＋ － × － 流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20＋(n－1)×50－ 30＝50n－60，公差为－30，项数为 －n的等差数列的和， ＝ 的等差数列的和， － ，公差为－ ，项数为30－ 的等差数列的和 Tn＝(30－n)(50n－60)＋ － － ＋ ＝－65n2 ×(－30)＝－ － ＝－
故高二年级共有820人. 人 故高二年级共有 答案： 答案：B
2.数列 n}的通项公式是关于 的不等式 2－x<nx(n∈N*)的解集 数列{a 的通项公式是关于 的不等式x 的通项公式是关于x的不等式 数列 ∈ 的解集 中的整数个数，则数列 的前n项和 中的整数个数，则数列{an}的前 项和 n＝ 的前 项和S A.n2 C. B.n(n＋1) ＋ D.(n＋1)(n＋2) ＋ ＋ ( )
解析：由x2－x<nx，得0<x<n＋1(n∈N*)， 解析： ， ＋ ∈ ， 因此a 因此 n＝n，Sn＝ ， 答案： 答案：C
3．[理]数列 n}满足：an＝ ． 理 数列 数列{a 满足 满足： 数列，则实数 的取值范围是 数列，则实数a的取值范围是 A．( ． C．(1,3) ． ，3) B．[ ． D． (2,3) ． ，3)

1.某学校高一、高二、高三共计2460名学生，三个年级的学 某学校高一、高二、高三共计 名学生， 某学校高一 名学生 生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是( 生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 A.800 C.840 B.820 D.860 )
解析：由题意可设高一、高二、 解析：由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为 a－d，a，a＋d. － ， ， ＋ 则a－d＋a＋a＋d＝2460， － ＋ ＋ ＋ ＝ ， ∴a＝ ＝ ＝820.
时，取得最小值，此时n＝800. 取得最小值，此时 ＝ 答案： 答案：B
与等比数列联系较密切的是“增长率 、“递减率 的问题， 递减率”的问题 与等比数列联系较密切的是 增长率”、 递减率 的问题， 增长率 在经济上要涉及到利润、成本、效益的增减问题； 在经济上要涉及到利润、成本、效益的增减问题；在人口 数量的研究中也要研究增长率问题； 数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更要涉及利 率的问题，这都与等比数列有关． 率的问题，这都与等比数列有关．
2008年金融危机严重影响了世界经济，某市为了 年金融危机严重影响了世界经济， 年金融危机严重影响了世界经济 拉动内需，决定 年新建住房400万平方米，其中有 万平方米， 拉动内需，决定2009年新建住房 年新建住房 万平方米 其中有250 万平方米是中低价房，在以后的若干年内， 万平方米是中低价房，在以后的若干年内，该市每年新建 住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中 另外，每年新建住房中， 住房面积平均比上一年增长 另外 低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一 低价房的面积均比上一年增加 万平方米，那么， 万平方米 年年底， 年年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积 以2009年为累计的第 该市历年所建中低价房的累计面积(以 该市历年所建中低价房的累计面积 年为累计的第 一年)将首次不少于 万平方米？ 一年 将首次不少于4 750万平方米？ 将首次不少于 万平方米 (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例 首次大于85%？(1.085≈1.47) ？ 首次大于
2．解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是： ．解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是： 从实际出发，通过抽象概括建立数列模型， 从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模 型的解析，再返回实际中去，其思路框图为： 型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
(2010·安庆模拟 某市 安庆模拟)某市 月份曾发生流感， 安庆模拟 某市2009年11月份曾发生流感，据 年 月份曾发生流感 统计， 月 日该市新的流感病毒感染者有 日该市新的流感病毒感染者有20人 此后， 统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有 人，此后，每天 的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人 的新感染者平均比前一天的新感染者增加 人，由于该市医 疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起， 疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起， 每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月 每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少 人 月 30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共 日止，该市在这 日内感染该病毒的患者总共 日内感染该病毒的患者总共8670人，问 日止 人 11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天 月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？ 月几日 的新患者人数． 的新患者人数．
设中低价房面积构成数列{a ，由题意可知{a 【解】 (1)设中低价房面积构成数列 n}，由题意可知 n} 设中低价房面积构成数列 是等差数列. 是等差数列 其中a 其中 1＝250，d＝50， ， ＝ ， 则Sn＝250n ＋ 令25n2＋225n≥4 750， ， 是正整数， 即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10. － ， 是正整数 年年底， ∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首 年年底 次不少于4 万平方米. 次不少于 750万平方米 万平方米 ×50＝25n2＋225n. ＝
5.已知数列 n}中，a1＝2，点(an－1，an)(n＞1且n∈N)满足 ＝ 已知数列{a 中 满足y＝ 已知数列 ， ＞ 且 ∈ 满足 － 2x－1，则a1＋a2＋…＋a10＝ － ， ＋ .
解析： 解析：an＝2an－1－1⇒an－1＝2(an－1－1)， ⇒ ＝ ， － －
－ ∴{an－1}是等比数列，则an＝2n－1＋1. 是等比数列， 是等比数列
且{an}为递增 为递增 ( )
解析：依题意，实数 满足 解析：依题意，实数a满足 解得2<a<3. 解得 答案： 答案：D
[文]若a，b，c成等比数列，则函数 ＝ax2＋bx＋c的图象与 轴 文 若 ， ， 成等比数列 则函数y＝ 成等比数列， 的图象与x轴 ＋ 的图象与 的交点的个数为 A.0 C.2 B.1 D.不能确定 不能确定 ( )
2.等比模型： 等比模型： 等比模型 一般地，如果增加 或减少 的量是一个固定的百分数时， 或减少)的量是一个固定的百分数时 一般地，如果增加(或减少 的量是一个固定的百分数时， 该模型是等比模型，与变化前的量的比就是公比 该模型是等比模型，与变化前的量的比就是公比. 3.混合模型： 混合模型： 混合模型 在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型 在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型.
解析：由第 天的维修保养费为 解析：由第n天的维修保养费为
元(n∈N*)，可以得出 ∈ ，
观测仪的整个耗资费用， 观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成
立时相应n的值． 立时相应 的值． 的值
设一共使用了n天 则使用 天的平均耗资为 设一共使用了 天，则使用n天的平均耗资为
＋ 4.95，当且仅当 ，
＋2445n－14850，依题设构建方程有，Sn＋Tn＝8670， － ，依题设构建方程有， ，
∴25n2－5n＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670，化简， ＋－ － ＝ ，化简， n2－61n＋588＝0，∴n＝12或n＝49(舍)，第12天的新的 ＋ ＝ ， ＝ 或 ＝ 舍， 天的新的 患者人数为20＋ － 患者人数为 ＋(12－1)·50＝570人，故11月12日，该市 ＝ 人 月 日
∴a1＋a2＋…＋a10 ＋ ＝10＋(20＋21＋22＋…＋29) ＋ ＋ ＝10＋ ＋ 答案： 答案：1033 ＝1033.
1.解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的 解等差数列应用题，首先要认真审题， 解等差数列应用题 实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题 实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系， 抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准 抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、 化．然后用等差数列知识求解．这其中体现了把实际问 然后用等差数列知识求解． 题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力． 题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力．