高三数学几种常见函数导数
高三数学考点-导数的概念及运算
第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． ①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x;(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3：⎣⎡⎦⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)， (x α)′＝(α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x )′＝____________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝___________________ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αxα－1(2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为a －1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．故选A .(2015·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为( ) A ．y ＝e x B ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e.故函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e .故选D .(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解：f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.故填3.(教材习题改编)若函数f (x )＝x 2＋2x －3，则曲线y ＝f (x )在点P (2，5)处的切线的斜率是________． 解：f ′(x )＝2x ＋2，f ′(2)＝6.故填6.类型一 导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数． 解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx＝0lim →∆x [(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x Δx 2Δx ＝0lim →∆x Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.【点拨】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)． (1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度． 解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝5（1＋Δt ）3＋30（1＋Δt ）2＋45（1＋Δt ）＋4－84Δt＝5Δt 3＋45Δt 2＋120ΔtΔt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120， 所以航天飞机在第1 s 末的瞬时速度为120 m/s.类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.【点拨】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．求下列函数的导数： (1)y ＝e x cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x ex ；(4)y ＝ln 1＋2x ；(5)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x (cos x －sin x )． (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x ）′ln x （e x ）2＝1x e x －e x ln x （e x ）2＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .(4)y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，所以y ′＝12·11＋2x (1＋2x )′＝12·11＋2x ·2＝11＋2x.(5)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin4x .所以y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .类型三 导数的几何意义(2016·广州模拟)f (x )＝2x＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________．解：f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1，5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.故填x －y ＋4＝0. 【点拨】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·广州模拟)曲线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74 的切线方程为________． 解：设所求切线与曲线相切于点P ⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20.易知y ′＝12x ，则y ′|x ＝x 0＝12x 0.故74－14x 204－x 0＝ 12x 0，整理得x 20－8x 0 ＋ 7 ＝ 0，解得x 0＝7或x 0＝1，所以点P ⎝⎛⎭⎫7，494或P ⎝⎛⎭⎫1，14，由两点式得切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.故填14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.(2016·兰州诊断)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．－3 D.12解：y ′＝x 2－3x ，令y ′＝－12，得x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以所求切点的横坐标为2.故选B .【点拨】求切点坐标问题，一般通过解方程或方程组求得，要注意其取值范围．(2016·无锡一模)曲线y ＝x －1x(x ＞0)上点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则点P 的坐标为________．解：由题意可得y 0＝x 0－1x 0，x 0＞0，因为y ′＝1＋1x2，所以过点P 的切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)， 令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，所以△OAB 的面积S ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x 0＝5(舍去负根)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，455. 故填⎝⎛⎭⎫5，455.(2016·柳州模拟)曲线g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b ＝( )A.72B.52C.32D.12解：g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，则g ′(1)＝11，又g (1)＝72＋b ，故曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫72＋b ＝11(x －1)，由该切线过点(0，－5)，得b ＝52.故选B .【点拨】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，对曲线方程求导得y ′＝1x ＋a ，故切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝1x 0＋ax －x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )，据题意得1x 0＋a ＝1且－x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )＝1，解得x 0＝－1，a ＝2.故选B .1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法 (1)利用导数的定义，即求0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一．1．(2016·郑州一检)曲线f (x )＝e x sin x 在点(0，f (0))处的切线斜率为( )A ．0B ．－1C ．1 D.22解：f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以k ＝f ′(0)＝1.故选C .2．P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上的一点，曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4解：y ′＝3x ＋1，令其等于4得x ＝1，代入切线方程得y ＝3，即切点坐标为(1，3)，代入曲线方程得3＝1＋k ，k ＝2.故选A .3．(2016·淄博质检)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B .4．(2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，3)和(－1，3) D ．(1，－3)解：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．故选C .5．(2017·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e解：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .故选C .6．(2016·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解：l 与y 轴交点为(0，2)，可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率k 等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B . 7．(2016·江西师大附中三模)如图所示，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f (4)＋f ′(4)的值为________．解：由图可知f (4)＝5，f ′(4)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝4处切线的斜率，故f ′(4)＝5－34－0＝12，故f (4)＋f ′(4)＝5.5.故填5.5.8．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可．故填⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线方程． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，所以x 0＝±1. 所以切点为(1，1)或(－1，7)． 切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以所求切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝y ′|x =x 0＝x 20， 所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. 因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解：设过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.故选A .。
新高三数学导数知识点总结
新高三数学导数知识点总结高三数学导数知识点总结导数是高中数学中非常重要的一个概念，它在微积分中起着至关重要的作用。
在高三学习数学的过程中，导数是一个必需掌握的知识点。
本文将对高三数学导数知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地掌握该知识。
一、导数的定义及基本性质导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应的函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，若极限lim (Δx→0) [Δy/Δx] 存在，那么称该极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x0)=lim (Δx→0) [Δy/Δx]。
导数具有以下基本性质：1. 可导性：如果函数f(x)在某点x0处存在导数f'(x0)，那么称函数f(x)在点x0处可导。
2. 可导性与连续性的关系：如果函数f(x)在某点x0处可导，则函数f(x)在点x0处一定连续。
3. 常数函数导数为零：对于常数c，有f'(x)=0。
4. 导数的四则运算法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，那么有：(1) (u ± v)' = u' ± v'；(2) (cu)' = cu'，其中c为常数；(3) (uv)' = u'v + uv'；(4) 当v(x)≠0时，(u/v)'= (u'v - uv')/v^2。
二、常见函数的导数公式1. 幂函数的导数：设f(x) = x^n，其中n为正整数，则有f'(x) = nx^(n-1)。
特殊情况：当n=1时，f'(x) = 1。
2. 指数函数的导数：设f(x)=e^x，则有f'(x) = e^x。
3. 对数函数的导数：设f(x) = ln(x)，则有f'(x) = 1/x。
4. 三角函数的导数：(1) 设f(x) = sin(x)，则有f'(x) = cos(x)。
高三数学教案 几种常见函数的导数1
几种常见函数的导数教学目标：1. 熟练掌握函数(),nC x n Q ∈，sin ,cos x x 的导数公式2. 掌握利用函数(),nC xn Q ∈，sin ,cos x x 的导数公式求切线问题和瞬时速度问题3. 掌握切线问题的求解，注意讨论切点的情况4. 培养学生分类讨论的数学思想 教学重难点： 重点：函数(),nC x n Q ∈的导数公式难点：()nxn Q ∈导数公式的推导；切线问题的求解教学过程：1. 公式1：0C '=（C 为常数）2. 公式2：()()1,nn xnx n Q -'=∈证明：()()()nn y f x x f x x x x ∆=+∆-=+∆-()()21122n nn n nn n n n x C xx C x x C x x --⎡⎤=+∆+∆+⋅⋅⋅+∆-⎣⎦()()21122nn n nn n n C x x C x x C x --=∆+∆+⋅⋅⋅+∆∴()()()()2112200lim lim n nn n n n n n x x y f x x C x x C x x C x x --∆→∆→∆'⎡⎤'===∆+∆+⋅⋅⋅+∆⎣⎦∆1n nx -=注意：二项式定理的运用：()11,2,3,r n r rr n T C ab r n -+==⋅⋅⋅例如：()323x x '=， ()2213231222x x x x x ----'⎛⎫'==-=-=- ⎪⎝⎭11112221122x x x --'⎛⎫'==== ⎪⎝⎭与112P 例2 比较22513332233x x x ----''⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭3. 公式3 ()sin cos x x '=---------------------由正变邪易4. 公式4 ()cos sin x x '=--------------------由邪变正难（加负号） （不要求证明）例题：（1）115P 练习----------1，2 （2）瞬时速度问题： 116P 习题3.2-----1，2 （3）切线问题①116P 习题3.2-----3，4，5注意：求切线的步骤：（1） 先确定已知点()00,x y 是否为切点（在点处为切点，点在曲线上不一定是切点） （2） 求导数()f x '或y '（3） 求斜率()0k f x '=或0|x x k y ='= （4） 利用点斜式写出切线方程②已知函数3y x =，求过点()1,1P 的切线方程解: 点()1,1P 满足3y x =，所以在3y x =的图像上（1） 当点()1,1P 为切点时，23y x '=，所以1|3x k y ='==切线方程为()131y x -=-，即：320x y --=（2） 当点()1,1P 不是切点时，设切点为()300,x x ()01x=，则020|3x x k y x ='==所以切线方程为()20003y y x x x -=-，点()1,1P 在切线上，∴()32000131x x x -=-，即：32002310x x -+=，所以()()20001210x x x ---=()()2001210x x -+=，∴012x =- 切点为11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭，切线方程为131842y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即：3410x y -+=注意：当切点不确定时，应对是否为切点进行分类讨论。
几种常见函数的导数
(3) y 1 x1 y' 1 x11 x2
(4)
x1
y x x2
y
(
x
1 2
)
1
x
1 2
1
1
2 2x
2.已知y x3,求y x2
解： y (x3 ) 3x31 3x2 y x2 3(2)2 12
同理可证,公式4: (cos x) sin x.
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x4 (2) y x3
(4) y x (5) y sin 450
(3) y 1 x
(6)u cos v
解：
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(2) y (x3) 3x31 3x4
2cos(x x )sin x ,
2
2
y x
2cos(x x )sin x
2
2
x
cos(x
x 2
)
s
in x 2
x
,
f
( x)
(sin
x)
lim
y
lim
cos(x
x
)
2
lim
sin
x 2
x x0
x0
2 x0 x
2
cos x 1 cos x.
C1n
x n 1x
C
2 n
xn2
(x)2
...
C
n n
(x)n
y x
C1n x n1
高三数学求导知识点
高三数学求导知识点求导是高三数学中重要的内容，它是微积分的基础，也是进一步研究函数性质的重要工具。
在高三数学中，求导涉及到常见函数的导数计算、求导法则的应用等。
下面将介绍一些高三数学求导的知识点。
1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率，可以用极限来定义。
对于函数y=f(x)，在点x=a处的导数表示为f'(a)，其定义如下：f'(a) = lim（h→0）[f(a+h)-f(a)] / h其中，h是一个趋近于0的实数。
导数描述了函数在该点处的瞬时变化率。
2. 基本函数的导数求法常见的基本函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
求解这些函数的导数可以根据求导法则进行计算。
- 常数函数：常数函数的导数为0。
- 幂函数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)，其中n为实数。
- 指数函数：指数函数f(x)=a^x（a>0，且a≠1）的导数为f'(x)=a^x*ln(a)。
- 对数函数：对数函数f(x)=log_a(x)（a>0，且a≠1）的导数为f'(x)=1 / (x * ln(a))。
- 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数分别为：- 正弦函数f(x)=sin(x)的导数为f'(x)=cos(x)。
- 余弦函数f(x)=cos(x)的导数为f'(x)=-sin(x)。
- 正切函数f(x)=tan(x)的导数为f'(x)=sec^2(x)。
3. 求导法则求导法则是一些常见函数的导数计算公式，可以简化求导过程。
- 基本求导法则：- 函数和：若f(x)=u(x)+v(x)，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。
- 函数差：若f(x)=u(x)-v(x)，则f'(x)=u'(x)-v'(x)。
- 数乘：若f(x)=c*u(x)，其中c为常数，则f'(x)=c*u'(x)。
高三函数与导数知识点总结
高三函数与导数知识点总结函数与导数是高三数学中重要的知识点，它们在解决实际问题和推导数学公式中起到至关重要的作用。
本文将对高三函数与导数的相关知识点进行总结，并提供一些例题以加深理解。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合的元素（因变量）。
函数可以用符号表示为f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
函数在数学中有着广泛的应用，如描述物理运动、经济变化等。
二、函数的分类1.一次函数：f(x) = ax + b，其中a和b是常数，a不能为0。
一次函数的图像为一条直线，斜率a决定了直线的倾斜方向和程度，而常数b则决定了直线与y轴的交点位置。
2.二次函数：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，a不能为0。
二次函数的图像为一条抛物线，a决定了抛物线的开口方向，b和c决定了抛物线的位置。
3.指数函数：f(x) = aˣ，其中a是常数，且大于0且不等于1。
指数函数的图像为以点(0, 1)为底的指数曲线，呈现上升或下降的趋势。
4.对数函数：f(x) = logₐ(x)，其中a是常数，且大于0且不等于1。
对数函数的图像为以点(1, 0)为底的对数曲线，呈现上升或下降的趋势。
三、导数的概念导数是函数在某一点上的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
导数可以用符号表示为f'(x)或dy/dx，其中x表示自变量，f(x)表示函数。
导数在实际问题中有着重要的几何和物理意义。
四、导数的计算方法1.函数的导数定义：导数的定义为f'(x) = limₜ→0 [f(x + t) - f(x)] / t，其中lim表示极限。
2.常见函数的导数：- 一次函数f(x) = ax + b的导数为f'(x) = a。
- 二次函数f(x) = ax² + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b。
- 指数函数f(x) = aˣ的导数为f'(x) = aˣln(a)。
新高三数学导数知识点归纳
新高三数学导数知识点归纳导数是高等数学中的重要概念，是微积分中的基础内容。
在高三数学学习中，导数知识点是必学的内容之一。
本文将对新高三数学导数知识点进行归纳和总结，帮助同学们更好地掌握这一知识。
一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，用数学符号表示为f'(x)，读作"f关于x的导数"，也可以读作"f的导数"。
导数的定义如下：若函数f(x)在点x处有极限lim┬(△x→0)〖(f(x+△x)-f(x) )/△x=lim┬(△x→0)(△f(x)/△x=f'(x)〗其中Δf(x)表示函数f(x)在点x处的增量，Δx表示自变量的增量。
二、常用函数的导数1. 常数函数的导数：对于常数函数f(x)=c (c为常数)，其导数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n (n为正整数)，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a^x (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=a^x*lna。
4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x)=logₐx (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=1/(x*lna)。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数(sin、cos、tan等)的导数如下：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2x。
三、导数的运算法则1. 基本运算法则：（1）常数的导数为0；（2）导数的线性性，即导数与常数的乘积等于常数乘以导数。
2. 加减法法则：（1）两个函数的和(差)的导数等于两个函数的导数的和(差)；（2）即(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。
3. 乘积法则：（1）两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数；（2）即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
高三导数知识点总结
高三导数知识点总结导数是数学中的重要概念，在高三数学学习中起着至关重要的作用。
本文将就高三导数知识点进行总结，帮助同学们复习和加深理解。
一、导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率，可以用极限的概念来定义。
对于函数f(x)，在x点的导数可以表示为：$f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x+\Delta x) -f(x)}}{{\Delta x}}$在实际计算中，我们也可以利用导数的基本公式进行求解。
二、导数的计算法则1. 常数法则：若f(x) = c（c为常数），则f'(x)=0。
2. 幂的法则：若f(x) = x^n（n为正整数），则f'(x)=nx^{n-1}。
3. 基本初等函数的求导法则：对于常见的基本初等函数 f(x)，可以利用以下规则求导：a) f(x) = c（c为常数），则f'(x)=0。
b) f(x) = e^x，则f'(x)=e^x。
c) f(x) = a^x（a为正常数且不等于1），则f'(x)=a^x·lna。
d) f(x) = \ln{x}，则f'(x)=\frac{1}{x}。
e) f(x) = \sin{x}，则f'(x)=\cos{x}。
f) f(x) = \cos{x}，则f'(x)=-\sin{x}。
g) f(x) = \tan{x}，则f'(x)=\sec^2{x}。
h) f(x) = \cot{x}，则f'(x)=-\csc^2{x}。
i) f(x) = \sec{x}，则f'(x)=\sec{x}·\tan{x}。
j) f(x) = \csc{x}，则f'(x)=-\csc{x}·\cot{x}。
三、导数的运算法则1. 和差法则：设函数u(x)和v(x)都在x点可导，则(u(x)±v(x))' = u'(x) ± v'(x)。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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12
又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
高三数学导数和函数知识点
高三数学导数和函数知识点一、导数的定义及性质导数是函数在某一点上的斜率，表示函数在该点的变化率。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么导数可以通过以下公式计算：f'(x)=lim[x→x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)导数具有以下性质：1. 导数存在的条件：函数在某一点处的导数存在，意味着该点是函数的可导点。
函数可导的必要条件是在该点上函数的左右导数存在且相等。
2. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在点x0处可导，则在该点上函数是连续的。
但是函数在某一点处连续并不意味着导数存在。
3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点上的切线的斜率，切线的方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。
4. 导数的运算法则：导数满足加减乘除的运算法则，例如导数的和的导数等于各个导数的和，导数的乘积的导数等于各个因子的导数之积等。
5. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为高阶导数，记作f''(x)，依此类推。
二、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x *ln(a)，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。
4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数正弦函数f(x)=sin(x)、余弦函数f(x)=cos(x)和正切函数f(x)=tan(x)的导数分别为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)和f'(x)=sec^2(x)。
三、导数应用导数在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 极值问题：通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值点。
数学高三知识点导数
数学高三知识点导数导数是高中数学中的一个重要概念，也是微积分的基础知识。
它在各个学科领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数学高三阶段的导数知识点，包括导数的定义、导数的计算方法以及导数在实际问题中的应用。
1. 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，用于描述函数的瞬时变化情况。
在数学上，导数可以通过极限的方式来定义。
对于函数f(x)，其在x点处的导数可以表示为f'(x)，公式为：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx其中，Δx表示x的增量。
2. 导数的计算方法导数的计算方法主要有以下几种：2.1 基本函数的导数：- 常数函数的导数为0；- 幂函数 y = x^n 的导数为 y' = n*x^(n-1)；- 指数函数的导数为 y' = a^x * ln(a)；- 对数函数的导数为 y' = 1 / (x * ln(a))；- 三角函数的导数为 y' = cos(x)、y' = sin(x)、y' = tan(x) 等。
2.2 复合函数的导数：利用链式法则，复合函数的导数可以通过对内函数和外函数分别求导后再相乘得到。
2.3 隐函数的导数：对于隐函数，需要利用隐函数求导法则来求导。
根据方程两边对自变量求导，然后解出导数。
2.4 参数方程的导数：对于参数方程，需要分别对自变量求导。
3. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：3.1 导数存在的条件：函数在某点处可导的条件是函数在该点左右极限存在且相等。
3.2 导数的几何意义：函数在某点处的导数等于该点切线的斜率。
3.3 导函数的性质：若函数f(x)在[a, b]上可导，则在[a, b]上连续。
4. 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用：4.1 极值问题：导数可以用来求函数的极值点，即函数的最大值和最小值。
4.2 切线与法线问题：函数在某点处的导数即为该点处的切线斜率，可以用来求切线和法线的方程。
高三数学几种常见函数的导数
1 4 t 4
练 习
求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x=2所围城的三角形的面 积。
； 营销手机 ；
接着,他挥出一股申历,要将纪沄国尪转移到手中の绿色珠子之内.鞠言看了看方烙老祖,自是不会阻止.纪沄国尪の情况已是如此,申魂体正在溃散,能够说是必死无疑の境地.现在方烙老祖说有办法延缓纪沄国尪の寿命,鞠言当然想要试一试.当纪沄国尪被转移到绿色珠子之内,方烙老 祖似是轻呼出一口气.“鞠言战申,此物叫做离魂珠,是一件申魂至宝,也算是天然の混元异宝.此物,能帮助修行者提升申魂强度.”方烙老祖对鞠言介绍离魂珠呐件宝物.方烙老祖说得轻松,但当鞠言听其介绍后,便是知道,呐离魂珠の价值,绝对难以想象.“离魂珠内,自有一个空间.纪 沄国尪在离魂珠空间,申魂体应是能暂事稳定.即便仍然会溃散,但至少能争取到不少の事间.鞠言战申,现在俺将离魂珠交给你.”方烙老祖将手中の绿色珠子,递给鞠言.而看到呐绿色珠子,仲零王尪の目光也连续出现变化.仲零王尪,知道呐离魂珠是何物.不仅仅是仲零王尪,还有其他 几个王国の王尪,乃至战申等等人员,他们の目光,都盯在离魂珠之上.虽然尽历の掩饰,但他们の眼申琛处,偶尔闪过の光泽,暴露了他们对离魂珠の极度在乎.“方烙老祖,此恩,俺鞠言记下了.待俺找到办法,治好纪沄陛下,便将此宝物还给你.”鞠言接过离魂珠,对方烙老祖琛琛躬 身.“呐个以后再说吧！鞠言战申,纪沄国尪在俺法辰王国被红叶大王攻击,法辰王国也有一份责任.你,不必如此客气.”方烙老祖摆摆手道.事实上,拿出离魂珠,方烙老祖也是极为心疼.离魂珠,乃是混元空间最为珍贵の宝物之一.混元空间,有一叫做蓝槐の申魂果实.善王级の修行者, 使用此物,都能够显著增强申魂强度.蓝槐果实,是一种价值无比珍贵の东西,寻常事几乎不可能购买到.而呐离魂珠,正是与蓝槐有直接の关系.不过,蓝槐在吞服之后,也只有一次の效果.而离魂珠,却是能长久使用.蓝槐の价值,与离魂珠根本就无法相比.整个混元空间,也找不到几颗离 魂珠.“方烙老祖,竟是将离魂珠都拿出来给鞠言战申使用了.”“呐下子,鞠言战申欠法辰王国の人情可就大了.”“嗯,其他王国,没机会授予鞠言战申名誉大公爵身份了.”“不得不说,方烙老祖也真是果断.如果是俺有离魂珠,那恐怕不会舍得拿出来.”“离魂珠,无价之宝.而且此 物,对任何层次の修行者尽皆有用.便是天庭大王,也能使用离魂珠.”万江王尪、秋阳王尪等人,都低声交谈.方烙老祖拿出离魂珠给鞠言战申使用,令他们有些震惊.“鞠言战申,你万万不要着急.红叶大王,为天庭拾二大王之一,实历之强,琛不可测.以你现在の实历,无法与其对抗.所 以短事间内,你可不能主动去找红叶大王或者是去红叶王国.”方烙老祖又对鞠言道.他虽也心疼离魂珠,但既然已经拿出来交给了鞠言,他便不会再患得患失.“俺明白.老祖放心,没有足够の实历之前,俺不会愚蠢到自身找死.”鞠言点点头说道.“那就好！唉,谁也无法想到,在本届战 申榜排位赛期间,竟会发生呐样の事情.”“那红叶大王,本是高高在上の至尊人物.在以前,俺也曾与其有过接触,不曾发觉,他如此の霸道欺人.”方烙老祖摇摇头,他对红叶大王の所作所为,当然极度の不满意.只是,面对一位大王,他方烙老祖也莫可奈何.“仲零王尪,呐排位赛继续 吧！决赛阶段第三轮挑战,总要完成才是.”方烙老祖又对仲零王尪道.第三零伍三章鞠言の背鞠虽然发生了红叶王国要斩杀鞠言战申,并且有两位天庭大王降临呐等事情,但本届战申榜排位赛尚未全部结束,决赛阶段第三轮挑战自仍要进行.战申榜の排位,总不能就呐么半途而废！ “好！”仲零王尪回应了方烙老祖.随后,方烙老祖、仲零王尪二人飞身返回悬空台.方烙老祖,暂事没有离开の意思,他应该是打算留下来等到第三轮挑战结束了.或许,也有担心接下来再出哪个意外之事の原因.“红叶王国,真是够霸道！”万江王尪开口说道.“嗯,段泊王尪在俺们面 前,也是更高の姿态.以前,他给俺感觉还没如此强烈,呐一次俺却是琛琛体会到了.”巴克王国の洛彦王尪点点头说道.“也就是由于红叶大王の存在,如果没有红叶大王,俺才不会忍他！”秋阳王尪咬了咬呀道.几位王尪,都对红叶王国以及段泊王尪表达不满.今日所发生の事情,令他 们几个王国都丢了颜面.就他们个人の想法来说,鞠言战申是否会被斩杀,他们其实也不是太在意.但问题是,不能在呐种场合下杀死鞠言战申,那是打他们几个王国の脸皮.而近日若不是伏束大王到来,那他们几个王国还真是没有任何办法.伏束大王,多多少少也令他们几个王国,保存了 一些颜面.“决赛阶段第三轮挑战,继续进行.下面,俺喊到名字の战申,请登上悬空台.”柳涛公爵收了收心思,再次开口,浑厚の声音响彻大斗场.由于尹红战申已经离开,所以之前确定の需要尹红战申参与の对战,肯定也不能正常进行了.至于呐场对战到底如何评断,接下来还需要几个 王国共同商量.挑战尹红战申の,是战申榜上目前排名第四の安吉战申,他是天轮王国の战申.还有一场对战,就是鞠言与玄秦尪国肖常崆战申の对战.由于鞠言被尹红偷袭击伤,所以呐一战,鞠言准备放弃了.此事逞强与肖常崆对战,没有任何の意义,只会令自身陷入险地.肖常崆战申,是 战申榜上排名第拾の存在,实历极
几种常见函数的导数
f ' (x) C ' lim y 0 x0 x
公式二 (xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
下面我们就n∈N*的情况加以说明。
证明：y f (x) xn
y f (x x) f (x) (x x)n xn
xn
；吸尘器 https:/// ；
几种常见函数导数
子的魔鬼，又被计谋引回———一个生命在瞬间夭折。值得一提的是，直到现在仍然使用的井，它的生命质量令我们感佩莫名。对一眼井的要求，古人今人不会存有太大的差别，只是当时更多地作用于味觉，守一眼井，过一辈子。时光就是在变化中展开的，对于流逝不已中存在的一眼简 陋的井，成了今日审美的良好向导。 ? 如果不是有意地填埋，一眼井的年龄要远远超过了一个人、一个时代。深邃的井让人想起同样长久的大树，一个向下延伸，一个朝上生长。巨大的树干令人联系浑圆的井口，笔直的井如同直入云天的树干。井和树在不同的两极里素来默不出声，如 果不是雨点落入井内，或者风掀动枝叶，安静是它的共同的语言。干枯的井会令人想起干枯的树———干，意味着生命已经走远，只是残骸遗留。枯井的命运比枯树更为悲怆，它甚至就成了垃圾倾倒的场地，远远不如枯树在烈焰中焚化快慰。我们看到的是，城市的高楼越来越多，古井必 然越来越少。许多高楼底下就是被填埋结实的井，发不出丝毫呜咽。城市里幸存的井，井沿上已很少汲水的印迹，人们只须两个指头轻轻捻动精致的水龙头，水便喷涌而出，不必弯腰揽绠作辛劳状，一种姿势从此消失。 ? 曾经水井密集的村庄，大片大片地迁移走了。时代的变化之一就 是人不安地移动。整个村庄搬得彻底干净，车运马驮，手提肩挑，甚至一些破烂用具，也因为车厢尚有些许空隙，也登上了旅程。在搬不动的物品里，井是最典型的，没有谁能把它移走。是人遗弃了井，还是井背离了人？当人们在新的居所，品着茶，觉出口味不对，才会想起丢在荒村中 的井如何甘美，想起曾经过往的日子，想起井沿边的许多故事。不需特地设置悬念，一口与自己的童年、少年每日相伴的古井，那种清新和华滋，连同水汪汪的神秘，已经沁入了体内，纵使后来远走高飞，异域的风云蓄意介入并想取代昔日的痕迹，还真难成功。怀乡的主题如新月一般静 静升起，也就是从不变的古井开始吧。不变的古井和多变的世相，不变意示着被封存、浓缩，在大寂寞中延伸、传递，使藏在幽深中的内容更值得寻绎。爱迁徙的人与移不动的井，如长风之于古树，不能互相厮守是一种必然。只能这么去面对了，当一眼古井孤零地停留在荒村里，倒映着 孤月，它的凄美将使我们更加怜爱。 ? 那些对于古井，不，就是对于一般的井也一无所知的少年，和那些曾经享受着汲绠之乐的少年相比，体验中肯定缺失了一个空间。一定会有一些人，在拨弄着便利的水龙头时，会在自己回眸的角度里，看到地下的潜流正在深处发出渴望的冲动，期 待着涌出，重新成为生活的甘霖———我们所说的美感，一口井也足够赐予我们的了。 ? 在风中长大 ?年复一年地在讲台上讲授中国书法，不断地变换讲话套路，加入不时出现的新见——这些由我自己感受到的，极力传导给学生的，其中就含有我许多的偏爱。 ? 我和那时节的古人一样， 喜爱用风来作喻。风是无形之物，看不见摸不着，不像其他喻体那样坚硬，非得把外壳撬开了，才知道里边裹藏着什么。风的缥缈无着，当然也更适合于感悟、意会。我乐意用无形来指代有形，也就是想让感觉模糊一些、虚幻一些，不胶著于一笔一划。遇上脑袋瓜太实在又执著不化的学 生，我就显得无奈了。 我经常运用的是这么一些与风有关的比喻：索靖书如飘风忽举，鸷鸟作飞；王献之书如大鹏抟风，长鲸喷浪；米南宫书如风樯阵马，快剑斫阵；诸如此类，很多。 ? 许多年过去了，许多学生离开了教室，回到自己生活的现实圈子，笔迹被实在的日子冲刷得东歪西 倒甚至恶俗不堪，不过我想，他们对于我的妙喻，应该记忆犹新。 ? 一个如此热爱以风作喻的人，心的深处肯定潜伏着不尽的风源，被风裹挟着，在风中一点点地长大——我想起孙行者惯用的一个动作，就是把细微的毫毛放在左掌心上，吹一口气，这就是风，霎时，掌中兵将成形、壮 大，化为无数。 ? 说风，可以从我小时候居住的环境追溯过来。夸张地说，这个滨海小城，走几步就可以看到逐排推动的雪浪花；而城市的另一面，则是终年绿意披拂的高山。这个小城的古典气味，就在海风和山风的冲兑下回旋，漾来漾去。从童年的眼光看，生活的步调就要比坐落在 盆地里的人生要快捷得多——灵活精明，善思妙悟，甚至要比同时代的人更早领略乘风破浪的滋味，到南洋谋生。 ? 一个城市充满风声，它的步子停不下来，它停下来的时候，城市已经没有生机。 ? 当我第一次走出家门，进入街道，这个小城主要街道就是十字交叉，分别延伸到东西南 北带着稻花和藕塘气味的田野。小城自有小城的格局，它的巷子尤其多，如细血管一样地扩张到每一个家庭的后门，通过小巷，风吹满每一家庭院。 ? 小城人家安然地度着夏日，每人一把蒲扇，指掌轻轻收住扇把，左右摇动。黄昏到来的时候，妇人必将挥动蒲扇，将麻织帐中嗡嗡营营 的蚊群驱散，放下帐子，掖于席下。邻居只隔一层木板，晚间醒来，可以听到隔壁摇动蒲扇的声响，扇了几下，扇子掉落在地，人翻一个身，睡去，七块木板拼就的床缝，发出咯咯声响。一个人夜间翻动的声响都为邻家觉察，这个夜的静谧，走到了一天之中的极致。一个没有任何降温设 备的居家生活，从夏日里探到了它的朴素和简单，同时充满了对于气候轮转的乐于接受，还有婉约的调整，调整到稍稍适应即可，用一把充满草香的蒲扇。这与如今终日在写字楼内，空调的制动使整座大楼冷飕飕不同，白领可以在夏日穿着笔挺的西服，却不知，一个人不感受夏日之炎热， 是辜负了这个时节固有的赏赐。我很少听到人抱怨五十年代夏日的不是，它与人的需求距离相差不远。一个还没有高楼大厦的小城，在低矮的建筑上同样糅入了匠心，巧妙地引风转化，穿过每一个居室，甚至可以放下蒲扇，眯起双眼品咂一番。 ?整个夏日，我奔跑于家中的林木菜园中， 品尝着园中桃子、木瓜、龙眼、番石榴，还有西红柿、地瓜与花生。这后两类，生吃才见出滋味的独特。而人在西红柿畦中穿行，绿枝绿叶有些软刺，脆弱中易于折断，泛起不可言说的气味，这是我少年时一直困惑、无法描绘的气味，而且我也没见过哪个田园作家写出这种奇异的味道。 少年时写不出事，至今更缺乏这种能力了。成年后我再一次触动西红柿时，这些变种的植物，已经不是我少年时期的土壤里的那种枝条，还有气味。自然，果实在颜色绚丽的外表下，硕大远远地超过我栽种的本地品种，托在手上沉甸甸，发出妖冶的光亮。果实的最终目的不是观赏，而是 品尝，在入口咬破皮层的时候，汁液溢出，我无比陌生——这些同样冠之以西红柿的果实，已经走到原有滋味的另一端了。孩童捧在手上，一小口一小品地咬食，我想没有什么人有能力告诉他——原有的西红柿比这要美味十倍。就像过去，那一阵风过去了，就永远地过去，不再回头，可 以套用一句话来表达：没有一个人两次被同一阵风吹拂。 ? 在一个朴素寒俭的家庭，没有电器缘于没有必要，同时也缘于对它的陌生，超过了生活经验的积累。总是在晚饭的时候，借助夕阳的余晖品尝，每一口饭和菜，都充满芳香。一盏忽忽悠悠的煤油灯摆上了桌，火舌温柔、委婉， 昏黄暗淡，却可以照见一家老小。在摇曳的火舌下，厨房里是母亲熟练运动着的双手，碗碟正在被涮洗，暗中反射着寒光。没有电灯通明的老宅，简陋中透着温馨，是一种干稻草堆那般的温暖。作业正在紧张地过目、过手，一些题解不出来，想得久了，一直下不了手，后来下手了，也是 往歧路上走，心不禁慌了起来。心慌与煤油灯的消耗成正比，渐渐可以看到灯油在瓶子里耗下去的痕迹。后来，我的动作敏捷及性子猴急，我想可以一直追溯到这个煤油灯的少年时代。每一分钱都要靠算计来使用的家庭，遵循的就是快与省的原则——当作业实在做不过来，那么，快上床 是最好的方式，待到明天一早，借晨光的熹微，继续攻读，无疑是最佳的策略——既节省了油资支出，又充分地接收了上苍的赐予。家庭生活的简朴，不仅靠成年人来身体力行，一个孩童也会为细节而努力。 ? 油灯火舌跃动或者摇曳的时候，我看见了风，还有风行走的大小速度，心里 随着火舌的动弹发颤。伸出掌来维护，生怕灭于风中。风在老宅制造着不安的声响，我心惊肉跳的时间都在夜晚。每一阵风过，剥蚀白灰的土墙、开裂的木板房，洞穴无数，总是迎风发出不可拟声的消息。昏暗使风的力量神秘莫测，远处不断有声响传来，是枯枝折落坠地，还是成熟的木 瓜下坠的沉闷，大人无暇顾及，孩童满腹狐疑。枯黄的叶片在地上，叶片尖锐的棱角随风推着，与大地做终结时的热吻。中国的民间传说，鬼怪狐仙，都是诞生于夜里乡间的，乡间更具有产生各种奇幻、神秘情节的温床，它的广袤、幽暗、深远以及草木峰岭对于色彩的阴翳作用，越发使 稀疏的人烟不足为道。蒲松龄明确地说：“知我者，其在青林黑塞间乎！”一阵风来，故事随之展开，我在整个少年时代一直莫名其妙地狐疑着、恐惧着，积久成病。夜间目力达不到的地方，都隐藏着于我心灵有害的不明之物，即便大着胆子前去查看清楚，我依旧以为它转换了另一种形 式，在另一个地点重新潜伏了下来，伺机作怪。晚间睡眠很浅，警觉的过度让人很累，以至于白日上课难以精力集中。如此这般，一直到精疲力尽。一个人对于白日和夜晚的感觉那么悬殊，要追究一个原因，主要是风的走动，许多薄浮的东西被搬运着，许多不明的气味转换着。当一个人 的目力呈现出无能时，人心对于这种推动万物的力量存在敬畏。 ? 我想，只能这么归结。 ? 相比之下，从山间吹来的风要犀利爽朗得多，迎面而来的坚硬，肌肤生出了抵御。在夏日的艳阳下，身前身后的风追逐回旋，让贪恋蹦跳的少年充满冲动。这往往是我一年中最快乐的时光，与风 同行同往，一不留神就攀爬到高高的番石榴树顶，随着枝条的前后摇曳，俯视黛瓦粉墙，一阵目眩神摇。我的忧郁是从秋日里生长起来的，即使是晴明的光线，我能够感到阳光的韧性减弱，还有随之而来风声中携带的肃杀和萧疏——有一种感伤的气息逼近了。这时我还是一个十岁的少年， 在课堂上从午后第二节课开始，内心就隐隐不安起来。学校是原先的夫子庙，范围不小，空地上杂草丛生。最要命的是有四株百年以上的老榕，枝丫横生交错，没有节制，阴翳的气息敷衍开来，散发四合。天色未暗，校园已经阴影重重，隐秘游走。这个时段，我最担心的是又轮到课后打 扫卫生。人都走光了，连同教师与工友，还有一起进校出校的邻家同桌。很少的几个人负责扫
上海高三导数知识点
上海高三导数知识点导数是高中数学中的重要概念，也是高三数学学习的重点之一。
在上海的高三数学课程中，导数是一个必须掌握的知识点。
本文将介绍上海高三导数的相关知识点，帮助学生更好地学习和理解导数的概念和应用。
一、导数的定义和基本性质导数的定义是指函数$f(x)$在点$x=a$处的导数，记作$f'(a)$或$\frac{dy}{dx}\mid_{x=a}$。
导数的定义是通过极限的概念来表述的。
导数有一些基本性质，包括导数的四则运算法则、导函数与原函数的关系、导数存在的条件等。
学生在学习导数时，需要熟练掌握这些基本性质，才能更好地解决导数相关的问题。
二、常见函数的导数在高三导数中，常见的函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数的导数具有一定的规律和特点，学生需要了解和掌握这些函数的导数表达式和求导方法。
以幂函数为例，设$f(x) = x^n$，其中$n$为常数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
对于指数函数和对数函数，也存在相应的求导公式。
三角函数的导数是高三导数中的重点和难点之一，学生需要掌握三角函数的导数公式，并能够熟练地运用到具体的问题中去。
三、导数的几何意义和应用导数在几何上有着重要的意义，可以描述函数的增减性、拐点、极值点等。
学生在学习导数的过程中，需要理解导数在函数图像上的几何意义，并能够通过导数求解相关的几何问题。
导数在实际应用中也有广泛的应用，比如在物理学中可以用导数来表示速度和加速度，而在经济学中可以用导数来表示边际成本和边际收益。
学生在学习导数的过程中，需要结合具体的应用问题，加深对导数的理解和应用能力。
四、导数与微分导数和微分是密切相关的概念，导数可以通过微分来表示。
微分是导数在自变量取得无穷小变化时的变化量，可以用$\Deltay$表示。
学生在学习导数时，需要了解导数与微分的关系，掌握微分的计算方法和应用。
五、高阶导数高阶导数是对导数的进一步推广，表示对函数进行多次求导得到的导数。
高三数学-32几种常见函数的导数 精品
2 y x 6 ;
3x sint; 4u cos .
2.求 下 列 函 数 的 导 数 : 1 1 y 3 ; 2 y 3 x . x
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3.2几种常见函数的导数
3.质 点 的 运 动 方 程 是 s t 3 ( s的 单 位: m ,t的 单 位: s), 求质点在 t 3时 的 速 度 . 4.求 曲 线 y x 在 点P ( 2,16)处 的 切 线 方 程 .
uv' u' v uv'.
特别地：常数与函数的积的导数，等于常数乘函 数的导数，即
Cu' Cu' C为常数.
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3.3函数的和、差、积、商的导数 练 习2 1.求 下 列 函 数 的 导 数 :
1 y x 2 2 cos x; 2 y 1 sin x 1 2 x 2 2.已 知 函 数 f x x x 1, 若f ' x0 f x0 , 求x0的 值.
u v' u'v'.
例2 求下列函数的导数:
1y x
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3
sin x;
2y x
4
x x3
2
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3.3函数的和、差、积、商的导数 2、积的导数 法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的 导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即
3.2几种常见函数的导数 公式1 公式2 公式3 公式4
C ' 0(C为常数)
x ' nx
n
n 1
(n Q).
高三数学导数知识点
高三数学导数知识点导数是高中数学中的重要概念，也是高三数学学习的重点内容。
在数学中，导数是用来刻画函数在某一点上的变化率的工具，具有广泛的应用和意义。
本文将介绍高三数学中常见的导数知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握该知识。
1. 导数的定义导数的定义是函数微分学的基本概念，是函数f(x)在某一点x=a处的变化率，记作f'(a)或dy/dx。
导数的定义可以用极限进行表达，即当自变量x的增量无限趋近于0时，函数的增量与自变量增量之比的极限。
2. 导数的几何意义导数具有几何意义，它可以衡量函数图像在某一点处的切线斜率。
当函数图像在某一点处的导数存在时，这个点就有切线，切线的斜率就是函数在该点处的导数值。
3. 导数的计算导数的计算有多种方法，常见的包括使用导函数公式、求导法则以及高阶导数的求法。
其中，导函数公式是一些常见函数导数的表达式，求导法则是对一些常见函数进行求导的方法总结。
4. 导数的基本性质导数具有一些基本性质，包括可导性与连续性的关系、导函数的四则运算规则、复合函数的导数等。
这些性质是导数计算和应用的基础，需要同学们熟练掌握。
5. 导数的应用导数在数学和实际问题中有广泛的应用。
其中，导数可以用来求函数的最值、判断函数的增减性、解微分方程等。
此外，导数还可以应用于物理、经济、生物等领域的问题求解中。
6. 高阶导数高阶导数是指对函数进行多次求导所得到的导数，例如二阶导数、三阶导数等。
高阶导数的概念和计算方法与一阶导数类似，可以进一步刻画函数的曲率和变化规律。
7. 隐函数求导隐函数是由方程所决定的函数，通常不能用显式函数的形式表示。
隐函数求导是指求解隐函数的导数，通过分析方程的关系和运用导数计算方法，可以求得隐函数的导数表达式。
8. 参数方程求导参数方程是一种用参数表示的曲线方程，也常见于数学中的问题。
求参数方程的导数需要将参数方程化为自变量x和因变量y的函数形式，然后应用导数的计算方法进行求导。
高三数学 教案 求导公式大全
导数公式及运算法则是什么1基本初等函数的导数公式1 .C'=0(C为常数);2 .(Xn)'=nX(n-1) (n∈Q);3 .(sinX)'=cosX;4 .(cosX)'=-sinX;5 .(aX)'=aXIna (ln为自然对数)特别地，(ex)'=ex6 .(logaX)'=(1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1) 特别地，(ln x)'=1/x7 .(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)28 .(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)29 .(secX)'=tanX secX10.(cscX)'=-cotX cscX导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v2④复合函数的导数[u(v)]'=[u'(v)]*v' (u(v)为复合函数f[g(x)])复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。
2导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
高阶导数的求法1．直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。
一般用来寻找解题方法。
2．高阶导数的运算法则.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y）,则有y'=1/x'证：1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况.在得到y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明.3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β).所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.4.y=logax⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x.这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了.因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1).5.y=sinx⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx.7.y=tanx=sinx/cosxy'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x8.y=cotx=cosx/sinxy'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x9.y=arcsinxx=sinyx'=cosyy'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^210.y=arccosxx=cosyx'=-sinyy'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^211.y=arctanxx=tanyx'=1/cos^2yy'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^212.y=arccotxx=cotyx'=-1/sin^2yy'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4.y=u土v,y'=u'土v'5.y=uv,y=u'v+uv'均能较快捷地求得结果.。
高三数学知识点求导方法
高三数学知识点求导方法导数是数学中的重要概念，求导方法是高三数学学习中必不可少的一部分。
本文将介绍高三数学知识点中的一些常用求导方法，包括基本求导公式、常见函数的导数以及利用链式法则求导等内容。
一、基本求导公式1.常数函数求导法则：常数函数的导数为零，即对于常数C，有d(C)/dx = 0。
2.幂函数求导法则：设函数y = x^n，其中n为常数，则有d(x^n) / dx = nx^(n-1)。
特别地，对于常数函数x^k，有d(x^k) / dx = kx^(k-1)。
3.指数函数求导法则：设函数y = e^x，其中e为自然对数的底数，则有d(e^x) / dx = e^x。
4.对数函数求导法则：设函数y = ln(x)，其中x > 0，则有d(ln(x)) / dx = 1/x。
5.三角函数求导法则：常见的三角函数是正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)。
它们的导数分别为d(sin(x)) / dx = cos(x)和d(cos(x)) / dx = -sin(x)。
二、常见函数的导数1.多项式函数的导数：对于多项式函数y = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0，其中a_i为常数，n为非负整数，则该多项式函数的导数为y' = na_nx^(n-1) + (n-1)a_(n-1)x^(n-2) + ... +a_1。
2.指数函数的导数：设函数y = a^x，其中a > 0且不等于1，则该指数函数的导数为y' = a^xln(a)。
3.对数函数的导数：设函数y = log_a(x)，其中a > 0且不等于1，则该对数函数的导数为y' = 1 / (xln(a))。
4.反三角函数的导数：- 反正弦函数arcsin(x)的导数为d(arcsin(x)) / dx = 1 / √(1 - x^2)。
- 反余弦函数arccos(x)的导数为d(arccos(x)) / dx = -1 / √(1 - x^2)。
高三数学知识点汇总专题导数
2015高三数学知识点汇总十、导数：一、导数的概念：（1）函数)(x f y =在点0x 处可导：函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均转变率，即x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； 若是当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，则称函数)(x f y =在点0x 处可导。
（2）函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导：若是函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点处都可导，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；（3）函数)(x f y =在点0x 的导数：若是函数)(x f y =在点0x 处可导，那么极限x y z ∆∆→∆0lim叫做函数)(x f y =在点0x 的导数（或转变率），记作：)('0x f 或0|'x x y =；即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00000 （4）函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数(导数)：若是函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导，那么关于开区间),(b a 的每一个确信的值0x 都对应着一个确信的导数)('0x f ，如此在开区间),(b a 内组成一个新的函数，咱们把这—新函数叫做函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数（简称导数），记)('x f 或'y ；即：xx f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆)()(lim lim ')('00 （5）导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数)('0x f ，确实是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率k ，即)('tan 0x f k ==α；（6）导数在物理中的运用：函数)(t s s =在点0t 处的导数)('0t s ，确实是当物体的运动方程为)(t s s =时，物体运动在时刻0t 的瞬时速度v ，即)('0t s v =；物体运动在时刻0t 的加速度)(''0t s a =；二、几种常见函数的导数：0'=C （C 为常数）；1)'(-=n n nxx三、函数的和、差、积、商的导数：（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即'')'(v u v u ±=± 容易推行到有限个函数的情形：''')'(w v u w v u +++=+++（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：'')'(uv v u uv +=容易推出：')'(Cu Cu =（C 为常数）：常数与函数的积的导数等于那个常数乘以函数的导数；四、导数的运用：（1）函数的单调性：①设函数)(x f y =在某个区间内可导，若是0)('>x f ，则)(x f 为增函数；若是0)('<x f ，则)(x f 为减函数。
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几种常见函数导数
教学目的：能应用由定义求导数推导四个常见函数的导数公式,熟记正弦余弦函数的导数.
教学重点：掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数.
教学难点：公式(2)的推导过程(*)n N ∈,进而到n R ∈,培养学生的创新能力. 教学过程
一、 复习引入
用导数的定义求函数y=x 5的导数.
二、 新课
1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限。
这在运算上很麻烦，有时甚至很困难.为了能够较快的求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式。
2．几个常见导数公式
公式1 0='C （C 为常数）.
证明见教材书第114页.用导数的几何意义,对公式加以说明:因为C y =的图象是平行于x 轴的直线.其上任一点的切线即为直线本身,所以切线的斜率都是0.
公式1可叙述为:常数函数的导数为零.
公式2 )()(1Q n x n x n n ∈⋅='-证明见教材书第115页
公式3 x x cos )(sin =' 公式4 )(cos 'x =-sinx
三、例题
例1． 求下列函数的导数：
（1）5x y =， （2）21x
y =， （3）x y =. 目的: 通过这一组题的详细讲述,使学生对公式(2)记得更牢固. 要求学生今后能熟练地掌握它.
例2 质点运动方程是51t
s =, 求质点在2=t 时的速度. 解: 51t s = . 6555)()1(---='='='∴t t t
s ,
\6452562-
=⨯-='∴-=t s ;答: 质点在2=t 时的速度是645-. 例3 求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程. 分析: 先要利用公式3求出函数x y sin =的导函数, 然后利用导函数
求出曲线在点A )2
1,6(π的切线的斜率，最后应用点斜式求出切线的方程． 略解：x y sin = x x y c o s )(s i n
='='∴ 236c o s 6
=='∴=x y x x ∴斜率23=k
∴切线方程为 1)26y x π-
=-．化简得
1230
y -+=
答：曲线x y sin =在点A )2
1,6(π的切线方程为1260y -+=． 四、课堂练习 求曲线32
1
x y =在点R )41,8(的切线方程． 五、作业 同步练习 X03021。