单元评估检测(四)

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单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·北京高考)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2014·烟台模拟)已知下列结论:①若a=b,b=c,则a=c;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③|a·b|=|a|·|b|;④若a·b=a·c,则b=c的逆命题.其中正确的是( )A.①②B.①④C.①②③D.①②④3.复数z=3-(i为虚数单位)的模为( )A.2B.3C.D.44.(2014·青岛模拟)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( )A.-4B.4C.-2D.25.(2014·哈尔滨模拟)设P是△ABC所在平面内的一点,若+=2,则( ) A.+=0 B.+=0C.+=0D.++=06.(2014·莱芜模拟)复数的共轭复数为( )A.-+iB.+iC.-iD.--i7.(2013·大纲版全国卷)已知向量m=,n=,若,则λ=( )A.-4B.-3C.-2D.-18.下面是关于复数z=+的四个命题:p 1:|z|=2;p2:z2=4i;p3:=2i;p4:z的虚部是0,其中的真命题为( )A.p1,p2B.p1,p3C.p2,p3D.p3,p49.(2014·济宁模拟)如图所示,非零向量=a,=b,且BC⊥OA,C为垂足,若=λa(λ≠0),则λ=( )10.(2014·宁波模拟)在平面直角坐标系中,A(,1),B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点,则|+|的最大值是( )A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.若=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,则= (用复数代数形式表示).12.(2013·重庆高考)在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k= .13.已知角A,B,C是三角形ABC的内角,a,b,c分别是其对边长,向量m=,n=,m⊥n,且a=2,cosB=,则b= .14.设e1,e2是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量m满足(m-e1)·(m-e2)=0,则|m|的最大值为.15.(能力挑战题)已知点A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若·=-1,则的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2014·聊城模拟)已知向量=,=,定义函数f(x)=·.(1)求函数f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值.(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=1,bc=8,求△ABC的面积S.17.(12分)已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.18.(12分)(2014·西安模拟)已知向量a=(sin(ωx+φ),2),b=(1,cos(ωx+φ)),函数f(x)=(a+b)·(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M.(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1≤x≤1时,求函数f(x)的单调区间.19.(12分)(2014·大庆模拟)已知向量a=(,cosωx),b=(sinωx,1),函数f(x)=a·b,且最小正周期为4π.(1)求ω的值.(2)设α,β∈,f=,f=-,求sin(α+β)的值.(3)若x∈[-π,π],求函数f(x)的值域.20.(13分)已知平面向量a=(,-1),b=.(1)若x=(t+2)a+(t2-t-5)b,y=-k a+4b(t,k∈R),且x⊥y,求出k关于t的关系式k=f(t).(2)求函数k=f(t)在t∈(-2,2)上的最小值.21.(14分)(能力挑战题)在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0),B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x,y),且满足·=1.(1)求动点P所在曲线C的方程.(2)过点B作斜率为-的直线l交曲线C于M,N两点,且++=0,试求△MNH 的面积.答案解析1.【解析】选D.(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,对应的复平面内点坐标为(3,-4).2.【解析】选B.由向量相等的概念知①正确;因为零向量和任何向量共线,所以当b=0时,结论②不成立,故②不正确;因为|a〃b|=|a||b||cosθ|(θ是a与b的夹角),所以当|cosθ|≠1时,③不正确;④的逆命题是“若b=c,则a〃b=a〃c”,显然该结论是正确的.故选B.【误区警示】解答本题易类比实数的运算性质和平行线的传递性而误选C,出错的原因是忽视了向量与数量的区别,而把实数的运算法则照搬到向量运算中来.3.【思路点拨】利用复数的除法运算化简给出的复数,然后直接利用模的公式求模.【解析】选C.由z=3-=3-=3+i.所以|z|==.故选C.4.【解析】选A.设a与b的夹角为θ,因为a〃b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积,而cosθ==-,所以|a|〃cosθ=6〓=-4.5.【解析】选C.由已知,得-+-=-2,即+=0,故选C.【一题多解】本题还有如下解法:如图,由+=2,知P是AC的中点,显然+=0,故选C.【加固训练】若〃+=0,则△ABC必定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.〃+=0⇒〃(+)=0⇒〃=0⇒⊥,则△ABC必定是直角三角形.6.【解析】选D.因为===-+i.所以其共轭复数为--i.【加固训练】(2013〃广元模拟)复数的共轭复数是( )A.-iB.iC.-iD.i【思路点拨】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,复数化简为a+bi(a,b∈R)的形式,然后求出共轭复数即可.【解析】选C.复数===i,它的共轭复数为-i.故选C.7.【解析】选B.因为(m+n)⊥(m-n),所以(m+n)〃(m-n)=|m|2-|n|2=0,即(λ+1)2+1-(λ+2)2-4=0,解得λ=-3.8.【解析】选B.z===-2i.所以|z|=2,z2=-4,=2i,z的虚部是-2.故p1,p3是真命题,p2,p4是假命题.9.【解析】选A.⊥,即⊥,所以(-)〃=0,所以||2-〃=0,即λ2|a|2-λa〃b=0,又λ≠0,解得λ=.10.【解析】选 B.由题意可知向量的模是不变的,所以当与同向时,|+|最大,结合图形可知,|+|max=||+1=+1=3. 【一题多解】本题还有如下解法:由题意,得||==2,||=1,设向量,的夹角为θ,所以|+|====.所以当θ=0,即与同向时,|+|max==3.11.【解析】因为=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,所以=-=(-1-i)-(3+4i)=-4-5i.答案:-4-5i12.【思路点拨】可根据题意先求出向量的坐标,再利用OA⊥AB求解. 【解析】=-=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1),因为OA⊥AB,所以〃=0,即-3+k-1=0,解得k=4.答案:413.【解析】因为m⊥n,所以m〃n=2sin cos-2cos2=0,因为A∈(0,π),所以cos≠0,所以tan=,=,A=.由cosB=,得sinB==,由正弦定理得=,解得b=.答案:【加固训练】(2013〃济宁模拟)平面向量a与b的夹角为,a=(2,0),|b|=1,则|a+b|等于.【思路点拨】利用向量数量积的性质可得|a+b|=,把已知代入即可.【解析】因为向量a与b的夹角为,a=(2,0),|b|=1,所以|a+b|===.答案:14.【解析】因为|e1|=|e2|=1,e1⊥e2,所以(m-e1)〃(m-e2)=m2-m〃(e1+e2)+e1〃e2=m2-m〃(e1+e2)=0,即m2=m〃(e1+e2).设m与e1+e2的夹角为θ,因为|e1+e2|===,所以|m|2=|m||e1+e2|cosθ,即|m|=cosθ,因为θ∈[0,π],所以|m|max=.答案:【一题多解】设e1,e2是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,则e1=(1,0),e2=(0,1).设m=(x,y),则m-e1=(x-1,y),m-e2=(x,y-1),所以(m-e1)〃(m-e2)=x(x-1)+y(y-1)=0,即x2+y2-x-y=0,+=,故向量m的终点(始点在坐标原点)的轨迹是以为圆心,为半径的圆.如图,所以|m|的最大值是圆的直径,即为.答案:【加固训练】(2014〃广州模拟)如图,已知圆M:(x-3)2+(y-3)2=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E,F分别为边AB,AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,〃的取值范围是( )A.[-6,6]B.[-6,6]C.[-3,3]D.[-4,4]【解析】选A.设A(3+2cosα,3+2sinα),D(3+2cosβ,3+2sinβ),则F(3+cosα+cosβ,3+sinα+sinβ),由图知,==(cosα-cosβ,sinα-sinβ),=(3+cosα+cosβ,3+sinα+sinβ),所以〃=(3+cosα+cosβ,3+sinα+sinβ)〃(cosα-cosβ,sinα-sinβ) =3(cosα+sinα)-3(cosβ+sinβ)=3sin-3sin∈[-6,6],故选A.15.【解析】由题意,得=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),所以〃=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=-1,即sinα+cosα=.两边平方,得1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-.原式===-.答案:-16.【解析】(1)f(x)=〃=(-2sinx,-1)〃(-cosx,cos2x)=sin2x-cos2x=sin,所以f(x)的最大值和最小值分别是和-.(2)因为f(A)=1,所以sin=.所以2A-=或2A-=.所以A=或A=.又因为△ABC为锐角三角形,所以A=.因为bc=8,所以△ABC的面积S=〓8〓=2.17.【思路点拨】由点的坐标得到向量的坐标,运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点,因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i,=-=2+i-(1+2i)=1-i,所以=+=1-i+(4+i)=5,所以点D对应的复数为5.(2)由(1)知=(1,2),=(3,-1),因为〃=||||cosB,所以cosB===,所以sinB=,又||=,||=,所以面积S=||||sinB=〓〓=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.18.【解析】(1)f(x)=(a+b)〃(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=sin2(ωx+φ)+3-cos2(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ)+3,由题意得周期T==4,故ω=,又图象过点M,所以=3-cos,即sin2φ=,而0<φ<,故2φ=,则f(x)=3-cos.(2)当-1≤x≤1时,-≤x+≤.所以当-≤x+≤0时,即x∈时,f(x)是减函数.当0≤x+≤时,即x∈时,f(x)是增函数.则函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.【加固训练】已知向量a=(cos2ωx-sin2ωx,sinωx),b=(,2cosωx),函数f(x)=a〃b(x∈R)的图象关于直线x=对称,其中ω为常数,且ω∈(0,1).(1)求函数f(x)的表达式.(2)若将y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的,再将所得图象向右平移个单位,纵坐标不变,得到y=h(x)的图象,求y=h(x)在上的取值范围.【解析】(1)f(x)=a〃b=(cos2ωx-sin2ωx,sinωx)〃(,2cosωx)=(cos2ωx-sin2ωx)+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,可得2sin=〒2,所以πω+=kπ+(k∈Z),即ω=k+(k∈Z).又ω∈(0,1),k∈Z,所以k=0,ω=.所以f(x)=2sin.(2)将y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的,再将所得图象向右平移个单位,纵坐标不变,得到y=2sin的图象.所以h(x)=2sin.由-≤x≤,有-≤2x-≤,所以-1≤sin≤,得-2≤2sin≤1,故函数h(x)在上的取值范围为[-2,1].19.【解析】(1)由已知,易得f(x)=sinωx+cosωx=2sin,f(x)的最小正周期为4π,即T==4π,解得ω=.(2)由(1)知,f(x)=2sin,则f=2sin=2sinα=,所以sinα=,又α∈,所以cosα=-.同理f=2sin=2sin=2cosβ=-,所以cosβ=-,又β∈,所以sinβ=,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-.(3)当x∈时,-≤x+≤,令t=x+,则t∈,原函数可化为f(t)=2sint,t∈.当t=-时,f(t)min=-;当t=时,f(t)max=2.所以,函数f(x)的值域为.20.【解析】(1)由a=(,-1),b=得,a〃b=-=0.|a|=2,|b|=1. 因为x⊥y,所以x〃y=[(t+2)a+(t2-t-5)b]〃(-k a+4b)=0.即-k(t+2)a2+4(t2-t-5)b2=0.4k(t+2)=4(t2-t-5),k=(t≠-2).(2)k=f(t)==t+2+-5.因为t∈(-2,2),所以t+2>0.k≥2-5=-3.当且仅当t+2=,即t=-1时,“=”成立.故k的最小值是-3.21.【解析】(1)依据题意,有=(x+1,y),=(x-1,y). 因为〃=1,所以x2-1+2y2=1.所以动点P所在曲线C的方程是+y2=1.(2)因直线l过点B,且斜率为k=-,故有l:y=-(x-1).由消去y,得2x2-2x-1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),可得于是又++=0,得=(-x1-x2,-y1-y2),即H,所以|MN|==,又l:x+2y-=0,则H到直线l的距离为d==,故所求△MNH的面积为S=〓〓=.【方法技巧】求动点轨迹方程的技巧和方法(1)直接法:若动点的运动规律是简单的等量关系,可根据已知(或可求)的等量关系直接列出方程.(2)待定系数法:如果由已知条件可知曲线的种类及方程的具体形式,一般可用待定系数法.(3)代入法(或称相关点法):有时动点P所满足的几何条件不易求出,但它随另一动点P′的运动而运动,称之为相关点,若相关点P′满足的条件简单、明确(或P′的轨迹方程已知),就可以用动点P的坐标表示出相关点P′的坐标,再用条件把相关点满足的轨迹方程表示出来(或将相关点坐标代入已知轨迹方程)就可得所求动点的轨迹方程的方法.(4)几何法:利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件,并写出其方程.(5)参数法:有时很难直接找出动点的横、纵坐标间的关系,可选择一个(有时已给出)与所求动点的坐标x,y都相关的参数,并用这个参数把x,y表示出来,然后再消去参数的方法.关闭Word文档返回原板块。