长沙市一中高三第二次模拟考试理科数学试卷
湖南省长沙一中高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)
湖南省长沙一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．（5分）已知集合，，则C R（M∩N）=（）A．B．C．D．2．（5分）命题“∃x∈R，使x2+ax+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，使x2+ax+1＞0 B．∃x∈R，使x2+ax+1≥0C．∀x∈R，x2+ax+1＞0成立D．∀x∈R，x2+ax+1≥0成立3．（5分）若实数x，y满足，则z=x+2y的最大值是（）A．B．2 C．1 D．04．（5分）已知向量，则锐角θ等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．14 B．20 C．30 D．556．（5分）知0＜a＜b且a+b=1，下列不等式正确的是（）A．log2a＞1 B．log2a+log2b＞﹣2C．log2（b﹣a）＜0 D．7．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a≤1），a n+2=|a n+1﹣a n|，当a4=1时，a10的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．±18．（5分）将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．509．（5分）正方形ABCD的边长是a，依次连结正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连结正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣，函数g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若∀x1∈，总∃x2∈，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=2，则z=．12．（5分）（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为﹣16，则实数a的值为．13．（5分）向平面区域Ω=内随机投掷一点，则该点落在曲线y=cos2x下方的概率为．14．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，且满足，若|AB|=2，，则△ABC的外接圆的面积为．15．（5分）设f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2x﹣2；函数g（x）=ln （x+1）﹣．则：（1）函数g（x）的零点个数为；（2）若实数a是函数g（x）的正零点，则f（﹣2）与f（a）的大小关系为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，这向量，且．（1）求内角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积S的最大值．17．（12分）国家统计局对某门户网站的访问量与广告收益进行统计评估，从该网站近三年中随机抽取100天，访问量的统计结果（单位：万次）如表所示：访问量500 600 700频数50 30 20（Ⅰ）根据上表的统计结果，求访问量分别为500万次，600万次，700万次的频率；（Ⅱ）已知每100万次的访问量能使该网站获得广告收益5万元，用ξ表示该网站两天的广告收益（单位：万元），假设每天的访问量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．18．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n2﹣S n﹣12=a n3（n≥2）．（Ⅰ）求证数列{a n}为等差数列，并求出其通项公式；（Ⅱ）对于数列{a n}，在每两个a k与a k+1之间都插入k（k∈N+）个2，使数列{a n}变成一个新数列{t m}，数列{t m}的前m项和为T m，若T m＞2014，求m的最小值．19．（13分）今年暑假期间有一个自驾游车队，组织车友前往青海游玩．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的速度不能超过20m/s），匀速通过该隧道，设车队速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离，当12＜x≤20时，相邻两车之间保持m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（Ⅰ）将y表示成x的函数；（Ⅱ）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．20．（13分）如图，已知抛物线C1：y2=2px（p＞0），圆C2与y轴相切，其圆心是抛物线的焦点，点M是抛物线的准线与x轴的交点，点N是圆C2上的任意一点，且线段MN长度的最大值为3，直线l过抛物线C1的焦点，与C1交于A、D两点，与C2交于B、C两点．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得k OA+k OB+k OC+k OD=3（其中O为坐标原点），且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列？若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=e﹣x（t∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若对于任意x∈（0，1），曲线y=f（x）恒在直线y=x上方，求实数t的最大值；（Ⅱ）是否存在实数a，b，c∈，使得f（a）+f（b）＜f（c）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．湖南省长沙一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．（5分）已知集合，，则C R（M∩N）=（）A．B．C．D．考点：交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法．专题：阅读型．分析：通过解不等式求函数的定义域，求得集合M、N，再进行进行集合运算求解．解答：解：∵3x﹣1≥0⇒x≥，∴M=故选B．点评：本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）已知向量，则锐角θ等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：根据向量平行的坐标条件列出关于cosθ的方程，求出角θ，再根据角θ是锐角，即可得解解答：解：∵向量∴∴又∵θ是锐角∴θ=45°故选B点评：本题考查向量平行的坐标条件，以及已知三角函数值求角．要求熟记向量平行的坐标条件，由三角函数值求角时，要注意角的范围．属简单题5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图，可得S=12+22+32+42=30．故选C解答：解：执行程序框图有S=0，i=1第1次执行循环体，S=1，i=2不满足条件i＞4，第2次执行循环体S=5，i=3不满足条件i＞4，第3次执行循环体S=14，i=4不满足条件i＞4，第4次执行循环体S=30，i=5满足条件i＞4，输出S的值为30．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6．（5分）知0＜a＜b且a+b=1，下列不等式正确的是（）A．log2a＞1 B．log2a+log2b＞﹣2C．log2（b﹣a）＜0 D．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：用特殊值法，令a=，b=，代入各个选项进行检验，把不满足条件的选项排除．解答：解：已知0＜a＜b，且a+b=1，令a=，b=，则 log2a=﹣2＜0，故A不正确．log2a+log2b=log2（ab）=log2＜log2=﹣2，故B不正确．log2（b﹣a）=log2=﹣1＜，故C正确．，故D不正确，故选C．点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．7．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a≤1），a n+2=|a n+1﹣a n|，当a4=1时，a10的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．±1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由a≤1，a n+2=|a n+1﹣a n|，a1=1，a2=a，可得a3=|a2﹣a1|=|a﹣1|=1﹣a，a4=|a3﹣a2|=|1﹣2a|，由题设知a4=|1﹣2a|=1，所以a=1，或a=0．进而根据a n+3=a n成立，可得答案．解答：解：∵a≤1，a n+2=|a n+1﹣a n|，a1=1，a2=a，∴a3=|a2﹣a1|=|a﹣1|=1﹣a，a4=|a3﹣a2|=|1﹣2a|，又∵a4=|1﹣2a|=1，∴a=1，或a=0．经检验无论a=1，还是a=0，都有a n+3=a n成立，于是a10=a7=a4=1，故选：B点评：本题考查了递推数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．50考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：本题是一个分步计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22，相乘得到结果，再表示出甲组含有3个人时，选出三个人，剩下的两个人在两个位置排列．解答：解：由题意知本题是一个分步分类计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52=10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22=6种结果，∴根据分步计数原理知共有10×6=60，当甲中有三个人时，有C53A22=20种结果∴共有60+20=80种结果故选A．点评：本题考查排列组合及简单计数问题，本题是一个基础题，解题时注意对于三个小组的人数限制，先排有限制条件的位置或元素．9．（5分）正方形ABCD的边长是a，依次连结正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连结正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是（）A．B．C．D．考点：归纳推理．专题：探究型；归纳猜想型．分析：根据中位线定理，每一次连接得到的正方形的边长是上一个正方形对角线的一半，即可第一、二、三次连接得到的正方形的边长，依此类推找出规律，可得出第n次围出的正方形的边长，再由题意和等比数列的前n项和公式求出所要求出的值．解答：解：由题意得，每一次连接得到的正方形的边长是上一个正方形对角线的一半，根据中位线定理依次得：第一次连接得到的正方形的边长为a，第二次连接得出的正方形的边长为a=a，第三次次连接得出的正方形的边长为a，…综上可得第n次围出的正方形边长为，由题意知，一只小虫在每个正方形爬行的线段的长度是此正方形的边长的一半，所求的10条线段的长度的平方和是：s==×=，故选A．点评：本题以图形的变化为载体，考查了归纳推理的应用，中位线定理，等比数列的前n 项和公式，解题的关键是通过观察、归纳与总结，得到其中的规律，求出第n次围出的正方形的边长．10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣，函数g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若∀x1∈，总∃x2∈，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先求出f（x），g（x）的取值范围，要使条件满足，必须且只需使g（x）的取值范围是f（x）的取值范围的子集，转化为不等式组即可解之．解答：解：因为=，当时，f（x）∈；而当时，，，又m＞0，所以；要使条件满足，必须且只需使⊆，即，解得．故选：B．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，不等式组的解法，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=2，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先设出z的代数形式，代入式子z（1﹣i）=2进行化简，由实部和虚部对应相等求出a和b的值．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），∵z（1﹣i）=2，∴（a+bi）（1﹣i）=2，则（a+b）﹣（a﹣b）i=2，∴，解得a=1、b=1，∴z=1+i，故答案为：1+i．点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数相等的等价条件，属于基础题．12．（5分）（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为﹣16，则实数a的值为2或3．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用完全平方公式将第一个因式在看；利用二项展开式的通项公式求出第二个因式的x3，x2，x项的系数；求出（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数，列出方程求出a 的值．解答：解：∵（1﹣ax）2=1﹣2ax+a2x2，又（1+x）6展开式的通项为T r+1=C6r x r，所以（1+x）6展开式中含x3，x2，x项的系数分别是C63；C62；C61．所以（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为C63﹣2aC62+a2C61∴C63﹣2aC62+a2C61=﹣16解得a=2或a=3．故答案为：2或3．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等价转化的能力．13．（5分）向平面区域Ω=内随机投掷一点，则该点落在曲线y=cos2x下方的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：平面区域Ω为x轴上方的一个一个矩形区域，曲线y=cos2x在该区域恰好半个周期，计算面积，即可求出概率．解答：解：平面区域Ω为x轴上方的一个一个矩形区域，面积为，曲线y=cos2x在该区域恰好半个周期，面积为2cos2xdx=2（sin2x）=1，∴该点落在曲线y=cos2x下方的概率为=．故答案为：．点评：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，且满足，若|AB|=2，，则△ABC的外接圆的面积为．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：已知等式利用平面向量数量积运算法则变形，得到•=0，确定出A为直角，利用勾股定理求出a的值，再利用正弦定理求出三角形ABC外接圆半径，即可确定出面积．解答：解：已知等式|﹣|=|+﹣2|=|﹣+﹣|，变形得：||=|+|，∵=﹣，∴|+|=|﹣|，两边平方，整理得：•=0，即A=，∵|AB|=c=2，|AC|=b=，∴a==，由正弦定理=2R，得到R==，则△ABC的外接圆的面积为πR2=．故答案为：点评：此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15．（5分）设f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2x﹣2；函数g（x）=ln （x+1）﹣．则：（1）函数g（x）的零点个数为2；（2）若实数a是函数g（x）的正零点，则f（﹣2）与f（a）的大小关系为f（a）＜f（﹣2）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分别画出分别画出y=ln（x+1）和y=的图象，由图象可知，函数g（x）的零点个数为2个；（2）由图象可知a∈（1，2）；再根据函数为偶函数，得到f（﹣2）=f（2），以及利用导数得到函数在（1，+∞）为增函数，问题得以解决．解答：解：（1）∵g（x）=ln（x+1）﹣，∴g（x）=ln（x+1）﹣=0，即ln（x+1）=，分别画出y=ln（x+1）和y=的图象，由图象可知，函数g（x）的零点个数为2个；（2），函数g（x）的2个零点，其一在（﹣1，0）上，另一在（1，2）上，∵实数a是函数g（x）的正零点，∴a∈（1，2）；对于f（x），在x≥0时，f（x）=2x﹣2，∴，当x＞1时，f'（1）＞2ln2﹣1＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（a）＜f（2），又函数f（x）为偶函数，∴f（﹣2）=f（2）∴f（a）＜f（﹣2）．故答案为（1）2，（2）f（a）＜f（﹣2）点评：本题主要考查了函数的零点问题以及函数的奇偶性和函数的单调性，以及数形结合的思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，这向量，且．（1）求内角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积S的最大值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；解三角形．专题：计算题；转化思想．分析：（1）由题意，可由数量积公式及建立方程，得到cosBcosC﹣sinBsinC=，再利用余弦的和角公式化简即可得角A；（2）由a=2及（1）可得b2+c2+bc=12，由S=bcsinA知，可由基本不等式由b2+c2+bc=12求出bc的最大值，从而解出三角形面积的最大值．解答：解：（1）∵=cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，…（3分）又A、B、C为三角形的三个内角，∴B+C=60°，∴A=120°．…（7分）（2）∵a=2，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2+bc=12，…（10分）又b2+c2≥2b c（当且仅当b=c时取“=”），∴12≥3bc，∴bc≤4…（12分）∴S=bcsinA=bc≤×4=．…（13分）∴当b=c时，三角形ABC的面积S的最大值为．…（14分）点评：本题考点是解三角形，考查数量积的坐标表示做工，基本不等式的运用，余弦定理，余弦的和角公式，涉及到的公式较多，综合性较强，解题的关键是熟练掌握公式及由题意判断出解题的方向，本题的难点是由三角形的面积公式得出利用基本不等式求bc的最值，本题考察了利用公式灵活变形的能力及判断推理的能力17．（12分）国家统计局对某门户网站的访问量与广告收益进行统计评估，从该网站近三年中随机抽取100天，访问量的统计结果（单位：万次）如表所示：访问量500 600 700频数50 30 20（Ⅰ）根据上表的统计结果，求访问量分别为500万次，600万次，700万次的频率；（Ⅱ）已知每100万次的访问量能使该网站获得广告收益5万元，用ξ表示该网站两天的广告收益（单位：万元），假设每天的访问量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）依题设，能求出访问量分别为500万次，600万次，700万次的频率．（Ⅱ）由题设知访问量分别为500万次，600万次，700万次的广告收益是25万元，30万元，35万元，相应的ξ的允许值为50，55，60，65，70，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）依题设，访问量分别为500万次，600万次，700万次的频率分别为：，，．…4分（Ⅱ）由题设知访问量分别为500万次，600万次，700万次的广告收益是25万元，30万元，35万元，相应的ξ的允许值为50，55，60，65，70．…5分并且由题设中“每天的访问量相互独立”知：P（ξ=50）=0.52=0.25，P（ξ=55）=2×0.5×0.3=0.3，P（ξ=60）=0.32+2×0.2×0.5=0.29，P（ξ=65）=2×0.2×0.3=0.12，P（ξ=70）=0.22=0.04．于是，所求随机变量ξ的分布列为：ξ50 55 60 65 70P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04…11分其期望Eξ=50×0.25+55×0.3+60×0.29+65×0.12+70×0.04=57（万元）．…12分．点评：本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．18．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n2﹣S n﹣12=a n3（n≥2）．（Ⅰ）求证数列{a n}为等差数列，并求出其通项公式；（Ⅱ）对于数列{a n}，在每两个a k与a k+1之间都插入k（k∈N+）个2，使数列{a n}变成一个新数列{t m}，数列{t m}的前m项和为T m，若T m＞2014，求m的最小值．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，，即，再写一式，两式相减，即可得出结论；（Ⅱ）求出数列{t m}中，a k（含a k项）前的所有项之和，利用T m＞2014，求m的最小值．解答：解：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，，即，∴，，两式相减得，于是a n+1﹣a n=1（n≥2）；又由a1=1，，可得a2=2，所以a2﹣a1=1；因此，数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，其通项公式为a n=n．…6分（Ⅱ）数列{t m}中，a k（含a k项）前的所有项之和为=，当k=36时，其和为＜2014；当k=37时，其和为＞2014；又因为2014﹣1926=88＞36×2=72，故恰好在k=37时开始满足T m＞2014．∴m min=37+（1+2+…+36）=703．…12分．点评：本题考查等差数列的证明和通项公式的求法，考查实数取值范围的求法．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19．（13分）今年暑假期间有一个自驾游车队，组织车友前往青海游玩．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的速度不能超过20m/s），匀速通过该隧道，设车队速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离，当12＜x≤20时，相邻两车之间保持m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（Ⅰ）将y表示成x的函数；（Ⅱ）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．专题：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持m的距离，可得分段函数；（Ⅱ）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．解答：解：（Ⅰ）当0＜x≤12时，； (2)分当12＜x≤20时，=；…4分∴所求函数解析式为．…6分（Ⅱ）当0＜x≤12时，由于函数单调递减，所以在x=12m/s时，（s）； (8)分当12＜x≤20时，（s），其中等号当且仅当即x=24时成立．但24∉（12，20]，且当12＜x≤20时，，所以函数在（12，20]上也单调递减，从而，当x=20时，y min=254（s）…12分因290＞254，所以y min=254（s）．答：当车队速度为20m/s时，车队通过隧道时间最小，最小时间为254s．…13分．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．（13分）如图，已知抛物线C1：y2=2px（p＞0），圆C2与y轴相切，其圆心是抛物线的焦点，点M是抛物线的准线与x轴的交点，点N是圆C2上的任意一点，且线段MN长度的最大值为3，直线l过抛物线C1的焦点，与C1交于A、D两点，与C2交于B、C两点．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得k OA+k OB+k OC+k OD=3（其中O为坐标原点），且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列？若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可得，|MN|的长度最大为，可求得p的值，即可求出C1与C2的方程；（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，并设其方程为my=x﹣1，联立方程组求得A、B、C、D的坐标，进而由k OA+k OB+k OC+k OD=3与|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列联立求得m的值，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）当点N为圆C2与x轴的另一交点时，|MN|的长度最大为，所以，所以抛物线C1的方程为y2=4x；圆C2的方程为（x﹣1）2+y2=1．（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，并设其方程为my=x﹣1，A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4）；由⇒y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4；（※）相应的，所以=﹣4m；由可解得或；于是，，k OB+k OC=﹣2m；因此，由得，∴；此时，直线l的方程为，结合（※）可求得；而|BC|=2，所以|AD|=3|BC|．又|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列⇔|AB|+|CD|=2|BC|⇔|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=3|BC|．故存在直线满足要求，且方程为．点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．21．（13分）已知函数f（x）=e﹣x（t∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若对于任意x∈（0，1），曲线y=f（x）恒在直线y=x上方，求实数t的最大值；（Ⅱ）是否存在实数a，b，c∈，使得f（a）+f（b）＜f（c）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对于x∈（0，1），函数y=f（x）的图象恒在直线y=x上方，可得x∈（0，1）时，，求出右边的最大值，即可求实数t的最大值；（Ⅱ）假设存在a，b，c∈，使得f（a）+f（b）＜f（c）成立，则问题等价于2f（x）min ＜f（x）max．解答：解：（Ⅰ）∵对于x∈（0，1），函数y=f（x）的图象恒在直线y=x上方⇔x∈（0，1）时，⇔x∈（0，1）时，．（*）设，x∈（0，1]，则＞0对x∈（0，1]恒成立，所以在（0，1]上单调递增，于是g（x）max=g（1）=e﹣2；从而，由（*）式得1﹣t≥e﹣2，即t≤3﹣e．所以，t的最大值为3﹣e．…6分（Ⅱ）假设存在a，b，c∈，使得f（a）+f（b）＜f（c）成立，则问题等价于2f（x）min ＜f（x）max．（**）由（Ⅰ）知，．①当t≥1时，f'（x）≤0，f（x）在上单调递减，所以2f（1）＜f（0），即，得．由于，所以符合题意；②当t≤0时，f'（x）≥0，f（x）在上单调递增，所以2f（0）＜f（1），即，得t＜3﹣2e．3﹣2e＜0，所以t＜3﹣2e也符合题意；③当0＜t＜1时，在x∈上，f'（x）＞0，f（x）在（t，1]上单调递增；故由（**）式知2f（t）＜max{f（0），f（1）}，即．（***）设（t∈（0，1）），则恒成立，所以在（0，1）上单调递减，从而有．于是，而，，所以（***）式不可能成立．综上所述，存在，使得命题成立．…13分．点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导数是关键．。
湖南省长沙市高考数学模拟试卷(二模)试题 理(含解析)
科目：数学（理科）说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.【试卷综析】本试题是一份高三模拟测试的好题，涉及范围广，包括复数、正态分布、集合、命题、充要条件、直线与椭圆、三角函数解析式、线性规划、平面向量、异面直线、排列组合、导数、函数单调性、不等式、参数范围、几何证明、不等式选讲、参数方程与极坐标、双曲线、离心率、程序框图、数列、新定义集合等高考核心考点，又涉及了三角函数、解三角形、立体几何、概率统计、函数应用、解析几何、导数与数列结合应用等必考解答题型。
本题难易程度设计合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从16，22等题能看到命题者在创新方面的努力，从17,18，19三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考数学应用；从,21两题可以看出，考运算。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为 A ．i B ．－iC ．1D ．－1【知识点】复数运算 【答案解析】A()111111z i i z i z z i z i +-=⇒+=-⇒==-+故选A 【思路点拨】转化，分母实数化2．设随机变量X ～N (2，32)，若P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．3 【知识点】正态分布【答案解析】C 显然c=2 【思路点拨】正确理解图像 3．二项式6(x x的展开式中常数项为 A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20【知识点】二项式定理 【答案解析】B()6336216631,3=022rr rr r r r T x xr r x CC ---+⎛==--⇒= ⎝令故常数项为()622361=15T C -=-，选B【思路点拨】记住通项公式是关键4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈I ， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则q ⌝是p ⌝的A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件【知识点】并集，交集，补集，命题，充要条件 【答案解析】B显然:;:.p x A B q x A B p q ∈∈∴⇒I U 则由逆否命题与原命题等价，所以q p ⌝⇒⌝ 故选B 充分非必要条件【思路点拨】逆否命题与原命题等价最好回答5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅I 成立，则实数b 的取值范围是A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞UC ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞U【知识点】椭圆，直线系，直线与椭圆关系 【答案解析】B显然(),0b 在椭圆外，即3b <-或3b >符合题意，故选B 【思路点拨】直线显然过点(),0b ，只有该点在椭圆外时才合题意6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ,B 是图象与x轴的交点，若5cos 5APB ∠=-，则ω的值为 A ．4π B ．3πC ．2πD ．π【知识点】由图像得到解析式 【答案解析】C5P PC x cos 25APB APB ⊥∠=-∠=-过点作轴，则由得tan ()3tan tan 44tan 2431tan tan 144T T APC CPBAPB APC CPB T T TAPC CPB +∠+∠∠=∠+∠===-⇒=-∠∠-⨯g tan 所以22T ππω== 故选C【思路点拨】本题是个创新题，通过图像蕴含方程式，求出周期，再求ω的值7．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为A ．4-B ．4C ．3D ．3-【知识点】线性规划 【答案解析】B画出可行域，针对目标函数，研究最大值，知道2,2x y =-=-时，有最大值。
湖南省长沙市高三数学理科第二次调研考试卷
湖南省长沙市高三数学理科第二次调研考试卷第一卷 （选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合},01|{2R x ax x M ∈=-=是集合}1|1||{≤-∈=*y N y N 的真子集，则实数a 的取值个数是（ ）A 、0个B 、1个C 、3个D 、无数个2、已知)0()21(),20(sin 3sin 22<=≤<+=-x n x x x m x π，则n m 、之间的大小关系是（ ）A 、m>nB 、m<nC 、m ≥nD 、m ≤n3、如果数列}{n a 满足1111211,2++---=-==n n n n n n n n a a aa a a a a a a 且，则此数列的第10项为（ ）A 、1021 B 、921 C 、101 D 、51 4、不等式0|2|112≤---x x 的解集为（ ）A 、}1{-B 、[－1，1]C 、[－1，1）D 、（－1，1]5、复数i z +在映射f 下的象为i z ·，则i 21+-的原象为（ ） A 、2B 、i -2C 、i +-2D 、i 31+-6、直平行六面体ABCD －1111D C B A 的棱长均为2，60=∠BAD ，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为（ ）A 、21B 、23 C 、22D 、437、已知双曲线192522=-y x 的左支上有一点M ，右焦点为F ，N 是MF 的中点，且4||=ON ，A 1D 1C 1D ABC B 1则M 到右准线的距离为（ ）A 、18B 、341745C 、34518D 、572 8、已知f(x)是R 上的增函数，点A （－1，1）和B （1，3）在它的图象上，)(1x f -是它的反函数，那么不等式1|)(log |21<-x f的解集是（ ）A 、}11|{<<-x xB 、}82|{<<x xC 、}31|{<<x xD 、}30|{<<x x9、直线)1(1:-=-x k y l 和圆0222=-+y y x 的关系是（ ） A 、相离B 、相切或相交C 、相交D 、相切10、设函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有（ ） A 、分别位于区间（1，2）、（2，3）、（3，4）内的三个根 B 、四个根)4,3,2,1(=i x iC 、分别位于区间（0，1）、（1，2）、（2，3）、（3，4）内的四个根D 、分别位于区间（0，1）、（1，2）、（2，3）内的三个根第二卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
优质金卷：湖南省长沙市第一中学2017届高三第二次模拟考试理数试题(考试版)
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页绝密★启用前2017-2018学年度湖南省长沙一中高三数学(理)模拟考卷考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，但其中第5题相对比较新颖，第10、12、16题突出考查逻辑思维能力与运算能力，同时也注重知识交汇性的考查，如第3、14、15题等，解答题重视数学思想方法的考查，如第21题考查了分类讨论的思想、转化的思想，第20题考查了待定系数法、推理和计算能力，第21题在分类讨论时易出现错误．本卷适合第一轮复习使用． 一、选择题1．复数31()i i-等于（ ）A. B.C. -8D. 82．已知,,若,则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D.3．在区间[1,2]上任选两个数,，则2y x<的概率为（ ） A.B.C. 12D.4．若（）是偶函数,则有序实数对（）可以是（ ）A. B. C. (1,1) D. (-1,1)5．朱世杰是历史上最未打的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五 间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人， 次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升， 问筑堤几日？”.其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修 筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人 数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发 出大米40392升，问修筑堤坝多少天”.在这个问题中，前 5天应发大米（ ）A. 894升B. 1170升C. 1275升D. 1457升 6．平行四边形中，，，，则的值为（ ）A. -4B. 4C. -2D. 2 7．执行右边的程序框图，如果输入的,，则输出的值分别为（ ）A. 4,7B. 4,56C. 3,7D. 3,56 8．如图，某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及 两条对角线，则它的表面积为（ ） A. B. C. 3 D. 49．如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若P 处有一棵 树与两墙的距离分别是4m 和am (0＜a ＜12)，不考虑树的粗 细.先用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ， 设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内， 则函数u =f （a ）（单位： 2m ）的图象大致是（ ）A. B. C. D.10．双曲线的渐近线方程为y x =，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点的位置变化时，周长的最小值为（ ）A. 8B. 10C.D. 11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球 球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积 是（ ） A.B.C.D.12．若函数（，）在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在零点，且 ，则的取值范围是（ ）A. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. [-3,-2]C. [-2,0]D. [-3,0] 二、填空题 13．在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）．14．设不等式组3100360x y x y +-≥⎧⎨+-≤⎩，表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________．15．直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点，若，，则__________．第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页16．设数列满足，， 2221cos 22n nn n a a sin ππ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ，….则数列的前20项的和是__________． 三、解答题17．如图，在平面四边形中，已知2A π∠=，23B π∠=，，在边上取点，使得，连接，.若，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的长.18．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形， ，，，与相交于，且 ，矩形底面，为线段上一动点，满足. （Ⅰ）若平面，求实数的值； （Ⅱ）当13λ=时，锐二面角，求多面体的体积.19．专家研究表明， 2.5是霾的主要成份，在研究2.5形成原因时，某研究 人员研究了 2.5与燃烧排放的、、、等物质的相关关系.下图是某地某月2.5与和相关性的散点图. （Ⅰ）根据上面散点图，请你就，对 2.5的影响关系做出初步评价；（Ⅱ）根据有关规定，当排放量低于时排放量达标，反之为排放量超标；当2.5值大于时雾霾严重，反之雾霾不严重.根据 2.5与相关性的散点图填排放量达标 排放量超标（Ⅲ）我们知道雾霾对交通影响较大.某市交通部门发现，在一个月内，当排放量分别是60，120,180时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是800，600,200，而在一个月内，排放量是60,120,180的概率一次是，2p ，（112p <<），求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围.20．设，，，是椭圆：221x y a b+=（）的四个顶点，四边形是圆：22367x y +=的外切平行四边形，其面积为.椭圆的内接的重心（三条中线的交点）为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.21．已知函数， ()()1xg x ax e =- ，.（Ⅰ）判断直线能否与曲线相切，并说明理由；（Ⅱ）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（为参数，为大于零的常数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）若曲线与有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）若，过曲线上任意一点作曲线的切线，切于点，求的最大值.23．选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x a =-，a R ∈. （Ⅰ）当时，解不等式：()625f x x ≥--；（Ⅱ）若关于的不等式的解集为[-1,7]，且两正数和满足，求证：186s t+≥.。
2019湖南长沙一中高三第2次月考理科数学试题理数(答案)
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【全国百强名校】长沙市一中2020届高三第2次月考高考冲刺试卷-理科数学(附答案)
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以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率! !!"求九月份这种冰激凌一天的需求量 8!单位#桶"的分布列!#"设九月份一天销售这种冰激凌的利润为9!单位#元"%当九月份这种
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湖南省长沙市高考二模理科数学试卷
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.
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21.难度：困难
已知A、B为抛物线C：y2= 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点.
（1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为 ，求 ；
（2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
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20.难度：困难
某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf(x)，其中 ，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.
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14.难度：中等
设点P是双曲线 与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，且 ，则双曲线的离心率为______.[来
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15.难度：中等
已知数列 中， ，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n的值为.
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16.难度：困难
若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足 ，则称a、 b、c是调和的；若满a + c = 2b足，则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好
长沙市高考数学一模试卷(理科)(II)卷
长沙市高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·衡阳月考) 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A .B .C .D .3. （2分）已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A .B . 4,0C . 16,0D .4. （2分）下列四个判断：①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a,b，则这两个班的数学平均分为；②从总体中抽取的样本(1,2.5),(2,3.1),(3,3.6),(4,3.9),(5,4.4)则回归直线y=bx+a必过点(3,3.6)；③已知服从正态分布,且,则其中正确的个数有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5. （2分）已知tan= ，的值为（）A . ﹣7B . 8C . ﹣8D . 76. （2分） (2016高一上·安徽期中) 三个数a=0.3﹣2 ， b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A . a＜b＜cB . b＜c＜aC . b＜a＜cD . a＜c＜b7. （2分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A . [﹣3，4]B . [﹣5，2]C . [﹣4，3]D . [﹣2，5]8. （2分）设a、b、c分别是△ABC的三边长，且a=4，b=5，c=7，则△ABC是（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 无法确定9. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 2B . 1C .D .10. （2分）各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·襄阳期中) 已知椭圆 + =1以及椭圆内一点P（2，1），则以P为中点的弦所在直线斜率为（）A .B . ﹣C . 2D . ﹣212. （2分）数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A . an=2n﹣1B .C .D .二、填空题： (共4题；共6分)13. （3分） (2017高一下·西安期中) 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的________倍（纵坐标不变），再向________平行移动________个单位长度得到．14. （1分）(2017·金山模拟) 若x，y满足，则2x+y的最大值为________15. （1分）(2017·天津) 已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y轴上的截距为________．16. （1分）(2016·安徽) 若平面向量满足|2 |≤3，则的最小值是________．三、解答题： (共7题；共60分)17. （10分） (2016高二下·佛山期末) 正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn ．18. （10分） (2018高二下·中山月考) 我校的课外综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到市气象观测站与市博爱医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差(°C)1011131286就诊人数(个)222529261612该综合实践研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.参考数据：；.参考公式：回归直线，其中 .（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?19. （5分）(2017·淮北模拟) 正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1 ， AB的中点．（I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1=4B1M，求证：EM∥面A1FC；（II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．20. （10分） (2016高二下·安吉期中) 已知椭圆C：（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C与X轴负半轴交于点A，直线过定点（﹣1，0）交椭圆于M，N两点，求△AMN面积的最大值．21. （5分）(2018·深圳模拟) 已知， .（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.22. （10分）(2017·雨花模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为．（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．23. （10分） (2016高二下·丰城期中) 设函数f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≥0；（2）若f（x）+2|x﹣1|≥m对任意的实数x均成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
湖南省长沙一中高三第二次月考数学试卷(理)
长沙一中2009届高三第二次月考 理科数学命题：长沙市一中高三理科数学备课组 时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选顶中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．函数y =113x -的值域为（ ）A ．{y | y ≠1}B ．RC ．{y| y ＞0且y ≠1}D ．R+ 【解析】略．选C ．2．已知：cos (πα+)=13-，32π＜α＜2π，则sin (2πα-) = （ ）A ．13B ．C ．D ．【解析】由cos (πα+)=13-可得cos α=13，又∵32π＜α＜2π∴sin α=，而sin (2πα-) = –sin α．∴选C ．3．不等式log2(1 +1x ) ＜1的解集为（ ）A ．{x | x ＞1}B ．{x | x ＜–1或x ＞1}C ．{x | x ＜0或x ＞1}D ．{x | x ＞0} 【解析】由0＜11x +＜2解得x ＞1或x ＜–1．或由排除法．选B ．4．已知f (x) = x2 + (b – 1)x + b2且对任意x 都有f (–x) = f (x)，则f (–4)，f (–3)，f (2)，f (72)中最大的是（ ）A ．f (–3)B ．f (–4)C ．f (2)D ．f (72)【解析】略．选B ．5．在各项均为正数的等比数列{an}中，1，1，则a32 + 2a2a6 + a3a7 = （ ）A ．4B ．6C ．8D ．8 –【解析】由等比数列的性质可知a32 + 2a2a6 + a3a7 = (a3 + a5)2 = 8．故选C ． 6．下列函数中，以π为周期的是（ ）A ．y = | cos2x|B ．y = | cos2x – sin2x + 12| C ．y = tan2x D ．y = cot 2x 【解析】略．选B ．7．已知cot (4π+ x) = 2，则2sin 2cos 1cos2x x x -+的值为（ ）A ．13B ．53-C ．D ．56-【解析】由cot (4π+ x) = 2可得：tanx = –13而2sin 2cos 1cos 2x x x -+=2cos (2sin cos )2cos x x x x -=2tan 1526x -=-．故选D ． 8．已知数列{an}中，a1 = 2，nan+1 = (n + 1)an + 2，n ∈N+，则a11 =（ ）A ．36B ．38C ．40D ．42【解析】由nan+1 = (n + 1)an + 2，(n – 1)an= nan –1+ 2，可知{an}为等差数列．故选D ．9．设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且，则2sinBcosC – sin (B – C)的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12【解析】由sinBsinC 可得sinA =12而2sinBcosC – sin (B – C) = sin (B + C) = sinA ．故选D ．10．下列结论：①若A 是B 的必要不充分条件，则B ⌝也是A ⌝的必要不充分条件；②“x ≠2”是“x2≠4”的充分不必要条件；③在△ABC 中“sinA ＞sinB ”是“A ＞B ”的充要条件；④若a 、b 是实数，则“| a + b|=| a | + | b |”的充要条件是“ab ≥0”．其中正确的序号是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．①③ D ．②④ 【解析】略．选B ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷中对应题号的横线上） 11．在数列{an}中，a1 = 1，且任意的正整数m ，n 都有am+n = am+an ，则a10 = ． 【解析】令m = 1，则an+1 = an + 1．∴a10 = 10．12．函数y = lg (sinx + cosx)的单调递减区间为 ．【解析】略．填[32,244k k ππππ++）且k ∈Z ． 13．若不等式x2 + (a – 3)x + 1≥0对一切x ∈(0，12)都成立，则a 的最小值为 ．【解析】略．填12．14．集合A ={2s + 2t | 0≤s ＜t ≤2且s 、t 都是整数}，则集合A 中所有元素之和为 ． 【解析】略．填14．15a ，x ∈(,22ππ-)的解集非空，则参数a 的取值范围为 ．【解析】令tanx = m ，则m ∈R ，∴原不等式化为a即a 1． ∴a ＜1．三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明步骤和演算过程） 16．（本小题满分12分）已知f (x) = 3x – m(2≤x ≤4)的反函数的图象经过（1，2） （1）求f –1 (x) ．（2）若g (x) = [f –1 (x)]2 –f –1 (x2)，试求g (x)的最大值和最小值之差．【解析】（1）由f (x) = 3x – m 的反函数的图像过（1，2）知m = 2 ……（2分） ∴f (x) = 3x – 2 ∴f –1 (x) = log3x + 2又∵f (x)的值域为[1，9]，所以f –1 (x) = log3x + 2，（1≤x ≤9） ……（4分） （2）由第（1）问知：g (x) = (log3x + 2)2 – (23log x + 2)= (log3x)2 + 2 log3x + 2 ……（6分）又∵f –1 (x)的定义域为[ 1，9] ∴g (x)的定义域满足21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩∴g (x)的定义域为1≤x ≤3 ……（8分）而g (x) = (log3x + 1)2 + 1 0≤log3x ≤1 ……（10分） ∴g (x)的最大值与最小值之差为3 ……（12分）17．（本题满分12分）已知：在锐角△ABC 中，sin (A –3π) =25，cosB =13． （i ）求sinA 的值．（ii ）判断sin (C –3π)的正负．【解析】（i ）由sin (A –3π) =25可知0＜A –3π＜6π∴cos (A –3π) =……（3分）∴sinA = sin[(A –3π) +3π] = ……（6分）（ii ）又∵0＜cosB =13＜12 ∴3π＜B ＜2π……（8分）∴23π＜A+B ＜π ∴0＜C ＜3π……（10分）sin (C –3π)＜0……（12分）18．（本小题满分12分）已知数列{an}满足an+1 = an2 + an +λ（λ为常数），且{bn}满足bn =11n a +， Sn 为数列{bn}前n 项的和．（1）若14λ=-时，试证明{lg (an +12)} 为等比数列．（2）若λ= 0时，求证：Sn +11n a +=【解析】（1）当14λ=-时，由an+1 = an2 + an 14-可得：an+1 +12= (an +12)2…………（2分） lg (an+1 +12) = 2 lg (an +12)∴数列{ lg (an +12)}是以12)为首项，以2为公比的等比数列…………（5分） （2）当λ= 0时，an+1 = an2 + an∴11111n n n a a a +=-+ ∴11111n n n n b a a a +==-+…………（8分）∴由裂项相消法易得12231111111111111()()()n n n n n S a a a a a aa a a +++=-+-++-=-=∴11n n S a ++=…………（12分）此时：AA′= 40 t ，PQ = 20 t ，A′P台风的侵袭半径R= 80 + 30 t ……（4分）∴A ′Q2 – R2 = PQ2 + A ′P2 – 2PQ ·A′Pcos ∠A ′PQ – R2 = PQ2 + A ′P2 – 2PQ ·A ′Pcos (θ–∠APA ′) – R2= 400t2 + 30000 + 1600t2– 2×20t ·A ′P [cos θ·40sin tA P θ⋅'] – R2= –180t2 –+ 4800)t + 23600 …… （8分） 又∵0≤t ≤2.5∴+4800)t 的最大值为：180××2.5≈23517∴A ′Q2 – R2 ＞0在t ∈[0，2.5]内恒成立 ……（11分） ∴在客轮回港过程中不会受到台风的袭击 ……（13分） 20．（本小题满分13分） 已知f (x) =sin (x ωϕ+) – cos (x ωϕ+) (0＜ϕ＜π，ω＞0)，若f (–x) = f (x)，f (x) = f (π–x)对任意实数x 都成立．（i ）求f (4π)的值．（ii ）将函数y = f (x)的图象向右移6π个单位后，再将得到的图象上的各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变得到函数y = g (x)的图象，试求y = g (x)的对称中心。
湖南省长沙市高考数学二模试卷(理科)
湖南省长沙市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·成都模拟) 执行下面的程序框图，则输出的值为（）A . 99B . 98C . 100D . 1013. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 已知单位向量和满足| |= | |，则与的夹角的余弦值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .4. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A .B .C . 1D .5. （2分）实数x，条件P:, 条件q:则p是q的（）A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要条件D . 既不充分也不必要6. （2分） (2017高三上·廊坊期末) 设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=1时，z=ax+y取得最大值，则实数a的取值范围是（）A . （﹣1，1）B . （﹣∞，1）C . （﹣∞，﹣1）D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7. （2分）(2017·河南模拟) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（）A .B .C .D .8. （2分）某社区要召开群众代表大会，规定各小区每10人推选一名代表，当各小区人数除以10的余数不小于5时再增选一名代表．那么，各小区可推选代表人数y与该小区人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为（）A . y＝[]B . y＝[]C . y＝[]D . y＝[]二、填空题 (共6题；共10分)9. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知复数Z满足|Z|= ，Z2的虚部是2．设Z，Z2 ， Z﹣Z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为________．10. （1分）(2014·山东理) 若（ax2+ ）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为________．11. （1分）(2017·南通模拟) 设函数f（x）=2x﹣cosx，{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2﹣a1a5=________12. （1分） (2017高二上·西安期末) 在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为________．13. （1分）(2017·大理模拟) 在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是________．14. （5分） (2016高一上·南京期中) 函数f（x）=x2+x﹣2a，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，求a的取值范围．三、解答题 (共6题；共45分)15. （10分） (2019高二上·蛟河期中) 在△ 中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，△ 的面积是，求三角形边，的长．由，得，∴ ，16. （5分）(2017·衡水模拟) 某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为xn ， yn ，如果点数满足xn＜，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．（I）求第一轮闯关成功的概率；（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获的奖金数f（i）=10000× （单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求x的分布列和数学期望．17. （5分）(2017·丰台模拟) 如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE 是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18. （10分） (2016高三上·宝清期中) 已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（1）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=﹣x+5垂直，求实数a的值．（2）∃x0∈[1，e]，使得≤0成立，求实数a的取值范围．19. （10分） (2019高二上·南通月考) 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，是抛物线准线上的点，连结 .（1）若，求长；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的值.20. （5分）(2017·四川模拟) Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn+1=λSn+1（λ是大于0的常数），且a1=1，a3=4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=nan ，求数列{bn}的前n项和．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、答案：略13-1、答案：略14-1、答案：略三、解答题 (共6题；共45分)15-1、答案：略15-2、答案：略16-1、答案：略17-1、答案：略18-1、答案：略18-2、19-1、19-2、20-1、。
2020届湖南省长沙市一中高三第二次调研考试数学(理)试题
2020届湖南省长沙市一中高三第二次调研考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|10},{1,0,1}A x x B =+>=-，则A B =（ ）A.{1}B.{1}-C. {0,1}D. {1,0}- 2．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是A. 的虚部为B.C. 的共轭复数为D.为纯虚数3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与+2共线的向量可以是（ ）A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．βαβα//,//,//b a ，则a 与b 位置关系是（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交 5．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数, AQI 指数值越小, 表明空气质量越好, 下图是某市10月1日 - 20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A.这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占1/4C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．32 B ．31 C ．34 D ．65 7．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,12,3432=+=a a S ，则公比=q （ ） A ．4± B ．4 C ．2± D ．28．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为A. 8164B. 2732C. 98D. 2716 9．若直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x 相切,则k=（ ）A .2B .C .3D .10．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于（ ）A ．3B ．2C ．3D ．6 11.已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立,若11a =,则10a 等于( )A. 10110B.9110C. 11111D. 1221112.))((R x x f y ∈=在(]1, ∞-上单调递减，且)1(+x f 是偶函数，若)2()22(f x f >-，则x 的取值范围是（ ）A. ()()+∞⋃∞-,21, B. ()+∞,2C. ()2,1D. ()1,∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市一中高三第二次模拟试卷理科数学
湖南省长沙市一中高三第二次模拟试卷理科数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1 1. 设 a + bi= （a , b € R ），贝U P （a , b ）在（）1 +iA .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.在某项测量中，测量结果 ■〜N （2,二1 2）（二＞0），若■在（0, 2）内取值的概率为0.4,则'在（0, 4）内的概率为（ ） A . 0.8 B . 0.4 C . 0.3 D . 0.23.已知函数在R 上可导，且f （-1）七，则im f（-3 4 -x ）- f （一1）=（）A1 1 A .B .C .— 3D . 3334.等差数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，空00!—坠 1，则恤$的值为（）2009 2008n¥n1 A .2 B . 1 C . -D . 3 25.能够使圆x 2 • y 2 -2x • 4y • 1 = 0恰有两个点到直线 2x y 0距离等于1的c 的一个值为（ ）B . 3・56.函数 y = f（x ）是为（「2一5 c 卡 2、5 “ {x|x ：：0或x -1}552、5亠2、5 或 x 一1} 5 52.5 2 5{x| T —X 或 0 ：： x }5 5{x| —乙5 ：：x :： 2"5 且 X M 0} 5 5{x| —1 _x ：：D . 3（如图）7.在直角坐标平面上，OA= （1, 4）, OB= （3 1 ）且OA与OB在直线I上的射影长度相C.& f(x)是偶函数，且f(x)在［0 , + g)上是增函数；不等式1 、f (ax + 1)<f (x T2)对x€ [- , 1]恒成立，则实数a的取值范围是( )A . [ -，0] B. [ -5, 0] C.[七，1]D . [ -, 1]、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分•把答案填写在答题卷中对应题号的横线上)9. (2^ 1 )6展开式中x3的系数为_________________ .10•为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料，两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为 ___________ (用数字作答)工x _011.当x、y满足约束条件y (k为常数)时，能使z = x + 3y的最大值为12的k2X亠y k _0值为12.已知抛物线y22 216x，椭圆•乜二2 1,则两曲线有公共点时a a -4a的最小值13.如图，正△ ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△ A'ED是厶AED绕边DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点A在平面ABC上的射影在线段AF 上;②恒有平面A'GF丄平面BCED ;③三棱锥A —FED的体积有最大值；④异面直线AE与BD不可能垂直.其中正确命题的序号是 _________________14.对于实数x,符号［x］表示不超过x的最大整数, 例如[兀]=3 , [ -.08]= —定义函数f(x) =x -[x].(i) f(x) 的值域是___________(ii) f (x)的最小正周期为 ________________15.如图所示，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到点(0, 1),然后它接着按图所示在 x 轴、y 轴的平行方向来回运动（即（ 1）^（ 1，0 ）T （ 2, 0…）且每秒移动一个单位长度.点时经过了 _____ 秒；（ii ）第2019秒时，粒子所处的位置为每个盒子放一个球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做 “放法恰当”否则叫做“放法不恰当” •设放法恰当的情况数为随即变量 .（I ）求'的分布列； （n ）求■的期望与方差.0, 0)^( 0, 1)^( 1, （i ）粒子运动到（4, 4）16. 某人随机地将4的四个大小相同的小球放入编号为1 , 2, 3, 4的四个型号相同的盒子中,1, 2, 3, 、证明过程或演算步骤）解答题17.已知向量a =( 3,1)，向量b = (sin：--m,cos： ),（I ）若a//b，且很三［0,2二），求实数m的最小值及相应的：•值;_ _ cos(——a) sin(兀+2a)(n)若a _b，且m=0,求2的值.cos(兀一ct)18. 如图，在边长为12的正方形A i AAA i 中，点B、C在线段AA'上，且AB = 3, BC = 4 , 作BBJ/AA i，分别交A i A i'、AA i 于点B i、P；作CCJ AA i，分别交A i A i'、AA i 于点C i、Q;将该正方形沿BB i、CC i折叠，使得A A i '与AA i重合，构成如图所示的三棱柱ABC—A i B i C i，在三棱柱ABC—A i B i C i 中，(I)求证：AB丄平面BCC i B i；(n)求面PQA与面ABC所成的锐二面角的大小.(川)求面APQ将三棱柱ABC —A i B i C i分成上、下两部分几何体的体积之比.i9.据中新网20i9年4月9日电，日本鹿儿岛县樱岛昭和火山口当地时间9日下午3点3i分发生中等规模爆发性喷火, 鹿儿岛市及周边飞扬了大量火山灰.火山喷发停止后，为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、100米至150米的圆环面为第 3区、……、第 50 (n —1)米至50n 米的圆环面为第 n 区,现测得第1区火山灰平均每平方米为 1吨、第2区每平方米的平均重量较第 1区减少2%、 第3区较第2区又减少2%，……，以此类推.(I)若第n 区每平方米的重量为 a n 千克，请写出a n 的表达式； (n)第几区内的火山灰总重量最大？(川)该火山这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨(二取3,结果精确到万吨)？20. 如图所示，F 2是双曲线X -y 2 = 1原点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线 切，并与双曲线交于 A 、B 两点.(I)根据条件求出 b 和k 的关系式；—I —_ 1(n)当(OA [OB)_Jm ,且满足 2< m W_k 2+1取值范围.(I)试求函数f(x)的单调区间;21•设函数 f (x)=-a (b , c € N *)，若方程f(x) = x 的解为0, 2,且 bx -c1f ( -)v --.4时，求厶AOB 面积的（H）已知各项不为零的数列｛a n｝满足4S n・f （丄）=1，其中S n为｛ a.｝的前n项和.a n求证：（1 r）ani：：：（1—丄）％.a n e a n参考答案、选择题【解析I ： f(x)是偶函数且 f(x)在［0 , +s )是增函数• x -2< ax + 1 w 2 -x"g(1)=aE01 1g (_) =—(a_1)兰0二一2 兰a 兰0 2 2h(1)=a +2 30 1 1h(;)=;;(a+5)30 .2 2二、填空题9. 【解析】T ； 1 二C 6(2x)6上(- 1 )r =(-1)「26弋6 J 刃，令 6-|r =3 有 r = 2, • 24 C ：=240 . 10. 【解析】A 4Af = 1440 .k k11. 【解析】求出交点(亏弓代入求出k 并验证得k =9 12.【解析】易求：抛物线焦点 F(4, 0)，准线L : x = -4.椭圆焦点如图所示.所以F 为两曲线之公共焦点. 设两曲线交于点A ，则?AH 〔 j AF J=|AH |+| AF "|=2aQ AF | +| AF | = 2a题号 1 23 4 5 6 78 答案 D A C B D C C A4.【解析】 {a n }为等差数列，则 { —}也为等差数列且其公差 d = 1, n ••• 十(n —1)>C1=(S —1)+ n ,•••罢二^^1 十1 . n n n2 9 5【解析】圆方程可化为(x-1) +(y+2) =4，则圆心到直线的距离 |2-2 c| = |c|\ 5 一5 ' 当1 v d v 3时，则圆上恰有两个点到直线的距离等于 1, . 、. 5 v |c|v 3、. 5，故选 D. 6.x【解析】y = f(x)是奇函数，由f(x)> f ( ―) + x 得f(x) > -，数形结合.7. 51 2【解析】设I 过原点，取线段 AB 的中点M(-1,—),贝U OM 丄I ,• k l =——=— 2k oM 5 •- |ax + 1|< |x ~2|恒成立,1x € [丄,1].2即 g(x) =(1 a)x-1" h(x) =(a -1)x 3 _0所以当H 、A 、F 共线时，2a 有最小值，从而a 也达到最小，此时，y A = y F = 4,代入y 2 = 16x2得X A = 1,再以A(1, 4)代入椭圆得：a = 16,从而a = 4 .13. 【解析】①在平面 A F A 内过点A 作A'H 丄AF ，垂足为H ，由DE 丄AF , DE 丄A'G 知DE 丄平面A GA .故DE 丄A H , A A H 丄平面ABC ，即A 在平面ABC 上的射影在线段 AF 上.② 由①得；③ 由①知：当A H 与A G 重合时，三棱锥 A — FED 的体积有最大值；④ 用反证法：假设 A E 与BD 垂直，由①知 A H 丄BD , A BD 丄面A HE , EH 丄BD .14. 【解析】当 n w x v n + 1(n € Z )时，y = f(x) = x显然有 0< x -n v 1，即 O w y v 1,也有 f(x+ 1) }= x + 1 -[x + 1] = x + 1 - ([ x] + 1) 答案为：［0, 1); 1 15. 【解析】(i ) 20;(ii )将粒子的运动轨迹定义为数对(i , j )•••当EH 丄BD 时，可证 A E 丄BD .故①②③正确.(0, 0)(0,1)(1, 1)(1, 0)(0,0) (2, 1) (2, 2) (1 , 2) (0, 2)(0,3) (1 , 3) (2, 3) (3, 3) (3, 2) (3, 1) (3, 0) (4,0) (4, 1) (4, 2)(4, 3)(4, 4)(3, 4)(2, 4)(1, 4) (0, 4)经过 6 =2X 3s ,运动到(经过 12 =3 X 4s ,运动到(3, 3)则它的运动整点可排成数表A经过44 X 45 = 1980s，运动到(44, 44)再继续运动29s,到达点(15, 44).三、解答题(1 分)16. 【解析】(1) = 0, 1, 2, 4.P( = 4)=丄二丄4! 242P（ = 2） £=1P（ = 1） = C4 2 14! 3P（ = 0） = 1 -P（ = 1）-P（ = 2）（7分）••• •的分布列为24（9分）•E =1 1 13 2 6=1 ,址 23 D = （0 -1）x8 + （1十3+（2-1）2x2、，1£+（4 -1）2x £=14 ' 124（12分）17.【解析】（I）：a//b ,• i. 3 cos： -1 （s in： -m）= 0 ,（2分）• m =sin: -、..3cos: =2sin（: 3），（4分）又：工€sin（） = -1 时,3n rnin = - 2.又「• [0,2二），所以二=口-6 （6分）（n）：a _ b，且m = 0, • 3sin 很亠cos ： = 0 （8分）71cos（3 -: ） sin（「：2：）sin：（-s in2：）cos（「：--）（10 分）2 tan:=tan ：21 + tan2a 18•【解析】（I）•/ AB = 3,:AC2 = AB2 2+ BC• AB 丄BC又AB丄BB1 -COS：（12分）即得第50区火山灰的总重量最大. (9 分)且 BC n BB 1 = B ••• AB 丄面 BCC 1B 1(4分)(n)如图，建立空间直角坐标系则 A(3, 0, 0), P(0, 0, 3), Q(0, 4, 4) 设面APQ 的法向量为 m= (x , y , z)<x 3z =0.4c = m= (1，- , 1)4y 亠4z =0而面ABC 的法向量可以取n = (0，0，1) • cos ・m,n, 1」\ f 品 X 133•••面PQA 与面ABC 所成的锐二面角为 arccos 一 .3(8 分)(川)••• BP = AB = 3, CQ = AC = 7.BC (BP CQ)--S 四边形BCQP = 一2(3 7) 4 -2=201• - V A —BCQP = X 20 X 3 = 2031又，V ABC 4 B 1C 1= S ABC AA 1 =2 3 4 12=72..V 上 72 -20 52 13 V 下一 20 一20 一 5 •(12 分)19•【解析】(I) a n =1000(1 -2%)n」=1000(1 -0.02)2 ( n N *). (2 分)(n)设第n 区内的面积为b n 平方米, 则 b n =二502n 2 -二502(n -1)2=2500二(2n-1). (4分)则第n 区内火山灰的总重量为 C n =a n b n =2500二(2n-1)(1-2%)n 」(吨) (2n - 1)(0.98)心(万吨)(6 分)4设第n 区火山灰总重量最大，则 兀 n 4 兀 n -2 -(2 n —1)(0.98) >-(2 n — 3)(0.98) 4 4 —(2n —1)(0.98)2 (2n +1)(0.98)ni4 41 1 解得 49 n - 50-， •• n =50.2 2(川)设火山喷发的火山区灰总重量为 S 万吨，则 s 9 • c 2 •…• c n •…,设S n二G C2 C n，q =1-0.02,3 二5二 2 (2n -1)二nj —则& q q q ①4 4 4 4亠JT3兀25兀3(2n_ 1)兀n.qS n q q2q3q n②4 4 4 4①一②得(1「q)S n 二才—(q q2- - q n‘)- 心、（2n»q n... S n ^^-(^q n4(1 -q) 2(1 -q)24(1 - q)-- 兀qT0v q v 1,. S = lim S n一n Y 4(1—q) 2(1—q)2 4 0.02兀* 0.98一2 (0.02)2:3712因此该火山这次喷发出的火山灰的总重量约为3712万吨.20.【解析】（I）因为圆O的方程为x2 + y2 = 2，所以d=斤「2,可得b2 = 2(k2 + 1)(k z土1).(H)设A(x i, y i), B(X2, y2),由欢2十b二(1 —k2)x2—2kbx —(b2十1) =0 , x -y=1I “ 2kb 为X2 一所以1;k,I I b +1xg 2L 1 -k2所以(OAOB)Fb2 1 2 2kb 2 1 1=[ 一(1 k2) kb 一b2] 一一1 -k2 1 -k21k2 k2 -11 =X，y1)_(x2,y2)_k^=[xx2 (心 b)(kx> b)]jk^因为|AB| = - 1 ' k2| x^x, .1 ■ k 2pb2_k2+1 =2'(k2+1)(k2+3)2|1 —k | 2 2 5(k -1)O到AB的距离d O _AB 二• 2,(12 分) (万吨)(13 分)(4分)(7 分) (11 分)(13 分)12(4 m - 1)(2m - 1)1~一k2-1(13 分)(10 分)■/ x >0 • g '(x) >0, h (x)> 0-c - 小2 0 a =01 bib, c n f(x)Ice a |b =1 +—2 0 21-bLc (1 )x_c 2(2 分)由f (词=总一莽又••• b , c € N ••• c = 2, b = 22•f (x) =2^(f(4分)2 2」、2x 2(x一1) _x 2 x -2xf (x)2222(x-1)24(x -1)2令 f'(x) > 0 得：x v 0 或 x > 2 令 f '(x) v 0 得：• f(x)的单调递增区间为( -O, 0)+OO )(6分)(n)证明：由已知可得：22Sn = a n- a n , 2S n J - a n J _a n J (n 亠 2)--a n = —J n -或 a n -J n -=—(7 分)当 n =1 时，2a 1 = a 1 _a12 = a^ _ -1右 a n = -a n -,贝U a 2 = —31 = 1 与 a n ^ 1 矛盾. (定义域要求a n * 1) •- a n -a n — = 1 ,• a n = -n . (8 分)要证的不等式转化为(1」)(n1)；：：(V-)ne n=(1」)n e ：：(1」)n 1n n=nln(1 丄)：：1 ：：( n 1)ln(1 丄)n n1 1 1ln(1 ) <- n 1 n n先证不等式 —d n(x 1)：：x(x 0)x+1令 g (x) = x -n(1 + x), h(x) = ln(x +1) 则 g (x)=h '(x)=x (x 1)2f(x)的单调递减区间为(0, 1), (1, 2).两式相减得：(a * + a n -1) (a n -a n -1+1) = 0 (n > 2)• •• g (x), h(x)在(0, + 8)上・••• g (x) > g (0) = 0 , h(x) > h(0) = 0 (12 分) xIn(x 1b： xx 1故丄：：：|n(1」)：：丄,即(1—丄畀1：：」：：：(1—丄广. (13分) n 1 n n a n e a n。
优质金卷：湖南省长沙市第一中学2017届高三第二次模拟考试理数试题(解析版)
1．A 【解析】()22124i i i ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故选A.2．D 【解析】由已知可得[]12{|,01}0,1A y y x x ==≤≤=，当0k >时， []1,1B k =+；当0k <，[]1,1B k =+，由A B ⊆知，当0k >时不合题意，则10k +≤， 1k ≤-，故选D.点睛：本题主要考查了利用两角和与差的三角函数进行三角函数式的化简，以及三角函数奇偶性的判断，熟练掌握三角函数的性质是关键；已知函数的奇偶性求参数的问题解决的方法主要有三：（1）奇偶性的定义；（2）数形结合；（3）根据基础函数平移伸缩变换得出奇偶性.5．B 【解析】∵第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人， ∴第5天派出： 644792+⨯=人，∴前5天共派出()5564923902S =+=（人）， ∴前5天应发大米： 39031170⨯=（升），故选B.6．A 【解析】由0DM CM +=知M 为CD 的中点， 12BM BC CM AD AB =+=-， 21122422AB BM AB AD AB AB AD AB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅-=--=- ⎪⎝⎭，故选A.7．C 【解析】执行如图所示的程序框图，输入168m =， 112n =，满足m n 、都是偶数1k =， 84m =，56n =，满足m n 、都是偶数， 24228k m n ===，，，满足m n 、都是偶数， 3k =， 21m =，14n =，不满足m n 、都是偶数，满足m n ≠， 7d m n =-=， 14m =， 7n =，满足m n ≠， 7d m n =-=， 77m n ==，，不满足m n ≠，退出循环，输出3k =， 7m =，故选C.8．B 【解析】如图所示，该几何体是同底面的上下两个正四棱锥．则该几何体的表面积18112S =⨯⨯⨯=，故选B.9．C 【解析】设AD 长为x ，则CD 长为16x - ，又因为要将P 点围在矩形ABCD 内，∴12a x ≤≤， 则矩形ABCD 的面积为()16x x -，当08a <≤时，当且仅当8x =时， 64u =，当812a <<时，()16u a a =-， ()6408{16812a u a a a <≤=-<<，，，分段画出函数图形可得其形状与C 接近，故选C.点睛：本题主要考查了函数在实际生活中的应用，解决本题的关键是将面积的表达式求出来，结合自变 量的取值范围，分类讨论后求出面积的解析式；求矩形ABCD 面积的表达式，又要注意P 点在长方形ABCD 内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可.11．C 【解析】如图，球的截面图就是正四面体中的ABD ，已知正四面体棱长为2，所以AD =1AC =，所以CD =，故选C.点睛：本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题；将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的ABD 的面积研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系； （3）球自身的对称性与多面体的对称性； （4）能否做出轴截面.若有两个零点，则必有()()200110{10240g b g a b a a b =>-=-+>-<-<->无对应区域，综上所述， b 的取值范围是[]3,0-，故选D.点睛：本题主要考查了一元二次函数零点的分布问题，不等式组所对应的区域问题，换元思想，数形结合思想的应用等；在该题中，首先利用换元法将题意变为一元二次函数根的分布，利用数形结合按照一个零点和两个零点进行讨论，结合021b a ≤-≤作出不等式组对应的区域即可得到b 的范围.13．20【解析】由二项式定理展开式可得222223451361020C C C C +++=+++=，故答案为20.14．【解析】作出不等式组3100{360x y x y +-≥+-≤对应的平面区域如图：由1a >，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件，由3100{360x y x y +-=+-=，解得()31A ，，此时满足log 31a ≤，解得3a ≥，∴实数a 的取值范围是[3+∞，），故选[3+∞，）. 点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用对数函数的图象和性质，通过数形结合是解决本题的关键；结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数log 1a y x a =>（）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题.16．2101【解析】由题中条件知， 11a =， 22a =， 3112a a =+=， 42204a a =+=， 5313a a =+=，6428a a ==…即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，所以该数列的前20项的和为()()101231024822101+++⋯+++++⋯+=，故答案为2101.点睛：本题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，考查学生的运算能力，难度一般；先利用题中条件找到数列的特点，即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，再对其和用分组求和的方法找到即可.试题解析：（Ⅰ）在中，据正弦定理，有，∵，，.所以.（Ⅱ）由平面几何知识，可知，在中，因为，，所以，所以.在中，据余弦定理有，所以.点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC ∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 18．【解析】试题分析: （Ⅰ）由题意先得DOC BOA ~，可得21AO OC =，由线面平行性质定理可得四边形AOEM 为平行四边形，即EM AO =，故可得λ的值；（Ⅱ）运用面面垂直性质定理可得EC ⊥面ABCD ，故而可得OM ⊥面ABCD ,以OA ， OB ， OM 所在直线为x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，由三角形全等得,,,OA OB OC OD 的长度，设()0,0,M a 求出平面AMD 的法向量和平面AMB 的法向量，根据二面角的余弦值可得a 的值，将多面体分割为两个四棱锥，求其体积即可.（Ⅱ）∵梯形底面，平面平面，∴底面.∵，∴底面.以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，易证，所以，所以，同理，所以，，，，.，.19．【解析】PM具有正相关关系，而右图散试题分析：（Ⅰ）根据左图的散点分布在一个条形区域内，可得CO与2.5K的值，可判断结果；（Ⅲ）点之间分布较散不具有较强的相关关系；（Ⅱ）根据散点图完成列联表，计算出2根据概率和为1将q用p表示，计算出期望值根据p的范围得到期望的范围.学科.网试题解析：（Ⅰ）对有正相关关系，而对没有相关关系.（Ⅱ）列联表如下：排放量达标排放量超标由表中数据可知.故有99.5%的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”.（Ⅲ）设交通流量是，则得如下分布列：交通流量因为，所以.即，即交通流量期望值在566.7万辆到800万辆之间.20．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为四边形是圆外切平行四边形，所以，又，所以，，故所求椭圆的方程为.设直线方程为：，，.由得，则.即，∴，∴.∵为的重心，∴，∵点在椭圆上，故有，化简得.∴.又点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到）.∴.综上可得，的面积为定值.21．【解析】试题分析：（Ⅰ）假设直线与曲线相切，设出切点坐标(),ox y，根据导数的几何意义，化简可得()0001x x xa x e e e+-=，根据切点既在曲线上又在切线上化简可得()00001x xa x e x e-+=,两者联立消去a将题意转化为020xe x+-=,令()2xh x e x=+-,确定其在()0,1内有零点即可；（Ⅱ）将()()f xg x>转化为11xxa xe-⎛⎫-<⎪⎝⎭，令()1xxh x xe-=-，利用导数研究单调性证明()0h x>恒成立，分为0a≤，1a≥不符合题意，当01a<<时，只需满足()()11{12haha-≥≥解出即可.设，则，所以在上单调递增，而，，，故存在，使得.所以存在直线能与曲线相切.（Ⅱ）由得.令，则. 令，则，所以在上单调递增， 又，，所以在上有唯一零点，， 此时在上单调递减，在上单调递增.∴，易证，.（3）若，即，此时，故0,1是的两个整数解， 又只有两个整数解，因此，解得. 所以.22．【解析】 试题分析：（Ⅰ）将曲线1C 和2C 化为直角坐标方程，根据两圆有交点等价于圆心距大于等于1r -，小于等于1r +，解出r 的范围；（Ⅱ）设()cos ,sin P αα，由切线长的性质可得2168sin PQ α=-，根据正弦函数的范围可得其结果.试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.若与有公共点，则，所以.（Ⅱ）设，由得，当且仅当时取最大值，故的最大值为.23．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可；（Ⅱ）根据不等式的解集求出3a ，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可.（Ⅱ）不等式即，∴，∴且，∴.∴.。
(优辅资源)湖南省长沙市高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
长沙市2017届高三模拟试题（二）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若集合{}{}1,3,1,3,5M N ==，则满足A X N =的集合X 的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42.若复数z 满足()11i z i -=+（i 为虚数单位），则z = A.2i - B. 2i + C. 12i - D.12i +3.“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知数列{}n a 的首项为1，公差为()d d N *∈的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是A. 2B. 3C. 4D. 55.给出关于双曲线的三个命题：①双曲线22194y x -=的渐近线方程为23y x =±；②若点（2,3）在焦距为4的双曲线22221x y a b +=上，则此双曲线的离心率为2；③若点F,B 分别是双曲线22221x y a b+=的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题个数是A. 0B. 1C. 2D. 36.记不等式1033010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为D ，若对任意()00,x y D ∈，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是A. (],4-∞B. (],2-∞C. []1,4-D.(],1-∞-7.将函数()()ln 10y x x =+≥的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角(]()0,θθα∈，得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为 A. π B.2π C. 3π D.4π8.在体积为V 的球内有一个多面体，的等腰直角三角形，则V 的最小值是A. C. 3π D. 12π 9.我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《九章算术》中 提出了计算多项式()1110nn n n f x a x a xa x a --=++++的值的秦九韶算法，即将()f x 改写成如下形式：()()()()1210nn n f x a x ax a x a x a --=+++++，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如右图，则在空白的执行框内应填入 A. i v vx a =+ B. ()i v v x a =+ C. i v a x v =+ D. ()i v a x v =+10.已知函数()()()()2sin 10,,1,12f x x f f πωϕωϕαβ⎛⎫=++><=-= ⎪⎝⎭，若αβ-的最小值为34π，且()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的单调递增区间是 A. 2,2,2k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ B.3,3,2k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C. 52,2,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D. 53,3,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦11.过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使棱1,,AB AD AA 所在直线与平面α所成角都相等，则这样的平面α可以作A.1个B.2个C.3个D. 4个12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x x e =+则对任意的m R ∈，函数()()()F x f f x m =-的零点个数至多有A.3个B. 4个C. 6个D. 9个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若()2sin 18aaxx dx -+=⎰，则a = .14.若()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-++-，则5a = .15.已知3,4,0a b a b ==⋅=，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的取值范围是 .16.已知各项均为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的n N *∈，满足1212,3212n n n n n n a a a a ++-<+->⨯-，则2017a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知ABC ∆中，2,120,cos .AC A B C === （1）求边AB 的长；（2）设D 是BC 边上的一点，且ACD ∆的面积为4，求ADC ∠的正弦值.18.（本题满分12分）某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图： （1）根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足()218,140XN ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？19.（本题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是边长为2的正三角形， 3.AB AD PB ===（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设Q 是棱PC 上的点，当//PA 平面BDQ 时，求二面角A BD Q --的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为23，12,F F 分别是它的左、右焦点，且存在直线l ，使12,F F 关于l 的对称点恰好为圆222:42540C x y mx my m +--+-= (),0m R m ∈≠的一条直径的两个端点.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，射线11,F A F B 与椭圆E 分别相交于点,M N ，试探究：是否存在数集D ，当且仅当p D ∈时，总存在m ，使点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D ；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分） 已知函数()()(),1.ln xf xg x k x x==- （1）证明：x R ∀∈,直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）若2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f xg x ≤+成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
长沙市数学高三理数第二次模拟考试试卷(II)卷
B .
C .
D .
10. （2分） 在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A . BC∥平面PDF
B . DF⊥平面PAE
C . 平面PDE⊥平面ABC
D . 平面PDF⊥平面PAE
11. （2分） (2018高二下·孝感期中) 已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线交抛物线于 两点，则线段 的中点到 轴的距离为（ ）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018·河北模拟) 若存在 ，不等式 成立，则实数 的最大值为（ ）
A .
B .
C . 4
D .
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高三上·沧州期末) 若 满足约束条件 则 的取值范围为________．
14. （1分） (2018高一下·吉林期中) 某学生对函数 的性质进行研究，得出如下的结论：
22. （10分） (2018·株洲模拟) 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： ,以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1） 若把曲线 上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 ，求 的极坐标方程；
（2） 直线 的极坐标方程是 ,与曲线 交于 两点，求三角形 的面积.
A . P=lg（1+ ）
B . P=
C . P=
D . P= ×
4. （2分） 已知二项式 的展开式中第4项为常数项，则 中 项的系数为 （ ）
A . -19
B . 19
C . 20
D . -20
5. （2分） 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 则双曲线的离心率为（ ）
湖南省长沙市第一中学2023届高三二模数学试题(含答案解析)
湖南省长沙市第一中学2023届高三二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．2231A A a q=C ．点n A 的坐标为(),0n S 8．已知A ，B ，C ，D 是体积为205π3的球体表面上四点，且三棱锥A －BCD 的体积为23，则线段CD A ．23B ．32二、多选题9．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=-，且()f x 在[]0,1上是增函数，则（）A．该多面体的表面积为623+B．该多面体的体积为523C．该多面体的平行平面间的距离均为2D．过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用i A表示i号箱有奖品表示主持人打开j号箱子j＝2，3，4），下列结论正确的是（()()2,4P m n n m <射入，经过抛物线上的点()11,A x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（）A ．121=x x B ．点()11,A x y 关于x 轴的对称点在直线2l 上C ．直线2l 与直线=1x -相交于点D ，则A ，O ，D 三点共线D ．直线1l 与2l 间的距离最小值为4三、填空题四、解答题(1)证明：平面AFG //平面BCE (2)若,2,BC BD BC BD AB ⊥==19．已知数列{}n a 的前n 项和为n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．(1)求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)记21n nb n S =，求数列{}n b 的前20．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，成年后身高y （单位：cm ）与父亲身高随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高x 160170175儿子身高y170174175(1)根据表中数据，求出y 关于x 父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？(2)记 ˆˆ,(i i i ii y y y x a e b i =-=--= (),i i x y 的残差.求（1）中儿子身高的残差的和关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由参考数据及公式：51880,i i i x ==∑∑()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑参考答案：不妨记正方体为2222A B C D -故1122A D C B 是平行四边形，所以又E ，Q 分别为12A A ，22A B 所以//EQ BG ，EQ ⊄平面所以//EQ 平面BCG ，同理又EM EQ E ⋂=，,EM EQ 设对角线21A C 分别交平面EMQ 因为12C C MQ ⊥，22A C MQ ⊥所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又又MQ EQ Q ⋂=，,MQ EQ 又平面//EMQ 平面BCG ，所以11M N 即为平面EMQ 与平面由正方体边长为2得21A C设直线AB 的方程为1x ty =+，将直线AB 的方程代入24y x =中，得所以由韦达定理得124y y =-，1y 若点()11,A x y 关于x 轴的对称点在直线所以122y y ==，即2n =，不一定成立，故不合题意，选项直线2l 与=1x -相交于点(21,D y -15．163/153【分析】先根据题意得出322a b +=，再结合基本不等式即可求得【详解】因为一位篮球运动员投篮一次得c ，(),,0,1a b c ∈，且1a b c ++=，已知他投篮一次得分的数学期望为则322a b +=，所以()211211323232a b a b a b ⎛⎫⎛+=++= ⎪ ⎝⎭⎝当且仅当4b aa b =，即14b =，12a =时取等号，所以213a b+的最小值为163．故答案为：163．16．3【详解】分析：求导，表述出公切线，从而会得到理即可.详解：()()(),0xaf x aeg x x x''==>，设公切线在()f x 上的切点为()11,xx ae ，在()()1122x ak f x ae g x x ∴=='='=，2x ∴在()g x 上的切点为()11,xe ax b --+，（2）方法一：因为,BC BD BC ⊥由（1）知,AG BD AG ⊥⊥平面所以AG GF ⊥，所以,,GF GB GA 两两相互垂直，如图，以点G 为坐标原点，GF 因为2,5AB BE ==，所以GA 则()()()0,0,1,2,1,0,1,1,2A C E ，平面AFG 的一个法向量为(DB =设平面ACE 的法向量为(,,n x y =r由()()2,1,1,1,0,2AC CE =-=-，在Rt BCG 中，2GC BG BC =+在Rt ACG 中，2AC AG GC =+在直角梯形AGHE 中，因为AG 所以22(21)(2)3,AE =-+=在ACE △中，2cos 2AC ACE ∠=所以1614sin 13030ACE ∠=-=利用三角形等面积可得1sin 2ACE S AC CE ACE ∠=⋅⋅⋅ =）()222210x y a b a b+=>>过点(D 又椭圆有两个顶点所在直线的斜率为12，则2214x y +=．由题意过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点可知直线的斜率存在，不妨设为k ，则直线)21，得()222141616k x k x +++，22k ，所以2122814k x k -=+，故M 222222844214141k k k k ⎛⎫-⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭。