【小初高学习】高三数学上学期第一次教学质量监测试题 理(扫描版)
高三数学上学期第一次教学质量监测试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校彬州2021届高三第一次教学质量监测试卷理科数学一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.假设全集U=R ，{|12}M x x =-<≤，{1,3,5}N =，那么()U M C N ⋂=〔〕A.(1,1)(1,2)-⋃B.(1,2)-C.(1,1)(1,2]-⋃D.(1,2]-【答案】C 【解析】 【分析】利用交集与补集运算即可得到结果 【详解】∵全集U R =，{|12}M x x =-<≤，{}1,3,5N =，∴()()(] 1,11,2U MC N ⋂=-⋃应选C【点睛】此题考察了集合的交并补运算，属于根底题. 2.设3122iz i i+=--，那么z 的虚部是〔〕 A.-1 B.45-C.2i -D.-2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘方与除法运算化简复数z ，结合虚部的定义即可得出．【详解】()()()()312212522225i i ii zi i i i i i i +++=-=--=--=---+，∴z 的虚部是-2 应选D【点睛】此题考察了复数的运算法那么、虚部的定义，属于根底题． 3.sin20α>，那么〔〕A.tan 0α>B.sin 0α> C.cos 0α>D.cos20α>【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式可知sin cos 与αα同号，又sin tan cos ααα=，从而得到结果.【详解】由sin20α>可得2sin 0cos αα>，即sin cos 与αα同号，又sin tan cos ααα=，∴tan 0α>应选A【点睛】此题考察二倍角正弦公式，同角关系中的商数关系，属于根底题.4.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是〔〕A.10B.9C.8D.7【答案】A 【解析】该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数； 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个 此题选择A 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序构造、条件构造和循环构造． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 5.函数()f x 在区间[,]a b p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =q ：假设函数()f x 在区间(,)a b 上有()()0f a f b <，那么p 是q 的〔〕A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断. 【详解】p比方：()2f x x =，区间为[]3,2-，p ，但()()320f f -＞，应选C【点睛】此题考察充分必要条件，考察零点存在性定理，属于根底题.6.一个几何体的三视图如以下图，其中主视图中ABC ∆是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为〔〕A.38B.34C.1D.32【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥，依题意，底面边长为12，侧棱为1，从而可得该几何体的侧视图的面积．【详解】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥〔如图〕，依题意，底面边长为12，侧棱为1=该几何体的侧视图的面积为1328= 应选A ．【点睛】考虑三视图复原空间几何体首先应深入理解三视图之间的关系，遵循“长对正，齐，宽相等〞的根本原那么，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7.函数()12sin sin )222x x xf x =+-，将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移ϕ个单位得到()g x 的图像，假设()g x 为偶函数，那么ϕ的一个值为〔〕A.2πB.3π C.4π D.6π【解析】 【分析】化简函数可得()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经图象变换可得()2226g x sin x πϕ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，结合对称性求出ϕ的值.【详解】()()12sin sin 1122226x x x f x cosx sin x π⎫⎛⎫=+-=+--=+⎪ ⎪⎭⎝⎭，将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移ϕ个单位得到()g x 的图像，即()()2222266gx sin x sin x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭又()gx 为偶函数，∴2k Z 62k ππϕπ-=+∈，，即k 13πϕ=-=当时，应选B【点睛】解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点〔1〕结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．〔2〕解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解． 〔3〕解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．8.如以下图，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形〔阴影〕，设直角三角形有一内角为030，假设向弦图内随机抛掷500颗米粒1.732≈〕，那么落在小正方形〔阴影〕内的米粒数大约为〔〕 A.134 B.67C.200D.250【答案】B 【解析】设大正方形的边长为2x -x ，由此利用几何概型概率计算公式能求出向弦图内随机抛掷500颗米粒〔大小忽略不计〕，落在小正方形〔阴影〕内的米粒数个数．【详解】设大正方形的边长为2x -x ，向弦图内随机抛掷500颗米粒〔大小忽略不计〕， 设落在小正方形〔阴影〕内的米粒数大约为a ，那么()22)5002a x x -=，解得a ＝500 应选B ．【点睛】此题考察概率的求法，考察几何概型概率计算公式等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是根底题．9.的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，那么三棱锥C ABD -的外接球体积为〔〕A.323πB.163π C.43πD.4π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C ﹣ABD 的外接球直径，从而求出外接球的体积．的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥C ﹣ABD ，如以下图：那么BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD ， 三棱锥C ﹣ABD 的外接球直径为BD ＝2，外接球的体积为43π3R ＝43π．应选C ．【点睛】此题考察了平面图形的折叠问题，也考察了空间想象才能的应用问题，是根底题目．10.在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +-=，2bc =，那么角C 的大小是〔〕 A.6π或者23π B.3πC.23π D.6π 【答案】A 【解析】 【分析】由222b c a +=可得cosA 2=，进而利用2bc =可得2A 4=结合内角和定理可得C 值.【详解】∵222b c a +=，∴cos A 2222b c a bc +-===，由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc=2A =∴5sin 64C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即()1sinCcosC 12244cos C +-=解得50C 6π<<∴2C=3π或者43π，即C=6π或者23π应选A【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的运用，同时考察两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．11.椭圆2221(02)4x y b b +=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B 两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，假设直线OP 的斜率为14-，那么b 的值是〔〕 A.2C.32【答案】D 【解析】 【分析】设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，根据点差法和中点坐标公式和斜率公式可得1212y y x x --•212124y y b x x +=-+，结合条件可得结果.【详解】设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，那么2211214x y b +=，222224x y b+=1，两式相减可得14〔x 1﹣x 2〕〔x 1+x 2〕21b+〔y 1﹣y 2〕〔y 1+y 2〕＝0，∵P 为线段AB 的中点， ∴2x p ＝x 1+x 2，2y p ＝y 1+y 2，∴1212y y x x --•212124y y b x x +=-+，又1212y y x x -=-k AB ＝2，121214y y x x +=-+∴2124b -=-，即22b =，∴b=应选D【点睛】此题考察了椭圆的简单性质，点差法，直线的斜率，考察了运算才能和转化才能，属于中档题.12.假设函数2322ln ,0()4,0x x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩的图像和直线y ax =有四个不同的公一共点，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.2(,4)e- B.(0,4) C.2(,0)e-D.2(,0)(0,4)e-⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】当x=0时，显然符合题意；当x≠0时，问题可转化为()22,04,0xlnx x g x x x x >⎧=⎨--⎩＜和直线y a =有三个不同的公一共点，从而得到结果.【详解】由题意可知：原点显然满足题意，问题可转化为()22,04,0xlnx x g x x x x >⎧=⎨--⎩＜和直线y a =有三个不同的公一共点， 如以下图：由图易得：()2a ,00,4e ⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭应选D【点睛】函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.设,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，那么24z x y =-的最小值是__________．【答案】-22【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目的函数得答案．【详解】由约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图， 化24zx y =-为y 12=x 4z -． 由图可知，当直线y 12=-x 4z+过C 〔1，6〕时z 有最小值，等于2×14-×6＝﹣22．故答案为﹣22．【点睛】此题考察了简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.假设(3n x -的展开式中各项系数之和为256，那么展开式中21x的系数是__________．【答案】252 【解析】 【分析】令x ＝1可得各项系数之和，再根据各项系数之和为256，求得n 的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中21x 的系数．【详解】3nx ⎛⎫⎝的展开式中，令x ＝1可得各项系数之和为〔3﹣1〕n＝256，求得n ＝8，那么3nx ⎛⎫⎝＝83x ⎛⎫ ⎝的通项是18rr T C +=•()83r x -•r⎛⎫ ⎝，8rC=•83r-•()5831r rx--，令5823r -=-，解得6r = 故展开式中21x 的系数是68C •23252=故答案为252．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于根底题．15.如以下图，点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，那么3x y +的最小值为__________．【答案】43+ 【解析】 【分析】由条件通过三角形的重心与三点一共线推出∴1133y x+=1，然后根据根本不等式即可求出x +y 的最小值． 【详解】根据条件：1AC AN y =，1AB AM x=；又1133AG AB AC =+； ∴1133AG AM AN x y=+； 又M ，G ，N 三点一共线；∴1133y x+=1； ∵x ＞0，y ＞0；∴3x +y ＝〔3x +y 〕〔1133x y +〕44333x y y x =++≥+43+=；3x +y 的最小值为43+．当且仅当3x y y x =时“=〞成立．【点睛】此题考察了平面向量的线性运算与一共线定理的应用问题，也考察了根本不等式在求最值中的应用问题．16.点12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两焦点，过点1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于,P Q 两点，假设2PQF ∆是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中2[,)3PQF ππ∠∈，那么双曲线离心率e 的取值范围为______.【答案】【解析】分析：根据双曲线的定义，可求得122,4PF a PF a ==，设12F PF θ∠=，由余弦定理可得，222216441cos 1,162a a c a θ+-⎛⎤=∈-- ⎥⎝⎦，进而可得结果. 详解：如图，2PQ QF =，又11212QF Q F a PF -==，那么有122,4PF a PF a ==，不妨假设12F PF θ∠=，那么有()122,3FQF πππθπ⎡⎫∠=--∈⎪⎢⎣⎭，可得2,3πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，12F PF ∆中余弦定理，222216441cos 1,162a a c a θ+-⎛⎤=∈-- ⎥⎝⎦，22279a c a≤<，即)c e a=∈，故答案为).点睛：此题主要考察利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求离心率范围问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.此题是利用点到直线的间隔等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 17.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b .〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕数列{}n b 满足11nn n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围. 【答案】〔1〕21n a n =-，*n N ∈〔2〕1132n T ≤<【解析】【分析】〔1〕由2b ac =，1S =，解得b ，从而得到数列{}n a 的通项公式； 〔2〕由〔1〕可得11122121nb n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法得到前n 项和，从而得到n T 的取值范围.【详解】解：〔1〕∵2b ac =，21111224Sac b =⨯==，2b =， ∴21na n =-，*n N ∈.〔2〕∵11122121nb n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴111111111123352121221nT n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∵n T 是关于n 的增函数*n N ∈，， ∴1132n T ≤<. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；〔21k=；〔3〕()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；〔4〕()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.18.我正在创立全国文明城，某高中为理解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社〞、“演讲社〞、“围棋社〞三个活动小组中随机抽取了6人进展问卷调查，各活动小组人数统计如以下图： 〔1〕从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率； 〔2〕从参加问卷调查的6名学生中随机抽取3名，用X表示抽得“表演社〞小组的学生人数，求X的分布列及数学期望. 【答案】〔1〕415〔2〕详见解析 【解析】 【分析】〔1〕由题意按分层抽样的方法抽取6人，那么三个小组分别抽取3人，2人，1人.利用古典概型计算公式得到这2名学生来自同一小组的概率；〔2〕X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【详解】解：〔1〕由条件可知，表演社、演讲社、围棋社分别有45人、30人、15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，那么三个小组分别抽取3人，2人，1人.从中抽取2名，那么这2名学生来自同一小组的概率为223226415C C P C +==. 〔2〕X的所有可能取值为0,1,2,3，()33361020C P X C ===，()1233369120C C P X C +===， ()1233369220C C P X C ===，()33361320C P X C ===，所以X的分布列为()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察概率的求法，考察离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考察古典概型、排列组合等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．19.如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F分别为AC ，PC 的中点.〔1〕求证：平面BEF⊥平面PAC ；〔2〕在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 确定点C 的位置；假设不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】 〔1〕先证明BEAC ⊥，PA BE ⊥，可得BE ⊥平面PAC ，从而平面BEF ⊥平面PAC ； 〔2〕由题意可知,,EB EC EF 两两垂直，分别以,,EB EC EF 方向为,,x y z 轴建立坐标系，求出平面PBC 的法向量及AG ，代入公式可得未知量的方程，解之即可.【详解】〔1〕证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BEAC ⊥又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥ ∵PA AC A ⋂=∴BE⊥平面PAC∵BE ⊂平面BEF ∴平面BEF⊥平面PAC〔2〕解：如图，由〔1〕知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为,AC PC 的中点，∴//EFPA ，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥，又BE AC ⊥，∴,,EB EC EF 两两垂直，分别以,,EB EC EF 方向为,,x y z 轴建立坐标系.那么()0,2,0A -，()0,2,2P -，()B ，()0,2,0C ，设(),2,2BG BP λλλ==--，[]0,1λ∈ 所以)()()21,21,2AGAB BG λλλ=+=--()BC =-，()0,4,2PC =-，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，那么·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩，20420y y z ⎧-+=⎪⇒⎨-=⎪⎩，令1x =，那么y =z =，∴(1,3,2n=?·AG n AG n=⇒=12λ⇒=或者1110〔舍去〕 故12λ= 故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBC此时G 为线段PB 的中点.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破〞：第一，破“建系关〞，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关〞，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关〞，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关〞. 20.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上存在一点P ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，使PMF ∆是等边三角形且面积为〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕假设点H 是圆222:()0O xy r r +=>与抛物线C 的一个交点，点(1,0)A -，当HF HA获得最小值时，求此时圆O 的方程.【答案】〔1〕24y x =〔2〕225x y +=【解析】 【分析】〔1〕利用等边三角形可得p 值，从而得到抛物线C 的方程；〔2〕设H的坐标为(0,x ，易得()()2222000|1|14HF x HA x x =+=++，，所以()()22022001||||14x HF HA x x +=++，结合最值即可得到圆O 的方程.【详解】解：〔1〕如以下图， ∵等边PMF ∆的面积为设边长为a ，2=，∴4a =，∴4MF = ∵060MFO∠=，∴01cos60422p MF ==⨯= 所以抛物线C 的方程是24y x =.〔2〕法一：设H的坐标为(0,x ，因为抛物线C ：24yx =的焦点()1,0F ，()1,0A -()(()222200||11HF x x =-+=+，()(()2222000||114HA x x x =++=++，所以()()()2202200201||114||21411x HF x HA x x x +==≥++++当且仅当01x =时取等号，即当HFHA取最小值时，H 点坐标为()1,2把H 点坐标代入圆的方程可得225x y +=.法二：设H 的坐标为()24,4t t ，因为抛物线C ：24yx =的焦点()1,0F ，()1,0A -()()222222||411641HF t t t =-+=+，()2222||4116HA t t =++，所以()()22222222224116||16121||41168t t HF t HA t t t++==+≤+++，当且仅当12t =时取等号，即当HF HA取最小值时，H 点坐标为()1,2把H 点坐标代入圆的方程可得225xy +=.【点睛】求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的间隔，利用它的几何意义来解决问题． 21设函数()(ln )f x x x a =-.〔1〕假设()1f x >-恒成立，求a 的取值范围；〔2〕对函数'()y f x =图像上任意两个点1122(,),(,)A x y B x y ，12(0)x x <<，设直线AB 的斜率为k 〔其中'()f x 为函数()f x 的导函数〕，证明：12()2x x k +>.【答案】〔1〕1a <〔2〕证明过程详见解析 【解析】 【分析】 〔1〕()1f x >-恒成立即()1min f x >-，利用导函数研究函数的单调性与极值即可；〔2〕由1212ln ln x x k x x -=-，要证()122x x k +>，即证()121212ln ln 2x x x x x x -+>-，令12x t x =，()0,1t ∈，即证()21ln 1t t t ->+.【详解】〔1〕解法一：()'ln 1f x x a =+-()10'01a x f x x e lnx a ->⎧>⇔⇔>⎨>-⎩，()1'00a f x x e -<⇔<<，()f x 在()10,a e -为减函数，在()1,a e -+∞为增函数.∴()()11min a a f x f e e --==-，由()1min11a f x e a -=->-⇔<，所以所求范围为1a <. 解法二：由()1f x >-，有()ln 1x x a -<-，∵0x>，∴11ln ln x aa x x x ->-⇔<+恒成立，()1ln g x x x=+，()22111'x g x x x x-=-=，易知()gx 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，()()min 11g x g ==，∴1a < 〔2〕证明：∵()'ln 1f x x a =+-，∴1212ln ln x x k x x -=-，要证()122x x k +>，即证()121212ln ln 2x x x x x x -+>-∵120x x -<，只要证121212ln ln 2x x x x x x --<+，即证1121221ln 21x x x x x x -<+令12x t x =，()0,1t ∈，即证()21ln 1t t t ->+，也即证()21ln 01t t t -->+设()()21ln 1t Ft t t -=-+，()0,1t ∈，∵()()()()222141'011t F t t t t t --=-=<++ ∴()Ft 在()0,1为减函数故()()10Ft F >=，即()21ln 01t t t -->+，所以()122x x k +>成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()hx f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.〔2〕根据条件，寻找目的函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或者利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为12x ty t =-+⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为23cos 4sin ρθθ=+，两直线1l 和2l 相交于点P .〔1〕求点P 的直角坐标；〔2〕假设Q 为圆2cos :22sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩〔θ为参数〕上任意一点，试求PQ 的范围.【答案】〔1〕(2,2)-〔2〕2]PQ ∈【解析】 【分析】(1)把直线1l 的参数方程与直线2l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立解得点P 的直角坐标；(2)依题意知，圆C 的普通方程为()2224xy ++=，max min ||PQ PC r PQ PC r =+=-，. 【详解】解：〔1〕依题意知，直线1l 的直角坐标方程为220x y ++=直线2l 的直角坐标方程为3420x y +-=联立方程组3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩22x y =-⎧⇒⎨=⎩，所以点P 的坐标为()2,2-〔2〕依题意知，圆C 的普通方程为()2224xy ++= 所以圆心为()0,2C -，其半径2r =∴max ||2PQ PC r =+=∴min ||2PQ PC r =-=故2PQ ⎡⎤∈⎣⎦.【点睛】此题考察直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．23.函数()32f x x x =--+〔1〕求函数()f x 的值域；〔2〕假设[]2,1x ∃∈-，使()2f x x a ≥+成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕[5,5]-〔2〕(,2]a ∈-∞【解析】【分析】(1)利用零点分段法可得()5,321,235,2x f x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪≤-⎩进而可得函数()f x 的值域；(2)[] 2,1x ∃∈-，使()2f x x a ≥+成立即[]2,1x ∃∈-使得221a x x ≤--+成立，转求二次函数的最大值即可.【详解】解：〔1〕依题意可得：()5,321,235,2x f x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪≤-⎩当23x -<<时，5215x -<-+< 所以()f x 的值域为[]5,5-〔2〕因为21x -≤≤，所以()2f x x a ≥+，化为221x x a -+≥+得[]2,1x ∃∈-使得221a x x ≤--+成立 令()221g x x x =--+，[]2,1x ∃∈-，得()()212g x x =-++所以，当1x =-时，()max 2gx =， 所以(],2a ∈-∞.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个根本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、浸透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵敏应用．。
[推荐学习]高三数学上学期第一次教学质量检测试题 理(扫描版)
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宿州市2016届高三第一次教学质量检测数学（理科）参考答案一、选择题: （本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 123456789101112答案 B DC D A B C D A C C A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 任意(0,)x ∈+∞，都有ln 1x x ≤- 14. 5 15. 1 16.33三、解答题：（共70分） 17. (1)当1n =时，11112S a +=，解得123a =. 当2n ≥时，由112n n S a +=，11112n n S a --+=，两式作差得： 113n n a a -= （2n ≥）故数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列， 其通项公式为1212()333n n n a -=⨯= ………………6分 (2)∵13log 2n n a b ==131log ()3n n =∴211111(2)22n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⨯++⎝⎭.…………9分故11111111(1)()()()2324352n T n n ⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥+⎣⎦1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++ ………………12分18.解析：（1）由题意得(0.020.0320.018)101a +++⨯=，解得0.03a =， ……………2分 50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=克；故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克； ………6分 （2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在[]5,15内的概率为0.2，则1(3,)5X B ~，X 的取值为0,1,2,3，033464(0)()5125P X C ===，1231448(1)()()55125P X C ===，2231412(2)()()55125P X C ===， 33311(3)()5125P X C ===X 的分布列为：64481210123125125125125EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，（或者135EX =⨯） …………12分19.解:（1）证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥ 又∵11,AA AB AA AE A ⊥=∴AB ⊥面11A ACC .又∵AC ⊂面11A ACC ，∴AB AC ⊥，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则有()()()()()110,0,0,0,2,1,1,1,0,0,0,2,2,0,2A E F A B ， ……………………4分设()111,,,D x y z A D A B λ=且[]0,1λ∈，即(),,2(2,0,0)x y z λ-=,则()(2,0,2),12,1,2D DF λλ∴=--，∵()0,2,1,110AE DF AE =∴⋅=-=，所以DF AE ⊥；……………………6分（2）存在一点D 且D 为11A B 的中点，使平面DEF 与平面ABC 夹角的余弦值为1414……………………7分 理由如下：由题可知面ABC 的法向量()0,0,1n =设面DEF 的法向量为(),,n x y z =，则n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()()1,1,1,12,1,2FE DF λ=-=--， X0 1 2 3 P6412548125 121251125∴()01220x y z x y z λ-++=⎧⎨-+-=⎩，即()()3211221x z y zλλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 令()21z λ=-，则()()3,12,21n λλ=+- ……………………10分 ∵平面DEF 与平面ABC 夹角的余弦值为1414， ∴14cos ,14m nm n m n ⋅==，即()()()2221141491241λλλ-=+++-， 解得12λ=或74λ=（舍），所以当D 为11A B 中点时满足要求． ……………………12分20. 解：（1）由题知，11222=+ba 且22=a c 即2,422==b a ，椭圆1C 的方程为12422=+y x ； ……………………4分 （2）当直线AC 的斜率不存在时，必有)0,2(±P ，此时2||=AC ，2=∆AO C S……………………5分当直线AC 的斜率存在时，设其斜率为k 、点),(00y x P ，则)(00x x k y y AC -=-： 与椭圆1C 联立，得04)(2)(4)21(2000022=--+-++kx y x kx y k x k ，设),(),,(2211y x C y x A ，则20021021)(22k kx y k x x x +--=+=即002ky x -= 又222020=+y x 220211k y +=∴ ………………9分220022002220021]4)(2)[21(4)(1611||21k kx y k kx y k k kkx y S AOC+--+--⋅+⨯+-⨯=∆ 2222202220020021)21()21(2||)21(221)()21(2||2k y k k y k k kx y k kx y ++-++=+--+-=221||220=+=k y综上，无论P 怎样变化，AOC ∆的面积为常数2． ………………12分 21. 解：（I ）易知'21ln ()xf x x -=，当'0,()0x e f x <<>；当',()0x e f x ><；故函数)(x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，)(x f 的最大值为ee f 1)(=. ………………4分 （II ）不妨设0m n <<， mnn m =, ∴有n m m n ln ln =，即nnm m ln ln =，即)()(n f m f =. 由（I ）知函数)(x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，所以要证0)2(<+'n m f ，只要证e nm >+2，即只要证e n m 2>+.……6分 0m n <<,则易知n e m <<<1.∴只要证m e n ->2.e m <<1,e m e >-∴2,又e n >，)(xf 在()+∞,e 上单调递减， ∴只要证)2()(m e f n f -<，又)()(n f m f =， ∴只要证)2()(m e f m f -<即可. 即只要证me m e m m --<2)2ln(ln , 只要证)2ln(ln )2(m e m m m e -<-,只要证0)2ln(ln )2(<---m e m m m e , 令)2ln(ln )2()(x e x x x e x g ---=，)1(e x <<， 即只要证当e x <<1时0)(<x g 恒成立即可.又 )2(ln 222)2ln(2ln )(x e x x e xx x e x e x x e x x e x x g ---+-=-+---+-='， e x <<1，∴222>-+-x e x x x e ，又22)22()2(e x e x x e x =-+<-，∴2)2(ln <-x e x ，∴0)(>'x g ，∴)(x g 在()e ,1上单调递增,∴0)()(=<e g x g ,∴有0)(<x g 恒成立，此题得证.………………12分22. 解 ：(1)∵AB ∥CD ，∴PAB AQC ∠=∠，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴PAB ACB ∠=∠，∵AQ 为切线，∴QAC CBA ∠=∠，∴△ACB ∽△CQA ，∴AC AB CQ AC=，即2AC CQ AB =. ………5分(2)∵AB ∥CD ，2AQ AP =，∴13BP AP AB PC PQ QC ===， 由2,2AB BP ==，得32, 6.QC PC ==∵AP 为圆O 的切线，∴212AP PB PC ==，∴23AP =，∴43QA = 又∵AQ 为圆O 的切线 ，∴2AQ QC QD=82QD =. …………10分23、解析：（Ⅰ）222,cos ,x y x ρρθ=+=sin ,y ρθ=2224cos 242x y x ρρθ-+=+-+∴圆的普通方程为22420x y x +-+= …………………5分 （Ⅱ）由22420x y x +-+= ⇒(x －2)2＋y 2＝2设22cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩ (α为参数) π22(cos sin )22sin()4x y ααα+=++=++所以x ＋y 的最大值4，最小值0 …………………10分24. 解：（1）{}11≤≤-x x …………………5分 （2）不等式)3(log )(22a a x f ->恒成立等价于)3(log )(22min a a x f ->， 因为2)12(12|12||12|=--+≥-++x x x x ， 所以2)(min =x f ，于是2)3(log 22<-a a ，即⎩⎨⎧<-->-0430322a a a a ，即01<<-a 或43<<a …………………10分 （解答题其他解法请酌情给分）。
高三数学上学期第一次质量检查期末考试试题理含解析试题
2021届高三数学上学期第一次质量检查〔期末考试〕试题 理〔含解析〕本套试卷分第I 卷和第II 卷两局部．第I 卷1至3页，第II 卷3至5页，满分是150． 考生注意：1．在答题之前，所有考生必须将自己的准考号、姓名填写上在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目〞与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写答题．假设在试题卷上答题，答案无效． 3．在考试完毕之后，监考员将试题卷和答题卡一起交回 ．第I 卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，那么复数z 的模为〔 〕A.2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四那么运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i,那么|z|应选C ．【点睛】此题考察复数的乘除运算，复数的模的求法，属于根底题．201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，那么A B =( )A. {}21x x -≤<-B. {}11x x -<≤C. {}21x x -≤<D.{}11x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】对集合,A B 分别进展不等式求解，并进展化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或者1}x <-，所以{}21A B x x ⋂=-≤<-. 应选：A.【点睛】此题考察不等式的求解及集合的交运算，考察根本运算求解才能.{}n a 满足118a =，243441a a a =-，那么2a =( )A. 14±B.14C. 116±D.116【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±.应选：A.【点睛】此题考察等比数列的通项公式应用，考察根本运算求解才能.,x y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，那么2x y +的最大值为〔〕A. 2B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】画出x ，y 满足约束条件111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11y y x =⎧⎨=-⎩，解得()2,1A ，由2z x y =+可知直线过()2,1A 时，z 最大，得2215z =⨯+=，应选B.点睛：此题主要考察线性规划中利用可行域求目的函数的最值，属简单题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.53πB. 7πC.323πD. 13π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案. 【详解】如下图，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ， 因为2CD AD BD =⋅，所以2(3)31BD BD =⋅⇒=，所以31222AD BD R ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.应选：C.【点睛】此题考察三视图复原几何体的直观图、组合体体积计算，考察空间想象才能和运算求解才能.6.明朝数学家程大位著的?算法统宗?里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？〞下列图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下列图的程序框图，那么输出的n ( )A. 25B. 45C. 60D. 75 【答案】D【解析】 【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环. 应选：D.【点睛】此题考察程序框图语言和数学文化的交会，考察阅读理解才能，求解时注意将问题转化为解方程问题.a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，那么a α⊥的一个充分条件是〔 〕 A. //a β且αβ⊥ B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ 【答案】D 【解析】考点：平面的根本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：计算题．分析：假设a⊥β且α∥β，那么有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β〞是“a⊥α〞成立的充分不必要条件．解答：解：假设a⊥β且α∥β，那么有a⊥α， 反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β〞是“a⊥α〞成立的充分不必要条件， 应选D ．点评：此题考察平面的根本性质和推论，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．x ，y ，z 满足23log log 2z xy，那么x ，y ，z 的大小关系是( )A. x <y <zB. x <z <yC. z <x <yD. z <y <x【答案】C 【解析】 【分析】 令23log log 2(0)zxyk k ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案. 【详解】令23log log 2(0)zx yk k，那么2,3k k x y ==，因为0k >，由2,3xxy y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2xy =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z xk k ，所以z x ，综上所述：z x y <<. 应选：C.【点睛】此题考察利用函数的图象研究数的大小，考察数形结合思想、转化与化归思想，考察运算求解才能，求解时注意借助函数的图象进展研究.(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，假设ABC ∆的面积为2，那么k 的值是( )A. 3或者13B. 0C.13D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，那么11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，那么(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，那么231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x，且||AB =点C 到直线AB 的间隔231|3|k k d +--+==所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=. 应选：B.【点睛】此题考察点关于直线对称、点到直线间隔 、三角形面积公式，考察数形结合思想的运用，考察运算求解才能.k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．假设||3||AB CD =，那么k 的值是( )B. C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值. 【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ，整理得：222(2)04p y p pk y -++=，那么2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42px y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以2226p pk p k +=⇒=应选：A.【点睛】此题考察直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考察转化与化归思想的应用，考察运算求解才能，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，那么A 的值是( )A. 3B. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，那么(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==， 所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以3sin(2)32A A π⋅=⇒=应选：C.【点睛】此题考察平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考察数形结合思想，考察运算求解才能，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便. 2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增； ④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立． 其中的真命题为( ) A. ②③ B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项.【详解】因为'1(n )si x f x x x a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f xx =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ； 对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x=+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A.应选：D【点睛】此题查利用导数研究函数的性质，考察数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进展求解，可使问题的求解更高效.第II 卷考前须知：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答题．在试题卷上答题，答案无效．本卷包括必考题和选考题两局部．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．(1,2)=-a ，(,1)b m m =-，假设//a b ，那么a b ⋅=_______．【答案】5-【解析】【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-a ，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-.故答案为：5-.【点睛】此题考察向量平行与数量积的坐标运算，考察根本概念的理解，属于根底题.R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩那么()()1115f f +=_______． 【答案】12【解析】【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩， 因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】此题考察奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考察函数与方程思想和运算求解才能，求解时注意(0)0f =的运用.sin()2cos )4αααπ+=+，那么sin 2α=_______． 【答案】35【解析】【分析】由两角和的正弦展开并对等式进展化简得tan α的值，再根据同角三角函数的根本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值.【详解】因为sin()2cos )4αααπ+=+，αααα+，整理得：tan 3α=-，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35【点睛】此题考察两角和正弦公式、同角三角函数根本关系、倍角公式，考察三角恒等变形才能和运算求解才能.1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的间隔 之差为2．设11C D 的中点为E ，那么PE 的最小值为_______．【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的间隔 之差为2，那么点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，那么03≤≤y ，取CD 的中点M ，连接,EM PM ，那么222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，那么PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，那么22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=， 所以PE 的最小值为21.21【点睛】此题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进展知识交会，考察间隔 的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进展求解，考察函数与方程思想、数形结合思想，考察运算求解才能.三、解答题：本大题一一共6小题，满分是70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕12n a n =；〔2〕21n n + 【解析】【分析】 〔1〕利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； 〔2〕将通项进展改写，再利用裂项相消法进展求和.【详解】〔1〕由2112122(2)n n n n n n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =〔2102a =-<舍去〕， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． 〔2〕由〔1〕及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】此题考察等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考察数列中的根本量法，考察运算求解才能.18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．〔1〕证明：//MN 平面AED ；〔2〕假设2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕3π 【解析】【分析】〔1〕取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的断定定理证明线面平行；〔2〕以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得那么(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，23)=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】〔1〕证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．〔2〕因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，那么(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，3,1,0)E -，因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030y x y z =⎧⎪--=， 故可取23)=n ，那么1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】此题考察线面平行断定定理的运用、向量法求二面角的大小，考察空间想象才能和运算求解才能，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -=⋅，22c = 〔1〕求A ；〔2〕假设ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【答案】〔1〕4A π=；〔2〕(5,10) 【解析】【分析】〔1〕由正弦定理，22cos b c a C -⋅中的边化成角得到2cos A =从而求得A 的值； 〔2〕由〔1〕知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】〔1〕22cos b c a C -⋅，由正弦定理，2sin 2cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+， 2(sin cos cos sin )sin 2cos A C A C C A C +-=，sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<， 所以4A π=.〔2〕由〔1〕知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为. 【点睛】此题考察正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考察数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？假设有，试求出最大值；假设没有，说明理由．【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕916π 【解析】【分析】〔1〕由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；〔2〕将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】〔1〕离心率为12c e a ==，∴2a c =，2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的HY 方程为22143x y +=． 〔2〕设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-==，设1t =≥，那么2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】此题考察椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考察转化与化归思想、函数与方程思想，考察逻辑推理才能和运算求解才能，求解时注意换元法的灵敏运用. 21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．〔1〕假设0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值； 〔2〕假设2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】〔1〕2a =-；〔2〕-【解析】【分析】〔1〕对函数进展求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；〔2〕当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，那么(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x +=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】〔1〕当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=，解得1a =-或者2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.〔2〕当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，那么ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，那么22ln 1()x h x x -'=，故()h x 的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x 的最小值为h = 故a 的最小值为【点睛】此题考察导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能和运算求解才能，求解时注意对问题进展屡次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题记分．做答时请写清题号．xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.〔1〕求点P 轨迹的极坐标方程；〔2〕假设||||AB OP ⋅=α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或者512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：〔1〕圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得： 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．〔2〕由〔1〕得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或者526πα=， 即12πα=或者512πα=解法二：〔1〕因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆〔在C 的内部〕， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．〔2〕由〔1〕得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，那么21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =〔212t =-舍去〕，所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或者526πα=， 即12πα=或者512πα=． 【点睛】此题主要考察了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型. 23.11212x x m 在R 上恒成立. 〔1〕求m 的最大值M ；〔2〕假设,a b 均为正数，且11a M b ,求2a b -的取值范围.【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞． 【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11aM b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用根本不等式求解即可.【详解】解：〔1〕构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-，又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．〔2〕由〔1〕得2M =，故121a b ． 0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或者01b <<． 故112222(1)11a b b b b b ．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221a b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=〞； 当32b >时，112b ->， 1122(1)22(1)2211a b b b b b ， 当且仅当12(1)1bb，即212b 时取“=〞． 所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】此题主要考察了绝对值函数的求解以及根本不等式的用法,属于中等题型.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学上学期第一次质量检测试题理PDF
数学〔理科〕 参考答案本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.B2.D3.A4.C5.B6.B7.A8.C9.D 10.C 11.A.二、填空题：本大题一一共4题，每一小题5分，一共20，把答案填在答题卷的横线上13. 2-- 14. 13;- 15.三、解答题〔本大题一一共670分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题满分是12分〕解: 2分所以3a =sin A ，3b B =……6分(Ⅱ)8分 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或者1ab =-〔舍去〕．……10分所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=12分 18． 解：〔Ⅰ〕证明：在BCA ∆中，由于∴222AB AC BC +=,故AB AC ⊥．……………2分又SAB ABCD ⊥平面平面，SAB ABCD AB =平面平面，AC ABCD ⊂平面，SAB AC ∴⊥平面，……………4分又AC SAC ⊂平面，故平面SAC ⊥平面SAB ……………6分 〔2〕如图建立A xyz -空间直角坐标系，()0,0,0A ,()2,0,0,B()1,0,3,(040)(143)(240)S C CS BC =-=-，，，，，，，，，()0,4,0,AC ……………8分设平面SBC 的法向量()111,,n x y z =, 由1111124004300x y n BC x y z n CS -+=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 令111231,2,3y x z ===则, 232,1,3n ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭．…10分 设平面SCA 的法向量()222,,m x y z =,由22224004300y m AC x y z m CS =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩，令23x =- ，()3,0,1.∴=-m 219cos ,19n m n m n m⋅==⋅,∴二面角--B SC A 的余弦值为219.19 ……………12分19． 解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷〞有25人，…1分 从而22⨯列联表如下：非围棋迷 围棋迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100……………3分将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222()100(30104515)1003.030()()()()7525455533n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为3.030<3.841，所以没有理由认为“围棋迷〞与性别有关. ……………6分(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“围棋迷〞的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷〞的概率为14.由题意13,3X B⎛⎫⎪⎝⎭，从而X的分布列为……………10分()13==3=44E X np⨯……………12分20.〔Ⅰ〕设动点),(yxN，),,(yxA因为xAB ⊥轴于B，所以)0,(xB，……1分设圆M的方程为222:,+=M x y r由题意得2r==，所以圆M的程为22:4M x y+=.……………3分由题意, 2AB NB=，所以00(0,)2(,)y x x y-=--，所以，即0,2,=⎧⎨=⎩x xy y将(,2)A x y代入圆22:4M xy+=,得动点N的轨迹方程2214xy+=，……………5分(Ⅱ)由题意设直线0,++=y m设直线l与椭圆交于221,4+=xy1122(,),(,)P x y Q x y，联立方程22,44,⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y mxy得2213440x m++-=，222192413(44)16(13)0m m m∆=-⨯-=-+>，解得213m<，1,213x-±==，又因为点O 到直线l 的间隔 2md =，122PQ x x =-= ……………10分1212213OPQm S ∆=⋅⋅=≤. OPQ ∆面积的最大值为1.……………12分21． 〔Ⅰ〕令()()(1)ln(1)F x f x x mx x x =-=-+-，，(0,1)x ∈，2分 时，由于(0,1)x ∈，有 于是'()F x 在(0,1)x ∈上单调递增，从而'()'(0)0F x F >=，因此()F x 在(0,1)x ∈上单调递增，即()0F x >；……………3分②当0m ≥时，由于(0,1)x ∈，有于是'()F x 在(0,1)x ∈上单调递减，从而'()'(0)0F x F <=，因此()F x 在(0,1)x ∈上单调递减，即()(0)0F x F <=不符；……………4分，当0(0,]x x ∈时， ，于是'()F x 在0(0,]x x ∈上单调递减， 从而'()'(0)0F x F <=，因此()F x 在0(0,]x x ∈上单调递减， 即()(0)0F x F <=而且仅有(0)0F =不符.综上可知，所务实数m 的取值范围是……………6分 (Ⅱ)对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n ，不等式251(1)n e n++<恒成立，等价变形211(1)ln(1)0n ++-<相当于〔28分上单调递减，即()(0)0F x F <=；……………10分211(1)ln(1)05n n n++-<成立；令1000n =得证. ……………12分22. 〔本小题满分是10分〕选修4—4，坐标系与参数方程解：〔Ⅰ〕消去参数ϕ可得1C 曲线2C 的圆心的直角坐标为)3,0(，∴2C 的直角坐标方程为1)3(22=-+y x .………………4分)2(设),sin ,cos 2(ϕϕM那么222)3(sin )cos 2(||-+=ϕϕMC 9sin 6sin cos 422+-+=ϕϕϕ13sin 6sin 32+--=ϕϕ16)1(sin 32++-=ϕ. 1sin 1≤≤-ϕ，∴,2||min 2=MC ，4||max 2=MC .根据题意可得,112||min =-=MN ，,514||max =+=MN 即||MN 的取值范围是[]1,5..………………10分 23. 〔本小题满分是10分〕选修4-5：不等式选讲 解：〔Ⅰ〕因为，b a b a b x a x +=--≥-++，所以()f x a b ≥+，当且仅当0))((<-+b x a x 时，等号成立，又0,0ab ，所以||a b a b ，所以()f x 的最小值为a b +,所以4a b +=．.………………5分 〔Ⅱ〕由〔1〕知4,4a b b a ，1636,1313a b 时，221149a b 的最小值为分本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高三数学上学期教学质量检测试题一理含解析试题
2021届高三数学上学期教学质量检测试题〔一〕理〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕在复平面内，复数对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．〔5分〕集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣2，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C．〔0，1〕D．〔1，2〕3．〔5分〕x，y∈R，且x＞y＞0，那么〔〕A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞04．〔5分〕函数f〔x〕的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，那么f〔x〕＝〔〕A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+15．〔5分〕希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形〞〔即以原三角形各边的中点为顶点的三角形〕，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形〞，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积〔我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形〕．在如图第3个大正三角形中随机取点，那么落在黑色区域的概率为〔〕A．B．C．D．6．〔5分〕等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，那么使得a1a2…a n获得最大值的n为〔〕A．3 B．4 C．5 D．67．〔5分〕α为锐角，cosα＝，那么tan〔+〕＝〔〕A．B．C．2 D．38．〔5分〕双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，假设△OAB是边长为2的等边三角形，那么双曲线C的方程为〔〕A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝19．〔5分〕地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于开展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是开展迅猛，在2021年累计装机容量就打破了100GWGW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源晋级换代行动中表达出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是〔〕A．截止到2021年中国累计装机容量到达峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2021年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过10．〔5分〕函数f〔x〕＝+2x+1，且f〔a2〕+f〔2a〕＞3，那么a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣3〕∪〔1，+∞〕B．〔﹣∞，﹣2〕∪〔0，+∞〕C．〔﹣2，0〕D．〔﹣1，3〕11．〔5分〕函数f〔x〕＝sin x+sin〔πx〕，现给出如下结论：①f〔x〕是奇函数；②f〔x〕是周期函数；③f〔x〕在区间〔0，π〕上有三个零点；④f〔x〕的最大值为2．其中正确结论的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．412．〔5分〕正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，假设△MNQ为直角三角形，那么△MNQ面积的最大值为〔〕A．3 B．C．D．3二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分．13．〔5分〕从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，那么可能的决赛结果一共有种．〔用数字答题〕14．〔5分〕在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，那么•＝．15．〔5分〕函数f〔x〕＝lnx和g〔x〕＝ax2﹣x的图象有公一共点P，且在点P处的切线一样，那么这条切线方程为．16．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的间隔与该点到点O 的间隔之和等于2，那么曲线C与y轴的交点坐标是；设点A〔﹣，0〕，那么|PO|+|PA|的最小值为．三、解答题：本大题一一共5小题，一共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔12分〕绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃开展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游场走上标准有序且可持续的开展轨道．某景区有一个自愿消费的工程：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，假设带走照片那么需支付20元，没有被带走的照片会搜集起来统一销毁．该工程运营一段时间是后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该工程组就照片收费与游客消费意愿关系作了场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的根底上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合本钱为5元，假设每个游客是否购置照片互相HY．〔1〕假设调整为支付10元就可带走照片，该工程每天的平均利润比调整前多还是少？〔2〕要使每天的平均利润到达最大值，应如何定价？18．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin B＝b sin〔A﹣〕．〔1〕求A；〔2〕D是线段BC上的点，假设AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．19．〔12分〕椭圆C：+＝1〔a＞b＞0〕的离心率为，点A〔1，〕在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕O为坐标原点，假设点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．20．〔12分〕如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．〔1〕证明：GF∥平面PAC；〔2〕假设GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．21．〔12分〕函数f〔x〕＝1+x﹣2sin x，x＞0．〔1〕求f〔x〕的最小值；〔2〕证明：f〔x〕＞e﹣2x．请考生在第22，23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分，答题时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔m为参数〕．〔1〕写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；〔2〕倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P〔x0，y0〕，求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕＝|x﹣a|+|x﹣1|．〔1〕假设f〔a〕＜2，求a的取值范围；〔2〕当x∈[a，a+k]时，函数f〔x〕的值域为[1，3]，求k的值．2021年高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕在复平面内，复数对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵＝，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为〔2，1〕，位于第一象限．应选：A．【点评】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的代数表示法及其几何意义，是根底题．2．〔5分〕集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣2，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C．〔0，1〕D．〔1，2〕【分析】可以求出集合A，B，然后进展交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣1或者x＞1}，∴A∩B＝〔1，2〕．应选：D．【点评】此题考察了描绘法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的运算，考察了计算才能，属于根底题．3．〔5分〕x，y∈R，且x＞y＞0，那么〔〕A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞0【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项A、C，可得A错误，C正确，对于B、D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos x在〔0，+∞〕上不是单调函数，故cos x﹣cos y＞0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝时，cos x+cos y＝﹣1＜0，B不一定成立；对于C，y＝lnx在〔0，+∞〕上为增函数，假设x＞y＞0，那么lnx＞lny，必有lnx﹣lny＞0，C正确；对于D，当x＝1，y＝时，lnx+lny＝ln＜0，D不一定成立；应选：C．【点评】此题考察函数单调性的应用，涉及实数大小的比拟，属于根底题．4．〔5分〕函数f〔x〕的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，那么f〔x〕＝〔〕A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+1【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进展求解即可．【解答】解：y＝e x关于y轴对称的函数为y＝e﹣x，然后向右平移一个单位得到f〔x〕，得y＝e﹣〔x﹣1〕，即f〔x〕＝e﹣x+1，应选：A．【点评】此题主要考察函数图象变换，结合条件进展逆推法是解决此题的关键．比拟根底．5．〔5分〕希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形〞〔即以原三角形各边的中点为顶点的三角形〕，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形〞，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积〔我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形〕．在如图第3个大正三角形中随机取点，那么落在黑色区域的概率为〔〕A．B．C．D．【分析】我们要根据条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一个三角形的面积为1．∴第三个三角形的面积为1；那么阴影局部的面积之为：第3个大正三角形中随机取点，那么落在黑色区域的概率：，应选：B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量〞，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量〞只与“大小〞有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的根本领件对应的“几何度量〞N〔A〕，再求出总的根本领件对应的“几何度量〞N，最后根据P＝求解．6．〔5分〕等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，那么使得a1a2…a n获得最大值的n为〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，，解可得，q＝，a1＝27，∴a n＝，假设使得a1a2…a n获得最大值，那么n应该是偶数，且n＞4时，|a n|＜1，故当n＝4时，a1a2…a n获得最大值．应选：B．【点评】此题主要考察了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解问题的关键．7．〔5分〕α为锐角，cosα＝，那么tan〔+〕＝〔〕A．B．C．2 D．3【分析】求出tanα＝＝，从而tan＝，由此能求出tan〔+〕的值．【解答】解：∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝＝，tanα＝＝＝，解得tan＝，或者tan＝﹣2，∴tan〔+〕＝＝＝3．应选：D．【点评】此题考察三角函数值的求法，考察诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加法定理等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．8．〔5分〕双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，假设△OAB是边长为2的等边三角形，那么双曲线C的方程为〔〕A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝1【分析】求出双曲线的渐近线方程，令x＝a，求得A，B的坐标，由等边三角形的性质可得a，b的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为bx﹣ay＝0和bx+ay＝0，由x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A〔a，b〕，B〔a，﹣b〕，△OAB是边长为2的等边三角形，即有2b＝2，即b＝1，且a＝×2＝，可得双曲线的方程为﹣y2＝1．应选：A．【点评】此题考察双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考察等边三角形的性质，以及化简运算才能，属于根底题．9．〔5分〕地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于开展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是开展迅猛，在2021年累计装机容量就打破了100GWGW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源晋级换代行动中表达出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是〔〕A．截止到2021年中国累计装机容量到达峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2021年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过【分析】通过图结合选项分析．【解答】解：由图1知没有在截止到2021年中国累计装机容量到达峰值，A错；由图2知，10年来全球新增装机容量起伏，B错；由图1知，10年中国新增装机总容量为13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1＝197.7，GW，C错；应选：D．【点评】此题考察频率直方图，属于根底题．10．〔5分〕函数f〔x〕＝+2x+1，且f〔a2〕+f〔2a〕＞3，那么a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣3〕∪〔1，+∞〕B．〔﹣∞，﹣2〕∪〔0，+∞〕C．〔﹣2，0〕D．〔﹣1，3〕【分析】设F〔x〕＝f〔x〕﹣＝+2x+1﹣＝+2x，分析函数F〔〔x〕的奇偶性，单调性，f〔a2〕+f〔2a〕＞3，转化为F〔a2〕＞﹣F〔2a〕，即可解出答案．【解答】解：根据题意，设F〔x〕＝f〔x〕﹣＝+2x+1﹣＝+2x，那么F〔0〕＝f〔0〕﹣＝0，又由F〔﹣x〕＝+2〔﹣x〕＝﹣〔+2x〕＝﹣F〔x〕，即函数F〔x〕为奇函数；又由F′〔x〕＝＝＝＞0，所以函数F〔x〕单调递增，假设f〔a2〕+f〔2a〕＞3，那么f〔a2〕﹣＞，f〔a2〕﹣＞﹣[f〔2a〕﹣]，F〔a2〕＞﹣F〔2a〕，F〔a2〕＞F〔﹣2a〕，所以a2＞﹣2a，解得，a＜﹣2或者a＞0，应选：B．【点评】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于根底题．11．〔5分〕函数f〔x〕＝sin x+sin〔πx〕，现给出如下结论：①f〔x〕是奇函数；②f〔x〕是周期函数；③f〔x〕在区间〔0，π〕上有三个零点；④f〔x〕的最大值为2．其中正确结论的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据函数奇偶性定义进展判断，②用反证法推出函数的函数无周期，③f〔x〕＝sin x+sin 〔πx〕＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或者cos＝0，x＝或者x＝，x∈〔0，π〕，进而得出结论，④用反证法推出函数的函数最大值不是2．【解答】解：因为f〔﹣x〕＝sin〔﹣x〕+sin〔﹣πx〕＝﹣sin x﹣sin〔πx〕＝﹣f〔x〕，所以f〔x〕是奇函数，①正确．假设存在周期T，那么sin〔x+T〕+sin〔π〔x+T〕〕＝sin x+sinπx，sin〔x+T〕﹣sin x＝﹣[sin〔π〔x+T〕〕﹣sinπx]，所以sin•cos＝﹣sin•cos①，存在x0∈R，使得cos＝0，而cos≠0，将x0∈R，﹣sin•cos＝0，由于，故﹣sin＝0，所以sin＝0，sin＝0，＝kπ，＝mπ，k，m∈Z，所以kπ＝m，矛盾，所以函数f〔x〕＝sin x+sin〔πx〕，没有周期，②错误．f〔x〕＝sin x+sin〔πx〕＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或者cos＝0，x＝或者x＝，x∈〔0，π〕x＝，或者，所以f〔x〕在区间〔0，π〕上有三个零点；故③正确．假设存在这样的x0使得f〔x〕最大值为2，x0＝且πx0＝，〔k∈Z〕即x0＝且x0＝，所以＝，k＝﹣，与k∈Z矛盾，故④错误．应选：B．【点评】此题考察三角函数的图象和性质，属于难题．12．〔5分〕正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，假设△MNQ为直角三角形，那么△MNQ面积的最大值为〔〕A．3 B．C．D．3【分析】不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，那么有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝〔h﹣m〕2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，可得S2＝1+h2，就可求出S最大值．【解答】解：解：如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，那么有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝〔h﹣m〕2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．得h＝＝m+①△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，即8≤h2≤16，S＝，S2＝×|MQ|2×|BQ|2＝[〔h﹣m〕2+4]×〔m2+4〕把①代入得S2＝×[〔m+﹣m〕2+4]×〔m2+4〕＝[+4]×〔m2+4〕＝5+＝5+〔+m〕2﹣4＝1+〔+m〕2＝1+h2，所以S2＝1+h2∈[9，17]，S2max＝17，S max＝，应选：C．【点评】此题考察了空间线面位置关系，考察了转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分．13．〔5分〕从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，那么可能的决赛结果一共有60 种．〔用数字答题〕【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：一共有•＝60种方法．故答案为：60．【点评】此题考察排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．14．〔5分〕在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，那么•＝．【分析】取BC的中点D，＝〔+〕＝〔〔+〕+〕，⊥，再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法那么，可得结果．【解答】解：取BC的中点D，由条件得•＝〔+〕•〔﹣〕＝〔〔+〕+〕•〔﹣〕＝﹣+＝﹣+•＝+0＝，故答案为：．【点评】此题是根底题．此题考察两个向量的运算法那么及其意义，两个向量垂直的性质．15．〔5分〕函数f〔x〕＝lnx和g〔x〕＝ax2﹣x的图象有公一共点P，且在点P处的切线一样，那么这条切线方程为y＝x﹣1 ．【分析】分别求得f〔x〕，g〔x〕的导数，设P〔x0，y0〕，那么lnx0＝ax02﹣x0①，结合f′〔x0〕＝g′〔x0〕，联立消掉a可得关于x0的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x0值，进而可求P的坐标，以及切线的斜率和切线方程．【解答】解：f〔x〕＝lnx的导数为f′〔x〕＝，g〔x〕＝ax2﹣x的导数为g′〔x〕＝2ax﹣1，设P〔x0，y0〕，那么lnx0＝ax02﹣x0①，f′〔x0〕＝g′〔x0〕，即＝2ax0﹣1，化简得1＝2ax02﹣x0②，联立①②消a得，lnx0＝，令φ〔x〕＝lnx﹣，φ′〔x〕＝+＞0，易知φ〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，又φ〔1〕＝0，所以φ〔x〕＝lnx﹣有唯一解1，即x0＝1，那么y0＝f〔1〕＝0，a＝1．故P〔1，0〕，切线的斜率为1，切线的方程为y＝x﹣1．故答案为：y＝x﹣1．【点评】此题考察利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考察学生灵敏运用所学知识分析问题解决问题的才能，属于中档题．16．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的间隔与该点到点O 的间隔之和等于2，那么曲线C与y轴的交点坐标是〔0，±1〕；设点A〔﹣，0〕，那么|PO|+|PA|的最小值为．【分析】设P〔x，y〕，P到直线x+1＝0的间隔与该点到点O的间隔之和等于2，求出P的轨迹方程为抛物线，根据抛物线的性质，求出曲线C与y轴的交点坐标和|PO|+|PA|的最小值．【解答】解：设P〔x，y〕，P到直线x+1＝0的间隔与该点到点O的间隔之和等于2，那么|x+1|＝，化简得y2＝2x+1，令x＝0，y＝1，故曲线C与y轴的交点为〔0，1〕，〔0，﹣1〕，A〔﹣，0〕，根据题意，当O，P，A三点一共线时，那么|PO|+|PA|的最小，最小值长等于|OA|＝，故答案为：〔0，±1〕；．【点评】考察直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题．三、解答题：本大题一一共5小题，一共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔12分〕绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃开展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游场走上标准有序且可持续的开展轨道．某景区有一个自愿消费的工程：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，假设带走照片那么需支付20元，没有被带走的照片会搜集起来统一销毁．该工程运营一段时间是后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该工程组就照片收费与游客消费意愿关系作了场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的根底上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合本钱为5元，假设每个游客是否购置照片互相HY．〔1〕假设调整为支付10元就可带走照片，该工程每天的平均利润比调整前多还是少？〔2〕要使每天的平均利润到达最大值，应如何定价？【分析】〔1〕当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，那么Y1×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，那么Y2是随机变量，求出5000个游客的平均利润为15000元，由此能求出该工程每天的平均利润比调整前多10000元．〔2〕设降价x元，那么0≤xx﹣x，设每个游客的利润为Y元，那么Y是随机变量，求出其分布列，从而E〔Y〕＝〔15﹣x〕×x〕﹣5×﹣x〕＝0.05[69﹣〔x﹣7〕2]，由此求出当定价为13元时，日平均利润取最大值为17250元．【解答】解：〔1〕当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，那么Y1是随机变量，其分布列为：Y1 15 ﹣5PE〔Y1〕＝15×﹣5×0.7＝1〔元〕，那么5000个游客的平均利润为5000元，×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，那么Y2是随机变量，其分布列为：Y2 5 ﹣5PE〔Y2〕＝5×﹣5×0.2＝3〔元〕，那么5000个游客的平均利润为5000×3＝15000〔元〕，该工程每天的平均利润比调整前多10000元．〔2〕设降价x元，那么0≤xx，﹣x，设每个游客的利润为Y元，那么Y是随机变量，其分布列为：Y 15﹣x﹣5P x﹣xE〔Y〕＝〔15﹣x〕×x〕﹣5×﹣x〕＝0.05[69﹣〔x﹣7〕2]，当x＝7时，E〔Y〕有最大值3.45元，∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为5000×3.45＝17250元．【点评】此题考察离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考察二项分布等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．18．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin B＝b sin〔A﹣〕．〔1〕求A；〔2〕D是线段BC上的点，假设AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．【分析】〔1〕由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简等式可得tan A＝﹣，结合范围A∈〔0，π〕，可求A的值．〔2〕设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD ＝﹣θ，在△ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinθ＝cosθ，可求sinθ，cosθ，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ，进而根据三角形的面积公式可求S△ADC的值．【解答】解：〔1〕由正弦定理可得a sin B＝b sin A，那么有b sin A＝b〔sin A﹣cos A〕，化简可得sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，因为A∈〔0，π〕，所以A＝．〔2〕设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD ＝﹣θ，在△ADC中，，那么＝，所以＝，可得sinθ＝cosθ，又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝，cosθ＝，那么sin2θ＝2sinθcosθ＝，所以S△ADC＝sin∠ADC＝＝．【点评】此题主要考察了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于中档题．19．〔12分〕椭圆C：+＝1〔a＞b＞0〕的离心率为，点A〔1，〕在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕O为坐标原点，假设点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．【分析】〔1〕由离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；〔2〕直线l2的方程与椭圆联立求出点M的坐标，由|OP|＝|MN|得P点坐标，P的直线l1上求出k 值，进而求出MN|的值．【解答】解：〔1〕由题意得：e＝＝，+＝1，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程：＝1；〔2〕由题意直线l2的方程：y＝kx，代入椭圆中整理：〔3+4k2〕x2＝12，解得x＝，令M的坐标〔，k〕∵|OP|＝|MN|，由对称性可知，故P的坐标〔，〕，由P在直线l1：x+y﹣＝0，所以+﹣＝0，解得：k＝0或者k＝，故M的坐标为〔2，0〕，或者〔，〕，所以|OM|＝2，或者，所以|MN|的长度为4或者．【点评】考察直线与椭圆的综合，属于中难题．20．〔12分〕如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．〔1〕证明：GF∥平面PAC；〔2〕假设GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】〔1〕连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．〔2〕连结PE，连结CG并延长交BE于点O，那么O为BE的中点，连结OF，那么OF∥PE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C 的余弦值．【解答】解：〔1〕证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．〔2〕解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，那么O为BE的中点，连结OF，那么OF∥PE，∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，在Rt△FGO中，设GF＝2，那么OG＝1，OF＝，∴OC＝3，PE＝2，∴AB＝4，CE＝2，OE＝，∴OE2+OC2＝CE2，∴OC⊥AB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，那么A〔0，﹣3，0〕，C〔3，0，0〕，P〔0，﹣，2〕，＝〔3，3，0〕，＝〔0，2〕，设平面PAC的一个法向量＝〔x，y，z〕，那么，取z＝1，得＝〔〕，平面PAB的法向量＝〔1，0，0〕，设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ，那么cosθ＝＝＝，∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．【点评】此题考察线面平行的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．21．〔12分〕函数f〔x〕＝1+x﹣2sin x，x＞0．〔1〕求f〔x〕的最小值；〔2〕证明：f〔x〕＞e﹣2x．【分析】〔1〕求导可知时f〔x〕单减，时f〔x〕单增，进而求得最小值；〔2〕即证x＞0时，g〔x〕＝〔1+x﹣2sin x〕e2x＞1，利用导数容易得证．【解答】解：〔1〕f′〔x〕＝1﹣2cos x，令f′〔x〕＝0，得，故在区间[0，π]上，f′〔x〕的唯一零点是，当时，f′〔x〕＜0，f〔x〕单调递减；当时，f′〔x〕＞0，f〔x〕单调递增，故在区间[0，π]上，f〔x〕的极小值为，当x＞π时，，∴f〔x〕的最小值为；〔2〕要证x＞0时，f〔x〕＞e﹣2x，即证x＞0时，g〔x〕＝〔1+x﹣2sin x〕e2x＞1，g′〔x〕＝2〔1+x﹣2sin x〕e2x+〔1﹣2cos x〕e2x＝〔3+2x﹣4sin x﹣2cos x〕e2x，令h〔x〕＝x﹣sin x，x＞0，那么h′〔x〕＝1﹣cos x≥0，即h〔x〕是〔0，+∞〕上的增函数，∴h〔x〕＞h〔0〕＝0，即x＞sin x，∴3+2x﹣4sin x﹣2cos x＞3+2sin x﹣4sin x﹣2cos x＝3﹣2〔sin x+cos x〕＝，∴g′〔x〕＝〔3+2x﹣4sin x﹣2cos x〕e2x＞0，即g〔x〕是〔0，+∞〕上的增函数，g〔x〕＞g〔0〕＝1，故当x＞0时，f〔x〕＞e﹣2x，即得证．【点评】此题考察利用导数研究函数的最值及证明不等式，考察推理论证及运算才能，属于中档题．请考生在第22，23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分，答题时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔m为参数〕．〔1〕写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；〔2〕倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P〔x0，y0〕，求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【分析】〔1〕由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，求出C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F〔1，0〕的抛物线．〔2〕设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，直线l1的参数方程为，〔t为参数〕，与y2＝4x联立，得t2sin2α+〔2y0sinα﹣4cosα〕t+y02﹣4x0＝0，由此能证明|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【解答】解：〔1〕解：由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，得y2＝4x，∴曲线C的普通方程为y2＝4x，∴C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F〔1，0〕的抛物线．〔2〕证明：设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，∴直线l1的参数方程为，〔t为参数〕，与y2＝4x联立，得t2sin2α+〔2y0sinα﹣4cosα〕t+y02﹣4x0＝0，设方程的两个解为t1，t2，那么t1t2＝，∴|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝||，|PM|•|PN|＝||＝||，∴|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【点评】此题考察曲线方程的求法，考察两组线段乘积相等的证明，考察直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕＝|x﹣a|+|x﹣1|．〔1〕假设f〔a〕＜2，求a的取值范围；〔2〕当x∈[a，a+k]时，函数f〔x〕的值域为[1，3]，求k的值．【分析】〔1〕f〔a〕＝|a﹣1|＜2，即可得a的取值范围是〔﹣1，3〕；〔2〕对a分类讨论，由单调性即可得f〔x〕的单调性．【解答】解：〔1〕f〔a〕＝|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2．即﹣1＜a＜3，所以a的取值范围是〔﹣1，3〕．〔2〕当a≥1时，函数f〔x〕在区间[a，a+k]上单调递增．那么[f〔x〕]min＝f〔a〕＝a﹣1＝1，得a＝2，[f〔x〕]max＝f〔a+k〕＝a+2k﹣1＝3，得k＝1．当a＜1时，f〔x〕＝那么[f〔x〕]min＝f〔a〕＝1﹣a＝1，得a＝0，[f〔x〕]max＝f〔a+k〕＝a+2k﹣1＝3，得k＝2．综上所述，k的值是1或者2．【点评】此题考察了绝对值不等式，属于中档题．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高三数学上学期教学质量监测试题一理试题
2021届高三数学上学期教学质量监测试题〔一〕理〔扫描版〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日2021年高三教学质量监测〔一〕数学〔理科〕参考答案与评分HY说明：一、本解答给出了一种或者几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分HY 制订相应的评分细那么.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；假如后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一．选择题题1A21i-1i =+，其对应的点为(1,1)，应选A. 题2D 化简集合A {}|0x x =>，从而A 、C 错，{}|0R C A x x =≤，应选D. 题3C A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数〔或者'2ln 22ln 20x x y -=+>〕，应选C .题4B 由题2a a b =⋅， 而>=<b a ,cos 22122a a ba b a ⋅==⋅，应选B. 题5B题6A 解出{}n a 的公差37242d -==--，于是{}n a 的通项为)3(25--=n a n 112+-=n ，可见{}n a 是减数列，且650a a >>，065=+a a ，于是092259>⋅=a S ， 01026510=⋅+=a a S ，01122611<⋅=a S ，从而该题选A.题7C 不妨令该函数解析式为)sin(ϕω+=x A y ，由图知1=A ，3434ππ-=T 125π=， 于是352πωπ=，即56=ω，3π是函数减时经过的零点，于是ππϕπ+=+⋅k 2356，k ∈Z ，所以ϕ可以是53π，选C. 题8B 由框图知输出的结果32016sin 32sin 3sin πππ+++= s ，因为函数x y 3sin π=的周期是6，所以)36sin 32sin 3(sin 336πππ+++= s 00336=⨯=，应选B. 题9B 依题画出可行域如图，可见ABC ∆令x y m -=，那么m 为直线:l m x y +=在y 由图知在点)6,2(A 处m 取最大值是4，在 (2,0)C 处最小值是-2，所以[2,4]m ∈-，所以z 的最大值是4,应选B.题10A 令点),(00y x P ，因该双曲线的渐近线分别是03=-y x，03=+y x，所以=PA 131300+-y x ，=PB 131300++y x ，又 AOB APB ∠-=∠cos cos AOx ∠-=2cos 3cosπ-=21-=， 所以PA PB ⋅APB ∠=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=21433432020y x 83-=，选A. 此题可以用特殊位置法解决：令P 为实轴右顶点，此时323,,,238PA PB PA PB PA PB π==<>=∴⋅=-，选A. 题11B 由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：14C ；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或者是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一情况下有13C 种分法〔剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集〕，在第二情况下有1种分法〔剩下三名同学各分到一本小说〕，在第三情况下有13C 种分法〔剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说〕，这样第二步骤一共有情况数是++113C 713=C ，故此题之答案是28714=C ，选B. 解法2：将3本一样的小说记为a,a,a; 2本一样的诗集记为b,b,将问题分成3种情况，分别是1、aa,a,b,b,此种情况有2412A =种；2、bb,a,a,a, 此种情况有144C =种；3、Ab,a,a,b, 此种情况有2412A =种，总一共有28种，应选B题12D 由题x x f 2)(='，200)(x x f =，所以l 的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，xy 1='，所以l 的方程为y 1ln 111-+=x x x ，这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ，所以2002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，所该函数的零点就是0x ，排除A 、B 选项，又因为xx x g 12)(-='x x 122-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g ，(3)2ln 230g =-023x << D.13. 2425 14. 43 15.66 16.115(0,)(,1]22-+ 题13 依题2512sin 1)cos (sin 2=-=-ααα，所以25242sin =α，答案为2425. 题14 令l 与y 轴交点为B ，在ABF Rt ∆中，030=∠AFB ，2=BF ，所以33AB =，假设),(00y x p ，那么033x =，代入24x y =中，那么013y =，而0413PF PA y ==+=，故答案为43. 几何法：如下图，030AFO ∠=，30PAF ∴∠=︒ 又120PA PF APF APF =∴∆∠=︒为顶角的等腰三角形 而2434cos30333AF AF PF ==∴==︒，故答案为43. 题15 依题)2(321≥+=-n S a n n ，与原式作差得， n n n a a a 21=-+，即n n a a 31=+，2≥n ，可见，数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列，52=a ，所以345(13)113S -=+-66=.故答案为66. 题16当1+=ax y 过点)2,2(B 时，那么21=a ，满足方程有两个解； 当1+=ax y 与12)(-=x x f 相切时，那么251+-=a ，满足方程有两个解；所求范围115(0,)22⎛⎤-+ ⎥ ⎝⎦.17．解： 〔Ⅰ〕由A B C π+=-，以及正弦定理得，2cosC b a =- ， …………………3分 又43π=C ，所以2b a =，从而有222b a =.………………………………………6分 〔Ⅱ〕由1sin 2ABC S ab C ∆=214ab ==，所以22ab =，即：22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩9分由余弦定理知， 2222cosC c a b ab =+-2242102=++=，…………11分所以c =.……………………………………………………………………………12分 18．解： 几何解法〔Ⅰ〕连接1BC 交C B 1于M ，那么 直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的 交线，如下图；……………………4分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕因为在长方体1AC 中，所以M 为1BC 的中点，又E 为11C D 的中点所以在B C D 11∆中EM 是中位线，所以1//BD EM ，…………………………6分 又⊂EM 平面EC B 1，⊄1BD 平面EC B 1， 所以//1BD 平面EC B 1；……………………8分 〔Ⅲ〕因为在长方体1AC 中，所以11//BC AD ， 平面1ABD 即是平面11D ABC ，过平面EC B 1上 点1B 作1BC 的垂线于F ，如平面图①， 因为在长方体1AC 中，⊥AB 平面11BCC B⊂F B 1平面11BCC B ，所以AB F B ⊥1， B AB BC =⋂1，所以⊥F B 1平面1ABD 于F .过点F 作直线EM 的垂线于N ，如平面图②，连接N B 1，由三垂线定理可知，EM N B ⊥1.由二面角的平面角定义可知，在FN B Rt 1∆中， NF B 1∠即是平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的平面角.因长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，在平面图①中，B 1平面图①1CB D BA平面图② A CD A 1B 1C 1BD 1EM525211=⨯=F B ， (10)分1053=FM ， 251=M C ，11=E C ，在平面图②中，由1EMC ∆相似1FMN ∆可知EMFMEC FN ⋅=1225110531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=55=， 所以NF B 1tan ∠NF F B 1=25552=⋅=， 所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为2arctan .………………………12分空间向量解法：〔Ⅰ〕见上述. …………………………………………………………………………4分 〔Ⅱ〕因为在长方体1AC 中，所以1,,DD DC DA 两两垂直，于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图，因为2==AB AD ,11=AA ，所以)0,0,0(D ，)1,0,0(1D ，)0,2,2(B ，)1,2,2(1B ，)0,2,0(C)1,1,0(E .所以)1,2,2(1--=BD ，,0,2(1=CB )1,1,0(-=CE ，…………………………6分令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x m = 所以m CB ⊥1，m CE ⊥，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001m CE m CB ，即⎩⎨⎧==+z y z x 02，不妨令1-=x ， 得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=m ，而02421=+-=⋅m BD ，所以m BD ⊥1，又因为⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1.…………………………………………………………………8分 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知)0,2,0(-=BA ，)1,2,2(1--=BD ，令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x n =,所以n BA ⊥，n BD ⊥1，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01n BD n BA ，即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ，不妨令1=x ， 得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=n ，………………………………………10分因为n m <,cos 555941=⋅+-=.………………………………………11分 所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos .…………………12分 19．解：〔Ⅰ〕依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .…………………6分 〔Ⅱ〕由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，那么X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. …………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ； 81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)4(=⨯⨯==X P ；241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P .这样X 的分布列为： 〔………………………………每答对两个，加1分〕于是，246245124243824140)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 12=.……12分 20．解：〔Ⅰ〕依题，令椭圆E 的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>222c a b =-(0)c >，所以离心率12ce a ==，即2a c =.…………………………2分 令点A 的坐标为00(,)x y ，所以2200221x y a b+=，焦点1(,0)F c -，即1AF ===0c x a a =+，〔没有此步，不扣分〕 因为0[,]x a a ∈-，所以当0x a =-时，1min AF a c =-，……………………………3分 由题1a c -=，结合上述可知2,1a c ==，所以23b =，于是椭圆E 的方程为22143x y +=.分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知1(1,0)F -，如图，直线AB 不能平行于x 轴，所以令直线AB 为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程，22341201x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=， 所以，122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.……………………………………………5分假设ABCD 是菱形，那么OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，于是有12120x x y y ⋅+⋅=，……6分又1212(1)(1)x x my my ⋅=--21212()1m y y m y y =⋅-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +⋅-++=， (7)分得到22125034m m --=+ ，可见m 没有实数解，故ABCD 不能是菱形. ………………8分〔Ⅲ〕由题4ABCDAOB SS ∆=，而11212AOB S OF y y ∆=⋅-，又11OF = ， 即1122ABCDSOF y y =⋅-=，………………………………9分由〔Ⅱ〕知122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.所以，ABCDS==………………………10分=因为函数1()9f t t t=+，[1,)t ∈+∞，在1t =时，min ()10f t =，………………11分 即ABCDS的最大值为6，此时211m +=，也就是0m =时，这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD 是矩形. …………………………………12分 21．解：(Ⅰ)依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根.〔解法一〕转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，如图.……………3分可见，假设令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ，只须0a k <<. 令切点00A(,ln )x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0x e =，于是1k e =，所以10a e<<.………………………………………6分 〔解法二〕转化为，函数ln ()xg x x=与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点.又21ln ()xg x x-'=，即0x e <<时，()0g x '>，x e >时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞()()g x g e =极大1e=………3分 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()0g x →，所以()g x 的草图如下， 可见，要想函数ln ()xg x x=与函数y a =图像在(0,)+∞上有两个不同交点， 只须10a e<<.………………………………6分〔解法三〕令()ln g x x ax =-，从而转化为函数()g x 有两个不同零点， 而11()ax g x ax x x-'=-=〔0x >〕 假设0a ≤，可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调增， 此时()g x 不可能有两个不同零点. ………………………………………………3分 假设0a >，在10x a <<时，()0g x '>，在1x a>时，()0g x '<， 所以()g x 在1(0,)a 上单调增，在1(,)a +∞上单调减，从而1()()g x g a =极大1ln1a=- 又因为在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()g x →-∞，于是只须：()0g x >极大，即1ln10a ->，所以10a e<<. 综上所述，10a e<<……………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕因为112ex x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+.由〔Ⅰ〕可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根， 即11ln x ax =，22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+，因为0>λ，120x x <<， 所以原式等价于121a x x λλ+>+.………………………………………………………7分又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-.所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+，因为120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立. 令12x t x =，(0,1)t ∈， 那么不等式(1)(1)ln t t t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立. (8)分令(1)(1)()ln t h t t t λλ+-=-+，又221(1)()()h t t t λλ+'=-+22(1)()()t t t t λλ--=+, 当21λ≥时,可见(0,1)t ∈时,()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增,又(1)0h =，()0h t <在(0,1)t ∈恒成立,符合题意. ………………………………………10分当21λ<时, 可见2(0,)t λ∈时,()0h t '>, 2(,1)t λ∈时()0h t '<,所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增,在2(,1)t λ∈时单调减, 又(1)0h =, 所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意,舍去. 综上所述, 假设不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,只须21λ≥,又0λ>,所以1λ≥ (12)分22．〔Ⅰ〕由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, ……………3分 同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分 〔Ⅱ〕连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由〔Ⅰ〕知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠, 所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BDMC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.…………………………………10分 23．〔Ⅰ〕依题,因222x y ρ=+, 所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)x y +-又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为: 00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , (8)分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分(解法二)设点()ααsin ,cos T ，那么由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα时斜线的倾斜角为2πα+，那么切线MN 的参数方程为： x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x 〔t 为参数〕，…………………7分 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分 那么αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分 此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24．〔Ⅰ〕因为“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---〞是真命题， 所以a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---恒成立， 又c b a >>，所以)11()(cb b ac a t -+-⋅-≤恒成立，所以，min )]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(cb b ac b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-42≥--+--+=cb ba b a c b ，“=〞成立当且仅当b a c b -=-时. 因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<〞是假命题， 所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n 〞是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤〔(0,)2πγ∈〕，因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高三数学上学期第一次教学质量检查考试试题理含解析试题
22.选修4-4：坐标系与参数方程
曲线 的极坐标方程为 ， 的参数方程为 〔为参数〕.
〔1〕将曲线 与 的方程化为直角坐标系下的普通方程；
〔2〕假设 与 相交于 两点，求 .
【答案】(1) 〔2〕
【解析】【试题分析】〔1〕对 方程两边乘以 ，由此求得曲线 的参数方程利用加减消元法可求得 的普通方程.〔2〕将 的参数方程代入 ，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值.
【答案】(1) 〔2〕见解析
【解析】【试题分析】〔1〕依题意可知 ，解方程组可求得椭圆的HY方程.〔2〕当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算 的值，化简后结果为 ，由此证明结论成立.
【试题解析】
〔1〕因为椭圆 ，经过点 ，所以 ．
15. 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 是坐标原点， 的延长线交 轴于点 ，假设 ，那么 点的纵坐标为__________．
【答案】
【解析】由于三角形 为直角三角形，而 ，即 为 中点，【点睛】此题主要考察直线和抛物线的位置关系，考察直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，打破口就在题目所给条件 ，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得 是 的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.
【试题解析】
〔1〕∵ ，
且 是等边三角形
∴ ， ， 均为直角三角形，即 ， ，
∴ 平面
∵ 平面
∴平面 平面
〔2〕以 为单位正交基底，建立如下列图的空间直角坐标系 ．
令 ， ，
高三数学上学期第一次质量检测试题理试题
卜人入州八九几市潮王学校2021----2021高中毕业班第一次教学质量检测理科数学参考答案一、选择题：每一小题5分，一共50分〔1〕D..〔2〕B〔3〕A三角函数的性质、简易逻辑、坐标平面内两直线垂直的充要条件、根本不等式，容易题.〔4〕B〔5〕A〔6〕B〔7〕C..〔8〕B..〔9〕C..〔10〕A..二、填空题：每一小题5分，一共25分〔11〕40..〔12〕2.程序框图知识、考察学生运算及对规律的概括才能，中等题.-.中等题.〔13〕2-.中等题.〔14〕2〔15〕②③④.较难题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〔16〕中等题. 解：〔Ⅰ〕1(sin cos ,)2m n x x +=+∵，1()()(sin cos )cos 2f x m n n x x x =+⋅=+-∴21sin cos cos 2x x x =+-)4x π=+.令3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，所以函数()f x 的单调递减区间是5[,]88k k ππππ++()k Z ∈．……………6分 〔Ⅱ〕由()1)42f A A π=+=得sin(2)4A π+=.又A ∵为ABC ∆的内角，3244A ππ+=∴，4A π=.12S =△ABC ∵，1b =，11sin 22ABC S bc A ∆==∴，c =2222cos 1a b c bc A =+-=∵，1a =∴………………………………12分〔17〕放回抽样的概率和不放回抽样的分布列与期望，考察学生应用知识的才能，中等题. 解：〔Ⅰ〕采取放回抽样方式，每次摸出一球，从中摸出两球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，假设第一次摸到白球，那么第二次摸到黑球；假设第一次摸到黑球，那么第二次摸到白球.因此它的概率11113322111155551225C C C C P C C C C =⋅+⋅=……………………5分〔Ⅱ〕设摸得白球的个数为ξ，那么ξ=0，1，2.因为23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ⋅===，22251(2)10C P C ξ===， 所以，ξ的分布列为：3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=∴，即摸得白球个数的均值为45.………………………12分 〔18〕中等题.解法一：〔Ⅰ〕如图：在ABC ∆中，由,E F 分别是AC 和BC 边的中点，得//EF AB ，……10分又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF . ∴//AB 平面DEF .…………4分〔Ⅱ〕,AD CD BD CD ⊥⊥∵，∴ADB ∠是二面角A DC B --的平面角，AD BD ⊥∴，得AD ⊥平面BCD .取CD 的中点M ，连接EM ，那么//EM AD ，∴EM ⊥平面BCD ，过M 作MN DF ⊥于点N ，连接EN ，那么根据三垂线定理知EN DF ⊥，∴MNE ∠就是二面角E DF C --的平面角.在Rt EMN ∆中，1EM =，32MN =，∴23tan 3MNE ∠=，21cos 7MNE ∠=.………8分 〔Ⅲ〕在线段BC 上存在点P ，使AP DE ⊥，证明如下： 在线段BC 上取点P ，使13BP BC =，过P 作PQ CD ⊥与点Q ，连AQ ，那么PQ ⊥平面ACD ，//PQ BD ，于是有12333DQ DC ==，在Rt ADQ ∆中，2AD =∵，30DAQ ∠=∴；又∵ADE ∆是正三角形，∴AQ DE ⊥，∴AP DE ⊥.………13分法二：〔Ⅰ〕同解法一.〔Ⅱ〕以点D 为坐标原点，直线,,DB DC DA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，那么(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(0,23,0)C ，(0,3,1)E ，(1,3,0)F .显然平面CDF 的一个法向量为(0,0,2)DA =，设平面EDF 的一个法向量为(,,)n x y z =，那么DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1y =-得，(3,1,3)n =-.21cos ,7||||DA n DA n DA n ⋅<>==，所以二面角E DF C --的余弦值为217. 〔Ⅲ〕设(,,0)P x y ，由320AP DE y ⋅=-=，得233y =.又(2,,0)BP x y =-，(2,23,0)BC =-，//BP BC ，323x y +=∴；将233y =代入上式，得43x =，13BP BC =∴，所以在线段BC 上存在点P ，使AP DE ⊥.〔19〕中等题. 解：〔Ⅰ〕52252b b d -==-∵，()()222217n b b n n n =+-⨯=-≤∴，20122877335b b b ⨯+===∴.……………………3分〔Ⅱ〕1148c c ==∵，3418c q c ==∴，2q =.……………6分 当7n ≤时，1122...n n n S b c b c b c =+++21113252(21)2n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-①232123252(21)2n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-②①- ②，得23112(2222)(21)2n nn S n --=++++⋅⋅⋅+--14(21)1(21)221n n n --=+---3(23)2n n =--- (23)23(7)n n S n n =-+≤∴………………………………10分由761411579S S ==，知，1376141157919902011S S S =+=+=<，14722141128222011S S ==⨯=>，所以满足2011n S >的n 的最小值为14.………………12分〔20〕较难题.解：〔Ⅰ〕由题设知12(,0),(,0)F c F c -，〔其中c是椭圆的半焦距，c =.由于2120AF F F ⋅=，所以212AF F F ⊥，所以点A 的坐标为2(,)c a，故1AF 所在直线方程为0x acy c -+=，所以坐标原点O 到直线1AF21c a ==-.又1OF c ||=，所以2131c c a =-，解得：2a =，故所求椭圆方程为22142x y +=.…………………………………6分 另解：作1OB AF ⊥，垂足为B ，∵212AF F F ⊥，易知121OBF AF F ∆∆∽，21113AF OB AF OF ==∴，123AF AF =∴；又22b AF a =，21222b AF a AF a a =-=-，2232b b a a a-=∴，2224a b ==∴.故所求椭圆的方程为22142x y +=. 〔Ⅱ〕易知，直线l 的斜率存在，设为k ，那么其方程为(1)y k x =+，那么有(0,)M k .设11(,)Q x y ，由于,,Q F M 三点一共线，且2MQ QF ||=||，所以1111(,)2(1,)x y k x y -=±+,解得112x y k =-⎧⎨=-⎩或者11233x k y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.又Q 在椭圆C 上，故22(2)()142k --+=或者222()()33142k -+=，解得0k =或者4k =±，所以所求直线l 的斜率为0或者4±.………………13分〔21〕难题.解：〔Ⅰ〕由题意，0x >，22111()x g x x x x-'=-+=，∴当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，所以，()g x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，故()(1)1g x g ==极小值.…………4分(Ⅱ)()()2ln mf xg x mx x x -=--∵，222[()()]mx x m f x g x x -+'-=∴，由于()()f x g x -在[1,)+∞内为单调增函数，所以220mx x m -+≥在[1,)+∞上恒成立，即221xm x ≥+在[1,)+∞上恒成立，故max 22()11x m x ≥=+，所以m 的取值范围是[1,)+∞.…………8分〔Ⅲ〕构造函数2()()()()2ln m e F x f x g x h x mx x x x=--=---， 当0m ≤时，由[]1,x e ∈得，0m mx x -≤，22ln 0ex x--<，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->.…………………………………………10分当0m >时，22222222()m e mx x m eF x m x x x x -++'=+-+=，因为[]1,x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以()0F x '>在[1,)+∞上恒成立，故()F x 在[]1,e 上单调递增，max ()()4m F x F e me e ==--，所以要在[]1,e 上存在一个0x ，使得()0F x >，必须且只需40m me e-->，解得241e m e >-，故m 的取值范围是24(,)1ee +∞-.…………………13分 另法:〔Ⅲ〕当1x =时，(1)(1)(1)fgh -<.当(1,]x e ∈时，由()()()f x g x h x ->，得222ln 1e x x m x +>-，令222ln ()1e x xG x x +=-，那么2222(22)ln (242)()0(1)x x x ex G x x --+--'=<-，所以()G x 在(1,]e 上递减，min24()()1eG x G e e ==-.综上，要在[]1,e 上存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->，必须且只需241em e >-.。
高三数学第一次教学质量检查
高三数学试题第一次教学质量检查〔理〕〔考试时间是是：120分钟；满分是：150分〕参考公式： 柱体体积公式：,V Sh =其中S 为底面面积、h 为高；锥体体积公式：1,3V Sh =其中S 为底面面积、h 为高； 球的外表积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径．第一卷〔选择题 一共50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．1．集合{}R x x x A ∈≤=,2|| ，{}z x x x B ∈≤=,2 ，那么A B =〔 〕A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{}0,2D ．{}2,1,02．化简cos15cos45cos75sin 45︒︒-︒︒的值是A ．12B ．2C ．-12D ．-23．抛物线28x y =的焦点到准线的间隔 是〔 〕A ．1B ．2C ．4D ．84．设等差数列{}n a 满足5a = 11， 12a = -3，{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ，那么lg M =〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．15．设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-+0062062y y x y x ，那么目的函数y x z +=的最大值是 〔 〕A ．3B ．4C ．6D ．86．用c b a ,,表示三条不同的直线，γ表示平面，给出以下命题： ①假设;//,//,//c a c b b a 则 ②假设;,,c a c b b a ⊥⊥⊥则 ③假设;////,//b a b a ，则γγ ④假设.//,,b a b a 则γγ⊥⊥ 其中正确命题序号是 〔 〕A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④7．假如函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间〔1，4〕上为减函数，在),6(+∞上为增函数，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．5≤aB ．75≤≤aC ．7≥aD ．75≥≤a a 或8．假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的 体积是 〔 〕 A ．2 B ．1C ．32D ．31 9．设1F 、2F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点， 假设双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +⋅= 〔O 为坐标原点〕且1||PF λ=2||PF 那么λ的值是〔 〕 A ．2B ．21 C ．3 D ．31侧视图俯视图〔第8题图〕10．定义区间],[],,(),,[),,(d c d c d c d c 的长度均为()d c d c ->实数b a >，那么满足111≥-+-bx a x 的x 构成的区间的长度之和为 〔 〕A ．1B ．b a -C ．b a +D ．2第二卷〔非选择题 一共100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．设函数2()(0)f x ax c a =+≠，假设100()()f x dx f x =⎰， 其中001x <<，那么0x =________．12．假设函数())cos()(0)f x x x φφφπ=+-+<<为奇函数，那么φ=__________．13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线232y x =的焦点一样．那么双曲线的方程为 ．14．各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，那么这个球的外表积是 ． 15．假设函数),,(z y x f 满足),,(),,(),,(b a c f a c b f c b a f ==，那么称函数),,(z y x f 为轮换对称函数，如abc c b a f =),,(是轮换对称函数，下面命题正确的选项是 ①函数z y x z y x f +-=22),,(不是轮换对称函数．②函数)()()(),,(222y x z x z y z y x z y x f -+-+-=是轮换对称函数．③假设函数),,(z y x f 和函数),,(z y x g 都是轮换对称函数，那么函数(,,)(,,)f x y z g x y z -也是轮换对称函数．④假设A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角， 那么2(,,)2cos cos()cos f A B C C A B C =+⋅--为轮换对称函数．三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 16．〔此题满分是13分〕在锐角ABC ∆中，A B C 、、三内角所对的边分别为c b a 、、．设(cos ,),(cos ,),m A sinA n A sinA a ==-=12m n ⋅=-且[〔Ⅰ〕假设3=b ，求ABC ∆的面积； 〔Ⅱ〕求c b +的最大值．17．〔此题满分是13分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足n S a n n 2=+． 〔Ⅰ〕证明：数列{}2-n a 为等比数列，并求出n a ； 〔Ⅱ〕设)2)(2(--=n n a n b ，求{}n b 的最大项．18．〔此题满分是13分〕如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝31AD 〔Ⅰ〕求异面直线BF 与DE 所成角的余弦值； 〔Ⅱ〕在线段CE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面CDE 所成角的正弦值为FEM36假设存在，试确定点M 的位置；假设不存在，请说明理由．19．〔此题满分是13分〕某食品厂进展蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的本钱20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元〔t 为常数，且)52≤≤t ，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元〔4025≤≤x 〕，根据场调查，销售量q 与xe 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．〔Ⅰ〕求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；〔Ⅱ〕假设5=t ，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．20．〔此题满分是14分〕点A 〔2，0〕，B 22:(2)36x y ++=．P 为B 上的动点，线段BP 上的点M 满足|MP |＝|MA |．〔Ⅰ〕求点M 的轨迹C 的方程;〔Ⅱ〕过点B 〔-2，0〕的直线l 与轨迹C 交于S 、T 两点，且2SB BT =，求直线l 的方程．21．〔此题满分是14分〕设函数)(x f =xe 〔e 为自然对数的底数〕，2()g x x x =-，记()()()h x f x g x =+．〔Ⅰ〕()h x '为()h x 的导函数，判断函数()y h x '=的单调性，并加以证明； 〔Ⅱ〕假设函数|()|1y h x a =--=0有两个零点，务实数a 的取值范围．参考答案一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕 1-5 DACCC 6-10 CBBAD二、填空题〔每一小题4分，一共20分〕11．π 12．6π13．2211648x y -= 14．16π 15．①②③④ 三、解答题〔一共6小题，一共80分〕 16．〔13分〕解法一：〔Ⅰ〕12m n ⋅=-由得221cos 2A sin A -=- ………………1分即1cos 2,2A =-02A π<<02A π<< ∴223A π=,3A π=………………3分由2222cos a b c bc A =+-得2320c c -+= 21或=∴c………………5分1c =时， cos 0,1B c <∴=舍去， 2=∴c1132sin 223S b c sinA π∴=⋅⋅=⨯⨯⨯=．……………8分〔Ⅱ〕222222cos 7a b c bc A b c bc =+-∴+-= ……………9分28)(7)2(373)(222≤+∴++≤+=+c b c b bc c b ……………11分72≤+c b 当且仅当时c b =取等号……………12分()max b c ∴+=……………13分解法二：由正弦定理得：sin sin sin b c aB C A ==sin 3＝3，…………9分又B ＋C ＝π－A ＝23π，∴b ＋c ＝3sin B ＋3sin C ＝3sin B ＋3sin 〔23π－B 〕＝〔B ＋6π〕，………………11分当B ＋6π=2π时, 即3B π= 时，b ＋c 的最大值是 ………………13分17．〔13分〕〔Ⅰ〕证明：由1221111===+a a s a 得………………1分由)1(2211+=+=+++n s a n s a n n n n 可得，两式相减得221=-+n n a a………………3分112(2)2n n a a +∴-=-………………5分{}2-∴n a 是首项为121-=-a ，公比为21的等比数列……………6分11112(1)(),2()22n n n n a a ---=-=-故．………………7分 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知11)21()2()21()1()2(--⋅-=⋅-⋅-=n n n n n b ………8分由11121243032222n n n n n n n n n n nb b n +-----+--=-==≥≤得………………11分由01<-+n n b b 得3>n ，所以⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅>>=<<n b b b b b b 54321故{}n b 的最大项为4143==b b ． ………………13分18．〔13分〕解法一：建立如下图的直角坐标系，不妨设AB ＝１那么(1,0,0),(1,1,0),(0,3,0),(0,0,1),(0,1,1)B C D F E………………2分〔Ⅰ〕)1,2,0(),1,0,1(-=-=DE BF1010521||||,cos =⋅=⋅>=<DE BF DE BF DE BF ………………5分∴异面直线BF 与DE 所成角的余弦值为1010． ………………6分〔Ⅱ〕设平面CDE 的一个法向量为),,(z y x n =)1,2,0(),0,2,1(-=-=DE CDDE n CD n ⊥⊥∴,由得⎩⎨⎧=+-=+-0202z y y x 令12(2,1,2)y x z n ===∴=得 ………………9分 设存在点M ),,(111z y x 满足条件，由1111,1,,(1,1,)CM CE y z M λλλλλ==-==-得:x),1,1(λλ-=∴AM直线AM 与平面CDE 所成角的正弦值为63,36,cos =><∴n AM 21,36||||||＝得λ=⋅n AM n AM ………………12分 故当点M 为CE 中点时，直线AM 与面CDE 所成角的正弦值为36．………13分 解法二：〔Ⅰ〕不妨设AB ＝１，EF BC 且EF BC BCEF =∴四边形是平行四边形，∴∠CED 异面直线BF 与DE 所成角………………3分CE =BF =2,ED =DC =5,25510cos 10225CED CED +-∆∠==在中，所以，异面直线BF 与DE 所成角的余弦值为1010………………6分〔Ⅱ〕与解法一同． 19．〔13分〕解：〔Ⅰ〕设日销量3030,100,100x k kq k e e e==∴=则 ………………2分∴日销量30100xe q e =30100(20)(2540)xe x t y x e--∴=≤≤． ………………7分〔Ⅱ〕当5=t 时，x e x e y )25(10030-= ………………8分30100(26)xe x y e -'= ………………10分026y x '≥≤由得，0y '≤≥由得x 26[][]252626y ∴在，上单调递增，在，40上单调递减.4max 100,26e y x ==∴时当．………………12分当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为4100e 元．…………13分212y y =-∴，………………10分代入〔*〕得22222222222040059(59)25259t t y y t t y t ⎧-=⇒=⎪⎪++⎨-⎪-=⎪+⎩2222280025(59)591,33t t t t t ∴=++=∴=±即………13分故直线l的方程为：2)y x =+． ………………14分法二：显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)2(+=x k y ，代入15922=+y x 得0453636)95(2222=-+++k x k x k………………8分l 过焦点，0∴∆>显然成立设),(),,(2211y x T y x s2SB BT =，),2(2)0,,2(2211y x y x +=---∴ 6221-=+∴x x …………………………①………9分且212221223659364559k x x k k x x k ⎧+=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪+⎨-⎪⋅=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪+⎩②③………………10分由①②解得22122230181830,5959k k x x k k ---==++代入③……………12分整理得：3,32±=∴=k k……………………13分l ∴的方程为)2(3+±=x y……………………14分21．解：〔Ⅰ〕2()()()xh x f x g x e x x =+=+-， ∴()21xh x e x '=+-， 令()()F x h x '=，那么()20xF x e '=+>，∴()F x 在(,)-∞+∞上单调递增，即()h x '在(,)-∞+∞上单调递增．…………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()h x '在(,)-∞+∞上单调递增，而(0)0h '=， ∴()0h x '=有唯一解0x =，…………8分,(),()x h x h x '的变化情况如下表所示：………………10分又∵函数|()|1y h x a =--有两个零点，∴方程|()|10h x a --=有两个根，即方程()1h x a =±有两个根………12分而11a a +>-，min min 1(())(0)11(())(0)1a h x h a h x h ∴-<==+>==且， 解得02a <<．所以，假设函数|()|1y h x a =--有两个零点，实数a 的取值范围是〔0，2〕………14分。
高三数学第一次教学质量检测试题理含解析试题
2.等差数 ，假设 ，那么 的前7项的和是〔〕
A. 112 B. 51 C. 28D. 18
【答案】C
【解析】由等差数列的通项公式结合题意有： ，
求解关于首项、公差的方程组可得： ，
那么数列的前7项和为： .
此题选择C选项.
3.集合 是函数 的定义域，集合 是函数 的值域，那么 〔〕
【答案】
【解析】由抛物线的方程可知焦点坐标为 ，准线方程为 ，
设点 的坐标为 ，由题意结合抛物线的定义可得：
， ， ，
那么四边形 的周长为 ,
整理可得： ，
那么点 的坐标为 .
16.在四面体 中， ，二面角 的大小为 ,那么四面体 外接球的半径为__________．
【答案】
【解析】过等边三角形 的中心作平面 的垂线，
双曲线的离心率： ，
此题选择C选项.
5.执行如图程序框图，假设输入的 等于10，那么输出的结果是〔〕
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】结合流程图可知程序运行如下：
首先初始化数据 ，
此次循环满足 ，执行： ， ；
此次循环满足 ，执行： ， ；
此次循环满足 ，执行： ， ；
此次循环满足 ，执行： ， ；
所以 的分布列为
所以 .
19.如图，在多面体 中， 是正方形， 平面 ， 平面 ， ，点 为棱 的中点.
〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕假设 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
【答案】(1)见解析〔2〕
【解析】试题分析：
〔1〕连结 ，交 于点 ，由三角形中位线的性质可得 平面 ,由线面垂直的性质定理可得 为平行四边形，那么 ，结合面面平行的判断定理有 平面 .最后，利用面面平行的判断定理可得平面 平面 .
高三数学上学期第一次质量监测一模试题理试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期第一次质量监测〔一模〕试题理本套试卷总分值是150分，考试时间是是120分钟本卷须知：。
2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在套本套试卷上无效。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|0≤x－1≤1}，B ＝＞0}，那么A∩B＝A.∅B.(1，2]C.[1，2]D.(0，2)2.复数z ＝1－i ，那么|z 2－1|＝ ，b 满足a ⊥b ，向量C 满足(a ＋c)·b ＝1，且向量b ，c 的夹角为60°，那么|c|＝A.12C.3 4.函数f(x)＝2lg 2xx x -的图象大致为 {a n }的前n 项和为S n ，a 1＜0，且S n ≥S 5，那么以下结论一定正确的选项是5·a 6≥05·a 6≤04·a 6＞04·a 6＜06.平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，那么M 点的轨迹是7.防洪期间，要从6位志愿者中挑选5位去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天1个人，第四天2个人，那么满足要求的排法种数为8.二项式(x ＋1)·(2x －1x )5的展开式中常数项为 A.－40C.－809.干支是天干(甲、乙、…、癸)和地支(子、丑、…、亥)的合称，“干支纪年法〞是我国传统的纪年法。
如图是查找公历某年所对应干支的程序框图。
例如公元2041年，即输入N ＝2041，执行该程序框图，运行相应的程序，输出x ＝58，从干支表中查出对应的干支为辛酉。
我国古代出色数学家秦九韶出生于公元1208年，那么该年所对应的干支为10.设f(x)＝1ln ,1x x x <<≥，假设f(a)＝f(e a )，那么f(1a )＝11.将函数y ＝cos(2x －6π)图象上的点G(4π，n)向右平移m(m ＞0)个单位长度得到点G'，假设G'位于函数y ＝sin2x 的图象上，那么A.n＝2，m 的最小值为3π B.n ＝12，m 的最小值为3π C.n＝2，m 的最小值为6π D.n ＝12，m 的最小值为6π 12.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上存在点M ，过点M 向圆x 2＋y 2＝b 2做两条切线MA ，MB 。
高三数学上学期第一次质检试题 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校蕉岭2021~2021高三第一次质检考试数学〔理科〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
1．集合3{|}U x y x ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，那么()=UAB 〔〕A ．{}|0x x >B ．R C ．∅ D ．{}0z 满足(1)1i z ai +=-，那么实数a 等于〔〕A ．0B ．1-或者1C ．1D ．1-3．公差不为0的等差数列{}n a 满足4123a a a ⋅=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么3253S S S S --的值是〔〕A.2-B.3-C.3D.24．向量a 与b 的夹角是，且|a |＝1，|b |＝4，假设(3a ＋λb )⊥a ，那么实数λ的值是() A.B ．－C.D ．－5．函数()210210x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩，假设矩形ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，B 、C 在函数()y f x =的图象上，且()0,1A ，那么点D 的坐标为〔〕A ．()2,0-B ．(12,0)--C ．(1,0)-D ．1(,0)2-6.在ABC ∆中，“tan tan 1B C >〞是“ABC ∆为锐角三角形〞的〔〕7．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点P 是棱CD 上一点，那么三棱锥A B A P 11-的左视图可能为ABCD8．函数()2sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，将()f x 的图像向左平移3π个单位长度后所得的函数图像过点(0,1)，那么函数()cos(2)g x x ϕ=+〔〕A ．在区间(,)63ππ-上单调递减B ．在区间(,)63ππ-上有最大值C ．在区间(,)63ππ-上单调递增D ．在区间(,)63ππ-上有最小值 9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x+1)=f (1-x ),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f (ax+2)≤f (x-1)对任意x ∈[,1]恒成立,那么实数a 的取值范围是〔〕A.[-3,-1]B.[-2,0]C.[-5,-1]D.[-2,1]10．记不等式组4326 4x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的区域为Ω，点P 的坐标为(),x y1:p P ∀∈Ω，0y ≤；2:p P ∀∈Ω，122x y -≥； 3:p P ∀∈Ω，665y -≤≤；4:p P ∃∈Ω，1125x y -=〕A ．1p ，2p B ．1p ，3pC ．2p ，4pD ．3p ，4p11．过点)12(-，P 作抛物线y x 42=的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，那么△PEF 与△OAB 的面积之比为(C)A ．23B ．43 C ．21 D ．41 12．设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，假设2(2)()220f m f m m m -+--+-≥，那么实数m 的取值范围为〔〕A ．[1,1]-B ．[1,+∞）C ．[2,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞ 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。
高三数学上学期起点质量监测试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校局部2021届高三数学上学期起点质量监测试题理〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{}2|20A x x x =--<，那么A =R〔〕A.{}|12x x -<<B.{|12}x x -C.{}|12x x x <->或 D.{}|12x x x -或【答案】D 【解析】 【分析】 解一元二次不等式220x x --<即可得出结果【详解】由220x x --<得12x -<<其在R 上的补集为{}|12x x x -或，应选D【点睛】此题考察集合的补集，是一道根底题。
121iz i i+=--，那么||z =〔〕 A.0B.1D.3【答案】B 【解析】 【分析】先将z 分母实数化，然后直接求其模。
【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（） 【点睛】此题考察复数的除法及模的运算，是一道根底题。
222:116x y E m-=的离心率为54，那么双曲线E 的焦距为〔〕A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】 【分析】通过离心率和a 的值可以求出c ，进而可以求出焦距。
【详解】有可得54c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，应选：D 。
【点睛】此题考察双曲线特征量的计算，是一道根底题。
4.α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β，:q αβ，那么p 是q 的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过面面平行的断定定理以及面面平行的性质，可以得到:p a β不能推出:q αβ，:q αβ可以推出:p a β。
【详解】一个面上有两相交直线都和另一个面平行，那么这两个面平行，所以:p aβ不能推出:q αβ。
高三数学上学期第一次质量检查期末考试试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期第一次质量检查〔期末考试〕试题理〔含解析〕本套试卷分第I 卷和第II 卷两局部．第I 卷1至3页，第II 卷3至5页，总分值是150． 考生注意：2．第I 卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写答题．假设在试题卷上答题，答案无效．3．在考试完毕之后，监考员将试题卷和答题卡一起交回．第I 卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，那么复数z 的模为〔〕A.2D.2【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四那么运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i,那么|z|应选C ．【点睛】此题考察复数的乘除运算，复数的模的求法，属于根底题．201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，那么A B =()A.{}21x x -≤<-B.{}11x x -<≤C.{}21x x -≤<D.{}11x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】 对集合,A B 分别进展不等式求解，并进展化简，再求交集，即可得答案.【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或者1}x <-，所以{}21A B x x ⋂=-≤<-.应选：A.【点睛】此题考察不等式的求解及集合的交运算，考察根本运算求解才能.{}n a 满足118a =，243441a a a =-，那么2a =() A.14±B.14C.116±D.116【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-，解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±.应选：A.【点睛】此题考察等比数列的通项公式应用，考察根本运算求解才能.,x y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，那么2x y +的最大值为〔〕A.2B.5C.6D.7【答案】B 【解析】画出x ，y 满足约束条件111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11y y x =⎧⎨=-⎩，解得()2,1A ，由2z x y =+可知直线过()2,1A 时，z 最大，得2215z =⨯+=，应选B.点睛：此题主要考察线性规划中利用可行域求目的函数的最值，属简单题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如以下图，那么该几何体的体积为() A.53π B.7πC.323πD.13π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.【详解】如以下图，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ，因为2CD AD BD =⋅，所以231BD BD =⋅⇒=，所以31222AD BD R++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.应选：C.【点睛】此题考察三视图复原几何体的直观图、组合体体积计算，考察空间想象才能和运算求解才能. 6.明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？〞以下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行以下图的程序框图，那么输出的n =() A.25 B.45C.60D.75【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =，此时，100S=终止循环.应选：D.【点睛】此题考察程序框图语言和数学文化的交会，考察阅读理解才能，求解时注意将问题转化为解方程问题.a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，那么a α⊥的一个充分条件是〔〕A.//a β且αβ⊥B.a β⊂且αβ⊥C.a b ⊥且//b αD.a β⊥且//αβ【答案】D 【解析】考点：平面的根本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：计算题．分析：假设a⊥β且α∥β，那么有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β〞是“a⊥α〞成立的充分不必要条件．解答：解：假设a⊥β且α∥β，那么有a⊥α， 反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β〞是“a⊥α〞成立的充分不必要条件， 应选D ．点评：此题考察平面的根本性质和推论，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．x ，y ，z 满足23log log 2z xy，那么x ，y ，z 的大小关系是()A.x <y <z B.x <z <y C.z <x <yD.z <y <x【答案】C 【解析】 【分析】 令23log log 2(0)z xyk k ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案. 【详解】令23log log 2(0)zx yk k，那么2,3k k x y ==，因为0k >，由2,3x x y y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2x y =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)zxk k，所以zx ，综上所述：z x y <<.应选：C.【点睛】此题考察利用函数的图象研究数的大小，考察数形结合思想、转化与化归思想，考察运算求解才能，求解时注意借助函数的图象进展研究.(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，假设ABC∆的面积为2，那么k 的值是() A.3或者13B.0C.13D.3【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，那么11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，那么(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立，解得：231,11k k x y k k +=-=++，那么231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x，且||AB =点C 到直线AB的间隔231|3|k k d +--+所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=. 应选：B.【点睛】此题考察点关于直线对称、点到直线间隔、三角形面积公式，考察数形结合思想的运用，考察运算求解才能.k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．假设||3||AB CD =，那么k 的值是()B. C.4D.8【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值.【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ， 整理得：222(2)04p y p pk y -++=，那么2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42pxy py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以2226p pk p k +=⇒=应选：A.【点睛】此题考察直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考察转化与化归思想的应用，考察运算求解才能，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，那么A 的值是()A.3B.2【答案】C【分析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，那么(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==， 所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以3sin(2)32A A π⋅=⇒=应选：C.【点睛】此题考察平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考察数形结合思想，考察运算求解才能，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便.①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点； ③当0a=时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．) A.②③ B.①④ C.①② D.③④【答案】D 【解析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项. 【详解】因为'1(n )si x f x x x a =++， 对③，当0a=时，'1(n )si x f xx =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ；对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x=+，因为0a <，所以函数1y ax x=+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A. 应选：D【点睛】此题查利用导数研究函数的性质，考察数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进展求解，可使问题的求解更高效.第II 卷本卷须知：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答题．在试题卷上答题，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两局部．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．(1,2)=-a ，(,1)b m m =-，假设//a b ，那么a b ⋅=_______．【答案】5-【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积. 【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-a，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-.故答案为：5-.【点睛】此题考察向量平行与数量积的坐标运算，考察根本概念的理解，属于根底题.R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩那么()()1115f f +=_______．【答案】12【解析】 【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-，所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=.故答案为：12.【点睛】此题考察奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考察函数与方程思想和运算求解才能，求解时注意(0)0f =的运用.sin()2cos )4αααπ+=+，那么sin 2α=_______． 【答案】35 【解析】【分析】由两角和的正弦展开并对等式进展化简得tan α的值，再根据同角三角函数的根本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值.【详解】因为sin()2cos )4αααπ+=+，αααα+，整理得：tan 3α=-，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35【点睛】此题考察两角和正弦公式、同角三角函数根本关系、倍角公式，考察三角恒等变形才能和运算求解才能.1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的间隔之差为2．设11C D 的中点为E ，那么PE 的最小值为_______．【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的间隔之差为2，那么点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，那么03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，那么222216PE PM ME PM =+=+， 当PM 最小时，那么PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，那么22224(4)8173PMx y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减， 所以当3y =时，2min ()1224175PM=-+=，所以PE .【点睛】此题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进展知识交会，考察间隔的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进展求解，考察函数与方程思想、数形结合思想，考察运算求解才能.三、解答题：本大题一一共6小题，总分值是70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． {}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕12na n =；〔2〕21n n + 【解析】【分析】 〔1〕利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； 〔2〕将通项进展改写，再利用裂项相消法进展求和.【详解】〔1〕由2112122(2)n n n n n n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =〔2102a =-<舍去〕， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n =． 〔2〕由〔1〕及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】此题考察等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考察数列中的根本量法，考察运算求解才能.18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC ，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．〔1〕证明：//MN 平面AED ；〔2〕假设2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕3π 【解析】【分析】〔1〕取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的断定定理证明线面平行；〔2〕以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得那么(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，2=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】〔1〕证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点， 所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点， 所以1//,2AM CD AM CD = 所以//,AM FN AM FN =，所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ， 所以//MN 平面AED ．〔2〕因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =，AB BC ⊥ 所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，那么(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，1,0)E -，因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200y y z =⎧⎪--=， 故可取2=n ，那么1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π． 【点睛】此题考察线面平行断定定理的运用、向量法求二面角的大小，考察空间想象才能和运算求解才能，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19.ABC∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c = 〔1〕求A ； 〔2〕假设ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【答案】〔1〕4A π=；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由正弦定理，将式子cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值； 〔2〕由〔1〕知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围. 【详解】〔1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()BA C A C=π-+=+，cos cos sin )sin cosA C A C C A C +-=， sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<， 所以4A π=. 〔2〕由〔1〕知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.【点睛】此题考察正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考察数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？假设有，试求出最大值；假设没有，说明理由．【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕916π 【解析】【分析】〔1〕由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a=，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；〔2〕将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】〔1〕离心率为12c e a ==，∴2a c =，2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的HY 方程为22143x y +=． 〔2〕设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-==，设1t ≥，那么2212121313ABF t S t t t ∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增，所以当1t=，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】此题考察椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考察转化与化归思想、函数与方程思想，考察逻辑推理才能和运算求解才能，求解时注意换元法的灵敏运用.21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．〔1〕假设0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；〔2〕假设2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】〔1〕2a =-；〔2〕【解析】【分析】〔1〕对函数进展求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；〔2〕当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，那么(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x +=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】〔1〕当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=， 解得1a =-或者2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.〔2〕当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=， 设21ax t x e +=，那么ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t tt =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=， 此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x ax+=-. 设12ln ()x h x x +=-，那么22ln 1()x h x x -'=，故()h x 的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x 的最小值为h =故a 的最小值为-【点睛】此题考察导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能和运算求解才能，求解时注意对问题进展屡次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，假设多做，那么按所做的第一题记分．做答时请写清题号． xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点. 〔1〕求点P 轨迹的极坐标方程；〔2〕假设||||AB OP ⋅α的值.【答案】(1)sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2)12πα=或者512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：〔1〕圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得： 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+， 所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈． 〔2〕由〔1〕得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或者526πα=， 即12πα=或者512πα= 解法二：〔1〕因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆〔在C 的内部〕， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．〔2〕由〔1〕得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈， 那么21sin 2t α-=，所以t =224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t=〔212t =-舍去〕， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或者526πα=， 即12πα=或者512πα=． 【点睛】此题主要考察了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型. 23.11212x x m 在R 上恒成立. 〔1〕求m 的最大值M ；〔2〕假设,a b 均为正数，且11aM b ,求2a b -的取值范围.【答案】(1)2(2)(,)-∞-⋃+∞．【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用根本不等式求解即可.【详解】解：〔1〕构造()|1||21|f x x x=++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤， ∴m 的最大值2M =．〔2〕由〔1〕得2M =，故121a b ．0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或者01b <<． 故112222(1)11a b b b b b ．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221a b b b ， 当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=〞；当32b >时，112b ->， 1122(1)22(1)2211a b b b b b ， 当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=〞．所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】此题主要考察了绝对值函数的求解以及根本不等式的用法,属于中等题型.。
高三数学第一次教学质量检查考试试题理含解析试题
2021届高三第一次教学质量检查考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题〕2，3，，集合，集合，那么〔〕A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】由补集的定义求得得，进而由交集的定义可得结果．【详解】因为全集，集合，那么，又因为集合，所以；应选B．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.，其中i是虚数单位，那么复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法那么：分子、分母同乘以分母的一共轭复数，化简复数，从而得答案．【详解】,,那么在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．应选A．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，是根底题．复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色局部的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色局部的有484个点，据此可估计黑色局部的面积为A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色局部的有484个点，那么其中落入黑色局部的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，应选B．【点睛】此题主要考察几何概型概率公式以及模拟实验的根本应用，属于简单题，求不规那么图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与面积之间的方程求解.，一个焦点，那么该双曲线的虚轴长为A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】根据焦点可得，结合渐近线方程中的关系；联立可得、的值，从而可得答案．【详解】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点，所以，，联立、可得：，，，该双曲线的虚轴长2，应选C．【点睛】此题考察双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进展分析，既使不画出图形，考虑时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的根本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联络.，，，那么a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的范围和指数函数性质，估算出的范围，从而可判断大小.【详解】解：，，，，．应选：D．【点睛】此题主要考察了对数函数与指数函数性质的应用，属于中档题．，，且，那么m等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分别求出关于的表达式，解方程即可得结果.【详解】由题意，可知：，．，．，，解得：．应选B．【点睛】此题主要考察向量线性运算的坐标表示以及向量的模计算，意在考察对根底知识的掌握与应用，属根底题．的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解．【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，再把所得图象向左平移个单位，得到，应选：A．【点睛】此题主要考察了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题．8.某电商为某次活动设计了“和谐〞、“爱国〞、“敬业〞三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，假设集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖那么他获得奖次的不同情形种数为A. 9B. 12C. 18D. 24 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，假设员工甲直到第4次才获奖，那么其第4次才集全“和谐〞、“爱国〞、“敬业〞三种红包，那么甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有种情况，那么他获得奖次的不同情形种数为种；应选：C．【点睛】此题主要考察了排列、组合的实际应用，注意“直到第4次才获奖〞的含义．还考察了分类思想，属于中档题.9.，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，当时，〔b为常数〕，那么A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质可得：，对赋值为0即可求得，再对赋值为1即可求得，再对赋值为即可解决问题。