回归分析 (3)
统计学中的回归分析
统计学中的回归分析在统计学中，回归分析是一种重要的数据分析方法。
它用于探索自变量与因变量之间的关系，帮助我们理解变量之间的相互作用以及预测未来的趋势。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理和应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
自变量是我们在问题中感兴趣的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
回归分析可以帮助我们确定自变量如何影响因变量，并找到最佳的拟合曲线或平面来描述这种关系。
回归分析的基本假设是，自变量与因变量之间存在线性关系，并且观测误差服从正态分布。
基于这个假设，我们可以使用最小二乘法来拟合回归模型，使得观测值与预测值之间的残差平方和最小化。
二、回归分析的原理1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的回归分析方法，用于研究只包含一个自变量和一个因变量的情况。
我们可以通过绘制散点图来观察两个变量之间的关系，并使用最小二乘法拟合一条直线来描述这种关系。
2. 多元线性回归多元线性回归适用于包含多个自变量和一个因变量的情况。
通过拟合一个多元线性模型，我们可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，并研究它们之间的相互作用。
3. 非线性回归非线性回归用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
在这种情况下，我们可以根据问题的特点选择适当的非线性回归模型，并使用最小二乘法进行参数估计。
三、回归分析的应用回归分析在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 经济学中的回归分析经济学家常常使用回归分析来研究经济现象。
例如，他们可以通过回归分析来研究GDP与各种经济指标之间的关系，以及利率、通胀率等因素对经济增长的影响。
2. 医学研究中的回归分析医学研究中的回归分析可以用于探索治疗方法与患者恢复速度之间的关系。
通过收集患者的相关数据，如年龄、性别、治疗时间等，可以建立多元线性回归模型来预测患者的康复时间。
3. 市场营销中的回归分析市场营销人员可以利用回归分析来确定产品价格与销量之间的关系。
回归分析数据
回归分析数据回归分析是一种经济学和统计学中常用的方法，用于研究两个或更多变量之间的关系。
这种分析方法广泛应用于各个领域，包括市场研究、金融分析、经济预测等。
在此文档中，我们将介绍回归分析数据以及如何使用它们进行分析和解释。
回归分析的基本概念是研究一个或多个自变量对某个因变量的影响。
自变量是独立变量，而因变量则是依赖于自变量的变量。
通过分析自变量与因变量之间的关系，我们可以得出它们之间的数学模型，用于预测或解释因变量。
在进行回归分析之前，我们首先需要收集回归分析数据。
这些数据包括自变量和因变量的观测值。
通常，我们会收集一组样本数据，其中包含自变量和对应的因变量的数值。
这些数据可以是经过实验或观测得到的，也可以是从其他来源获取的。
一旦我们收集到回归分析数据，接下来就可以使用统计软件或编程语言进行数据分析。
常见的回归分析方法包括简单线性回归、多元线性回归和非线性回归。
在简单线性回归中，我们将自变量和因变量之间的关系建模为一条直线。
在多元线性回归中，我们可以考虑多个自变量对因变量的影响。
非线性回归则允许我们考虑更复杂的关系模型。
回归分析的结果通常包括回归方程、参数估计和统计显著性检验。
回归方程描述了自变量和因变量之间的数学关系。
参数估计给出了回归方程中的系数估计值，用于解释自变量与因变量之间的关系。
统计显著性检验则用于判断回归方程的有效性和模型的拟合度。
当我们得到回归分析的结果后，我们可以进行解释和预测。
通过解释回归方程中的系数估计值，我们可以了解自变量与因变量之间的关系强度和方向。
通过预测模型，我们可以根据自变量的数值预测因变量的数值。
回归分析数据在许多实际应用中具有重要的价值。
在市场研究中，回归分析数据可以帮助我们理解产品价格与销售量之间的关系。
在金融分析中，回归分析数据可以用于预测股票价格或汇率变动。
在经济预测中，回归分析数据可以用于预测GDP增长率或失业率。
总而言之，回归分析数据是一种强大的工具，用于研究自变量与因变量之间的关系。
回归分析
回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。
变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。
确定性关系就是指存在某种函数关系。
然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。
例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。
这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。
回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。
在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。
2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。
针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。
⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。
应用回归分析,第3章课后习题参考答案
第3章 多元线性回归思考与练习参考答案3.2 讨论样本容量n 与自变量个数p 的关系，它们对模型的参数估计有何影响？答：在多元线性回归模型中，样本容量n 与自变量个数p 的关系是：n>>p 。
如果n<=p 对模型的参数估计会带来很严重的影响。
因为： 1. 在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。
2. 解释变量X 是确定性变量，要求()1rank p n =+<X ，表明设计矩阵X 中的自变量列之间不相关，即矩阵X 是一个满秩矩阵。
若()1rank p <+X ，则解释变量之间线性相关，1()X X -'是奇异阵，则β的估计不稳定。
3.3证明随机误差项ε的方差σ2的无偏估计。
证明:22122222111112221111ˆ(),111()()(1)(1)()(1)1ˆ()()1n i i n n nnnii ii iiii i i i i i ni i SSE e e e n p n p n p E e D e h h n h n p E E e n p σσσσσσσ======='===------∴==-=-=-=--∴==--∑∑∑∑∑∑∑3.4 一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R 2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？ 答：不能断定这个回归方程理想。
因为：1. 在样本容量较少，变量个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F 检验或者关于回归系数的t 检验，所建立的回归方()1ˆ2--=p n SSE σ程都没能通过。
2. 样本决定系数和复相关系数接近于1只能说明Y 与自变量X1,X2,…,Xp 整体上的线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量是显著的，还需进行F 检验和t 检验。
3. 在应用过程中发现，在样本容量一定的情况下，如果在模型中增加解释变量必定使得自由度减少，使得 R 2往往增大，因此增加解释变量（尤其是不显著的解释变量）个数引起的R 2的增大与拟合好坏无关。
应用回归分析-第3章课后习题参考答案
应用回归分析-第3章课后习题参考答案一般来说，R2越接近1，即R2取值越大，说明回归拟合的效果越好。
但由于R2的大小与样本容量n和自变量个数p有关，当n与p的值接近时，R2容易接近1，说明R2中隐含着一些虚假成分。
而当样本容量n较小，自变量个数p较大时，尽管R2很大，但参数估计效果很不稳定。
所以该题中不能仅仅因为R2很大而断定回归方程很理想。
3.5 如何正确理解回归方程显著性检验拒绝H0，接受H0？答：一般来说，当接受假设H0时，认为在给定的显著性水平α之下，自变量x1,x2,…,x p对因变量y无显著性影响，则通过x1,x2,…,x p 去推断y就无多大意义。
此时，一方面可能该问题本应该用非线性模型描述，我们误用线性模型描述了，使得自变量对因变量无显著影响；另一方面可能是在考虑自变量时，由于认识上的局限性把一些影响因变量y的自变量漏掉了，这就从两个方面提醒我们去重新考虑建模问题。
当拒绝H0时，也不能过于相信该检验，认为该模型已经很完美。
其实当拒绝H时，我们只能认为该回归模型在一定程度上说明了自变量x1,x2,…,x p与因变量y的线性关系。
因为这时仍不能排除我们漏掉了一些重要自变量。
此检验只能用于辅助性的，事后验证性的目的。
（详细内容可参考课本P95～P96评注。
）3.6 数据中心化和标准化在回归分析中的意义是什么？答：原始数据由于自变量的单位往往不同，会给分析带来一定的困难；又由于设计的数据量较大，可能会以为舍入误差而使得计算结果并不理想。
中心化和标准化回归系数有利于消除由于量纲不同、数量级不同带来的影响，避免不必要的误差。
3.7 验证ˆˆ,1,2,,jj j j yy L j p L β*==证明：多元线性回归方程模型的一般形式为：01122p p y x x x ββββε=+++++其经验回归方程式为01122ˆˆˆˆˆp p y x x x ββββ=++++， 又01122ˆˆˆˆp py x x x ββββ=----， 故111222ˆˆˆˆ()()()p p py y x x x x x x βββ=+-+-++-， 中心化后，则有111222ˆˆˆˆ()()()i p p py y x x x x x x βββ-=-+-++-， 21()n yy i i L y y ==-∑ 令21(),1,2,,n jj ij j i L x x i n ==-=∑，1,2,,j p =11221122121122()ˆˆˆpp ip i i i p yy yy yy pp yyL x x L L y x x L L L L L L L βββ-=++ 样本数据标准化的公式为1,2,,i ij i jj yy x x y x y i n L L **-===，1,2,,j p =则上式可以记为112211221122ˆˆˆˆˆˆpp i i i p ip yy yy yy i i p ipL L L y x x x L L L x x x ββββββ**********=+++=⨯+⨯++⨯则有ˆˆ,1,2,,jj j j yy L j p L ββ*==3.8 验证3.9 验证决定系数R 2与F 值之间的关系式：p p n F FR /)1(2--+=3.10 验证决定系数R 2与F 值之间的关系式：pp n F F R /)1(2--+= 证明：2/,/(1)111(1)/1SSR p F SSE n p F SSE SSR p n p F SSE p SSR SSR F p F n p R F SSE SST SSR SSE F p n p F n p p p SSE n p =--⋅∴=⨯--⋅⨯⨯--∴=====⋅+⨯+--+--⨯+--。
3.1_回归分析(三)
xi2 1660, yi2 327, xi yi 620,
i 1 i 1 i 1
ˆ b
x y 5x y
i 1 5
x
i 1
2 i
5x
2
620 5 18 7.4 1.15. 2 1660 5 18
ˆ a 7.4 1.15 18 28.1.
残差图的制作及作用 几点说明： 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 轴为心的带形区域； 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 3、对于远离横轴的点，要特别注意。
x
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
郑平正 制作
最好的模型是哪个?
400 300
400 300 200 100 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
产卵数
产卵数
200 100 0 -100
450 400 350 300 250
产卵数
-40
-30
-20
-10 0 -100 -200
2013-6-13
郑平正 制作
复习回顾
1、线性回归模型： y=bx+a+e， (3)
y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)=
3回归分析原理
第三章 回归分析原理3·1、一元线性回归数学模型按理说，在研究某一经济现象时，应该尽量考虑到与其有关各种有影响的因素或变量。
但作为理论的科学研究来说，创造性地简化是其的基本要求，从西方经济学的基本理论中，我们可以看到在一般的理论分析中，至多只包含二、三个 变量的数量关系的分析或模型。
这里所讨论的一元线性回归数学模型，是数学模型的最简单形式。
当然要注意的是，这里模型讨论是在真正回归意义上来进行的，也可称之为概率意义上的线性模型。
在非确定性意义上，或概率意义上讨论问题，首先要注意一个最基本的概念或思路问题，这就是总体和样本的概念。
我们的信念是任何事物在总体上总是存在客观规律的，虽然我们无论如何也不可能观察或得到总体，严格说来，总体是无限的。
而另一方面，我们只可能观察或得到的是样本，显然样本肯定是总体的一部分，但又是有限的。
实际上概率论和数理统计的基本思想和目的，就是希望通过样本所反映出来的信息来揭示总体的规律性，这种想法或思路显然存在重大的问题。
但另一方面，我们也必须承认，为了寻找总体的规律或客观规律，只能通过样本来进行，因为我们只可能得到样本。
在前面我们已经知道，用回归的方法和思路处理非确定性问题或散点图，实际上存在一些问题，亦即只有在某些情况下，回归的方法才是有效的。
因此，在建立真正回归意义上建立其有效方法时，必须作出相应的假设条件。
基本假设条件：（1）假设概率函数)|(i i X Y P 或随机变量i Y 的分布对于所有i X 值，具有相同的方差2σ ，且2σ 是一个常数，亦即)(i Y Var =)(i Var μ=2σ。
（2）假设i Y 的期望值)(i Y E 位于同一条直线上，即其回归直线为 )(i Y E =i X βα+ 等价于 0)(=i E μ这个假设是最核心的假设，它实际上表明)(i Y E 与i X 之间是确定性的关系。
（3）假设随机变量i Y 是完全独立的，亦即。
回归分析(3)多元逐步回归
r(l) 2m
r(l) 1y
r(l) 2y
R(l)
rm( l1)
r(l) m2
r(l) mm
r(l) my
ry(1l )
r(l) y2
r(l) ym
r(l) yy
1．首先对已引入方程变量 xi (i k 1,2,, l) 计 算方差贡献 Vi(l1) ，即 l 1 步的Vi
计算有更好的效果，可把正规方程组式（2.10）
，改为
r11b1 r12b2 r1mbm r1 y
r21b1 r22b2 r2mbm r2 y
rm1b1 rm2b2 rmm bm rmy
（2.18）
有变量被剔除，转入是否可以引入新变量的讨论。
§ 2.6 逐步回归的计算步骤
前面已经讲过，“引入”或“剔除”变量的依
据是
xi
y
根据自变量 对因变量 的方差贡献的大小决定
。当开始进行逐步回归时，第一步、第二步只考
虑“引入”。至于以后各步，则应首先考虑能否 剔
除，如果已断定不能剔除时，再考虑“引入”。 当
系：
bi bi Syy / Sii (i 1,2,, m)
方程组式（2.18）中左端的系数项定为矩阵 R(0) ， 即零步矩阵。在计算技巧上为了方便，把R(0) 扩充
为
r11 r12 r1m r1 y
r21
r22 r2m
r2
y
R(0)
（2） 求 n
l j
( xij x j )2
回归分析03：回归参数的估计（1）
回归分析03：回归参数的估计（1）⽬录Chapter 3：回归参数的估计(1)3.1 最⼩⼆乘估计⽤y表⽰因变量，x_1,x_2,\cdots,x_p表⽰对y有影响的p个⾃变量。
总体回归模型：假设y和x_1,x_2,\cdots,x_p之间满⾜如下线性关系式y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_px_p+e \ ,其中e是随机误差，将\beta_0称为回归常数，将\beta_1,\beta_1,\cdots,\beta_p称为回归系数。
总体回归函数：定量地刻画因变量的条件均值与⾃变量之间的相依关系，即{\rm E}(y|x)=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_px_p \ ,回归分析的⾸要⽬标就是估计回归函数。
假定已有因变量y和⾃变量x_1,x_2,\cdots,x_p的n组观测样本\left(x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{ip}\right),\,i=1,2,\cdots,n。
样本回归模型：样本观测值满⾜如下线性⽅程组y_i=\beta_0+\beta_1x_{i1}+\beta_2x_{i2}+\cdots+\beta_px_{ip}+e_i \ , \quad i=1,2,\cdots,n \ .Gauss-Markov 假设：随机误差项e_i,\,i=1,2,\cdots,n满⾜如下假设：1. 零均值：{\rm E}(e_i)=0；2. 同⽅差：{\rm Var}(e_i)=\sigma^2；3. 不相关：{\rm Cov}(e_i,e_j)=0 \ , \ \ i\neq j。
如果将样本回归模型中的线性⽅程组，⽤矩阵形式表⽰为Y\xlongequal{def}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1p} \\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \\ 1 & x_{n1} & \cdots & x_{np} \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_p \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \end{array}\right)\xlongequal{def}X\beta+e \ ,其中X称为设计矩阵。
数据分析线性回归报告(3篇)
第1篇一、引言线性回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，主要用于研究两个或多个变量之间的线性关系。
本文以某城市房价数据为例，通过线性回归模型对房价的影响因素进行分析，以期为房地产市场的决策提供数据支持。
二、数据来源与处理1. 数据来源本文所采用的数据来源于某城市房地产交易中心，包括该城市2010年至2020年的房价、建筑面积、交通便利度、配套设施、环境质量等指标。
2. 数据处理（1）数据清洗：对原始数据进行清洗，去除缺失值、异常值等。
（2）数据转换：对部分指标进行转换，如交通便利度、配套设施、环境质量等指标采用五分制评分。
（3）变量选择：根据研究目的，选取建筑面积、交通便利度、配套设施、环境质量等指标作为自变量，房价作为因变量。
三、线性回归模型构建1. 模型假设（1）因变量与自变量之间存在线性关系；（2）自变量之间不存在多重共线性；（3）误差项服从正态分布。
2. 模型建立（1）选择合适的线性回归模型：根据研究目的和数据特点，采用多元线性回归模型。
（2）计算回归系数：使用最小二乘法计算回归系数。
（3）检验模型：对模型进行显著性检验、方差分析等。
四、结果分析1. 模型检验（1）显著性检验：F检验结果为0.000，P值小于0.05，说明模型整体显著。
（2）回归系数检验：t检验结果显示，所有自变量的回归系数均显著，符合模型假设。
2. 模型结果（1）回归系数：建筑面积、交通便利度、配套设施、环境质量的回归系数分别为0.345、0.456、0.678、0.523，说明这些因素对房价有显著的正向影响。
（2）R²：模型的R²为0.876，说明模型可以解释约87.6%的房价变异。
3. 影响因素分析（1）建筑面积：建筑面积对房价的影响最大，说明在房价构成中，建筑面积所占的比重较大。
（2）交通便利度：交通便利度对房价的影响较大，说明在购房时，消费者对交通便利性的需求较高。
（3）配套设施：配套设施对房价的影响较大，说明在购房时，消费者对生活配套设施的需求较高。
第三章回归分析预测方法
1984
539
7136
1992
769
8683
1985
577
7658
1993
801
9317
1986
613
7784
1994
855
9675
1987
644
8108
2019
842
8542
1988
670
7583
2019
860
8584
1989
695
8002
2019
890
9612
1990
713
8442
2019
920
x
相关但无
线性关系
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
2、回归分析与相关分析
研究和测度两个或两个以上变量之间关系的方 法有回归分析和相关分析。
相关分析。研究两个或两个以上随机变量之 间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系 数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析。研究某一随机变量（因变量）与 其他一个或几个普通变量（自变量）之间的 数量变动的关系。
回本章目录
一、一元线性回归模型
一元线性回归（Linear regression），只研究一个 自变量与一个因变量之间的统计关系。
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表
示为： yb0b1xe
其中，b0和b1称为模型的参数；e是随机误差项，
又称随机干扰项，有 e N0,2
在线性回归模型中加入随机误差项是基于 以下原因：
第一节 引言
本章学习目的与要求：
通过本章的学习，了解回归分析预测法 的概念，掌握回归分析中各系数的计算方法 及回归预测方法，能够运用Excel工具来进行 预测。
3回归分析
20 15 10 5 0
7 6 5 4 y = -0.2343x + 7.5095 2 R = 0.5313
1961
1962 1963 1964
3.2
-1.1 2.5 1.2
24
30 22
气温T303 源自 1 0 -1 -2 14 16 18 20 22 24 26 28 环流指标 30 32 34 36
2 i 1 n i 1
n
n
2
b 2 xi x
i 1
2
b2 c
对回归方程的检验与对回归系数的检验一致.
六、预报值的置信区间
因为 yi可以看成遵从 N ( 0 xi ; 2 ) 的正态分布，
所以其95%的置信区间为 E ( y i ) 1.96
ˆ E ( yi )可用b0 bxi yi 估计
i 1 n
反映观测值偏离回归直线的程度.
三、相关系数与线性回归
因为回归方差不可能大于预报量的方差，可以用它们的比 值来衡量方程的拟合效果。即：
1 n 2 ˆ 2 yi y U s y n i 1 ˆ 2 n rxy 2 2 sy 1 s yy yi y n i 1
1 n 1 n 1 n ˆ ˆ ( yi y ) 2 ( yi y ) 2 ( yi y ) 2 （4） n i 1 n i 1 n i 1
即：
s y s y se ˆ
2 2
2
• 方差分析表明，预报量y的变化可以看成由 前期因子x的变化所引起的，同时加上随机 因素e变化的影响，这种前期因子x的变化影 响可以用回归方差的大小来衡量。如果回 归方差大，表明用线性关系解释y与x的关系 比较符合实际情况，回归模型比较好。
应用回归分析(第三版)何晓群_刘文卿_课后习题答案_完整版
第二章 一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1 一元线性回归有哪些基本假定?答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n误差εi （i=1,2, …,n）仍满足基本假定。
求β1的最小二乘估计 解：21112)ˆ()ˆ(ini i ni i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=得：2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
证明：∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ其中：即： ∑e i =0 ，∑e i X i =02.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。
答：由于εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函数：)()(ˆ1211∑∑===ni ini ii XY X β01ˆˆˆˆi ii i iY X e Y Y ββ=+=-0100ˆˆQQββ∂∂==∂∂使得Ln （L ）最大的0ˆβ，1ˆβ就是β0，β1的最大似然估计值。
同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小，∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。
应用回归分析(第三版)何晓群_刘文卿_课后习题答案_完整版
第二章 一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1 一元线性回归有哪些基本假定?答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n误差εi （i=1,2, …,n）仍满足基本假定。
求β1的最小二乘估计 解：21112)ˆ()ˆ(ini i ni i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=得：2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
证明：∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ其中：即： ∑e i =0 ，∑e i X i =02.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。
答：由于εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函数：)()(ˆ1211∑∑===ni ini ii XY X β01ˆˆˆˆi ii i iY X e Y Y ββ=+=-0100ˆˆQQββ∂∂==∂∂使得Ln （L ）最大的0ˆβ，1ˆβ就是β0，β1的最大似然估计值。
同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小，∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。
如何进行回归分析：步骤详解(Ⅲ)
回归分析是一种统计学方法，用于查找变量之间的关系。
它可以帮助我们预测一个变量如何受其他变量的影响，或者帮助我们理解变量之间的相互作用。
在实际应用中，回归分析被广泛用于经济学、社会学、医学和其他领域。
在本文中，我将详细介绍如何进行回归分析的步骤。
1. 收集数据在进行回归分析之前，首先需要收集相关的数据。
这些数据可以是实验数据、调查数据或者观察数据。
确保数据的质量和完整性对于得出准确的回归分析结果至关重要。
同时，也要确保所收集的数据覆盖了所有需要考虑的变量。
2. 确定变量在进行回归分析之前，需要明确独立变量（自变量）和因变量（因变量）。
独立变量是我们用来预测因变量的变量，而因变量则是我们想要预测或解释的变量。
在确定变量的时候，要考虑到理论上的因果关系以及实际的可操作性。
3. 拟合模型选择合适的回归模型是进行回归分析的关键一步。
常用的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
根据数据的性质和研究问题的需求，选择最合适的回归模型对于得出准确的分析结果至关重要。
4. 进行回归分析一旦确定了回归模型，就可以进行回归分析了。
这包括使用统计软件进行参数估计、假设检验和模型拟合度检验等步骤。
在进行回归分析时，要注意检查模型的假设是否符合实际情况，如线性性、残差的正态性和独立性等。
5. 解释结果进行回归分析后，需要对结果进行解释。
这包括理解模型参数的含义和统计显著性、解释模型的拟合度以及预测因变量的变异程度等。
在解释结果的过程中，要注意避免过度解释或武断解释，应该根据实际情况进行客观分析。
6. 检验模型最后，需要对建立的回归模型进行检验。
这包括对模型的预测效果进行验证，如使用交叉验证、留一验证等方法进行模型预测效果的检验。
同时，也需要对模型的稳健性进行检验，如对异常值、多重共线性等问题进行处理。
总结回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系，预测变量的值以及验证理论模型。
在进行回归分析时，需要严格按照上述步骤进行，确保分析结果的科学性和可靠性。
回归分析(3)多元逐步回归
此时该方程的总离差平方和可表示为
S总 S回 S剩 U ( x1, x2 ,, xl ) Q( x1, x2 ,, xl ) （2.16）
现在已有的 l 个自变量中剔除一个自变量，不妨 剔除xi , i 1,2,, l ，于是可得剔除自变量 xi 后的 回归方程，记为
yˆ b0 b1 x1 bi1 xi1 bi1 xi1 blxl （2.17）
（2.14）
§2.5.2 引入自变量的依据
现在在已有的 l个自变量所组成的回归方程中再 引入一个自变量，不妨记为 xi (i l 1, l 2,, m)，于 是引入了一个自变量 xi 的回归方程可表示为
S总 U ( x1, x2 ,, xl , xi ) Q( x1, x2 ,, xl xi ) （2.15） 现在用式（2.15）减去式（2.14），并注意到 式（2.14）与式（2.15）总离差平方和不变， 可得
计量
F2i
Vi ( x1 , x2 ,, xl ) / 1 Q( x1,, xl ) /(n l 1)
~
F (1, n l 1)
i 1,2,, l
来检验方程中哪个自变量 可被考虑剔除出方程。
F
对于给定的水平 ，查 分布表得临界
值F (1, n l 1) F出 。 如果F2i F出 ，则 xi 应从方程中剔除； 如果 F2i F出 ，则 xi 不应从方程中剔除。 同样需要说明的是，实际问题可能有多个
U( x1, x2 ,, xl , xi ) U( x1, x2 ,, xl ) Q( x1, x2 ,, xl ) Q( x1, x2 ,, xl , xi )
令
Vi ( x1 , x2 ,, xl ) U ( x1 , x2 ,, xl , xi ) U ( x1 , x2 ,, xl )
回归分析报告(regressionanalysis)
回归分析报告(regressionanalysis)回归分析报告（Regression Analysis）1. 引言回归分析是一种统计方法，用于探究两个或多个变量之间的关系。
在这份回归分析报告中，我们将对一组数据进行回归分析，以了解自变量与因变量之间的关系，并使用得出的模型进行预测。
2. 数据收集与变量定义我们收集了包括自变量和因变量的数据，以下是对这些变量的定义：- 自变量(X)：在回归分析中，自变量是被视为预测因变量的变量。
在本次分析中，我们选择了自变量A、B、C。
- 因变量(Y)：在回归分析中，因变量是被预测的变量。
在本次分析中，我们选择了因变量Y。
3. 描述性统计分析在进行回归分析之前，我们首先对数据进行了描述性统计分析。
以下是我们得出的结论：- 自变量A的平均值为X1，标准差为Y1。
- 自变量B的平均值为X2，标准差为Y2。
- 自变量C的平均值为X3，标准差为Y3。
- 因变量Y的平均值为X4，标准差为Y4。
4. 回归分析结果通过对数据进行回归分析，我们得到了如下的回归公式：Y = β0 + β1A + β2B + β3C在该公式中，β0表示截距，β1、β2和β3分别表示A、B和C的回归系数。
5. 回归系数和显著性检验我们对回归方程进行了显著性检验，以下是我们得出的结论：- β0的估计值为X5，在显著性水平α下，与零的差异是显著的/不显著的。
- β1的估计值为X6，在显著性水平α下，与零的差异是显著的/不显著的。
- β2的估计值为X7，在显著性水平α下，与零的差异是显著的/不显著的。
- β3的估计值为X8，在显著性水平α下，与零的差异是显著的/不显著的。
6. 回归方程拟合程度为了评估回归方程的拟合程度，我们计算了R²值。
以下是我们得出的结论：- R²值为X9，表示回归方程可以解释Y变量的百分之X9的变异程度。
- 残差标准误差为X10，表示回归方程中预测的误差平均为X10。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
编号 x y 1 2 8.42 2 3 8.20 3 4 9.58 4 5 9.50 5 6 9.70 6 7 10.00 7 8 9.93 8 9 9.99
表（4.3.1）
编号 x y 9 10 10.49 10 11 10.59 11 12 10.60 12 13 10.80 13 14 10.60 14 15 10.90 15 16 10.76
因此，对这类问题更有效的解决方案用该 是，先画出散点图，再观察散点图的形状，如 果近似一条直线，用线性模型合适，如果不像 一条直线，就应该用非线性回归，这时，常常 与已知的曲线作比较 ，选择一条合适的曲线作 为模型。这样做用线性模型更精确。 下面是常见的非线性回归模型 1 双曲线模型
1 1 2 , ~ N ( 0 , ) y x
15
b
i 1
( t i - t ) ( i - )
i 1
15
( t i -t )
15
2
0.02709 0.1312 0.2065
a b t 0.1031 0.1312 0.1587 0.0823
所以得回归方程 ˆ 0.0823 0.1312 t 即
b
6 指数曲线回归模型 bx 2 y e , ~ N ( 0 , ) 令 t e
bx
则上模型就转化成多元线性回归模型
y t , ~ N ( 0 , 2 )
例4.3.1 出钢时所用的盛钢水的钢包，由 于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大。在 生产过程中统计了钢包使用次数x与钢包的容积 y之间的15组数据，如表（4.3.1）所示式确定x 与y之间的关系。
2
S曲线模型 1 2 , ~ N ( 0 , ) y x e t e x , 1 令 y 则上模型就转化成一元线性回归模型 y t , ~ N ( 0 , 2 ) 3 多项式回归模型 2 m 2 y 1 x 1 2 x 2 m x m , ~ N ( 0 , ) 4
第四章
回归分析
§4.3 非线性回归线性化
在线性回归分析中，解题的步骤是：先假 设问题是线性模型，然后求参数估计，得到回 归方程，对回归模型进行检验，最后做预测或 控制。 但是，在许多实际问题中，随机变量y与 自变量 x 1 , x 2 x m 并不具有线性相关性。
如果这时假设问题是线性模型，那么，在 对线性模型的假设检验时，将得到否定的结论。
1 1 0.0823 0.1312 ˆ y x
最后得所求回归方程
x ˆ y 0.0823 x 0.1312
令
1 1 t , x y
则上模型就转化成一元线性回归模型
t , ~ N ( 0 , )
2
由表（4.3.1）中的数据可算得
t 0.1587
i 1
0.1031
i 1
(t - t ) 0.2065
15
2
( t i - t )( i - ) 0.02709
Hale Waihona Puke 解：先画出散点图 4.3.1，可看出，数据点 大致落在一条双曲线附 近。这个事实告诉我 们，变量x与y之间的关 系大致可看成是双曲线 | 关系。 选用双曲线模型
y
|
| | |
x
图4.3.1
1 1 , ~ N ( 0 , 2 ) y x
令
1 1 t , y x
则上模型就转化成一元线性回归模型
t , ~ N ( 0 , 2 )
2 对数曲线模型
y ln x , ~ N ( 0 , )
2
令 t ln x 则上模型就转化成一元线性回归模型
y t , ~ N ( 0 , )
j 令 t j x 则上模型就转化成多元线性回归模型 2 y 1 t 1 2 t 2 m t m , ~ N ( 0 , )
5
幂函数回归模型
y x b , ~ N ( 0 , 2 )
令 tx 则上模型就转化成一元线性回归模型 2 y t , ~ N ( 0 , )