2021年中考数学专题复习——中考总复习三角函数应用

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2021年九年级数学中考专题冲刺训练：锐角三角函数及其应用(含答案)

2021 中考专题冲刺训练：锐角三角函数及其应用一、选择题1. (2019•天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2C ．3D ．22. 如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若tan ∠BAC=，则此斜坡的水平距离AC 为( )A .75 mB .50 mC .30 mD .12 m3. (2019·湖北宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．43B ．34C ．35D ．454. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为( )A .米B .米C .米D .米5. （2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D .则sin ∠ADC 的值为（）A. 21313 B. 31313 C. 23 D. 326. (2019•湖南湘西州)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC=57，则BC 的长是A ．10B ．8C ．43D ．267. 如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )A.212 B ．12 C ．14 D ．218.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C ＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A . 11－sin αB . 11＋sin αC . 11－cos αD . 11＋cos α二、填空题 9. 【题目】（2020·黔东南州）cos60°＝．10.如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．11. (2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．12.如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)13.（2020·杭州）如图，已知AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，连接AC ，OC ．若1sin 3BAC ∠=，则tan BOC ∠=________．CBOA14. (2019·浙江宁波)如图，某海防哨所O 发现在它的西北方向，距离哨所400米的A 处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处，则此时这艘船与哨所的距离OB 约为__________米．(精确到1米，参考2≈1.4143≈1.732)15. (2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC255AB2，则tanC=__________．16.如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．三、解答题17. 图①是一辆在平地上滑行的滑板车，图②是其示意图，已知车杆AB长92 cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6 cm，求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)18. 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1∶(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:≈1.73，≈1.41)19. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)b＝10，∠A＝60°；(2)a＝25，b＝2 15.20. (2019•山东潍坊)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1：3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．(结果保留根号)21. (2019•江苏宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l 平行，车轮半径为32cm ，∠BCD=64°，BC=60cm ，坐垫E 与点B 的距离BE 为15cm ． (1)求坐垫E 到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE ′的长． (结果精确到0.1cm ，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)2021 中考专题冲刺训练：锐角三角函数及其应用-答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A ．2. 【答案】A[解析]∵∠BCA=90°，tan ∠BAC=，BC=30 m ，∴tan ∠BAC===，解得AC=75，故选A .3. 【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC=90°，∴AC=22AD CD +=2234+=5．∴sin ∠BAC=CD AC =45．故选D ．4. 【答案】B[解析]如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，cos B=，所以AB===.故选B .5. 【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC 的正弦值转化成求∠ABC 的正弦值.连接AC 、BC ，∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧长都是AC ，∴根据圆周角定理知，∠ADC ＝∠ABC ，∴在Rt △ACB 中，根据锐角三角函数的定义知，sin ∠ABC ACBC=，∵AC ＝2，CB＝3，∴AB 13=，∴sin ∠ABC 3131313==，∴∠ADC 的正弦值等于31313，因此本题选B ．6. 【答案】D【解析】∵∠C=90°，cos ∠BDC=57，设CD=5x ，BD=7x ，∴6，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，∴AD=BD=7x ，∴AC=12x ， ∵AC=12，∴x=1，∴6D ．7. 【答案】A[解析] 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵在△ABC 中，cosB ＝22， ∴∠B ＝45°，∴BD ＝AD. ∵sinC ＝AD AC ，sinC ＝35，AC ＝5， ∴AD 5＝35，∴AD ＝3，∴CD ＝4，BD ＝3，则△ABC 的面积是12·AD·BC ＝12×3×(3＋4)＝212.8.【答案】A【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.二、填空题 9. 【答案】【答案】10. 【答案】14.1【解析】如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．11. 【答案】0【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．12.【答案】103＋1【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝103m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m .13. 【答案】2 【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC 与⊙O 相切于点B ，所以AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝90°．在Rt △ABC 中，因为sin ∠BAC ＝13，所以BC AC ＝13．设BC ＝x ，则AC ＝3x ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得直径AB ＝22AC BC -＝22(3)x x -＝22x ，所以半径OB ＝2x ．在Rt △OBC 中，tan ∠BOC ＝BC OB ＝2x＝2，因此本题答案为2． 14. 【答案】【解析】如图，设线段AB 交y 轴于C ，在直角△OAC 中，∠ACO=∠CAO=45°，则AC=OC ． ∵OA=400米，∴OC=OA •cos45°=40022⨯=2002(米)． ∵在直角△OBC 中，∠COB=60°，OC=2002米， ∴20021cos 602OC OB ===︒4002≈567(米) 故答案为：567．15. 5【解析】如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2=2AD•DC=2BD•DC，∵AC2–BC255=AB2，∴2BD•DC55=⨯2BD2，∴DC55=BD，∴tan555BD BDCDCBD===．故答案为:5．16. 【答案】3或3 3 或37【解析】如解图，∵点O是AB的中点，AB＝6，∴AO＝BO＝3.①当点P为直角顶点，且P在AB上方时，∵∠1＝120°，∴∠AOP1＝60°，∴△AOP1是等边三角形，∴AP1＝OA＝3；②当点P为直角顶点，且P在AB下方时，AP2＝BP1＝62－32＝33；③当点A为直角顶点时，AP3＝AO·tan∠AOP3＝3×3＝33；④当点B为直角顶点时，AP4＝BP3＝62＋（33）2＝37.综上，当△APB为直角三角形时，AP的值为3或3 3 或37.三、解答题17. 【答案】解:过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AB=92，∠B=70°，∴AD=AB sin B≈92×0.94=86.48，∴A离地面高度为86.48+6≈92.5(cm).答:把手A离地面的高度约为92.5 cm.18. 【答案】解:过点D作DH⊥AB于点H，交AE于点F.作DG⊥BC于点G，则DG=BH，DH=GB.设楼房AB的高为x米，则EB=x米，∵坡度i=1∶，CD=10米，∴坡面CD的铅直高度DG为5米，坡面的水平宽度CG为5米，在Rt△ADH中，tan∠ADH=，∴DH=(x-5).∴5+10+x=(x-5)，解得x=15+5≈23.7(米).所以楼房AB的高度约为23.7米.19. 【答案】解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∵cosA＝bc，∴c＝bcosA＝10cos60°＝1012＝20，∴a＝c2－b2＝202－102＝10 3.(2)c＝a2＋b2＝（2 5）2＋（215）2＝4 5.∵tanA＝ab＝2 5215＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.20. 【答案】∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为13∴tan∠33∴∠ABE=30°，∴AE=12AB=100，∵AC=20，∴CE=80，∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴14CEDE=，即8014ED=，解得ED=320，∴CD=2280320=8017+米，答：斜坡CD的长是8017米．21. 【答案】(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM=64°、EC=BC+BE=60+15=75cm，∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm)；(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H=80×0.8=64，则E′C=sin E HECH'∠=64sin64︒≈71，1，∴EE′=CE﹣CE′=75﹣71.1=3.9(cm)．。

中考数学专题复习：解直角三角形

中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积；（2）直接利用余弦的定义求解即可．解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米）面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米）（2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。

2021中考数学专题复习解直角三角形2

αCBA2021中考数学专题复习：锐角三角函数一、知识网络⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠∠=∠∠=∠∠=∠⇒测量应用定义）边角关系：（三角函数边边关系：角角关系：依据的过程。

已知元素求出未知元素定义：由直角三角形的解直角三角形系互余两锐角三角函数关同角三角函数关系的三角函数值、、的邻边的对边正切：斜边的邻边余弦：斜边的对边正弦：定义22202200090tan 1604530tan c b a B A Con Sin Con Sin A A A A A Cos A A Sin ααααα 二、根本知识点与典型题型知识点1：锐角三角函数定义Rt △ABC 中，∠C=900,锐角A 的对边与斜边的比值叫∠A 的正弦，记作SinA=ca;锐角A 的邻边与斜边的比值叫∠A 的余弦，记作CosA=c b ; 锐角A 的对边与邻边的比值叫∠A 的正切，记作tanA=ba . 例1：〔1〕〔2021年贵州毕节〕在正方形网格中，ABC △的位置如下图，那么cos B ∠的值为〔〕A ．12B ．22C ．32D ．33〔2〕〔2021 湖北孝感〕如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，那么A ∠tan 的值是〔〕A ．56 B ．65C ．3102D ．10103 〔3〕〔2021湖南常德〕在Rt△ABC 中,∠C=90°,假设AC=2BC,那么sin A 的值是( )A ．12B ．2C ．55D ．52〔4〕〔2021浙江金华〕“赵爽弦图〞是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，那么tan α的值等于 ▲ .〔5〕如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，那么以下结论正确的选项是〔〕 A ．3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B = D ．tan 3B =(6)在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 那么sinA 的值是 ( )锐角三角三角函数αA 、1515 B 、41 C 、31D 、415 知识点2：同角三角函数关系：〔1〕122=+ααCon Sin；〔2〕αααtan =Con Sin例2．〔1〕在A ABC 中，∠C=90°，sinB=53，那么cosA 的值是 ( ) A ．43 B ．34 C ．53 D ．54 〔2〕〔2021 黄冈〕在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，那么tanB ＝〔〕 A ．43 B ．34 C ．35 D ．45〔3〕〔2021湖南怀化〕在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=54，那么cosB 的值等于〔〕 A ．53 B. 54 C. 43D. 55〔4〕〔2021黔东南州〕x 为锐角，且31cos =α，求αααsin 1cos tan ++的值。

专题训练24：锐角三角函数-2021年中考数学一轮复习知识点课标要求

2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练24：锐角三角函数（含答案）一、知识要点：1、锐角三角函数正弦：c a A A =∠=斜边的对边sin ；余弦：cb A A =∠=斜边的邻边cos ；正切：b a A A A =∠∠=的邻边的对边tan 。

常见三角函数值：锐角α三角函数 30° 45° 60°αsin 21 22 23 αcos 23 22 21 αtan33 1 32、解直角三角形解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。

除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。

二、课标要求：1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A ，cos A ，tan A )，知道30°，45°，60°角的三角函数值。

2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。

3、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。

三、常见考点：1、30°，45°，60°角的三角函数值。

2、30°，45°，60°角的三角函数值与实数运算的结合。

3、解直角三角形。

4、用锐角三角函数的相关知识解决一些简单的实际问题。

四、专题训练：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）米．（≈1.7）A．145米B．135米C．125米D．120米3．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则cos B 的值为（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则Rt△ABC的三边a、b、c之比a：b：c为（）A．2：：3 B．1：：C．1：2：3 D．2：：5．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（）A．B．2 C．或4 D．2或46．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，则cos A的值为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则sin A的值是（）A．B．C．D．9．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，AC＝CB，sin∠ACD＝，则tan∠BDC 的值是（）A．B．C．D．10．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°11．如图，CD是△ABC的高，若AB＝10，CD＝6，tan∠CAD＝，则BD＝．12．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB等于．13．如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin∠1＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是．15．如图，已知CD是△ABC的高，BD＝4AD，CD＝2AD，点E是BC上一点，EF⊥EA，AG＝EG，tan∠EFA的值为．16．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪CD的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）17．如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．18．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，通过测量可知河的宽度CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，则AC＝m（计算结果用含根号的式子表示）．19．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．20．如图，一山坡的坡度i＝1：，小明从A处爬到B处所走的直线距离AB＝10米，则他在垂直方向上升的高度CB为米．21．如图，在一次数学综合实践活动中，小亮要测量一教学楼的高度，先在坡面D处测得楼房项部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向教学楼方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）22．一种升降熨烫台如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．（1）如图1，若∠AOC＝120°，h＝60cm，求AB的长度；（2）小明发现，实际使用时将家里这种升降熨烫台的两根支撑杆的夹角∠AOC由120°变为60°（如图2），使用起来才顺手，请问在（1）的条件下，该熨烫台升高了多少？23．江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝．（1）求路灯B到地面的距离；（2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）．24．如图所示，建筑物AB坐落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物AB在坡顶平地上的一部分影子BC＝15米，在斜坡CE上的另一部分影子CD＝5米，且斜坡CE的坡度为i（即tanα）＝1：，求建筑物AB的高度．（结果保留根号）25．如图，楼和塔之间的距离AC为50m，小明在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求楼高AD．26．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．参考答案1．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．2．解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴＝tan30°＝，∴BC＝AB．设AB＝x（米），∵CD＝100米，∴BC＝（x+100）米．∴x+100＝x，∴x＝50（+1），即塔AB的高为50（+1）≈135米．故选：B．3．解：在Rt△BCD中，BD＝＝2，所以cos B＝＝＝．故选：B．4．解：∵∠C＝90°，∴cos B＝＝，设a＝2x，c＝3x，∴b＝＝x，∴a：b：c＝2x：x：3x＝2：：3．故选：A．5．解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，当B2C＝2时，∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，∴CD＝，∴AD＝＝3，B2D＝＝1，∴AB2＝3﹣1＝2，同理可得，AB1＝3+1＝4，即AB的长为2或4，故选：D．6．解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．故选：A．7．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°．∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，∴BE＝BC＝AE，设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x．∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BEC，∴＝，即＝，解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴AE＝2﹣2，∴cos A＝＝＝，故选：C．8．解：∵∠C＝90°，∴tan A＝＝2，设AC＝x，则BC＝2x，∴AB＝＝x，∴sin A＝＝＝．故选：C．9．解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，过点C作CH⊥BD于H．∵∠ACB＝∠CAD＝90°，DE⊥EC，∴∠ACE＝∠E＝90°，∴四边形ACED是矩形，∴AD＝CE，AC＝DE，∵sin∠ACD＝＝，∴可以假设AD＝3k，CD＝5k，则AC＝BC＝DE＝4k，∴BE＝BC+CE＝7k，∴BD＝＝＝k，∵S△CBD＝•BC•DE＝•BD•CH，∴CH＝k，∴DH＝＝＝，∴tan∠BDC＝＝＝．故选：C．10．解：∵sin45°＝，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，故选：B．11．解：∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵CD＝6，tan∠CAD＝＝，∴AD＝CD＝8，∵AB＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣8＝2，故答案为：2．12．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．∵AB＝5，AC＝＝，BC＝＝5，∴CD＝．∵S△ABC＝15﹣﹣×4×3＝，S△ABC＝×AC×DB，∴××BD＝，∴BD＝＝．在Rt△BCD中，tan∠ACB＝＝3．故答案为：3．13．解：如图，过点C作CE∥AB，连接DE，∵CE＝，DE＝，CD＝，∴DE＝CE，CE2+DE2＝10＝CD2，∴∠CED＝90°，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∵CE∥AB，∴∠1＝∠DCE＝45°，∴sin∠1＝，故答案为：．14．解：∵BD是AC边上的中线，∴AD＝AC．∵AB＝AC，∴AD＝AB．在Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝2．故答案为：2．15．解：设AD＝x，则CD＝2x，BD＝4x，∵CD为高，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∵＝＝2，∴△ADC∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°，∵AG＝GE，∴CG＝AG＝GE，∵EF⊥EA，∴∠EFA+∠DAE＝90°，∵∠DAE+∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠EFA，在Rt△AGD中，设DG＝t，则AG＝CG＝2x﹣t，∵x2+t2＝（2x﹣t）2，∴t＝x，∴tan∠AGD＝＝＝，∴tan∠EFA＝．故答案为．16．解：作DE⊥AB于点E，由题意可得，DE＝CD＝8m，∵∠ADE＝50°，∴AE＝DE•tan50°≈8×1.19＝9.52（m），∵BE＝CD＝1.5m，∴AB＝AE+BE＝9.52+1.52＝11.2≈11（m），故答案为：11．17．解：过点P（4，3）作PQ⊥x轴，垂足为Q，则PQ＝3，OQ＝4，在Rt△POQ中，OP＝＝＝5，所以cosα＝＝，故答案为：．18．解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°，∴AC＝2AB，DB＝AB．设AB＝x，则BD＝x，AC＝2x，CB＝50+x，∵tan∠ACB＝tan30°，∴AB＝CB•tan∠ACB＝CB•tan30°．∴x＝（50+x）•．解得：x＝25（1+），∴AC＝50（1+）（米）．答：缆绳AC的长为50（1+）米．故答案为：50（1+）19．解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝120°，∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，∵AB＝12，∠H＝90°，∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，∵EF⊥DF，DE＝5，∴sin∠ADE＝＝，∴EF＝4，∴DF＝＝＝3，∵S△CDE＝6，∴•CD•EF＝6，∴CD＝3，∴CF＝CD+DF＝6，∵tan C＝＝，∴＝，∴CH＝9，∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．故答案为：9﹣6．20．解：因为坡度i＝1：，∴tan∠A＝＝，∴∠A＝30°，∴CB＝AB＝5（米）．故答案为：5．21．解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：则DG＝FP＝BH，DF＝GP，∵坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，∴∠DCG＝30°，∴FP＝DG＝CD＝8，∴CG＝DG＝8，∵∠FEP＝60°，∴FP＝EP＝8，∴EP＝，∴DF＝GP＝8+10+＝+10，∵∠AEB＝60°，∴∠EAB＝30°，∵∠ADH＝30°，∴∠DAH＝60°，∴∠DAF＝30°＝∠ADF，∴AF＝DF＝+10，∴FH＝AF＝+5，∴AH＝FH＝16+5，∴AB＝AH+BH＝16+5+8＝24+5≈24+5×1.73≈32.7（米），答：楼房AB高度约为32.7米．22．解：（1）如图1中，过点B作BH⊥AC于H．∵OA＝OC，∠AOC＝120°，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣120°）＝30°，∵∠AHB＝90°，BH＝h＝60cm，∴AB＝2BH＝120（cm）．（2）如图2中，过点B作BT⊥AC于T．在Rt△ABT中，AB＝120cm，∠A＝60°，∠ATB＝90°，∴BT＝AB•sin60°＝60（cm），∴熨烫台升高了（60﹣60）cm．23．解：（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝＝4，∴OF＝x，在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝＝，∴CF＝x，∵OC＝8，∴x+x＝8，∴x＝8，∴BF＝8（m），即路灯B到地面的距离8m；（2）过点A作AG⊥BF于点G，∵∠OAB＝120°，∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°．∵OF＝×8＝2，∴AG＝OF＝2，在Rt△BCF中，∵tan∠BAG＝，∴BG＝tan30°×2＝∴OA＝GF＝（8﹣）（m），即灯柱OA的高度为（8﹣）m．24．解：如图，延长BC交AD于F，过F作FG⊥CD于G，∵斜坡CE的坡度为i（即tanα）＝1：，∴α＝30°．∵BF∥EM，∴∠FCD＝∠E＝30°．∵∠AFB＝60°．∴∠CDF＝∠AFB﹣∠FCD＝30°．∴∠ECD＝∠FDC＝30°．∴FC＝FD．∴CG＝CD＝．∴CF＝＝＝5（米）．∴BF＝BC+CF＝15+5＝20（米）．∴AB＝BF•tan60°＝20（米）．答：建筑物AB的高度是20米．25．解：由题意，可知∠BDE＝30°，∠BAC＝60°，四边形ACED是矩形，∴DE＝AC＝50m．在Rt△DBE中，∵tan∠BDE＝，∴＝，∴BE＝（m）．在Rt△ABC中，∵tan∠CAB＝，∴＝，∴BC＝50（m），∴AD＝CE＝BC﹣BE＝50﹣＝（m）．答：大楼AD的高为m．26．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则CD＝BC＝60海里，∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，即＝，∴AC＝40（海里），答：此时点A到军港C的距离为40海里；（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，∵A'E∥CD，∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，∴∠BA′A＝45°，∵∠BA'E＝75°，∴∠ABA'＝15°，∴∠2＝15°＝∠ABA'，即A′B平分∠CBA，∴A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，∴A'C＝2A'N＝x，∵A'C+AA'＝AC，∴x+x＝40，解得：x＝60﹣20，∴AA'＝（60﹣20）海里，答：此时渔船的航行距离为（60﹣20）海里．。

三角函数在实际生活中的应用备战2023年中考数学考点微专题

考向 5.9 三角函数在实际生活中的应用【知识要点】1、在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、如图1，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角3、如图2，坡面与水平面的夹角叫做仰角 (或叫做坡比)。

用字母i 表示，即tan h i A l ==4、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

5、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角。

如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

7.测量物体高度的方法：（1）.利用全等三角形的知识；（2）利用相似三角形的对应边成比例；（3）.利用三角函数的知识例1、如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为153米．（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D 都在同一平面内．参考数据：tan 7523︒=+，tan1523︒=-．计算结果保留根号）图4 图3图2 hi=h:l A BC图1解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ， ∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +153在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()2345x -，即(()1532345x x +=-，解得：x =30，∴DH = 15330∴此时无人机的高度为()15330米；（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =15330（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++； ∵1533tan =453BC CAB AB ∠==， ∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°30345tan 30GA GF ==+, ∴=30330DF GF DG -=+,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为30330=6365++（秒）；所以经过()636+秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．一、单选题1．（2021·广东深圳·二模）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65︒（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A．100sin65︒B．100cos65︒C．100tan65︒D．100 sin65︒2．（2021·浙江温州·一模）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60︒角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（）A．6.6 B．11.6 C．531.63+D．1.653+3．（2021·河北唐山·二模）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．4sinα米B．4sinα米C．4cosα米D．4cosα米4．（2021·广东云浮·一模）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高60mh=，迎水斜坡100mAB=，斜坡的坡角为a，则tan a的值为（）A．43B．34C．35D．455．（2021·重庆市永川区教育科学研究所一模）鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色．周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A观察到瞰胜楼楼底点C的仰角为12°，楼顶点D的仰角为13°，测得斜坡BC的坡面距离BC=510米，斜坡BC的坡度8:15i=．则瞰胜楼的高度CD是（）米．（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A．30 B．32 C．34 D．36 6．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．30海里B．203海里C．20海里D．302海里7．（2021·河北唐山·一模）如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），若∠CBA＝α，则拉线AC的长度可以表示为（）A ．sin m αB ．cos m αC ．m cosαD ．tan m α8．（2021·江苏无锡·一模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架32米长的梯子BC 斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（）A ．3米B ．3米C ．()32-米D ．()33-米 9．（2021·重庆一中三模）如图，小欢同学为了测量建筑物AB 的高度，从建筑物底端点B 出发，经过一段坡度1:2.4i =的斜坡，到达C 点，测得坡面BC 的长度为15.6米，再沿水平方向行走30米到达点D （A ，B ，C ，D 均在同一平面内）．在点D 处测得建筑物顶端A 的仰角为37︒，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）（）A ．27.3米B ．28.4米C ．33.3米D ．38.4米10．（2021·江苏南通·二模）如图，某大楼DE 楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD ，小江从楼底点E 向前行走30米到达点A ，在A 处测得宣传牌下端D 的仰角为60°．小江再沿斜坡AB 行走26米到达点B ，在点B 测得宣传牌的上端C 的仰角为43°，已知斜坡AB 的坡度i ＝1：2.4，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，CD ⊥AE ，宣传牌CD 的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，3）A ．8.3米B ．8.5米C ．8.7米D ．8.9米11．（2021·重庆八中二模）如图，一棵松树AB 挺立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为52米，坡度为i ＝12：5，小张从与点C 相距60米的点D 处向上爬12米到达观景台DE 的顶端点E ，在此测得松树顶端点A 的仰角为39°，则松树的高度AB 约为（）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A ．16.8米B ．28.8米C ．40.8米D ．64.2米12．（2021·重庆·字水中学三模）白沙镇有一望夫塔，小明在与塔底中心的D 同一水平线的A 处，测得24AD =米，沿坡度0.75:1i =的斜坡AB 走到B 点，测得塔顶E 仰角为37°，再沿水平方向走22米到C 处，测得塔顶E 的仰角为22°，则塔高DE 为（）米．（结果精确到十分位）（sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈，）A ．18.3米B ．19.7米C ．20.7米D ．22.3米二、填空题 13．（2021·广东·深圳市南山区太子湾学校二模）如图，一楼房AB 后有一假山，其斜面坡度为i ＝13E 处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，则楼房AB 的高为_____米．14．（2021·广东·广州市第六十五中学一模）小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼．冬天，阳光入射角是30°，两楼距离20米，小颖家的阳台距地面7米，乙楼高18米，那么影子的顶端距她家阳台还有_________米.（精确到0.1米）15．（2021·山东·郓城县教学研究室一模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km．16．（2021·吉林长春·二模）如图，在A处看建筑物CD的顶端C的仰角为α，且tanα＝0.8，向前行进3米到达B处，从B处看顶端C的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、D三点在同一条直线上，CD⊥AD，则建筑物CD的高度为_____米．17．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：3，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为_____．18．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC ＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为________米．19．（2021·山东·庆云县渤海中学一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．则大楼AB的高度_____．（结果保留根号）20．（2021·湖北咸宁·模拟预测）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B的仰角为45︒，则建筑物BC的高约为_____m（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈）︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33三、解答题21．（2021·贵州六盘水·模拟预测）位于我市的北盘江大桥是世界第一高桥，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如图1），桥长1341.4米，桥面至江面垂直距离565.4米．图2是从图1中抽象出的平面图，测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索DE 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BE 为55米，两拉索底端距离AD 为240米．(1)求DC EC的值；（结果保留根号） (2)求立柱BC 的长．（结果精确到0.1米，3≈1.732）22．（2021·贵州·仁怀市教育研究室一模）如图，两座建筑物AD 与BC ，其地面距离CD 为60m ，从AD 的顶点A 测得BC 顶部B 的仰角30α=︒，测得其底部C 的俯角45β=︒，求建筑物BC 的高（结果保留根号）．23．（2021·河南商丘·三模）在一次实弹演习中，我国参演红军需轰炸蓝军的一个桥梁，如图，红军飞行员驾驶战机飞到A 处时发现桥梁BC 并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知飞机、桥梁BC 与地面在同一水平面上，其桥梁BC 长度为800m ．请求出此时飞机离地面的高度．（结果保留整数．参考数据：sin35°≈712，c os35°≈56，tan35°≈710）一、单选题1．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A 、B两点间的距离为30米，A α∠=，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（）A ．30sin α米B ．30sin α米C ．30cos α米D ．30cos α米 2．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于（）A ．2kmB ．3kmC ．23kmD ．4km3．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米4．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，结果保留整数）（）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m5．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 6．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F 处，看建筑物顶端D 的仰角为32°，向前走了15米到达点E 即15EF =米，在点E 处看点D 的仰角为64°，则CD 的长用三角函数表示为（）A ．15sin32︒B ．15tan64︒C ．15sin64︒D ．15tan32︒ 7．（2021·山东日照·中考真题）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30，已知斜坡的斜面坡度i 1:3=，且点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（）A ．()320mB ．()310mC ．203mD ．40m8．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ．其中//AD BC ，45ABC ∠=︒，30DCB ∠=︒，斜坡AB 长8m ．则斜坡CD 的长为（）A ．62mB ．82mC ．46mD ．3m9．（2021·湖北十堰·中考真题）如图，小明利用一个锐角是30的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）A ．3153m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．53mC ．153mD ．353m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 10．（2021·湖北随州·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米11．（2021·重庆·中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米12．（2021·山东泰安·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D 处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（）（参考数据：1:2.4≈）3 1.732A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米二、填空题13．（2021·广西百色·中考真题）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．14．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）15．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．16．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）17．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用一块含有60°（∠DAE ＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB 为1.62m ，小明与树之间的水平距离BC 为4m ，则这棵树的高度约为 ___m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3≈1.73）18．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C 测一段水平雪道一端A 处的俯角为50°，另一端B 处的俯角为45°，若无人机镜头C 处的高度CD 为238米，点A ，D ，B 在同一直线上，则通道AB 的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈)19．（2021·广西来宾·中考真题）如图，从楼顶A 处看楼下荷塘C 处的俯角为45︒，看楼下荷塘D 处的俯角为60︒，已知楼高AB 为30米，则荷塘的宽CD 为__________米．（结果保留根号）20．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得5BC =米，4CD =米，150BCD ∠=︒，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为45︒，则电线杆AB 的高度约为______米．（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，结果按四舍五入保留一位小数）21．（2021·湖北荆州·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知8cm BC =，16cm AB =．当AB ，BC 转动到60=︒∠BAE ，50ABC ∠=︒时，点C 到AE 的距离为_____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94︒≈，3 1.73≈）22．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 3 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．三、解答题23．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE 的长是20米，坡角为37︒，斜坡DE 底部D 与大楼底端C 的距离CD 为74米，与地面CD 垂直的路灯AE 的高度是3米，从楼顶B 测得路灯AE 项端A 处的俯角是42.6︒．试求大楼BC 的高度．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈，17sin 42.625︒≈，34cos 42.645︒≈，9tan 42.610︒≈）24．（2021·广西河池·中考真题）如图，小明同学在民族广场A 处放风筝，风筝位于B 处，风筝线AB 长为100m ，从A 处看风筝的仰角为30，小明的父母从C 处看风筝的仰角为50︒．（1）风筝离地面多少m ？（2）AC 相距多少m ？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin300.5︒=，cos300.8660︒＝，tan300.5774︒＝，sin500.7760︒＝，cos500.6428︒＝，tan50 1.1918︒＝）25．（2021·四川巴中·中考真题）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B 的位置如图所示，已知坡长AC ＝12m ，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C 处，且与地面的夹角为60°，A 、B 、C 、D 在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，3 1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．1．A【解析】【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，在Rt △ABC 中，sin B =AC AB，则AC =AB •sin B =100sin65°（米），故选：A ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．再利用特殊角的三角函数解直角三角形即可求出AC 长，从而求出AD 长．【详解】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．∵60ABC ∠=︒，∴在Rt ABC 中，tan 6053AC BC =︒=米． ∴(53 1.6)AD AC CD =+=米．故选D ．【点拨】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．3．B【解析】【分析】过点A′作A′C ⊥AB 于点C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：如答图，过点A′作A′C ⊥AB 于点C ．在Rt △OCA′，sinα＝A C A O ''，所以A′C ＝A′O·sinα．由题意得A′O ＝AO ＝4，所以A′C ＝4sinα，因此本题选B ．【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．4．B【解析】【分析】直接利用勾股定理得出BC ，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：过点A 作AC ⊥BD ，垂足为C ，∵坝高h =60m ，迎水斜坡AB =100m ，∴BC 222210060AB AC --=80（m ），则tanα=603804= ．故选：B ．【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键． 5．D【解析】【分析】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，由勾股定理可知17BC x =，BC =510，求得30x =，据此可知AE 、DE 的长，再根据DC DE CE =-可得答案．【详解】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，在Rt BCE 中，2222(8)(15)17BC BE CE x x x =+=+=，由17510BC x ==求得30x =，∴240CE =米、450BE =米，在Rt ACE △中，2401200tan tan12CE AE CAE ===∠︒（米），在Rt ADE △中，tan 1200tan13276DE AE DAE =∠=⨯︒=（米），则27624036DC DE CE =-=-=（米）．故选：D ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用能力，注意能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形是解决本题的关键．6．D【解析】【分析】根据时间、速度、距离之间的关系求出AC ，根据等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图：由题意得，AC ＝60×0.5＝30海里，∵CD ∥BF ，∴∠CBF ＝∠DCB ＝60°，又∠ABF ＝15°，∴∠ABC ＝45°，∵AE ∥BF ，∴∠EAB ＝∠FBA ＝15°，又∠EAC ＝75°，∴∠CAB ＝90°，∴2sin 45AC BC ︒=， ∴BC 2＝2故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据同角的余角相等得∠ACD ＝∠CBD ，由cos ∠ACD ＝CD AC ，即可求出AC 的长度．【详解】解：∵∠ACD +∠BCD ＝90°，∠CBD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBD ，在Rt △ACD 中，∵cos ∠ACD ＝CD AC， ∴AC ＝cos cos CD m ACD α=∠．故选：B ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出E C 、EB ，根据正切的定义求出DE ，结合图形计算得到答案．【详解】解：在Rt EBC 中，45BCE ∠=︒，3EC EB ∴=（米)，在Rt BDE △中，tan BE BDE DE ∠=，tan BE DE BDE ∴=∠)，(3CD EC DE ∴=-=米，故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．A【解析】【分析】延长AB 与DC 相交与点E ，由题意和三角函数可求得EC 的长度，根据37°角的三角函数求得AE 的长度，进而可求出建筑物AB 的高度．【详解】如图，延长AB 与DC 相交于点E ，∵15.6BC =，斜坡BC 的坡度i =1：2.4=512， ∴12cos 13BCE =∠，5sin 13BCE =∠， ∴12cos 15.6=14.413EC BC BCE =•=⨯∠，5sin 15.6613BE BC BCE =•=⨯=∠， ∴==14.430=44.4ED EC CD ++，又∵D ∠=37°，∴=tan37=44.40.75=33.3AE ED •︒⨯，∴33.3627.3AB AE BE =-=-=，故选：A ．【点拨】此题考查了三角函数应用题，仰角和坡度的概念，做出辅助线是解答本题的关键．10．A【解析】【分析】过B 分别作AE 、DE 的垂线，设垂足为F 、G ．分别在Rt △ABF 和Rt △ADE 中，通过解直角三角形求出BF 、AF 、DE 的长，再求出EF 即BG 的长；在Rt △CBG 中求出CG 的长，根据CD =CG +GE -DE 即可求出宣传牌的高度．【详解】解：过B 作BF ⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG ⊥DE 于G ．Rt△ABF中，i=tan∠BAF=BFAF＝12.4，AB=26米，∴BF=10（米），AF=24（米），∴BG=AF+AE=54（米），Rt△BGC中，∠CBG=43°，∴CG=BG•tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，∴DE=3AE=303（米），∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-303≈8.3（米）．故选：A．【点拨】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．11．B【解析】【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．【详解】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝AF EF，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．B【解析】【分析】连接DE ，作BF ⊥DE 于F ，BG ⊥DA 于G ，设BG =3x m ，则AG =4x m ，BF =DG =24+4x （m ），CF =BF +BC =46+4x （m ），由三角函数定义得出EF =tan 37°（24+4x ），EF =tan 22°（46+4x ），得出0.75（24+4x ）=0.40（46+4x ），解得27x =，求出DF 、EF ，即可得出答案．【详解】解：连接DE ，作BF ⊥DE 于F ，BG ⊥DA 于G ，如图：则DF =BG ，BF =DG =AD +AG ，∵AB =斜坡AB 的坡度0.75BG i AG==， ∴设BG =3x m ，则AG =4x m ，BF =DG =24+4x （m ），CF =BF +BC =24+4x +22=46+4x （m ），由题意得：∠EBF =37°，∠ECF =22°，∵tan ∠BEF =244EF EF BF x =+，tan ∠ECF =464EF EF CF x=+， ∴EF =tan 37°（24+4x ），EF =tan 22°（46+4x ），∴0.75（24+4x ）=0.40（46+4x ），解得：27x =，∴DF =BG =3x =67（m ）， EF =0.40（46+4x ）=1327（m ）， ∴DE =DF +EF =613213819.7777+=≈；故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角分概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（3【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，解直角三角形即可求解．【详解】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝EFCF3＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝12CE＝10米，CF＝3∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC+CF＝（3在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝（3∴AB＝AH+HB＝（3答：楼房AB的高为（3）米，故答案为：（3【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，涉及俯角及坡度的知识，构造直角三角形是解题的关键．14．0.6【解析】【分析】如图，解直角三角形ABC可以求得AB的长，求出乙楼的影子在甲楼上的高度CD，再求影子的顶端距她家阳台的距离.【详解】解：如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=20米，所以AB=BC•tan∠ACB＝20•tan30°＝20×3（米），CD=18-11.55=6.45（米），∴影子的顶端距她家阳台还有7-6.45≈0.6（米）．故答案为0.6.【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形，根据BC求出AB的值是解题的关键．15．3【解析】【分析】根据题意可证得△ABC为等腰三角形，即可求出BC的长，然后再解直角三角形CBD即可求得．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°，∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=60°-30°=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km，在Rt△CBD中，3sin6023CD BC=⋅︒==，3【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出△ABC是等腰三角形．16．12【解析】【分析】根据∠DBC =45°可得BD CD =，根据tan α＝0.8，可得3810CD CD =+，进而即可求得CD 的长．【详解】∵∠DBC =45°，∴BD =CD tan 45⨯︒=CD ， tanα=，3AD AB BD CD =+=+,则3810CD CD =+，解得CD =12．经检验：符合题意故答案为12．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的意义是解题的关键．17．()633m + 【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC 、CG 的长，根据正切的定义解答即可．【详解】解：如图，延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，∵∠ADE ＝30°，∴∠AFB ＝30°，∵CD ＝6m ，斜坡CD 的坡度i ＝13∴tan ∠DCG ＝DG CG 33 ∴∠DCG ＝30°，∴DG ＝3m ，CG ＝3，∴∠DFC ＝∠DCF ＝30°，∴DF ＝DC ，∵DG ⊥BF ，∴FG ＝CG ＝3，∴FC ＝3，∴FB ＝FC +BC ＝（）m ，∴AB ＝BF ×tan ∠AFB ＝（）m ．故答案为：（m ．【点拨】本题主要考查了勾股定理，坡比和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．16【解析】【分析】根据已知条件转化为直角三角形ABC 中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出BC ，根据BD =BC -CD 可得出答案．【详解】解：由题意知，∠ABC =30°，∠ACB =90°，AC =32米，tan tan 30,AC ABC BC ︒∠==tan 30AC BC ︒∴=== ∵CD =16米，∴BD =BC -CD=16米．故答案为：16．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC 中的有关元素．19．（【解析】【分析】在直角三角形DCE 中，利用锐角三角函数定义求出DE 的长，过D 作DF 垂直于AB ，交AB 于点F ，可得出三角形BDF 为等腰直角三角形，设BF =DF =x (米)，表示出BC ，BD ，DC ，由题意得到三角形BCD 为直角三角形，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出AB 的长．【详解】解：在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE 12=DC ＝2(米)，过D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠FBD ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝（x +2）米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°， ∴)324cos30333x B AB C +====︒（米）， BD 2=2=米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：22(24)2163x x +=+ ，解得：x ＝3则AB ＝（3故答案为：（3【点拨】此题考查了解直角三角形的实际应用--仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键．20．24.2【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：,8m,53,45AC CD AB ADC BDC ⊥=∠=︒∠=︒，Rt BCD ∴是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，。

2021年中考数学复习三角函数必刷24题

2021中考数学-----三角函数必刷24题1．某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD 与BC 平行，层高AB 为8米，A 、D 间水平距离为5米，∠ACB ＝21.5°，（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D 处会不会碰到头部；（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN ∥BC ，且AM 段和NC 段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN 的长度．（参考数据：sin21.5°＝925，cos21.5°＝910，tan21.5°＝25） 2．金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB 的高度.如图，小组成员选择在大楼AB 前的空地上的点C 处将无人机垂直升至空中D 处，在D 处测得楼AB 的顶部A 处的仰角为42︒，测得楼AB 的底部B 处的俯角为30︒.已知D 处距地面高度为12 m ，则这个小组测得大楼AB 的高度是多少？（结果保留整数.参考数据：tan 420.90︒≈，tan 48 1.11︒≈，3 1.73≈）3．数学活动课，老师和同学-起去测量校内某处的大树AB 的高度，如图，老师测大树前斜坡DE 的坡度1:4i =， -学生站在离斜坡顶端E 的水平距离DF 为8m 处的D 点，测得大树顶端A 的仰角为30，已知2BE m =，此学生身高 1.7CD m =，求大树的高度AB 的值．(结果保留根号)4．某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）5．如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将学校的办学理念做成了宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组的同学在山坡坡脚A处测得宣传牌底D的仰角为60°，沿坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB i=，AB=10米，AE=15米．的坡度为1:3（1）求点B距水平面AE的高度BH；≈）（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.7326．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1：3，求大楼AB的高度是多少？(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)7．如图，为了测量小山顶的铁塔AB高度，王华和杨丽在平地上的C点处测得A点的仰角为45°，向前走了18m后到达D点，测得A点的仰角为60°，B点的仰角为30°（1）求证：AB＝BD；）（2）求证铁塔AB的高度．（结果精确到0.1米，其中2≈1.413 1.4328．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（A B所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27，sin30°=0.5，cos30°=0.87，tan30°=0.58．）9．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B 处，再航行至位于点A的南偏东75°且与点B相距200km的点C处．（1）求点C 与点A 的距离（精确到1km ）；（2）确定点C 相对于点A 的方向．（参考数据：）10．一位祖籍江宁的台商，应区政府的邀请，到科学园考察投资环境．他驱车在东西走向的天元路上由西向东缓慢地前进着，车载GPS （全球卫星定位系统）显示，方山风景区（点C ）在其（点A ）南偏东45的方向上，4AC km =．他继续向东前进到点B 的位置，发现方山风景区在其南偏西60的方向上．试求该台商由西向东前进的路程AB 是多少千米？（结果精确到0.1km ）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45≈）11．如图，斜坡BC 的坡度是1：2.2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），这个斜坡的水平宽度是22米，在坡顶C 处的同一水平面上（//CD BE ）有一座古塔AD ．在坡底B 处看塔顶A 的仰角是45°，在坡顶C 处看塔顶A 的仰角是60°，求塔高AD 的长．（结果保留根号）12．如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，13CD =米，坡比:5:12DE EC =，高为DE ，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为58︒，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为31︒，其中A 、C 、E 在同一直线上．（1）求斜坡CD 的高度DE ；（2）求大楼AB 的高度；（参考数据sin580.84︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.6︒≈，sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈．） 13．一夜之间，新冠病毒肺炎席卷全球。

初三数学中考复习专题7解直角三角函数(2021年整理)

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京华中学初三辅导班资料7 解直角三角函数一、知识点回顾1、锐角∠A的三角函数(按右图Rt△ABC填空）∠A的正弦：sin A = ,∠A的余弦：cos A = ，∠A的正切：tan A = ,∠A的余切：cot A =2、锐角三角函数值,都是实数（正、负或者0）；3、正弦、余弦值的大小范围: ＜sin A＜；＜cos A＜4、tan A•cot A = ； tan B•cot B = ;5、sin A =cos（90°- ）；cos A = sin( —)tan A =cot（）； cot A =6、填表7、在Rt△ABC中，∠C＝90゜,AB＝c，BC＝a，AC＝b，1）、三边关系(勾股定理）：2）、锐角间的关系：∠+∠= 90°3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ；cos A = ； cos B= ;tan A = ； tan B = ； cot A = ；cot B =8、图中角α可以看作是点A 的角也可看作是点B 的角; 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的高度（h ）和长度（l ）的比。

记作i ，即i = ;（2）坡角—-坡面与水平面的夹角。

记作α，有i ＝lh =tan α（3）坡度与坡角的关系:坡度越大，坡角α就越，坡面就越二、巩固练习（1）、三角函数的定义及性质 1、在△ABC 中,,900=∠C 13,5==AB AC ,则cos B 的值为2、在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10,AC ＝4,则______tan _____,cos ==A B ；3、Rt △ABC 中，若,900=∠C 2,4==BC AC ，则tan ______=B4、在△ABC 中，∠C ＝90°，1,2==b a ，则=A cos5、已知Rt △ABC 中，若,900=∠C cos 24,135==BC A ,则._______=AC 6、Rt △ABC 中，,900=∠C 35tan ,3==B BC ，那么.________=AC7、已知32sin -=m α,且a 为锐角，则m 的取值范围是；8、已知：∠α是锐角，︒=36cos sin α,则α的度数是 9、当角度在︒0到︒90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 ( ）A ．正弦和正切B ．余弦和余切C ．正弦和余切D ．余弦和正切（1）10、当锐角A 的22cos >A 时，∠A 的值为（）A 小于︒45B 小于︒30C 大于︒45D 大于︒6011、在Rt ⊿ABC 中，若各边的长度同时都扩大2倍,则锐角A 的正弦址与余弦值的情况（）A 都扩大2倍B 都缩小2倍C 都不变D 不确定 12、已知α∠为锐角，若030cos sin =α，αtan ＝；若1tan 70tan 0=⋅α，则_______=∠α；13、在△ABC 中,,900=∠C sin 23=A , 则cosB 等于( ）A 、1B 、23 C 、22 D 、21 (2）、特殊角的三角函数值1、在Rt △ABC 中，已知∠C ＝900，∠A=450则A sin = 2、已知：α是锐角,221cos =α，tan α=______;3、已知∠A 是锐角，且______2sin,3tan ==AA 则; 4、在平面直角坐标系内P 点的坐标（︒30cos ，︒45tan ），则P 点关于x 轴对称点P ／的坐标为 ( ） A ． )1,23(B ． )23,1(-C ． )1,23(- D ． )1,23(-- 5、下列不等式成立的是（ )A ．︒<︒<︒45cos 60sin 45tanB ．︒<︒<︒45tan 60sin 45cotC ．︒<︒<︒45tan 30cot 45cosD ．︒<︒<︒30cot 60sin 45cos 6、若1)10tan(30=+α，则锐角α的度数为（）A ．200B ．300C ．400D ．5007、计算（1)_______60cot 45tan _______,60cos 30sin 0000=+=+；（2)︒-︒+︒+︒-︒30sin 30cos 30tan 4145sin 60cos 22（3)00045tan 30tan 145tan 30tan ⋅-+ （4）)60sin 45(cos 30sin 60cos 2330cos 45sin 00000---+（3)、解直角三角形1、在△ABC 中，,900=∠C 如果4,3==b a ，求A ∠的四个三角函数值。

2021年中考数学专题复习：三角形基础

2021年中考数学专题复习：三角形基础一、单选题1．已知等腰△ABC ，AB =AC ，点D 是BC 上一点，若AB =10，BC =12，则△ABD 的周长可能是（）A ．15B ．20C ．28D ．36 2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 是△ABC 的外角平分线，BN ⊥AN 于点N ，且AB ＝4，MN ＝2.8，则AC 的长是（）A ．1.2B ．1.4C ．1.6D ．1.8 3．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（） A ．4cm ，6cm B ．6cm ，8cm C ．8cm ，12cm D ．20cm ，30cm 4．平面内将一副直角三角板（90A FDE ∠=∠=︒，45F ∠=︒，60C ∠=°，点D 在边AB 上）按图中所示位置摆放，两条斜边,EF BC 互相平行，则BDE ∠等于（）A ．20︒B ．15︒C ．12︒D ．10︒ 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝70°，则∠B 的度数为（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70° 6．如图，已知在ABC 中，AB AC =，70ABC ∠=︒，点P 是BAC ∠的平分线AP 和CBD ∠的平分线BP 的交点，射线CP 交AB 的延长线于点D ，则D ∠的度数为（）A ．15︒B ．17.5︒C ．20︒D ．22.5︒ 7．已知一个三角形的两条边长分别是3和5，则第三条边的长度不能．．是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．将一副三角板按如图所示放置，则BFD ∠的度数为（）A ．75°B ．85°C ．95°D ．105° 9．三角形的两边长为2和4，第三边长是方程2680x x -+=的根，则这个三角形的周长是（）A ．8B ．10C ．8或10D ．不能确定 10．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边AC ，BD ，CE 的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC 的面积为（）平方厘米A ．8B ．12C ．16D ．1811．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（）A ．中线B ．高线C ．角平分线D ．某一边的垂直平分线 12．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AB AD DC ==，过点D 作DE AD ⊥，交AC 于点E ．设BAD ∠=α，CAD β∠=，CDE γ∠=，则（）A ．23180αβ+=︒B ．32180αβ+=︒C ．290βγ+=︒D ．290βγ+=︒二、填空题 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为_______14．如图，在ABC 中，D 是ABC 的重心，1BDE S =，则AEC 的面积是________．15．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的中点，点E 是AD 上的中点，连结BE ，若BDE S ∆=3，则ABC ∆的面积为____．16．一张小凳子的结构如图所示，12∠=∠，若3120∠=︒，则1∠的度数为________．三、解答题17．已知a ，b 是某一等腰三角形的底边长与腰长，且23a b +＝．（1）求a 的取值范围；（2）设32ca b +＝，求c 的取值范围18．证明：三角形内角和180 ．（画出图形，写出已知、求证，并证明）19．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 至点D ，连结DC ，过点B 作BE ⊥DC 于点E ，F 为BC 上一点，FC ＝FE ．连结AF ，AE ．（1）求证：F A ＝FE ．（2）若∠D ＝60°，BC ＝10，求△AEF 的周长．20．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．（1）画111A B C △，使它与ABC 关于直线l 成轴对称；（2）在直线l 上找一点P ，使点P 到点A ，点B 的距离之和最短；（3）在直线l 上找一点Q ，使点Q 到边AC ，BC 的距离相等．21．在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点P ．（1）如图①，如果80A ∠=︒，求BPC ∠的度数；（2）如图②，作ABC 外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线，且交于点Q ，试探索Q ∠，A ∠之间的数量关系；（3）如图③，在图②中延长线段BP ，QC 交于点E 若BQE △中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求A ∠的度数．22．已知ABC 的周长为37cm ，AD 是BC 边上的中线，23AC BC =．（1）如图，当15AB cm =时，求BD 的长．（2）若14AC cm =，能否求出DC 的长？为什么？参考答案1．C【分析】根据三角形的三边关系求出△ABD的周长的取值范围即可解答．【详解】解：如图，∵两边之和大于第三边，∴AD+DB>AB，∴AD+DB+AB>2AB，即△ABD的周长>20，当D与C重合时，△ABD周长最长，为AB+AC+BC=32，∴20<△ABD周长<32，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，注意两边之和大于第三边是解题的关键．2．C【分析】延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，可证N、E、M三点共线，即MN与AB的交点即为AB的中点E，从而易得ME，由AC=2ME即可求解．【详解】解：延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，如图，∵M为BC的中点，∴ME//AC，ME12=AC∵BN⊥AN，∴ANB∆是直角三角形，∴AE=NE12=AB=2又∵AN是△ABC的外角平分线，∴EAN ENA NAD∠=∠=∠∵NEB ENA EAN EAN NAD DAE∠=∠+∠=∠+∠=∠∴NE//AC∴N、E、M三点共线，即MN与AB的交点即为AB的中点E，∵NE＝2，MN＝2.8∴ME=0.8∴AC=2 ME=20.8⨯=1.6故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，得出M、N、AB的中点三点共线．3．D【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形，从而可得答案．【详解】解：由平行四边形的对角线互相平分，可得：A、∵2+3＜10，∴不能构成三角形，故A不符合题意；B、4+3＜10，∴不能构成三角形，故B不符合题意；C、4+6＝10，∴不能构成三角形，故C不符合题意；D、1010+＞15，∴能构成三角形，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的三边之间的关系，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．4．B【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BGD 的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到∠ADG 的度数，从而求解．【详解】解：如图所示，CB 与FD 交点为G ，∵90A ∠=︒，60C ∠=°∴∠B=30°，∵EF ∥BC ，∴∠F=∠BGD=45°，又∵∠ADG 是△BDG 的外角，∴∠ADG=∠B+∠BGD=30°+45°=75°，∴∠BDE=180°-∠ADG-∠EDF=180°-75°-90°=15°故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．5．A【分析】根据直角三角形的性质直接求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∵∠A＝70°，∴∠B＝20°故选：A．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．6．A【分析】由AB=AC，根据等腰三角形的性质推出∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的定义推出∠APB=12∠ACB=35°，最后用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：如图，AP与BC相交于点O，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠CAB=40°，∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，∴∠APB=12∠ACB=35°，∵AB=AC，AP是∠BAC的平分线，∴AP⊥BC，OB=OC，∴CP=BP，∴∠APC=∠APB=35°，∴∠BPC=70°，∵BP是△ABC的外角的平分线，∴∠PBD=12∠CBD=55°，∴∠D=∠BPC-∠PBD=70°-55°=15°．故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．A【分析】设第三边长为x，然后再利用三边关系列出不等式，进而可得答案．【详解】解：设第三边长为x，由题意得：5-3＜x＜5+3，即：2＜x＜8，故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．8．D【分析】由∠BAC=∠ACD＝90°，∠ACB＝30°可得∠BCD＝60°，由三角形外角性质可得∠BFD 的度数．【详解】解：∵∠BAC=∠ACD＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BFD＝∠D+∠B CD＝45°+60°＝105°，故选：D．【点睛】本题考查特殊直角三角形的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．B【分析】首先解方程x2-6x+8=0得：x1=2，x2=4，再根据三角形的三边关系确定第三边长为x=4，再求出三角形的周长即可．解：解方程x 2-6x +8=0，得：x 1=2，x 2=4，∵2+2=4，∴x =2不合题意舍去，∴x =4，∴这个三角形的周长是：2+4+4=10，故选：B ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，关键是正确确定三角形的第三边的长度．10．C【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形进行解答即可．【详解】解：∵F 是EC 的中点， ∴142AEF AFC AEC S S S ∆∆∆===， ∴8AEC S ∆=，∵ E 是BD 的中点，∴ABE AED S S ∆∆=，BEC ECD S S ∆∆=，∵8AED ECD AEC S S S ∆∆∆+==，∴8ABE BEC AEC S S S ∆∆∆+==，∴228=16ABC ABE BEC AEC AEC S S S S S ∆∆∆∆∆=++==⨯，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键．11．A根据三角形的中线、角平分线、高的性质和垂直平分线的性质即可判断．【详解】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本概念．12．D【分析】先根据AB AD DC ==，得出B ADB ∠=∠，β∠=∠=C CAD ，再根据三角形的外角得出+γβ∠=AED ，再根据直角三角形的两锐角互余即可得出结论【详解】解：∵AB=AD=DC ，BAD ∠=α，∴B ADB ∠=∠，β∠=∠=C CAD ，∵DE AD ⊥，∴90ADE ∠=︒，∴+90∠∠=CAD AED∵CDE γ∠=，+∠=∠∠AED CDE C∴+γβ∠=AED∴290βγ+=故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键13．30°或60°【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解．【详解】解：分两种情况：①如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=12（180°-∠A ）=60°； ②如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=12（180°-∠BAC ）=30°．故答案为：30°或60°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质．解决问题的关键是根据已知画出图形并注意要分类讨论．14．3【分析】由三角形的重心是三角形三条中线的交点可得：点E 是BC 的中点，点F 是AC 的中点，BD ∶DF=2∶1，进而根据三角形的中线与三角形面积的关系可得：11,22BFC ABC AEC ABC S S S S ==，12BEF BFC S S =，然后由1BDE S =可进行求解．【详解】解：由三角形的重心是三角形三条中线的交点可得：点E 是BC 的中点，点F 是AC 的中点，∴BD ∶DF=2∶1，∴BD ∶BF=2∶3，由三角形的中线与三角形面积的关系可得：11,22BFC ABC AEC ABC S S S S ==，12BEF BFC S S =， ∴2BFC AEC BEF SS S ==， ∵1BDE S =， ∴3322BEF BDE S S ==， ∴3232AEC S =⨯=；故答案为3．【点睛】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是解题的关键．15．12【分析】根据中线的性质可得S △ABE =S △BDE =3，从而得到S △ABD =6，根据中线的性质可得S △ADC =S △ABD =6，所以可得△ABC 的面积．【详解】解：∵点E 是AD 上的中点，∴S △ABE =S △BDE =3，∴S △ABD = S △ABE +S △BDE =6，∵点D 是BC 上的中点，∴S △ADC =S △ABD =6，∴S △ABC = S △ADC +S △ABD =12．故答案为12．【点睛】本题考查了三角形中线的性质．三角形中线分三角形所得的两个三角形面积相等． 16．60°【分析】根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠1的度数．【详解】解：∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，∠3=120°， ∴113602∠=∠=︒，故答案为：60°．【点睛】本题考查三角形外角的性质．能正确识图是解题关键．17．（1）0 1.5a <<；（2）36c <<【分析】（1）根据23a b+＝可得23b a -＝，再根据三角形三边关系得2b ＞a ，即可求出a 的取值范围；（2）用含a 的代数式表示c ，再根据a 的取值范围和不等式的性质即可求得c 的取值范围．【详解】解：（1）∵23a b+＝， ∴23b a -＝，∵a ，b 是某一等腰三角形的底边长与腰长，∴b+b=2b ＞a ＞0∴3a a ->＞0，解得：0 1.5a <<；（2）∵32ca b +＝，23a b +＝， ∴32c a b +＝=3323a a a +-=+∵0 1.5a <<，∴3236a <+<，即36c <<．【点睛】本题考查等式的性质、不等式的性质、解一元一次不等式、三角形的三边关系，掌握不等式的性质，以及三角形的三边关系是解答的关键．18．见解析．【分析】利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为180°，证明解题即可．【详解】已知：如图，ABC求证：180A B C ∠+∠+∠=︒证明：过点A 作//EF BC ，如图，//EF BC1,2B C ∴∠=∠∠=∠12180BAC ∠+∠+∠=︒180A B C ∴∠+∠+∠=︒∴三角形内角和180︒．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．（1）见解析；（2）15【分析】（1）证明∠EBC＝∠BEF，得出BF＝FE＝FC，在Rt△BAC中，AF是斜边BC上的中线，即可得出结论；（2）易证∠ACD＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°，则∠ECF＝∠ACD+∠ACB＝75°，由（1）得F A＝FE，AF是斜边BC上的中线，得出AF⊥BC，AF＝12BC＝5，由FC＝FE，推出∠EFC＝180°﹣2∠ECF＝30°，得出∠AFE＝60°，则△AEF是等边三角形，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵BE⊥DC，∴∠EBC+∠ECB＝∠CEF+∠BEF＝90°，∵FC＝FE，∴∠ECB＝∠CEF，∴∠EBC＝∠BEF，∴BF＝FE＝FC，在Rt△BAC中，AF是斜边BC上的中线，∴F A＝FC，∴F A＝FE；（2）解：∵∠D＝60°，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACD+∠ACB＝30°+45°＝75°，由（1）得：F A＝FE，AF是斜边BC上的中线，∴AF⊥BC，AF＝12BC＝5，∵FC＝FE，∴∠EFC＝180°﹣2∠ECF＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°，∴△AEF 是等边三角形，∴△AEF 的周长＝3AF ＝3×5＝15．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明△AEF 是等边三角形是解题的关键．20．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析【分析】（1）根据轴对称的性质，在网格上分别找到点A 、点B 、点C 的对称点点1A 、点1B 、点1C ，连接11A B 、11A C 、11B C ，即可得到答案；（2）根据轴对称的性质，得1PB PB =；再根据两点之间线段最短的性质，即可得到答案；（3）结合题意，根据角平分线的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）如图所示，在网格上分别找到点A 、点B 、点C 的对称点点1A 、点1B 、点1C ，连接11A B 、11A C 、11B C；（2）根据（1）的结论，点B 、点1B 关于直线l 成轴对称∴1PB PB =∴1PA PB PA PB +=+如下图，连接1AB∴当点P 在直线l 和1AB 的交点处时，11PA PB AB +=，为最小值，∴当点P 在直线l 和1AB 的交点处时，PA PB +取最小值，即点P 到点A 、点B 的距离之和最短；（3）如图所示，连接1CC根据题意的：11ACC BCC ∠=∠∴点Q 在直线l 和1CC 的交点处时, 点Q 到边AC ，BC 的距离相等．【点睛】本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、两点之间线段最短、角平分线的性质，从而完成求解．21．（1）130︒；（2）1902Q A ∠=︒-∠；（3）A ∠的度数是90°或60°或120° 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB ，进而求出∠BPC 即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN ，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE 中，由于∠Q=90°12-∠A ，求出∠E=12∠A ，∠EBQ=90°，所以如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E ；④∠E=2∠Q ；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）∵80A ∠=︒，∴100ABC ACB ∠+∠=︒，又∵点P 是ABC ∠和ACB ∠的平分线的交点，∴50PBC PCB ∠+∠=︒，∴()180********P PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒；（2）∵外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线交于点Q ， ∴12QBC MBC ∠=∠，12QCB NCB ∠=∠， ∵180ABC MBC ∠+∠=︒，180ACB NCB ∠+∠=︒，∴180MBC ABC ∠=︒-∠，180NCB ACB ∠=︒-∠， ∴()12QBC QCB MBC NCB ∠+∠=∠+∠ ()13602ABC ACB =︒-∠-∠ ()1360180-2A =︒-︒∠⎡⎤⎣⎦ ()11802A =︒+∠ 1902A =+∠︒， ∴()180Q QBC QCB ∠=︒-∠+∠1180902A ⎛⎫=︒-︒+∠ ⎪⎝⎭ 1902A =︒-∠；（3）延长BC 至F ，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A，∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．22．（1）6cm ；（2）不能求出DC 的长，理由见解析【分析】（1）根据23AC AB =，15AB cm =及ABC 的周长为37cm ，可求得BC ，再根据三角形中线的性质解答即可；（2）利用（1）中的方法，求得BC 的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC 不存在，进而可知没法求DC 的长．【详解】解：（1）∵23AC AB =，15AB cm =， ∴215103AC cm =⨯=，又∵ABC 的周长为37cm ，∴37AB AC BC ++=，∴()3737151012BC AB AC cm =--=--=，又∵AD 是BC 边上的中线， ∴()1112622BD BC cm ==⨯=；（2）不能，理由如下： ∵23AC AB =，14AC cm =， ∴()314212AB cm =⨯=，又∵ABC 的周长为37cm ，∴37AB AC BC ++=，∴()373721142BC AB AC cm =--=--=，∴BC+AC=16<AB=21，∴不能构成三角形，故不能求出DC 的长．【点睛】此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线的性质解答．。

专题08 中考19题三角函数的应用—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(原卷版)

专题08三角函数的应用选题介绍本题型属于河南省中招考试的必考题型，每年解答题中均有体现。

本专题整理的三角函数的应用主要是解答题型，所考知识点主要是锐角三角函数在直角三角形中的应用，本题型首先会引入一个环境，然后让学生通过利用解直角三角型的思想求长度。

该题一般为解答题，分值9分，难度系数中等，得分率偏高。

利用三角函数解直角三角形的解题思路：①找直角三角形（注意找哪些角所在的直角三角形）；②构造直角三角形（题目中涉及的角如果在直角三角形中不需构造，直接解直角三角形，如果不再则需作垂线构造）；③解直角三角形；④设直角边为x；（直角三角形中有边长时直接求其它边，没有边长时需要设x）；⑤利用三角函数构造关于x的方程。

真题展现2022年河南中招填空题第19题19.开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑。

某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得浮云阁顶端D的仰角儿为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°。

已知测角仪的高度为1.5m，测量点A、B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求浮云阁DC的高度。

（结果精确到1m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）.2021年河南中招填空题第19题19．（9分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．2020年河南中招填空题第18题18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．2019年河南中招填空题第19题19．（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）2018年河南中招填空题第20题20．（9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE（结为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）模拟演练字母型1.黄河全长约5464千米，是中国第二长河．位于郑州市黄河文化公园东部的黄河滩地公园，集休闲观光、农业采摘、林间漫步、亲子研学等多项功能，成为省会郑州的“大氧吧”“后花园”和网红打卡地．周末，小明一家来到黄河滩地公园游玩，小明想测量某段黄河的宽度．如图，小明利用自制测角仪，在河岸A处测得对岸C处在南偏东40°方向，沿岸边向东走100步到达B处，并测得对岸C处在南偏东30°方向，请根据以≈︒≈︒≈，上信息，估算此段黄河的宽度．（结果精确到0.1m．参考数据：一步0.8m,sin400.64,cos400.77︒≈≈tan40 1.73）2.无塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔．某数学活动小组到汝南测无影塔的高度．如图，他们在点D处测得塔顶A的仰角为30°，沿直线前行23米至点C，在点C处测得塔顶4的仰角为50︒．已如点B，C，D在同一直线上，请依据相关数据求无影塔的商度（结果精确到0.1m．参考数据：sin500.77,cos500.64,tan50 1.117︒≈︒≈︒≈≈9.3）．背靠背型3．如图，小明在某森林公园的一处观景台观赏垂直而下的瀑布，从D点看到瀑布顶端B的仰角为45︒，看到瀑布底端E的俯角为30︒，若瀑布底有一水潭，D点到水潭水平面的距离DA为4m，求瀑布顶端到水潭水平面的距离BE的长．（结果保留整数．参考数据：2 1.414≈≈，3 1.732)4.被誉为“天下第一塔”的开封铁塔，八角十三层，其设计精巧，单是塔砖就有数十种图案．铁塔位于铁塔公园的东半部，是园内重要的文物，也是主要的景点，始建于公元1049年(北宋皇祐元年)，是1961年我国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称．某数学兴趣小组开展了“测量开封铁塔的高度”的实践活动，具体过程如下：工具准备：皮尺，测角仪．方案设计：如图2，开封铁塔AB 垂直于地面，在地面上选取C ，D 两处分别测得ACB ∠和ADB ∠的度数（,,C B D 在同一条直线上）数据收集：通过实地测量：地面上C ，D 120m ，45ACB ∠=︒，42ADB ∠=︒．问题解决：（1）求开封铁塔AB 的高度(精确到0.1m).景点介绍开封铁塔的高度为55.88米，则计算结果的误差为多少？并说出一条导致计算结果产生误差的原因可能是什么？（参考数据：sin420.67︒≈，cos420.74︒≈，tan420.9︒≈ 1.41≈）（2）根据上述方案及数据，请你完成求解过程．活动阅读型5.嵩岳寺塔位于登封市区西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院内，为北魏时期佛塔．该塔是我国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响．某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB 的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin 320.52︒≈，cos320.84︒≈，tan 320.62︒≈）6.手机测距APP 可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的．测量时只需要输入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的高度．某款测距APP 提供的测高模式如下：点,,,A B C D 都在同一平面内，手机位置为A 点，待测物体为CD ，且AB 和CD 均与地面BD 垂直．从点A 处测得顶端C 的仰角为α，底部D 的俯角为β．奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度．如图2，经过测量得到 1.65m AB =，仰角35α=︒，俯角28β=︒，求出广告牌CD 的高度（参考数据：sin 350.57,cos350.82,tan 350.70,sin 280.47,cos 280.88,tan 280.53︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，结果精确到0.1）．垂直构造型7．宝轮寺塔-中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱-呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”．当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度()AB进行测量．因塔底部B无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面C处测得塔尖A的仰角()∠为45︒，因ACB广场面积有限，无法再向C点的正后方移动，故操控无人机飞到C点正上方10米的D处测得塔尖A的仰角为32︒，A，B，C，D四点在同一个平面内，求塔高()AB为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：︒≈︒≈，tan320.62)sin320.53︒≈，cos320.858.如图，活动课上，小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41）．不规则图形构造直角三角形9.郑州外国语中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行60米至B 处，测得正前方河流右岸D 处的俯角为30°．线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一条直线上．其中tan 2α=，MC =米．（1）求无人机的飞行高度AM ；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD ．（结果精确到1 1.41≈， 1.73≈）10.如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角∠EOA=30°，在OB 的位置时俯角∠FOB=60°，若OC ⊥EF ，点A 比点B 高7cm ，求单摆的长度（结果精确到0.1，1.73）．。

北师大版初三数学下册中考专题复习——三角函数及应用

中考考前专题复习——三角函数及应用一、教材剖析1、本节内容属于北师大版九年级数学下册第一章的内容，位于本册书的第 19 页至 21 页（包含练习题）。

2、本章“直角三角形的边角关系”属于三角学，主要内容包含：锐角三角函数（正弦、余弦和正切），解直角三角形以及三角函数法在解有关的综合题中的运用（意识）。

解直角三角形在实质中间有着宽泛的应用，锐角三角函数为解直角三角形供给了有效的工具．相像三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时常常使用的数学结论，所以本章与“勾股定理” 和“相像”两章有着亲密关系。

锐角三角函数是本套教科书中独一出现过的初等超越函数，出现过的其余函数（一次函数、二次函数等）都是代数函数。

锐角三角函数的一个突出特色是看法的产生和应用都与图形分不开 .锐角三角函数拥有鲜亮的几何意义，其自变量是角，函数值是直角三角形中边长的比值。

学习本章不单能够使学生对函数看法的认识更全面，并且能够对用变化和对应的看法议论几何图形问题的方法认识得更深入 .。

3、本节内容属于三角学内容的一部分，是在直角三角形三角函数知识教授以后的简单运用。

是《数学课程标准》中“图形与几何”领域的“图形变化” 中的重要内容。

主要研究解利用三角函数解决实质问题.掌握锐角三角函数的看法和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

二、学生知识情况剖析学生已经学习了直角三角形中量与量之间的三个关系：边与边的关系（勾股定理）；角与角的关系（直角三角形两锐角互余）；边与角的关系（正弦、余弦、正切）。

并能够利用这三个关系，在直角三角形中进行一些简单计算，并且能依据生活中的一些情形，用所学知识解决一些简单的实质问题。

在整个学习过程中学生已经经历了好多合作学习的过程，拥有了必定的合作学习的经验，具备了必定的合作与沟通的能力。

并对用数学有相当的兴趣和踊跃性.可是学生研究和解决问题的能力毕竟有限，尚待增强.本节课主假如在学生原有认知能力的基础上，进一步学惯用锐角三角函数解决实质问题，经历把实质问题转变成数学识题的过程，成立相应的数学模型，以提升应用数学知识解决实质问题的能力。

中考数学重要知识点解析三角函数的计算与应用

中考数学重要知识点解析三角函数的计算与应用三角函数是中学数学中的重要知识点，它在几何学和三角学的相关领域中有着广泛的应用。

掌握三角函数的计算与应用，对于中考数学的学习至关重要。

本文将对三角函数的计算方法和应用进行解析。

一、弧度制和角度制的转换在计算三角函数时，有时会涉及到角度的转换。

在数学中，角度的计量方式有角度制和弧度制两种。

角度制是将一个圆周等分为360等份，以度（°）作为计量单位；而弧度制是以圆的弧长所对应的圆心角作为计量单位。

在数学中，我们常常使用45°和π/4两种表示方式，它们是等价的。

具体转换公式如下：弧度制角度 = 弧度× (180/π)角度制角度 = 角度× (π/180)二、常用三角函数的计算在三角函数中，最常用的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

这些函数的值与角度的大小有着密切的关系。

可以通过查表或计算器进行具体数值的计算。

1. 正弦函数正弦函数的定义为：sinθ = 对边/斜边其中θ为角度，对边指的是与角度θ相对的边，斜边指的是三角形中斜边的长度。

正弦函数的取值范围是[-1, 1]。

2. 余弦函数余弦函数的定义为：cosθ = 邻边/斜边其中θ为角度，邻边指的是与角度θ相邻的边，斜边指的是三角形中斜边的长度。

余弦函数的取值范围也是[-1, 1]。

3. 正切函数正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边其中θ为角度，对边指的是与角度θ相对的边，邻边指的是与角度θ相邻的边。

正切函数的取值范围是(-∞, +∞)。

三、三角函数的应用三角函数在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

在中考数学中，我们也常常需要运用三角函数来解决一些实际问题。

以下是几个常见的应用场景：1. 三角形的边长计算已知一个三角形的两个角度和一个边长，我们可以利用三角函数来计算其他边长的值。

例如，已知一个直角三角形的一个锐角为30°，另一个锐角为60°，我们可以利用sin30°和cos30°来计算三角形的边长。

三角函数的应用中考数学中的常见问题解决方法

三角函数的应用中考数学中的常见问题解决方法三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，尤其在中考数学中经常出现。

然而，由于其复杂性，学生们常常遇到一些问题。

本文将介绍一些常见的问题以及相应的解决方法，以帮助学生更好地应对三角函数的应用。

问题一：如何准确计算三角函数的值？解决方法：为了准确计算三角函数的值，学生需要熟悉常见角度的正弦、余弦和正切值，并掌握使用计算器的技巧。

同时，学生还应了解特殊角度的三角函数值，如30°、45°和60°等，因为它们在问题求解中经常出现。

问题二：如何确定一个三角形的边长或角度？解决方法：在解决三角形的边长或角度问题时，可以运用正弦定理、余弦定理和正切定理。

正弦定理可以帮助我们求解三角形的边长，而余弦定理则常用于解决三角形的角度问题。

正切定理适用于特殊情况，如等腰三角形。

问题三：如何应用三角函数解决实际问题？解决方法：实际问题中经常涉及到三角函数的应用，比如测量高楼的高度、计算物体的飞行距离等。

解决这类问题时，我们可以通过建立适当的图形模型，使用三角函数来表达出已知和未知量之间的关系。

在这个过程中，学生需要善于抽象问题，将其转化为数学模型。

问题四：如何解决解三角函数方程的问题？解决方法：解三角函数方程需要运用三角恒等式和解方程的技巧。

首先，学生需要了解常用的三角恒等式，并熟练掌握其证明和应用。

其次，学生需要将方程化简为三角恒等式的形式，并找到方程的解。

最后，学生还需检验解是否满足原方程。

问题五：如何使用三角函数图像解决问题？解决方法：三角函数的图像通常是一种周期性的波动曲线，通过观察图像，可以获得有关函数性质的信息。

学生可以利用图像分析函数的周期、幅值、最大值、最小值等特征属性，并将其应用于问题求解。

同时，学生还需注意辨别不同类型的三角函数图像，并了解其基本特点。

问题六：如何解决三角函数的复合问题？解决方法：三角函数的复合问题意味着需要嵌套运用多个三角函数公式进行计算。

2021年九年级中考数学一轮复习：锐角三角函数及其应用(含答案)

2021中考数学一轮复习：锐角三角函数及其应用一、选择题1. （2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为（）A.21313B.31313C.23D.322. 如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（）A.62 B.2626 C.1326 D.13133. (2019•江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30，则教学楼的高度是30°CDA．55.5m B．54m C．19.5m D．18m4. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是()A.12B. 1C. 3D. 25. (2019•湖南长沙•3分)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是A．303nmile B．60nmileC．120nmile D．(30+303)nmile6. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于A．asinx+bsinx B．acosx+bcosxC．asinx+bcosx D．acosx+bsinx7. （2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．a cos x+b sin x B．a cos x+b cos x C．a sin x+b cos x D．a sin x+b sin x8. 如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α)二、填空题9. 长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m .10. (2019•湖北荆门)计算23++|sin30°﹣π0|+3278-=__________．11. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的边缘光线AB ，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A 与地面的距离为1 m ，则该车大灯照亮的宽度BC 是________m ．(不考虑其他因素，参考数据：sin 8°＝425，tan 8°＝17，sin 10°＝910，tan 10°＝528)12. (2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．13. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)14. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)15. 【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，AD＝36，CD ＝1,则BC 的长为 . 16. （2020·苏州）如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC .过点A 作AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E .设10OA =，12DE =，则sin MON ∠=________.三、解答题17. 若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A 处沿直线方向开往对岸的B 处，AB 与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A 处到B 处约需时间几分．(参考数据：3≈1.7)18. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．19. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF.(1)求证:BF是☉O的切线;(2)若☉O的直径为3，sin∠CBF=，求BC和BF的长.20. (2019·本溪)小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE 上，支杆DF=30cm，CE：CD=1：3，∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求AC的长度(结果保留根号)；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号)．21. 如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图22021中考数学一轮复习：锐角三角函数及其应用-答案一、选择题1. 【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC 的正弦值转化成求∠ABC 的正弦值.连接AC 、BC ，∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧长都是AC ，∴根据圆周角定理知，∠ADC ＝∠ABC ，∴在Rt △ACB 中，根据锐角三角函数的定义知，sin ∠ABCACBC=，∵AC ＝2，CB＝3，∴AB 13=，∴sin ∠ABC 33131313==，∴∠ADC 的正弦值等于31313，因此本题选B ．2. 【答案】B【解析】过点B 作BD ⊥AC 于D 点D ，则∠ADB=90°，设小正方形方格的边长为1，根据勾股定理得AB=222313+=，BD=122,∴在Rt △ABD 中，sin ∠BAC=22622613BD AB ==,故选B ．3. 【答案】C【解析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，183DE BC ==在Rt ADE △中，tan30AEDE=， 318318(m)AE ∴==，18 1.519.5(m)AB ∴=+=，故选C ．30°CDABE4. 【答案】D【解析】如解图，将AB平移到PE位置，连接QE, 则PQ＝210，PE＝22，QE＝42，∵△PEQ中，PE2＋QE2＝PQ2，则∠PEQ＝90°，∴tan∠QMB＝tan∠P＝QEPE＝2.5. 【答案】D【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC，∴CD=AC•cos∠ACD=60×3=303．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=303，∴AB=AD+BD=30+303．所以此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+303)nmile．故选D．6. 【答案】D【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选D．7. 【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO ＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAOODAD=，cos∠CDEDECD=，∴OD＝AD×sin∠DAO＝b sin x，DE＝D×cos∠CDE＝a cos x，∴OE＝DE+OD＝a cos x+b sin x，∴点C到x轴的距离等于a cos x+b sin x；因此本题选A．8. 【答案】C【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．二、填空题9. 【答案】2(3－2)【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin45°＝4×2 2＝22，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin60°＝4×32＝23，故梯子顶端沿墙面升高了23－22＝2(3－2)m .10. 【答案】1﹣3【解析】原式=2﹣3+1﹣12﹣32=1﹣3．故答案为：1﹣3．11. 【答案】1.4【解析】如解图，作AD ⊥MN 于点D ，由题意得，AD ＝1 m ，∠ABD ＝8°，∠ACD ＝10°，∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∴BD ＝AD tan 8°＝117＝7 m ，CD ＝AD tan 10°＝1528＝285＝5.6 m ，∴BC ＝BD －CD ＝7－5.6＝1.4 m .12. 【答案】0【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．13. 【答案】11【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．14. 【答案】103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m .15. 【答案】5或7【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D 在BC 延长线上，在△ABD 中 tan ∠ABD ＝BD AD ，∴3＝BD36解得6＝BD ，∴BC ＝BD － CD ＝6－1＝5；②点D 在BC 上，在△ABD 中 tan ∠ABD ＝BD AD ，∴3＝BD36解得6＝BD ，∴BC ＝BD ＋ CD ＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．D D A B B AC C16. 【答案】【答案】2425三、解答题17. 【答案】解：如解图，过点B 作BC 垂直于河岸，垂足为C ，则在R t △ACB 中，有AB ＝BC sin ∠BAC ＝900sin60°＝600 3. 因而时间t ＝60035×60＝23≈3.4(分) 即船从A 处到B 处约需3.4分．解图18. 【答案】【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD 是正方形，BD 是角平分线，可想到连接CG ，易得CG ＝AG ，再由四边形CEGF 是矩形可得AG 2＝GE 2＋GF 2；(2)给出∠AGF ＝105°，可得出∠AGB ＝60°，再由∠ABG ＝45°，可想到过点A 作BG 的垂线，交BG 于点M ，分别在两个直角三角形中得出BM 和MG 的长，相加即可得出BG 的长．解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2；(1分)理由：连结CG ，∵ABCD 是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，(2分)∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠GFC＝90°，∴四边形CEGF是矩形，(3分)∴CF＝GE，在直角△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(4分)(2)过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，(6分)∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AMGM，∴GM＝66，(8分)∴BG＝BM＋GM＝22＋66＝32＋66.(10分)19. 【答案】解:(1)证明:连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC.∵AB=AC，∴BE=EC，∠BAE=∠CAE.∵∠BAC=2∠CBF，∴∠BAE=∠CBF.∵∠BAE+∠ABE=90°，∴∠CBF+∠ABE=90°，∴AB⊥BF，∴BF是☉O的切线.(2)由(1)得∠BAE=∠CBF，∴sin∠CBF=sin∠BAE=，∵∠AEB=90°，AB=3，∴BE=AB sin∠BAE=，∴BC=2BE=2.过点C作CH⊥BF于H点，在Rt△CBH中，CH=BC sin∠CBF=2，BH=2，∵CH⊥BF，AB⊥BF，∴AB∥CH，∴△FCH∽△F AB，∴=，∴=，∴BF=6.20. 【答案】(1)如图，过F作FH⊥DE于H，∴∠FHC=∠FHD=90°，∵∠FDC=30°，DF=30，∴FH=12DF=15，DH=323∵∠FCH=45°，∴CH=FH=15，∴3，∵CE：CD=1：3，∴DE=433∵AB=BC=DE，∴3；(2)过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，∵∠ACG=45°，∴AG=2226，答：拉杆端点A 到水平滑杆ED 的距离为(20)cm ．21. 【答案】探究 AH ＝12，AC ＝15，S △ABC ＝84．拓展（1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x +=．由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14．所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14．发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565．。

中考数学复习指导：三角函数万能公式

中考数学复习指导：三角函数万能公式学生能力的形成立足于长期的积存和实践，但中考前夕的科学指导对考生答题的积极意义也是不容忽视的。

如何在复习过程中加强实效性，下面为大伙儿整理了2021中考数学复习指导的相关内容。

万能公式(1)(sin)^2+(cos)^2=1(2)1+(tan)^2=(sec)^2(3)1+(cot)^2=(csc)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)^2,第二个除(cos)^2即可(4)关于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样能够得证,当x+y+z=nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC三角函数万能公式什么缘故万能万能公式为：设tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t^2) (A+，kZ)tanA=2t/(1-t^2) (A+，kZ)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。

cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A+，且A+(/2) kZ)要练说，得练看。

专题19 三角函数应用-2021年中考数学名校地市必刷题(江苏专用)(解析版)

专题19 三角函数应用一、单选题（共12小题）1.（2020秋•普陀区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，那么tan B的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：如图，由勾股定理得，AC＝＝＝，∴tan B＝＝，故选：C．【知识点】锐角三角函数的定义、勾股定理2.（2020秋•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里【答案】B【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题3.（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．【知识点】三角形的外接圆与外心、圆周角定理、解直角三角形4.（2020秋•杨浦区期末）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】A【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题5.（2021•松江区一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米【答案】C【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．【解答】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10米，∴BE＝5米，AE＝5米，∴CE＝BC﹣CE＝20﹣5＝15（米），∴AC＝（米），故选：C．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题6.（2020春•沙坪坝区校级月考）小明为了测量一楼房AB的高度，如图，小明从楼底B出发走了10米到达一坡角（即∠DCM）为30°的斜坡的底部，再走12米到达一观测平台，测得楼顶A的仰角∠ADH为37°．则楼房AB的高度为（）（参考数据：cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，＝1.7）A．15 B．21 C．22 D．16【答案】B【分析】作DN⊥BM于N，则HB＝DN，DH＝BN，由含30°角的直角三角形的性质得HB＝DN＝CD＝6米，CN＝DN＝6米，则DH＝BN＝10+6（米），在Rt△ADH中，由三角函数定义求出AH＝15.15米，得出AB＝AH+HB≈21米即可．【解答】解：作DN⊥BM于N，如图：则HB＝DN，DH＝BN，∵∠DCN＝30°，CD＝12米，∴HB＝DN＝CD＝6米，CN＝DN＝6米，∴DH＝BN＝BC+CN＝10+6（米），在Rt△ADH中，tan∠ADH＝＝tan37°＝0.75，∴AH＝0.75DH＝0.75×（10+6）＝15.15米，∴AB＝AH+HB＝15.15+6≈21（米），即楼房AB的高度约为21米．故选：B．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题7.（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，重庆建川博物馆的主题雕塑“冒着敌人的炮火”矗立在鹅公岩长江大桥旁，为了测量雕塑AE的大致高度，小南同学在点C处测得雕塑顶部A的仰角为45°，雕塑底部E 的仰角为37°，再沿着CB方向走8米到达点D，此时测得雕塑顶部A的仰角为54.5°，小南同学的身高忽略不计，已知A、B、C、D、E在同一平面内，则该雕塑AE的高度约为（）米．（参考敷据：tan37°≈0.75，tan54.5°≈1.40）A．7 B．8 C．21 D．28【答案】A【分析】设BD＝x米，则BC＝BD+CD＝（x+8）米，证出△ABC是等腰直角三角形，得AB＝BC＝（x+8）米，在Rt△ABD中，由三角函数定义得tan∠ADB＝＝tan54.5°≈1.40，解得：x≈20，则AB＝BC＝28（米），在Rt△BCE中，由三角函数定义求出BE≈21（米），即可得出答案．【解答】解：设BD＝x米，则BC＝BD+CD＝（x+8）米，由题意得：∠ADB＝54.5°，∠BCE＝37°，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC＝（x+8）米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝54.5°，∵tan∠ADB＝＝tan54.5°≈1.40，∴≈1.40，解得：x≈20，∴AB＝BC＝28（米），在Rt△BCE中，∠BCE＝37°，∵tan∠BCE＝＝tan37°≈0.75，∴BE≈0.75BC＝0.75×28＝21（米），∴AE＝AB﹣BE＝28﹣21＝7（米），即该雕塑AE的高度约为7米，故选：A．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题8.（2020秋•九龙坡区校级期中）如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33【答案】A【分析】通过作高利用坡比求出DM＝EM＝1，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，再根据三角函数的意义，用AF表示DF，最后再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数，设未知数，列方程求解即可．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题9.（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据tan∠EAC＝，可得＝，由△EFC∽△ABC，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵DF⊥AB，∴∠ADF＝90°，∴∠BAC+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴△ECF∽△ACB，∴＝＝tan∠EAC＝，∴＝，又∵S△ECF＝1，∴S△ABC＝9，故选：C．【知识点】解直角三角形、三角形的面积10.（2020•武汉模拟）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝…，依此规律写出tan∠BA7C＝，则n＝（）A．40 B．41 C．42 D．43【答案】D【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．【解答】解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝，△BA4C的面积＝4﹣2﹣＝，∴CH＝，解得，CH＝，则A4H＝＝，∴tan∠BA4C＝＝，1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，∴tan∠BA n C＝，∴tan∠BA7C＝，则n＝43．故选：D．【知识点】解直角三角形、规律型：图形的变化类11.（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接CE，若BC＝6，tan∠ECB＝，则△AEC的面积为（）A．B．2 C．D．2【答案】D【分析】通过作辅助线得出S△AEC＝S△DEC，根据等腰三角形的性质，可求出S△DEC，进而得出答案．【解答】解：连接BE，过点D作DM⊥EC，垂足为M，∵点D是BC边上的中点，BC＝6，∴BD＝CD＝3，由折叠得，BD＝DE，AD⊥BE，∴DE＝DB＝DC，∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，∴EC∥AD，∴S△AEC＝S△DEC，在△DEC中，DE＝DC＝3，DM⊥EC，∴ME＝MC，∵tan∠MCD＝＝，设MC＝2m，则DM＝m，由勾股定理得，DM2+MC2＝DC2，即4m2+5m2＝32，解得m＝1，∴DM＝，MC＝2，∴S△DEC＝EC•DM＝2，故选：D．【知识点】三角形的面积、解直角三角形、翻折变换（折叠问题）12.（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．利用全等三角形的性质证明BM＝CF＝9，AB＝BM，利用勾股定理求出BC，AC即可解决问题．【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，∵CE∥BM，∴∠AFE＝∠M，∵EA＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∴∠BAM＝∠M，∴AB＝BM＝9，∵AE＝4，∴BE＝5，∵∠EBC＝90°，∴BC＝＝＝12，∴AC＝＝＝15，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：D．【知识点】解直角三角形二、填空题（共8小题）13.（2021•松江区一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴sin∠ABC＝＝，故答案为：．【知识点】解直角三角形14.（2021•虹口区一模）如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝30°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，即可得∠D＝15°．如果设AC＝t，则可得CD＝（2+）t，那么cot15°＝cot D＝＝2+．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是．【分析】利用题中的方法构建一个Rt△ADC，使∠D＝22.5°，然后利用余切的定义求解．【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠D，∵∠ABC＝∠BAD+∠D，∴∠D＝∠ABC＝22.5°，设AC＝t，则BC＝t，AB＝t，∴CD＝BC+BD＝t+t＝（+1）t，在Rt△ADC中，cot D＝＝＝+1，∴cot22.5°＝+1．故答案为+1．【知识点】解直角三角形、含30度角的直角三角形15.（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出AC和BC的长，然后即可得到AB的长，从而可以解答本题．【解答】解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题16.（2020秋•宝山区期末）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为米．【答案】15【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，再根据勾股定理即可求出该大坝迎水坡AB的长度．【解答】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．故答案为：15．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题17.（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方（结地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝m．果保留根号）【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC＝AC＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD＝，∴sin60°＝＝，∴BD＝2（m），故答案为：2．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、含30度角的直角三角形、解直角三角形的应用-仰角俯角问题18.（2020•泰安二模）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC 距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．根据题意可得AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．再根据四边形BCFE是矩形知CF＝BE＝57﹣30．进而可得教学楼BC的高度．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题19.（2020秋•龙沙区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝22021，AC＝22020，点D1，D3，D5， (2)在AB边上，点D2，D4，D6，…D2n在AC边上，若∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，﹣1则D2020D2021＝．【分析】根据直角三角形的边角关系和相似三角形的性质可求出AD1，AD2，AD3，AD4，……AD2020，AD2021，再根据勾股定理求出D2020D2021．【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，∴＝＝＝＝＝＝…＝，∴AD1＝AC＝22019，AD2＝AD1＝22018，AD3＝AD2＝22017，AD4＝AD3＝22016，……AD2020＝AD2019＝20＝1，AD2021＝AD2020＝2﹣1＝，在Rt△AD2020D2021中，AD2020D2021＝＝，故答案为：．【知识点】解直角三角形20.（2020秋•香坊区期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边上一点，连接AE，BN⊥AE，垂足为M，交CD于点N，若tan∠BAE＝，MN＝3，则线段AB的长为．【分析】根据四边形ABCD是正方形，可得∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，根据BN⊥AE，可得∠BAE ＝∠MBE，根据tan∠BAE＝，可以证明E是BC的中点，N是CD的中点，设BE＝a，则CN＝a，AB＝2a，根据勾股定理可得关于a的方程即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∴∠BAE+∠ABM＝90°，∵BN⊥AE，∴∠MBE+∠ABM＝90°，∴∠BAE＝∠MBE，∵tan∠BAE＝＝，∴AB＝2BE，∴BC＝2BE，∴E是BC的中点，同理可证：N是CD的中点，设BE＝a，则CN＝a，AB＝2a，∴AE＝BN＝＝a，∴BM＝BN﹣MN＝a﹣3，∵tan∠BAE＝tan∠BAM＝＝，∴AM＝2a﹣6，在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，AB＝2a，∴AB2＝AM2+BM2，∴4a2＝（2a﹣6）2+（a﹣3）2，整理，得7a2﹣10a+15＝0，解得a1＝，a2＝，∵a﹣3＝×﹣3＜0，∴不符合题意，舍去，∴AB＝2a＝2．故答案为：2．【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形三、解答题（共10小题）21.（2021•普陀区一模）计算：cos30°﹣2sin245°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2×（）2+＝﹣2×+＝﹣1+﹣1＝﹣2．【知识点】特殊角的三角函数值22.（2021•松江区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到cot∠BAD的值．【解答】解：（1）设AC＝3x，∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，∴AB＝5x，BC＝4x，∵tan∠DAC＝，∴CD＝2x，∵BD＝4，BC＝CD+BD，∴4x＝2x+4，解得x＝2，∴AC＝3x＝6；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴cot∠BAD＝＝＝，即cot∠BAD的值是．【知识点】解直角三角形23.（2020•顺德区模拟）如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．【分析】（1）证△BEF≌△DGH即可；（2）设：AE＝x，则EB＝x+1，tan∠AEH＝2＝，即可求解．【解答】解：（1）∵ABCD是矩形，AE＝CG，BF＝DH，∴EB＝DG，FC＝AH，∠EBF＝∠GDH＝90°，∴△BEF≌△DGH，（SAS），∴EF＝GH，同理EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）设：AE＝x，则EB＝x+1，∵∠FEB＝45°，∴FB＝EB＝x+1＝DH，在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2＝＝，解得：x＝2，即：AE的长为2．【知识点】平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、正方形的性质、矩形的性质24.（2020•河南模拟）某风景区内为了方便游客登上山顶，计划从山底A点到山顶C点修建观光缆车，此时从A点观测C点的仰角为45度；施工组经过实地勘察后，为了安全，决定将观光缆车的钢索改为AD、CD两段，D点是半山腰上距离地面AB30米的一个支点，从A点观测D点的仰角为30°．从D点观测山顶C点的仰角为75°，请你通过自己学过的知识来求出这座山的高度BC约为多少米．（结果保留整数．可能用到的数据：≈1.73．sin75°≈0.96．cos75°≈0.26．tan75°≈3.73）【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴DE＝BF，DF＝BE，∵∠BAC＝45°，∠B＝90°，∴AB＝BC，设AB＝BC＝x，∵DE＝30，∠DAE＝30°，∴AE＝30，∴DF＝BE＝x﹣30，CF＝x﹣30，∵∠CDF＝75°，∴tan75°＝＝＝3.73，解得：x≈60（m），答：这座山的高度BC约为60米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题25.（2020秋•龙岗区期末）如图，从楼层底部B处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是53°，从楼层顶部A处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是45°，已知楼层AB的楼高为3米．求旗杆CD的高度约为多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）【分析】过A作AE⊥CD于E，则BC＝AE，∠AED＝90°，先证△ADE是等腰直角三角形，得AE＝DE，设BC＝AE＝DE＝x米，则CD＝（x+3）米，再由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．【解答】解：过A作AE⊥CD于E，如图所示：则BC＝AE，∠AED＝90°，由题意得：∠DAE＝45°，∠DBC＝53°，AB＝3米，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，设BC＝AE＝DE＝x米，则CD＝（x+3）米，∵tan∠DBC＝＝tan53°≈，∴≈，解得：x≈9，∴CD＝9+3＝12（米），答：旗杆CD的高度约为12米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题26.（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（取1.7）；（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？【分析】（1）设CD＝x（米），在Rt△ADC中表示出AD＝x，在Rt△BDC中，表示出CD＝BD＝x，根据AB＝AD+BD建立关于x的方程，解之求出x的值，从而得出答案；（2）先求出AC的长度，再乘以单价即可得出答案．【解答】解：（1）∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，设CD＝x，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴，即，∴，在Rt△BDC中，∠B＝45°，∴CD＝BD＝x，∵AB＝AD+BD．∴，∴，∴，∴CD＝91（米）．（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴AC＝182，∵LED节能灯带每米造价为800元，∴800×182＝145600（元），答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．【知识点】解直角三角形的应用27.（2020秋•西岗区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E，垂足为点F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O的半径R＝3，cos∠E＝，求EF的长．【分析】（1）连接OD，证明AB∥OD，由DE⊥AB，可得结论；（2）根据题意得到＝，即可得到＝，由AB∥OD，得到△AEF∽△OED，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵AB＝AC，∴∠B═∠C，∴∠B＝∠ODC，∴AB∥OD，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE⊥AB，cos∠E＝，∴＝，∴＝，∵AB∥OD，∴△AEF∽△OED，∴＝，∵OA＝OD＝R＝3，∴＝，∴EA＝2，∵＝，∴EF＝×2＝．【知识点】勾股定理、垂径定理、解直角三角形、圆周角定理、等腰三角形的性质、直线与圆的位置关系28.（2020秋•龙华区期末）如图，AB是一座高为60（3+）米的办公大楼，快递小哥在AB上的D处操作无人机进行快递业务．这时在另一座楼房的C处有人要寄快递，已知C与D在同一水平线上，从A 看C的仰角为30°，从B看C的俯角为45°．（1）请求出C与D之间的水平距离CD；（2）已知D处信号发射器的信号只能覆盖周围150米范围，若无人机以10m/秒的速度沿着AC方向飞到C 处取快递，请问，当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号）【分析】（1）根据已知可得，∠DAC＝60°，∠DBC＝45°，∠ADC＝90°，设AD＝xm，根据特殊角三角函数即可求出CD的长；（2）过点D作DE⊥AC于点E，设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险，连接DF，则DF＝150m，根据三角函数和勾股定理即可求出AF的长，进而可得当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险．【解答】解：（1）由已知得，∠DAC＝60°，∠DBC＝45°，∠ADC＝90°，设AD＝xm，在Rt△ADC中，∵tan∠DAC＝，∴CD＝AD tan∠DAC＝x×tan60°＝x，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°﹣∠DBC＝45°＝∠DBC，∴BD＝CD＝x，∵AB＝AD+BD，∴x+x＝60（3+），解得x＝60，∴CD＝x＝180（m），答：C与D之间的水平距离CD为180m；（2）过点D作DE⊥AC于点E，设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险，连接DF，则DF＝150m，在Rt△ADE中，∵sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴DE＝AD sin∠DAC＝60sin60°＝90（m），AE＝AD cos∠DAC＝60cos60°＝30（m），在Rt△DEF中，根据勾股定理，得EF＝＝＝120（m），∴AF＝AE+EF＝（30+120）m，∴t＝＝＝（3+12）秒．答：当无人机飞行（3+12）秒后会出现接收不到信号的危险．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题29.（2020秋•锦江区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB上任意一点，连结ED，作ED的中垂线交AD于点M，交DC延长线于点N，连结EN交BC于点F．（1）当E为AB中点时，求∠MED的正切值．（2）在（1）的条件下，求△FCN的面积．（3）当△BEF的周长与△AEM的周长之差为1时，求∠EFB的正弦值．【分析】（1）由正方形的性质得出AD和AE的值，再由中垂线的性质得出∠MED＝∠ADE，然后利用tan ∠MED＝tan∠ADE计算即可．（2）设MN与ED交于点G，由正方形的性质及中垂线的性质得出∠DNG＝∠ADE，再利用等角的正切值相等求得DN及CN的值，然后证明△EBF∽△NCF，由相似三角形的性质得出BF与CF的数量关系，从而利用BF+CF＝BC＝4，求得CF的值，最后利用三角形的面积公式计算即可．（3）设AE＝x，AM＝y，则BE＝4﹣x，MD＝4﹣y，用x表示出y，再证明△MEN≌△MDN（SSS），△AEM∽△BFE，分别用含x的式子表示出△BEF的周长与△AEM的周长，根据二者之差为1，得出关于x的方程，求得x的值，则y的值也可求得，从而求得相关线段，然后可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝90°，∵E为AB中点，∴AE＝AB＝2，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝＝＝，∵MN为ED的中垂线，∴ME＝MD，∴∠MED＝∠ADE，∴tan∠MED＝tan∠ADE＝．（2）设MN与ED交于点G，由（1）知AE＝BE＝2，AD＝4，∠A＝90°，∴DE＝＝＝2，∵MN为ED的中垂线，∴EG＝DG＝DE＝，∠DGN＝90°，∴∠DNG+∠NDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠ACD＝90°，BC＝CD＝AB＝4，AB∥CD，∴∠ADE+∠NDG＝90°，∴∠DNG＝∠ADE，∴tan∠DNG＝tan∠ADE＝．在Rt△NGD中，tan∠DNG＝＝，∴GN＝2DG＝2，∴DN＝＝＝5，∴CN＝DN﹣DC＝5﹣4＝1，∵AB∥CD，∴△EBF∽△NCF，∴＝＝，∴BF＝2CF，∵BF+CF＝BC＝4，∴2CF+CF＝4，∴CF＝，∴S△FCN＝CF•CN＝××1＝．（3）设AE＝x，AM＝y，则BE＝4﹣x，MD＝4﹣y．∵MN为ED的中垂线，∴ME＝MD＝4﹣y，NE＝ND，在Rt△AEM中，AE2+AM2＝ME2，∴x2+y2＝（4﹣y）2，解得：y＝．在△MEN和△MDN中，，∴△MEN≌△MDN（SSS），∴∠MEN＝∠MDN＝90°，∴∠AEM+∠BEF＝90°，∵∠AEM+∠AME＝90°，∴∠BEF＝∠AME，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEM∽△BFE，∴＝＝，∠EFB＝∠MEA，∴C△BFE＝•C△AEM，∵C△AEM＝AM+AE+ME＝y+x+4﹣y＝x+4，∴C△BFE＝•（x+4）＝＝＝8，∵BE＝4﹣x＞0，∴x＜4，∴C△AEM＝x+4＜4+4＝8＝C△BFE，∴C△BEF﹣C△AEM＝1，即8﹣（x+4）＝1，∴x＝3，∴y＝＝，∴AE＝3，AM＝，ME＝4﹣y＝4﹣＝，∴sin∠EFB＝sin∠MEA＝＝＝．【知识点】正方形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理30.（2020•浙江自主招生）如图，矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE、DE．△DCE沿DE翻折后，点C恰好落在AE上，记为点F．（Ⅰ）求证：△ADF≌△EAB；（Ⅱ）若AD＝10，tan∠EDF＝，求矩形ABCD的面积．【分析】（Ⅰ）根据翻折不变性得到△DCE≌△DFE，根据全等三角形的性质得到DC＝DF，∠DFE＝∠C ＝90°，再根据矩形的性质得到∠DAE＝∠AEB，AB＝DF，从而得到△ADF≌△EAB；（Ⅱ）根据tan∠EDF＝＝，设EF＝x，则DF＝3x，从而用含x的代数式表示出AF，再在Rt△ADF中，根据勾股定理求出x的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵△DCE沿DE翻折得到△DFE，∴△DCE≌△DFE，∴DC＝DF，∠DFE＝∠C＝90°，…（2分）又矩形ABCD中AD∥BC，AB＝CD，∠B＝90．∴∠DAE＝∠AEB，AB＝DF．…（4分）在△ADF与△EAB中，，∴△ADF≌△EAB．…（6分）（Ⅱ）Rt△DFE中，tan∠EDF＝＝，设EF＝x，则DF＝3x，…（7分）∴AF＝AE﹣EF＝AD﹣EF＝10﹣x，在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，∴（10﹣x）2+（3x）2＝102，解得x＝2．…（10分）∴DC＝DF＝3x＝6，∴S矩形ABCD＝10×6＝60．…（12分）【知识点】全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、翻折变换（折叠问题）、锐角三角函数的定义。

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1.“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向八车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解.图中线段AB 表示该工程的部分隧道，无人勘测机从隧道一侧的A 点出发时，测得C 点正上方的E 点的仰角为45°，无人机飞行到E 点后，沿着坡度i ＝1:3的路线EB 飞行，飞行到D 点正上方的F 点时，测得A 点的俯角为12°，其中EC ＝100米，A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，则隧道AD 段的长度约为（）米.（参考数据：tan120.2︒≈，cos120.98︒≈）A.200B.250C.300D.5402．进入12月，南开（融侨）中学的银杏树叶纷纷飘落，毫无杂色的黄足以绚烂整个寒冷萧瑟的冬季，小晨拿出手机准备记录下站在银杏树前M 点的小悠与周围精致浑然一体的美好瞬间.期初小晨站在A 点处，手机距树干3米，只能拍到与水平面夹角为42°的树干B 处及以下范围.于是小晨先后退2米到达坡比为1:3的斜坡底（AD ＝2米），再沿着斜坡后退1米到达斜坡上的C 点（CD ＝1米），按照同样的方式拍照，此时树尖刚好入镜.事后发现，小晨整个运动过程均在同一平面内，拿手机的姿势始终不变，手机距离脚底1.4米，则银杏树高（）米.（sin420.67︒≈，cos420.74︒≈，tan420.90︒≈，3 1.73=）A.7.01B.7.18C.5.28D.5.23ABC DEF3．如图，某信号塔AB 建在陡峭的山坡BC 上，该山坡的坡度i ＝1：2.4，小明为了测得信号塔的高度，他首先在C 处测得山脚与信号塔的水平距离CD ＝96m ，然后沿着斜坡走了39m 到达E 处，他在E 处测得信号塔顶端A 的仰角为60°，则该信号塔AB 的高度约为（）（精确到1米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）A.104米B.79米C.85米D.60米4．重庆实验外国语学校的数学兴趣小组的同学一起去测量校内食堂旁边林荫路上的一颗垂直于地面的大树AB 的高度，如图，他们测得大树前斜坡DE 的坡度i ＝1：3，一名学生长在斜坡底处，测得大树顶端A 的仰角为36.5°，斜坡DE 长为10米，树脚B 离坡顶E 的距离为2米，这名学生的身高CD 为1.6米，则大树高度AB 大约为（）（精确到0.1米，参考数据：3 1.7≈，10 3.3≈，36.50.6︒≈，cos36.50.8︒≈，tan36.50.75︒≈）A.8.9米B.6.6米C.7.2米D.5.6米5．如下图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE ．如图（2），小杰身高为1.6米，小杰在A 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为27°，前进2米到达B 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为39°，斜坡BD 的坡i=1:2.4，BD 长度是13米，GE ⊥DE ，A 、B 、D 、E 、G 在同一平面内，则博物馆高度GE 约为（）米（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）A.24B.25C.26D.27ABC D EABCDEA BCD E6．明明上周末到三峡广场旁的南开中学参观，进入大门，首先映入眼帘的是位于林荫路尽头的毛主席像，明明想测量这尊毛主席像的高度．如图，他首先在A 处测得毛主席像的头顶M 的仰角为30°，脚底N 的仰角为18°，然后往前走10米到达B 处，在B 处测得脚底N 的仰角为22°．若A 、B 、M 、N 在同一个平面内，且MN ⊥AB ，请根据明明的测量数据，算出毛主席像的高度MN 约为（）米（结果精确到0.1米，参考数据：sin180.3︒≈，cos180.95︒≈，tan180.32︒≈，sin220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.4︒≈，3 1.732≈）A.11.5B.12.3C.12.9D.13.27．如图，我校临江圆前河坝横断面迎水坡AB 长40m ，坡比是13:，BC 为坝高，某同学在临江圆B 处测得江中迎面匀速驶来的小船在M 处的俯角为14°，他立即朝万象楼方向走17m 到D 处，并向上到达楼顶E 处，共用时60s ，在E 处测得小船在N 处的俯角为42°，已知万象楼高DE ＝25m ，江水深FH ＝9m ，若小船的航行方向和该同学的行走方向与河坝横断面在同一平面内，求小船的行驶速度。

（结果精确到0.01m/s ）（参考数据：3 1.73≈，sin140.2︒≈，tan140.25︒≈，sin420.67︒≈，tan420.90︒≈）MNA万象楼EDBNMC H A8．如图所示，△BDE为一小山坡，工人砍伐离坡脚B处7米远的一棵大树AC，他们在B处测得大树顶端A的仰角是52°，在坡顶E处测得大树顶端A的仰角是28°，已知斜坡BE的坡度为i＝1:2，砍伐时大树AC倒向山坡，并在坡脚B处被折断，大树针对坡顶E，则此时树顶距点E约为（）米（精确到0.01）（参开数据：tan52 1.30︒≈，tan280.90︒≈，sin520.79︒≈，sin280.47︒≈2.236）A.0.14B.0.98C.2.10D.9.109．我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物AB的高度，在山坡坡脚C处测得该座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡CD向上走到100米处的D点再测得该建筑物顶点A的俯角为40°，斜坡CD的坡度i＝1:0.75，A、B、C、D 在同一平面内，则建筑物AB的高度为（）米（结果精确到1米，参考数据：sin400.64︒≈，tan400.84︒≈，cos63.40.45︒≈，tan63.42︒≈）A.20B.21C.22D.2310．如图，小伟在垂直于地面的攀岩墙AB 上进行攀岩训练，一旁坡度i ＝4:3的斜坡EF 顶端有一根高度为2米的标杆FG ，已知小伟身高AC ＝1.6米，出发时测得旗杆顶端G 的仰角38.5GCH ∠=︒，攀爬即将结束时测得旗杆订单G 的俯角14GDK ∠=︒，若AE ＝10米，则小伟此次攀爬的高度AD 约为（）米（参考数据：sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈，sin38.50.62︒≈，cos38.50.78︒≈，tan38.50.80︒≈）A.17.4米B.19.0米C.25.5米D.27.1米11．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳棚，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且AB ＝2.82米，△BCD 表示直角遮阳棚，已知当地一年中在正午的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳棚中CD 的长是（）（结果精确到0.1）（参考数据：sin180.31︒≈，tan180.32︒≈，sin660.91︒≈，tan66 2.2︒≈）A.1.2米B.1.5米C.1.9米D.2.5米12．如图，某公司移动电话信号收发塔AB 建在学校的科技楼BC 上，小飞同学利用测倾器在与点C 距离为27米远的点D 处测得塔顶A 的仰角为60°，斜坡BD 的坡度为13:则信号收发塔AB 的高度约为（）米（精确到0.1米，3 1.73≈，5 2.24≈）A.31.2B.31.1C.30.2D.30.313．朝天门既是重庆城的起源地，也是“未来之城”来福士广场的停泊之地，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，称为我市新的地标性建筑——“朝天杨帆”，来福士广场T3N 塔楼核芯筒于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线，小明为了测量T3N 塔楼的高度，他从塔楼底部B 出发，沿广场前进185米至点C ，继而沿坡度i ＝1:2.4的斜坡向下走65米到达码头D ，然后再浮桥上继续前行110米至趸船E ，在E 处小明操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E 的正上方点F 时，测得码头D 的俯角为58°，楼顶A 的仰角为30°，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 在同一平面，则T3N 塔楼AB 的高度约为（）（结果精确到1米，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈，3 1.73≈）A.319米B.335米C.342米D.356米ABC DABCE FO14．为了测量瀑布的垂直高度，蓉蓉在A 处测得瀑布顶端B 处的仰角为37°，然后眼坡度i ＝1:2.4的斜坡上行了26米后到达D 处，测得B 处的仰角为20°，如图，BC 表示不铺的垂直高度，A 、B 、C 、D 在同一个平面内，A 、C 在同一水平线上，根据蓉蓉的测量数据，求出瀑布的垂直高度BC 约为（）（结果精确到0.1米，参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，sin200.34︒≈，cos200.94︒≈，tan200.36︒≈）A.33.8B.34.2C.35.8D.36.515．如图，已知点C 与某建筑物底端点B 相距306米（点C 与点B 在同一水平面上），某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1:2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则建筑物AB 的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：sin200.342︒≈，cos200.940︒≈，tan200.364︒≈）A.29.1米B.31.9米C.45.9米D.95.9米16．如图，CD 是一长为5米的斜坡（坡度为i ＝1:0.75），AB 是与CD 底部向平的一棵树，在坡顶C 处测得树顶A 点的仰角31α=︒，在坡底部D 处测得树顶A 点的仰角60β=︒，则树高AB 为（）（结果精确到0.1，sin310.52︒≈，tan310.6︒≈1.73≈）A.8.2B.8.3C.8.8D.8.9BCD17．如图，某校初三学生数学综合实践活动小组的同学欲测量校园内一棵雪松树DE 的高度，他们在这棵树正前方的台阶上的点A 处测得树顶端D 的仰角为22°，再到台阶下的点B 处测得树顶端D 的仰角为45°，已知台阶A 点的高度AC 为2米，台阶AB 的坡度i ＝1:2，则大树DE 的高度约为（）（参考数据：sin220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）A.5米B.6米C.7米D.8米18．如图，某信号塔AB 建在陡峭的山坡BC 上，该山坡的坡度i ＝1：2.4，小明为了测得信号塔的高度，他首先在C 处测得山脚与信号塔的水平距离CD ＝96m ，然后沿着斜坡走了39m 到达E 处，他在E 处测得信号塔顶端A 的仰角为60°，则该信号塔AB 的高度约为（）（精确到11.414≈1.732≈）A.104米B.79米C.85米D.60米ABCD E19．重庆实验外国语学校的数学兴趣小组的同学一起去测量校内食堂旁边林荫路上的一颗垂直于地面的大树AB 的高度，如图，他们测得大树前斜坡DE 的坡度i ＝1：3，一名学生长在斜坡底处，测得大树顶端A 的仰角为36.5°，斜坡DE 长为10米，树脚B 离坡顶E 的距离为2米，这名学生的身高CD 为1.6米，则大树高度AB 大约为（）（精确到0.1米，参考数据：3 1.7≈，10 3.3≈，36.50.6︒≈，cos36.50.8︒≈，tan36.50.75︒≈）A.8.9米B.6.6米C.7.2米D.5.6米20．位于鸿恩寺森林公园内的“鸿恩阁”是重庆夜景新高地，主城六区最佳观景点之一，我校综合实践活动小组在A 处测得塔顶P 的仰角为45°，继而他们沿坡度i ＝5：12的斜坡AB 前行26米到达“鸿恩阁”前广场边缘的B 处，由于广场维护而不能继续前行，在B 点测得塔顶P 的仰角为60°，请根据以上条件求“鸿恩阁”的高度PQ ．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈） ABCDEAB CPQBA。