湖南省长沙市一中08-09学年高一下学期期末考试(数学)

长沙市第一中学2008～2009学年度第二学期期终考试·试题卷命题人：李读华 校对人：龚日辉总分：100分一、选择题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）.1. 已知等差数列8,5,2, ,则它的第20项的值为（ ）A ．49-B ．47-C ．48D ．492. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶3．已知某单位共有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为（ ）A ．30B ．36C ．40D ．634．已知,,a b c 表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//a α，//b α，则//a b B ．若//αβ，,a b αβ⊂⊂，则//a b C ．若,a c b c ⊥⊥，则//a b D ．若//,//a c b c ，则//a b 5．某几何体的一条棱长为5，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 （ ） A．B．C．D二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分. 把答案填在答卷中相应的横线上）6．现有红桃2，3，4和黑桃5，6共五张扑克牌，洗牌后将牌点向下置于桌上，若从中任取一张，那么抽到的牌为红桃的概率是 .7．7+7-的等比中项是 .8．已直线l 的倾斜角为135α=︒，且在y 轴正半轴上截距为1，则直线l 的方程是 .（直线方程写成一般式）9．如图是某几何体的三视图，则原几何体的体积（长方形的长为3，宽为2）是 .10．已知如下程序： j =1 WHILE j *j <100 j =j +1 WEND j =j -1 PRINT “j =”；jEND其运行结果是 .11．已知圆锥的表面积是23m π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是r = .12．已知(1,2),(,2)A B m -，若线段AB 的垂直平分线方程为220x y +-=，则实数m 的值是 .13．设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，若a 是从区间[0,3]任取一个数，b 是从区间[0,2]任取一个数，则此方程有实根的概率 .14．设有一个边长为2的正方形，将正方形各边中点相连接得到第二个正方形，再将第二个正方形各边中点连接得到第三个正方形，…，依此类推，这样一共得到了10个正方形.则这10个正方形面积和 .15.的计算可采用如图5所示的算法，则图中①处应填的条件是 .三、解答题（本大题共6小题，前5个小题每题9分，21题10分，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.将一枚骰子先后抛掷两次，则（1）共有多少种不同的结果，其中向上的点数之和为7的结果有多少种？（2）向上的点数之和为7的概率为多少？17．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比活动，规定作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如右图所示）.已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1，第3组的频数为12，试解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）经过评比，第4组和第6组分别有10件，2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？18．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，14AA =，M 、N 分别为1AA 和1DD 的中点，（1）求证：四边形11B C NM 是平行四边形；（2）求异面直线1B N 与直线1D M 所成的角.19．已知直线l 经过点(2,1)P -，且满足点(1,2)A --到l 的距离为1，（1）求l 的方程；（2）求l 关于A 点对称的直线方程.20．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为棱BC 、11C D 的中点. （1）求证：//EF 平面11BB D D ；（2）若正方体的边长为2，求三棱锥11B EFD -体积V .21．已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n n S S --23n n a =，12a =，0n a ≠，2,3,4,n = .（1）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（2）设11(1)n n n n c a a ++=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求数列{}n c 的前21k +项的和21k T +.附加题：（本题满分为5分，计入总分，但总分不超过100分）数列{}n a 是以14a =为首项的等比数列，且3S 、2S 、4S 成等差数列. 设2log ||n n b a =，n T 为数列11{}n n b b +的前n 项和，若1n n T b λ+≤对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值.长沙市第一中学2008～2009学年度第二学期期终考试·答案命题人：李读华 校对人：龚日辉总分：100分一、选择题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）.1. 已知等差数列8,5,2, ,则它的第20项的值为（ A ）A ．49-B ．47-C ．48D ．492. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ D ）A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶3．已知某单位共有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为（ B ）A ．30B ．36C ．40D ．634．已知,,a b c 表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题中正确的是（ D ） A ．若//a α，//b α，则//a b B ．若//αβ，,a b αβ⊂⊂，则//a b C ．若,a c b c ⊥⊥，则//a b D ．若//,//a c b c ，则//a b5．某几何体的一条棱长为5，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为（ ）.A．B．C．D解析：该几何体为长方体的一部分， 如图：5AB =，AE =令BD a =，AC b =，AD z =，CD x =，DE y =，则有：222222222222222265x z b x y a a b z y x y z ⎧+=⎪+=⎪⇒+=⎨+=⎪⎪++=⎩，又a b +≤= 答案：C二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分. 把答案填在答卷中相应的横线上） 6．现有红桃2，3，4和黑桃5，6共五张扑克牌，洗牌后将牌点向下置于桌上，若从中任取一张，那么抽到的牌为红桃的概率是 . 答案：357．7+7-的等比中项是 .答案：2±8．已直线l 的倾斜角为135α=︒，且在y 轴正半轴上截距为1，则直线l 的方程是 .（直线方程写成一般式）解析：tan1351k =︒=-，由斜截式方程可得直线方程为10x y +-=.9．如图是某几何体的三视图，则原几何体的体积（长方形的长 为3，宽为2）是 .解析：由图可知，原几何体为圆柱上方有一个同底的半球，故体积为231421131132333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯=+=. 10．已知如下程序： j =1WHILE j *j 100j =j +1 WEND j =j -1PRINT“j =”；jEND其运行结果是 .答案：911．已知圆锥的表面积是23m π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是r = .答案：1.12．已知(1,2),(,2)A B m -，若线段AB 的垂直平分线方程为220x y +-=，则实数m 的值是 .答案：313．设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，若a 是从区间[0,3]任取一个数，b 是从区间[0,2]任取一个数，则此方程有实根的概率 . 解： 方程2220x ax b ++=有实数根 2222440a b a b ∴∆=-≥⇒≥又0,0a b ≥≥ a b ∴≥故,a b 满足的条件为0302a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩如图它是几何概型，设方程有实根为事件A ，则622()63P A -==. 答案：23. 14．设有一个边长为2的正方形，将正方形各边中点相连接得到第二个正方形，再将第二个正方形各边中点连接得到第三个正方形，…，依此类推，这样一共得到了10个正方形.则这10个正方形面积和 . 解析：如图：第一个正方形边长为2，面积为14S =；22S =； 第三个正方形边长为1，面积为31S =；第四个正方形边长为12，面积为412S =.故面积构成一个以12为公比的等比数列，所以10个正方形面积和为101014[1()]2112T -=-1018(1)2=-=7182-=782--.5所示的算法，则图中①处应填的条件是 .111111816326424555555=⋅⋅⋅⋅⋅，故计算的表达式可看成是数列1111118163264245,5,5,5,5,5的前6项积，即05,1)n a a n ==≥，再构造数列{}(0)n T n ≥：011(1)n n n T T T a n -=⋅=⋅≥，从而①中应填的表达式为T T a =⋅.答案：T T a =⋅三、解答题（本大题共6小题，前5个小题每题9分，21题10分，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.将一枚骰子先后抛掷两次，则（1）共有多少种不同的结果，其中向上的点数之和为7的结果有多少种？ （2）向上的点数之和为7的概率为多少？解：（1）抛掷一次骰子，向上点数有6种结果，抛掷第二次骰子，向上点数有6种结果，故共有可能结果为6636⨯=种.（3分）在上述的所有结果中，点数之和为7的结果有（1，6），（2，5），（3，4），（5，2），（4，3），（6，1）6种.（6分）（2）记事件A ={向上点数之和为7}，由古典概型有61()366P A ==.（9分） 17．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比活动，规定作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如右图所示）.已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1，第3组的频数为12，试解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）经过评比，第4组和第6组分别有10件，2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？ 解：（1）依题意得第3小组的频率为：412346415=+++++， （2分）又第3小组的频数为12，故本次活动的参赛作品数为112605÷=（件）.（4分）（2）根据频率分布直方图可看出，第4组上交的作品数最多，共有：66018234641⨯=+++++（件）.第4组获奖率是105189=. （6分）第6组上交作品数量为：1603234641⨯=+++++（件）.第6组的获奖率为2539>，显然第6组的获奖率较高.（9分）18．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，14AA =，M 、N 分别为1AA 和1DD 的中点，（1）求证：四边形11B C NM 是平行四边形； （2）求异面直线1B N 与直线1D M 所成的角. 解：（1）证明：连结MN ，,M N 为各边中点,11//MN A D ∴且11MN A D =.又1111//B C A D 且1111B C A D =, 11//MN B C ∴且11MN B C =,∴四边形11MNC B 是平行四边形.(4分)（2）连AN ，1AB ，则1//AN D M ，则1ANB ∠是异面直线1B N 与1D M 的所成之角.（6分）在Rt AND ∆中，AN =，在11Rt B D N ∆中，1B N =在1Rt ABB ∆中1AB =，在1AB M ∆中余弦定理有1cos 0AMB ∠==. （9分）19．已知直线l 经过点(2,1)P -，且满足点(1,2)A --到l 的距离为1，（1）求l 的方程；（2）求l 关于A 点对称的直线方程.解：（1）若l 的斜率不存在，则l 的方程为2x =-，此时点A 到l 的距离为1，符合题意.（1分）若l 的斜率存在，设l 的方程为(2)1y k x =++，即210k x y k -++=，则点A 到直线l 的距离41|3|3d k k ==⇒+==-.故l 的方程为4(2)13y x =-++，即为4350x y ++=. 综上所述：直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=. （5分） （2）2x =-关于点(1,2)A --对称的直线为0x =.（6分）令4350x y ++=关于(1,2)A --的对称直线：430x y c ++=， 则|5|251055c c c -=⇒=±⇒=-或15c =，画图可知15C =. 此时所求的直线方程为：43150x y ++=.（9分）20．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为棱BC 、11C D 的中点.（1）求证：//EF 平面11BB D D ；（2）若正方体的边长为2，求三棱锥11B EFD -体积V .解：（1）证法1：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则1//,2OE DC OE DC =． 11//DC DC ，11DC DC =，F 为11D C 的中点，1//OE DF ∴，1OE D F =，四边形1D FEO 为平行四边形．1//EF D O ∴．又 EF ⊄平面11BB D D ，1D O ⊂平面11BB D D ，//EF ∴平面11BB D D ．（5分） 证法2：令G 为11B C 中点，连EG 与FG ，则1//EG BB ，11//FG B D 且EG GF G =∴面//EGF 面11BB D D 又EF ⊂ 面EGF //EF ∴面11BB D D（2） 正方体边长为2，∴11221B D F S ∆=⨯⨯=14， 111111212333B EFD E B FD V V Sh --∴===⨯⨯=. （9分）21．已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n n S S --23n n a =，12a =，0n a ≠，2,3,4,n = .（1）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（2）设11(1)n n n n c a a ++=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求数列{}n c 的前21k +项的和21k T +.解：（1）当2n ≥时，10n n n a S S -=-≠代入已知条件得：2111()()3()n n n n n n S S S S n S S ---+-=-，213n n S S n -∴+=. ①由①得2112112,12S S a a a +=∴++=，121122,8,10a a b a a =∴=∴=+= ， 由321231227,27S S a a a a a +=∴++++=，32237,15a b a a ∴=∴=+=.由①得213(1)n n S S n ++=+. ②由②-①得163(2)n n a a n n ++=+≥，63(2)n b n n ∴=+≥，101,632.n n b n n =⎧∴=⎨+≥⎩（6分）（2）由（1）知，163(2)n n a a n n ++=+≥，2169n n a a n ++∴+=+，26n n a a +∴-=，∴数列2{}n a 是首项为28a =，公差为6的等差数列，数列21{}n a +是首项为37a =，公差为6的等差数列.（8分）21122112233445562212122k k k k k k T c c c a a a a a a a a a a a a a a +++++∴=+++=-+-+--+12423645222213521()()()166661166[7(1)6]2k k k k a a a a a a a a a a a a a a k k k +++=+-+-++-=++++=++-⨯22166(34)182416.k k k k =++=++（10分）附加题：（本题满分为5分，计入总分，但总分不超过100分）数列{}n a 是以14a =为首项的等比数列，且3S 、2S 、4S 成等差数列. 设2log ||n n b a =，n T 为数列11{}n n b b +的前n 项和，若1n n T b λ+≤对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值.解：当1q =时，312S =，28S =，416S =，不成等差数列.当1q ≠时，2341112(1)(1)(1)111a q a q a q q q q---=+---，得2342q q q =+，所以220q q +-=，解得2q =-.所以114(2)(2)n n n a -+=⨯-=-.（2分）122log ||log |(2)|1n n n b a n +==-=+，1111(1)(2)12n n b b n n n n +1==-++++. 所以11111111()()()233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++ . 因为1n n T b λ+≤，所以(2)2(2)n n n λ≤++，所以22(2)nn λ≥+. 又211142(2)2(44)162(4)n n n n=≤=++++. 当且仅当2n =时取等号，所以λ的最小值为116.（5分）。