一元二次方程的应用(动点问题)精编版
一元二次方程的应用3 动点问题
练习
1、某农场要建一个长方形的养鸡场， 鸡场的一边靠墙，墙长25m，另三边用 总长40m的木栏围成。 （1）试通过计算说明鸡场的面积能达 到180m2； （2）鸡场的面积能达到250m2吗？为什 么？
2、将一块长比宽多3cm的长方形铁皮 四角各剪去一个边长为4cm的小正方形， • 做成一个无盖的盒子．已知盒子的体 积是280cm3，求原铁皮的边长．
的速度移动，与此同时，点Q从点B 开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移 动。如果P、Q分别 从A、B同时出发， 经过几秒，三角形 PBQ的面积等于8cm2? （AB=6cm,BC=8cm）
s
练习： 1、如图，在矩形ABCD中， AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点 A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q 沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速 度移动。如果P、Q同时出发，用t（s） 表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t 为何值时， △QAP的面积 等于2cm2?
2、用长为100 cm的金属丝制作一 个矩形框子。框子各边多长时，框 子的面积是600 cm2？能制成面积 是800 cm2的矩形框子吗？
3、据新华网报道，2000年我国共有 荒漠化、沙化土地216.5万平方千米， 2002年初增长到267.4万平方千米。 从2000年初到2002年初的两年间， 我国荒漠化、沙化土地面积的年平 均增长率是多少？
一元二次方程的应用3
动点问题
例1、矩形ABCD中，点P从点A沿AB 向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从 点B开始沿BC向C点以每秒1cm的速度 移动，AB=6cm，BC=4cm， 若P、Q两点分别从A、B 同时出发，问几秒钟后P、 Q两点之间的距离为 cm2
例2、 如图，在
ABC中， B 90， 点p从点A开始沿边AB向点B以1cm
一元二次方程-动点问题
D
C
整理，得 x262x80
解这个方程，得 x1 2,x2 4
Q
0x6所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面
积等于8cm2
A
B
P
A
R
P
例2：等腰直角⊿ ABC
中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,
解：设AP=x，则PR=x，PB沿B=C8A,A-BC向x的B直移线动与,通A过C点,BPC引分平别行交于于R、
四边形DFCE的面积为20cm2？
Ｃ
F Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
添加标题
01 经过多少时间后，S△PCQ的面积为 15cm2？
添加标题
02 请用配方法说明，何时△PCQ的面积 最大，最大面积是多少？
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如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截 去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm． 底面的长AB=_______cm，宽BC=__________cm（用含x的代数式表示） 当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积． 该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明 理由．
5．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5，点Q 从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点 B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后， △PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明 理由．
3、如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶
点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C同时 出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为止,
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
一元二次方程与动点及答案精编版.doc
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1、如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 90°， BC ＝ 12cm， AB ＝ 6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A 、 B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm2？CQ↑B P ← A2. △ ABC 中，∠ B=90 °， AB=5cm ，BC=6cm ，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以 1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2cm/s 的速度移动．如果P、 Q 分别从 A、 B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动．设运动时间为 t 秒．（ 1）填空： BQ=，PB=（用含t的代数式表示）；（2）当 t 为何值时， PQ 的长度等于 5cm ？（3）是否存在 t 的值，使得△ PBQ 的面积等于 4cm 2？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．3. 如图，在△ ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点 B以 1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设 P、 Q 分别从 A 、 B 同时出发，运动时间为 t ，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△ PBQ 的面积等于 8cm 2？（2）是否存在这样的时刻 t ，使线段 PQ 恰好平分△ ABC 的面积？若存在，求出运动时间 t ；若不存在，请说明理由．4.如图所示，△ ABC 中，∠ B=90 °，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动．（1）如果 P， Q 分别从 A ， B 同时出发，经几秒，使△PBQ 的面积等于8cm2？（2）如果 P， Q 分别从 A ， B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进， Q 到 C 后又继续在 CA 边上前进，经过几秒，使△ PCQ 的面积等于 12.6cm 2？5. 如图， A 、 B 、 C 、 D 为矩形的 4 个顶点， AB=16cm ， BC=6cm ，动点 P、 Q 分别从 A 、C 同时出发，点 P 以 3 厘米每秒的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止．点 Q 以 2 厘米每秒的速度向点D 移动，经过多长时间 P 、Q 两点之间的距离是 10 厘米？6.如图， A 、 B、C、D 为矩形的 4 个顶点， AB ＝ 16cm， BC ＝ 6cm，动点 P、Q 分别从点 A 、 C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点 B 移动，经过多长时间 P、 Q 两点之间的距离是 10cm?C DQBP A7.如图，有一边长为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰 △ PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点 B 、C 、Q 、 R 在同一条直线 l 上，当 C 、Q 两点重合时，等腰 △PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 按箭头所示方向开始匀速运动， t 秒后正方形 ABCD 与等腰 △ PQR 重合部分的面积为 Scm 2．解答下列问题：（ 1）当 t=3 秒时，求 S 的值； （ 2）当 t=5 秒时，求 S 的值；（ 3）当 5 秒 ≤t ≤8 秒时，求 S 与 t 的函数关系式．8.2012?重庆模拟）如图，已知正方形ABCD 的边长与Rt△ PQR 的直角边PQ 的长均为6cm，QR=12cm ，AB 与 QR 在同一条直线l 上．开始时点 Q 与点 B 重合，让△ PQR 以 1cm/s 速度在直线 l 上运动，直至点R 与点 A 重合为止，设运动时间为t（ s）， t＞ 0．（1）点 P 与点 D 重合时，令PR 与 BC 交于 M 点，求 PM 的长度；（2）设△PQR 与正方形ABCD 重叠部分的面积为Scm 2，直接写出S 与 t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）在运动的过程中，令线段PR 与线段 AD 的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在 t 的值，使△NQR 为等腰三角形？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．9.（ 2012?市南区模拟）如图，已知正方形 ABCD 的边长与 Rt △ PQR 的直角边 PQ 的长均为4cm ，QR=8cm ， AB 与 QR 在同一直线 l 上，开始时点 Q 与点 A 重合，让 △ PQR 以 1cm/s 的速度在直线 l 上运动，同时 M 点从点 Q 出发以 1cm/s 沿 QP 运动，直至点 Q 与点 B 重合时，都停止运动，设运动的时间为t （ s ），四边形 PMBN 的面积为 S（ c m 2）．（ 1）当 t=1s 时，求 S 的值；（2）求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围（不考虑端点） ；（3）是否存在某一时刻t ，使得四边形 PMBN 的面积？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由； （4）是否存在某一时刻 t ，使得四边形 PMBN 为平行四边形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．10.如图 1，在长为 44，宽为 12 的矩形 PQRS 中，将一张直角三角形纸片 ABC 和一张正方形纸片DEFG 如图放置，其中边 AB 、DE 在 PQ 上，边 EF 在 QR 上，边 BC、DG 在同一直线上，且 Rt△ ABC 两直角边BC=6 ， AB=8 ，正方形 DEFG 的边长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC ，沿 AP 方向以每秒 1 个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG ，沿 QR 方向以每秒 2 个单位长度的速度向上平移，当边GF 落在 SR 上时，纸片DEFG 立即沿RS 方向以原速度向左平移，直至 G 点与 S 点重合时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为 x 秒．（1）请填空：当 x=2 时， CD= 2，DQ=4，此时CD+DQ=CQ（请填“＜”、“=”、“＞”）；（2）如图 2，当纸片 DEFG 沿 QR 方向平移时，连接 CD、DQ 和 CQ，求平移过程中△CDQ 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（这里规定线段的面积为零）；（3）如图 3，当纸片DEFG 沿 RS 方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以 A 、 C、 D 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x 的值；若不存在，请说明理由．11.（2013?长春）如图①，在 ?ABCD 中， AB=13 ，BC=50 ， BC 边上的高为12．点 P 从点B 出发，沿 B ﹣A ﹣D ﹣A 运动，沿 B﹣ A 运动时的速度为每秒 13 个单位长度，沿 A ﹣ D﹣A 运动时的速度为每秒 8 个单位长度．点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向运动，速度为每秒 5 个单位长度． P、 Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 C 时， P、 Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为 t （秒）．连结 PQ．（1）当点 P 沿 A ﹣ D﹣ A 运动时，求 AP 的长（用含 t 的代数式表示）．（2）连结 AQ ，在点 P 沿 B﹣ A ﹣ D 运动过程中，当点P 与点 B、点 A 不重合时，记△ APQ 的面积为 S．求 S 与 t 之间的函数关系式．（3）过点 Q 作 QR∥ AB ，交 AD 于点 R，连结 BR ，如图② ．在点 P 沿 B﹣ A ﹣ D﹣ A 运动过程中，当线段 PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR 分成面积相等的两部分时t 的值．（4）设点 C、 D 关于直线 PQ 的对称点分别为 C′、 D ′，直接写出 C′D′∥BC 时 t 的值．12.（2006?青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和 EFG 叠放在一起（点A 与点 E 重合），已知 AC=8cm ， BC=6cm ，∠ C=90 °， EG=4cm ，∠ EGF=90 °， O 是△EFG 斜边上的中点．如图②，若整个△ EFG 从图①的位置出发，以 1cm/s 的速度沿射线 AB 方向平移，在△ EFG 平移的同时，点 P 从△ EFG 的顶点 G 出发，以 1cm/s 的速度在直角边 GF 上向点 F 运动，当点 P 到达点 F 时，点 P 停止运动，△ EFG 也随之停止平移．设运动时间为 x（ s）， FG 的延长线交 AC 于 H，四边形 OAHP 的面积为 y（ cm 2）（不考虑点 P 与 G、 F 重合的情况）．（1）当 x 为何值时， OP∥ AC ；（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13： 24？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．（参考数据：2 2 2或114 =12996， 115 =13225， 116 =134562 2 24.4 =19.36 ， 4.5 =20.25 ， 4.6 =21.16）1.解：设 x 秒钟后，△ PBQ 的面积等于 8cm 2，由题意可得：2x （ 6-x ）÷ 2=8解得 x 1 =2 ， x 2 =4 ．经检验均是原方程的解．答： 2 或 4 秒钟后，△ PBQ 的面积等于 8cm 2．2.解：（ 1 ）由题意，得BQ=2t ， PB=5-t．故答案为： 2t ， 5-t．（2）在 Rt △ PBQ 中，由勾股定理，得4t 2 +（ 5-t ）2 =25 ，解得：t 1 =0 ， t 2 =2 ．（ 3）由题意，得2t (5 - t )2=4 ，解得：t 1 =1 ， t 2 =4 （不符合题意，舍去），∴当 t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．3.解：（ 1 ）设经过 x 秒，△ PBQ 的面积等于 8cm 2则：BP=6-x ， BQ=2x ，所以 S△P BQ =12×（ 6-x ）× 2x=8 ，即 x 2 -6x+8=0，可得： x=2 或 4（舍去），即经过 2 秒，△ PBQ 的面积等于 8cm 2．（ 2）设经过 y 秒，线段 PQ 恰好平分△ ABC 的面积，△ PBQ 的面积等于 12cm 2，S△P BQ = 12×（ 6-y ）× 2y=12 ，即 y 2-6y+12=0，因为△ =b 2 -4ac=36-4× 12=-12＜0，所以△PBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分△ ABC 的面积．4.相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．几何动点问题．（1）设 x 秒时．由三角形的面积公式列出关于x 的方程， （ 6﹣ x ）?2x=8 ，通过解方程求得 x 1=2， x 2=4；（2）过 Q 作 QD ⊥ CB ，垂足为 D ，构建相似三角形△ CQD ∽△ CAB ，由该相似三角形的对应边成比例得到，即 QD=；然后由三角形的面积公式列出关于x 的方程（ 14﹣ x ） ?=12.6 ，解之得 x 1=7，x 2=11 ．由实际情况出发，来对方程的解进行取舍．解：（ 1）设 x 秒时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使△ PBQ 面积为 8cm 2，由题意得 （ 6﹣ x ） ?2x=8，解之，得 x 1=2 ，x 2=4，经过 2 秒时，点 P 到距离 B 点 4cm 处，点 Q 到距离 B 点 4cm 处；或经 4 秒，点 P 到距离 B 点 2cm 处，点 Q 到距离 B 点 8cm 处，△ PBQ 的面积为 8cm 2，综上所述，经过 2 秒或 4 秒，△ PBQ 的面积为 8cm 2；（2）当 P 在 AB 上时，经 x 秒，△ PCQ 的面积为： ×PB ×CQ=×（ 6﹣ x ）（8﹣ 2x ） =12.6，解得： x 1=（不合题意舍去） ， x 2= ，经 x 秒，点 P 移动到 BC 上，且有 CP=（ 14﹣ x ） cm ，点 Q 移动到 CA 上，且使 CQ= （ 2x﹣ 8） cm ，过 Q 作 QD ⊥ CB ，垂足为 D ，由△ CQD ∽△ CAB 得，即QD= ，由题意得（ 14﹣x ） ?=12.6，解之得 x 1=7， x 2=11．经 7 秒，点 P 在 BC 上距离 C 点 7cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 6cm 处，使△ PCQ 的面积等于12.6cm 2．经 11 秒，点 P 在 BC 上距离 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 14cm 处， 14＞ 10，点 Q 已超出 CA 的范围，此解不存在．综上所述，经过 7 秒和秒时△ PCQ 的面积等于 12.6cm 2．5. 解 ： 设 P ， Q 两 点 从 出 发 经 过 t 秒 时 ， 点 P ， Q 间 的 距 离 是 10cm ，作 PH ⊥ CD ， 垂 足 为 H ，则 PH=AD=6 ， PQ=10 ， HQ=CD-AP-CQ=16-5t ，∵ PH 2 +HQ 2 =PQ 2可 得 ：（ 16-5t ） 2 +6 2 =10 2 ，答 ： P ， Q 两 点 从 出 发 经 过 1.6 或 4.8 秒 时 ， 点 P ， Q 间 的 距 离 是 10cm ．6.答案略分析：7.（ 1）当 t=3 时， CQ=3，过 P 作 PE⊥QR 于 E，易求得 PE 的长和△ QPE 的面积，设PQ 交 CD 于 G，由于 CG∥PE，可证得△ CQG∽△ EQP，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S 的值．（ 2）当 t=5 时，Q、B 重合，线段 PR 与 CD 相交，设 PR 与 CD 相交于 G，可仿照（ 1）的方法求得△ RCG 的面积，从而由△RPQ、△RCG的面积差求得阴影部分的面积．（3）当 5≤t≤8 时， AB 与 PQ 相交， RP 与 CD 相交，仿照（ 1）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照（2）的方法求得阴影部分的面积表达式，由此可得到关于S、 t 的函数关系式，根据函数的性质即可得到S 的最大值．解答：解：（ 1）作 PE⊥ QR， E 为垂足．∵ PQ=PR，∴QE=RE= QR=4 ，在Rt△ PEQ 中∴ PE==3；（ 1 分）当t=3 时， QC=3，设 PQ 与 DC 交于点G．∵ PE∥ DC ，∴△ QCG∽△ QEP．（ 2 分）∴，∵S△QEP= ×4×3=6 ，∴ S=×6=（cm2）．（3分）（2）当 t=5 时， CR=3 ．设PR 与 DC 交于 G，由△ RCG∽△ REP，可求出 CG= ，所以， S△RCG= ×3× = （ cm 2），（ 5 分）S=12 ﹣ = （ cm 2）．（ 6 分）（3）当 5≤t≤8 时， QB=t ﹣ 5， RC=8 ﹣ t，设 PQ 交 AB 于点H，由△ QBH ∽△ QEP， EQ=4 ，∴ BQ： EQ= （ t﹣ 5）： 4，∴S△BQH： S△PEQ=（ t﹣ 5）2： 42，又 S△PEQ=6，∴S△QBH= （ t﹣5）2（ 7 分）由△ RCG∽△ REP，同理得 S△RCG=（8﹣t）2（8分）∴ S=12﹣（t ﹣ 5）2﹣（ 8﹣ t）2．即 S=﹣（ 9 分）当 t=﹣=时，S最大，S的最大值==（cm2）．（10分）考8. 相似形综合题．点：分析：（ 1）由正方形的性质可以得出DC ∥AB ，就有∠ CDR= ∠ARD ，在 Rt△ PQR 中，由PQ=6cm ， QR=12cm 有 tan∠ ARD=，就可以得出MC ，再根据勾股定理就可以求出PM 的值；（2）分情况求出当当 0＜ t≤6 时，当 6＜ t≤12 时， 12＜ t≤18 时，根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S 的解析式；（3）根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算，先运用勾股定理将三角形的三边表示出来，由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了．解答：解：（ 1）∵四边形ABCD 是正方形，∴ CD=BC ， CD ∥AB ，∠C=90 °， ∴∠ CDR= ∠ ARD ， ∵ PQ=6cm ， QR=12cm ， ∴ tan ∠ ARD= ，∴ tan ∠ CDR= = ，∵ CD=6 ，∴ CM=3 ，在 Rt △ CPM 中，由勾股定理，得 PM==3 ．（ 2）如图 1，当 0＜ t ≤6 时，∵ QB=t ，QR=12 ， ∴ BR=12 ﹣ t ，∴ BM=6 ﹣ 0.5t ，∴ S=，∴ S=﹣ t 2+6t ，如图 2，当 6＜ t ≤12 时，∵ AR=12 ﹣t+6=18 ﹣ t ， BR=12 ﹣ t ， ∴ SA=9 ﹣ 0.5t ， MB=6 ﹣ 0.5t∴ S=，=3t+45 ，如图 3，12＜ t ≤18 时，AR=6 ﹣（ t ﹣ 12）=18 ﹣ t ， AS=9 ﹣ 0.5t ，∴ S=，= t 2﹣ 9t+81 ；（ 3）当 6＜ t ≤12 时，由图象得：222222﹣ 21t+117，QN =AQ +AN =（ t ﹣6） +（ 9﹣ 0.5t ） = t 22 2 2 2 t 2﹣45t+405NR =AN +AR =（9﹣ 0.5t ） +（ 18﹣ t ） =2RQ =144① 如图 4，当 QR 2=NR 2时，t 2﹣ 45t+405=144 ，解得： t 1=18+t ＞12（舍去）， t 2 =18﹣ ；② 如图 5，当 QN 2 =QR 2时， t 2﹣ 21t+117=144 ，解得： t 1=﹣ 1.2（舍去）， t 2=18（舍去），③ 如图 6，当 QN 2 =RN 2时， t2﹣ 21t+117= t 2﹣45t+405 ， 解得： t=12，12 ＜ t ≤18 与 6＜ t ≤12 时一致，而 t=18 时△ NQR 不存在， ∴ t=12 或 t=18 ﹣．9.（ 1）当 t=1 时， AQ=MQ=1 ， AB=PQ=4 ，∴MP=QB=4 ﹣1=3 ．∵Q R=8 ，∴B R=8 ﹣ 3=5．∵在 Rt△ PQR 中， PQ=4，QR=8 ，∴t an∠PRQ= = ．∴，∴，∴B N=2.5 ．S 四边形PMBN ==（0≤t≤4）；（2）由题意，得AQ=MQ=t ， PM=BQ=4 ﹣ t， BR=8 ﹣（ 4﹣ t） =4+t ，∴B N=2+ t，∴S 四边形PMBN =，2=t ﹣ 4t+12（ 0≤t≤4）；（3）由题意，得2t ﹣ 4t+12=×4×8，解得： t1=8+4 （舍去）， t2=8﹣ 4 ，∴t 的值为 8﹣ 4 ；（4）∵四边形 PMBN 是平行四边形，∴PM=BN ．∵P M=4 ﹣ t， BN=2+ t，∴4﹣ t=2+ t ，∴t=∴t=时，四边形PMBN 为平行四边形．10.分析：（ 1）当 x=2 时，延长ED 交 BC 于 H ，延长 GD 交 PQ 于点 K，就有 EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，就可以求出 CH=6 ﹣ 2x，再根据勾股定理就可以求出 CD 、 DQ 及CQ 的值；（2）由图形观察可以得出 S△CDQ=S△CBQ﹣S△CHD﹣ S 梯形 HBQD ，只要根据条件分别表示出 =S△CBQ、 S△CHD、 S 梯形HBQD的面积即可；（ 3）根据数学分类讨论思想，从不同的时间进行计算．如图6，当 CD=AC 时，作CH ⊥ GD 的延长线于点 H，解直角三角形 CHD ；如图 7，当 AD=AC 时，作 DH ⊥ PQ 于点H，解直角三角形 ADH ；如图 8，当 AD=CD 时，作 DK ⊥BC 于 BC 延长线于点K ，作 DH ⊥ PQ 于点 H ，解直角三角形 DCK 和直角三角形 DHA ；如图 9，当 CD=AC 时，作 DK ⊥ BC 于 BC 延长线于点 K ，解直角三角形 DKC ；如图 10，当 AD=AC 时，作 DH ⊥PQ 于点，解直角三角形DHA ．结合各图形运动的不同位置表示出相应线段的长度，根据勾股定理建立方程求出x 的值即可．解答：解：（ 1）延长 ED 交 BC 于 H，延长 GD 交 PQ 于点 K ，∴EQ=DK=2x ， BK=HD=x ， BQ=4+x ，∵ x=2， BC=6 ， DE=4 ，∴EQ=DK=HB=4 ， BK=HD=2 ， BQ=6 ，∴ CH=2 ．在 Rt △ CHD 、 Rt △DKQ 、 Rt △ CBQ 中，由勾股定理得： CD=2， DQ=4， CQ=6．∴ CD+DQ=6，∴ CD+DQ=CQ ．故答案为： 2 ， 4 ，=；（ 2）当 0≤x ≤2 时，如图 2，∵ EQ=DK=2x ， BK=HD=x ， BQ=4+x ，CH=6 ﹣ 2x ，∴ S △CDQ =，=﹣ x 2﹣ 4x+12当 2＜ x ≤3 时，如图 5，作 CH ⊥ DG 于 H ， DK ⊥ BC 于 K ， ∴ EQ=BK=2x ， CK=HD=6 ﹣ 2x ， BQ=4+x ， CH=x ，∴ S △CDQ =CK ?KD+KB ?BQ ﹣ ﹣ ﹣ ，=（ 6﹣ 2x ） x+2x （4+x ）﹣﹣﹣，2=x +4x ﹣ 12；当 3＜ x ≤4 时，如图 3，作 DH ⊥ BC 的延长线于 H ，∴ EQ=HB=2x ， HD=x ， BQ=4+x ， CH=2x ﹣ 6，∴ S △CDQ =HB ?QB ﹣ ﹣ ﹣ ，=2x （ 4+x ）﹣﹣﹣，=8x+2x 2﹣x 2+3x ﹣ 4x ﹣ 12﹣ 3x ，2=x +4x ﹣ 12． ∴ S=，（ 3）∵纸片 DEFG 沿 RS 方向平移， ∴ 4≤x ≤24．如图 6，当 CD=AC 时，作 CH ⊥ GD 的延长线于点 H ，∴ GR=2x ﹣4， BQ=x+4 ，∴ DH=12 ﹣ 6﹣ 4=2 ，CH= （ x+4 ）﹣（ 2x ﹣4） =8﹣ x ， ∵ AB=8 ， BC=6 ， ∴ AC==10在 Rt △ CHD 中，由勾股定理，得22（ 8﹣ x ） +2 =100 ， 解得： x 1=8+4 ， x 2=8﹣ 4 ＜ 4（舍去）； 如图 7，当 AD=AC时，作 DH ⊥PQ 于点 H ，∴ GR=2x ﹣4， BQ=x+4 ，∴ DH=12 ﹣ 4=8 ， AH= （ x+4+8 ）﹣（ 2x ﹣ 4） =16 ﹣x ，在 Rt △ ADH 中，由勾股定理，得22（ 16﹣ x ） +8 =100，解得： x1=22 ， x2=10；如图 8，当 AD=CD 时，作 DK ⊥BC 于 BC 延长线于点K ，作 DH ⊥ PQ 于点 H，∴GR=2x ﹣4， BQ=x+4 ，∴DK=2x ﹣ 4﹣（ x+4） =x ﹣8， KC=12 ﹣4﹣ 6=2 ，AH=x+4+8 ﹣（ 2x﹣4） =16 ﹣x， DH=12 ﹣ 4=8 ．2 2∴（ x﹣ 8）+4= （ 16﹣ x） +64，∴x=15 ；综上所述：纸片 DEFG 沿 RS 方向平移，当x 的值为： 22，10， 15 ， 8+4 时，以 A 、 C、D 为顶点的三角形是等腰三角形．11.分析：（ 1）分情况讨论，当点P 沿 A ﹣ D 运动时，当点P 沿 D ﹣A 运动时分别可以表示出AP 的值；（ 2）分类讨论，当0＜ t＜ 1 时，当 1＜ t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S 与 t 的函数关系式；（ 3）分情况讨论，当0＜ t＜ 1 时，当 1＜ t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（ 4）分情况讨论当P 在 A ﹣ D 之间或 D ﹣A 之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC ′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦ ，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（ 1）当点 P 沿 A ﹣D 运动时， AP=8 （ t﹣ 1）=8t﹣ 8．当点 P 沿 D ﹣A 运动时， AP=50 ×2﹣ 8（ t﹣ 1） =108﹣ 8t．（ 2 分）（2）当点 P 与点 A 重合时， BP=AB ，t=1．当点 P 与点 D 重合时， AP=AD ， 8t﹣ 8=50， t=．当0＜ t＜ 1 时，如图① ．过点 Q 作 QE⊥ AB 于点 E．S△ABQ ==，∴ QE===．2∴ S=﹣ 30t +30t．当 1＜ t≤时，如图② ．S==，∴S=48t﹣ 48；（ 3）当点 P 与点 R 重合时，AP=BQ ， 8t﹣ 8=5t， t=．当 0＜ t≤1 时，如图③ ．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM ．∵ AB ∥ QR，∴∠ PBM= ∠ QRM ，∠ BPM= ∠ MQR ，在△ BPM 和△ RQM 中，∴△ BPM ≌△ RQM ．∴BP=RQ ，∵ RQ=AB ，∴BP=AB∴13t=13 ，解得： t=1当1＜ t≤时，如图④ ．∵BR 平分阴影部分面积，∴ P 与点 R 重合．∴t= ．当＜t≤时，如图⑤ ．∵S△ABR =S△QBR，∴S△ABR＜ S 四边形BQPR．∴BR 不能把四边形 ABQP 分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1 或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR 分成面积相等的两部分．（ 4）如图⑥，当 P 在 A ﹣ D 之间或 D﹣ A 之间时， C′D′在 BC 上方且 C′D′∥ BC 时，∴∠ C′OQ=∠ OQC ．∵△ C′OQ≌△ COQ，∴∠ C′OQ=∠ COQ ，∴∠ CQO= ∠ COQ，∴QC=OC ，∴50﹣ 5t=50 ﹣8（ t﹣ 1） +13，或 50﹣ 5t=8（ t﹣ 1）﹣ 50+13 ，解得： t=7 或 t=．当 P 在 A ﹣D 之间或 D﹣ A 之间， C′D′在 BC 下方且 C′D ′∥ BC 时，如图⑦ ．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD ，∴50﹣ 5t+13=8 （ t﹣ 1）﹣ 50，解得： t=．∴当 t=7 ，t=，t=时，点C、D关于直线P Q 的对称点分别为C′、D ′，且 C′D′∥ BC．分析：（ 1）由于 O 是 EF 中点，因此当 P 为 FG 中点时， OP∥ EG∥ AC ，据此可求出x 的值．（ 2）由于四边形 AHPO 形状不规则，可根据三角形AFH 和三角形 OPF 的面积差来得出四边形 AHPO 的面积．三角形AHF 中， AH 的长可用AF 的长和∠ FAH 的余弦值求出，同理可求出 FH 的表达式（也可用相似三角形来得出AH 、 FH 的长）．三角形 OFP 中，可过 O 作 OD⊥ FP 于 D ， PF 的长易知，而 OD 的长，可根据 OF 的长和∠ FOD 的余弦值得出．由此可求得y、 x 的函数关系式．（3）先求出三角形 ABC 和四边形 OAHP 的面积，然后将其代入（ 2）的函数式中即可得出x 的值．解答：解：（ 1）∵ Rt△ EFG∽ Rt△ ABC∴，∴ FG==3cm∵当 P 为 FG 的中点时， OP∥ EG， EG∥AC∴OP∥ AC∴x== ×3=1.5 （ s）∴当 x 为 1.5s 时， OP∥AC ．（2）在 Rt△ EFG 中，由勾股定理得 EF=5cm∵EG∥ AH∴△ EFG∽△ AFH∴∴ AH= （ x+5）， FH= （ x+5 ）过点 O 作 OD ⊥FP ，垂足为 D∵点 O 为 EF 中点∴ OD= EG=2cm∵ FP=3﹣ x∴S四边形OAHP =S △ AFH ﹣ S △OFP= ?AH ?FH ﹣ ?OD?FP= ? （ x+5） ? （ x+5）﹣ ×2×（ 3﹣x ）2=x +x+3（ 0＜ x ＜3）．（ 3）假设存在某一时刻 x ，使得四边形 OAHP 面积与 △ ABC 面积的比为 13：24则S四边形 OAHP =×S △ ABC2∴ x +x+3=× ×6×82∴ 6x +85x ﹣ 250=0解得 x 1=， x 2=﹣ （舍去）∵ 0＜ x ＜3∴当 x=（ s ）时，四边形 OAHP 面积与 △ ABC 面积的比为 13： 24．。
一元二次方程中的动点问题
B 90 , AB 5 cm, BC 7 cm
点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移 动. • （2）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后， PQ的长度等于5cm？
• 1、已知：如图3-9-3所示，在△ABC中，
其它类型应用题：
5.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°， BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿 线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动， 动点Q从点C出发，沿线段CB 以每秒1个单位 长度的速度向点B运动. 点P、Q分别从点D、C 同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止 运动，设运动时间为t秒. 问:当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？ P D A 分类讨论思想
• 点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，
你还行吗
• 1、已知，如图所示，在三角形ABC中， B 90 , AB 5 cm, BC 7 cm • 点P从A点开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动,点Q从点 B开始沿BC边向点C 以每秒2cm的速度移动。 • (3) 如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长 等于5cm.
Q C
B
2、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点， AB=16cn,AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一 直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动。 （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q 的距离是10cm？
A P D
Q
B
C
B 90 , AB 5 cm, BC 7 cm
点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移 动. • 在（1）中，△PQB的面积能否等于7?说明理由
一元二次方程的应用面积和动点问题
一元二次方程的应用面积和动点问题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（一元二次方程的应用面积和动点问题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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青云学校九年级上册数学学科教案 总第7课时一、引入回顾列一元二次方程解决实际问题的基本步骤有哪些? 审、设、列、解、答二、教师精讲：（只列方程,不解方程）1、在长为60cm,宽为40cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800，求所截去小正方形的边长。
2、校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540，小道的宽应是多少?3、如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为，求鸡场的长与宽各为多少米?三、合作探究： 专题一:如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m 中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x （m ）,求： （1)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长度是多少? （2）花圃的面积能否达到50m 2 ？2cm 2m 2150m m 18m 35青云学校九年级上册数学学科教案总第8课时一、教师精讲1、以P52例4讲解解决动点问题的基本思路：以静制动（动态问题静态处理）(1）设未知数，设运动时间为t，（2）用代数式表示运动长度(3）据面积或长度公式列出方程（4）解方程（5）检验作答，特别注意求出的解是否符合实际问题2、变式训练:变式1:△PCQ的面积能否为10平方厘米?42变式2：P，Q出发几秒后，PQ的长度为cm？二、合作探究：专题一：学法大视野P34探究一及变式练习专题二:在△ABC中， AC=50cm，CB=40cm, ∠C=90°，点P从点A 开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动，几秒钟后, 四边形APQB的面积等于550cm²?。
(完整版)一元二次方程解决动点问题
24.4 一元二次方程的应用(6)班级：姓名：小组：【学习目标】1. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程；2. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系；3. 借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程；4. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程；5. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根.【重点难点】重点：用一元二次方程解决动点问题；难点：分析动点的运动，列出一元二次方程.【导学流程】（一）了解感知：认真阅读下面一段话，然后完成练习1. 一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。
2. 完成课本56页C组1题(写在书上)（二）深入学习：分析下列题目的等量关系，列一元二次方程求解:1.等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm²? 2.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm²？说明理由。
（三）迁移运用：用一元二次方程的相关知识解决下列问题：1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0<t<3.5）(1)经过几秒后，PQ的长度等于5？(2)经过几秒后，△BPQ的面积等于4？(3)经过几秒后，DP=DQ？QPD CBA。
专题八：一元二次方程应用类型中的动点问题(有答案)
专题八：一元二次方程应用类型中的动点问题（有答案）➢知识指引所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．动点问题思路剖析问题1：动点问题的处理框架是什么？答：读题标注，整合信息（即明确所研究的背景图形）问题2：分析运动过程需要关注四要素是什么？答：①起点、终点、速度：标注到图形中，以示说明②时间范围根据路程、时间和速度的公式s=vt，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间③状态转折状态转折即点的运协发生变化的时刻，常体现在动点的运动方向，运动速度发生了改变④目标或结论导向根据题意作出图形，有序操作（分段作图并求解）问题3：在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？答：①路程即线段长，可根据s=vt直接进行表达已走路程或未走路程②根据研究几何特征的需求进行表达，即要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息➢知识点睛由点的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究背景图形并标注；；2.分析运动过程，并适时分段；3.表达线段长，建等式和方程．➢典型例题【例1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=12，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P．Q分别从A．B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）（2）经过几秒，PQ的长为6√2cm？（3）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？【解答】（1）根据题意得：BQ=2t，PB=9-t．故答案为：2t；9-t．（2）根据题意得：（9-t）2+（2t）2=72，，t2=3，解得：t1=35秒或3秒，PQ的长为6√2cm．∴经过35×（9-t）×2t=8，（3）根据题意得：12解得：t1=8，t2=1．∵0≤t≤6，∴t=1．答：经过1秒，△PBQ的面积等于8cm2．【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ，∠C=90°， BC=16，DC=12 ，AD=21 ，动点P从点D出发，沿线段 DA的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点B运动；点P，Q 分别从点D，C同时出发，当点P运动到点 A 时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.（1）当t=2时，求△BPQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.（3）当t为何值时，以 B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？备用图【解答】（1）如图，过点P 作PM ⊥BC 于M ，则四边形PDCM 为矩形，∴PM=DC=12．∵QB=16－t ，当t=2时，则BQ=14，则S=12QB ⋅PM =12×14×12=84；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP=BQ,即21－2t=16－t ．解得t=5． ∴当t=5时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ=BQ ，在Rt △PMQ 中，PQ 2=t 2+122，由PQ 2= BQ 2， 得t 2+ 122= (16-t)2 解得t=72；②若BP=BQ ，在Rt △PMB 中，PB 2=(16-2t)2+122，由PB 2= BQ 2得(16-2t)2+ 122= (16-t)2，即3t 2+-32t+144= 0．此时，Δ= (-32)2 －4×3×144= －704＜0, 所以此方程无解，所以PB ≠BQ ；③若PB=PA ，由PB 2= PQ 2,得t 2+ 122= (16-2t)2 + 122 , 解得t 1=163,t 2=16，（不合题意，舍去）；综上所述，当t=72或163时，以B ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.➢ 跟踪训练1．如图，在△ABC 中，AC=50cm ，BC=40 cm ，∠C =90°，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以每秒2 cm 的速度匀速移动，同时另一点Q 由C 点开始以每秒3 cm 的速度沿着射线CB 匀速移动，当△PCQ 的面积等于300 cm 2运动时间为（ ）．A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定【解答】由题意，得AP=2t ，CQ=3t ，∴PC=50-2t ，∴12•PC•CQ=300，∴12•（50-2t ）•3t=300，解得t=20或5，∴t=20s 或5s 时，△PCQ 的面积为300m 2．故选：C ．2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．若P 、Q 两点同时出发，当点P 运动到点B 时，P ，Q 两点同时停止运动，当三角形PQB 的面积是三角形ABC 的面积的三分之一时，所需时间为（ ）A ．4 sB ．2 sC ．2或4sD ．3或4s【解答】设经过x 秒，三角形PQB 的面积是三角形ABC 的面积的三分之一．∵P 、Q 移动t 秒时，AP=t ，BQ=2t ，则PB=AB-AP=6-t ，∴S △P B Q =13，由S △A B C =12AB•BC=12×6×8=24，当S △P B Q =13S △A B C 时，则12•2t（6-t ）=13×24，整理，得t 2-6t+8=0，解得t 1=2，t 2=4，即当t=2或4时，△PBQ 的面积等于△ABC 的面积的三分之一． 故选：C ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12 cm ，点D 从点A 开始沿边AB 以2 cm/s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持四边形DFCE (点E ，F 分别在AC ，BC 上)为平行四边形，则出发________s 时，四边形DFCE 的面积为20 cm 2.【解答】设点D从点A出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.由题意，得12×12×12−4x22−(12−2x)22＝20，解得x1＝1，x2＝5，故答案为：1或5.4.某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系l=t2+3t（t≥0），乙以8cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为42cm．（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？【解答】（1）当t=4s 时，l=t2+3t=16+12=28（cm）．答：甲运动4s后的路程是28cm．（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm，甲走过的路程为t2+3t，乙走过的路程为4t，则t2+3t+8t=42，解得：t1=3，t2=-14（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s．（3）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为三个半圆3×42=126cm，则t2+3t+8t=126，解得：t=7或t=-18（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s ．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向B 移动，点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 两点同时停止运动． （1）是否存在某一时刻使得△PQD 的面积等于8cm 2？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．（2）几秒后，△PQD 是以DP 为斜边的直角三角形．【解答】（1）不存在，理由如下：设出发秒x 时△DPQ 的面积等于8cm 2． ∵S 矩形A B C D -S △A P D -S △B P Q -S △C D Q =S △D P Q ，∴6×12-12×12×x -12×（6-x ）•2x -12（12-2x ）×6=8，∴x 2-6x+28=0，∵∆=b 2-4ac=36-4×28=-76＜0，∴原方程无实数根，即不存在某一时刻使得△PQD 的面积等于8cm 2． （2）∵∠A=∠B=∠C=90°，∴PD 2=t 2+122，PQ 2=（6-t ）2+（2t ）2，QD 2=（12-2t ）2+62， ∵△PQD 是以DP 为斜边的直角三角形，∴PD 2=PQ 2+QD 2，即t 2+122=（6-t ）2+（2t ）2+（12-2t ）2+62， 整理得2t 2-15t+18=0，解之得t 1=6，t 2=32，即当t 为32秒或6秒时，△PQD 是以PD 为斜边的直角三角形．6.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点B 出发沿线段BC 、CD 以2cm/s 的速度向终点D 运动；同时，点Q 从点C 出发沿线段CD 、DA 以1cm/s 的速度向终点A 运动（P 、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ 的面积能否等于22cm 2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由【解答】（1）点P 从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2=9s，点Q 从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1=18s， ∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是：（6+12）-1×9=9cm， 答：点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是9cm ；（2）在运动过程中，△APQ 的面积能等于22cm 2，当P 从点B 运动到点C 的过程中，设点P 运动时间为as ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2， ∴12×6-2a×62−(12−2a)×a2−(6−a)×122=22，解得，此方程无解；当点P 从C 到D 的过程中，设点P 运动的时间为（b+6）s ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2， ∴12×6-(6+2b)×122−b(6−2b)2=22，解得，b 1=1，b 2=14（舍去），即需运动6+1=7s ，△APQ 的面积能等于22cm 2．7．如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒． （1）填空：BQ=__________，PB=_________；（用含t 的代数式表示） （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP=tcm．∵AB=5cm，∴PB=（5-t）cm．∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ=2tcm；（2）由题意，得(5-t)2+(2t)2=52．解得t1=0（不合题意，舍去），t2=2．所以当t=2秒时，PQ的长度等于5cm．（3）存在，t=1秒时，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．由矩形ABCD的面积是5×6=30cm2，若五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBG的面积为30－26=4 cm2，=4．解得t1=4（不合题意，舍去），t2=1．即（5－t）×2t×12即当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2．8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC=6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．点Q在射线PC上，且PQ ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，设运动时间为t秒，(1)当N点落在BC上时，t= 秒;(2)若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．备用图【解答】(1)当N 落在BC 上时，Q 点在C 处，此时CP+AP=2t+t=6,∴t=2,.故填：2（2）∵AP ＝t ，PQ ＝2AP ，∴PQ ＝2t ，①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣12t 2＝72t 2＝8， 解得：t 1＝47√7，t 2＝﹣47√7（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25t 2＝8， 解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12×6×6﹣12t 2＝8，解得：t 1＝2√5，t 2＝﹣2√5（不合题意，舍去）， 综上，t 的值为47√7或2√5时，重叠面积为8．9.等腰△ABC 的直角边AB=BC=10cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S ． （1）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？（2）作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．【解答】（1）由S △ABC =12AB •BC ＝12×10×10=50.当t ＜10秒时，P 在线段AB 上，此时CQ=t ，PB=10-t. ∴S △PCQ ＝12×t×(10−t)＝12 (10t −t 2) ＝50.整理得t 2-10t+100=0无解.当t ＞10秒时，P 在线段AB 得延长线上，此时CQ=t ，PB=t-10. ∴S △PCQ ＝12×t×(t −10)＝12(t 2−10t) ＝50.整理得t 2-10t-100=0解得t=5±5√5（舍去负值）. ∴当点P 运动5+5√5秒时，S △PCQ =S △ABC .（2）当点P,Q 运动时，线段DE 的长度不会改变． 证明：过Q 作QM ⊥AC ，交直线AC 于点M 易证△APE ≌△QCM ，∴AE=PE=CM=QM=√22t ，∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半． 又∵EM=AC=10√2，∴DE=5√2.∴当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变． 同理，当点P 在点B 右侧时，DE=5√2。
一元二次方程动点应用
一元二次方程应用------方程与图形例1、如图，在△ABC 中∠B=90°，AB=7cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿线段AB 向点B 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点C 开始沿线段CB 向点B 以1cm/s 的速度运动．设时间为t ；如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，请在图中标出运动方向和运动速度，用含t 的代数式表示PB= ，BQ= ，问经过多少秒时，PQ=10变式1：若以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，并且P 从A 点沿x 轴正方向运动，Q 从C 点沿y 轴正方向运动，其他条件不变，请在图中建立坐标系，并直接写出A 点坐标（ ， ），C 点坐标（ ， ）；当t 为何值时，△BPQ 面积为23，并写出此时P ，Q 的坐标；变式2：一轮船在A 点以30km/h 的速度由西向东航行(如图)，在途中接到台风警报，台风中心C 以20km/h 的速度由南向北移动．已知距台风中心200km 的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得CA=500km,BC=300km.（1）轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？（2）若会，请求出船受台风影响的时间有多长？拓展：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝31。
动点P从点D出发沿线段DA以每秒2个单位长的速度向A运动，设运动时间为t，当t为何值时，BP=BC？思考：在原题基础上又出现动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动。
当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点并且以BP为一腰的三角形为等腰三角形？感谢您的阅读，祝您生活愉快。
DB CD。
一元二次方程与动点及答案精编版
1 如图，在△ ABC中，/ B = 90°, BC = 12cm, AB = 6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后厶PBQ的面积等于8cm2?2. △ ABC 中，/ B=90 ° , AB=5cm , BC=6cm，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动•如果P、Q分别从A、B同时岀发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.(3)是否存在t的值，使得△P B Q的面积等于4c m2?若存在，请求岀此时t的值；若不存在，请说明理由.3.如图，在△ ABC 中，/ B=90 ° , AB=6 , BC=8 .点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.设P、Q分别从A、B同时岀发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动.解答下列问题：(1)经过几秒，△ PBQ的面积等于8cm 2?(2)是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ ABC的面积？若存在，求岀运动时间t;若不存在，请说明理由.4•如图所示，△ ABC中，/ B=90 °,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△ PBQ的面积等于8cm2?(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△ PCQ的面积等于12.6cm2?5.如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm , BC=6cm ,动点P、Q分别从A、C同时岀发，点P以3厘米每秒的速度向点B移动，一直到达点B为止•点Q 以2厘米每秒的速度向点D移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离是10厘米？6•如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB = 16cm，BC = 6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度7•如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△ PQR, PQ=PR=5cm , QR=8cm ,点B、C、Q、R在同一条直线I上，当C、Q两点重合时，等腰△ PQR以1cm/秒的速度沿直线I按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△ PQR重合部分的面积为Scm2.解答下列问题：(1 )当t=3秒时，求S的值；(2 )当t=5秒时，求S的值；(3)当5秒E詣秒时，求S与t的函数关系式.A DQ ------- C R IQR在同一条直线I 上.开始时点Q与点B重合，让厶PQR以1cm/s速度在直线I上运动，直至点R与点A 重合为止，设运动时间为t (s), t> 0.(1 )点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；(2 )设厶PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；(3)在运动的过程中，令线段PR与线段AD 的交点为N (若无交点则不考虑)，则是否存在t的值，使△ NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由.AB与QR在同一直线I上，开始时点Q与点A重合，让△ PQR以1cm/s 的速度在直线I上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合时，都停止运动，设运动的时间为t( s)，四边形PMBN的面积为SD(P) CA(Q) B R I(cm2). 图(1 )(1 )当t=1s时，求S的值；(2)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量(3)是否存在某一时刻t,使得四边形PMBN 值；若不存在，说明理由；(4)是否存在某一时刻t,使得四边形PMBN 若不存在，说明理由.t的取值范围(不考虑端点)；的面积* 若存在，求出此时t的为平行四边形？若存在，求出此时t的值;10.如图1,在长为44,宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且Rt△ ABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4.从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG , 沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动. 设平移时间为x秒.(1)请填空：当x=2 时，CD= 「_, DQ= ,此时CD+DQ = CQ(请填N ”、的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围(这里规定线段的面积为零)(3)如图3,当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x,使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x的值；若不存在，请说明理由.11. （2013?长春）如图①，在？ABCD中，AB=13 , BC=50 , BC边上的高为12.点P从点B出发，沿B - A - (2)如图2,当纸片DEFG沿QR方向平移时, 连接CD、DQ和CQ,求平移过程中△ CDQS G F RP A BD - A运动，沿B - A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A - D - A运动时的速度为每秒8个单位长度.点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度.P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动•设点P的运动时间为t （秒）.连结PQ.（1）当点P沿A - D - A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）.（2）连结AQ，在点P沿B - A - D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△ APQ 的面积为S.求S 与t之间的函数关系式.（3）过点Q作QR // AB，交AD于点R,连结BR，如图②.在点P沿B - A - D - A运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值.12. (2006?青岛)如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A 与点E 重合)，已知AC=8cm，BC=6cm，/ C=90 ° EG=4cm，/ EGF=90 ° O 是厶EFG 斜边上的中点.如图②，若整个△ EFG从图① 的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在厶EFG 平移的同时，点P从厶EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△ EFG也随之停止平移.设运动时间为x ( s) , FG的2延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y (cm )(不考虑点P与G、F重合的情况).图①图②(1 )当x为何值时，OP// AC ;(2)求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；(3)是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ ABC面积的比为13: 24?若存在，求2 2 2出x的值；若不存在，说明理由. (参考数据：114 =12996, 115 =13225, 116 =13456或2 2 24.4 =19.36 , 4.5 =20.25 , 4.6 =21.16)1.解：设x秒钟后，△ PBQ的面积等于8cm 2,由题意可得：2x ( 6-x) + 2=8解得x i =2 , X2=4 .经检验均是原方程的解.答：2或4秒钟后，△ PBQ的面积等于8cm 2.2.解：(1 )由题意，得BQ=2t , PB=5-t . 故答案为：2t , 5-t .(2)在Rt △ PBQ中，由勾股定理，得4t 2+ ( 5-t ) 2=25，解得：t i=0，t 2=2.(3)由题意，得2t(5-t)2=4，解得：t=1，t=4 (不符合题意，舍去)，•••当t=1时，△ PBQ的面积等于4cm2.3.解：(1 )设经过x秒，△ PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x ，BQ=2x，所以S△ P BQ =12X( 6-x ) X 2x=8，即X2-6X+8=0，可得：x=2或4 (舍去)，即经过2秒，△ PBQ的面积等于8cm2.(2)设经过y秒，线段PQ恰好平分△ ABC的面积，△ PBQ的面积等于12cm2，S △ PBQ =2X( 6-y ) X 2y=1, 即2，y2-6y+12=0 ，因为△ =b2-4ac=36-4 X 12=-12 v 0，所以△ PBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分△ ABC的面积.4•相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用. 几何动点问题.(1 )设x秒时.由三角形的面积公式列出关于x的方程，—(6 - x) ?2x=8，通过解方程求2得x i=2, x2=4;(2)过Q作QD丄CB，垂足为D，构建相似三角形△ CQD CAB，由该相似三角形的对应边成比例得到一：即QD= ；;2i _8 AC 10然后由三角形的面积公式列出关于x的方程一 (14 -x) ? ：■=12.6，解之得x i=7,2 丄。
一元二次方程应用(动点问题)
4.动点问题例1：如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点 动身别离沿AC 、BC 方向向 点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为 Rt △ACB 面积的一 半？变式练习： 一、 如图：在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，若是P 、Q 别离从A 、B 同时动身，几秒后△PBQ 的面积等于8平方厘米？二、如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm 动点D 从A 点动身到B 点为止，运动的速度为1cm/秒；同时动点E 从C 点动身到A 点为止，点E 运动的速度为2cm/秒那么当点A 、D 、E 为极点的三角形与△ABC 相似时，ABC P Q 6c 8cmA运动的时刻是（ ）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 以每秒2个单位长度的速度从点C 动身，沿CA 向点A 运动；点Q 同时以每秒1个单位长度的速度从点A 动身，沿AB 向点B 运动,设P 、Q 两点移动t 秒（1）求△APQ 与△ABC 相似时t 的值（2）求四边形BCPQ 面积S 与时刻t 的关系式（3）求△APQ 为等腰三角形时t 的值例2：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB=100海里.若这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会可不能碰到台风?若会，试求轮船最初碰到台风的时刻；若可不能，请说明理由.BCE D 10变式练习：某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦查船以30节的速度由南向北航行，它能侦查出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。
4.27 8.6一元二次方程的应用——动点问题
动点问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？ 2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例题赏析
如图,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一重要
目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC
的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252 5x2-50x=0
x1=0 （舍），x2=10
答：10秒后PQ相距25cm。
出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向
匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船
相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到
0.1海里,其中6 2.449 00
BE F
C
200
例题赏析
练习1
练习2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
一元二次方程的应用(动点问题)
二实验中学西校九年级数学组
1.如图 所示， 在直角坐标系中，四边形OACB 为矩形， C点的坐标为(3,6),若点P 从 O点沿 OA向点A 以1㎝/s 的 速度运动，点Q 从点 A沿 AC以2cm/s 的速度运动，如 果P,Q 分别从O,A 同时出发 ，问 （1）经过多长时间△PAQ 的面积为2平方厘米? （2） △PAQ的面积能否达到3平方厘米? （3）经过多长时间P,Q两点间的距离是 2 2 厘米?
3.如图所示 ，△ABC中，∠B=900，AB=BC=6cm。点 P从A点开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动. （1）P、Q两点分别从A,B同时出发，经过几秒钟，使 △PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）如果P、Q两点分别从A,B出发，并且P到B点后 继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上 前进，从开始经过几秒钟，使△PCQ的面积等于 10 2 平方厘米？ (P在BC上，Q在AC上） C C Q A Q P
P
B
A
BLeabharlann yB CQ
O
P
A
x
2.如图所示 AO=OB=50厘米，OC是一条射线， OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2厘米每秒的速度沿 AB方向向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3厘 米每秒的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时 刻，使两只蚂蚁所在的位置与O点组成的三角形面 积为450平方厘米？ A P O B
Q C
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△PCQ的面积能为10cm2?
（3）当点P、Q出发几秒后，
PQ的长度为 4 2 cm？
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动把动的点进行转换,
变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度;
拓展提升：
P54 T7
（4）当x为何值时，四边形PQMN 为直角梯形？
几秒后△ PQD的面积等于28cm2？
D
C
Q
A
B
P
牛刀小试
2、在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以 2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过 点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点 E.F分别在AC,BC上,问：点D出发 Ｃ 几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
F
Ｅ
Ａ
3）常找的数量关系——面积，勾股定理等；
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
习题速练：
P53 练习 T2
牛,点P
从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移
动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边
向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，
动点问题
合作交流
例1 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动；同时点 Q沿 CB 边从点 C 向 终点 B 以 2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达 终点时，另一点也随之停止移动. 问：(1)点 P，Q 出发几秒后， △PCQ 为等腰三角形？
Ｄ
Ｂ
一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直距离为8m， 如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端 滑动xm，可列方程为:__________
已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三 角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别 沿AB、BC方向匀速移动，点P的速度为 1cm/s,点Q的速度为2cm/s，当点Q到达点C时， P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t （s），解答下列问题： （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ (2)△PBQ能否为等边三角形？若能，请求出t的 值，若不能，说明理由.