2019年人教版高考数学一轮复习10.1空间几何体的结构及其三视图和直观图优质课教案
高中数学 空间几何体的结构及其三视图和直观图
)
自 主 落 实 · 固 基 础
菜 单
课 后 作 业
新课标 ·文科数学（安徽专用）
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【解析】 能是D. 【答案】
由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上
部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可
(2013· 潍坊模拟)某四面体的三视图如图7－1－5所
示，该四面体四个面的面积中最大的是(
)
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A．8
菜 单
B．6 2
C．10
D．8 2
新 导 · 备 高 考
【思路点拨】
根据几何体的三视图确定几何体的形
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菜 单
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第一节
空间几何体的结构及其三视图和直观图
典 例 探 究 · 提 知 能 高 考 体 验 · 明 考 情
自 主 落 实 · 固 基 础
空间几何体的结构、三视图、直观图
【答案】 B
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
探究 4
解决这类问题的关键是准确分析出组合体
的结构特征， 发挥自己的空间想象能力， 把立体图和截面 图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了 增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托．
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
思考题 4 (2011· 湖北文)设球的体积为 V1，它的内接 正方体的体积为 V2，下列说法中最合适的是( )
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
2．棱锥的结构特征 (1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有 _____________________ 一个公共顶点的三角形 ，这些面围成的几何体叫做棱锥． (2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形 ， 并且顶点在底面内的射影是 底面中心 ，这样的棱锥叫做正 棱锥．
【答案】 ①√ ②× ③× ④√ ⑤√ ⑥×
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
探究 1 深刻领会基本概念，熟练掌握基本题型的解 法，是学好立体几何的关键，本课涉及到的概念较多，应 多看、多想、多做．
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
思考题 1 以下命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面， 则该四棱柱 为直四棱柱； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题为________
A．V1 比 V2 大约多一半 B．V1 比 V2 大约多两倍半 C．V1 比 V2 大约多一倍 D．V1 比 V2 大约多一倍半
题型一
空间几何体的结构特征
例 1 判断正误 ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．
2019届高考数学难点突破--立体几何初步：空间几何体的结构及其三视图和直观图(带解析)
2019届高考数学难点突破--立体几何初步：空间几何体的结构及其三视图和直观图（带解析）空间几何体的结构及其三视图和直观图【考点梳理】．简单多面体的结构特征棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线．空间几何体的三视图三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．【考点突破】考点一、空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是A．0B．1c．2D．3[答案]A[解析]①错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②错误，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．【类题通法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；通过反例对结构特征进行辨析．【对点训练】下列结论正确的是A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体c．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线[答案]D[解析]如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．①②c错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．由母线的概念知，选项D正确．考点二、空间几何体的三视图【例2】一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是ABcD[答案]B[解析]该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合．【类题通法】由几何体的直观图画三视图需注意的事项①注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．【对点训练】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞.其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是[答案]B[解析]由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.【例3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．[答案]22[解析]由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABc，为Ac的中点，且B⊥Ac，故该三棱锥的最长棱为Pc.在Rt△PAc中，Pc＝PA2＋Ac2＝22＋22＝22.【类题通法】由三视图还原到直观图的思路根据俯视图确定几何体的底面.根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.确定几何体的直观图形状.【对点训练】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱棱长为A．1B．2c．3D．2[答案]c[解析]由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABcD.又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABcD是正方形，所以Pc为最长棱．连接Ac，则Pc＝Ac2＋PA222＋1＝3.考点三、空间几何体的直观图【例4】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，∠ABc＝45°，AB＝AD＝1，Dc⊥Bc，则这块菜地的面积为________.[答案]2＋22[解析]如图1，在直观图中，过点A作AE⊥Bc，垂足为E.在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝22.又四边形AEcD为矩形，AD＝Ec＝1.∴Bc＝BE＋Ec＝22＋1.由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′c′D′.在梯形A′B′c′D′中，A′D′＝1，B′c′＝22＋1，A′B′＝2.∴这块菜地的面积S＝12•A′B′＝12×1＋1＋22×2＝2＋22.【类题通法】．画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”和“二测”来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形．【对点训练】已知正三角形ABc的边长为a，那么△ABc的平面直观图△A′B′c′的面积为A．34a2 B．38a2c．68a2 D．616a2[答案]D[解析]如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，o′c′＝12oc＝34a，在图②中作c′D′⊥A′B′于D′，则c′D′＝22o′c′＝68a，所以S△A′B′c′＝12A′B′•c′D′＝12×a×68a＝616a2.。
2019高考数学一轮复习-8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图课件
△A'B'C'的面积为( D )
A. 43a2
B. 83a2
C. 86a2
D.166a2
-25-
考点一
考点二
考点三
解析: (1)依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯形,
上、下底边的长分别与 BC,AD 相等,高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍, 所以原平面图形的面积为 8 cm2.
(2)如图①,②所示的平面图形和直观图.
-18-
考点一
考点二
考点三
对点训练1(1)以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( A ) A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 (2)设有以下命题:
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点; ⑤直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都
相似 多边形
①圆柱可以由 矩形 绕其任一边所在直线或矩形绕对边中
点连线所在直线旋转得到.
(2) ②圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在直线或等腰
旋 三角形绕底边中点与其所对顶点连线所在直线旋转得到.
转 ③圆台可以由直角梯形绕 直角腰 所在直线或等腰梯形
体 绕上、下底中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面
平面截圆锥才可以.
考点一
考点二
考点三
-17-
思考如何熟练应用空间几何体的结构特征? 解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面 地去分析,多观察实物,提高空间想象能力. 2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据 条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定. 3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只 要举出一个反例即可.
2019届人教版高考数学(文)一轮复习：8-1 空间几何体的结构、三视图、直观图
第11页
第八章
第一节
与名师对话· 系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力 名 师 引 领 拓 视 野
第12页
第八章
第一节
与名师对话· 系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
(2)斜二测画法中要注意原图与直观图的“三变、三不变”原
C
第八章 第一节
与名师对话· 系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
4．如右图，直观图所表示的平面图形是(
吃 透 教 材 夯 双 基
)
A．正三角形
考 点 突 破 提 能 力
名 师 引 领 拓 视 野
B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
第18页
高考总复习·课标版·数学（文）
[小题速练]
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力
1．下列结论错误的是(
)
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱 锥 B．圆柱的侧面展开图是矩形 C．水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形 D．水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角 形
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第八章
第一节
与名师对话· 系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
[温馨提示] 两个原则：
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力
(1)在画几何体三视图时务必遵循 “ 长对正、高平齐、宽相 等”原则，必须确定观看几何体的三个对应方向，同一物体放的 位置不同，所画的三视图就可能不同． 如： 一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体为 六棱台 ．
2．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间
2019年高考数学一轮复习：空间几何体的结构、三视图和直观图
2019年高考数学一轮复习：空间几何体的结构、三视图和直观图空间几何体的结构、三视图和直观图1．棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．※2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的______________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．(3)正棱台的性质侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．3．圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以______的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、________、________；平行于底面的截面都是________．4．球(1)球面与球的概念以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．5．平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图、直观图(1)三视图①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．”长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________且∠yOz＝________．②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的__________．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．自查自纠1．(1)平行四边形平行(2)多边形三角形2．(1)平行四边形全等平行四边形矩形(2)等腰三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形(3)等腰梯形直角梯形直角梯形直角梯形3．(1)矩形直角三角形直角梯形(2)矩形等腰三角形等腰梯形圆4．(1)直径球心(2)垂直于d＝R2－r25．平行投影平行6．(1)①正(主)视图侧(左)视图俯视图(2)①90°90°②45°(或135°)90°③平行于④一半以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π解法一：由三视图知，该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.解法二：该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以其体积V＝π×32×7＝63π.故选B.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12 C．14 D．16解：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长、直三棱柱的高、三棱锥的高均为2，易知该多面体有2个面是梯形，这2个梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12，故选B.(2017·北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．解：由三视图还原为如图所示的四棱锥A -BCC 1B 1，易得，最长的棱为AC 1，且AC 1＝AC 2＋CC 21＝（22＋22）＋22＝2 3.故填23.(2017·山东)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解：由三视图可知V ＝1×2×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.故填2＋π2.类型一 空间几何体的结构特征给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中所有错误命题．．．．的序号是( ) A ．②③④ B. ①②③C ．①②④ D. ①②③④解：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④错误．故选D .【点拨】解决该类题目需要准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有一个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________．解：①显然错；②正确，因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；③错，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．故填②④.类型二 空间几何体的三视图已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()解：三视图中正侧高平齐，排除A ，俯侧宽相等，排除C ，D.故选B .【点拨】根据几何体的直观图画三视图，要根据三视图的画法规则进行．要严格按以下几点执行：①三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边．②正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等．③注意实虚线的区别．如图，几何体的正视图与侧视图都正确的是()解：侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A 、D 排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B 中所示．故选B .类型三 空间多面体的直观图已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．(单位：cm)解：由三视图可知该几何体是底面边长为2 cm ，高为3 cm 的正六棱锥，其直观图如图①所示，画法如下：(1)画轴：画底面中心O ′，画x ′轴，y ′轴和z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在水平面x ′O ′y ′内画边长为2 cm 正六边形的直观图．(3)画高线：在O ′z ′上取点P ′，使O ′P ′＝3 cm. (4)成图：连接P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，去掉辅助线，并将遮住部分改为虚线，就得到如图②所示的直观图．【点拨】①根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，确定几何体在x 轴、y 轴、z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图．②平行于x轴和z 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半，且平行于轴的线段平行关系不变．③原图形面积S 与其直观图面积S ′之间的关系为S ′＝24S .已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A. 2 B ．6 2 C.13D ．2 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S ＝2 2.因此该四棱锥的体积为V ＝13Sh ＝13×22×3＝2 2.故选D .类型四 空间旋转体的直观图一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)O 1A 1＝2，OA ＝5，所以圆台的高h ＝122－32＝315 cm.(2)由SA －12SA ＝25，得SA ＝20 cm. 【点拨】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．一个直角梯形上底、下底和高之比为2∶4∶5，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为2x ，4x ，5x ，它们分别为圆台的上、下底半径和高．如图示，过点B 作BC ⊥OA 于C ，则Rt △ABC 中，AC ＝OA －OC ＝OA －O ′B ＝4x －2x ＝2x ，BC ＝O ′O ＝5x ，所以AB ＝AC 2＋BC 2＝（2x ）2＋（5x ）2＝3x .所以S 上∶S 下∶S 侧＝[π(2x )2]∶[π(4x )2]∶[π(2x ＋4x)×3x ]＝2∶8∶9.1．在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．2．建议对下列一些具有典型意义的重要空间图形的数量关系予以推证并适当记忆．(1)正多面体①正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．棱长为a 的正四面体中：a ．斜高为32a ；b ．高为63a ； c ．对棱中点连线长为22a ；d ．外接球的半径为64a ，内切球的半径为612a ；e ．正四面体的表面积为3a 2，体积为212a 3.②如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，DC 1，DA 1，DB ，可以得到一个棱长为2a 的正四面体A 1BDC 1，其体积为正方体体积的13.③正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R )．(2)长方体的外接球①长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .②棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .3．三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度．由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等．4．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变．5．对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S 与其直观图面积S′之间联系：S ′＝24S ，并能进行相关的计算．1．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是( )①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体 A ．①③ B ．②④ C ．④⑤ D ．②⑤ 解：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．故选D .2．下列命题：①若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：①假命题，也可以是球；②假命题，也可以是横放的圆柱；③是真命题；④是假命题，也可以是棱台．故选B.3．四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面，则该物体的三视图正确的为( )解：正视图、侧视图、俯视图分别从几何体的正面、左边和上面正投影即可知B 正确．故选B .4．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解：D 选项的正视图应为如图所示的图形．故选D .5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中面积最大的是( )A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6，62，8，10，所以面积最大的是10.故选C .6．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm 解：根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有OB ⊥OA，OB ＝22，OA ＝1，所以AB ＝3.从而原图的周长为8.故选A .7．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱解：三棱锥、四棱锥和圆锥显然合要求，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．故填①②③⑤.8．有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从3种不同角度看同一枚骰子的情况，则与H 相对的字母是________．解：正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图，都可看到有公共顶点的三个面，与标有S 的面相邻的面共有四个，由这三个图知这四个面分别标有字母H ，E ，O ，d ，翻转图②，使S 面调整到正前面，则O 为正下面，所以与H 相对的是O .故填O .9．如图是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图．解：图中几何体的三视图如图所示：10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r .根据相似三角形的性质得，33＋l ＝r4r，解得 l ＝9. 所以，圆台的母线长为9cm.11．在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直．该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A 的长度．解：(1)该四棱锥的俯视图为边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36cm 2.(2)在正方形ABCD 中，易得AC ＝62cm ，因为PC ⊥面ABCD ，所以PC ⊥AC .在Rt △ACP中，P A ＝PC 2＋AC 2＝62＋（62）2＝63cm.某长方体的一条体对角线长为7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条体对角线的投影长分别为a 和b ，求ab 的最大值．解：如图，则有AC 1＝7，DC 1＝6， BC 1＝a ，AC ＝b ，设AB ＝x ，AD ＝y ，AA 1＝z ，有 x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋z 2＝6，所以y 2＝1.因为a 2＝y 2＋z 2＝z 2＋1，b 2＝x 2＋y 2＝x 2＋1，所以a ＝z 2＋1，b ＝x 2＋1.所以ab ＝（z 2＋1）（x 2＋1）≤z 2＋1＋x 2＋12＝4，当且仅当z 2＋1＝x 2＋1，即x ＝z ＝3时，ab 的最大值为4.2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。
第七章 第一节 空间几何体的结构及三视图和直观图
解：①错误，因为棱柱的底面不 错误， 一定是正多边形； 错误， 一定是正多边形；②错误，必须 用平行于底面的平面去截棱锥， 用平行于底面的平面去截棱锥， 才能得到棱台；③正确，因为三 才能得到棱台； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直 于底面； 正确，正方体 中的四棱锥C 于底面；⑤正确，正方体AC1中的四棱锥 1－ABC，四个 ， 面都是直角三角形； 正确，由棱台的概念可知． 面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．
答案： 答案：C
2． 如图 ， 几何体的正 主 )视图和侧 左 )视图都正确的是 ． 如图， 几何体的正(主 视图和侧 视图和侧(左 视图都正确的是 ( )
答案： 答案：B
3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( ．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是
)
A．三棱锥 ． C．四棱台 ．
B．四棱锥 ． D．三棱台 ．
解析： 解析：由所给三视图与直观图的关 系，可以判定对应的几何体为如图 所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD， 所示的四棱锥， ⊥ ， AB⊥BC，BC∥AD. ⊥ ， ∥ 答案： 答案：B
4．(2010·北京高考 一个长方体去掉一个小长方体，所得 ． 北京高考)一个长方体去掉一个小长方体 北京高考 一个长方体去掉一个小长方体， 几何体的正(主 视图与侧 视图与侧(左 视图分别如图所示 视图分别如图所示， 几何体的正 主)视图与侧 左)视图分别如图所示，则该 几何体的俯视图为 ( 主)视图 、 侧(左)视图 、 俯视图 ，分别是从几何体的正前方 、正左方 、 正上方 观察几何体画出的轮廓线． 观察几何体画出的轮廓线．
-空间几何体的结构、三视图和直观图
§8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图2014高考会这样考 1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.考查三视图、直观图及其应用．复习备考要这样做 1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似． 2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到． 3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图． 4．空间几何体的直观图(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段；(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.[难点正本 疑点清源]1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．3．空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”．其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图．1．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________．(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．2．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体4．(2012·湖南)某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是()5.如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是()题型一 空间几何体的结构特征 例1 设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 题型二 几何体的三视图例2 如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )题型三 空间几何体的直观图例3 已知△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积．正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．三视图识图不准确致误典例：(5分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．方法与技巧1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．失误与防范1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱． 其中正确的命题个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 3．(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为( )4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )二、填空题(每小题5分，共15分)5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案 626.如图所示，E 、F 分别为正方体ABCD —A1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面 BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的投影是 ________．(填序号)7．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.三、解答题(共22分)8．(10分)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．9．(12分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其主视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其主视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其主视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．02.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为()3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是() A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤二、填空题(每小题5分，共15分)4.在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.5．用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．6.如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．三、解答题7．(13分)已知正三棱锥V—ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．。
空间几何体的结构、三视图和直观图
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难点正本 疑点清源
3．三视图的长度特征： “长对正、宽相等， 高平齐”，即正视图 和侧视图一样高，正 视图和俯视图一样 长，侧视图和俯视图 一样宽．若相邻两物 体的表面相交，表面 的交线是它们的分界 线，在三视图中，要 注意实、 虚线的画法．
4．空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法，基本步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、
y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时， 把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两 轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′ ＝ 45°(或135°) ．
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直观图中分别平行于
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3．空间几何体的三视图
2．正棱锥：底面是正 多边形，顶点在底 空间几何体的三视图是用 正投影 面的射影是底面正 多边形的中心的棱 得到， 这种投影下与投影面平行的平 锥叫做正棱锥．特 面图形留下的影子与平面图形的形 别地，各棱均相等 的正三棱锥叫正四 状和大小是 完全相同 的，三视图包 面体．反过来，正 正视图 俯视图 侧视图 括 、 、 ． 棱锥的底面是正多 边形，且顶点在底 面的射影是底面正 多边形的中心．
2．正棱锥：底面是正 多边形，顶点在底 面的射影是底面正 多边形的中心的棱 锥叫做正棱锥．特 别地，各棱均相等 的正三棱锥叫正四 面体．反过来，正 棱锥的底面是正多 边形，且顶点在底 面的射影是底面正 多边形的中心．
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1．多面体的结构特征
直棱柱？ 正棱柱？
难点正本 疑点清源
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2019届高考数学(文科,)一轮复习优秀课件：§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图 (共60张PPT)
5.(2014课标Ⅰ,8,5分,0.795)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三 视图,则这个几何体是 ( )
A.三棱锥 C.四棱锥 B.三棱柱 D.四棱柱 答案 B 由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选B.
1 3
∴VP-ABC= × ×3×5×4=10.故选D.
1 2
2.(2017浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( )
A. +1
2
B. +3
2
C. +1
3 2
D. +3
3 2
答案 A 本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算. 由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如图,三棱锥
A.1+ 3 B.1+2 2 C.2+ 3 D.2 2
答案 C 如图,该四面体有两个面为等腰直角三角形,另外两个面为正三角形.故该四面体的表 面积S=2× × 2 × 2 +2× × 2 × 2 × =2+ 3 .
1 2 1 2
3 2
6.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (
B组 自主命题· 省（区、市）卷题组
1.(2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )
A.60 B.30 C.20 D.10
答案 D 本题考查三视图的相关知识,三棱锥体积的计算,考查学生的空间想象能力. 根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,直观图如图所示,
2019年高考数学(文)考点一遍过 考点27 空间几何体的结构及其三视图与直观图(含解析)
2019年高考数学（文）考点一遍过空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.一、空间几何体的结构1．多面体②侧面都是平行四边形2．旋转体二、空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：正侧俯②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图2．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是： ①在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O .画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴，两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段.③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半. （2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴使∠xOz =90°，且∠yOz =90°. ②画直观图时，把它们画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′=45°(或135°)，∠x ′O ′z ′=90°，x ′O ′y ′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半. ⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. （3）直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为22SS ='，即原图面积是直观图面积的22 2=422倍.考向一 空间几何体的结构特征关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.典例1 给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱； ②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥； ④长方体一定是正四棱柱. 其中正确的命题个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A1．正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是典例2 边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是 A ．10 cm B ．52C ．D 25π+42【答案】D【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，展开后155·2π·π222E F '==，∴)25π4cm 2E G '==+．【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理．2．已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,为的中点,则从拉一条绳子绕过侧棱到达点的最短绳长为 A ． B ． C ．D ．考向二 空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.典例3 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是A B C D【答案】B3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,DD BB 的中点，用过点1,,,A E C F 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的侧视图为典例4 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【答案】B【解析】由三视图中的正视图可知，有一个面为直角三角形，由侧视图和俯视图可知其他的面为长方形.综合可判断为三棱柱.4．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为A ．B ．C ．D ．考向三 空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”y ⎧⎪⎨⎪⎩坐标轴的夹角改变与轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变；“三不变”x z ⎧⎪⎨⎪⎩平行性不改变与,轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变.典例5 如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为A ．3B 32C ．6D ．32【答案】C【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为22SS='，即原图面积是直观图面积的224倍.5．已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A B C D ''''（如图所示），其中2A D ''=， 4B C ''=，1A B ''=，则直角梯形DC 边的长度是A B ．2C ．D 31．有下列三个说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为A B C D3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，则该正四棱锥的侧棱长是A．B．C．D．5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是A．B．C．D．6．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的A．①②B．②③C．③④D．①④7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为A．B．C ．D ．8．已知用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是3cm ，则棱台的高是 A ．12cm B ．9cm C ．6cmD ．3cm9．一个正方体的内切球1O 、外接球2O 、与各棱都相切的球3O 的半径之比为 A ．1:3:2 B ．1:1:1C ．2D ．1:2:310．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为A ．28B ．30C ．32D ．3611．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB =，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离是A ．1B 2C D 3 12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为A．B．C．D．13．如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A'B'C'D'的面ADD'A'、面BCC'B'的中心,现给出图①~④的4个平面图形,则四边形BFD'E在该正方体的面上的射影可能是图.(填上所有正确图形对应的序号)14．如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字面相对的是“”.15．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.（填序号）16．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 ，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为____________.17．正三棱锥P −ABC 中，90APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，，AB 的中点为M ，一小蜜蜂沿锥体侧面由M 爬到C 点，最短路程是____________.1．（2018新课标全国Ⅰ文科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．22．（2018新课标全国Ⅲ文科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3．（2016天津文科）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为A B C D 4．（2015北京文科）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为A．1B2CD．21．【答案】C2．【答案】C【解析】将正三棱柱展开,如图所示.,,则,所以从拉一条绳子绕过侧棱到达点时最短,最短绳长为.选C．3．【答案】C【解析】通过观察剩余几何体（下半部分），可以发现C图正确，故选C．4．【答案】B5．【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了45︒方向的线段，且长度是原高的一半，则原高为2AB=，而横向长度不变，且梯形ABCD是直角梯形，如图，()224222DC∴==-+= B.1．【答案】A【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．考点冲关2．【答案】D【解析】所得几何体的正视图为一个长方形，且有一条从左下到右上的对角线，如下所示：故选D．3．【答案】A【解析】因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A．4．【答案】B【解析】由三视图可知该正四棱锥的底面正方形的对角线长是，高为3，所以正四棱锥的侧棱长为，故选B．5．【答案】A6．【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立．所以其俯视图不可能为②正方形；③圆，故选B．7．【答案】D【解析】根据空间直角坐标系中点的位置，画出直观图如图，则正视图为D中图形.故选D．8．【答案】D【解析】面积比为底面边长比的平方,从而由面积比可得底面边长的比,底面边长的比与截去棱锥和原棱锥高的比相等，从而可求得原棱锥的高,即可得棱台的高.设原棱锥的高为h .依题意可得231()4h=,解得6h =，所以棱台的高为633(cm)-=.故D 正确. 9．【答案】C【解析】设正方体的棱长为1，那么其内切球的半径为21，外接球的半径为23（正方体体对角线的一半），与各棱都相切的球的半径为22（正方体面对角线的一半），所以比值是132∶∶，故选C ． 【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径． 10．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为.故选C ．11．【答案】A【解析】如下图所示：12．【答案】C【解析】由三视图可知：原三棱锥为，其中，，如图，∴这个三棱锥最长棱的棱长是.故选C ．13．【答案】②③【解析】四边形BFD'E 在正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'上的射影是③;在面ABCD 上的射影是②;易知①④的情况不可能出现. 14．【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，∴与“数”字面相对的是“学”. 15．【答案】①②③④16．【答案】22【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为1(112S '=⨯+=+，又原图形与直观图的面积比为SS ='，所以原图形的面积为2S '==17．10【解析】由题意，将侧面PBC 展开，那么点M 到C 的距离，就是在MBC △中的长度，由题中数据易得,2MB BC a ==，90MBC PBA PBC ∠=∠+∠=︒，，如果将侧面PAC展开，同理可得2MC a =.1．【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M 在上底面上，点N 在下底面上，且可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果. 2．【答案】A3．【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点处的一个棱锥，故选B.直通高考【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4．【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SB⊥平面ABCD，SD是四棱锥最长的棱，连接BD，则2223++= C.SD SB AB AD。
数学(文)一轮总复习3.立体几何初步(1)空间几何体的结构与三视图、直观图
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【名师点评】 熟悉空间几何体 的结构特征，依据条件构建几何模 型，在条件不变的情况下，变动模型 中的线面位置关系或增加线、面等基 本元素，然后再依据题意判定，是解 决这类题目的基本思考方法．
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考点二 几何体的三视图
1．画几何体的三视图时，可 以把垂直投射面的视线想象成平行 光线，体会可见的轮廓线(包括被 遮挡住，但可以经过想象透视到的 光线)的投影就是要画出的视图， 可见的轮廓线要画成实线，不可见 的轮廓线要画成虚线．
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例1
给出以下命题：①底面是矩形的 四棱柱是长方体；②直角三角形绕着 它的一边旋转一周形成的几何体叫做 圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是 直角三角形．其中说法正确的是 __________．
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【思路点拨】 根据几何体的结 构特征，借助熟悉的几何体模型进行 判定．
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命题探究
1.纵观近几年高考试题可知，高考命题 形式比较稳定，主要考查形式有： (1)以几何体为依托考查几何体的结构 特征，几何体的三视图、直观图、表面积与 体积．
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命题探究
(2)直线与平面的平行与垂直的判定、 线面间距离的计算作为考查的重点，尤其以 多面体为载体的线面位置关系的论证，更是 年年考，并在难度上也始终以中等题为主． (3)判断并证明两个平面的垂直关系， 通常是在几何体中出现． (4)高考中多以一小一大形式出现，分 值为17分左右，试题难度较小．
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考纲解读
1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组 合体的结构特征，并能运用这些特征描述 现实生活中简单物体的结构． (2)能画出简单空间图形的三视图， 能识别三视图所表示的立体模型，会用斜 二测画法画出它们的直观图．
2019-2020年高考数学一轮总复习 10.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图教案 理 新人教A版
2019-2020年高考数学一轮总复习 10.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图教案理新人教A版高考导航知识网络10.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图典例精析题型一结构特征判断【例1】以下命题错误的个数是 ( )①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；②圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；④三棱锥的四个面可能都是直角三角形；⑤有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】①错：只能以直角边为轴旋转一周才可；②错：必相交；③对：如图，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD时，四个侧面均为直角三角形；④对：如图，∠ABC＝90°，PA⊥底面，则四个面均为直角三角形；⑤错：只有侧棱延长交于一点时才是棱台.综上，错误的个数是3，故选C.【点拨】判断结构特征必须严格依据柱、锥、台、球的定义，结合实际形成一定的空间想象能力.【变式训练1】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在直线互相平行. 其中正确命题的序号是 . 【解析】②④.题型二 直观图的斜二测画法【例2】 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )【解析】按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A 符合题意. 【点拨】本题已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力.要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系. 【变式训练2】已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，求原三角形的面积.【解析】因为直观图的坐标轴成45°，横长不变，竖长画成原来的一半，则还原成原图时将45°还原成90°，则过A′作A′O′与O′C′成45°，将其还原成90°，且AO ＝2A′O′. 而A′D′＝32a.所以A′O′＝32a×2＝62a ，所以AO ＝6a. 所以S △ABC ＝12BC · AO ＝12a×6a ＝62a2.题型三 三视图与直观图【例3】 四棱柱ABCD －A1B1C1D1的三视图如下.(1)求出该四棱柱的表面积； (2)求证：D1C ⊥AC1；(3)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.【解析】(1)求得该四棱柱的表面积为S＝11＋2 2.(2)证明：由三视图得该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D.因为DC＝DD1，所以四边形DCC1D1是正方形.所以DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，所以AD⊥平面DCC1D1.又D1C⊂平面DCC1D1，所以AD⊥D1C.因为AD，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，所以D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1，所以D1C⊥AC1.(3)连接AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.因为平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，所以N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，所以AB＝DE，即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.【点拨】本题以三视图为载体考查空间线面位置关系的证明以及表面积的计算，解决此类问题的关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现相应的位置关系与数量关系，然后在直观图中解决问题.【变式训练3】如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的标号依次是( )①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.A.④③②B.①③②C.①②③D.④②③【解析】选A.总结提高学习空间几何体的结构要以对实物的观察想象为基础，再以课本中给定的柱、锥、台、球的概念为标准对实物进行再认识，通过这一过程提高空间想象能力.2019-2020年高考数学一轮总复习 10.2 空间几何体的表面积与体积教案理新人教A版典例精析题型一 表面积问题【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.【解析】设圆锥的半径为R ，母线长为l ，圆柱的半径为r ，轴截面如图， S 圆锥＝π(R ＋l)R ＝π(R ＋2R)R ＝(2π＋π)R2，S 圆柱＝2πr(r ＋r)＝4πr2， 又r R ＝R －r R ，所以r R ＝12， 所以S 圆柱S 圆锥＝2－11.【点拨】 轴截面是解决内接、外切问题的一种常用方法.【变式训练1】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m). (1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积.【解析】(1)直观图如图所示.(2)该几何体的表面积为(7＋2) m2，体积为32m3.题型二 体积问题【例2】 某人有一容积为V ，高为a 且装满了油的直三棱柱形容器，不小心将该容器掉在地上，有两处破损并发生渗漏，其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b 、c 的地方，且容器盖也被摔开了(盖为上底面)，为减少油的损失，该人采用破口朝上，倾斜容器的方式拿回家，估计容器内的油最理想的剩余量是多少？【解析】 如图，破损处为D 、E ，且AD ＝b ，EC ＝c ，BB1＝a ， 则容器内所剩油的最大值为几何体ABC －DB1E 的体积.因为＝，而＝a ＋c2a，由三棱柱几何性质知＝23V ， ＝V3，所以＝a ＋c3aV ，又因为＝b a ，所以 VD －ABC ＝b a ·V 3＝bV3a ，所以＝＋VD －ABC ＝a ＋b ＋c3a V.故油最理想的剩余量为a ＋b ＋c3aV.【点拨】将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体，然后求出这些规则几何体的体积，这是求几何体体积的一种常用的思想方法. 【变式训练2】一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几？ 【解析】设球的半径为R ，则圆锥的高h ＝3R ，底面半径r ＝3R ，V 圆锥＝π3·(3R)2·3R ＝3πR3；V 球＝43πR3.所以V 球V 圆锥＝43πR33πR3＝49，所以剩下的水量是原来的1－49＝59.【点拨】本题关键是求圆锥与球的体积之比，作出轴截面，找出球半径和圆锥高、底面半径的关系即可.题型三 组合体的面积、体积的关系【例3】底面直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x ，对角线长为2，截面的面积为A ，如图所示：(1)求面积A 以x 为自变量的函数式； (2)求截得棱柱的体积的最大值.【解析】 (1)A ＝x ·4－x2(0＜x ＜2).(2)V ＝x ·4－x2·1＝x2(4－x2) ＝－(x2－2)2＋4. 因为0＜x ＜2，所以当x ＝2时，Vmax ＝2.【点拨】关键是理解截面，并且注意x 的范围从而求体积，在求第(2)求体积时还可利用不等式.【变式训练3】(xx 山东检测)把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A.1∶2B.1∶πC.2∶1D.2∶π【解析】设长方形的一条边长为x cm ，则另一条边长为(6－x) cm ，且0＜x ＜6，以长为(6－x) cm 的边作为围成的圆柱的高h ，若设圆柱的底面半径为r ，则有2πr ＝x ，所以r ＝x2π，因此圆柱的体积V ＝π·(x 2π)2(6－x)＝14π(6x2－x3)，由于V′＝14π·(12x－3x2)，令V′＝0，得x ＝4，容易推出当x ＝4时圆柱的体积取得最大值，此时圆柱的底面周长是4 cm ，圆柱的高是2 cm ，所以圆柱的底面周长与高的比为2∶1，选C. 总结提高表面积包含侧面积和底面积；直棱柱的侧棱长即侧面展开图矩形的一边；对于正棱柱、正棱锥、正棱台，其所有侧面多边形均全等，故可先求一个的侧面积，再乘以侧面多边形的个数. 求体积时，常常需要“转变”底面，使底面面积和高易求；另外，对于三棱锥的几何体选择不同的底面时，利用同一个几何体体积相等，再求出几何体的高，即等体积法.。
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题01 空间几何体的结构及其三视图和直观图(解析版)
立体几何与空间向量01 空间几何体的结构及其三视图和直观图【考点讲解】一、具体目标：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。
②会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
③会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.二、知识概述：1.空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面：在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高：在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．2.空间几何体的三视图三视图：几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．3.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.4.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．三、备考策略：1.以考查三视图、几何体的结构特征以及几何体的面积体积计算为主，三视图基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；几何体的结构特征往往在解答题中考查，与平行关系、垂直关系等相结合.2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用的.3.备考重点：(1) 掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；(2)掌握常见几何体的结构特征.四、常考题型：三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征． 4. 三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整． 1. 【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．324【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选B. 【答案】B2.【2018年高考全国Ⅰ卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）【真题分析】A ．172B ．52C ．3D ．2【分析】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M 在上底面上，点N 在下底面上，且可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为√42+22=2√5，故选B ． 【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A ． 【答案】A4.【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）俯视图正视图A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()112226,2⨯+⨯⨯=故选C. 【答案】C5.【2018年高考北京卷文数】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题要求会利用三视图的性质还原原立体图形，然后再应用立体图形的性质进行计算或验证. 由三视图可得四棱锥P ABCD -如图所示，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB △△△，共3个，故选C. 【答案】C6.【2017年高考全国Ⅰ卷理数】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10 B．12 C．14 D．16【解析】解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状和结构特征，要求熟悉常见几何体的三视图.由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B．【答案】B7.【2017年高考北京卷理数】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．B．C．D．2【解析】几何体是四棱锥P ABCD-，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度为22222223l=++=，故选B．【答案】B8.【2017年高考全国Ⅱ卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．【答案】B9.【2017年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为21113(21)13222V π⨯π=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．【答案】A10.【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【答案】401.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.60B.30C.20D.10【解析】本题主要考查的将三视图还原成几何体后求体积的问题。
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 V ( S S S S )h 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S S V 1 Sh 1 V ( S S S S )h 3 3
S为底面面积， h为锥体高
S , S 分别为上、下
底面面积，h 为台体 高
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：
V Sh
（其中S为底面面积，h为柱体的高）
锥体体积
h
椎体（圆锥、棱锥）的体积公式：
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
由此可知， 棱柱与圆柱的体积公式类似，都是 底面面积乘高； 棱锥与圆锥的体积公式类似，都是 1 底面面积乘高的 ． 3
台体体积
台体（棱台、圆台）的体积公式
考向二 空间几何体的三视图
【例2 】►(2012·湖南) 某几何体的正视图和侧视图均如图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 俯 视 图 不 可 能 是 ( )．
[审题视点] 根据正视图和侧视图相同逐一判断．
正视图
侧视图
圆台
俯视图
根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征
正视图
侧视图
正四棱台 俯视图
简单组合体的三视图
水平直观图
正方形的水平直观图
y y
0 0
x
x
1. 水平方向线段长度不变;
变化 规则
2. 竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;
3. 平行线段仍然平行.
水平直观图
正三角形的水平直观图
由三视图求几何体的相关量
若一个正三棱柱的三视图如图所示， 求这个三棱 柱的高和底面边长以及左视图的面积．
第7章-第1节-空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
(2)由题目所给旳几何体旳正视图和俯视图，可知该几何体 为半圆锥和三棱锥旳组合体，如图所示．
进而可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 答案：D
(3)由正视图、侧视图可知，当体积最小时，底层有3个小正 方体，上面有2个，共5个；当体积最大时，底层有9个小正方 体，上面有2个，共11个．故这个几何体旳最大致积与最小体积 旳差是6.
一、空间几何体旳构造特征
名称
构造特征
(1)棱柱旳侧棱都平行且相等
全等
旳多边形，而且相平互 行
，上下底面是 .
多面体
(2)棱锥旳底面是任意多边形，侧面是有一种
公共顶点
旳三角形.
(3)棱台可由平行于底面
旳平面截棱锥得
到，其上下底面是相同 多边形．
名称
构造特征
(1)圆柱能够由矩形
绕其任一边旋转得到.
答案：A
(2)因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平 面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面 EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所 以选项A，C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以 EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B 也正确．故选D.
【典例剖析】 (1)(2023·湖南高考)某几何体旳正视图和侧视图均
如图所示，则该几何体旳俯视图不可能是
(2)在一个几何体旳三视图中，正视图和俯视图如图所示， 则相应旳侧视图可觉得
(3)(2023·广州模拟)用若干个体积为1旳正方体搭成一种几何
体，其正视图、侧视图都是如图所示旳图形，则这个几何体旳
答案：C
高三一轮复习丛书29空间几何体的结构及其三视图和直观图
空间几何体的结构及其三视图和直观图【知识要点】1．柱: 棱柱与圆柱统称为柱体(1)棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱(2)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体.2. 锥:棱锥与圆锥统称为锥体(1)棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体.(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.3. 台：圆台和棱台统称为台体。
(1)棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；(2)圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；4. 球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.5.．空间几何体的三视图(1)正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；(2)侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；(3)俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；(4)正、俯视图——长对正；主、侧视图——高平齐；俯、侧视图——宽相等.6．空间几何体的直观图(1)斜二测画法①建直角坐标系；②画斜坐标系， O ’X ’,O ’Y ’,使'''X OY =450（或1350）；③画对应图形，平行于X ‘轴，且长度保持不变；平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线。
(2)平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线交于一点。
【典例解析】例1：说出下列图中两个三视图分别表示的几何体.(1) (2)【巩固练习】一．选择题:1.下列说法正确的是 ( )A.矩形的中心投影 一定是矩形B.两条相交直线 的平行投影不可能平行C.梯形的中心投影一定是梯形D.平行四边形的中心投影一定是梯形2.所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是 （ ） ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 甲 乙 丙A.④③②B.②①③C.①②③D.③②④3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ）A ． 22+B ． 221+C ． 222+D ． 21+4.如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 （ ）A ．①③B ．②③④C ．③④D ．②④5.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ）A.①②B.①③C.①④D.②④6.以下说法正确的是 （ ）A.任何物体的三视图与物体的摆放位置有关;B.任何物体的三视图与于物体的摆放位置无关;C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关;D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形.7.两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）A.两条平行直线B.一点和一条直线C.两条相交直线D.两个点8.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图22所示，则搭成该几① ② ③A B C D •••E F G何体需要的小正方体的块数是（）A.8B.7C.6D.59.如图所示，空心圆柱体的正视图是（）10．下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是（）11．一个长方体去掉一角的直观图和图中所示。
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第十章立体几何
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的判定方法和性质；
知识络
10.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
典例精析
题型一结构特征判断
【例1】以下命题错误的个是 ( )
①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；
②圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；
③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；
④三棱锥的四个面可能都是直角三角形；
⑤有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】①错：只能以直角边为轴旋转一周才可；
②错：必相交；
③对：如图，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD时，四个侧面均为直角三角形；
④对：如图，∠ABC＝90°，PA⊥底面，则四个面均为直角三角形；
⑤错：只有侧棱延长交于一点时才是棱台.
综上，错误的个是3，故选C.
【点拨】判断结构特征必须严格依据柱、锥、台、球的定义，结合实际形成一定的空间想象能力.
【变式训练1】给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在直线互相平行.
其中正确命题的序号是.
【解析】②④.
题型二直观图的斜二测画法
【例2】 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原的图形是( )
【解析】按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A 符合题意.
【点拨】本题已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力.要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系.
【变式训练2】已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，求原三角形的面积.
【解析】因为直观图的坐标轴成45°，横长不变，竖长画成原的一半，则还原成原图时将45°还原成90°，则过A′作A′O′与O′C′成45°，将其还原成90°，且AO ＝2A′O′.
而A′D′＝32a.所以A′O′＝32a×2＝6
2a ，所以AO ＝6a.
所以S △ABC ＝12BC · AO ＝12a×6a ＝6
2a2.
题型三 三视图与直观图
【例3】四棱柱ABCD－A1B1C1D1的三视图如下.
(1)求出该四棱柱的表面积；
(2)求证：D1C⊥AC1；
(3)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明由.
【解析】(1)求得该四棱柱的表面积为S＝11＋2 2.
(2)证明：由三视图得该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形.
在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D.
因为DC＝DD1，所以四边形DCC1D1是正方形.
所以DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，
所以AD⊥平面DCC1D1.
又D1C⊂平面DCC1D1，所以AD⊥D1C.
因为AD，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，
所以D1C⊥平面ADC1.
又AC1⊂平面ADC1，所以D1C⊥AC1.
(3)连接AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，
BD∩AE＝N，连接MN.
因为平面AD1E∩平面A1BD＝MN，
要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，
又M是AD1的中点，所以N是AE的中点.
又易知△ABN≌△EDN，
所以AB＝DE，即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
【点拨】本题以三视图为载体考查空间线面位置关系的证明以及表面积的计算，解决此类问题的关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现相应的位置关系与量关系，然后在直观图中解决问题.
【变式训练3】如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的标号依次是( )
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.
A.④③②
B.①③②
C.①②③
D.④②③
【解析】选A.
总结提高
学习空间几何体的结构要以对实物的观察想象为基础，再以课本中给定的柱、锥、台、球的概念为标准对实物进行再认识，通过这一过程
提高空间想象能力.
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