2013年浙江省高中数学竞赛试题解答041019124311
2013年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题：（12⨯3分=36分）1、设集合{}=1,2,3,4,5,6P ，{}=26Q x R x ∈≤≤，那么下列结论正确的是 （ ）A.P Q P ⋂=B.P Q Q ⋂⊃C.P Q Q ⋃=D.P Q P ⋂⊂2、已知2log (1),()1(1),x x f x x >⎧=⎨≤⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ （ ） A.2 B.0 C.1 D.-13、函数1ln(1)2x y -+-=的反函数是 （ ） A.211(0)x y e x +=-> B.211(0)x y e x +=+>C.211()x y e x R +=-∈D.211()x y e x R +=+∈4、设()f x 是R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当11x -≤≤时，()f x x =，则(2010)f = （ ）A.2B.0C.-2D.20105、设函数2()45f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则(1)f 的取值范围是（ ）A.(1)25f ≥B.(1)25f =C.(1)25f ≤D.(1)25f >6、已知log 0.8a π=，151()2b =，122c -=，则（ ） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a <<7、若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A.(1,3)B.(1,3)-C.(1,0)D.(1,0)-8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若17170S =，则7911a a a ++的值为（ ）A.10B.20C.25D.309、已知0＜α＜π，且31cos -=α，则)2tan(απ-= （ ） A ． 22 B. - 22 C.42 D. 22± 10、为了得到函数)62sin(π-=x y ，可以将函数x y 2cos =的图像 （ ） A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度 11、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P 。
数学_2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷07(文科)(含答案)
2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷07（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ={x|y =√x −1}，N ={x|y =log 2(2−x)}，则∁R (M ∩N)=( ) A [1, 2) B (−∞, 1)∪[2, +∞) C [0, 1] D (−∞, 0)∪[2, +∞)2. 已知cos(π2+φ)=√32，且|φ|<π2，则tanφ=( )A −√33 B √33C −√3D √3 3. 已知log m 12<log n 12<0，则（ ）A n <m <1B m <n <1C 1<m <nD 1<n <m4. 已知空间两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是（ ） A 若m // α，n ⊂α，则m // n B 若α∩β=m ，m ⊥n ，则n ⊥α C 若m // α，n // α，则m // n D 若m // α，m ⊂β，α∩β=n ，则m // n5. 阅读程序框图，则输出的S 等于（ ） A 40 B 38 C 32 D 206. 为了得到函数y =sin2x 的图象，只需把y =cos2x 的图象（ ） A 向左平移π4 B 向右平移π4 C 向左平移π2 D 向左平移π27. 已知正数a ，b 满足ab =1，则“a =b =1”是“a 2+b 2=2”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8. 函数f(x)=sin2x −πx 存在零点的区间为（ ） A (0, 1) B (2, 3) C (3, 4) D (5, 6) 9. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点F 作⊙O:x 2+y 2=a 2的两条切线，记切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB =120∘，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y =±√3x B y =±√33x C y =±√2x D y =±√22x 10. 设函数f(x)=(x 2−10x +c 1)(x 2−10x +c 2)(x 2−10x +c 3)(x 2−10x +c 4)(x 2−10x +c 5)，集合M ={x|f(x)=0}={x 1, x 2, ..., x 9}⊆N ∗，设c 1≥c 2≥c 3≥c 4≥c 5，则c 1−c 5为（ ）A 20B 18C 16D 14二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 某高中共有2000名学生，采用分层抽样的方法，分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取30、30名学生，则该校高三有________名学生．12. 设z =1+i （i 是虚数单位），则2z 2+z =________．13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．14. 已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为________． 15. 已知实数x ，y 满足{y ≥2x +y +4≥0x −y −2≤0，则|yx |的最小值为________．16. 已知a →，b →均为单位向量，且它们的夹角为60∘，当|a →+λb →|(λ∈R)取最小值时，λ=________．17. 连续抛掷两枚正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），记所得朝上的面的点数分别为x ，y ，过坐标原点和点P(x −3, y −3)的直线的倾斜角为θ，则θ>60∘的概率为________（规定：P 与坐标原点重合时不满足θ>60∘的情形）．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，√3b =2a ⋅sinB ，且AB →⋅AC →>0． (1)求∠A 的度数； (2)若cos(A −C)+cosB =√32，a =6，求△ABC 的面积．19. 已知数列{a n }中，a n =2n p +qn （p ，q 为常数）（1）若p =q =1，求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）若p =1，问常数q 如何取值时，使数列{a n }为等比数列？20. 在直角梯形A 1A 2A 3D 中，A 1A 2⊥A 1D ，A 1A 2⊥A 2A 3，且B ，C 分别是边A 1A 2，A 2A 3上的一点，沿线段BC ，CD ，DB 分别将△BCA 2，△CDA 3，△DBA 1翻折上去恰好使A 1，A 2，A 3重合于一点A ．（1）求证：AB⊥CD；（2）已知A1D=10，A1A2=8，试求：AC与平面BCD所成角的正弦值．21. 已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax−3)，其中a为常数．（1）若x=l是函数f(x)的一个极值点，求a的值；（2）若函数g(x)=f(x)+f′(x)，x∈[0, 2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．22. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．(1)若点P(0, 2)与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90∘，求抛物线方程；(2)设点M(m, 0)在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷07（文科）答案1. B2. C3. C4. D5. B6. B7. C8. C9. A10. C11. 80012. 113. π+114. 5√2215. 1316. −1217. 5918. 解：(I)∵ 3b=2√3a⋅sinB，∴ 由正弦定理知：3sinB=2√3sinA⋅sinB，∵ B是三角形内角，∴ sinB >0，从而有sinA =√32， ∵ AB →⋅AC →>0， ∴ ∠A =60∘(II)将B =π−(A +C)代入cos(A −C)+cosB =√32得：cos(A −C)−cos(A +C)=√32， 利用两角和与差的余弦公式展开得：sinAsinC =√34；sinC =12．相应的有：∠C =30∘，∴ △ABC 的面积为6√3． 19. 解：（1）p =q =1时，a n =2n +n −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∴ S n =(2+22+23+...+2n )+(1+2+3+...+n)=2(1−2n )1−2+n(n+1)2=2n+1−2+n(n+1)2，----（2）p =1时，a n =2n +qn ，---------------------------------------------得a 1=2+q ，a 2=4+2q ，a 3=8+3q ，a 4=16+4q −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−若数列{a n }为等比数列，则a 32=a 2⋅a 4，-----------------------即(8+3q)2=(4+2q)(16+4q)，得q =0，-------------------------------------- 此时a n =2n ，得{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列．∴ q =0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 20. 解：（1）证明：因为A 1A 2A 3D 为直角梯形， 所以A 1B ⊥A 1D ，A 2B ⊥A 2C ．即在第二个图中，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ． 又因为AC ∩AD =A ， ∴ AB ⊥面ACD ． ∵ CD ⊂面ACD ，∴ AB ⊥CD ．（2）在第一个图中，作DE ⊥A 2A 3于E ， ∵ A 1A 2=8，∴ DE =8， 又∵ A 1D =A 3D =10，∴ EA 3=6，∴ A 2A 3=10+6=16．而A 2C =A 3C ，∴ A 2C =8，即第二个图中AC =8，AD =10． 由A 1A 2=8，A 1B =A 2B ，可得第二个图中AB =4． 所以S △ACD =S △A 3CD =12×8×8=32，由（1）知，AB ⊥面ACD ，所以V B−ACD =13×32×4=1283．设点A 到平面BCD 得距离为ℎ，由右边图象可得：S △BCD =12(10+16)×8−12×4×8−12×8×8−12×4×10=36．因为V B−ACD =V A−BCD ， 所以V A−BCD =13×ℎ×S △−BCD =1283，所以ℎ=329．设AC 与平面BCD 所成角为α，所以sinα=ℎAC =49．21. 解：（1）∵ f(x)=x 2(ax −3)=ax 3−3x 2，∴ f′(x)=3ax 2−6x ， ∵ x =l 是函数f(x)的一个极值点，∴ f′(1)=0， 解得，a =2，此时f′(x)=6(x 2−x)=6x(x −1)，∴ 当x ∈(0, 1)时，f′(x)<0，当x ∈(−∞, 0)，(1, +∞)时，f′(x)>0， ∴ a =2．（2）由题意得g(x)=f(x)+f′(x)=ax 3+3(a −1)x 2−6x ，a >0且x ∈[0, 2]， ∴ g′(x)=3ax 2+6(a −1)x −6=3[ax 2+2(a −1)x −2]， 令g′(x)=0，即ax 2+2(a −1)x −2=0， 且△=4(a −1)2+8a =4a 2+4>0，∴ 方程ax 2+2(a −1)x −2=0有两个不同的根，设为x 1，x 2，则 x 1x 2=−2a <0，不妨设x 1<0<x 2，当0<x 2<2时，g(x 2)为极小值，则g(x)在[0, 2]上的最大值只能为g(0)或g(2)； 当x 2≥2时，则g(x)在[0, 2]上是单调减函数， ∴ g(x)在[0, 2]上的最大值只能为g(0)，综上得，g(x)在[0, 2]上的最大值只能为g(0)或g(2)； ∵ g(x)在x =0处取得最大值，∴ g(0)≥g(2)， 即0≥20a −24，得a ≤65， ∵ a >0，∴ a ∈(0, 65]．22. 解：(1)由题意知：|AQ|=|AF|， ∵ ∠PQF =90∘，∴ A 为PF 的中点， ∵ F(p2，0)，∴ A(p 4,1)，且点A 在抛物线上，代入得1=2p ⋅p4⇒p =√2， 所以抛物线方程为y 2=2√2x ． (2)设A(x, y)，y 2=2px ，根据题意：∠MAF 为锐角⇒AM →⋅AF →>0且m ≠p2， AM →=(m −x,−y)，AF →=(p 2−x,−y)， AM →⋅AF →>0⇒(x −m)(x −p2)+y 2>0⇒x 2−(p 2+m)x +pm 2+y 2>0，∵ y 2=2px ， ∴ x 2+(3p 2−m)x +pm 2>0对x ≥0都成立，令f(x)=x 2+(3p2−m)x +pm 2=(x +3p 4−m 2)2+mp 2−(3p 4−m2)2>0对x ≥0都成立，①若m 2−3p 4≥0，即m ≥3p 2时，只要使mp2−(3p4−m2)2>0成立，整理得：4m 2−20mp +9p 2<0⇒p 2<m <9p 2，且m ≥3p 2，∴3p 2≤m <9p 2．②若m 2−3p 4<0，即m <3p 2，只要使mp 2>0成立，得m >0，∴ 0<m <3p 2，由①②得m 的取值范围是0<m <9p 2且m ≠p2．。
2013学年高考理科数学年浙江卷答案
2
2
D．
【提示】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 B，然后利用区特值排除 A 和 C，
则答案可求．
【考点】函数图象的判断．
9.【答案】A 【解析】设 P(3,1), 圆心 C(1,0) ，切点为 A，B，则 P，A，C，B 四点共圆，且 PC 为圆的直径，四边形 PABC
的外接圆的方程为 (x
z
xyz
【考点】基本不等式最值．
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】3
【解析】第一次运行： F1
1 2 3，
F0
31
2，n
11
2，
1 F1
1 3
，
不满足要求，继续执行．第二次运行：
F1
2 3 5，
F0
52
3， n
2 1 3，
1 F1
1 5
，满足条件
结束运行，输出 n 3 ．
ln (ab ) blna ；
当 a 1 时， ab 1，故 ln (ab ) 0 ，又 a 1 时 blna 0 ，所以此时亦有 ln (ab ) blna ．由上判断知①正
确；
对于②，此命题不成立，可令 a 2 ， b 1 ，则 ab 2 ，由定义 ln (ab ) 0， lna+lnb ln2 ，所以
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】由
(z
3)(2
i)
5 ，得
z
5(2 i) (2 i)(2
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C．[－4,1]
答案：D
B．(－2，＋∞)
D．(－2,1]
解析：集合 S 与集合 T 都表示连续的实数集，此类集合的运算可通过数轴直观表示出来.
，故 S∩T＝{x|－2＜x≤1}，故选 D.
2．(2013 浙江，文 2)已知 i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )．
A．5－5i
答案：C
B．7－5i
A． 2
答案：D
B． 3
3
C．
2
6
D．
2
解析：椭圆 C1 中，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝ 2 3 .又四边形 AF1BF2 为矩形，∴∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴|AF1|＝ 2 2 ，|AF2|＝ 2 2 ，∴双曲线 C2 中，
x2 9．(2013 浙江，文 9)如图，F1，F2 是椭圆 C1： 4 ＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是
C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术0艺料不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试22下卷，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看2度并22工且22作尽22下可22都能2可地护1以缩关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编5试要写、卷求重电保技要气护术设设装交备备4置底高调、动。中试电作管资高气，线料中课并3敷试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年浙江省高中数学竞赛试题解答 (2)
2013年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1． 集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。
解得1a ≤-或 3a ≥。
2． 若,,R αβ∈ 则90αβ+= 是sin sin 1αβ+>的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==⇒+= 。
当60sin sin 1αβαβ==⇒+=> ，但90αβ+≠ 。
3． 已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A. D.答案 B 计算得2733,q a ==4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ）A.22z i =+B. 22z i =--C. 22,z i =-+或22z i =-D. 22,z i =+或22z i =--答案 D5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB ∙=∙，则下列一定成立的是（ ）。
A. 0C M AB ⊥B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB =答案 B2()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM ∙=-∙-=-++∙22min min{}CM AM CA CB CM CM l =-⇒∙=⇔⊥。
2013年浙江省高等数学竞赛(数学类)参考答案
一、计算题（每小题 14 分，满分 70 分）
k - sin 2 k é 1．求极限 lim å ln ( n + k - sin 2 k ) - ln n ù 2 ë û。 n ®+¥ n k =1
n
k - 1 1 解：记 f ( x ) = x ln(1 + x ) ， xk = , Dx k = n n
1 ( n ) 1 f n ( ) n n !
ln x + x n -1
( n -1)
( f n ( x ))( ) = ( nx n -1 ln x + x n -1 )
= n( f n -1 ( x ))(
n -1 )
+ ( n - 1) !
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h ( t1 ) < h ( t2 )
所以 f ( x ) 严格单调增。
五、 （满分 20 分）
设 x1 = 1 ， sin xn = xn cos xn +1
+¥ຫໍສະໝຸດ xn +1 Î ( 0, p / 2 ) ，证明：
n 收敛
1） lim xn = 0 。2）级数
0
1
1 1 1 x 2 1 ln 2 - ò dx = 2 2 0 x + 1 4
2．求异面面直线 L1 : 的方程。
x - 5 y - 1 z + 1 x + 2 y - 2 z - 4 = = 与 L2 : = = 的公垂线 L 4 -3 1 -2 9 2
解： l1 ´ l2 = -5{3, 2, -6} ，公垂线 L 法矢量为 l = {3, 2, -6}
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
知 u 2 6 （当且仅当 x y z
30
，等号成立）
3
所以 u 的最大值为 2 6 。 接下来，我们考虑 u 的最小值。不妨设 x y z ，则由 x2 y2 z2 10 得 x 2 10 ，
3
又 u 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 2 x 2
3
2013B 7、设 a, b 为实数，函数 f x ax b 满足：对任意 x 0,1 ， f x 1，则 ab 的最大值
为．
1
◆答案：
4 ★解析：由题意得 a f (1) f (0) ， b f (0)
所 以 ab f (0) f (1) f (0) f (0) 1 f (1)2 1 f 2 (1) 1 f 2 (1) 1 ， 当 且 仅 当
Байду номын сангаас
MH 3 AB 3 , PM MH 2 PH 2
1
2 5
3
,
6
6
12
6
2013 年全国高中数学联合竞赛试题）（B 卷） 第 1 页 共 7 页
所以 r OK sin KPO MH 1 ,解得 r 2
2 r OP
MP 5
6
2013B 5、在区间 0, 中，方程 sin12x x 的解的个数为
3
3
3
411
法二：由 abc 1 得 a a 3 b 3 c 3 。
2a2
所以
b2
c2
1
a2
a2
a2
2013年高考理科数学浙江卷试题与答案word解析版-推荐下载
x
1 3x
5
的展开式中常数项为
12．(2013 浙江，理 12)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于__________cm3.
13．(2013
数 k＝__________.
浙江，理
13)设
z＝kx＋y，其中实数
x，y
14．(2013 浙江，理 14)将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的
B．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
C．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值
D．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
x2 9．(2013 浙江，理 9)如图，F1，F2 是椭圆 C1： ＋y2＝1 与双曲线 C2 的
4
公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )．
BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝ 2 2 .M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线 段 AC 上，且 AQ＝3QC． (1)证明：PQ∥平面 BCD； (2)若二面角 C－BM－D 的大小为 60°，求∠BDC 的大小．
2013 浙江理科数学 第 3 页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
浙江省高中数学竞赛试题及解答
2013年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1． 集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。
解得1a ≤-或 3a ≥。
2． 若,,R αβ∈ 则90αβ+=o是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==⇒+=o。
当60sin sin 1αβαβ==⇒+=>o ，但90αβ+≠o。
3． 已知等比数列{an}：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A. D.答案 B 计算得2733,q a ==4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 答案 D5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB •=•u u u u r u u u u r u u u r u u u r，则下列一定成立的是（ ）。
A. 0C M AB ⊥B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB =答案 B2()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM •=-•-=-++•u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 22min min{}CM AM CA CB CM CM l =-⇒•=⇔⊥u u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r。
2013年全国高中数学联合竞赛一试真题及答案
2013年全国高中数学联合竞赛一试一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 设集合{}2,0,1,3A =，集合{}2|,2B x x A x A =-∈-∉.则集合B 中所有元素的和为 .2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅= .3. 在ABC ∆中，已知sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =,则tan A 的值为 .4. 已知正三棱锥P ABC -底面边长为1，则其内切球半径为 .5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤.则ab 的最大值为 .6. 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 .7. 若实数,x y满足x -，则x 的取值范围是 .8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{}1,2,,8i ∈，均有112,1,2i i a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则这样的数列的个数为 .二.解答题：本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. （本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12n n S S -≥，2,3,n =，这里1n n S x x =++.证明：存在常数0C >,使得2n n x C ≥⋅，1,2,n =.10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥,11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11. （本题满分20分）求所有的正实数对(),a b ，使得函数()2f x ax b =+满足：对任意实 数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥.。
2013年高考理科数学浙江卷试题及答案解析(K12教育文档)
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2013年浙江高考理科数学试题及答案解析选择题部分(共50分)一、选择题：每小题5分,共50分．1．已知i 是虚数单位,则（−1+i)（2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i 【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题 【答案解析】B2．设集合S =｛x ｜x 〉−2}，T ={x ｜x 2+3x −4≤0}，则(R S ）∪T =A ．（−2，1]B ．（−∞，−4］C ．(−∞,1］D ．［1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算,属于容易题【答案解析】C 因为（R S )=｛x |x ≤−2｝,T ={x ｜−4≤x ≤1｝，所以(R S )∪T =(−∞，1］。
3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg （x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg （xy )=2lg x ∙ 2lg y 【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质,属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x ）=A cos(ωx +φ)（A 〉0,ω>0,φR )，则“f （x ）是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题 【答案解析】B 由f (x ）是奇函数可知f (0)=0,即cos φ=0,解出φ=错误!+k π，k Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是错误!,则 A ．a =4 B ．a =5 C ．a =6 D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图,属于容易题【答案解析】A6．已知αR ，sin α+2cos α=错误!，则tan2α= A ．错误! B ．错误! C ．−错误! D ．−错误!【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样,属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=错误!可得错误!=错误!，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−错误!,于是tan2α=错误!=−错误!. 7．设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B =错误!AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有错误!∙错误!≥错误!∙错误!，则A ．ABC =90B ．BAC =90 C ．AB =ACD ．AC =BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题 【答案解析】D 由题意，设｜错误!|=4，则｜错误!｜=1，过点C 作AB的垂线,垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，错误!∙错误!=｜错误!|｜错误!|=（错误! −（a +1)）|错误!｜，错误!∙错误!=−｜错误!｜｜错误!|=−a ，于是错误!∙错误!C开始S =1，k =1k >a ?S =S +1k (k +1)k =k+1 输出S结束是否 （第5题图）≥错误!∙错误!恒成立，相当于(错误!−（a +1)）｜错误!｜≥−a 恒成立，整理得|错误!|2−(a +1）｜→，PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =（a −1)2≤0即可,于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=（e x −1)(x −1）k (k =1,2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f （x ）在x =1处取到极大值 C ．当k =2时,f （x ）在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f （x ）在x =1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x ）=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f （x )的大致图象，于是选项A,B 错误；当k =2时，方程f （x ）=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x ）的大致图象，易知选项C 正确。
数学_2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷17(理科)(含答案)
2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷17（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知R 是实数集，M ={x|x(2−x)<0}，N ={y|y =√x −1}，则N ∩∁R M =( ) A (1, 2) B ⌀ C [0, 2] D [1, 2]2. 复数7+i 3+4i的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 已知f(x)=cos(ωx +π3)，(ω>0)的图象与y =1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y =f(x)的图象，只须把y =sinωx 的图象（ ）A 向左平移512π个单位 B 向右平移512π个单位 C 向左平移1112π个单位 D 向右平移1112π个单位4. 已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）A 32π B 2π C 3π D 4π6. 某地区决定从12名大学生村官中选3个人担任乡长助理，则甲、丙至少有1人入选，乙没有入选的不同选法的种数位为（ ） A 220 B 165 C 84 D 817. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=16上有且只有四个点到直线3x −4y +c =0的距离为2，则实数c 的取值范围为（ ）A −10<c <10B −10≤c ≤10C c ≥10或c ≤−10D c >10或c <−10 8. 数列{a n }前n 项和为S n ，已知a 1=13，且对任意正整数m ，n ，都有a m+n =a m ⋅a n ，若S n <a 恒成立则实数a 的最小值为（ ） A 12 B 23 C 32 D 29. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为A ，点B 、C 在椭圆上，且左、右焦点F 1，F 2分别在等腰三角形ABC 两腰AB 和AC 上．若椭圆的离心率e =√33，则原点O 是△ABC 的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心10. 已知f(x)=x 2−2x +c ，f 1(x)=f(x)，f n (x)=f （f n−1(x)）(n ≥2, n ∈N ∗)，若函数y =f n (x)−x 不存在零点，则c 的取值范围是（ ） A c <14B c ≥34C c >94D c ≤94二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 已知(1+2x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 1−2a 2+3a 3−4a 4=________． 12. 已知函数f(x)={sinπx,x ≤0f(x −1),x >0那么f(56)的值为________．13.右面的程序框图给出了计算数列{a n }的前10项和s 的算法，算法执行完毕后，输出的s 为________．14. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，线段MF 的延长线与直线l ：x =−p2交与点N ，则1|MF|+1|NF|=________．15. 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为________． 16. 已知O ，A ，B 是平面上的三点，向量OA →=a →.OB →=b →，点C 是线段AB 的中点，设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点，向量OP →=P →，若|a →|=4，|b →|=2，则p →⋅(a →−b →)=________．17. 在三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，其外接圆的半径R =5√636，则(a 2+b 2+c 2)(1sin 2A +1sin 2B +1sin 2C )的最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知f(x)=cos(2x −π3)+4sin 2x（1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若x ∈[0,π2]，求函数的最大值及最小值．19. 设a n 是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22+a 32=a 42+a 52，S 7=7 （1）求数列a n 的通项公式及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使得a m a m+1a m+2为数列a n 中的项．20.已知矩形ACC 1A 1中，AA 1=2，AC =4，B 是AC 上动点，过B 作BB 1 // AA 1交A 1C 1于B 1，沿BB 1将矩形BCC 1B 1折起，连接AC ，A 1C 1．（1）求三棱柱体积的最大值．（2）满足条件（1）时，D 为AC 中点，求证AC 1⊥面A 1BD ． （3）满足条件（1）（2）时，E 为CC 1中点，求二面角A 1−BD −E 的大小．21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2, 1)，平行于OM 的直线l 交椭圆于A 、B 两点． （1）求椭圆的方程； （2）已知e →=(t, 0)，p →=λ(MA →|MA →|+MB →|MB →|)，是否对任意的正实数t ，λ，都有e →⋅p →=0成立？请证明你的结论．22. 已知函数f(x)=lnx ，g(x)=e x ． ( I)若函数φ(x)=f(x)−x+1x−1，求函数φ(x)的单调区间；(II)设直线l 为函数的图象上一点A （x 0, f (x 0)）处的切线．证明：在区间(1, +∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g(x)相切．2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷17（理科）答案1. C2. A3. A4. A5. A6. D7. A8. A9. C 10. C 11. −8 12. −12 13. 175 14. 1p 15. 148116. 6 17. 25618. 解：（1）f(x)=12cos2x +√32sin2x +2(1−cos2x)=√32sin2x −32cos2x +2=√3sin(2x −π3)+2， ∵ ω=2，∴ 最小正周期T =2π2=π，由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，得：kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z)，则函数的递增区间是[kπ−π12, kπ+5π12](k ∈Z)； （2）∵ x ∈[0, π2]， ∴ −π3≤2x −π3≤2π3，∴ −√32≤sin(2x −π3)≤1，则f min (x)=√3×(−√32)+2=12，f max (x)=√3×1+2=√3+2．19. 解：（1）由题意可得{(a 1+d)2+(a 1+2d)2=(a 1+3d)2+(a 1+4d)27a 1+21d =7联立可得a 1=−5，d =2∴ a n =−5+(n −1)×2=2n −7，s n =−5n +n(n−1)2×2=n 2−6n（2）由（1）知a m a m+1a m+2=(2m−7)⋅(2m−5)2m−3=2m −9+82m−3若使其为数列a n 中的项则82m−3必需为整数，且m 为正整数m =2，m =1；m =1时不满足题意，（a 1=−5是最小值）故舍去． 所以m =2．20. （1）解：依题意，三棱柱ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，其体积V =S △ABC ×AA 1． 而S △ABC =12|AB||BC|sin∠ABC ．因为|AB|+|BC|为定值，所以当|AB|=|AC|时，|AB||BC|最大．要使体积最大，即△ABC 面积最大，只有当∠ABC =90∘时，面积最大． 此时S =12×2×2=2．所以三棱柱体积的最大值为2×2=4；（2）证明：满足（1）时，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，D 为斜边AC 的中点， 则tan∠AA 1D =AD AA 1=√22，tan∠CAC 1=CC 1AC=2√2=√22则∠AA 1D =∠CAC 1那么∠CAC 1+∠ADA 1=∠AA 1D +∠ADA 1=90∘，所以AC 1⊥A 1D 又BD ⊥AC ，面ACC 1A 1⊥面ABC ，所以BD ⊥面ACC 1A 1，而AC 1⊂面ACC 1A 1， 所以AC 1⊥BD ，又A 1D ∩BD =D ．所以AC 1⊥平面A 1BD（3）解：由（2）知∠A 1DE 为二面角A 1−BD −E 所成的平面角．A 1D =√AA 12+AD 2=√4+2=√6，DE =√DC 2+CE 2=√(√2)2+12=√3，A 1E =√A 1C 12+C 1E 2=√(2√2)2+12=3．在三角形A 1DE 中，A 1D 2+DE 2=A 1E 2，则∠A 1DE =90∘ 所以二面角A 1−BD −E 的大小为90∘．21. 解：（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 则{a =2b 4a 2+1b2=1，解得{a 2=8b 2=2， ∴ 椭圆方程x 28+y 22=1．（2）若e →⋅p →=0成立，则向量p →=λ(MA →|MA →|+MB →|MB →|)与x 轴垂直，由菱形的几何性质知，∠AMB 的平分线应与x 轴垂直．为此只需考察直线MA ，MB 的倾斜角是否互补即可．由已知，设直线l 的方程为：y =12x +m由{y =12x +m x 28+y 22=1，∴ x 2+2mx +2m 2−4=0设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2， 只需证明k 1+k 2=0即可，设A(x 1，y 1)，B(x 2,y 2)，则k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2由x 2+2mx +2m 2−4=0可得， x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4，而k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=(12x 1+m −1)(x 2−2)+(12x 2+m −1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)−4(m −1)(x 1−2)(x 2−2)=2m 2−4+(m −2)(−2m)−4(m −1)(x 1−2)(x 2−2)=2m 2−4−2m 2+4m−4m+4(x 1−2)(x 2−2)=0，∴ k 1+k 2=0，直线MA ，MB 的倾斜角互补．故对任意的正实数t ，λ，都有e →⋅p →=0成立． 22. (I)解：φ(x)=f(x)−x+1x−1=lnx −x+1x−1，φ′(x)=1x+2(x−1)2=x 2+1x⋅(x−1)2．∵ x >0且x ≠1，∴ φ′(x)>0∴ 函数φ(x)的单调递增区间为(0, 1)和(1, +∞)． (II)证明：∵ f′(x)=1x，∴ f′(x 0)=1x 0，∴ 切线l 的方程为y −lnx 0=1x 0(x −x 0)，即y =1x 0x +lnx 0−1，①设直线l 与曲线y =g(x)相切于点(x 1，e x 1)， ∵ g ′(x)=e x ，∴ e x 1=1x 0，∴ x 1=−lnx 0．∴ 直线l 也为y −1x 0=1x 0(x +lnx 0)，即y =1x 0x +lnx 0x 0+1x 0，②由①②得 lnx 0−1=lnx 0x 0+1x 0，∴ lnx 0=x 0+1x 0−1．下证：在区间(1, +∞)上x 0存在且唯一．由(I)可知，φ(x)=lnx −x+1x−1在区间(1, +∞)上递增．又φ(e)=lne −e+1e−1=−2e−1<0，φ(e 2)=lne 2−e 2+1e 2−1=e 2−3e 2−1>0，结合零点存在性定理，说明方程φ(x)=0必在区间(e, e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．故结论成立．。
浙江省考试院2013届高三数学上学期测试试题 文(含解析)新人教A版
2013年浙江省考试院高考数学测试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．22．（5分）（2013•浙江模拟）已知a∈R，则“a＞0”是“a+≥2”的（）≥2，再根据充分必要条件的定义进行a+＞“a+∴“a＞0”是“a+4．（5分）（2013•浙江模拟）若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，5．（5分）（2013•浙江模拟）在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（）6．（5分）（2013•浙江模拟）函数y=sin （2x+）的图象可由函数y=cos 2x的图象（）向左平移向右平移向左平移向右平移2x+2x+）的图象，向右平移﹣+2x+2x+7．（5分）（2013•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若||=a，||=b，则=（）解：∵AD⊥DC，∴=﹣﹣﹣﹣|=a|=b﹣8．（5分）（2013•浙江模拟）设函数f（x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x1，x2，3123x=＜﹣；在（﹣；在（故函数在（∞，﹣，）上是减函数，在（（﹣（＜﹣，﹣（9．（5分）（2013•浙江模拟）已知双曲线x2﹣=1，点A（﹣1，0），在双曲线上任取两点P，Q满﹣，则由），=，=）﹣）10．（5分）（2013•浙江模拟）如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g （x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（）B C D0≤x≤二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江模拟）已知i是虚数单位，a∈R．若复数的实部为1，则a= 9 ．解：复数=，的实部为，所以12．（4分）（2013•浙江模拟）某四棱柱的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱柱的体积为12 cm3．=1213．（4分）（2013•浙江模拟）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．+…++的值，+…++=1=故答案为：14．（4分）（2013•浙江模拟）从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是．人参加舞蹈比赛共有名，故有P=故答案为：15．（4分）（2013•浙江模拟）当实数x，y满足不等式组（m为常数）时，2x+y的最大值为4，则m= ．m）此时故答案为：16．（4分）（2013•浙江模拟）设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为．+=1中，+．e=故答案为：17．（4分）（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，则a的取值范围是[，+∞）．=a≥==﹣）取最大值[，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（2013•浙江模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．（14分）18．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB﹣sinC的取值范围．cosA=C=﹣==∴cosA=…7C=﹣﹣﹣（﹣[sin sinB]﹣）cosB sinBB+＜＜，B+B+）＜﹣．∴cosB﹣]19．（14分）（2013•浙江模拟）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比．（Ⅰ）求a及b n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为T n．求使T n＞b n的最小正整数n的值．（Ⅱ）由，知n=（Ⅱ）∵，∴n={20．（15分）（2013•浙江模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．EM=AC=MH==所成角的正弦为21．（15分）（2013•浙江模拟）已知函数f （x）=x3﹣3ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f （x）的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a，使得不等式﹣1≤f （x）≤1对x∈[0，]恒成立．，（﹣∞，（（，，，]，（，即解得：a≤22．（14分）（2013•浙江模拟）如图，A，B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x=t（t＞0）上．（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值；（Ⅱ）求|AB|的最大值．。
浙江省2013年高考数学真题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R = h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1， 已知i 是虚数单位，则()()12i i -+-=A ，3i -+B ，13i -+C ，33i -+D ，1i -+2， 设集合{}{}22,340S x x T x x x =>-=+-≤，则()R C S T =U A ，(]2,1- B ，(],4-∞- C ，(],1-∞ D ，[)1,+∞3，已知,x y 为正实数，则A ，lg lg lg lg 222x y x y +=+ B ，()lg lg lg 222x y x y +=g C ，lg lg lg lg 222x yx y =+g D ，()lg lg lg 222xy x y =g 4，已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A ，充分不必要条件B ，必要不充分条件C ，充分必要条件D ，既不充分也不必要条件5，某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则 A ，4a = B ，5a = C ，6a = D ，7a =6，已知,sin 2cos R ααα∈+=，则tan 2α= A ，43 B ，34 C ，34- D ，43- 7，设∆ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边 AB 上任一点，恒有PB PC ≥00P B P C .则A ，90ABC ∠=oB ，90BAC ∠=o C ，AB AC =D ，AC BC =8，已知e 为自然对数的底数，设函数()()()()111,2k x f x e x k =--=，则A ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值B ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值C ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值D ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值9，如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是A B C ，32 D ，210，在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记().B f A π=设,αβ是两个不同的平面，对空间任意一点P ，()()12,Q f f P Q f f P βααβ⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦，恒有12PQ PQ =，则A ，平面α与平面β垂直B ，平面α与平面β所成的（锐）二面角为45oC ，平面α与平面β平行D ，平面α与平面β所成的（锐）二面角为60o2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．11，设二项式5的展开式中常数项为A ，则A = 12，某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 3cm13，设z kx y =+，其中,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k =14，将,,,,,A B C D E F六个字母排成一排，且,A B 均在C 的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）15，设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点()1,0P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若2FQ =，则直线l 的斜率等于16，在ABC V 中，90C ∠=o ，M 是BC 的中点。
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。
数学_2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷01(理科)(含答案)
2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷01（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ={x|3+2x −x 2>0}，N ={x|x ≥1}，则M ∩N =( ) A (3, +∞) B [1, 3) C (1, 3) D (−1, +∞)2. 已知a >0，b >0且a ≠1，则“log a b >0”是“(a −1)(b −1)>0”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 若复数z =1+i （i 是虚数单位），则（ ）A 2z 2−2z −1=0B 2z 2−2z +1=0C z 2−2z −2=0D z 2−2z +2=0 4. 在(√x +√x 3)24的展开式中，x 的幂指数是整数的有（ ）A 3项B 4项C 5项D 6项5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A 12B 23C 34D 456. 函数f(x)={1−3−x ，x ≥03x −1，x <0，则该函数为（ ）A 单调递增函数，奇函数B 单调递增函数，偶函数C 单调递减函数，奇函数D 单调递减函数，偶函数7. 已知△ABC 中，AB =AC =3，cos∠ABC =23．若圆O 的圆心在边BC 上，且与AB 和AC 所在的直线都相切，则圆O 的半径为（ ） A3√52 B 2√53 C √3 D 2√338. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a 的等腰三角形，俯视图是半径为a 的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A 32πa 2+2√3a 2 B πa 2+2√3a 2 C 32πa 2+√3a 2 D πa 2+√3a 29. 已知点F(−c, 0)(c >0)是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2＝c 2交于点P ，且点P 在抛物线y 2＝4cx 上，则该双曲线的离心率的平方是（ ） A3+√52B √5 C√5−12 D 1+√5210.如图，在扇形OAB 中，∠AOB =60∘，C 为弧AB 上且与A ，B 不重合的一个动点，OC →=xOA →+yOB →，若u =x +λy ，(λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为（ ） A (12，1) B (1, 3) C (12，2) D (13，3)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ≥0x −y +4≥0x ≤a （a 为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为________．12. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n −1)，则a 2=________．13. 将6人分成3组，要求每组至少1人至多3人，则不同的分组种数是________．14. 已知A 为直线l:x +y =2上一动点，若在O:x 2+y 2=1上存在一点B 使∠OAB =30∘成立，则点A 的横坐标取值范围为________．15. 函数f(x)=cos(x3+φ)(0<φ<2π)，在区间(−π, π)上单调递增，则实数φ的取值范围为________．16. 若方程lgkx =2lg(x +1)仅有一个实根，那么k 的取值范围是________．17. 棱长为2的正四面体ABCD 在空间直角坐标系中移动，但保持点A ，B 分别在x 轴、y 轴上移动，则原点O 到直线CD 的最近距离为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC =3acosB −ccosB ． （1）求cosB 的值；（2）若BA →⋅BC →=2，且b =2√2，求a 和c 的值．19. 袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13．（1）求m ，n 的值；（2）从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．20.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，∠A 1AC =60∘．∠BAC =60∘，（1）求侧棱AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值的大小；（2）已知点D 满足BD →=BA →+BC →，在直线AA 1上是否存在点P ，使DP // 平面AB 1C ？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A(−2, 0)，过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为3．(I)求椭圆C 的方程；(II)若过点A 的直线l 与椭圆交于点Q ，与y 轴交于点R ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ，求证：|AQ|⋅|AR||OP|2为定值．22. 已知函数f(x)=(a −12)e 2x +x ．(a ∈R)（1）若f(x)在区间(−∞, 0)上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若在区间(0, +∞)上，函数f(x)的图象恒在曲线y =2ae x 下方，求a 的取值范围．2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷01（理科）答案1. B2. C3. D4. C5. C6. A7. B8. C9. D 10. C 11. 1 12. 4 13. 7514. 0≤a ≤2． 15. [4π3，5π3]16. k =4或k <017. √2−1 18. 解：（1）由正弦定理得a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 则2RsinBcosC =6RsinAcosB −2RsinCcosB ， 故sinBcosC =3sinAcosB −sinCcosB ， 可得sinBcosC +sinCcosB =3sinAcosB ， 即sin(B +C)=3sinAcosB ，可得sinA =3sinAcosB ．又sinA ≠0， 因此cosB =13．（2）解：由BA →⋅BC →=2，可得accosB =2， 又cosB =13，故ac =6，由b 2=a 2+c 2−2accosB ， 可得a 2+c 2=12，所以(a −c)2=0，即a =c ，所以a =c =√6． 19. 解：（1）记“第一次摸出3号球”为事件A ，“第二次摸出2号球”为事件B ， 则P(B|A)=m 9=13，…∴ m =3，n =10−3−1=6…（2）ξ的可能的取值为3，4，5，6．… P(ξ=3)=1⋅C 31C 102=115，P(ξ=4)=1⋅C 61+c 32C 102=15，P(ξ=5)=C 31C 61C 102=25，P(ξ=6)=C 62C 102=13．…∴ ξ的分布列为Eξ=3×115+4×15+5×25+6×13=5．…20.解：（1）∵ 侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，作A 1O ⊥AC 于点O ，∴ A 1O ⊥平面ABC ．又∠ABC =∠A 1AC =60∘，且各棱长都相等，∴ AO =1，OA 1=OB =√3，BO ⊥AC ．故以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则 A(0, −1, 0)，B(√3, 0, 0)，A 1(0, 0, √3)， C(0, 1, 0)，AA 1→=(0,1,√3)； ∴ AB 1→=(√3,2,√3)，AC →=(0,2,0)． 设平面AB 1C 的法向量为n →=(x, y, 1) 则{n →⋅AC →=2y =0˙， 解得n =(−1, 0, 1)．由cos <AA 1→，n →>=|AA 1→|⋅|n →|˙=√32√2=√64． 而侧棱AA 1与平面AB 1C 所成角，即是向量AA 1→与平面AB 1C 的法向量所成锐角的余角， ∴ 侧棱AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值的大小为√64． （2）∵ BD →=BA →+BC →，而BA →=(−√3,−1,0)，BC →=(−√3,1,0)． ∴ BD →=(−2√3,0,0)．又∵ B(√3, 0, 0)，∴ 点D 的坐标为D(−√3, 0, 0)．假设存在点P 符合题意，则点P 的坐标可设为P(0, y, z)． ∴ DP →=(√3,y,z)∵ DP // 平面AB 1C ，n =(−1, 0, 1)为平面AB 1C 的法向量，∴ 由AP →=λAA 1→，得{y +1=λ√3=λ√3，∴ y =0．又DP ⊄平面AB 1C ，故存在点P ，使DP // 平面AB 1C ，其坐标为(0, 0, √3)，即恰好为A 1点．21. 解：(1)a =2，设过右焦点F 且垂直于长轴的弦为MN ，将M(c, y M )代入椭圆方程c 2a 2+y M2b 2=1，解得y M =±b 2a，…故2b 2a=3，可得b 2=3． …所以，椭圆方程为x 24+y 23=1． …(2)由题意知，直线AQ ，OP 斜率存在，故设为k ，则直线AQ 的方程为y =k(x +2)，直线OP 的方程为y =kx ．可得R(0, 2k)， 则|AR|=2√1+k 2，…设A(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立方程组{y =k(x +2)x 24+y 23=1，消去y 得：(4k 2+3)x 2+16k 2x +16k 2−12=0， x 1+x 2=−16k 24k 2+3，x 1x 2=16k 2−124k 2+3，则|AQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12√1+k 24k 2+3． …设y =kx 与椭圆交另一点为M(x 3, y 3)，P(x 4, y 4)，联立方程组{y =kx x 24+y 23=1，消去y 得(4k 2+3)x 2−12=0，|x 4|=√124k 2+3，所以|OP|=√1+k 2|x 4|=√1+k 2⋅√124k 2+3． …故|AQ|⋅|AR||OP|2=2√1+k 212√1+k 24k 2+3(√1+k 2√124k 2+3)=2．所以|AQ|⋅|AR||OP|2等于定值2…22. 解：（1）f(x)在区间(−∞, 0)上单调递增，则f ′(x)=(2a −1)e 2x +1≥0在区间(−∞, 0)上恒成立． 即1−2a ≤1e 2x，而当x ∈(−∞, 0)时，1e 2x>1，故1−2a ≤1．∴ a ≥0．（2）令g(x)=f(x)−2ae x =(a −12)e 2x −2ae x +x ，定义域为R ．在区间(0, +∞)上，函数f(x)的图象恒在曲线y =2ae x 下方等价于g(x)<0在区间(0, +∞)上恒成立．∵ g ′(x)=(2a −1)e 2x −2ae x +1=(e x −1)[(2a −1)e x −1]， ①若a >12，令g ′(x)=0，得极值点x 1=0，x 2=ln12a−1，当x 2>x 1=0，即12<a <1时，在(x 2, +∞)上有g ′(x)>0，此时g(x)在区间(x 2, +∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x 2)，+∞)，不合题意； 当x 2≤x 1=0，即a ≥1时，同理可知，g(x)在区间(0, +∞)上， 有g(x)∈(g(0)，+∞)，也不合题意；②若a ≤12，则有2a −1≤0，此时在区间(0, +∞)上恒有g ′(x)<0，从而g(x)在区间(0, +∞)上是减函数；要使g(x)<0在此区间上恒成立，只须满足g(0)=−a −12≤0⇒a ≥−12，由此求得a的范围是[−12，12]．综合①②可知，当a∈[−12，12]时，函数f(x)的图象恒在直线y=2ae x下方．。
数学_2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷13(理科)(含答案)
2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷13（理科）一、选择题．（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合U =R ，集合M ={y|y =2x , x ∈R}，集合N ={x|y =lg(3−x)}，则(∁U M)∩N =( )A {y|y ≥3}B {y|y ≤0}C {y|0<y <3}D ⌀2. 0<a ≤15是函数f(x)=ax 2+2(a −1)x +2在区间(−∞, 4]上为减函数的（ ）条件． A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要3. 如图是某程序的流程图，则其输出结果为（ ）A20102011B12011C20112012D120124. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ） A 若α⊥γ，β⊥γ，则α // β B 若m // α，m // β，则α // β C 若m // α，n // α，则m // n D 若m ⊥α，n ⊥α，则m // n5. 把函数y =sin(2x +π3)的图象上向右平移π6，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得的图象的一条对称轴方程为（ ） A x =π2 B x =π3 C x =π4 D x =π66. 设(x −a)8=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 8x 8，若a 5+a 8=−6，则实数a 的值为（ ） A 12B 13C 2D 37. 数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n =n ，则{a n }的前60项和等于（ ） A 960 B 1920 C 930 D 18308. 已知函数f(x)=|lgx|，若0<b <a ，且f(a)=f(b)，则4b 2+a 的取值范围是（ ） A [3, 5) B [3, +∞) C (0, 3] D [2, 3) 9. 已知函数f(x)满足： ①定义域为R ；②∀x ∈R ，有f(x +2)=2f(x)；③当x ∈[0, 2]时，f(x)=2−|2x −2|．记φ(x)=f(x)−√|x|(x ∈[−8,8])． 根据以上信息，可以得到函数φ(x)的零点个数为（ ） A 15 B 10 C 9 D 810. 已知向量a →，b →，c →满足|a|→=2，|b →|=|a →−b →|，a →与b →的夹角为π6，(a →−c →)⋅(b →−c →)=0．若对每一个确定的b →，|c →|的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任何的b →，m −n 的最小值是（ ）A 14B 12C 2D 1二、填空题．（本大题共7小题，共28分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．） 11. 复数z =1+ai ，a ∈R ，若z 2为纯虚数，则α值为________． 12. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是________．13. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5, 40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有________根在棉花纤维的长度小于20mm ．14. 已知实数x ，y 满足不等式{2x −y ≥0x +y −4≥0x ≤3，则x 2+y 2xy的取值范围是________．15. 在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有________．16. 在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy =k(k >0)上任意一点P ，若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则|PM|⋅|PN|必为定值k”、类比于此，对于双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)上任意一点P ，类似的命题为：________．17. 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A 做圆x 2+y 2=b 2的切线，切点为B ，延长AB 交抛物线于y 2=4ax 于点C ，若点B 恰为A 、C 的中点，则ab 的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在锐角△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acsinC =(a 2+c 2−b 2)sinB ，（1）若∠C =π4，求∠A 的大小．（2）若三角形为非等腰三角形，求cb 的取值范围．19. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立． （1）求红队至少两名队员获胜的概率；（2）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．20. 如图所示，平面四边形PABC 中，∠PAB 为直角，△ABC 为等边三角形，现把△PAB 沿着AB 折起，使得△APB 与△ABC 垂直，且点M 为AB 的中点．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCM（2）若2PA ＝AB ，求直线BC 与平面PMC 所成角的余弦值．21. 在平面直角坐标系xoy 中，过定点C(p, 0)作直线m 与抛物线y 2=2px(p >0)相交于A 、B 两点．（1）设N(−p, 0)，求NA →⋅NB →的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数f(x)=1+lnx x（1）求函数f(x)的极值；（2）如果当x ≥1时，不等式f(x)≥kx+1恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证[(n +1)!]2>(n +1)e n−2 (n ∈N ∗)．2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷13（理科）答案1. B2. A3. C4. D5. A6. A7. C8. B9. B 10. D 11. ±112. 16 13. 30 14. [2,103]15. 86416. 若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则|PM|⋅|PN|必为定值a 2b 2a 2+b 2 17.1+√5218. 解：（1）∵ acsinC =(a 2+c 2−b 2)sinB ∴ sinCsinB =a 2+c 2−b 2ac=2×a 2+c 2−b 22ac=2cosB…由此可得，sinC =2sinBcosB =sin2B… 因此，C =2B 或C +2B =π…(I)若C =2B ，结合∠C =π4，可得∠B =π8，所以∠A =5π8（舍去）… (II)若C +2B =π，结合∠C =π4，则∠B =12(π−π4)=3π8，可得∠A =3π8…（2）∵ 三角形为非等腰三角形，∴ 可得C +2B =π不能成立，故C =2B 由此可得∠A =π−B −C =π−3B… 又∵ 三角形为锐角三角形，∴ 0<2B <π2，0<π−3B <π2，A ≠C ， 因此，可得 π6<∠B <π4且∠B ≠π5…而 c b=sinC sinB=2cosB…∵ cosB ∈(√22, 2cos π5)∪(2cos π5, √32)，∴ 可得cb =2cosB =cb ∈(√2, 2cos π5)∪(2cos π5, √3)…19. 解：（1）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， ∵ 甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5可以得到D ，E ，F 的对立事件的概率分别为0.4，0，5，0.5 红队至少两名队员获胜包括四种情况：DEF ¯，DE ¯F ，D ¯EF ，DEF ，这四种情况是互斥的，∴ P =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55 （2）由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3 P(ξ=0)=0.4×0.5×0.5=0.1．，P(ξ=1)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35 P(ξ=3)=0.6×0.5×0.5=0.15P(ξ=2)=1−0.1−0.35−0.15=0.4∴ ξ的分布列是20. 证明：∵ △APB ⊥△ABC 且交线为AB 又∵ ∠PAB 为直角，所以AP ⊥平面ABC ， 故AP ⊥CM ，又∵ △ABC 为等边三角形，点M 为AB 的中点， 所以CM ⊥AB ，又∵ PA ∩AB ＝A 所以CM ⊥平面PAB ，又CM ⊂△ABC 所以平面PAB ⊥平面PCM ；假设PA ＝a ，则AB ＝2a ，再设B 到平面PMC 的距离为ℎB ． 则V P−MBC ＝V B−PMC =13PA ⋅S MBC =13ℎB ⋅S PMC在直角三角形PAM 中，由PA ＝AM ＝a ，得PM =√2a ， 在等边三角形ABC 中，AB 边上的高CM =√3a ， 而三角形PMC 为直角三角形，故面积为S △PMC =12CM ⋅PM =12⋅√2a ⋅√3a =√62a 2． 又S △MBC =12S △ABC =√32a 2． ∴ a ⋅√32a 2=ℎB ⋅√62a 2． 故ℎB =√22a 所以直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值sinθ=ℎBBC =√22a 2a=√24． 所以余弦值为cosθ=√1−sin 2θ=(√24)=√144． 21. 解：（1）依题意，可设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为：x =my +p由{x =my +p y 2=2px ⇒y 2−2pmy −2p 2=0∴{y 1+y 2=2pm ⋅∴ NA →⋅NB →=(x 1+p,y 1)⋅(x 2+p,y 2)=(x 1+p)(x 2+p)+y 1y 2=(my 1+2p)(my 2+2p)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+2pm(y 1+y 2)+4p 2=2p 2m 2+2p 2当m =0时NA →⋅NB →的最小值为2p 2．（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x =a ，AC 的中点为o′，l 与以AC 为直径的圆 相交于P ，Q ，PQ 中点为H ，则o′H ⊥PQ ，o′的坐标为(x 1+p 2，y 12)．∵ |o ′P|=12|AC|=12√(x 1−p)2+y 12=12√x 12+p 2∴ |PH|2=|o ′P|2−|o ′H|2=14(x 12+p 2)−14(2a −x 1−p)2=(a −12p)x 1+a(p −a)∴ |PQ|2=(2|PH|)2=4[(a −12p)x 1+a(p −a)]令a −12p =0得a =12p ．此时|PQ|=p 为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为x =12p 22. 解：（1）因为f(x)=1+lnx x，x >0，则f′(x)=−lnxx 2，当0<x <1时，f′(x)>0；当x >1时，f′(x)<0． 所以f(x)在(0, 1)上单调递增；在(1, +∞)上单调递减， 所以函数f(x)在x =1处取得极大值f(1)=1，无极小值． （2）不等式f(x)≥k x+1，即为(x+1)(1+lnx)x≥k ，记g(x)=(x+1)(1+lnx)x，则g′(x)=[(x+1)(1+lnx)]′x−(x+1)(1+lnx)x 2=x−lnx x 2，令ℎ(x)=x −lnx ，则ℎ′(x)=1−1x，∵ x ≥1，∴ ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在[1, +∞)上单调递增，∴ [ℎ(x)]min =ℎ(1)=1>0，从而g′(x)>0，故g(x)在[1, +∞)上也单调递增， 所以[g(x)]min =g(1)=2，所以k ≤2，即实数k 的取值范围是(−∞, 2]． （3）由（2）知：f(x)≥2x+1恒成立，即lnx ≥x−1x+1=1−2x+1>1−2x，令x =n(n +1)，则ln[n(n +1)]>1−2n(n+1)，所以ln(1×2)>1−21×2，ln(2×3)>1−22×3，ln(3×4)>1−23×4，…，ln[n(n +1)]>1−2n(n+1)，叠加得：ln[1×22×32×...×n 2(n +1)]>n −2[11×2+12×3+...+1n(n+1)]=n −2(1−1n+1)>n −2+1n+1>n −2． 则1×22×32×...×n 2(n +1)>e n−2， 所以[(n +1)!]2>(n +1)e n−2(n ∈N ∗)．。
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时
12. 已知
x 0 f (x) k
恒大于零，则 的取值范围为______
解答 由
x2
2 2 (k 1)x 2 0 k 1 x , x 2 2 x x
等号在 取得，即
1 x 203 1 x2013 (a b ) ) (a i b ) i x 2013 ii 2013 i 1 2014 ( i 1) 1 x2013 x2013 。…………………14分 2013 2013 2013
R, 则 90 是sin
sin 1的（
）
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 答案 D 若 当
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
0, 90 sin sin 1。 90 。
60 sin sin 3 1，但
） B.
范围为（ A. a 3 C. 答案
a 1或 a 3
C
a 1. D. 1 a 3
P {x 0 x 2},Q {x a 1 x a 1}, 要 使 P Q ， 则 a 1 2或 a 1 0。解得 a 1或 a 3。
2． 若,
1 0.96 k 24. k 1
7. 若三位数 abc 被 7 整除，且 a,b,c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B.6 C. 7 D 8
答案 D 设三位数为 (b
d)b(b d) 111b 99d(0 b 9,9 d 9,d 0),由
11. 若 tan 则x
）。
x tan y 2,
二、填空题（本大题共有 7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空 7分，共 49 分） 1 sin xsin y ，
y _______ 2k __________。 3
3
3
解答：由 tan
1 1 1 x tan y 2, sin xsin y cos xcos y cos(x y) ，所以 3 6 2 x y 2k 。 3
在[3,4]上至少有一个零点，
b2 的最小值。
解法 1 由已知得，设t 为二次函数在[3,4]上的零点，则有
at 2 (2b 1)t a 2 0，变形
(2 t) 2 [a(t 2 1) 2bt]2 (a 2 b2 )((t 2 1)2 t2 ) (a 2 b 2 )(1 t2 ) 2 ，……5分 t2 2 1 1 b2 ( ) ，……………………………12分 2 5 1 t 100 2 (t 2 4) t2 5 2 3 因为 t 2 ,t [3, 4]是减函数，上述式子在 t 3,a ,b 时取等号，故 t2 25 50 1 a 2 b2 的最小值为 。………………………………………………………………17分 100
15. 设直线 l 与曲线 的方程为_____ y
y x 3 x 1有三个不同的交点 A, B,C ,且 AB BC 5
,则直线 l
2x 1____________。 kx 1, A(x, y) ， 则
解 答 曲 线 关 于 （ 0,1） 点 对 称 ， 设 直 线 方 程 为 y
7 (111b 99d) 7 (b d) b 1,d 1;b 2,d 2;b 3,d 3; b 4,d 3,4;
b 5,d 2;b 6,d 1;b 8,d 1。所以，所有的三位数为
210,420,630,147,840,357,567,987
3
。
y R ，满足 2x 2x 2 y 2 2y(x x 2 ) x2 5 ，则
x 3 ,y 2
3
。
解答 把等式看成关于 x 的一元二次方程
2 4(y 1) 2 20(2y 2 2y 1) 0 (3y 2)2 0 y , x 3 。 3
1 x i x ) …………………………………………6分 2014 i ,1 i 2013 。 2013
由于 a1 b 1 x2013 x2012 1 x2013 ，即 i=1成立。……………………8分 假设 1 i 2012 成立， 则 ai1 bi1 (ai1 a )i (b b ) i (a b ) i x2013 x2013 i1 i x2013 x2013 ( x2013 ( 1 x i ) (a b) ii x
B. x 1 C. x 2
，则函数 的极大值点为（
A.x 0
y f (x) D. x 3
）
答案 B 由图象可知 x 10. 已知 f
1为函数极大值点， x 3是极小值点， x 0,2 不是极值点。
(x), g(x),h(x)为一次函数，若对实数 x 满足
1, x 1 f (x) g(x) h(x) 3x 2,1 x 0 ，则 h(x) 的表达式为（ 2x 2, x 0 1 A.h(x) x 1 B. h ( x ) x 21 2 C.h(x) x 1 D. h ( x ) x 2 2 2x 2 (1) 1 答案 C h(x) x 。 2 2
x2
k 2 2 1。
13. 数列{
n
n},n 1, 2,
1 x 1 ln x x
，则数列中最大项的值为______ 3 3 ________。
1
解答
f (x) x e
3
xx f / (x) 2 (1 ln x) x e为极大值点，所以数列最大项为第 x
三项，其值为 14. 若 x,
y 2 4x y k (x a) PK
2
k 2 x 2 2(ak 2 2)x a2 k 2 0 x1 x 2
2(ak 2 2) , x1 x a 2 …5 分 2 2 k
(x1 a) 2 y12 , KQ 2 (x 2 a) 2 y 2 2 …………………………………… 7 分
2013 年浙江省高中数学竞赛试题解答
一、选择题（本大题共有 10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 5分，共 50分） 1． 集合 P
{x x R, x 1 1}，Q {x x R, x a 1}, 且 P Q ,则实数 a 取值
A.20 B.22 C.
2 2 min
2
CM l 。
）
6. 某程序框图如下，当 E 0.96 时，则输出的 K=（
24
D.25
开始
K=1，S=0
S=S+1/（K(K+1)）
S>=E？ 是 输出 K , 答案 C S
否 K=K+1
1 1 12 23
1 1 k (k 1)一象限的整点上运动（含第一象限 动规律为 (m,n)
(m 1,n 1) 或 (m,n) (m 1,n 1)。若该动点从原点出发，经过 6 步
4
运动到（6,2）点，则有__________9_________种不同的运动轨迹。 解答
C62 C61 y2
y kx 1 y x 3 x 1 2 2 x (y 1) 5
16. 若 a
(k 2)(k 2 k 2) 0 k 2。所求直线方程为 y
2x 1
。
0,b 0, 则 min{max(a,b,
1 a2 1 min{max(a,b, 2 a
2012
b2013 。
解：首先， a (x 1) i
2
x 2012 1 (i 1)x2013 ， 1 x ) i1( 1) ( x x
-----------------2分
1) 2013 bi ( x x
i
x 2014 。-----------------4分
i
bi1 b i x2013 ( 用归纳法证明 a b i x2013 i
2013
x
2014 .数 列 a ,a 1 , 2013
2
,a 是2013 公差为
x 2013 ， 首 项
首项
1
a (x 1)2 x 2012 1的等差数列； 数列b ,b 1 , 2 ,b
1
2013 是公比为
1 x , x
b (x 1)x2013
的等比数列，求证：b
a 1 a 1 b 2
于是 a
2
解法 2 把等式看成关于 a,b 的直线方程
:(x 2 1)a 2xb x 2 0，利用直线上一点 a 2 b2 x2 (x 2 1)2 (2x) 2
（以下同
（ a,b ）到原点的距离大于原点到直线的距离，即
5
上）。 20. 设 x
N满足
1 x
3． 已知等比数列{a }：na （ A. ） B.
3,1且第一项至第八项的几何平均数为 9，则第三项是
3 9 81
3 7 81
2 7
C.
3
9
D.
33
答案 B 计算得 q 4. 已知复数 z A.z C.
3
,a 3 3 7
81
。 ，则 （
x yi(x, y R,i 为虚数单位），且 z 2 8i
B. D.
2 2i
z 2 2i
z
）
z 2 2i,或 z 2 2i