复数9.1
foot变成feet运用的语法手段
标题：foot变成feet的语法变化及其规则解析一、介绍1.1 问题概述：在英语中，foot和feet都是表示“脚”，但是它们在用法上有何差异？1.2 目的和意义：通过解析foot和feet的语法变化规则，帮助读者加深对英语语法的理解，提高语言运用的准确性。
二、foot和feet的词性和意义2.1 foot：foot是foot的单数形式，表示一个“脚”。
2.2 feet：feet是foot的复数形式，表示多个“脚”。
三、foot和feet的语法变化规则3.1 名词复数形式的构成规则：一般情况下，在英语中常见的名词复数形式是在词尾加-s或-es。
而foot则属于不规则名词的复数形式之一。
3.2 不规则名词复数形式的变化规律：有一部分不规则名词的复数形式需要通过改变词尾字母或整个单词来构成复数形式。
3.3 foot变成feet的构成规则：foot是一个不规则名词，在复数形式中需要将oo变成ee，同时词尾加上t，即变成feet。
3.4 补充说明：在英语中，还有一些其他的不规则名词复数形式，读者可以通过学习和积累来掌握。
四、示例分析4.1 单数形式：This is a foot.（这是一只脚。
）4.2 复数形式：These are feet.（这是两只脚。
）五、foot和feet的常见用法区别5.1 foot的用法：在描述单数形式的“脚”时使用，例如：I hurt my foot.（我的脚受伤了。
）5.2 feet的用法：在描述复数形式的“脚”时使用，例如：She has two feet.（她有两只脚。
）六、如何正确运用foot和feet6.1 掌握规则：通过学习不规则名词的复数形式规则，掌握foot和feet的变化规律。
6.2 多加练习：通过大量的语言实践来巩固对foot和feet的正确用法。
6.3 增强语感：通过阅读、听力等方式，提高对语言的敏感度，从而在实际语言运用中更加准确地使用foot和feet。
(新教材)2021年高中数学人教B版必修第四册：目录
第九章解三角形
9.1正弦定理与余弦定理
9.1.1正弦定理
9.1.2余弦定理
9.2正弦定理与余弦定理的应用
9.3数学探究活动:得到不可达两点之间的距离(略) 章末整合
第九章测评
第十章复数
10.1复数及其几何意义
10.1.1复数的概念
10.1.2复数的几何意义
10.2复数的运算
10.2.1复数的加法与减法
10.2.2复数的乘法与除法
*10.3复数的三角形式及其运算
章末整合
第十章测评
第十一章立体几何初步
11.1空间几何体
11.1.1空间几何体与斜二测画法
11.1.2构成空间几何体的基本元素
11.1.3多面体与棱柱11.1.4棱锥与棱台
11.1.5旋转体
11.1.6祖暅原理与几何体的体积
11.2平面的基本事实与推论
11.3空间中的平行关系
11.3.1平行直线与异面直线
11.3.2直线与平面平行
11.3.3平面与平面平行
11.4空间中的垂直关系
11.4.1直线与平面垂直
11.4.2平面与平面垂直
章末整合
第十一章测评。
英语单复数变化规则表
英语单复数变化规则表摘要：一、英语单复数变化规则表的概述1.名词单复数的意义2.名词单复数的变化规则二、单数名词变复数的具体规则1.一般单数名词变复数2.以s、x、sh、ch 结尾的单数名词变复数3.以辅音字母+y 结尾的单数名词变复数4.以f 或fe 结尾的单数名词变复数5.特殊单数名词的复数形式三、复数名词变为单数的具体规则1.一般复数名词变为单数2.特殊复数名词的单数形式四、不规则名词的单复数形式1.常见的不规则名词单复数形式2.其他不规则名词的单复数形式正文：英语单复数变化规则表是英语学习者必须掌握的知识点之一。
名词的单复数变化不仅仅是数量的变化，还涉及到语法、语义等多方面的规则。
了解这些规则，对于正确使用英语语法，准确表达思想具有重要意义。
一、英语单复数变化规则表的概述名词的单复数主要表示数量，比如"book"（书）是单数，"books"（书）是复数。
此外，名词的单复数还涉及到格的变化，如"the book"（这本书）和"the books"（这些书）。
二、单数名词变复数的具体规则1.一般单数名词变复数，只需在词尾加"s"。
"book"变成"books"，"apple"变成"apples"等。
2.以s、x、sh、ch 结尾的单数名词变复数，需要在词尾加"es"。
"bus"变成"buses"，"box"变成"boxes"等。
3.以辅音字母+y 结尾的单数名词变复数，需将y 变为i，再加"es"。
"boy"变成"boys"，"day"变成"days"等。
复数的知识点框架总结
复数的知识点框架总结一、复数的形成规则1. 绝大多数名词在单数形式后加上-s或-es构成复数形式，如：- cat → cats- dog → dogs- book → books- bus → buses- box → boxes- class → classes- girl → girls- watch → watches- brush → brushes- piano → pianos- tomato → tomatoes- radio → radios2. 以-s, -ss, -ch, -sh, -x, -o结尾的名词在单数形式后加-es构成复数形式，如： - kiss → kisses- watch → watches- brush → brushes- box → boxes- potato → potatoes- tomato → tomatoes- hero → heroes3. 以“辅音字母+y”结尾的名词，将y变为i再加-es构成复数形式，如：- baby → babies- city → cities- party → parties- fly → flies- story → stories4. 以“f” 或“fe” 结尾的名词通常要将 f 变为v 加 es构成复数形式，如：- leaf → leaves- wife → wives- shelf → shelves- life → lives- knife → knives- half → halves- wolf → wolves- calf → calves5. 有一些名词的形式是不规则的，如：- man → men- woman → women- child → children- tooth → teeth- foot → feet- mouse → mice- goose → geese- person → people- deer → deer二、不规则复数形式变化除了上述规则之外，还有一些名词复数形式变化是不规则的，需要熟记这些不规则的复数形式，如：- mouse → mice- ox → oxen- child → children- foot → feet- tooth → teeth- woman → women- man → men- person → people- deer → deer三、复数的用法1. 表示数量- There are three cats in the garden.- Many students like playing basketball.- There are some apples on the table.2. 表示不可数名词的复数形式- We have different wines from different countries.- The waters of the river are deep and dangerous.- I have two hairs out of place.3. 表示代替复数名词- The dogs are barking. They want to go out.- Girls, please sit down and be quiet.- The children had their lunch and then went out to play.4. 表示一个群体- The police have arrested the thief.- The cattle are grazing in the field.- The people are celebrating the festival.5. 表示人名、职位、称呼、书名、船名等- The Johnsons are coming to the party.- The Smiths are a very musical family.- The Browns have four children.- The Millers have a beautiful garden.- The doctors are in a meeting.- The Greens have a big house.6. 表示时间、金额、距离等- I will be away for a few days.- The prices of these products are high.- The Goods are to be delivered tomorrow.四、复数名词的注意事项1. 不可数名词的复数形式- beach → beaches (沙滩)- bread → breads (面包)- butter → butters (黄油)- cake → cakes (蛋糕)- cheese → cheeses (奶酪)- fish → fishes / fish (鱼，复数形式可以为fishes或fish) - fruit → fruits (水果)- juice → juices (果汁)- milk → milks (牛奶)- r ice → rices (米饭)- salt → salts (盐)- sugar → sugars (糖)2. 单数形式为复数形式的名词- clothes (衣服) news (新闻) belongings (财产) stairs (楼梯) contents (内容) looks (神情) riches (财富) glasses (眼镜) manners (态度) means (手段)- The series are very popular.3. 不可数名词也可以作为复数名词，表示“各种，各种类型的”，如：- The small rooms are on the third floor.- He gave her a box of chocolates.- We met some rich people at the party.- The bad news is that he has been in an accident.5. 一些名词在单数与复数形式前有其特定的变化fish → fishesstaff → stavesindex → indicescactus → cactisyllabus → syllabi总结：复数形式是英语学习中的基础知识之一，掌握好复数形式的形成规则对英语学习十分重要。
(2021年整理)小学英语复数形式归纳总结
小学英语复数形式归纳总结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（小学英语复数形式归纳总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为小学英语复数形式归纳总结的全部内容。
小学英语名词复数形式归纳规则变化规律：一、一般情况下,直接在该词末尾加—s。
读音变化：-s在清辅音［p]［t]［k］［f］后读[s］,在浊辅音和元音后读[z］，在辅音［s］［z］［d？]后读［iz]，口诀:清清浊浊元浊,结尾是清辅音读[s］，结尾是浊辅音或元音读［z］。
例：friend-friends； cat—cats； sport-sports；cups—cups， cake—cakes, flag-flags， face—facesbook-books， bag—bags, cat-cats, bed-beds二、凡以s、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加—es构成复数。
读音变化：统一加读［iz]。
例：bus→buses； fox→foxes; match→matches; flash→flashes ;class-classes， box—boxes, watch—watches， dish—dishes;brush-brushes。
三、以y结尾（1）以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es.读音变化：加读［z］。
例：candy→candies； lady→ladies； story→stories;party-parties； family—families； story-stories；city-cities;strawberry-strawberries；country-countries, study—studies， fairy→fairies； daisy→daisies。
宁夏回族自治区银川市第一中学复数经典例题
一、复数选择题1．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（ ）A ．6B C ．5 D 4．已知复数31i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 5．已知复数512z i =+，则z =（ ）A ．1BCD ．5 6．已知复数()211i z i-=+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i +D ．1i -7．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．48．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．复数12i z i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．122i i-=+（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i 12．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5BC ．2 D13．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ）A B C D14．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．题目文件丢失！二、多选题16．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-17．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 18．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =19．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 20．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数 C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 21．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =22．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 23．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥24．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 25．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）． A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线26．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数27．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限28．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则，解得．故选：D ．解析：D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-． 故选：D ．2．D【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项.【详解】由已知得，所以复数z在复平面上所对应的点为，在第四象限，故选：D.解析：D【分析】先由复数的运算化简复数z，再运用复数的几何表示可得选项.【详解】由已知得()()()()312317171+21+212555i ii iz ii i i----====--，所以复数z在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限，故选：D.3．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】，，所以，，故选：C.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】2z i=-，(12)(2)(12)43z i i i i∴⋅+=-+=+，所以，5z=，故选：C.4．B【分析】化简复数，可得，结合选项得出答案．【详解】则，的虚部为故选：B解析：B【分析】化简复数z，可得z，结合选项得出答案．【详解】()311==11i i z i i i i i--=-=+- 则1z i =-，z 的虚部为1-故选：B5．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】.故选:C.解析：C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.6．B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得，则.故答案为：B解析：B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i ii i ---===--=--++-，则1z i =-+. 故答案为：B 7．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 8．C【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C ．解析：C【分析】由已知得到2021(2)(2)i i i z -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i i i -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限，故选：C ．9．A【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题 解析：A【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限， 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题. 10．C【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】由题意，，∴，对应点，在第三象限．故选：C ．解析：C【分析】 由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】 由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+， ∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限． 故选：C ．11．D【分析】利用复数的除法求解.【详解】.故选：D解析：D【分析】利用复数的除法求解.()()()()12212222i i i i i i i ---==-++-. 故选：D12．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 13．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C 14．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.15．无二、多选题16．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.17．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 18．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.19．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.20．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.21．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 24．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+， 所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.25．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.26．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.27．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确； 2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确； 22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；22111122212ω---====-⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛-⎝⎭，在第三象限，故D选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.28．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i=+可得，11iz ii+==-，所以12z i+=-==，z虚部为1-；因为2422,2z i z=-=-，所以()5052020410102z z==-，2211z z i i i z+=-++=-=．故选：ACD．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．29．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取，进行判断；D中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
MATLAB与系统仿真14
例
syms t v w x y; fourier(1/t) fourier(exp(-x^2),x,t) fourier(exp(-t)*sym('heaviside(t)'),v) ifourier(w*exp(-3*w)*sym('heaviside(w)')) ifourier(1/(1+w^2),u)
F (s) f (t )e st dt
0
f (t )
2 j c j
1
c j
F ( s)e st ds
在MATLAB中可由函数laplace和ilaplace来实现。 laplace(f,t,s)
求时域函数f(t)的Laplace变换F(s)。 返回函数默认变量为s。
MATLAB还提供了其他几个求平均数的函数： nanmean 求随机变量的算术平均
geomean
harmmean trimmean
求随机变量的几何平均
求随机变量的和谐平均 求随机变量的调整平均
累积和累和
求向量或矩阵的元素累积或累和运算是比较常用的 两种运算，在MATLAB中可由以下函数实现： sum nansum cumsum 求向量或矩阵元素的累和 忽略NAN求向量或矩阵的元素累和 求此元素位置以前的元素和
9.2.1 统计量的数字特征
简单数学期望和几种均值
数学期望是概率统计中的重要概念，通常可以表示 为：
E ( x) xk pk
k 1
其中pk是对应的xk的权。 在给定一组样本值 x [ x1, x2 , , xn ] 时，最简单的情况 下的数学期望值可由下式计算：
1 E ( x) xk n k 1
9.1.6 Fourier变换及其反变换
电路分析基础_09阻抗与导纳
9.4 相量的线性性质和微分性质
正弦量的微分、积分运算
y(t) Y
微分运算
dy(t) dt
d dt
Re Yej
t
Re Y j ej t
积分运算
y(t)dt
Re Yej t dt
Re
Y
j
e
j
t
dy(t) jY
dt
idt
Y
j
9.4 相量的线性性质和微分性质
9.1 变换方法的概念 ①
问题的提出
(1 R2
1 R3
)un1
iS1
uS 2 R2
uS 3 R3
R1 is1
R2
+ us2
–
R3
+ us3
–
un1
R2 R3 R2 R3
iS1
R3 R2 R3
uS 2
R2 R2 R3
uS 3
is1(t) 6 2sin(314t 75 ) V us1(t) 6 2sin(314t 30 ) V us2 (t) 4 2sin(314t 60o ) V
Re(U 1
e jt
•
U
2
ejt )
•
•
Re[(U 1 U
2 )ejt ]
u(t)
u1
(t
)
u2
(t
)
•
Re[(U
1
•
U
2
)e
jt
]
相量关系为： U U1 U2
9.4 相量的线性性质和微分性质
u1(t) 6cos(314t 30 ) V u2 (t) 4cos(314t 60o ) V
1到30的英语复数词
1到30的英语复数词全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：1到30的英语复数词包括：1. ones2. twos3. threes4. fours5. fives6. sixes7. sevens8. eights9. nines10. tens11. elevens12. twelves14. fourteens15. fifteens16. sixteens17. seventeens18. eighteens19. nineteens20. twenties21. twenty-ones22. twenty-twos23. twenty-threes24. twenty-fours25. twenty-fives26. twenty-sixes27. twenty-sevens28. twenty-eights29. twenty-nines复数形式的使用在英语中是非常常见的，特别是在描述数量或数量的时候。
我们可以用复数词来表示一组物品或人数。
比如说，我们可以说"I have five books" 表示我有五本书，其中"books" 就是复数形式的"book"。
在1到30的英语数字中，除了普通的复数形式外，还有一些特殊的规则需要注意。
比如说，当数字以1或者2结尾时，复数形式变为"-ones" 和"-twos"；而在20到29的数字中，则加上"-s" 来表示复数形式。
除了描述数量外，复数形式在英语中还有更多的用法。
比如说，我们可以用复数形式来表示一些特定的群体或集合，比如"the tens" 可以表示从10到19的所有数字。
在一些习惯用语中，复数形式也经常被使用，比如"the fours" 可以表示接下来的四个小时。
复数形式在英语中是一个非常重要且基础的概念。
英语名词单复数练习题带答案(1)
()10.The green sweater is his __________ . A.brother B.brothers C.brother' scit y 请写出下列词的复数形式。
(1' *50=50 ') zoo country toothmouse boybroo m ca rtre e horse bus foxbranch baby family dishradio photo piano knife lea f life thief man woman child foot this diary day book dress sheep tea box strawberry peach sandwich paper jui ce water milk rice people CD ox deer fish_ 、 单项选择 (1 ' *10=10 ')( )1. The__ in our yard are very beautiful. A. cloth B . water C. flowers( )2. Tom is one of the Chinese in our school. A. boy B. boys C. boies( )3. A cat has four , doesn't it?A. foots B . feet C. feets( )4. There are three and five in the room. A. American, Japanese B Americans, Japanese C. American, Japanese( )5. Can you see nine in the picture?A. fish B . book C. horse()6. The has twoA. boy; watchB. boy; watches boys; watch ( )7. The are flying back to their country.英语专项测试名词复数 练习一 三、选择填空(1 ' *10=10')( )1They come from differentA. countryB. countriesC. a countryD. countrys( )2How many do you see in the picture?A .tomatos B. tomatoes C. tomato D. the tomato( )3They are . watchA . woman teachers B. women teachersC. womenteacherD. woman teacher( )4Would you like ,please?A . two glass of water B. two glasses of waterC . two glass of waters D. two glasses of waters ( )5Most of live in .A. Germans, German B. German, GermenC. Germen, Germany D. Germans, Germany ( )6There are some in these .A . knifespencil-boxesB. knives pencils-boxC . knives pencil-boxD. knives pencils-boxes( )7like by air.A . Greens, travelling B. The Green, travelingC . The Greens, travel D. The Greens, traveling( )8I wonder why are interested in action films(A . the people B. people C. peoples D. the peoples( )9There is no in the plate.A .apples B. oranges C. rice D. eggs()10.My uncle has threeA. childB.childsC.childrenD.childrens四.填入所给名词的正确形式(2 ' *10=20')武打片).A. GermanyB. GermanysC. Germans ()8. The girl brushes her ______ every day before she goes to bed. A. tooths B. teeth C. teeths()9.1 saw many in the street.A. peoplesB.peopleC.people 's 1. I have two ___________ (knife)2. There are many __________ here. (box)3. There are many _________ o n the road. (bus)4. A few __________ a re drawing on the wall. (boy)5. The ______________ a re playing football now. (child)6. Please take two _______________ for me. (photo)7. I like the red _______________ .(tomato)8. Would you please clean your ____________ now? (tooth)9. Do you want some _______ ? (milk)10. There are ten _________ ________ i n our school. (woman teacher)单、复数练习一.练习：写出下列各词的复数(本项积分6分，每题0.2分)I ____ him ______ t his ______ her _____ watch ____ c hild _______ photo ________ diary ____ day ____ foot ____ b ook ____ dress ________ t ooth _____ sheep _______ box_______ strawberry__________ thief ________ yo-yo __ p each _____ san dwich __________ man ____ woman __ paper _____ juice _______ milk ___ r ice _______ tea _______________ people ___ CD _____ 二.请把下列各词变成复数形式，没做完不许看答案哦。
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。
解释实部和虚部的概念。
强调复数是实数域的拓展。
1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。
举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。
1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。
讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。
介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。
第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。
强调函数的连续性和可导性。
2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。
举例说明这些性质的应用和判定方法。
2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。
强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。
第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。
解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。
3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。
强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。
3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。
介绍柯西积分定理和柯西积分公式。
第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。
讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。
4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。
强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。
4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。
强调这些变换在信号处理等领域的应用。
第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。
9.1复数及其四则运算(第1课时)高一数学(沪教版2020必修第二册)
解：(1) (7 6i)( 3i) 21i 18i 2 18 21i；
(2) (3 4i)( 2 3i) 6 9i 8i 12i 2 6 17i；
(3) (1 2i)(3 4i)( 2 i) (11 2i)( 2 i) 20 15i.
工作者与许多领域的科技人员熟练掌握并广泛应用的基本数学工具．
新课讲解
为了解决负数的开平方问题，数学家引入了一个不同于实数的新数ｉ，
称为虚数单位（imaginaryunit），并规定
2 = −1，
即规定ｉ是－１的一个平方根．更一般地，把任意b∈R与虚数单位ｉ的
乘积记为bi，并规定虚数单位与实数间的乘法满足交换律与结合律．对
解：
2
1 i 1 i
2020
2020
; 2 1 i i 2 i 3 i 2019 .
2 2i 2
1
i1 i
- 2i 2i
i
1010
1 i 1 2 i
理，即得
+
+ +
+ + −
=
=
+
+ −
2 + 2
+ −
= 2
+ 2
2
2
+
+
例２ 计算：
3+
1
;
2−
2
1 + 2
1 − 2
3+
史上最全的英语语法大全(精心整理)
英语语法1.名词1.1名词复数的规则变化1.2其他名词复数的规则变化1.3名词复数的不规则变化1.4不可数名词量的表示1.5定语名词的复数1.6不同国家的人的单复数1.7名词的格2.冠词和数词2.1不定冠词的用法2.2定冠词的用法2.3零冠词的用法2.4冠词与形容词+名词结构2.5冠词位置2.6数词3.代词3.1人称代词的用法3.2人称代词之主、宾格的替换3.3代词的指代问题3.4并列人称代词的排列顺序3.5物主代词3.6双重所有格3.7反身代词3.8相互代词3.9指示代词3.10疑问代词3.11关系代词3.12every,no,all,both,neither,nor3.13none,few,some,any,one,ones3.14代词比较辩异one，that和it3.15one/another/the other3.16“the”的妙用3.17anyone/any one；no one/none；every/each 3.18both,either,neither,all,any,none 3.19many,much3.20few,little,a few,a little4.形容词和副词4.1形容词及其用法4.2以-ly结尾的形容词4.3用形容词表示类别和整体4.4多个形容词修饰名词的顺序4.5副词及其基本用法4.6兼有两种形式的副词4.7形容词与副词的比较级4.8as+形容词或副词原级+as 4.9比较级形容词或副词+than 4.10可修饰比较级的词4.11many,old和far4.12the+最高级+比较范围4.13和more有关的词组5.动词5.1系动词5.2什么是助动词5.3助动词be的用法5.4助动词have的用法5.5助动词do的用法5.6助动词shall和will的用法5.7助动词should和would的用法5.8短语动词5.9非谓语动词6.动名词6.1动名词作主语、宾语和表语6.2Worth的用法7动词不定式7.1不定式作宾语7.2不定式作补语7.3不定式主语7.4It's for sb.和It's of sb.7.5不定式作表语7.6不定式作定语7.7不定式作状语7.8用作介词的to7.9省to的动词不定式7.10动词不定式的否定式7.11不定式的特殊句型too…to…7.12不定式的特殊句型so as to 7.13不定式的特殊句型Why not 7.147不定式的时态和语态7.15动名词与不定式8.特殊词精讲8.1stop doing/to do8.2forget doing/to do8.3remember doing/to do8.4regret doing/to do8.5cease doing/to do8.6try doing/to do8.7go on doing/to do英语微信群是目前学习英语最有效的方法，群里都是说英语，没有半个中文，而且规则非常严格，是一个超级不错的英语学习环境，群里有好多英语超好的超牛逼的人，还有鬼佬和外国美眉。
交流电路复数解法
11.线性(无损耗)磁介质20011222m H B H H Mμωμ=⋅=+⋅r r r r 磁化能密度宏观磁能密度对线性无损耗介质：E P E E D e r r r r ⋅+=⋅=21212120εω宏观静电能密度极化能密度§8.2 非线性介质及磁滞损耗上次课回顾22. 非线性磁介质磁滞损耗磁化率张量§8.3 利用磁能求磁力虚功原理法2. 维持磁通不变1. 维持电流不变I m W F )(∇=rφ)(m W F ∇−=rIm W L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=θθφθθ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=m W L 6三.交流电路中的元件阻抗和位相差本次课主要内容§9.1 交流电的基本概念和描述方法一.各种形式的交流电二.描述简谐交流电的特征量四.描述简谐交流电的方法函数描述、矢量描述和复数描述各种形式的交流电．简谐交流电此乃正弦和余弦函数的波形其电压或电流随时间的变化呈简谐波电子示波器用来扫描的信号激光通讯用来载波的信号电子计算机中采用的信号是矩形脉冲535地单独处理只讨论简谐交流电,这是处理一切交流电问题的基础14电压落后电流π/2电压超前电流π/2。
表示电压与电流同位相时当表示电压比电流落后时当表示电压比电流超前时当 ,0, ,0, ,0=<>φφφφφiu i u t t φφφωφωφ−=+−+=)()(实验观察到电流和电压的瞬时值为：cos )( cos 0===i u t I t i t φφωω18这就是包含电容器的电路中有交变电流i(t)⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2 cos sin 0πωωωt Q t0) cos 2t Q t πωω⎛⎞=+⎜⎟⎝dt di感抗)和位相差为：24在串联电路中,电流i 221R C ω⎛⎞+⎜⎟⎝⎠25A ．u 为总电压有效值,其不等于分电压有效值u R 和u C 之和B ．CR Z Z u u RC R C ω1==与直流串联电路中的分压规律一致C ．CR Z Z Z +≠讨论：222211 u u I R Z R C I C ωω⎛⎞⎛⎞=+==+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠②RCL 串联电路仍然以电流为基准,然后先合成u C 和u L ,此时u C 和u L 位相差为π;最后再将u C 和u L 的结果与u R 合成RCLR C L Z Z Z tg u u u tg C L R I u −=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−−11221φωω26A ．B ．C ．电感性电路 ,0 ,>>φC L Z Z 电容性电路,0 ,<<φC L Z Z LCC L Z Z C L 1,1 ,===ωωω1L CRZ Z tg Z φ−−=221u I R L C ωω⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠RZ Z R ==此时称作串联共振该电路产生共振,27分析讨论：RLC 电路串联共振品质因素Q22max max 1u Z R L I C ωω⎛⎞==+−⎜⎟⎝⎠L Z CZ L c ωω==,1m axm ax 221u I R L C ωω=⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠1L C RZ Z tg Z φ−−=ω=Δ倍时的电流幅值下降到其峰值7.0:R共振应用：收音机调频收台(可变电容)、机场安检报警系统、军用排地雷报警系统等。
高等代数课件(北大三版)--第九章 二次型
例1
设
0 0 A 0 3 0 3 6 0 0 6 12 4 3 0 4 0
惠州学院数学系
我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列 初等变换，将A变成 P AP ，使得 P AP是一个对 角形矩阵。同时对单位矩阵 I 4 ，施行同样的初等 变换而得出P。 交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同 时交换 I 4 的第一列和第二列。这时A和 I 4 分别化 为：
① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为 由 P AP B 可以得出
(P
1 1 1 ) BP ( P ) 1BP A
③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那 么C 与 A 合同。
惠州学院数学系
xi x j x j xi ,
n
n
（2） q( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j , aij a ji
i 1 j 1
是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称 为二次型 q( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵。因为 a ij a ji , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成
惠州学院数学系
9.1.1 二次型及矩阵
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
（1）
q( x1 , x 2 , , x n ) a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2
2
2
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
惠州学院数学系
（5）
x1 y1 x2 y2 P x y n n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一般地，有
L[ f ( n) (t )] s n F ( s ) s n1 f (0) s n2 f (0) f ( n1) (0).
0
t f ( t )e st dt L[tf ( t )].
F ( s ) L[t f ( t )] F ( s) L[t 2 f ( t )] 例 6 分别求函数 t sin t、t 2 cos2 t 的拉氏变换.
s 解 因为 L[sin t ] 2 2 , L[cos t ] 2 2, s s
设 L[ f ( t )] F ( s ), 则有 F ( s )ds L[
s
一般地，有
f (t ) ]; t
f (t ) ds s dsss F ( s )ds L[ t n ].
n次
证
s
F ( s )ds [
0
st
0
1 e dt (Re s 0) ; s
st
1 0 Sgnt e dt 0 e dt s (Re s 0) ; =1 1 st st L[ f ( t )] f ( t )e dt e dt (Re s 0) . 0 0 s 1 1 1 因此，L[u( t )] ， L[ Sgnt ] ， L[1] .
n次
证 设 g( t ) f ( t )dt , 则 g( t ) f ( t ), 且 g(0) 0, 0
由微分性质有 L[ g( t )] sL[ g( t )] g(0), 1 即 L[ f ( t )dt ] F ( s ). 0 s
t
(2) 像函数的积分
满足傅氏积分条件, 从而可对其进行傅氏积分.
1 t 0 、 符号函数 例 1 分别求出单位阶跃函数u( t ) 0 t 0 Sgnt 以及函数 f (t ) 1 的拉氏变换.
解： 由拉氏变换的定义有 L[u( t )] U (s )
0
u( t )e dt
0
f ( t )e st dt f ( t )e
t
s j
j t
0
e
dt
f ( t )u( t )e t e j t dt
F [ f (t )u(t )e t ]. 可见函数 f (t ) 的拉氏变换就是函数 f (t )u(t )e 首先通过单位阶跃函数 的傅氏变换. 其改进过程是：
d 2 s 所以 L[ t sin t ] s2 2 s2 2 , ds
1 d 2 1 s 1 2 2 2 L[t cos t ] L[t (1 cos 2t )] 2 2 2 ds s s 4 2 2( s 6 24 s 2 32) . 2 2 s ( s 4)
由此可见，傅氏变换的应用范围受到很大限制. 为了克服傅里叶变换的这些缺点，人们引进了 要求较弱的拉普拉斯(Laplace)变换. 本章主要包括以下内容： 1.拉普拉斯变换的概念 2.拉普拉斯变换的性质 3.卷积与卷积定理
４.拉普拉斯变换的应用
1.拉普拉斯变换的概念
定义9.1 设函数 f (t ) 满足条件 (1) 当 t 0 时, f ( t ) 0 ;
即
f (t ) L1[F ( s )],
称 F ( s ) 为 f (t ) 的像函数 , 称 f (t ) 为 F ( s ) 的像原函数 .
拉普拉斯变换与傅里叶变换有何关系？拉普拉 斯变换是如何对傅立叶变换进行改进的呢？下面来 研究这一问题．
L[ f ( t )]
m m st
由于 f ( m ) (t ) m ! 且 f (0) f (0) f ( m1) (0) 0, m! (m) m m 所以 L[ f (t )] s L[ f (t )], 即 L[t ] m 1 . s
(2) 像函数的导数
设 L[ f ( t )] F ( s ), 则有
at
同理可得
L[e
at
1 1 j t (Re s 0). ] (Re s Re a ); L[e ] s j sa
2.拉普拉斯变换的性质
性质 1 线性性质
且 设 , 为常数， L[ f ( t )] F ( s ), L[ g( t )] G ( s ),
特别地有 L[ f ( t )] s 2 F ( s ) s f (0) f (0).
L[ f ( t )] sF ( s ) f (0)
证 由拉氏变换定义及分部积分法得
L[ f ( t )]
0
f ( t )e dt
st st 0
t
L[ f (t )] F [ f (t )u(t )e t ]
其次 u( t ) 使函数 f (t ) 在 t 0 的部分充零(或者补零)，
L[ f ( t )]
0
f ( t )e st dt
对函数 f (t ) 在 t 0 的部分乘上一个衰减的指数函数
e t 以降低其“增长”速度, 这样就可以使函数 f ( t )
( 2 ) 当 t 0 时， 函数 f ( t ) 连续 ; ( 3 ) 当 t 时 , f (t ) 的增长速度不超过某个 指数
函数 , 即存在常数 M 及 ，使得 | f (t ) | Met ，
则含参数 s 的无穷积分
F ( s)
0
f ( t )e st dt
L[Sgnt ]
st st
s
例 2 分别求函数e , e
复常数).
at
at
,e
j t
s
s
的拉氏变换(其中 a 为
解： 由拉氏变换定义得
记住！
0
L[e ]
at
0
1 ( s a ) t e e e dt sa
at st
1 L[e ] sa 1 (Re s Re a ); sa
L[ f ( n) (t )] s n F ( s ) s n1 f (0) s n2 f (0) f ( n1) (0).
例 5 求 f (t ) t m 的拉氏变换(m 1为正整数).
解 方法一 利用拉氏变换的定义求解.
1 m st 利 L[t ] t e dt 0 t de 0 s 用 递 1 m st m m 1 st t e 0 t e dt 推 s s 0 公 0 m!式 m m! L[t ] m 1 m 1 . s s 1 方法二 利用拉氏变换的微分性质求解. 注意 L[1] s
f ( t )[ e ds ]dt s 1 st f ( t )[ e ] s dt 0 t f (t ) L[ ]. t
st
s 0
f ( t )e st dt ]ds
0
f ( t ) st e dt t
s sin t 例 7 求函数 f ( t ) 的拉氏变换. t 1 解 由 L[sin t ] 2 及像函数的积分性质得 s 1 sin t 1 L[ ] 2 ds arc cot s, s s 1 t sin t sin t 即 L[ ] e st dt arc cot s . 0 t t sin t dt . 上式中若令 s 0 得 0 t 2 通过此例的求解使我们得到启示：在拉氏变换 及其性质中若取s为某些特定值，就可以用来求一些 3 函数的广义积分. 例 P222 . e 3 t cos 2tdt s s3 2 0 13 s 4
则有
L[ f ( t ) g( t )] F ( s ) G ( s )，
L1[ F ( s ) G ( s )] f ( t ) g( t ).
例 3 求 cos t 的拉氏变换. 1 1 j t j t j t ,得 解： cos t (e e 由 ) 及 L[e ] s j 2 1 j t 1 j t L[cos t ] L[ (e e )] ( L[e j t ] L[e j t ]) 2 2
收敛 ( 这里 s j ).
称 F ( s ) 为函数 f (t ) 的 拉普拉斯变换 (简称拉氏变换)． 记作 L[ f ( t )]， 即
L[ f ( t )] F ( s )
0
f ( t )e st dt ,
(9.1)
1
记作 称 f ( t ) 为 F ( s ) 的 拉普拉斯逆变换， L [F ( s )]，
0
e d f (t )
st
f ( t )e
s
0
f ( t )e st dt
sF ( s ) f (0).
同理可证 L[ f ( t )] s 2 F ( s ) s f (0) f (0). 此性质可将f(t)的微分方程转化为像函数F(s)的 代数方程．因此，拉氏变换的微分性质可用来求解 微分方程(组)的初值问题．它对分析线性系统有重 要的作用．
第九章 拉普拉斯变换
在第八章中讲过，一个函数当它除了满足狄氏条 件外，还在(-,+)内满足绝对可积的条件时，就一 定存在古典意义下的傅氏变换. 但绝对可积的条件是相当强的，许多函数（如正 弦、余弦以及线性函数）都不满足这个条件；其次， 可以进行傅氏变换的函数必须在整个数轴上有定义. 但在物理学、无线电技术等实际问题中，许多函数往 往在t<0时是无意义的，或者是不需要考虑的. 像这 样的函数都不能取傅氏变换.