复数讲义绝对经典
复数讲义——精选推荐
沈阳杰中杰教育—陈莉莉陈莉莉Ⅰ复习提问1、 复数的相关概念⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a Î，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—当0¹b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0¹b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数）都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.请问z =3(1)a a i +-，z 的实部是（的实部是（ ），虚部是（，虚部是（ ）。
当a =（ ）时，z 是实数；是实数； 当a =（ ）时，z 是虚数；当a =（ ）时，z 是纯虚数。
是纯虚数。
2、 复数的表示⑴(,)z a bi a b R =+Î，⑵点(,)Z a b ，⑶向量OZ3、三个充要条件 ㈠ ①z=a+bi z=a+bi∈∈RÛb=0b=0（（a 、b ∈R ）； ②z ∈R Ûz =z ； ③Z ∈RÛ22Z Z =㈡ ①z =a+bi 是纯虚数Ûa=0且b ≠0（a 、b ∈R ）； ②z 是纯虚数或0ÛZ+z =0=0；③；③；③z z 是纯虚数Ûz 2＜0。
㈢00==Û=+Î==Û+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 4、两个复数在什么情况下可以比较大小？ 判断正误：判断正误：①若21,z z 为复数，则1若021 z z +，则21z z - .（ ） 2若21z z，则021 z z -.（ ）②若C c b a Î,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件（ ） 5、复数的运算：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z Î+=+=，则i d b c a z z )()(21±+±=±；i bc ad bd ac z z )()(21++-=×；i d c adbc d c bd ac z z 222221+-+++=6、绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +£+£-..②212121z z z z z z +£-£-.7、共轭复数：设z=a+bi ，则z =（ ），（a 、b ∈R ），实数的共轭复数是（，实数的共轭复数是（） 性质zz = 、2121z z z z +=+ 、az z 2=+，i2b z z =-（=z a+ b i ）、22||||z z z z ==×复数部分2121z z z z -=- 、2121z z z z ×=× 、2121z zz z =÷÷øöççèæ（02¹z ） 、 n nz z )(=判断：①两个共轭复数之差是纯虚数. （ ）②11)(212142====i i （） 8、常用结论 1,,1,,143424142=-=-==-=+++nn n n ii iii ii )(,0321Z n iii i n n n nÎ=++++++i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2若w 是1的立方虚数根，即i2321±-=w ，. 9、复数集中解一元二次方程： 在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02¹=++a c bx ax 时，应注意下述问题：时，应注意下述问题：①当R Rc c b b a a Î,,时，什么时候有二不等实数根？有二相等实数根？两个互为共轭的复数根？时，什么时候有二不等实数根？有二相等实数根？两个互为共轭的复数根？ ②当c b a ,,不全为实数时，是否可以用D 判断方程根的情况？判断方程根的情况？③不论c b a ,,为何复数，是否都可用求根公式求根？韦达定理是否也成立？为何复数，是否都可用求根公式求根？韦达定理是否也成立？Ⅱ 题型与方法归纳1、题型与考点ìïïíïïî复数的概念，复数表示复数的计算复数相等，共轭复数复数与方程，函数，三角，向量复数与方程，函数，三角，向量,,不等式等的结合2、解题方法与步骤、解题方法与步骤1）复数的概念：例1. 当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+（m 2+3m －10）i ； （1） 是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．）是纯虚数．解题思路：z 是实数，虚部=0；z 是虚数，虚部¹0；z 是纯虚数，实部=0，虚部¹0.解：（1）z 为实数，则虚部m 2+3m －10=0，即223100250m m m ì+-=í-¹î， 解得m =2，∴，∴ m =2时，z 为实数。
《复数的概念》 讲义
《复数的概念》讲义一、什么是复数在我们的数学世界中，数的概念不断发展和扩充。
从最初的自然数，到整数、有理数，再到实数。
而复数的出现，则为数学的领域打开了一扇新的大门。
那么，究竟什么是复数呢？简单来说，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，并且满足 i²＝－1。
这里的 a 被称为复数的实部，b 被称为复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就变成了纯虚数 bi。
二、复数的表示方法1、代数形式正如前面所提到的，复数的代数形式就是 a ＋ bi，这是我们最常见也是最常用的表示方法。
2、几何形式在平面直角坐标系中，我们可以用点（a, b）来表示复数 a ＋ bi。
其中，横坐标 a 表示实部，纵坐标 b 表示虚部。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
这个平面我们称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
3、三角形式复数还可以表示为 r（cosθ ＋isinθ）的形式，其中 r ＝√（a²＋ b²) 称为复数的模，θ 称为复数的辐角。
这种表示方法在涉及复数的乘除运算时非常有用。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数相加（或相减），就是实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
例如：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i2、乘法复数的乘法按照多项式乘法的法则进行，同时要记住 i²＝－1。
例如：（a ＋ bi)×（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法为了进行复数的除法运算，我们通常先将分母实数化。
例如：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（a ＋ bi)（c di)÷（c ＋ di)（c di)＝ ac ＋ bd ＋（bc ad)i÷（c²＋ d²)＝（ac ＋ bd)÷（c²＋ d²) ＋（bc ad)÷（c²＋ d²)i四、复数的应用1、在物理学中的应用在电学中，交流电路中的电压、电流等都可以用复数来表示，从而方便计算和分析。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
经典的复数知识
各种表示形式之间的相互转换
一、复数的形式
1、代数形式
A = a + jb
j
1
为虚单位 Re[A ] = a
b
+j A
复数A 的实部
复数A 的虚部 Im[A ] = b
O 复数 A = a + jb 在复平面上可以用一条 从原点O 指向A 对应坐标点的有向线段 一一对应[点A(a,b)]。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设A1=3-j4，A2=10 /135°
求 : A1+ A2 和 A1/ A2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
A2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
A1 + A2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
几何意义 +j
A1 A2
A1
A2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设 A1 a1
jb1 A2 a2 jb2
A1 A2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j (b1 b2 )
几何意义
+j
A1 A2
A1
A1 A2
e
j
1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
e
j
2
j
e
j
2
-j
eБайду номын сангаас
复数精品讲义
复数的引入<教师备案>（一）复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作《伟大的艺术》，在书中提出了三次方根的求根公式．同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为10时，积的最大值为25，故这样两个数一定不存在．从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程210400x x -+=的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解．卡丹给出答案：515+-与515--，但并不清楚这有什么意义． 于是引发了一个重要问题，1-是什么？ （二）复数与虚数．笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”，于是大家称1-为“虚数i”．莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间”．欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻”． （三）复数的意义引入1-后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的n 次方程都有根，且必有n 个根．（重根重复计算）一、复数的概念1．虚数单位i ：2i 1i 1=-=-，； 2．复数：所有形如i()a b a b +∈R ，的数就称为复数（complex number ），复数通常用小写字母z 表示，即z 的实部，z 的虚部．<教师备案>注意虚部是一个实数．如34i +3，虚部为4；的虚部为4-． 3．复数的分类：i z a b =+（a b ∈R ，） z 为实数（real number ）；z 为虚数（imaginary number ）；0a =，0b ≠时，z 称为纯虚数．<4i +是一个虚数，但不是一个纯虚数；i -是一个纯虚数．可以举例：若(1)(1)i z m m =++-，问z 是实数、虚数、纯虚数时，m 分别为多少？ z 是实数1m ⇔=；z 是虚数1m ⇔≠；z 是纯虚数1m ⇔=-．4．复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用C 表示，即{}|i z z a b a b ==+∈∈C R R ，，． <教师备案>常见数集的关系为：*N NZQRC ．数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合C R ，等．手写时有时习惯多加一道竖线加上区别．5．复数相等与比较大小：6.1 数系扩充知识点睛⑴相等的复数：i i a b c d +=+⇔a c =且b d =；⑵比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小．<教师备案> 注意：如果题目中出现12z z >，则一定有12z z ∈R ，；如果出现0z >，则一定有z ∈R ．复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的． 两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数．例：21(3)i z n m =+-，2(2)(3)i z m n m =-+-，若12z z >，求m n ，的取值范围．只有实数比较大小，故3m =，2232n m n n >-=-，解得1n >或3n <-．讲完这些知识点可以先讲例1．6．对所有的实系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠，若240b ac ∆=-<，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根24i 22b ac b x a a-=-±互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．（讲完这个知识点再讲例2）考点1：复数的概念【例1】 复数的概念⑴ x ∈R ，当x 取何值时，22(2)(32)i x x x x +-+-+是实数？虚数？纯虚数？⑵ 已知两个复数1()(4)i z x y xy =+-+()x y ∈R ，和2520i z =-+，当实数x y ，取何值时，1z 和2z 相等？【解析】 ⑴ 2320x x -+=时为实数1x ⇒=或者2x =；2320x x -+≠时为虚数1x ⇒≠且2x ≠；220x x +-=且2320x x -+≠时为纯虚数2x ⇒=-．⑵ 两个复数相等意味着实部和虚部都对应相等，所以： 5x y +=-，(4)20xy -+=解这个方程可得83x y =-⎧⎨=⎩或38x y =⎧⎨=-⎩．<教师备案>例2⑴是解实系数的一元二次方程；第⑵小题涉及到复系数的一元二次方程．易知实系数的一元二次方程与复系数的一元二次方程都有韦达定理成立，但实系数一元二次方程的判别式的相关结论对复系数的一元二次方程不正确．见易错门诊．解复系数的一元二次方程目前可以用的方法是设出解的形式，代入方程，利用复数相等得到两个等式，解得结果．这里先看一些最简单的情形，如例2⑵有实根存在的情形与易错门诊已知一根的情形．【例2】 解一元二次方程⑴ 在复数集内解方程：①2450x x ++=；②210x x ++=；③42230x x --=． ⑵ 若方程22i 1i x mx x m ++=--有实根，求出实数m 的值，并求出此实根．【解析】 ⑴ ①2(2)1x +=-，故2i x +=±，2i x =-±；②因为1430∆=-=-<，所以原方程没有实根，只有两复根：1211313i 2x -±∆-±-===-±，．③22(3)(1)0x x -+=，故23x =或21x =-，故此方程的根有3x =±与i x =±；经典精讲⑵方程有实根，x ∈R ，利用复数相等的定义有 22212112x mx x x x x m⎧+=-⇒-=-⇒=±⎨=-⎩；而22m x m =-⇒=， 即2m =-时，有实根1；2m =时，有实根1-．尖子班学案1【拓2】已知2i 0x kx +-=有一个根是i ，求另一个根及k 的值． 【解析】 因i 是其根，代入原方程为2i i i 0k +-=，由此得1i k =-，设0x 是另一根，则由根与系数的关系得0i i x =-，从而得01x =-．目标班学案1【拓3】解方程410x +=．【解析】 将方程变形得：4222120x x x ++-=，即222(1)(2)0x x +-=，因式分解得22(21)(21)0x x x x ++-+=，2210x x ++=无实根，两个虚根为22i2x -±=； 2210x x -+=无实根，两个虚根为22i2x ±=；故原方程的解有四个，为2(1i)2(1i)2(1i)2(1i)2222+--+--，，，．<教师备案>我们习惯用处理实系数一元二次方程的方法来处理复系数的一元二次方程，但复系数的一元二次方程有些结论是不成立的，比如判别式非负时有实根存在（见题2）；并且我们在解方程时，会默认未知数为实数，从而导致一些比较明显的错误（见引入），这些都是在解决复数问题中经常遇到的．引入：解方程23i 0x x +=，求x ． 【解析】 (3i)00x x x +=⇒=或3i x =-．关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 【解析】 误解：∵方程有实根，∴22(2i)4(1i)450a a a ∆=---=-≥．解得5a ≥或5a -≤． 分析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正解：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±．二、复数的几何意义知识点睛<教师备案> 如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考：实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应．如1表示数轴上一个点，1-表示数轴上另一个点，它们关于0对称，也可以理解成1绕着原点O 逆时针旋转180︒，得到1-，如图．这相当于两次逆时针旋转90︒：1i i 1⨯⨯=-，故虚数i 就是1绕原点逆时针旋转90︒，故i 在如图所求的位置，它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上．由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面．用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系． 这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义．1．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0．复数i z a b =+ ←−−→有序实数对()a b ， ←−−→点()Z a b ，←−−→向量OZ ． 2．复数的模：设i()OZ a b a b =+∈R ，，则向量OZ 的长度叫做复数i a b +的模（或绝对值），记作|i |a b +，22|i |a b a b +=+．【挑战五分钟】求下列复数的模①34i -=_____；②1i +=______；③13i 2--=_______；④26i +=_____． 答案：①5；②2；③1；④22．经典精讲考点2：复数的几何意义【例3】复数的几何意义⑴ 设(3)(21)i z m m =++-，若z 对应的点在第四象限，求m 的范围．⑵ 设i z a b =+∈C ，在复平面内，满足条件0a >，0b >，24z <<的复数z 对应的点的集合是什么图形？⑶ 在复平面内，点A ，点B 所对应的复数分别为2i -+，15i +，那么AB 的中点C 对应的复数为____________．【解析】 ⑴由题意知30210m m +>⎧⎨-<⎩，解得132m -<<．⑵ 0a >，0b >表示第一象限的点，24z <<表示以原点O 半径为2和4的两圆所夹的圆环，综合起来是如右图所示的阴影部分（不包括边界）． ⑶ 13i 2-+；点A 的平面直角坐标是(21)-，，点B 的平面直角坐标是(15)，，中点C 的坐标是132⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以C 所对应的复数为13i 2-+． 【点评】 学习复数加减法的几何意义之后，111()(2i 15i)3i 222C A B z z z =+=-+++=-+．提高班学案1【拓1】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【解析】 D ；2222(1)10t t t -+=-+≠．数系扩充的历史<教师备案> 考虑到复数的引入时间较长，所以数系的扩充可以讲完上面这些例题再讲．数系的扩充中有很多生动的例子与故事，下面的文字中会陈述其中的一部分供老师上课时参考．（一）正整数人类最早认识的是正整数．中国的《周易》中就有结绳记事的说法，而结绳计事不仅在中国，也在希腊、波斯等各地出现，从结绳计数（事）慢慢发展出各种不同的计数方法，其中最重要和最美妙的记数法是十进制位置制计数法．（除了十进制外还有很多其它进制，如计算机中的二进制，角度中的60进制（巴比伦人曾经就用60进制位置定位数系）；除了位置制计数法也还其它计数方法，如古埃及的象形文字中有10进制非位置计数，罗马数字中的含加减运算的计数方法，也许这在法语中还在延续，在法语中79就是60109++，80就是420⨯，99用得上三则运算了，是420109⨯++，心算不好的千万别学法语！） （二）0的诞生0一开始是用空位表示的，后来用点⋅，再后来用句点，最后才成为0，是从印度诞生的，通过阿拉伯在13世纪引入欧洲（这是斐波那契的功劳，由于数字是从阿拉伯引入欧洲的，故被称为阿拉伯数字，虽然是由印度人发明的）．0的书写方法正好对应中文的“零”．（汉字中很早就有零，在《孙子算经》中有除百零伍便得之．但汉字中的零原义是加法，并不是真正的零）． （三）负数42y O x负数来源自减法运算，解出负数根．欧洲在16-17世纪普遍不承认负数的存在，包括帕斯卡、莱布尼兹、卡丹（认为仅仅是记号）、韦达、笛卡尔（负根叫做假根）．最开始的负数被认为没有意义，仅可以作为一个符号出现，但不能在结果中出现．负数比分数出现的更晚． （四）分数欧洲15世纪形成分数的真正算法，中国在春秋时期（公元前770年-前476年）就有了分数运算的法则．《九章算术》章一：方田，分数加法“田以乘子，并以为实，田相乘为法，实如法而一”，“其田同有，直相从之”．其中田指分母，子指分子． 分数系对加、乘、除封闭，有了负数与分数，有理数系就形成了． （五）无理数无理数的发现与毕达哥拉斯学派以及第一次数学危机有关．毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这个数最开始是最完美的整数，后来扩展成整数及整数之间的比，即分数．但毕达哥拉斯学派推出了著名的毕达哥拉斯定理，即中国的勾股定理，于是无理数的出现不可阻挡．比如边长为1的等腰直角三角形的斜边长无法表示成两个整数的比． 我们会在证明题三大方法中用反证法证明这个结论． 无理数的被承认也经过了很长的时间，毕达哥拉斯学派弟子希伯斯也因为发现或是传播无理数藏身大海，这也是“无理数”这个名字的由来．达芬奇（15世纪，意大利）称为“没有道理的数”、开普勒（17世纪，德国）说“不可名状的数”．在中国称无理数为算而不求其本质．有了无理数实数系就形成了． （六）复数系——完备的数系的形成复数系对加、减、乘、除是封闭的，对加法与乘法都满足交换律与结合律，加法与乘法之间满足分配律，满足这些性质的称为数系．到复数系，数系就完备了．想再将数系进行扩充，就会牺牲一些数系中的好的性质．三、复数的运算<教师备案>复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可．讲完运算可以接着做后面的练习．1．复数的加法定义：设1i z a b =+()a b ∈R ，，2i z c d =+()c d ∈R ，，定义12()()i z z a c b d +=+++．复数的加法运算满足交换律、结合律．几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-．几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 3定义：(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++ 4．共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z i z a b =+时，i z a b =-．z z =．共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等．一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即2z z z ⋅=．<教师备案>“轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对．通俗点说就是孪生．知识点睛有共轭双曲线的概念，22221x y a b -=与22221y x b a-=称为共轭双曲线，它们共渐近线．引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用2z z z ⋅=．复数的除法就是上下同乘分母的共轭复数．<教师备案>讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解．例：在下列命题中，正确命题的有______．①对任意复数z ，有z z -为纯虚数．②对任意复数z ，有z z +∈R ．③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④z ∈R 的一个充要条件是z z =．答案：②④；①错误，z z -可以为0；③错误，z 为实数时，也有z z +∈R ．5．复数的除法22i (i)(i)(i)(i)i a b a b c d a b c d c d c d ++-+÷+==++， 22211i i i (i)(i)||a b a b z z a b a b a b a b z --====++-+，1z称为复数z （0z ≠）的倒数． <教师备案> 复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，i n 与k ω的性质及与此相关的较复杂的复数的计算．复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来，如1i +表示模长为2，角度为45︒（称为幅角）的向量，一个复数乘以1i +即表示这个复数逆时针旋转45︒，模长再伸长到原来的2倍，如 (34i)(1i)17i ++=-+，如下图．这样(1i)(1i)2i ++=就非常好理解了． 这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在假期有同学发问时适当引导，但不建议假期时展开．【挑战十分钟】计算下列各小题：⑴(32i)2(1i)(5i 1)--+++；⑵2(1i)-；⑶(2i)(3i)+-；⑷(34i)(43i)+-；⑸1i i +；⑹1i 1i -+；⑺43i 43i43i 43i -+++-；⑻2(1i)3(1i)2i ++-+；⑼213i ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】 ⑴2i +；⑵2i -；⑶7i +；⑷247i +；⑸1i -；⑹i -；⑺1425；⑻2i 33i 3i (3i)(2i)55i 1i 2i 2i 55+-----====-++； ⑼213i 223i 13i 3i ⎛⎫-----===-+ ⎪ ⎪⎝⎭．经典精讲考点3：复数的运算【铺垫】⑴已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．⑵已知复数z 满足1i 1zz-=+，则1z +等于______．【解析】 ⑴1-；注意a 是实数，复数为纯虚数，则实部为0，22(i)12i 2i a a a -=--=，则21a =且221a a =-⇒=-；⑵2；1i1i(1)i i i 1iz z z z --=+=+⇒==-+，故11i 2z +=-=．【例4】 复数的运算⑴ 设复数11i z =+，22i z x =+()x ∈R ，若12z z 为实数，则x 等于 ．⑵ 若复数3i()12ia a +∈+R 为纯虚数，则实数a =_____．⑶如果复数2i12ib z -=+的实部与虚部互为相反数，则3zz z z ++=_______．【解析】⑴ 2-； 复数为实数，虚部为0，而()()()()121i 2i 22i z z x x x =++=-++，所以20x +=，2x =-．⑵6-；3i (3i)(12i)(6)(32)i12i 55a a a a ++-++-==+为纯虚数，故606a a +=⇒=-； ⑶4；2i 12i b -+(2i)(12i)(12i)(12i)b --=+-224i 55b b -+=-，又实部与虚部互为相反数，即22455b b -+=， 解得23b =-，故2(1i)3z =-，2(1i)3z =+，222233(1i)(1i)(1i)(1i)3333zz z z ++=⋅⋅-++-++84433=+=．提高班学案2【拓1】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数） 【解析】 由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：(1i)2(1i)a b ++-[]22(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()22a =+44(2)i a -++则()222424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎪⎨-=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．尖子班学案2【拓2】已知221i 1z x x =++22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【解析】 ∵12z z >，∴42221()x x x a ++>+，∴22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．证明：分成直接证明与间接证明，直接证明的主要方法有综合法与分析法，间接证明主要是反证法． ⑴ 直接证明：①综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理出发，经过逐步推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法；②分析法：最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法．<教师备案>在书写过程中用得比较多．比较复杂的问题往往需要同时从条件与结论入手，同时使用综合法与分析法得到结果．讲完直接证明可以先讲例题5及其拓展．⑵ 间接证明：常用的有反证法．反证法：先否定结论（假设原命题不成立），在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，说明假设错误，从而肯定结论的真实性．事实、原命题中的已知条件矛盾等．<教师备案>反证法是由p q ⇒转向证明：q r t ⌝⇒⇒⇒，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q ⌝为假，推出为真的方法．它的本质是：结论不成立是不行的！基础的二元论——非真即假． 考虑使用反证法的情况有： ①条件太少；②一些典型的问题，包括否定性命题，唯一性命题，必然性命题，至少至多类命题，涉及无限结论的命题等．<教师备案>反证法首先需要正确的进行反设．例：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）A ．假设三个内角都大于60︒B ．假设三个内角都不大于60︒C ．假设三个内角至多有一个大于60︒D ．假设三个内角至多有两个大于60︒ 答案：A ．<教师备案>反证法的小例子：①伽利略在比萨斜塔上扔铁球，推翻亚里士多德的理论（即物体下落速度和重量成比例的学说，据传说是在1589年，实际上是假的） ②线面平行的判定定理和性质定理的证明． （判定定理：a b a b a ααα⊄⊂⇒∥，，∥． 简单证明：如果a 与α不平行，则a A α=；a b ，确定平面β，则b α⊂，b β⊂，A A αβ⊂⊂，，于是A b ∈，从而a b A =，这与条件中a b ∥矛盾．性质定理的证明即假设线线不平行，则线线相交，从而线面相交，与已知矛盾，具体略去） ③证明质数有无限多个．（古希腊经典证明，欧几里得《几何原本》的命题20，原文“预先给定几个质数，那么有比它们更多的质数．”）简单证明：如果结论不成立，即质数只有有限多个，记为12n p p p ，，，，则121n N p p p =⋅⋅+不是质数，故它一定有质因子，即存在某个i p ，i N p M =⋅，即12i i 12i 1i 11()1n n p p p p M p M p p p p p -+⋅⋅+=⇒-⋅=，这不可能．6.2 证明题三大方法知识点睛故假设错误，即质数有无穷多个． ④证明2是无理数．简单证明：如果结论不成立，即2是有理数，则∃m n ∈Z ，，m n ，互素，使得2mn=， 故2m n =，两边平方得222m n =．从而2是m 的因子，从而4是2m 的因子，故2是2n 的因子，故m n ，有公因子2，它与m n ，互素矛盾．上面这些例子可以选讲，讲完这些例子后，可以接着讲后面的例6及拓展．考点4：分析法与综合法【例5】分析法与综合法 已知a b c ∈R ，，，0a b c ++=， ⑴求证：0ab bc ac ++≤．⑵若0abc >，求证：1110a b c++<．⑶若a b c >>，求证：0a >，且2ca>-；⑷若a b c >>，求证：23b ac-<．【解析】 ⑴由0a b c ++=得a b c =--；∴()()()ab bc ac a b c bc b c b c bc ++=++=--++22223024c b bc c b c ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭≤．⑵111bc ac ab a b c abc++++=， 由⑴知0ab bc ac ++≤，当且仅当002cc b =+=，，即0a b c ===时取等号，∵0abc >，故等号取不到，即0ab bc ac ++<，又∵0abc >，∴1110bc ac aba b c abc++++=<．⑶ ∵a b c >>，所以30a a b c >++=，即0a >； 又∵b a c =--，a b >，所以a a c >--，所以2a c >-，又0a >，所以2c a >-，所以2ca>-．⑷法一：分析法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立． 法二：综合法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，22221324b ac a ac c c a -++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 而1012c b c b a a a a ++=⇒=-->-，又0ca<， 经典精讲11故(20)c a ∈-，，故213324c a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭提高班学案3【拓1】已知：00a b >>，【解析】 法一：综合法∵00a b >>，，=+法二：分析法∵00a b >>，，移项整理得即证明(0a b -≥，即证明20≥， 这显然成立，故原不等式得证．目标班学案2【拓3】求证：223)a b ab a b +++≥． 【解析】 法一：∵2222a b ab ab +≥≥，23a +≥≥，23b +≥≥，将此三式相加得222(3)2a b ab ++++≥∴223)a b ab a b +++≥． 法二：要证223)a b ab a b ++++≥，即证222[3)]0a b ab a b ++-+≥，左边可以写成：222()((0a b a b -++≥，此不等式显然成立，且在a b == 法三：把原式视作关于变量a的不等式，即证：(()2230a b a b -++≥；①那么该不等式恒成立等价于其判别式(()22430b b ∆=+-+≤恒成立；整理∆得(223930b b ∆=-+-=-≤恒成立，所以不等式①即原不等式成立．考点5：反证法【铺垫】已知a b c d ∈R ，，，，且1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证：a b c d ，，，中至少有一个是负数．【解析】 假设a b c d ，，，都是非负数，∵1a b c d +=+=，∴()()1a b c d ++=．又∵()()1a b c d ac bd ad bc ac bd ++=++++>≥，即11>，矛盾； ∴a b c d ，，，中至少有一个是负数．12第6讲·提高-尖子-目标·教师版【例6】 反证法已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：111a b c，，不可能是等差数列．【解析】 假设111a b c ，，是等差数列，则211b a c=+，又2b a c =+，两式联立消去b 得411a c a c =++，化简得：2()0a c -=，故a c =，这与0d ≠矛盾，故111a b c，，不可能是等差数列．【点评】 本题结论还可以推广：a b c ，，与111a b c，，均不可能构成等比数列．尖子班学案3【拓2】证明：238，，不可能是同一等差数列中的三项．【解析】 假设结论不成立，即存在一个等差数列{}n a ，公差为d ，使得238，，是其中三项，不妨记12(1)k a a k d ==+-，13(1)m a a m d ==+-，18(1)n a a n d ==+-． 于是32()m k a a m k d -=-=-，83()n m a a n m d -=-=-， 将这两个式子相除得83(223)(32)1632m k n m --==-+=+--， 由*m n k ∈N ，，知m kn m-∈-Q ，故16+∈Q ，这不可能，故假设错误，238，，不可能是同一等差数列中的三项．目标班学案3 【拓3】实数a b c ，，满足000a b c ab bc ac abc ++>++>>，，，求证：a b c ，，均大于零． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，中存在不大于零的数，不妨设0a ≤，由0abc >知，0a <，且0bc <，不妨设00b c <>，， 由0a b c ++>知0c a b >-->，0a b +<．于是22()()()ab bc ac ab a b c ab a b a b a ab b ++=++<++--=---223024b a b ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，这与已知中0ab bc ac ++>矛盾，故假设不正确，即a b c ，，均大于零．【演练1】已知(32)(5)i 1910i a b a b ++-=+()a b ∈R ，，则a = ，b = ． 【解析】 35，；32193510a b a a b +=⎧⇒=⎨-=⎩，5b =．【演练2】若3i z =-，则2z 的共轭复数是 ．【解析】223i +； 22(3i)223i z =-=-，2223i z =+．实战演练13【演练3】实数m 分别取什么数值时？复数22(56)(215)i z m m m m =+++--⑴ 与复数212i -相等；⑵ 与复数1216i +互为共轭；⑶ 对应的点在x 轴上方．【解析】 ⑴ 根据复数相等的充要条件得2256221512m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =-．⑵ 根据共轭复数的定义得22561221516m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =．⑶ 根据复数z 对应点在x 轴上方可得22150m m -->，解之得3m <-或5m >． ∴(3)(5)m ∈-∞-+∞，，．【演练4】若复数3i1ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．3- D ．6【解析】 C由3i (3i)(1i)3(3)i 33i 1i (1i)(1i)222a a a a a a ++-++-+-===+++-． 因为复数3i 1i a ++是纯虚数，所以302a +=且302a-≠．解得3a =-．【演练5】若1x <，1y <，证明：11x yxy-<-． 【解析】 用分析法证明：要证明11x yxy-<-，即证明1x y xy -<-，即证明2222212x y xy xy x y +-<-+， 不等式移项得即证明2222221(1)(1)0x y x y x y +--=-->． 由11x y <<，知，2211x y <<，，故此不等式成立，原命题得证．【演练6】已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：a b c ，，不可能是等比数列． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，构成等比数列，则2b ac =．又2b a c =+，故222a c b ac +⎛⎫== ⎪⎝⎭，整理得：2()0a c -=，故a c b ==，这与已知中的公差0d ≠矛盾，故假设不成立，所以a b c ，，不可能是等比数列．。
复数的公开课课件
复数扩展了实数的概念，使得我们能够 处理更广泛的数学和物理问题。
复数的定义及表示法
复数的定义
复数的表示法
复数是形如 a + bi 的数，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
复数可以用直角坐标形式和极坐 标形式表示，每种表示法都有其 独特的优势和应用。
复数平面
我们可以将复数在平面直角坐标 系中表示，实部对应 x 轴，虚部 对应 y 轴，每个复数对应一个唯 一的点。
欧拉公式的形式
欧拉公式是 e^(iθ) + 1 = 0，连接 了五个重要的数学常数。
欧拉公式的意义
欧拉公式将指数形式的复数与三 角函数联系起来，并在复平面上 形成了美丽的图形。
欧拉公式的应用
欧拉公式在数学和物理中广泛应 用，包括信号处理、波动理论和 量子力学等方面。
欢迎你加入复数之旅
复数的几何意义
加、减、乘、除复数的运算
加法
复数的加法是将实部 和虚部分别相加，得 到一个新的复数。
减法
复数的减法是将实部 和虚部分别相减，得 到一个新的复数。
乘法
复数的乘法是根据公 式 (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i 进行计算。
除法
复数的除法是根据公 式 (a+bi)/(c+di) = ((ac+bd)/(c²+d²))+((bcad)/(c²+d²))i 进行计算。
复数可以表示平面上的点和向 量，它们在几何学中有着重要 的应用。
三角函数中的复数
三角函数中的复数可以帮助我 们计算角度的正弦、余弦和正 切值。
复数的应用
复数在许多领域中都有重要的 应用，包括电路、信号处理和 量子力学。
复数(讲义+习题)
复数一、复数的有关概念1、复数的概念形如a+bi(a,b ∈R)的数叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数.2、复数相等：a+bi=c+di a=c 且b=d(a,b,c,d ∈R).3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭a=c ，b=-d(a,b,c,d ∈R).4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是3,62i i ++也没有大小。
二、复数的几何意义 1、复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数. 2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi 复平面内的点Z （a,b ）(a,b ∈R); （2）复数z=a+bi 平面向量),(b a z =（a,b ∈R ）. 3、复数的模向量),(b a z =的模r 叫做复数z=a+bi 的模，记|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=22b a +.积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅ ，（2）()112220z z zz z =≠三、复数的运算1、复数的加、减、乘、除运算法则 设),,,(,21R d c b a dic z bi a z ∈+=+=,则（1）加法：id b c a z z )()(21+++=+（2）减法：i d b c a z z )()(21-+-=-（3）乘法：i bc ad bd ac z z )()(21++-=∙（4）除法：di c bi a z z ++=21=))(())((di c di c di c bi a -+-+=22)()(d c i ad bc bd ac +-++=22d c bd ac +++i d c ad bc 22+- 2、复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即Cz z ∈∀21,，有)()(,3213211221z z z z z z z z z z ++=+++=+注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小.3、复数的常见运算（1）i i i i i in n n n-=-===+++3424144,1,,1（2）i i 2)1(2=+ （3）i ii=-+11例题一、复数概念1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ． 3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．1-或14．已知复数12z i =-，那么1z=（ ）． A ．52555+i B ．52555i - C ．1255i + D ．1255i - 5．设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz等于 （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i6.若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为A.1B.2C.1或2D.-17．对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．48．已知复数z 与 (z +2)2－8i 均是纯虚数，则 z = ____________． 9.若2z =且1-=+z i z ，则复数z =二、复数相等 1．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ）． A ．－15B ．－3C ．3D ．152．若21a bi i =+-（i 为虚数单位，,a b R ∈ ）则a b +=_________． 3．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ）． A ．1+2i B ． 1-2i C ．2+i D ．2- i 三、复数计算 1．复数31ii--等于（ ）． A ．i 21+ B ．12i -C ．2i +D ．2i -2．已知复数z 满足（3＋3i ）z ＝3i ，则z=（ ）．A ．3322i － B. 3344i － C. 3322i ＋ D.3344i ＋ 3．复数32322323i ii i+--=-+（ ）． A ．0B ．2C ．－2iD ．24．复数2(12)34i i+-的值是（ ）．A ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－i Ｄ．i5．设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ）． A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i +四、其他题型1．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为（ ）．A ．4,5p q =-=B ．4,5p q ==C ．4,5p q ==-D ．4,5p q =-=- 2．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 3．若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是（ ）．A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π课下作业一．选择题： 1．在复平面内，复数i i+-12对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2.设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-3.设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =4.复数()221i i +=( )A ．4-B ．4C ．4i -D ．4i 5.复数32(1)i i +=（ ）A ．2B ．－2C ．2i D ． 2i -6.设211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 。
复变函数第一章讲义
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。
复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。
1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题,即求方程(10)40x x -=的根。
他求出形式的根为55，积为25(15)40--=。
但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因而复数在历史上长期不能为人们所接受。
“虚数"这一名词就恰好反映了这一点。
直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅,L Euler ⋅等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义,建立了系统的复数理论,从而使人们缍接受并理解了复数。
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。
到本世纪,复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中,复数函数论都有着重要应用。
第一章 复数与复变函数教学重点： 复变函数的极限和连续性 教学难点： 复平面上点集的n 个概念教学基本要求:1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算 ２、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域 ４、理解复变函数、极限与连续§１复数1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数,称为复数,其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位.两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y ⇔==.虚部为零的复数可看作实数。
因此，全体实数是全体复数的一部分.x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+．复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+ 1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。
复数讲义绝对经典
一、复数的概念1. 虚数单位i ：(1) 它的平方等于一1,即/2=-1;(2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3) i 与一 1的关系：，就是一1的一个平方根，即方程%2=-1的一个根，方程+=-1的另一个根是，(4) i 的周期性：'实数 a (b = 0)'纯虚数bi(a=0)非纯虚数“ + M (心0)3. 复数的泄义:形如a + bi(a.beR)的数叫复数，a 叫复数的实部，〃叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做 复数集，用字母C 表示4. 复数的代数形式：通常用字母z 表示，^z = a + bi(a.beR),把复数表示成a + bi 的形式，叫做复数的代数形式.5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a + bi(a,beR) »当且仅当b = 0时，复数a + hi(a,beR)是实数d:当"工0时，复数 z = a+ bi 叫做虚数；当“ =0且"0时，z = bi 叫做纯虚数；当且仅当a = b = 0时，z 就是实数0 '已正实数丄—2T 是实数心：上二实数0空负实数[■纯虚数桥兰舄是虚数”旳•硬R )H 非纯虚数的虚数6. 复数集与英它数集之间的关系：NCZCQCRCC7. 两个复数相等的泄义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果"，“」，〃，c » t/eR,另E 么 “ + bi =c +Ji O a =c , b = d二、复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：复数•4K +!2.数系的扩充:复数z = a + bi(a,beR)与有序实数对(“，b)是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z的横坐标是"，纵坐标是复数z = a + bi(a t beR)可用点Z (“，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫髙斯平而，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2..对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确左的复数是z =0+0i =0表不是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数Z = d+仞—复平面内的点Z(“，历这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.三、复数的四则运算1.复数Z］与％的和的龙义：Z)+ z, = (“ + bi) + (c + di)= (“ + c) + (b+d)i2.复数©与G的差的圧义：Z)- z2 = (“ + bi)-(c + Ji)= (“ _c) + (b_d)i3.复数的加法运算满足交换律:勺+ % =勺+ z,4.复数的加法运算满足结合律:忆+z2) + z i = z l +(z2 +z3)5.乘法运算规则：设Zj=a + 〃i，Z2=c + di(a、b、c、dwR)是任意两个复数，那么它们的积Z|Z2 =(<z+/?i)(c +Ji) = (</<?- bd )4-(be + ad) i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把产换成一1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.6.乘法运算律：⑴勺亿叩=(孕2比(2)(z1-z2)-z3=z l-(z2・Zs)(3)zjzj +z3) = 2^2 +ZjZ37.复数除法泄义：满足(c + Ji)(x+yi) = G/ + M )的复数x + yi(x. ywR)叫复数a + bi除以复数c +加的商，记为：(“ + bi) -(c + J/)或者 '：_ 第8. 除法运算规则：设复数 a+bi (a . /?eR)i 除以 c + di (c ,其商为 x + yi (x 、ywR),即(a + bi)-<-(c +Ji) = x + yi T (A + y/)(c + di) = [ex 一dy) + (dx + cy)i/. (cr-i/y) + ((Ar + c7)i = “ + bi② 利用（C + di ）（「di ） = c2+d2于是将靑的分母有理化得:“ + bi _ (a + bi)(c-ch) _ [ac + bi (-ch)] + (be 一ad)\ c + di (c + di)(c 一 Ji) c 2 + d 2 (ac + hd) + (be 一 cul )i ac + bd be 一ad . c 2 +d 2 1 • 〃 F ・、/ ac + bd he — ad .• •((d +加)十(c + 〃i)=点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式吋，都是釆用的分母有理化思想方法,而复数c + di 与复数c-di 9相当于我们初中学习的妇+JT 的对偶式-迈，它们之积为1是有理数，而（〈・ + /）（（•-也）=卞+〃2是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法.9. 共轨复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轨复数。
复数讲义绝对经典)
复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-，43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘 7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义： 2． 复数1z 与2z 的差的定义：3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b-=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ady c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c dc d+-=+++ ②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++． ∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc dc d+-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的-1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
1 第05讲 复数
第05讲 复数1、复数的概念我们把形如,,a bi a b R +∈的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,满足21i =-.全体复数所构成的集合{|,}C a bi a b R =+∈叫做复数集.复数的表示:复数通常用字母z 表示,即,,z a bi a b R =+∈,其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部. 2、复数相等在复数集{|,}C a bi a b R =+∈中任取两个数a bi +，c di +，（,,,a b c d R ∈），我们规定a c a bi c dib d =⎧+=+⇔⎨=⎩.3、复数的分类对于复数a bi +(,a b R ∈),当且仅当0b =时,它是实数；当且仅当0a b ==时,它是实数0；当0b ≠时,它叫做虚数；当0a =且0b ≠时,它叫做纯虚数.这样,复数z a bi =+(,a b R ∈)可以分类如下:0)000b a b a =⎧⎪=⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数（复数纯虚数()虚数（）非纯虚数（）4、复数的几何意义（1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数z a bi =+(,a b R ∈)复平面内的点(,)Z a b（2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数z a bi =+(,a b R ∈)平面向量(,)OZ a b = 5、复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+,a b R ∈)的模，记为||z 或||a bi +公式：22||||z a bi a b =+=+，其中,a b R ∈复数模的几何意义：复数z a bi =+在复平面上对应的点(,)Z a b 到原点的距离； 特别的，0b =时，复数z a bi =+是一个实数，它的模就等于||a (a 的绝对值). 6、共轭复数 （1）定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.第一部分：知识点（2）表示方法表示方法：复数z 的共轭复数用z 表示，即如果z a bi =+，则z a bi =-. 7、复数代数形式的加法（减法）运算 （1）复数的加法法则设1i z a b =+，2i z c d =+，（,,,a b c d R ∈）是任意两个复数，那么它们的和：12(i)(i)()()i z z a b c d a c c d +=+++=+++显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：()()c di x yi a bi +++=+的复数x yi +叫做复数a bi +减去复数c di +的差，记作()()a bi c di +-+注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. 8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式一般地，任何一个复数i z a b =+都可以表示成(cos isin )r θθ+的形式.其中r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数i z a b =+的辐角.(cos isin )r θθ+叫做复数i z a b =+的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，i a b +叫做复数的代数表示式，简称代数形式.注意：复数三角形式的特点口诀： “模非负，角相同，余弦前，加号连” （2）复数的俯角任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在02θ≤<π范围内的辐角θ的值为辐角的主值. 通常记作arg z ，即0arg 2z ≤<π. （3）复数代数形式和三角形式的互化复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模；②决定辐角所在的象限；③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． （4）三角形式下复数的相等两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 9、复数三角形式的乘法设1z ，2z 的三角形式分别是：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z r r i θθθθ=+++简记为 ：模数相乘，幅角相加 10、复数三角形式的除法设()1111cos isin z r θθ=+，()2222cos isin z r θθ+=，且12z z ≠， 因为()()()()122212121112cos isin cos isin cos isin r r r r θθθθθθθθ+⋅-+-=+⎡⎤⎣⎦， 所以根据复数除法的定义，有()()()()111112122222cos isin cos isin cos isin r r r r θθθθθθθθ+=-+-⎡⎤⎣⎦+. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为 ：模数相除，幅角相减一、判断题1．对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，若0b =，则z 是实数；若0b ≠，则z 是纯虚数( ) 2．34i +的实部等于3，虚部等于4i( ) 3．自然数是有理数，但不是复数( ) 二、单选题1．复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则i z ⋅=（ ） A ．2i -+ B ．2i + C ．2i --D ．2i -2．复数()1i z m m m =+-∈R ，且z 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的值可以为（ ） A ．2 B ．2-C ．1-D ．03．设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．已知i 为虚数单位，若复数1z =-，则z =（ ）A ．2B ．2C ．4D ．85．设i 为虚数单位，复数12i +与34i +在复平面内分别对应向量OA 与OB ，则AB =（ ） A ．2B ．22C ．4D ．8高频考点一：复数的概念1．z 是复数z 的共轭复数，若()()3498i z z z z ++-=+，则12z -=（ ） A ．22B ．2C ．22D ．322．已知i 是虚数单位，复数z 满足42i12i z-+=，则z 的实部为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．23．若复数2021i 1iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1i 2B ．z 在复平面内对应的点在第四象限C ．2z =D ．z 的共轭复数为1i2- 4．已知复数z 满足()12i 34i z -=+ （其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．1B ．iC ．2D ．2i5．设1z ，2z 是复数，给出下列四个说法：①2180z +>；②若12z z >，则120z z ->；③若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅；④若12=z z ，则12=±z z ．其中所有正确说法的序号是______．6．以下四个关于复数的结论：①任意两个复数不能比大小；②20z z ∈⇒≥C ；③12120z z z z ->⇒>；④复数()i i ,,,a b c d a b c d R a c +=+∈⇒=且b d =________.高频考点二：复数的几何意义1．复数z 满足20222021i i2iz -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知i 为虚数单位，且013i12iz -=+，复数z 满足01z z -=，则复数z 对应点的轨迹方程为（ ） A ．()()22114x y -++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22111x y +++=D ．()()22111x y -+-=第三部分：例题剖析3．如图所示，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则45iz=-（ ） A ．143i 4141-+ B ．143i 4141+ C ．143i 4141- D ．143i 4141-- 4．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1-，则12z z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --5．在复平面xOy 内，复数1z ，2z 所对应的点分别为1Z ，2Z ，给出下列四个式子：①2211z z =；②1212z z z z ⋅=⋅；③2211=OZ OZ ；④1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅．其中恒成立的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知点()2,1A -，()1,2B ，()0,0O ，复数1z ，2z 在复平面内对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z ⋅=（ ） A ．3iB ．34i +C ．43i +D ．43i -7．若复数z 满足|1i |z -+≤i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点构成的图形的面积为________． 8．设m R ∈，若复数()()1i i m n ++在复平面对应的点位于实轴上，则23213log 34m mn m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的取值范围______.高频考点三：待定系数求复数z1．已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+2．设2()3()46i z z z z +--=+，则z =（ ） A ．12i + B ．12i - C ．1i +D ．1i -3．已知复数z 的共轭复数是z ，若21i z z -=-，则||z =（） A ．1BCD 4．已知复数z 满足i 2z -=，z 为z 的共轭复数，则z z ⋅的最大值为（ ） A ．1B ．4C ．9D ．165．已知复数z 满足i 1z -=，复数z 的共轭复数为z ，则z 的最大值为（ ） A ．1B ．2C．3D ．4高频考点四：复数的四则运算1．复数()1i z =，则z =（）A ．4B．C ．3D ．2．i 为虚数单位，复数z 满足2022(2i)i -=z ，则下列说法正确的是（ ）A ．15z =B ．21i 55=--zC ．z 的虚部为－1i 5D ．z 在复平面内对应的点在第三象限3．若复数2022|34i |i 34i z +=+-，则z 的虚部为（ ） A ．45-B ．45C ．2i 5-D ．2i 54．已知32i13i z+=-+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -6．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 7．在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______．①22z z =； ②若120z z ->，则12z z >；③若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==； ④12z z -=⑤2212z z =，则1122z z z z ⋅=⋅； ⑥2212122z z z z ≤+；⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若i i z z +=-，则z 必为实数．8．对任意复数1w .2w ,定义1212w w w w *=,其中2w 是2w 的共轭复数.对任意复数1z .2z .3z ,有如下四个命题： ①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*；②()()()1231213z z z z z z z *+=*+*；③()()123123z z z z z z **=**； ④1221z z z z =**.则真命题是________（填写命题的序号）1．若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4 B ．2 C ．-2 D ．-42．复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 4．已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i - B ．42i -C ．62i +D ．42i +5．已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i -- B ．312i -+ C ．32i -+D ．32i --6．设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i - 7．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （ ）A ．1- B ．1C ．3-D ．38．i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________．一、单选题1．已知()231i 24i z +=+，则z =（ ）A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +2．若复数z 满足(34i)1i z -=-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ）A ．7i 55--B ．7i 55-+C ．7i 2525-- D ．7i 2525-+ 3．若复数()2100(10)i z x x =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．100D ．10-或104．若复数z 满足(1i)2i z +=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知复数z 满足条件62i z z z ⋅+=+，则z =（ ）A B ．C D 6．在复平面内，O 是原点．向量OA 对应的复数为12，其中i 为虚数单位，若点A 关于虚轴的对称点为B ，则向量OB 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．12B ．12-C ．12-+D ．12-7．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．98．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．若1z =，则1z =±或i z =± B ．若11z +=，则点Z 的集合为以()1,0为圆心，1为半径的圆 C ．若1z ≤，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π D ．若1i z z -=+，则点Z 的集合中有且只有两个元素 二、填空题9．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z为实数，则=a ________．10．已知复数z 为纯虚数，若(2i)6i z a -=-（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为______． 11．下列说法正确的序号为______． ①若复数3i z =+，则13i1010z =-； ②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；③已知复数1z ，2z ，若12z z >，则1z ，2z 均为实数； ④复数3i 1z =-+的虚部是1．12．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：4z z +=；乙：3z z ⋅=；丙：25z z z =，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =______．三、解答题13．（1）已知复数z 在复平面内对应的点在第二象限，2z =，且2z z +=-，求z ； （2）已知复数()()2212i 32i 1im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.14．已知复数()()()22232i R z m m m m m =--++-∈，． (1)若0z >，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z z ⋅的值．15．已知复数64i1im z -=+（,i m ∈R 是虚数单位）． (1)若z 是实数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m 的取值范围．16．设复数1z 、2z 满足12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=. (1)若1z 、2z 满足212i z z -=，求1z 、2z ；(2)若1z =k ，使得等式2|4i |z k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.第05讲 复数1、复数的概念我们把形如,,a bi a b R +∈的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,满足21i =-.全体复数所构成的集合{|,}C a bi a b R =+∈叫做复数集.复数的表示:复数通常用字母z 表示,即,,z a bi a b R =+∈,其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部. 2、复数相等在复数集{|,}C a bi a b R =+∈中任取两个数a bi +，c di +，（,,,a b c d R ∈），我们规定a ca bi c dib d=⎧+=+⇔⎨=⎩.3、复数的分类对于复数a bi +(,a b R ∈),当且仅当0b =时,它是实数；当且仅当0a b ==时,它是实数0；当0b ≠时,它叫做虚数；当0a =且0b ≠时,它叫做纯虚数.这样,复数z a bi =+(,a b R ∈)可以分类如下:0)000b a b a =⎧⎪=⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数（复数纯虚数()虚数（）非纯虚数（）4、复数的几何意义（1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数z a bi =+(,a b R ∈)复平面内的点(,)Z a b（2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数z a bi =+(,a b R ∈)平面向量(,)OZ a b = 5、复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+,a b R ∈)的模，记为||z 或||a bi +公式：22||||z a bi a b =+=+，其中,a b R ∈复数模的几何意义：复数z a bi =+在复平面上对应的点(,)Z a b 到原点的距离； 特别的，0b =时，复数z a bi =+是一个实数，它的模就等于||a (a 的绝对值). 6、共轭复数 （1）定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法表示方法：复数z 的共轭复数用z 表示，即如果z a bi =+，则z a bi =-. 7、复数代数形式的加法（减法）运算 （1）复数的加法法则设1i z a b =+，2i z c d =+，（,,,a b c d R ∈）是任意两个复数，那么它们的和：12(i)(i)()()i z z a b c d a c c d +=+++=+++显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：()()c di x yi a bi +++=+的复数x yi +叫做复数a bi +减去复数c di +的差，记作()()a bi c di +-+注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. 8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式一般地，任何一个复数i z a b =+都可以表示成(cos isin )r θθ+的形式.其中r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数i z a b =+的辐角.(cos isin )r θθ+叫做复数i z a b =+的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，i a b +叫做复数的代数表示式，简称代数形式.注意：复数三角形式的特点口诀： “模非负，角相同，余弦前，加号连” （2）复数的俯角任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在02θ≤<π范围内的辐角θ的值为辐角的主值. 通常记作arg z ，即0arg 2z ≤<π. （3）复数代数形式和三角形式的互化复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模； ②决定辐角所在的象限；③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． （4）三角形式下复数的相等两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 9、复数三角形式的乘法设1z ，2z 的三角形式分别是：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z r r i θθθθ=+++简记为 ：模数相乘，幅角相加 10、复数三角形式的除法设()1111cos isin z r θθ=+，()2222cos isin z r θθ+=，且12z z ≠， 因为()()()()122212121112cos isin cos isin cos isin r r r r θθθθθθθθ+⋅-+-=+⎡⎤⎣⎦， 所以根据复数除法的定义，有()()()()111112122222cos isin cos isin cos isin r r r r θθθθθθθθ+=-+-⎡⎤⎣⎦+. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为 ：模数相除，幅角相减一、判断题1．对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，若0b =，则z 是实数；若0b ≠，则z 是纯虚数( ) 【答案】错误当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数, 所以若0b ≠，则z 是纯虚数或者是非纯虚数，所以错误.故答案为：错误. 2．34i +的实部等于3，虚部等于4i( ) 【答案】错误 34i +的虚部是4.故答案为;错误.3．自然数是有理数，但不是复数( ) 【答案】错误 自然数是复数， 故答案为：错误. 二、单选题1．复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则i z ⋅=（ ） A ．2i -+ B ．2i + C ．2i -- D ．2i -【答案】D依题意()12i,12i,i 12i i 2i z z z =-+=--⋅=--⋅=-. 故选：D2．复数()1i z m m m =+-∈R ，且z 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的值可以为（ ） A ．2 B ．2- C ．1-D ．0【答案】B解：当z 在复平面内对应的点在第二象限时，则有100m m +<⎧⎨->⎩，可得1m <-，结合选项可知，B 正确．故选：B ．3．设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B32i z =-+对应的点为(3,2)-，在第二象限. 故选：B4．已知i为虚数单位，若复数1z =-，则z =（ ） AB ．2C ．4D ．8【答案】B2z ==.故选：B5．设i 为虚数单位，复数12i +与34i +在复平面内分别对应向量OA 与OB ，则AB =（ ） A ．2 B．C ．4D ．8【答案】B记112z i =+，234i z =+，则2122i z z -=+，21AB z z =-=故选：B.高频考点一：复数的概念1．z 是复数z 的共轭复数，若()()3498i z z z z ++-=+，则12z -=（ ） A B C ．D ．【答案】B设(),i,R R z a b a b =+∈∈，则i z a b =-，由()()3498i z z z z ++-=+，可得3242i 98i a b ⨯+⨯=+，∴3,12a b ==，即3i 2z =+，∴3i 1i 21122z -=-=++故选：B.2．已知i 是虚数单位，复数z 满足42i12i z-+=，则z 的实部为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】B ∵42i 12i z -+=，∴42i (42i)(12i)2i 12i 5z ---===-+，∴z 的实部为0. 故选：B3．若复数2021i 1iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1i 2B ．z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z =D ．z 的共轭复数为1i2- 【答案】D()()()2021i 1i i i 1i 1i 1i 1i 1i 2z -+====+++-.z 的虚部为12，故A 错误；z 在复平面内对应的点在第一象限，故B 错误；z ==C 错误；z 的共轭复数为1i 2-，故D 正确. 故选：D.4．已知复数z 满足()12i 34i z -=+ （其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．1 B ．i C ．2 D ．2i【答案】C依题意()12i 34i 5z -=+==，()()()512512121212i z i i i i +===+--+，所以z 的虚部为2. 故选：C5．设1z ，2z 是复数，给出下列四个说法：①2180z +>；②若12z z >，则120z z ->；③若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅；④若12=z z ，则12=±z z ．其中所有正确说法的序号是______． 【答案】②③对于①，若14i z =，则2181680z +=-+<，则①错误；对于②，若复数1z ，2z 满足12z z >，则1z ，2z 是实数，所以120z z ->，则②正确；对于③，取1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 均为实数，因为12=z z ，所以2222+=+a b c d ，所以1122z z z z ⋅=⋅，则③正确;对于④，取134i z =+，243i z =-，可知④错误． 故答案为：②③6．以下四个关于复数的结论：①任意两个复数不能比大小；②20z z ∈⇒≥C ；③12120z z z z ->⇒>；④复数()i i ,,,a b c d a b c d R a c +=+∈⇒=且b d =________. 【答案】④解：对于①，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以①错误； 对于②当i z =∈C 则210z =-<，故②错误；对于③令11i z =+，21i z =-+，则()121i 1i 20z z =+-+=->-，但是1z 与2z 不能比较大小，故③错误； 对于④若复数()i i ,,,a b c d a b c d R a c +=+∈⇒=且b d =，故④正确； 故答案为：④高频考点二：复数的几何意义1．复数z 满足20222021i i2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 202145051iii ⨯+==，2022450522iii 1⨯+===-，()()()()202220211i 2i i i 1i 31i 2i 2i 2i 2i 55z +--+∴====++++-， 31i 55z ∴=-，则z 对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D.2．已知i 为虚数单位，且013i12iz -=+，复数z 满足01z z -=，则复数z 对应点的轨迹方程为（ ） A ．()()22114x y -++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22111x y +++= D ．()()22111x y -+-=【答案】C ()()013i 12i 13i 1i 12i 5z ---===--+，表示点(1,1)--，故复数z 的轨迹是以(1,1)--为圆心，半径为1的圆. 故选：C3．如图所示，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则45iz=-（ ） A ．143i 4141-+ B ．143i 4141+ C ．143i 4141- D ．143i 4141-- 【答案】A依题意，得12i z =-+，则()()()()12i 45i 12i 143i 45i 45i 45i 45i 4141z -++-+===-+---+. 故选：A.4．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1-，则12z z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A因为复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1-，所以11i z =-，2i z =-，所以()122i 1i 1i 1i i i z z --===+--．故选：A ．5．在复平面xOy 内，复数1z ，2z 所对应的点分别为1Z ，2Z ，给出下列四个式子：①2211z z =；②1212z z z z ⋅=⋅；③2211=OZ OZ ；④1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅．其中恒成立的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B设1i z a b =+，2i z c d =+，则1(,)Z a b ，2(,)Z c d ，对于①，22212i z a b ab =++，2221||z a b =+，∴2211||z z ≠，故①错误；对于②，12()()i z z acbd bc ad ⋅=-++，12||z z ⋅12||||z z ⋅=1212||||||z z z z ∴⋅=⋅，故②正确； 对于③，1(,)Z a b O =，∴2221OZ a b =+，2221||OZ a b =+，故③正确；对于④，2(,)Z c d O =，∴12OZ OZ ac db ⋅=+，12||(OZ OZ ac ∴⋅=212||||OZ OZ a ⋅==1212||||||OZ OZ OZ OZ ∴⋅≠⋅，故④错误．故正确的为：②③，共2个. 故选：B.6．已知点()2,1A -，()1,2B ，()0,0O ，复数1z ，2z 在复平面内对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z ⋅=（ ） A ．3i B ．34i + C ．43i + D ．43i -【答案】C解：依题意知12i z =-，212i z =+，于是()()2122i 12i 22i i 4i 43i z z ⋅=-+=--+=+，故选：C.7．若复数z满足|1i |z -+≤i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点构成的图形的面积为________． 【答案】3π不妨设复数i z x y =+，则|1i |z -+≤()()11i x y -++≤则()()22113x y -++≤，其表示以()1,1-为圆心且半径r =则这些点构成的图形的面积为23r ππ=. 故答案为：3π.8.设m R ∈，若复数()()1i i m n ++在复平面对应的点位于实轴上，则23213log 34m mn m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的取值范围______.【答案】R 或(),-∞+∞ 解：()()()()21i i i i i 1i m n n mn m n m mn ++=+++=-++，则复数()()1i i m n ++在复平面对应的点为(),1n m mn -+， 又因为复数()()1i i m n ++在复平面对应的点位于实轴上， 则点(),1n m mn -+在实轴上，所以10mn +=，所以1mn =-，2223332221311log 3log log 442m mn m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，m R ∈，当12m =-时，2102m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时23213log 34m mn m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭无意义；当12m ≠-时，2102m ⎛⎫+> ⎪⎝⎭恒成立，此时23213log 34m mn m R ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭，综上得：23213log 34m mn m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的取值范围为R .故答案为：R .高频考点三：待定系数求复数z1．已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+【答案】B设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-．由()()3i 2i 25i a b a b --+=-得5i 25i a b -=-，则255a b =⎧⎨-=-⎩，所以2a =，1b =，所以2i z =+． 故选：B.2．设2()3()46i z z z z +--=+，则z =（ ） A ．12i + B ．12i - C ．1i + D ．1i -【答案】D解：设i z a b =+，a b 、为实数，则i z a b =-，于是2()3()2(i+i)3(i i)46i=46i z z z z a b a b a b a b a b +--=+--+-+=-+故4=46=6a b ⎧⎨-⎩，所以11a b =⎧⎨=-⎩，则1i z =-.故选：D3．已知复数z 的共轭复数是z ，若21i z z -=-，则||z =（ ）A ．1BCD 【答案】B设复数i z a b =+，,R a b ∈，则i z a b =-，因21i z z -=-，即i)2(i)(1i a b a b +-=--，即3i 1i a b -=-，则131a b =⎧⎨-=-⎩，解得11,3a b ==，因此，11i 3z =+，所以||z =故选：B4．已知复数z 满足i 2z -=，z 为z 的共轭复数，则z z ⋅的最大值为（ ） A ．1 B ．4 C ．9 D ．16【答案】C设()i R,R z x y x y =+∈∈，则()i=i i=1i z x y x y -+-+-，由i 2z -=2，即()2214x y +-=，所以z 所对应的点(),x y 的轨迹是以0,1为圆心2为半径的圆，因为z 为z 的共轭复数，所以i z x y =- 即22z z x y ⋅=+，而22z z x y ⋅=+可看作该圆上的点(),x y 到原点的距离的平方，所以()2max 9z z ⋅==.故选：C.5．已知复数z 满足i 1z -=，复数z 的共轭复数为z ，则z 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B令i z x y =+，,R x y ∈，则i 1z -=表示与(0,1)距离为1的点集，即22(1)1y x +-=， 此时，z 表示圆()2211x y +--=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1， 所以圆上点到原点的最大为2. 故选：B.高频考点四：复数的四则运算1．复数()1i z =，则z =（ ）A ．4B ．C ．3D ．【答案】C由题意，()21i 2i i z ==+-=，故3z =故选：C2．i 为虚数单位，复数z 满足2022(2i)i -=z ，则下列说法正确的是（ ） A ．15z =B ．21i 55=--zC ．z 的虚部为－1i 5D ．z 在复平面内对应的点在第三象限【答案】D由已知2022(2i)i -=z 20002i i 1=⋅=-，所以()()()2i 121i 2i 2i 2i 55z -+-===----+，z ==，A 错； 21i 55z =-+，C 错；z 的虚部是15-，C 错；z 对应点坐标为21(,)55--，在第三象限，D 正确．故选：D ． 3．若复数2022|34i |i 34i z +=+-，则z 的虚部为（ ） A ．45-B ．45C ．2i 5-D ．2i 5【答案】A 因为202220202|34i |55(34i)34i(i)(i)11i 34i 34i (34i)(34i)55z ++=+=+=-+=-++---+24i 55=-+. 所以2455i z =--，故z 的虚部为45-.故选：A 4．已知32i13i z+=-+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D由已知条件32i 13i z +=-+可得()()()()32i 13i 32i 13i 13i 13i z +--+==-+-+--，解得311i 1010z =-，复数z 在复平面内对应的点为311,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限. 故选：D.5．已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i + B ．86i -+ C ．96i - D ．86i -【答案】B因i 3i a b +=-，a ，R b ∈，则有3,1a b ==-，所以()()()()()()2222i 13i 13i 213i 86i b a -=--=-+-+--=-+. 故选：B6．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．解：因为121z z -=，所以12z z -==11z =，22z =，所以()212121211221221121222213z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -=--=+--=+--=，所以12212z z z z +=，所以()2221212122121217z z z z z z z z z z z z +=++=+++=，所以12z z +=7．在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______． ①22z z =； ②若120z z ->，则12z z >；③若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==； ④12z z -=⑤2212z z =，则1122z z z z ⋅=⋅； ⑥2212122z z z z ≤+；⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若i i z z +=-，则z 必为实数． 【答案】①⑤⑧①设i z a b =+，则i z a b =-，2222z a b ==+()222222i z a b ab a b =-+==+所以①正确；②设13i z =+，21i z =+，120z z ->，但1z 与2z 不能比较大小，所以②不正确③设11i z =+，21z =，30z =，则()()2212230z z z z -+-=，所以③不正确④设112z i =+，21i z =+，则12i 1z z -==i =，所以④不正确⑤设111i z a b =+，222i z a b =+则()()22221111111i 2i z a b a b a b =+=-+，()()22222222222i 2i z a b a b a b =+=-+2212z z =⇒22221122112222a b a b a b a b ⎧-=-⎨=⎩⇒()()22222222221111222244a b a b a b a b -+=-+()()2222221122a b a b ⇒+=+22221122a b a b ⇒+=+ 1122z z z z ⇒⋅=⋅⑥当11i z =+，21i z =-时，1224z z =，22120z z +=；2212122z z z z >+；所以⑥不正确 ⑦如果两个复数是实数，差值也是实数，所以⑦不正确⑧设z a bi =+（a ，b R ∈），则()i 1i z a b +=++，()i 1i z a b -=+-；i i z z +=-⇒0b ⇒=所以⑧正确故答案为：①⑤⑧8．对任意复数1w .2w ,定义1212w w w w *=,其中2w 是2w 的共轭复数.对任意复数1z .2z .3z ,有如下四个命题： ①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*；②()()()1231213z z z z z z z *+=*+*；③()()123123z z z z z z **=**； ④1221z z z z =**.则真命题是________（填写命题的序号） 【答案】①②①12312313231323()()()()z z z z z z z z z z z z z z +*=+=+=*+*，正确；②12312312312131213()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z *+=⨯+=+=+=*+*，正确；③123123123()()z z z z z z z z z **==，123123123123123()()z z z z z z z z z z z z z z z **=*==≠，错误； ④12122121z z z z z z z z *=≠=*，错误． 故答案为①②．1．若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4 B ．2 C ．-2 D ．-4【答案】C 若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-. 故选：C. 2．复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限， 故选：A.3．在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 【答案】D 由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+. 故选：D.4．已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.5．已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i -- B ．312i -+ C ．32i -+D ．32i --【答案】B2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.6．设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i - 【答案】C设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （ ）A ．1- B ．1 C ．3- D ．3【答案】C()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.8.i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________． 【答案】4i -()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-. 故答案为：4i -.一、单选题1．已知()231i 24i z +=+，则z =（ ）A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +【答案】A由23(1i)24i z +=+，有2i 24i z =-，可得212i i 2i 2i i 1z --===---, 故选：A2．若复数z 满足(34i)1i z -=-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ）A ．7i55--B ．7i 55-+C ．7i 2525-- D ．7i 2525-+ 【答案】D()()()()1i 34i 1i 7i 7i 34i 34i 34i 252525z -++-+--====----+，所以7i2525z -+=. 故选：D3．若复数()2100(10)i z x x =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．100D ．10-或10【答案】Az 为纯虚数，21000x ∴-=同时100x -≠10x ∴=-，故选：A4．若复数z 满足(1i)2i z +=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 由题意2i (2i)(1i)22i i 131i 1i (1i)(1i)222z ++--++====-++-，对应点坐标为31(,)22-，在第四象限． 故选：D ．5．已知复数z 满足条件62i z z z ⋅+=+，则z =（ ）A B ．C D 【答案】C设()i ,R z x y x y =+∈，则i z x y =-，所以，22=+zz x y ，所以，()22i 62i z z z x y x y ⋅+=+++=+，则2262x y x y ⎧++=⎨=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，故22i z =-+或12z i =+，因此，z =故选：C.6．在复平面内，O 是原点．向量OA 对应的复数为12，其中i 为虚数单位，若点A 关于虚轴的对称点为B ，则向量OB 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．12B ．12-C ．12-+D ．12-【答案】C由题意，得1,2A ⎛ ⎝⎭，1,2B ⎛- ⎝⎭，所以向量OB 对应的复数为12-所以向量OB 对应的复数的共轭复数为12-+，故选：C ．7．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（ ）A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】C2z =，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z --的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.8．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A ．若1z =，则1z =±或i z =±B ．若11z +=，则点Z 的集合为以()1,0为圆心，1为半径的圆C ．若1z ≤，则点Z 的集合所构成的图形的面积为πD ．若1i z z -=+，则点Z 的集合中有且只有两个元素 【答案】C若1z =，则点Z 的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z 对应，故A 错误； 若11z +=，则点Z 的集合为以()1,0-为圆心，1为半径的圆，故B 错误；若1z ≤≤Z 的集合为以原点为圆心，分别以1Z 的集合所构成的图形的面积为221πππ⨯-⨯= ，故C 正确;若1i z z -=+，则点Z 的集合是以点()1,0，()0,1-为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D 错误, 故选:C ． 二、填空题9．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z为实数，则=a ________．【答案】3- ∵2i i(2i)13i 13i 13i 3(3)i i i i (i)+-++-=+-=+-=-+⋅-z a a a ，∵13i i+-∈R z ∴30a +=，即3a =-．故答案为：3-．10．已知复数z 为纯虚数，若(2i)6i z a -=-（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为______． 【答案】3-因为复数z 为纯虚数，所以设i(0)z b b =≠，由(2i)6i (2i)i 6i 2i 6i 326b az a b a b b a a b b =⎧-=-⇒-⋅=-⇒+=-⇒⇒==-⎨=-⎩， 故答案为：3-11．下列说法正确的序号为______． ①若复数3i z =+，则13i1010z =-； ②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集； ③已知复数1z ，2z ，若12z z >，则1z ，2z 均为实数； ④复数3i 1z =-+的虚部是1． 【答案】①②③对于①，因为3i z =+，所以()()113i 3i 3i 3i 3i 3i 101010z --====-++-，故①正确； 对于②，复数集=实数集虚数集，故②正确；对于③，复数集包含实数集，只在其实数集内才能比较大小，由12z z >，得1z ，2z 均为实数，故③正确； 对于④，复数3i 1z =-+的虚部是3-，故④不正确. 故答案为：①②③.12．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：4z z +=；乙：3z z ⋅=；丙：25z z z =，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =______．【答案】2i +##i 2+解：设i z a b =+，则i z a b =-，甲：由4z z +=可得24a =，则2a =， 乙：由3z z ⋅=可得：223a b +=，丙：由25z z z =可得225z z z z =⋅，即22225z z a b =+，所以225a b +=，若2a =，则22243a b b +=+=，则21b =-不成立，245b +=，则21b =，解得1b =或1-，所以甲，丙正确，乙错误，此时2i z =+或2i z =-，又复数z 对应的点在复平面第一象限内，所以2i z =+， 故答案为：2i +． 三、解答题13．（1）已知复数z 在复平面内对应的点在第二象限，2z =，且2z z +=-，求z ； （2）已知复数()()2212i 32i 1im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.【答案】（1）1z =-；（2）2-解：（1）设()i ,z a b a b R =+∈，由题意每224,22,a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a =-，b =∵复数z 在复平面内对应的点在第二象限，∴b =∴1z =-.（2）()()()()()()()2221i 212i 32i 12i 32i 1i 1i 1i m m z m m +=-+-+=-+-+--+ ()()22623i m m m m =--+--，由题意得2260230m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得2m =-14．已知复数()()()22232i R z m m m m m =--++-∈，． (1)若0z >，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z z ⋅的值． 【答案】(1)2m =-(2)4或100(1)因为0z >，所以R z ∈，所以220m m +-=，所以2m =-或1m =． ①当2m =-时，50z =>，符合题意； ②当1m =时，40z =-<，舍去． 综上可知：2m =-．(2)因为z 是纯虚数，所以2223020m m m m ⎧--=⎨+-≠⎩，所以1m =-或3m =,所以2i z =-，或10i z =,所以2i 2i 4z z ⋅=-⨯=或10i (10i)100z z ⋅=⨯-=,所以4z z ⋅=或100．15．已知复数64i1im z -=+（,i m ∈R 是虚数单位）． (1)若z 是实数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)32m =-(2)32m >(1)(64i)(1i)32(32)i (1i)(1i)m z m m --==--++-，因为z 为实数，所以320m +=，解得32m =-.(2)因为z 是z 的共轭复数，所以32(32)i z m m =-++，所以469(1015)i z z m m -=-++ 因为复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限，所以690m ->，同时10150m +>解得32m >. 16．设复数1z 、2z 满足12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=. (1)若1z 、2z 满足212i z z -=，求1z 、2z ；(2)若1z =k ，使得等式2|4i |z k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1i z =-、2i z =-或13i z =、25i z =- (2)存在，k =【解析】(1)由212i z z -=可得：212i z z =-，代入已知方程得()()11112i 2i 2i 2i 10z z z z ⋅-+--+=， 即211||2i 30z z --=，令1i z a b =+（a b R ∈、），∴()222i i 30a b a b +---=，即()222320a b b ai +---=，∴2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或03a b =⎧⎨=⎩，∴1i z =-、2i z =-或13i z =、25i z =-； (2)由已知得2122i 12i z z z -=+，又1z∴222i 12iz z -=+ ∴222222222i 1|32i |2i |32i|z z z z -=+⇔+=+，∴()()()()22222i 2i 32i 2i z z z z +-=+-，整理得22224i 4i 110z z z +--=即22224i 4i 110z z z z +--=，所以()()22224i 4i 4i 27z z z +--=，故()()224i 4i 27z z -+=，∴22|4i |27z -=，即24i z -=，∴存在常数k =24i z k -=恒成立.。
高中数学竞赛讲义复数
高中数学竞赛讲义复数一、基础知识1．复数的运算法则：三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1), z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2)，则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]；11222(0),z r z z r ≠=[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]，或记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+；.)(212121θθ-=i e r r z z 2．棣莫弗定理：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos n θ+i sin nθ). 3．开方：若=nw r (cos θ+i sin θ)，则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=，k =0,1,2,…,n -1。
4．方程10(2n x n n n -=≥为自然数，且）的个根 记为：22cossin (0,1,2,,1)k k k i k n n nππε=+=-称为1的n 次单位根。
由棣莫弗定理，全部n 次单位根可表示为112111-n εεε ，，，。
关于单位根，有如下常用性质：)20111211≥=++++-n n （εεε ；任意两个单位根j i εε,的乘积仍为一个n 次单位根，且（1）的余数）除以是其中时，当n j i k n j i k j i j i j i +=≥+=⋅++,(εεεεε； （2）设m 为整数，1≠n ，则⎩⎨⎧=++++-的倍数）不是的倍数），是n m n m n mn m m (0(1121εεε（3）1+z 1+z 2+…+z n -1=0；（4）x n -1+x n -2+…+x +1=(x -z 1)(x -z 2)…(x -z n -1)=(x -z 1)(x -21z )…(x -11n z -). 特别地：1的立方根有：1，ω＝－12＋32i ，-ω＝－12－32i（1）ω3＝-ω3＝1 （2）1＋ω＋ω2＝0或1＋-ω＋-ω2＝0 （3）ω-ω＝1 （4）ω2＝-ω，-ω2＝ω （5）(1±i )2＝±2i ，(3±4i )2＝－7±24i5．代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。
高中数学新教材《7.1.1复数的概念》公开课课件(精品、经典)
在扩充的的数集C内,方程的根为 x 5 5i
「
复数的概念
定义：把形如a+bi（a,b∈R）的数叫 做复数。通常用字母 z 表示.
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 为虚数单位。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
领会新知 z a bi
例1、说明下列复数数中的实部和虚部
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
变式训练： .判断下列命题的真假 （1）自然数集是非负整数集 （2）有理数集与无理数集的并集是实数集 （3）实数集与虚数集合的交集是 （4）实数集与复数集的交集为实数集
虚数
复数
实数
有理数
整数
自然数
正整数 零
负整数
设一部分为x,另一部分10- x
………
x(10－x)＝40， x2－10x＋40＝0，
(x 5)2 15
新的问题:
方程x2 1在实数集中无解
N
x+4=0 自然数集无解 -4
Z
3x-2=0 整数集无解
2
3
Q
x2-2=0 有理数集无解 2
R
N
x+4=0 自然数集无解-4Z来自3x-2=0 整数集无解
0) 0)
(当a 0时为纯虚数)
思考 复数集C和实数集R之间有什么关系？
R C
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
应用新知
例2 、 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
复数讲义绝对经典
复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2． 复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++． ∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
【复数】精品讲义教师版
题型一 复数的概念1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.1．若复数(1＋i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a ＝________.答案 1解析 由(1＋i)(1＋a i)＝(1－a )＋(a ＋1)i 是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝01＋a ≠0，由此解得a ＝1. 2．(2012·北京)设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0.故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.3、若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 答案 A4、设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析 方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2. 方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i 2－3i .则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋(－3)2＝2.答案 (2)25．（2012新课标全国，5分）复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－1＋i D ．－1－i解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，所以z ＝－1－i. 答案：D6．（2012湖南，5分）复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i解析：∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.答案：A7、复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由于(3＋4i)i ＝－4＋3i ，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(－4,3)，相对应的点位于第二象限，选B.8．（2013福建，5分）复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：本题主要考查复数的几何意义，意在考查考生的数形结合能力．复数z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C9．（2013北京，5分）在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：本题主要考查复数的运算法则和几何意义，属于容易题，意在考查考生根据复数的乘法运算法则进行运算化简的能力，并根据复数的几何意义判断出复数在复平面内对应的点所在的象限．因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限，故选A.答案：A10．（2011山东，5分）复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：z ＝2－i 2＋i＝(2－i )(2－i )5＝35－45i ，其在复平面内对应的点在第四象限． 答案：D11．（2012北京，5分）在复平面内，复数10i 3＋i对应的点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(3,1) C ．(－1,3) D ．(3，－1)解析：由10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)． 答案：A12．（2013江西，5分）复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 本题主要考查复数的乘法及复数的几何意义，旨在考查考生对复数知识掌握的程度．因为z ＝i(－2－i)＝－2i －i 2＝1－2i ，所以它对应的点为(1，－2)，其在第四象限．13.（2013四川，5分）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：本题主要考查复数的几何表示、共轭复数的概念，意在考查考生对基本概念的理解．设点A (x ，y )表示复数z ＝x ＋y i ，则z 的共轭复数z ＝x －y i 对应的点为B (x ，－y )，选B.答案：B题型二 复数的有关运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．(2012·广东)设i 为虚数单位，则复数5－6i i等于( ) A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i答案 D解析 5－6i i ＝(5－6i )i i 2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i ，故选D. 2.（2013新课标全国Ⅰ，5分）1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i 解析：本题主要考查复数的基本运算.1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i. 答案：B3. （2013新课标全国Ⅱ，5分）⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1解析：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，意在考查考生对基础知识的掌握程度.21＋i＝2(1－i )2＝1－i ，所以⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝12＋(－1)2＝ 2. 答案：C4．（2013山东，5分）复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：本题主要考查复数的基本概念和运算，考查运算能力．z ＝(2－i )2i ＝(－i )×(3－4i )1＝－4－3i ，|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5.答案：C5．(2013浙江，5分)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i解析：本题主要考查复数的基本运算等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握程度．(2＋i)(3＋i)＝6＋2i ＋3i ＋i 2＝5＋5i.答案：C6．（2013辽宁，5分）复数z ＝1i －1的模为( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 解析：本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况．由已知，得z ＝－1－i (－1－i )(－1＋i )＝－12－12i ，所以|z |＝22. 答案：B7．（2013天津，5分）i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.解析：本题主要考查复数的运算，意在考查考生的运算求解能力．(3＋i)(1－2i)＝5－5i. 答案：5－5i8．（2012广东，5分）设i 为虚数单位，则复数3＋4i i＝( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i解析：3＋4i i＝－i(3＋4i)＝4－3i. 答案：D9．（2012安徽，5分）复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋3iD ．1－2i解析：设z ＝a ＋b i ，则(z －i)i ＝－b ＋1＋a i ＝2＋i ，由复数相等的概念可知，－b ＋1＝2，a ＝1，所以a ＝1，b ＝－1.答案：B10．（2012福建，5分）复数(2＋i)2等于( )A ．3＋4iB ．5＋4iC ．3＋2iD ．5＋2i解析：(2＋i)2＝4－1＋4i ＝3＋4i答案：A11．（2012浙江，5分）已知i 是虚数单位，则3＋i 1－i＝( ) A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i解析：3＋i 1－i＝(3＋i )(1＋i )2＝1＋2i. 答案：D12．（2011新课标全国，5分）复数5i 1－2i＝( ) A ．2－i B ．1－2i C ．－2＋i D ．－1＋2i解析：5i 1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋i. 答案：C13．(2012·山东)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i答案 A解析 ∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i 5＝3＋5i. 14．(2012·福建)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i 答案 A解析 方法一 由z i ＝1－i 得z ＝1－i i ＝1i－1＝－1－i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z i ＝1－i ，得(a ＋b i)i ＝1－i ，即－b ＋a i ＝1－i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝1，a ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴z ＝－1－i. 15．若a 1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|等于( ) A. 5 B. 2 C. 3 D ．1 解析 由a 1－i＝1－b i 得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ， 所以|a ＋b i|＝ 5.所以选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)16．(2012·上海)计算：3－i 1＋i＝________(i 为虚数单位)． 答案 1－2i解析 3－i 1＋i ＝(3－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－4i 2＝1－2i. 17．(2012·江苏)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i 1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________． 答案 8解析 ∵11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝15(25＋15i)＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝8.18．（2012湖北，5分）若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 解析：由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b ＋(3＋b )i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：319．已知复数z 满足1＋2i z＝1－2i ，则复数z ＝____________. 答案 －35＋45i 解析 z ＝1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i. 20．(2012·湖南)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________.答案 10解析 方法一 ∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10.方法二 ∵z ＝(3＋i)2＝9＋6i ＋i 2＝8＋6i ，∴|z |＝82＋62＝10.21．(2011·江苏)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 答案 1解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.22．(2013安徽，5分)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：本题主要考查复数的基本运算以及基本概念，意在考查考生的运算能力．复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3. 答案：D23．（2013广东，5分）若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：本题主要考查复数运算、相等、模等知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得－y ＋x i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝3，x ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，x ＝4，∴|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.。
上海高中数学-复数讲义
复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性: i 4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=—i ， i 4n=1()n Z ∈()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。
{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
N Z Q R C 。
3、复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ；00a bi a +=⇔=且b=04、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是3,62i i ++也没有大小。
5、复数的模：若向量OZ 表示复数z ，则称OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅，（2)()112220z z zz z =≠6、复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b (),Z a bi a b R =+∈↔一一对应复数平面向量OZ ，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=（a +bi ）+(c +di ）=(a +c ）+(b +d )i 。
(),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1—z 2=(a +bi )—(c +di ）=(a -c ）+(b —d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义:复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈;OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b ）+（c ，d )=（a +c ，b +d ）＝（a +c ）+(b +d )i复数减法的几何意义:复数z 1-z 2的差（a －c ）+(b －d ）i 对应由于1212Z Z OZ OZ =-，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z = z B －z A 。
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复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q RC7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义： 2． 复数1z 与2z 的差的定义：3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bi c di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b +(a 、b ∈R )，除以i c d +(c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有:()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++ ②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．1． 复数的概念【例1】 已知2(1a i bi i i -⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭为虚数单位），那么实数a ，b 的值分别为（）A ．2，5B ．-3，1C ．-1．1D ．2，32-【答案】D【例2】 计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =（i 表示虚数单位）【答案】952i +【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++i i i (1)(1)197952i =++-+-+⨯=+【例3】 设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【答案】D【解析】2222(1)10t t t -+=-+≠． 【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1z z=． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时，22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z 为实数时，也有z z +∈R ，③错；0a b ==时，()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．2． 复数的几何意义【例5】 复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例题精讲【答案】A【解析】 由已知2(2)(12)1[(4)2(1)]12(12)(12)5m i m i i z m m i i i i ---===--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则4010m m ->⎧⎨+<⎩，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【例6】 若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当35ππ44θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时，cos sin 0sin cos 0θθθθ+<->，． 【例7】 如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（）A ．1BC ．2 D【答案】A【解析】 设复数z 在复平面的对应点为Z ，因为i i 2z z ++-=，所以点Z 的集合是y 轴上以1(01)Z ，、2(01)Z -，为端点的线段．i 1z ++表示线段12Z Z 上的点到点(11)--，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z -，到点(11)--，的距离，其距离为1．【例8】 满足1z =及1322z z +=-的复数z 的集合是（） A．1122⎧⎫⎪⎪-+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭， C．⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭D．1122⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 【答案】D【解析】 复数z 表示的点在单位圆与直线12x =上（1322z z +=-表示z 到点102⎛⎫- ⎪⎝⎭，与点302⎛⎫⎪⎝⎭，的距离相等，故轨迹为直线12x =），故选D ．【例9】 已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，yx的最大值为_______．【解析】2i x y -+=∵22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx【例10】 复数z 满足条件：21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【解析】 A ；设i z x y =+，则有(21)2i (1)i x y x y ++=+-，2222(21)(2)(1)x y x y ⇒++=+-，化简得：22215339x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故为圆． 【点评】①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点．【例11】 复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ∴⊥，故可设12(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2222122i 0z k k z ==-<． 也可设12i i z a b z c d =+=+，，则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=，122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++，故22112220z z z z ⎛⎫=< ⎪⎝⎭． 【例12】 已知复数1z ，2z满足11z =，21z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值．【答案】；4． 【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z，由于2221)1)4+=，故2221212z z z z +=-，故以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则12z z ==；12124z z z z +=-=． 【例13】 已知12z z ，∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -．【解析】 设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，由12z z +=1120PZ O ∠=︒（可由余弦定理得到），故1260Z OZ ∠=︒， 从而121z z -=．【例14】 已知复数z满足(23i)(24z z -++-=，求d z =的最大值与最小值．【答案】max d =，min 1d = 【解析】设i z x y =+，则()x y ，满足方程22(2)14y x -+=．d = 又13x ≤≤，故当10x y ==，时，min 1d =；当83x y ==，时，有max 3d =． 3． 复数的四则运算【例15】 已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（ ）A ．2-B． C． D ．4【答案】B【解析】66366(i)(2i)8i 64i 8m m m m m m +==-=-⇒=⇒= 【例16】 计12+【答案】511- 【解析】 原式12121269100121511(i)=+==-+=--． 【例17】 已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ⋅的最大值为（ ）A ．32BCD ．3【答案】A=， 故当sin21θ=±时，12z z ⋅32． 【例18】 对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，．（１）设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（2）若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．【答案】（1）13；（2）12z =-．【解析】 （1）∵z 是方程210x +=的根，∴i z =或i z =-，不论i z =或i z =-，234{i i i i }{i 1i 1}z M ==--，，，，，，， 于是2421C 3P ==． （2）取12z =-，则212z =--及31z =． 于是23{}z M z z z =，，或取12z =--．（说明：只需写出一个正确答案）．【例19】 解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=． 【答案】123i 2x x =-=，．【解析】 错解：由复数相等的定义得2235602220x x x x x x x ⎧==⎧-+=⇒⇒=⎨⎨=-=⎩⎩或． 分析：“i i a b c d a c +=+⇔=，且b d =成立”的前提条件是a b c d ∈R ，，，，但本题并未告诉x 是否为实数．法一：原方程变形为2(5i)62i 0x x --+-=，22(5i)4(62i)2i (1i)∆=---=-=-．由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i 2x -+-==-，2(5i)(1i)22x ---==． ∴原方程的解为13i x =-，22x =．法二：设i()x a b a b =+∈R ，，则有2(i)5(i)6(2)i 0a b a b a bi +-++++-=，22(56)(252)i 0a b a b ab b a ⇒---++-+-=225602520a b a b ab b a ⎧---+=⎪⇒⎨-+-=⎪⎩①②，由②得：5221b a b +=+，代入①中解得：31a b =⎧⎨=-⎩或20a b =⎧⎨=⎩，故方程的根为123i 2x x =-=，． 【例20】 已知21z x =+22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【答案】112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【解析】12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴， 22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【例21】 关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 【答案】1a =±【解析】 误：∵方程有实根，22(2)4(1)450a i ai a ∴∆=---=-≥．解得aa ≤． 析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±．【例22】 设方程220x x k -+=的根分别为α，β，且αβ-=k 的值． 【答案】1k =-或3k =．【解析】 若α，β为实数，则440k ∆=-≥且2222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=，解得1k =-．若α，β为虚数，则440k ∆=-<且α，β共轭，2222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．综上，1k =-或3k =．【例23】 用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．【解析】 1n =时，结论显然成立；若对n k =时，有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+， 则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++ 由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++，从而知对1n k =+，命题成立．综上知，对任意n +∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 易直接推导知：故有1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-．cos()isin()cos()isin()n n n n θθθθ=-+-=-．【例24】 若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=（12n a a a ∈R ，，，）的解，求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=．【解析】 将解代入原方程得：11(cos isin )(cos isin )0n n n a a αααα-+++++=，将此式两边同除以(cos isin )n αα+，则有：12121(cos isin )(cos isin )(cos isin )0n n a a a αααααα---+++++++=，即121(cos isin )(cos2isin 2)(cos isin )0n a a a n n αααααα+-+-++-=，1212(1cos cos2cos )i(sin sin 2sin )0n n a a a n a a a n αααααα++++-+++=，由复数相等的定义得12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=．【例25】 设x 、y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y +=________． 【答案】4 【解析】 由511213x y i i i +=---知，5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+， 即(525)(5415)0x y x y i +-++-=， 故525054150x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得15x y =-⎧⎨=⎩，故4x y +=．【例26】 已知1zz -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹． 【答案】以102⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，． 【解析】 法一：设i z x y =+（x y ∈R ，），则222i (1)i11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数， 故220(0)x y x y +-=≠，即z 的对应点的轨迹是以102⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．法二：∵1z z -是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪--⎝⎭（0z ≠且1z ≠） ∴011z z z z +=--，∴(1)(1)0z z z z -+-=，得到22z z z =+， 设z x yi =+（x y ∈R ，），则22x y x +=（0y ≠）∴z 的对应点的轨迹以102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，． 【例27】 设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．【解析】 由题意，24z z z =⋅=，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．设i(2222)z a b a b =+--≤≤，≤≤， 则242i 1i 221z z a b a b a -+=+-+-=-．∴当12a =时，2min 40z z -+=，此时12z =；当2a =-时，2min 410z z -+=，此时2z =-．【例28】 若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -． 【答案】64i --【解析】 ∵()23i f z z z =+-，∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-，∴22i 63i z z +-=-设i z a b =+（a b ∈R ，），则i z a b =-，∴2(i)(i)6i a b a b -++=-，即3i 6i a b -=-， 由复数相等定义得361a b =⎧⎨-=-⎩，解得21a b ==，．∴2i z =+． 故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：①设i z x y =+（x y ∈R ，）的共轭复数为z ，则2z z x +=；2i z z y -=； ②z 为实数2220z z z z z ⇔=⇔>⇔=； ③z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠；④对任意复数有z z =；1212z z z z ±=±；1212z z z z =⋅，特别地有22()z z =；1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭；2z z z =⋅．⑤z z =，22z z zz ==．1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z =，121222z z z z z z -±+≤≤． 以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．【例29】 已知虚数ω为1的一个立方根，即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2ωω=，并求23111ωωω++与211ωω++的值．【答案】0；12-+【解析】 法一：321(1)(1)0x x x x -=-++=，解得：1x =或12x =-±．由题意知12ω=-+，证明与计算略； 法二：由题意知31ω=，故有22(1)(1)010ωωωωω-++=⇒++=．又实系数方程虚根成对出现，故210x x ++=的两根为ωω，． 由韦达定理有1ωω=321ωωωωω⇒===．22233111110ωωωωωωωω++++==++=．222111121ωωωωωωω++-====-+-+．【点评】利用12ω=-的性质：3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，，，210ωω++=可以快速计算一 些ω相关的复数的幂的问题．【例30】 若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=（012212n n a a a a ω+∈∈=-N R ，，，，，，），求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++，，，则有20A B C ωω++=，即11022A B C ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，202)0A B CB C --⎧=⎪⎪⇒-=，解得A B C ==，即036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++．【例31】 设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； （3）求2w u -的最小值．【答案】（1）1z =；z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（3）1． 【解析】 （1）设i z a b =+，a b ∈R ，，0b ≠则22221i i i a b w a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 因为w 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =． 于是2w a =，122w a -<=<，112a -<<，所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （2）222211i 12i i 11i (1)1z a b a b b bu z a b a b a ------====-++++++． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以u 为纯虚数． （3）2222211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223431w u -⋅=-=≥． 当111a a +=+，即0a =时，2w u -取得最小值1． 【例32】 对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，． （1）设σ是方程1x x+=的一个根，试用列举法表示集合M σ； （2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【答案】（1）i)i)i)i)M σ⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，；（2）略【解析】 （1）∵σ是方程1x x+∴1i)σ=+或2i)σ-，当1i)σ=+时，∵21i σ=，2211111()i n n n σσσσ-==． ∴11111i1i 1M σσσσσ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭，，，i)i)i)i)⎫⎪=+-+-⎬⎪⎪⎩⎭，，，当2i)2σ=-时，∵22i σ=-，∴2i)i)i)i)M σ⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，．∴i)i)i)i)2222M σ⎫⎪=+---+-⎬⎪⎪⎩⎭，，，；（2）∵z M ω∈，∴存在m ∈N ，使得21m z ω-=．于是对任意n ∈N ，21(21)(21)n m n z ω---=．由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，∴z M M ω⊆．【例33】 已知复数01i(0)z m m =->，i z x y =+和i w x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0w z z =⋅，2w z =．（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；（2）将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）x x y y⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩；（2）(22y x =-；（3）这样的直线存在，其方程为y =或y = 【解析】 （1）由题设，002w z z z z z =⋅==，∴02z =，于是由214m +=，且0m >，得m ，因此由(13i)(i)3(3)i x y i x y x y x y ''+=-⋅+=++-，得关系式33x x yy x y⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩． （2）设点()P x y ，在直线1y x =+上，则其经变换后的点()Q x y ''，满足(13)3(31)1x x y x ⎧'=++⎪⎨'=--⎪⎩， 消去x ，得(23)232y x ''=--+，故点Q 的轨迹方程为(23)232y x =--+． （3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠． ∵该直线上的任一点()P x y ，，其经变换后得到的点(33)Q x y x y +-，仍在该直线上，∴3(3)x y k x y b -=++，即(31)(3)k y k x b -+=-+， 当0b ≠时，方程组(31)13k k k⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩无解，故这样的直线不存在．当0b =，由(31)3k k -+-=，得23230k k +-=，解得3k =或3k =-． 故这样的直线存在，其方程为3y x =或3y x =-．【习题1】 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（）A ．()15，B ．()13，C ．()15，D ．()13，【答案】C【解析】 21z a =+，而02a <<，∴15z <<【习题2】 设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->，cos()cot tan 0sin cos A B B A B A+-=<．【习题3】 复数45(13i)-等于（）课后检测A．1B．1-C．1D．1-【解析】原式42522516(1i)1(2i)221211(2)22ωω+==-⋅===-+⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，选B ． 【习题4】 已知复数12z z ，满足121z z ==，且12z z -=，求证：12z z +=．【解析】 设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z，由条件知1212z z -==，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以12z z +=．【习题5】 设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中A =，求12z A z A +⋅+的值． 【答案】5121212()()z A z A z z A z A z A A =++=⋅+⋅+⋅+⋅，把12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=代入上式，得2125z A z A A A A +⋅+=⋅==．。