复数集内一元二次方程的解法
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是代数中常见的一类方程，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
解一元二次方程的过程涉及到求根的操作，根据一元二次方程特性定理可知，一元二次方程的解有两个。
为了求解一元二次方程，我们可以运用一些常用的数学方法和技巧。
首先，我们回顾一下如何确定一元二次方程的解的情况。
根据一元二次方程的特性定理，方程的解可以分为三种情况：两个实数解、一个实数解和两个共轭复数解。
当一元二次方程有两个实数解时，方程的判别式D = b^2 - 4ac大于零。
在这种情况下，可以使用求根公式来计算方程的解。
求根公式为x = (-b ± √D) / 2a。
在计算时，根据正负号的不同，可以得到两个实数解。
当一元二次方程有一个实数解时，方程的判别式D = b^2 - 4ac等于零。
在这种情况下，可以使用求根公式来计算方程的解。
求根公式为x = -b / 2a。
可以得到一个实数解。
当一元二次方程没有实数解，即方程有两个共轭复数解时，方程的判别式D = b^2 - 4ac小于零。
在这种情况下，我们可以通过化简方程，将方程写成标准形式。
标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a>0，然后将方程配方为(a1x + b1)^2 + b2 = 0的形式，再根据解方程的办法，解出方程。
在实际解题过程中，我们可以考虑使用因式分解、配方法或者求根公式来求解一元二次方程。
因式分解适用于一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的情况。
通过分解两个因式并令其等于零，可以得到方程的解。
配方法适用于一元二次方程不能直接因式分解的情况。
通过选择适当的常数，使方程可通过配方来进行变形，变形后的方程可以使用因式分解或求根公式进行求解。
求根公式适用于解一元二次方程的一般情况，即判别式D大于等于零的情况。
举个例子来说明一下解一元二次方程的过程。
假设我们要解方程x^2 + 3x - 4 = 0。
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的方法
一元二次方程是高中数学中的重要内容，解一元二次方程是我
们学习数学时需要掌握的基本技能。
本文将介绍两种解一元二次方
程的方法，因式分解法和求根公式法。
首先，我们来看因式分解法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以先利用因式分解的方法将其分解为两个一次因式相乘的形式，即(ax+m)(x+n)=0，然后令ax+m=0和x+n=0，分别求出x的值，即可得到方程的解。
举个例子，对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将其分解为
(x+2)(x+3)=0，然后令x+2=0和x+3=0，解得x=-2和x=-3，即方程
的解为x=-2和x=-3。
其次，我们来看求根公式法。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的根
可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。
其中，b^2-
4ac被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，
方程没有实根，但有两个共轭复根。
举个例子，对于方程x^2-4x+4=0，我们可以利用求根公式x=(-(-4)±√((-4)^2-414))/(21)，化简后得到x=2，即方程的解为x=2。
综上所述，解一元二次方程的方法包括因式分解法和求根公式法。
通过掌握这两种方法，我们可以轻松解决一元二次方程的问题，提高数学解题的效率和准确性。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
一元二次方程在复数集上的根
复数导学案课题：实系数一元二次方程在复数集上的根课型：新授执笔：审核: 使用时间：一、学习目标1、实系数一元二次方程在复数集上的根二、重点难点1、实系数一元二次方程在复数集上的根2、实系数一元二次方程在复数集中的解法三、学习内容1、实系数一元二次方程在复数集C上的根设a是正实数，由可知，．因此，2、一元二次方程ax2+bx+c=0,( a, b, c∈R，a≠0) (16-1-4) 的求根公式为，记判别式∆=b2-4ac．由复数集上负数开方的意义，可以得到如下结论：①②③总之，．四、探究分析1、在复数集内求下列方程的根．(1)x2+16=0；(3)x2+27=0．方法总结：2、判定下列方程根的类型，并求出方程的根．(1)2x2-5x+8=0；(2) x2-7x+4=0；(3)x2-8x+16=0；(4)2(x+1)2=-(x-3)2．方法总结：课堂训练1．把下列各数用虚单位和实数乘积表示．(1)-3的平方根；(2)-14的平方根；(3)-0.5的平方根；(4)-4π的平方根2. 在复数集中讨论下列方程的根．(1) x2-2x+3=0；(2) x2-x+6=0；(3) 2x2+2x+3=0；(4) x2-3x+6=0．．课后作业1. 在复数集内，求下列方程的根．(1)x2+9=0；(2) x2+π=0；(3) x2+49=02. 确定下述方程根的类型：(1)x2+2x+6=0；(2)x2-5x+4=0．3. 在复数集中解下列方程：(1)x2+2x+7=0；(2)2x2-3x+5=0．教学后记。
复数的四则运算——高中数学湘教版(2019)必修二
2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考
in(n∈N+)有什么规律?
提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)=
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究二
复数的乘法与除法运算
例 2 计算下列各题:
(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)
6
(4)( 3-i) ;(5)
4+4i
2
(2-i)
;(6)
2-i
;(3)-4-3i ;
2
1+i 8
.
1-i
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部
与虚部要完全分开的形式.
变式训练 2 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)
1
2
+
3
i
2
3
2
+
1
i
2
(1+i);
(3)(-2+3i)÷(1+2i);
3+2i
(4)
2-3i
第3章
3.2
复数的四则运算
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,
复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案知识讲解
复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）1、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=2(x x3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（ √ ）(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（ ⨯ ）(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z12i7、适合方程2560z z -+=的复数z ；若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2()60a bi +-=222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。
上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
一元二次不等式的概念与解法
一元二次不等式的概念与解法一元二次不等式是数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次不等式的概念和解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、一元二次不等式的概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
与一元二次方程相似，一元二次不等式也由三个系数决定，其解集是使不等式成立的实数解的集合。
二、一元二次不等式的解法对于一元二次不等式，我们可以通过以下几个步骤来求解：1. 将不等式转化为一元二次方程首先，将不等式中的不等号改为等号，得到ax^2 + bx + c = 0。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程的方法来求解不等式。
2. 确定一元二次方程的根确定一元二次方程的根，即求解方程ax^2 + bx + c = 0的解。
一元二次方程的解可以是实数根或复数根。
通过这一步骤，我们可以得到方程的根的情况，从而确定不等式的解的情况。
3. 根据一元二次方程的性质进行分类讨论根据一元二次方程的根的情况，我们可以进行分类讨论，从而确定不等式解的情况。
a) 实数根的情况：- 当方程有两个不相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间。
- 当方程有两个相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间中除去相等根的点。
b) 复数根的情况：- 当方程没有实数根，即有两个虚根时，表明不等式无解。
4. 绘制解集的数轴图根据分类讨论的结果，我们可以在数轴上绘制出解集，以便更直观地表示不等式的解的范围。
通过以上步骤，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
需要注意的是，在解不等式的过程中，我们要充分考虑到一元二次方程的性质，尤其是判别式和因式分解等关键概念，以确保得到正确的解集。
总结：一元二次不等式是一元二次方程的一种推广形式，它具有重要的理论和实际应用价值。
通过将不等式转化为一元二次方程，确定方程的根，并根据根的情况进行分类讨论，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
高中数学的复数运算的公式分析
高中数学的复数运算的公式分析数学的学习中也有些的知识点是需要学生记忆的，下面是店铺给大家带来的有关于高中数学的复数运算的公式的介绍，希望能够帮助到大家。
高中数学的复数运算的公式1.知识网络图2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.4. ⑴复数的单位为i，它的平方等于-1，即.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a + bi的数(其中);②实数—当b = 0时的复数a + bi，即a;③虚数—当时的复数a + bi; ④纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.⑤复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若为复数，则若，则.(×)[为复数，而不是实数]若，则.(√) ②若，则是的必要不充分条件.(当，时，上式成立) 5. ⑴复平面内的两点间距离公式：. 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离. 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程. ②表示线段的垂直平分线的方程. ③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若，此方程表示线段). ④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(若，此方程表示两条射线).⑶绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. ②. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. 注：.6. 共轭复数的性质：，(a + bi)()注：两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零，此时两个复数是相等的]7⑴①复数的乘方：②对任何，及有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论. ②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若是1的立方虚数根，即，则 . 8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：①. ②若，是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 9. ⑴复数的三角形式：. 辐角主值：适合于0≤<的值，记作. 注：①为零时，可取内任意值. ②辐角是多值的，都相差2 的整数倍. ③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化：，，.⑶几类三角式的标准形式：10. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若>0，则有二不等实数根;若=0，则有二相等实数根;若<0，则有二相等复数根(为共轭复数). ②当不全为实数时，不能用方程根的情况. ③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.11. 复数的三角形式运算：棣莫弗定理：高中数学的知识点的口诀高中数学口诀一、《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
在复数范围内解实系数一元二次方程+教案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
在复数范围内解实系数一元二次方程【教学目标】1、理解实系数一元二次方程在复数集中的解的情况；2、使学生掌握在复数集中求解实系数一元二次方程的方法；3、掌握当△<0时，实系数一元二次方程的根与系数的关系；4、培养学生的计算能力和类比推理的思想，提高学生逻辑推理的核心素养。
【教学重难点】重点：在复数集内求解实系数一元二次方程难点：共轭虚根的应用【教学内容】一、复习巩固复数的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i复数的除法：a+bic+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i[练习](1)(1+i)(3−i)(2)3i−11+i二、例题与练习[例1]在复数范围内解下列方程：(1)x2+2=0 (2)2x2+3=0 (3)x2+3x+4=0小结：<解法一><解法二>【设计意图：培养学生的计算能力和逻辑思维，提高学生的逻辑思维】Q：观察实系数一元二次方程的两个根，你能发现什么吗？（根是成对出现的，有两种情况：两根均为实数或两根均为虚数，当两根均为虚数时，恰好是互为共轭虚数，即虚根成对定理）Q：在实数范围内实系数一元二次方程的两个根满足韦达定理，那么在复数范围内实系数一元二次方程的两个根是否也会满足韦达定理？（根据求根公式，当实系数一元二次方程的两根为虚数时，x1=−b+√−b2+4aci2a ，x2=−b−√4ac−b2i2a，当x1+x2=−b+√4ac−b2i2a +−b−√4ac−b2i2a=−ba，x1x2=−b+√4ac−b2i2a×−b−√4ac−b2i2a=ca，这说明复数范围内的实系数一元二次方程的两个根也满足韦达定理）【设计意图：通过类比推理，培养学生的逻辑推理能力】[例2]若1+3i是方程x2+bx+c=0(b，c∈R)的一个根，则方程的另一个根是_____.小结：利用实系数一元二次方程的两个根互为共轭虚数求解【设计意图：在理论成立的基础上进行计算，着重培养学生的计算能力】[例3]已知1−√2i是关于x的方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个根，求实数a,b 的值.小结：利用实系数一元二次方程的虚根成对定理和韦达定理进行求解【设计意图：通过对上述理论知识，将理论知识与具体题目进行结合，培养学生的计算能力】作业：课本习题7.2 -6 7【板书设计】主题求解方法：1例题演示思路过程2。
复数基础知识导引
【基础知识导引】1．掌握复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方的运算法则，熟练地进行复数的三角形式的运算。
2．理解复数乘法、除法的几何意义。
3．掌握复数集内实系数一元二次方程的解法。
4．了解二项方程的概念，掌握二项方程的解法以及根的几何分布。
【教材内容全解】1．两个复数)sin (cos 1111θθi r z +=与)sin (cos 2222θθi r z +=相乘，有)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r ．即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和． 2．根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下(图5-11)：在复平面内作出1z 、2z 对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角2θ(若02<θ，则按顺时针方向旋转一个角||2θ)，再把它的模变为原来的2r 倍，所得的向量就表示积21z z ，也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩．旋转方向与角度取决于另一复数的辐角，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小．3．两个复数)s i n (c os 1111θθi r z +=与)sin (cos 2222θθi r z +=相除，有)0)](sin()[cos()sin (cos )sin (cos 2212121221111≠-+-=++z i r r i r i r θθθθθθθθ．即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．4．根据三角形式的除法法则，结合向量知识，可以对复数除法的几何意义解释如下(图5-12)：在复平面内作出1z 、2z 所对应的向量，将向量按顺时针方向旋转一个角2θ (若02<θ，则按逆时针方向旋转一个角||2θ)，再把它的模变为原来的21r 倍，所得的向量就表示商21z z 。
高中数学复数运算公式
高中数学复数运算公式
复数
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考试内容：复数的概念；复数的加法和减法；复数的乘法和除法；数系的
扩充。
复数知识要点：复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8%-
10%，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、
不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.
1.知识网络图
2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生
掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方
和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数
的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的。
一元二次方程的概念及其解法
⼀元⼆次⽅程的概念及其解法⼀元⼆次⽅程的概念及解法和讲义知识点⼀：⼀元⼆次⽅程的概念 (1)定义：只含有⼀个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最⾼次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式⽅程．．．．就是⼀元⼆次⽅程。
(2)⼀般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：(1)只含有⼀个未知数；(2)且未知数次数最⾼次数是2；(3)是整式⽅程．要判断⼀个⽅程是否为⼀元⼆次⽅程，先看它是否为整式⽅程，若是，再对它进⾏整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个⽅程就为⼀元⼆次⽅程．（4）将⽅程化为⼀般形式：02=++c bx ax 时，应满⾜（a ≠0）例1：下列⽅程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351=--x x，其中是⼀元⼆次⽅程的有。
变式:⽅程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中⼀元⼆次程的是。
例2：⼀元⼆次⽅程12)3)(31(2+=-+x x x 化为⼀般形式为：，⼆次项系数为：，⼀次项系数为：，常数项为：。
变式1：⼀元⼆次⽅程3（x —2）2＝5x －1的⼀般形式是，⼆次项系数是，⼀次项系数是，常数项是。
变式2：有⼀个⼀元⼆次⽅程，未知数为y ，⼆次项的系数为－1，⼀次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的⼀般形式______________。
例3：在关于x 的⽅程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是⼀元⼆次⽅程；当m=_____时，它是⼀元⼀次⽅程。
变式1：已知关于x 的⽅程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（） A ．⼀元⼆次⽅程 B ．⼀元⼀次⽅程 C ．⼀元⼀次⽅程或⼀元⼆次⽅程 D ．以上答案都不对变式2：当m 时，关于x 的⽅程5)3(72=---x x m m是⼀元⼆次⽅程知识点⼆：⼀元⼆次⽅程的解（1）概念：使⽅程两边相等的未知数的值，就是⽅程的解。
复数集内一元二次方程的解法
复数集内一元二次方程的解法Revised by Petrel at 2021复数集内一元二次方程的解法一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭，1．判定下列方程根的情况，并解方程（1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x（2）0122=+-x x 答：471i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值．|x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9．3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值．二、复系数一元二次方程虚根不一定成对，成对也不一定共轭。
1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？）求方程x 2-2ix-7=0的解解方程：x 2-4ix+5=0；解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，）2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0．251122=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±==231122=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解． 2．已知方程x 2+mx+1+2i=0（m ∈C ）有实根，求|m|的最小值．解方程关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解，则实数m 满足的条件是( C )A ．41-≥mB ．41-≤mC ．121=mD ．121-=m R k ∈，方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是(D ) A ．4≥k B ．522-≤k 或522+≥k C ．23±=k D ．4-=k 一元二次方程缺少常数项，必有零根（一个特殊的实根）设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根，且3=-βα，求m 。
48、复数中的方程问题
三、复数中的方程问题【教学目标】1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法．2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用．【教学重点】一元二次方程的根的讨论．【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论，13=x 的根的应用．【教学过程】一．知识整理1．实系数一元二次方程的根的情况设方程02=++c bx ax （a ，b ，R c ∈且0≠a ），判别式△ac b 42-=． （1）当△0>时，方程有两个不相等的实数根：aac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=．（2）当△0=时，方程有两个相等的实数根： ab x x 221-==．（3）当△0<时，方程有两个共轭虚根： ai b ac b x 2421-+-=，ai b ac b x 2422---=．2．代数式22b a +（a ，R b ∈）的因式分解利用z z z ⋅=2||，有))((22bi a bi a b a -+++3．复系数一元二次方程根与系数的关系设方程02=++c bx ax （a ，b ，C c ∈且0≠a ）的两个根为1x ，2x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+a c x x ab x x 2121．4．方程13=x 的根方程13=x 有三个根，11=x ，i x 23212+-=，i x 23213--=．若记i 2321+-=ω，则ω有性质：13=ω（13=n ω，Z n ∈），2ωω=，012=++ωω．二．例题解析【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式． （1）44b a -； （2）3212-+-x x ．【解答】解：（1）))()()(())((222244bi a bi a b a b a b a b a b a -+-+=+-=-． （2）3212-+-x x ])5()1[(21)62(21222+--=+--=x x x)51)(51(21i x i x --+--=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】（1）若i 23+是实系数方程022=++c bx x 的根，求实数b 与c ；（2）若i 23+是方程0422=-++i c bx x 的根，求实数b 与c ．【解答】解；（1）由题意，i 23-是方程的另一根，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-++2)23)(23(2)23()23(c i i b i i ，所以12-=b ，26=c ．（2）将i 23+代入方程得04)23()23(22=-++++i c i b i ，整理得，0)220()310(=++++i b c b ，所以⎩⎨⎧=+=++02200310b c b ，解得⎩⎨⎧=-=2010c b ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】（1）已知012=++x x ，求504030x x x ++的值． （2）若012=+-a a ，求17171aa +的值．【解答】解：（1）由012=++x x ，得i x 2321±-=，所以13=x ，所以504030x x x ++012=++=x x ．（2）由012=+-a a ，得i a 2321±=，当i a 2321-=时，则ω-=a （i 2321+-=ω），13=a ，2171717)(ωωω-=-=-=a ，ωω-=-=21711a，所以1)(121717=+-=+ωωaa ．同理可得，当i a 2321+=时，也有111717=+aa．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，证明题，中，逻辑思维【题目】证明：在复数范围内，方程ii z i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解．【解答】证明：原方程化简为i z i z i z 31)1()1(||2-=+--+，设yi x z +=（x ，R y ∈），代入上述方程，得i yi xi y x 312222-=--+，所以⎩⎨⎧=+=+322122y x y x ，消去y ，整理得051282=+-x x ，此方程的判断式△016584)12(2<-=⨯⨯--=，故x 无实数解．所以，原方程在复数范围内无解．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x 的二次方程02)12(2=+++-a x a x 有虚根，且此根的三次方是实数，求实数a 的值．【解答】解法一：设方程的虚根为ni m +（m ，R n ∈且0≠n ），由3)(ni m +为实数，得m n 3±=，所以方程的虚根为)31(i m ±，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧+=+-=24)12(22a m a m ，消去m ，得 21442+=++a a a ，01342=-+a a ，解得1-=a 或41=a ．解法二：设方程的虚根为1z ，则另一虚根为12z z =， 因为R z ∈31，所以()32313131z z z z ===，03231=-z z ，0))((22212121=++-z z z z z z ，因为21z z ≠，所以0222121=++z z z z ，即21221)(z z z z =+，由根与系数的关系，2)12(2+=+a a ，01342=-+a a ，解得1-=a 或41=a ．三．课堂反馈【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若i 23+是方程022=++c bx x （b ，R c ∈）的一个根，则=c _________．【解答】答案：26【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】已知ai +2，i b +是实系数一元二次方程02=++q px x 的两根，则=p _________，=q ____________．【解答】答案：4-，5【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若ω是方程13=x 的一个虚根，则=-++-)1)(1(22ωωωω___________．【解答】答案：4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】在复数范围内解方程：ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）．【解答】解：原方程化简为i i z z z -=++1)(||2，设yi x z +=（x ，R y ∈），代入上述方程，得 i xi y x -=++1222，所以⎩⎨⎧-==+12122x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=iy x 2321， 所以，原方程的解为i z 2321+-=或i z 2321--=．四．课堂小结1．实系数一元二次方程，在判别式小于零时，有一对共轭虚根（虚根成对）．利用这一点，在已知一根的情况下，就可以知道另一根，再结合根与系数的关系，就使问题得到简化．2．由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根，因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积．3．如果方程的系数含有虚数，则不能用△来判断方程有无实根，共轭虚根定理也不成立，但根与虚数的关系仍成立．这类题如果给出方程有实根的条件，可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解．所以说，复数问题实数化总是解决复数问题的基本策略．五．课后作业【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，填空题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式：（1）=++1622x x ____________________．（2）=+-1cos 22θx x _________________________．【解答】答案：（1）)151)(151(i x i x -+++（2）)sin cos )(sin cos (θθθθi x i x +---【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】设一元二次方程0122=++-b ax x （a ，R b ∈）的一个虚根是i -1，则实数=a __________，=b _________．【解答】答案：4，3【属性】高三，复数，复数开平方问题，填空题，易，运算【题目】复数i 43-的平方根为______________．【解答】答案：i -2，i +-2【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程04)4(2=-+++ai x i x （R a ∈）有实根b ，且bi a z +=，求z ．【解答】解：i z 22--=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，中，运算【题目】方程i z z 31||+=+中z 的解是（ ）A ．i 2321+B ．i 2321+C ．i 34+-D ．i 34-【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-pz z 有无实数根，并给出证明．【解答】解；由已知212-<<-p ，所以4412<<p，所以方程05222=-+-pz z 的判别式△0)4(4)5(4422<-=--=p p ，所以原方程无褛根．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】在复数范围内解方程x x x 23623-=+．【解答】解：把原方程化为523123--=+x x x ⇒)53)(1()1)(1(2-+=+-+x x x x x ，⇒0)64)(1(2=+-+x x x ，解得11-=x ，i x 222+=，i x 223-=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x 的方程02=++m x x （R m ∈）的两根为α、β．（1）若3||=-βα，求m 的值； （2）若3||||=+βα，求m 的值．【解答】解：（1）因为3||=-βα，所以9||2=-βα，所以9|4)(|2=-+αββα，9|41|=-m ，解得25=m 或2-=m ．（2）①当α、β为实数，即041≥-m ，41≤m 时，9|)||(|2=+βα⇒9||222=++αββα⇒9||22)(2=+-+αβαββα⇒9||221=+-m m ，当410≤≤m 时无解；当0<m 时，2-=m ．②当α、β为一对共轭虚数时，即41>m 时，αβ=，由3||||=+βα，可知23||=α，则49||2==⋅=αααm ．综上，2-=m 或49=m ．【题目资源】【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】1．在复数范围内分解因式 （1）164-x ； （2）522+-x x ； （3）83+x ．【解答】解：（1）)2)(2)(2)(2()4)(4(16224i x i x x x x x x -+-+=+-=-． （2）)21)(21(2)1(52222i x i x x x x -+++=++=+-．（3）)31)(31)(2()42)(2(282333i x i x x x x x x x --+-+=+-+=+=+．2．若实系数一元二次方程02=++b ax x 有一个虚根为i 2，则=a _______，=b ______．【解答】答案：0，4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】关于复数z 的方程i zi z 212||2+=-的解集是________________．【解答】答案：}21,1{i ---【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】方程022=-+kx x 有一个根是i +1，则它的另一个根是_________．【解答】答案：i +-1【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】a 为实数，方程01822=++-a x x 的一个虚根的模是5，则=a __________．【解答】答案：9【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，易，运算【题目】方程0||2=+z z 的复数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程03=++b ax x （a ，R b ∈）有一个根为1．（1）求a ，b 满足的关系式；（2）若此方程的另两个根为虚数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，01=++b a ，即1-=+b a ．（2）由（1），1--=a b ，故方程变为013=--+a ax x ，即0)1()1(3=-+-x a x ，0)1()1)(1(2=-+++-x a x x x ，0)1)(1(2=+++-a x x x ，所以方程的另两根就是方程012=+++a x x 的两根，故△0<， 即0)1(41<+-a ，43->a ．所以，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+-,43．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程042=+-k x x 有一个虚数根为i 21-，求k 的值．【解答】解：由042=+-k x x ，得x x k 42+-=，将i x 21-=代入，得i k 47-=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】设α、β是方程072=+-m x x 的两个虚根，且8||||=+βα，则实数=m ________．【解答】答案：16由题意，α、β是共轭虚数，所以8||2=α，4||=α，于是16||2==αβα，即16=m ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】已知关于x 的方程0)1(2)21(2=--++i a x i ax 有实根，求实数a 的值．【解答】解：设方程实根为0x ，则0)1(2)21(020=--++i a x i ax ，即0)22()2(0020=++-+i a x a x ax，所以⎩⎨⎧=+=-+020020a x a x ax ，所以a x -=0，所以 033=-a a ，解得0=a 或3=a 或3-=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】若虚数z 满足83=z ，求322++z z 的值．【解答】解：由已知，0)42)(2(282333=++-=-=-z z z z z ，因z 为虚数，故0422=++z z ，所以1322-=++z z ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】在复数范围内解关于x 的方程06||52=+-x x ．【解答】解：若x 为实数，则原方程可化为0)3|)(|2|(|=--x x ，解得2±=x ，3±=x ． 若x 为虚数，设bi a x +=（a ,R b ∈且0≠b ），原方程化为065)(222=++-+b a bi a ,所以⎪⎩⎪⎨⎧==++--020652222ab b a b a ，因为0≠b ．故0=a ，06||52=-+b b ，0)1|)(|6|(|=-+b b ，1±=b ．所以，原方程的解为2，2-，3，3-，i ，i -．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】解关于z 的方程iz z 2110||-=-．【解答】解：原方程可化为i z z 42||+=-，设bi a z +=（a ,R b ∈），则原方程可化为i bi a ba 42)(22+=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-+4222b a b a ，解得3=a ，4=b ． 所以，原方程的解i z 43+=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ中，θ为锐角，若实数a 是方程的一个解，求θ与a 的值．【解答】解：由题意，0)2()(tan 2=+-+-i a i a θ，0)1(2tan 2=+--⋅-i a a a θ， 所以⎩⎨⎧=+=-⋅-0102tan 2a a a θ，解得1-=a ，1tan =θ．所以，4πθ=，1-=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知复数w 满足i w w )23(4-=-，|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．【解答】解：由i w w )23(4-=-，所以i i w 34)21(+=+，i w -=2，所以i i iz +=-+-=3||25，故另一根为i -3，设所作方程为02=+-q px x ，则6)3()3(=-++=i i p ，10)3)(3(=-+=i i q ，所以所求方程为01062=+-x x ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】关于x 的实系数方程03222=-++a a ax x 至少有一个模为1的根，求实数a 的值．【解答】解：①当根x 为实数时，0)(8922≥--a a a ，082≥+a a ，8-≤a 或0≥a ．由1||=x ⇒1±=x ．当1=x 时，0222=++a a ，a 无实数解；当1-=x 时，0242=+-a a ，解得22±=a ．②当根x 为虚数时，08<<-a ，1||=x ⇒1=⋅x x ，即122=-a a ，022=--a a ，解得1-=a 或2=a （舍去）． 综上，1-=a ，或22-=a 或22+=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】若C z ∈，关于x 的一元二次方程0342=++-i zx x 有实根，求复数z 的模的最小值．【解答】解：i x zx 342++=，当0=x 时，此等式不成立，故0≠x ．所以，i xxx z 34++=，23825282534||222222=+⋅≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xx xx x x x z所以，当2225xx =，5±=x 时，||z 取最小值23．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知△ABC 顶点为直角坐标分别为)4,(a A ，),0(b B ，)0,(c C ．若虚数aix +=2（0>a ）是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根，且A ∠是钝角，求b 的取值范围．【解答】解：由已知，虚数ai x -=2也是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根，所以⎩⎨⎧=-+=-++5)2)(2()2()2(ai ai cai ai ，解得1=a ，4=c ，则A 、C 的坐标为)4,1(A ，())0,4C ， 所以)4,1(--=b AB ，)4,3(-=AC ，因A ∠是钝角，故0413<-=⋅b AC AB ，又当AB ，AC 共线时，316=b ．所以b 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫⎝⎛,316316,413 ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】已知关于x 的方程022=++a x x （R a ∈）有两个根α、β，求||||βα+的最小值．【解答】解：① 当△044≥-=a 即1≤a 时，α、β是实数，=+2|)||(|βα||222αββα++)|(|24||22)(2a a -+=+-+=αβαββα．当10≤≤a 时，2|)||(|βα+恒为4；当0<a 时，4|)||(|2>+βα． 即1≤a 时，||||βα+的最小值为2．② 当△044<-=a ，即1>a 时，α、β是一对共轭虚数，故αβαβα2||2||||==+22>=a ．综上，||||βα+的最小值为2，取得最小值时a 的取值范围是]1,0[．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，数学探究【题目】已知复数1z ，2z 满足条件2||1<z ，2||2<z ，是否存在非零实数m ，使得mz z 121=+和mz z 121=⋅同时成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121，故1z ，2z 是方程0112=+-m x m x 的两个根．（1）当△0≥即41≤m 且0≠m 时，1z ，R z ∈2，记mx mx x f 11)(2+-=，则2||1<z ，2||2<z ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠≤<<->>-04122120)2(0)2(m m m f f 且，解得43-<m ．（2）当△0<，即41>m 时，1z 、2z 为一对共轭虚数，则mz z z 1||2121==，由2||1<z ，得41<m，所以41>m ．综上，当43-<m 或41>m 时，mz z 121=+和mz z 121=⋅同时成立．。
复数与方程
复数与方程重点难点:一元二次方程一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。
例1．在复数集中解下列方程解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根，∵∴其4次方根为(k=0,1,2,3)∴原方程的解为下面4个复数:法2、求方程的解，即求复数的4次方根。
∵由知1-i为的一个4次方根，∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为:∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。
解2) 令,∴,∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。
注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式(k=0,1,2,……,n-1)求其n个n次方根。
如例(1)解法1，此n个复数的几何意义是复平面上n个点，这n个点均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆上，组成一个正n边形。
<二> 若能由已知中找出个Z的n次方根Z0，则可由n次方根的几何意义求其余n-1个n个次根如下:, 。
如例(1)解法2。
<三>若Z的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z的n次方根时，则可以考虑用n次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。
如例(2)。
二、一元二次方程1. a,b,c∈R时基本解法时，两不等实根可由求根公式求出，时，两相等实根。
可由上面公式求出，时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。
另:韦达定理仍成立。
2. a,b,c∈C时基本解法判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。
但可由求根公式, δ是b2-4ac的一个平方根另:韦达定理仍成立。
例2．在复数集中解方程。
解:∵，∴=，∴原方程的根为。
注:∵(x-1)(x2+x+1)=x3-1∴x2+x+1=0的根也是x3=1的根，即1的两个立方虚根。
记,则，其有如下特征:①；②；③；④；⑤要注意此特征，并能灵活运用其解决有关问题。
北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第5章 复数 复数的乘法与除法 复数乘法几何意义初探
(2)i4n-1=i.( × )
(3)i2n=-1.( × )
知识点五 *复数乘法几何意义初探
设复数 z1=a+bi(a,b∈R)所对应的向量为1 .
若 z2=(a+bi)·c(c>0)所对应的向量为2 ,则2 是1 与 c 的数乘,
即2 是将1 沿原方向伸长(c>1)或压缩(0<c<1)c 倍得到的.
1-i
1-i
1-i
1-i
1-i
探究点三 与复数有关的方程问题
【例3】 求解下列问题:
(1)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,求a+b的值;
(2)已知关于x的方程x2+kx+k2-2k=0有一个模为1的虚根,求实数k的值.
解 (1)当a=0时,解得b∉R,不符合题意,所以原方程为一元二次方程.
求解此类题目关键是要理解所求复数表示的向量是如何由已
知复数所表示的向量旋转得到的,可利用数形结合的方法,将已知或所求复
数所表示的向量在复平面内表示出来,可直观地观察旋转的角度.
第五章
2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
课标要求
1.掌握复数的乘法与除法,能够进行复数的乘、除运算.
2.掌握虚数单位i幂值的周期性,能进行有关的运算.
3.能在复数范围内解有关方程问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
(2)
;
1+2i
(3)(1+√3i)3.
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复数集内一元二次方程的解法 实系数一元二次方程
复系数一元二次方程 ∆的作用 可以用来判断根的情况
不能用来判断根的情况 求根公式 适用
适用 韦达定理
适用 适用 一、实系数一元二次方程
只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭，
1．判定下列方程根的情况，并解方程
（1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x
（2）0122=+-x x 答：4
71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值．
|x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9．
3．已知实系数一元二次方程
2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值．
二、复系数一元二次方程
虚根不一定成对，成对也不一定共轭。
1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？）
求方程x 2-2ix-7=0的解
解方程：x 2-4ix+5=0；
解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5
351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，）
2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0．
2511
22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311
22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题
1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．
2．已知方程x 2+mx+1+2i=0（m ∈C ）有实根，求|m|的最小值．
解方程
关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解，则实数m 满足的条件是( C )
A ．41-≥m
B ．41-≤m
C ．121=m
D ．12
1-=m R k ∈，方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是( D )
A ．4≥k
B ． 522-≤k 或522+≥k
C ．23±=k
D ．4-=k
一元二次方程缺少常数项，必有零根（一个特殊的实根）
设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根，且3=-βα，求m 。
答：25=
m 利用∆-=∆-=-i βα 已知i 2321+-是方程022=++kx x （C k ∈）的一个根，求k 的值。
答：i 2
323+（不能用求根公式、虚根成对定理求解，可利用根适合方程解答） 关于x 的方程02=++a x x 有两个虚根，而且2=-βα，则实数a 的值是( A )
A ．45
B ．21
C ．5
2 D ．2 若方程035)(2)1(2=-++-+i x i a x i （R a ∈）有实根，求合适的a 。
答：3
7=
a 或－3 关于x 的方程22210123ix ix i x a x --=--有实数根，求实数x 的值。
答：571-=a 或11。
7．设关于x 的方程0)3(22=+++i tx t t x 有纯虚数根，求实数t 的值。
答：3-=a
8．。