2019-2020学年九年级数学上册 第三章《圆》正多边形和圆学案(1)鲁教版五四制.doc
九年级数学第三章《圆》教材分析
九年级数学第三章《圆》的教材分析一、教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．二、教学目标1．知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．三、教学重点1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线L 和圆相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r 及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d 与r 1和r 2之间的关系：外离⇔d>r 1+r 2；外切⇔d=r 1+r 2；相交⇔│r 2-r 1│<d<r 1+r 2；内切⇔d=│r 1-r 2│；内含⇔d<│r 2-r 1│．11．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．12．n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形=2360n R π及其运用这两个公式进行计算． 13．圆锥的侧面积和全面积的计算．四、教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．4．点与圆的位置关系的应用．5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用．8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ的关系的应用．11．n 的圆心角所对的弧长L=180n R π及S 扇形＝2360n R π的公式的应用． 12．圆锥侧面展开图的理解。
鲁教版九年级数学下册《正多边形和圆》导学案-新版
5.8正多边形和圆一、学习目标：1.使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系；2.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3.能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；5.培养学生对图形美的欣赏能力，让学生到生活中去发现美。
二、知识准备1.在理解感知圆和正多边形的基础上，理解正多边形与圆的关系，会用量角器画正多边形，会用直尺和圆规画特殊的正多边形。
2.通过观察大量的实物图形理解归纳这些图形的共同特征引出正多边形的概念。
三、学习内容（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。
（2）概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？（3）借助量角器将一个圆分为三等份、四等分、五等分。
问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。
（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。
）思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
思考：如何作正三角形、正十二边形？拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．求证：五边形ABCDE是正五边形。
九年级数学上册24.3正多边形和圆(教案)
九年级数学上册24.3 正多边形和圆【知识与技术】认识正多边形和圆的关系，认识正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等观点 .会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题 .会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形 .【过程与方法】联合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，而后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题 .【感情态度】学生经历察看、发现、研究等数学活动，感觉到数学根源于生活、又服务于生活，表现事物之间是互相联系，互相作用的 .【教课要点】正多边形与圆的有关观点及其之间的运算.【教课难点】研究正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系 .一、情境导入，初步认识察看这些漂亮的图案，都是在平时生活中，我们常常能看到的利用正多边形获得的物体 .（1）你能从图案中找出多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？如何就能作出一个正多边形来？【教课说明】学生经过察看漂亮的图案，赏识生活中正多边形形状的物体 . 让学生感觉到数学根源于生活，并从中感觉到数学美 .问题（ 2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生踊跃研究、研究的热忱，并存心将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思虑研究，获得新知1.正多边形和圆的关系问题 1 将一个圆分红 5 等份，挨次连结各分点获得一个五边形，这五边形必定是正五边形吗？假如是，请你证明这个结论 .教师指引学生依据题意绘图，并写出已知和求证.已知：如图，在⊙ O 中，A 、B、C、D、E 是⊙ O 的五均分点 .挨次连结ABCDE 形成五边形 .问：五边形 ABCDE 是正五边形吗？假如是，请证明你的结论.答案：五边形 ABCDE 是正五边形 .证明：在⊙ O 中，∵AB BC CD DE EA ，∴AB=BC=CD=DE=EA，BCE C DA 3AB ，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE 是正五边形 .【教课说明】教师指引学生从正多边形的定义下手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；指引学生察看、剖析，教师率领学生达成证明过程.问题 2 假如将圆 n 均分，挨次连结各分点获得一个 n 边形，这个 n 边形必定是正 n 边形吗？答案：这个 n 边形必定是正 n 边形 .【教课说明】在这个问题中，教师要点关注学生能否会模仿证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n 边形 .从问题 1 到问题 2 是将结论由特别推行到一般，这切合学生的认知规律，并教育学生一种研究问题的方法，由特别到一般.问题 3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？假如是，说明原因；假如不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等 .各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形 .【教课说明】问题 3 的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判断圆内接多边形是正多边形，一定知足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不行 . 同时教会学生学会举反例.培育学生思想的批评性 .2.正多边形的有关观点综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等观点.正 n 边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°（ n-2）n3.正多边形和圆有关的计算问题4m 的正六边形，例 1（课本 106 页例题）有一个亭子，它的地基是半径为求地基的周长和面积（结果保存小数点后一位）.剖析：依据题意作图，将实质问题转变为数学识题.解：如图 .∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠ BOC=360°/6=60° .∴△ BOC 是等边三角形 .∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4× 6=24（ m）.过 O 点作 OP⊥ BC，垂足为 P.在 Rt△OCP 中， OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教课说明】例 1 是让学生认识有关正多边形的观点后，掌握正多边形的计算 .同时，经过例 1 指引学生将实质问题转变为数学识题，将多边形化归为三角形来解决 .例 2 经过网格来表现问题，在解决例 2 时，教师指导学生用数形联合的方法来解决问题，加深对有关观点的理解 .4.画正多边形画正多边形，往常是经过均分圆周的方法来画的.均分圆周有两种方式：（1）用量角器均分圆周 .方法一：因为在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，所以作相等的圆心角能够均分圆 .方法二：先用量角器画一个等于 360° /n 的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的 1/n，而后在圆上挨次截取这条弧的等弧，就获得圆的几均分点 .【教课说明】这两种方法能够随意均分圆，但不行防止地存在偏差.（2）用尺规均分圆正方形的作法 :如图（ 1)在⊙ O 中，尺规作两条垂直的直径，把⊙ O 四均分，进而作出正方形 ABCD. 再逐次均分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图（2）随意作一条直径AB ，再分别以 A、 B为圆心，以⊙ O 的半径为半径作弧，与⊙ O 交于 C、D 和 E、F，则 A 、C、 E、B、F、D 为⊙ O 的六均分点，按序连结各均分点，获得正六边形 ACEBFD.方法二：如图（ 3）因为正六边形的半径等于边长.所以在圆上挨次截取等于半径的弦，就将圆六均分，按序连结各均分点即可获得正六边形.【教课说明】尺规作图法是一种比较正确的均分圆的方法，但有较大的限制性，它不可以将圆随意均分.三、运用新知，深入理解1.如图，圆内接正五边形 ABCDE ，对角线 AC 与 BD 订交于点 P，则∠ APB的度数为 _______.2.边长为 2/π的正方形的内切圆与外接圆所构成的圆环的面积为_____.3.假如一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点 M 、N 分别是⊙ O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD ，正五边形 ABCDE ，正 n 边形的边 AB、BC 上的点，且 BM=CN ，连结 OM 、ON.（1）求图 1 中的∠ MON 的度数；（2）在图 2 中，∠ MON 的度数为 _____，在图 3 中，∠MON 的度数为 _____；（3）尝试究∠ MON 的度数与正 n 边形边数 n 之间的关系 .（直接写出答案）【教课说明】题 1、2 可由学生自主研究达成，题3、4 可先让学生思虑，然后教师加以提示，最后共同解答.达成教材第 106 页、 108 页的练习 .【答案】°4.解：（ 1）连结OB 、 OC. ∵正三角形ABC内接于⊙ O，∴∠ OBM=∠OCN=30°，∠ BOC=120°.又∵ BM=CN ，OB=OC，∴△ BOM ≌△ CON，∠BOM= ∠CON，∴∠ MON= ∠BOC=120°.(2)90° 72°(解法与（ 1）同样 )(3)∠ MON=360° /n.四、师生互动，讲堂小结经过这节课的学习，你知道正多边形和圆有如何的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等观点吗？你能画出正多边形吗？【教课说明】教师先提出问题，而后让学生自主思虑并回首，教师再予以增补和评论 .1.部署作业：从教材“习题”中选用 .2.达成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课第一从复习正多边形的定义下手，经过创建问题情境，将正多边形与圆密切联系，让学生发现它们之间的亲密关系，并将结论由特别推行到一般，切合学生的认识规律，经过学习正多边形中的一些基本观点，指引学生将实质问题转变为数学识题，表现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这能够发展学生的作图能力.2.均分圆周法是一种作正多边形的常有方法，经过作简单的正三角形、正方形、正六边形，向来推行到作正八边形的状况，能够向学生灌注极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的观点，它从数目上描绘变量在变化过程中的变化趋向，在高中数学中，极限思想浸透到函数、数列等章节，又连接高等数学，起着承前启后的作用 .。
2019-2020学年人教版初三数学上册：22.3 正多边形和圆(原创导学案)
A．36°B．60°C．72°D．108°
3.边长为 的正六边形的内切圆的半径为（）
A． B． C． D．
4.下述美妙的图案中，是由正三角形.正方形.正六边形.正八边形中的三种镶嵌而成的为（）
5．如图，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长 为（）
变式训练
3.如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）
A．36°B．46°C．27°D．63°
正解：按照上图所示作辅助线，使△ 构成直角三角形,
那么,由题意可知OE=2-r,OB=r，BE=1.所以, ,解得 .故圆的半径为 .
A．10cmB．3.5 cm C．4 5 cm D．2.5 cm
6.半径为 的圆内接正三角形的面积是（）
A． B． C． D．
7．如图，附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（ ）
A．△ACFB．△ADEC．△ABCD．△BCF
错解：在直角三角形OBE中，由勾股定理知：OB2=OE2+BE2，所以r= .
错解分析：误把圆心O当作正方形的对角线的交点.那样就把r当作对角线的一半来算,事实上,圆心与正方形的对角线的交点并不重合.
基础过关
1．正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）
A．6 0°B．45°C．30°D．22.5°
九年级数学上册24.3正多边形和圆教案1(新版)新人教版
问题3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
【教师强调】正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形。
目标导学2：了解正多边形和圆的密切关系，借助圆可以画正多边形（幻灯9~11）
问题2：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形来吗?（幻灯4）
问题3：圆具有哪些对称性？（幻灯5）
二、目标导学,探索新知
目标导学1：理解正多边形的定义（幻灯6~8）
问题1：什么叫正多边形？
问题2：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
【教学提示】从弧相等—弦相等—边相等；弧相等—圆周角相等—角相等，从而根据正多边形的定义得证。
【教学提示】教师借助图形进行类比概念教学.
【教学提示】正多边形的有关计算问题转化到以正多边形半径、边心距、弦的一半为边的直角三角形中去解决。
【教学提示】关键是先算出各正多边形的中心角的一半，在直角三角形中去解决。这里的直角三角形都是含30°、45°60°的特殊角，可利用三边之比快速解决。当然也可以用勾股定理建立方程解决。
练一练：把⊙O进行 5 等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE，
:（1）填空。
(2)你认为这个五边形ABCDE是正五边形，简单说说理由。
目标导学3：正多边形的有关概念及性质（幻灯12~13）
问题1：类比圆的相关概念，观察下面的图，你能说出什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角吗？
问题2：正多边形的内角、中心角、外角怎样计算？请完成下面填空：
九年级数学上册 24.3 正多边形和圆(第1课时)教案 (新版)新人教版
正多边形和圆教学内容24.3 正多边形和圆（1）．教学目标1. 理解正多边形概念和性质，知道正多边形的中心、半径、中心角和边心距．2. 会画正多边形，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形，过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．教学重点1. 正多边形的画法．2. 利用正多边形解决有关问题．教学难点对正n边形中泛指“n”的理解．课时安排2课时．教案A第1课时教学内容24.3 正多边形和圆（1）．教学目标1．理解正多边形概念，知道正多边形的中心、半径、中心角和边心距．2．掌握正五边形的画法．3．利用正多边形解决有关问题．教学重点正五边形的画法．教学难点利用正多边形解决有关问题．教学过程一、导入新课同学们思考以下问题：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？3．等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？（各边相等、各角相等）．各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．这就是我们今天学习的内容——正多边形和圆．二、新课教学1．正多边形在日常生活中的广泛应用．日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案．你还能举出一些这样的例子吗？2．认识正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．问题1：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？回答：矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．问题2：圆内接多边形是什么样的多边形？生答：正多边形．3．正五边形的画法．正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE．求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．证明：∵＝，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3＝．∴∠A＝∠B．同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E．又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．4．正多边形的有关概念．我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如图）．6．实例探究．例如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．教师引导学生分析、讨论，根据题意，画图，添加补充线，然后解答．具体过程见教材第106页．三、巩固练习教材第106页练习2、3．四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题24.3 第1、2题．。
正多边形和圆 教学设计-2020年秋人教版九年级数学上册
正多边形和圆一、内容和内容解析1．内容正多边形的相关概念和画正多边形．2．内容解析日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形可以设计出美丽的图案，因此正多边形的有关计算在生活中经常用到．正多边形和圆关系密切，只要把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形．正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念也与正多边形所在的外接圆关系密切，这些概念是进行与正多边形有关计算的基础．由于正多边形在生产和生活中有着广泛的应用，因此很多时候需要画正多边形．利用等分圆周的方法，可以画出任意的正多边形；利用尺规作图，可以画出一些特殊的正多边形．利用等分圆周的方法画正多边形时，体现了正多边形与圆的关系；利用尺规作图画正多边形，体现了一些特殊的正多边形的性质．由以上分析，可以确定本节课的教学重点是：正多边形的有关计算问题和画正多边形．二、目标和目标解析1．目标（1）了解正多边形与圆的关系，会利用基本作图作圆的内接正方形和正六边形．（2）在画正多边形的过程中，感受正多边形与圆的和谐美．2．目标解析达成目标（1）的标志是：理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形；能利用正多边形和圆的关系等分圆周作圆的内接正方形和正六边形．达成目标（2）的标志是：在利用正多边形和圆的关系画正多边形的过程中，提高了观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力，感受到正多边形与圆的和谐美，并乐于利用正多边形进行图案设计．三、教学问题诊断分析学习本节课，学生具备三角形、正多边形、圆等相关的知识储备，但是由于与正多边形相关的概念比较多，学生容易混淆．另外，在进行与正多边形有关的计算时，学生还不能很快地利用所学知识将正多边形的计算问题转换成解直角三角形的问题．对于正多边形的画法，学生开始可能会无从下手．需要教师引导学生注意正多边形与圆的关系，引导学生利用等分圆周的方法画正多边形．在利用尺规作图的方法等分圆周时，学生往往不能充分利用特殊的正多边形的性质去考虑如何等分圆周，需要教师加以引导．由以上分析，本节课的教学难点是：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决和利用尺规作图的方法画一些特殊的正多边形．四、教学过程设计1．创设情境问题1 我们知道，各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．观察这些图片，你能从中找出正多边形吗?师生活动：教师展示图片，学生观察图片，感受生活中的正多边形．设计意图：感受生活中的正多边形，体会正多边形的美．2．探究新知问题2 正三角形、正方形、正五边形、正六边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？师生活动：教师出示问题，学生独立思考、回答，得出：它们都是轴对称图形，并且正三角形有3条对称轴、正方形有4条对称轴、正五边形有5条对称轴、正六边形有6条对称轴；正三角形、正五边形不是中心对称图形，而正方形、正六边形都是中心对称图形．教师追问：你能根据这几个正多边形的对称性总结出任意一个正多边形的对称性吗？师生活动：学生积极思考，教师引导学生从与正多边形的边数去发现规律，得出结论：正多边形都是轴对称图形，而且正n边形有n条对称轴；只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形．设计意图：通过观察、思考，经历由特殊到一般的研究过程，归纳出正多边形的对称性．问题3 如何在圆中作圆内接正多边形？教师追问：你能借助圆画出正三角形、正方形和正五边形吗？师生活动：学生在教师的指导下利用前面所学习的同圆中相等的弧所对的弦相等，通过等分圆周画出圆的内接正多边形，并结合正多边形的概念证明通过把圆分成相等的五段弧，依次连接各分点所得五边形为正五边形．教师帮助学生梳理证明思路．设计意图：感受知识间的联系，学会利用所学的知识解决新问题．问题4 什么是正多边形的中心、半径、边心距和中心角?师生活动：学生在教师的指导结合图形,认识并理解正多边形的中心、半径、边心距和中心角的概念．设计意图：培养学生数形结合分析问题、理解问题的能力．3．例题讲解例如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)．师生活动：学生在教师的指导下将实际问题中的正六边形地基抽象正六边形ABCDEF，从而将实际问题转化为数学问题．为了帮助学生找到解题思路，教师提出以下问题：教师追问（1）：正六边形的周长如何计算？教师追问（2）：正六边形的面积如何计算？教师追问（3）：正六边形的边心距如何计算？设计意图：通过教师一系列追问，引导学生将将求结论一步步转化为由已知可得出的结论，从而找到解题的入手点和整个解题思路．教师追问（4）：结合刚才解正六边形问题的过程，请同学们思考以下两个问题：（1）正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？（2）正n 边形的半径、边长、边心距之间有什么关系？师生活动：学生先独立思考，再小组交流合作，每组派代表发言．教师引导学生归纳出：正n 边形的半径、边长的一半、边心距围成一个直角三角形．设计意图：学生通过观察思考，交流合作，总结归纳出正多边形的有关计算都可归结为解直角三角形的问题来解决．问题4 你能画一个边长为 1.5 cm的正六边形吗？师生活动：学生小组合作，试着用自己所学的知识解决问题．教师引导学生先将圆周六等分，再顺次连接各分点，即可得到正六边形．学生通过画图，归纳总结出两种方法：（1）用量角器依次画出60°的圆心角，得到圆的六个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形；（2）用量角器画一个60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的六个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形．问题5 你能用尺规作图的方法画出正六边形和正方形吗？师生活动：教师引导学生先计算正六边形、正方形的中心角，然后根据中心角的特点考虑如何用尺规等分圆，从而画出正六边形、正方形．教师用ppt演示画图过程，并引导学生在画出的正六边形、正方形的基础上画其它正多边形．教师追问：根据上面画正六边形、正方形的过程，你能总结出正n边形的画法吗？师生活动：学生积极思考、小组合作，归纳出正n边形的画法：先把一个圆n等分，再顺次连接个分点，即可得到正n边形．画正多边形的关键是等分圆周．等分圆周的方法有三种：方法1用量角器依次画出相等的圆心角来等分圆周．方法2用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点．方法3用尺规作图等分圆周．设计意图：使学生理解、体会圆与正多边形的内在联系，培养学生利用所学内容解决问题和归纳概括的能力．4.巩固练习完成下表中有关正多边形的计算：师生活动：学生独立完成，教师与学生核对答案，提示思路，并评价．设计意图：通过练习，让学生进一步巩固正多边形的概念和有关计算.5.课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）正多边形与圆有什么关系？（2）本节课学习了哪些与正多边形有关的概念？在解决有关正多边形的计算问题时，关键是什么？（3）如何画正多边形？设计意图：通过小结，让学生梳理本节课所学主要内容，把握本节课的重点，培养学生归纳概括的能力.6.布置作业教科书第106 页练习的第2 、3 题和第108 页练习的第1 、2 题．五、目标检测设计1．各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例．设计意图：考查学生对正多边形概念的掌握情况．2．分别求半径为R 的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积．设计意图：考查学生对正多边形的有关计算的掌握情况．3．画一个半径为2 cm 的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星．设计意图：考查学生对正多边形的画法的掌握情况.说明：本课程结合了义务教育教科书数学九年级上册（人民教育出版社）第二十四章第三节的内容，见教科书第105 页至第108 页．。
九年级数学：《正多边形和圆》教学案
课题：正多边形和圆【学习目标】1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．【学习重点】探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算． 【学习难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系．情景导入 生成问题旧知回顾：1．前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？2．谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？3．正多边形和圆有什么关系呢？自学互研 生成能力知识模块一 正多边形的有关概念【自主探究】阅读课本P 105，完成下题：如图所示，点A 、B 、C 、D 、E 、F 把⊙O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边形ABCDEF ，它是正六边形吗？写出证明过程．解：如图，∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝FA ︵，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA ，BCF ︵＝CDA ︵＝DEB ︵＝EFC ︵＝FAD ︵＝ABE ︵.∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F.∴六边形ABCDEF 是正六边形．又∵六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上，∴正六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，即⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆．归纳：1.一个正多边形的各个顶点都在一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的内接多边形，圆叫做这个多边形的外接圆．2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．3．外接圆的半径叫做正多边形的半径．4．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．5．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【合作探究】典例：已知：如图，在⊙O 中，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 的五等分点．依次连接ABCDE 形成五边形． 问：五边形ABCDE 是正五边形吗？如果是，请证明你的结论．答案：五边形ABCDE 是正五边形．证明：在⊙O 中，∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，BCE ︵＝CDA ︵＝3AB ︵，∴∠A ＝∠B ；同理∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ，∴五边形ABCDE 是正五边形．知识模块二 正多边形的有关计算【合作探究】阅读P 106，完成下面例题：典例：已知正六边形的半径为R ，求正六边形的边长、边心距和面积．解：如图，∵正六边形的中心角为60°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ＝OB ，∴△OBA 是等边三角形．∴AB ＝OA ＝R.过点O 作OM ⊥AB 于M ，则AM ＝12R. 在Rt △OAM 中，OM ＝R 2＋⎝⎛⎭⎫12R 2＝32R. ∴S 正六边形＝6S △OBA ＝6×12AB ·OM ＝3R·32R ＝332R 2. 知识模块三 正多边形的作法【合作探究】阅读教材P 107，完成下面的题：典例：利用手中的工具求作一个边长为3cm 的正六边形．解：方法一：如图1，以3cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于360°÷6＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，即可得到正六边形．方法二：如图2，以3cm 为半径作一个⊙O ，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取长度等于3cm 的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各等分点即可．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 正多边形的有关概念知识模块二 正多边形的有关计算知识模块三 正多边形的作法当堂检测 达成目标【当堂检测】1．若一个正多边形的每个外角为36°，则这个正多边形的中心角为( B )A ．18°B ．36°C ．54°D ．72°2．若正方形的边长为6，则其外接圆半径为32，内切圆半径为3．3．已知一个圆的半径为5cm ，则它的内接正三角形的半径为5cm ，边心距为2.5cm ．4．如图，已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为123，求⊙O 的半径．解：连接OB 、OD ，作OG ⊥BD 于点G ，设OB ＝OD ＝R ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴∠BOD ＝2∠BFD ＝120°.∵OG ⊥BD ，∴∠GOD ＝60°，∠ODG ＝30°.∴OG ＝12OD ＝12R ，GD ＝OD 2－OG 2＝32R ，BD ＝3R. 又∵S △FBD ＝3S △OBD ，S △FAB ＝S △OBD ，S △FBD ＝3S △FAB ，S △FAB ＝S △OBD ，∴4×12×3R ×12R ＝12 3. 解得R ＝23，即⊙O 的半径为2 3.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺 1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
2019-2020学年九年级数学《正多边形和圆》教案.doc
2019-2020学年九年级数学《正多边形和圆》教案主备人课时一课时分管领导验收结果教学目标知识与技能1、了解正多边形和圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。
重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算。
难点：探索正多边形与圆的关系。
教学过程教师活动学生活动一.创设情境，导入新课：观察下列美丽图案（课本图24.3—1）回答问题：（1）这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常看到的得用正多边形得到的物体，你能从这些图案中找出正多边形来吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？二.自主探究问题1：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论。
问题2：如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？学生观察图案，思考并指出找到的正多边形学生讨论、交流、发表各自见解。
学生完成证明过程。
学生思考，同学间交流，回答问题。
问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接正多边形呢？如果是，说明为什么，如果不是，举出反例。
归纳总结一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．三.尝试应用1．课本例题，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m）2．完成下表中有关正多边形的计算：正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3 234 16 3四.补偿提高3．课本练习1、2、31．同步学习P70开放性作业：1、2、3、4、6、7、8题学生讨论，思考回答学生看图（课本图24.3—3）理解概念学生画出正六边形图形，完成例题1的解答，总结这一类问题的求解方法。
九年级数学上册 第三章《圆》正多边形和圆学案(2)(无答案) 鲁教版五四制
课题：正多边形和圆（1）学习目标：正n边形的画法；重点：画图依据难点：画图依据一. 学前准备1、什么是正多边形？举出例子。
2、正多边形具有什么性质？练习：（1）一个正多边形的一个外角大于一个内角，则其边数为（）A.3 B.4 C.6 D.3或4 （2）正六边形绕它的中心旋转，若旋转的角度是（），则得到的正六边形与原来的不重合。
A.60度B.150度C.300度D.420度（3）已知两个正多边形的边数之比为1：2，而它们的每个内角度数之比也为1：2，则这两个多边形的边数为（）A.3，4 B.3，6 C.4，6 D.4，8（4）一个正多边形的内角是144度，这个正多边形是正边形；二、自主学习：1、自学课本P.44“议一议”，独立思考尝试解决。
2、怎样作圆的内接正n边形？尝试画一个正五边形、正六边形三、展示交流：四、巩固练习：课本随堂练习，习题4.16五、达标检测：1、下列判断：（1）圆的内接平行四边形是正方形；（2）圆的外切平行四边形是正方形；（3）圆的内接菱形是正方形；（4）圆的外切矩形是正方形，其中正确的命题有（）A.1 个B.2 个C.3个.D.4个2、正三角形的外接圆半径为4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径为；3、一元硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边唱最大不能超过 mm（保留根号）4、正n边形的一个内角与正（n+2）边形的一个内角的和为120度，求N的值。
位置关系？为什么？课题：正多边形和圆（2）学习目标：1、掌握正多边形的有关概念及性质；2、会进行正多边形的计算问题重点：会进行正多边形的计算问题难点：正多边形的有关概念及性质；一. 自主学习：1、自学课本P46内容，完成相应问题。
2、自学课本P47“议一议”上面的内容，理解一下相关概念。
正多边形的中心：正多边形的半径：正多边形的边心距：正多边形的中心角：3、课本：议一议二、展示交流三、合作探究：1、正多边形的性质：2、例题2：3、⊙O的半径为4cm，⊙O的内接正多边形的一个内角为135度，求这个正多边形的边心距、周长和面积（精确到0.1cm）四、达标检测：1、正六边形的两条平行边间的距离为2，则它的边长为（）2、同是12cm长的铝线折成一个正三角形和一个圆，则圆的面积比正三角形的面积大（）3、已知正十边形的内切圆的半径是3，则这个正十边形的面积是（）Ａ.４５ｓｉｎ３６°Ｂ.90tan18°Ｃ.45cos36°Ｄ.无法确定4、已知：正五边形ABCDE的对角线AC与B E交于M点。
正多边形和圆(教案)-2020年秋人教版九年级数学上册
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）正多边形的性质：理解正多边形的边数与内角、外角的关系，掌握正多边形的对称性及其应用。
举例：正五边形有五条对称轴，每个内角为108°，每个外角为72°。
（2）正多边形的判定：掌握通过边数和角度判断正多边形的方法。
（3）正多边形与圆的位置关系：理解正多边形中心角与半径的关系。
难点解释：学生容易将中心角与圆心角混淆，需要通过具体例子和图示帮助学生理解。
（4）正多边形的面积计算：掌握正多边形面积的计算方法，特别是涉及三角函数的部分。
难点解释：学生对三角函数的应用不熟悉，需要通过实例和练习逐步引导学生掌握计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正多边形的性质和判定方法，以及正多边形与圆的关系。对于难点部分，如正多边形面积的计算，我会通过具体例题和公式推导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正多边形和圆相关的实际问题，如如何计算正五边形的面积。
2.注重引导学生从实际案例中发现规律，加强对中心角与半径关系的讲解。
3.优化实践活动设计，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
4.加强对学生的引导，确保小组讨论围绕主题进行，提高讨论效果。
5.鼓励学生在课堂上积极提问，培养他们的创新思维和问题解决能力。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
九年级数学上册学案：24.3正多边形和圆
课题24．3正多边形和圆学习过程学习内容时间预设课时1拟授课日期11月15日设计者马雪3.合作学习1．正五边形的中心角的度数是________；正五边形的一个内角的度数是________；正五边形的一个外角是________2．正六边形的中心角的度数是________；正六边形的一个内角的度数是________；正六边形的一个外角是________3．正n边形的一个内角的度数是______________；中心角的度数是______，正多边形的中心角_______它的一个外角的.4．如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？方法一、用量角器作一个等于的圆心角.方法二、正方形、正三角形、正六边形、正十二边形等特殊正多边形的作法.4.自学检测有一个亭子（如图），它的地基是半径为4cm的正六边形，求地基的周长和面积。
(结果保留小数点后一位，3≈1.732)学习目标正多边形和圆的有关概念；正多边形的半径、边长、中心角、边心距学习重点正多边形中心、半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系学习过程学习内容时间预设自主与合作1.导言阅读：本节课我们将了解正多边形和圆的有关概念.4.正多边形的________________叫做正多边形的中心；________________叫做正多边形的半径；正多边形每一边__________叫做正多边形的中心角；______到_______________的距离叫做正多边形的边心距.20‘精讲与板书分别计算半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距和面积。
并求出它们边长的比值.5‘过程预设过程预设巩固与提高1．边长为4的正三角形，则它的半径是_______，边心距是_______，中心角是_______.2．若一个正多边形每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是__________.3．有一个边长为3cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全覆盖住这个图形，那么这张纸片的最小半径是____________.4．如图1，正三角形ABC内接于⊙O，AD是⊙O的正十二边形的一边，连接CD，若CD=12，则⊙O的半径是________________.5．下列说法：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各内角相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形的中心角等于它的一个外角；④正多边形既是中心对称图形又是轴对称图形。
九年级上册数学：. . 正多边形和圆教案
五边形的内切圆． 用同样的方法，可以作其它任意正多边形的外接圆与内切圆． 2.确定特殊正多边形的外接圆和内切圆的圆心的画法 ○1 正方形：画对角线，交点就是圆心. ○2 正六边形：分别以两个顶点为圆心，以边长为半径画弧，在形内交于一点，该点就是圆心. 3.问题：任意正多边形的外接圆和内切圆的圆心的确定有怎样的普遍方法吗？ （三）应用 1.折叠问题： ○1 怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形？ （提示：对折；再折使 A、B、C 分别与 O 点重合即可） ○2 能否把一个边长为 8 的正方形纸片折叠一个边长为 4 的正六边形？ （提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理． 对折成小正方形 ABCD； 对折小正方形 ABCD 的中线； 对折使点 B 在小正方形 ABCD 的中线上（即 B’）； 则 B、B’为正六边形的两个顶 2.方案设计： 某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。为了美观，种植要求如下： （1）种植 4 块面积相等的牡丹、4 块面积相等的月季和一块杜鹃。
○1 .如何画一个半径为 2cm 正六边形？在此基础上如何得到正三角
让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总
形？
分析：正六边形的中心角是 60 度，它的边长和半径相等，因此结合
圆的知识可以利用圆规直接截取得到正六边形.
具体作法：
青岛版九年级上册数学《正多边形与圆》
《正多边形与圆》（第1课时）教案探究版一、教学目标知识与技能1．了解正多边形和圆的有关概念，了解正多边形和圆的关系．2．理解并掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念以及它们之间的关系，并能应用它们进行有关的计算．过程与方法结合生活中的正多边形，发现正多边形与圆的关系，然后学会运用圆的有关知识，解决正多边形的问题．情感、态度经历观察、发现、探究等数学活动，感受数学来源于生活，又服务于生活，体会事物之间是相互联系、相互作用的．二、教学重点、难点重点：探索正多边形与圆的关系，弄清正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念．难点：掌握正多边形的半径、中心角、边心距和边长之间的关系．三、教学过程设计（一）复习引入前面我们已经学习了多边形和正多边形的概念，知道了正多边形的各角相等，各边也相等，知道了多边形的外角和等于360°，n边形的内角和等于(n-2)·180°，也研究了等边三角形（正三角形）、正方形（正四边形）的判定和性质，那么正多边形与圆有什么关系呢？这节课我们就来探究这个问题．设计意图：通过简单回顾前面所学的知识引入本节课所学内容．（二）探究新知观察与思考观察下图中的正多边形，思考下面的问题：正六边形正三角形正五边形正方形（1）它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个图形所有的对称轴，并说出这些对称轴是怎样的直线．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成本题，教师订正． 答：它们都是轴对称图形，其对称轴如下图所示．正三角形的对称轴是三边的垂直平分线；正方形的对称轴是边的垂直平分线和对角线所在的直线；正五边形的对称轴是边的垂直平分线；正六边形的对称轴是边的垂直平分线和相隔两个顶点的两顶点所确定的直线．（2）正三角形有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正n 边形有几条对称轴吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成本题，教师订正．答：正三角形有3条对称轴；正四边形、正五边形、正六边形分别有4条、5条、6条对称轴；正n 边形有n 条对称轴．（3）通过画图，你发现正多边形的各条对称轴有怎样的特征？由此你能推出正多边形的什么性质？师生活动：教师出示问题，学生回答，教师补充完善．答：正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等．正多边形的性质：①正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形有n 条对称轴； ②正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等．（4）利用尺规作出一个正三角形的外接圆和内切圆，你发现正三角形的外接圆的圆心与内切圆的圆心有什么特征？师生活动：教师出示问题，让学生先画图，然后再把发现的结论说出来．答：如下图所示，是同心圆，且圆心是各对称轴的交点．该点到正三角形的各顶点的距离相等，到三边的距离也相等．正六边形正五边形正方形正三角形（5）画出一个正方形，你能说出它的外接圆和内切圆的位置吗？你发现正方形的外接圆与内切圆有什么特征？师生活动：教师出示问题，让学生先画图，然后再回答问题．答：正方形的外接圆与内切圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点．该点到正方形的各顶点的距离相等，到四条边的距离也相等．（6）由（4）（5）你猜测正多边形都有外接圆和内切圆吗？如果有，它们的外接圆与内切圆有什么特征？师生活动：教师出示问题，引导学生得出结论．答：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点．教师讲解：如下图，正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．（a ）（b ）A可以看出，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于360n︒．（7）你能分别说出上图中正方形与正六边形的中心、半径、边心距和中心角的度数吗？师生活动：教师出示问题，让学生完成本题．答：上图中正方形的中心为点O，半径为OA，边心距为OP，中心角的度数是90°；正六边形的中心为点O，半径为OA，边心距为OP，中心角的度数是60°．（8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个怎样的图形？相应的边心距把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形？师生活动：教师出示问题，让学生先画图，再回答问题．答：正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，相应的边心距把其中每一个等腰三角形又分成了两个全等的直角三角形．（9）如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的半径r和内切圆的半径d分别是多少？它们之间满足什么关系？一般地，如果正n边形的边长为a n，半径为r n，边心距为d n，这三个量之间有什么关系？师生活动：教师出示问题，让学生先根据题意画出图形，然后引导学生完成本题．答：它的外接圆的半径r，内切圆的半径d，它们之间满足d2+22a⎛⎫⎪⎝⎭=r2．如果正n边形的边长为a n，半径为r n，边心距为d n，那么这三个量之间的关系为2222nn nad r⎛⎫+=⎪⎝⎭．（10）以正n边形的中心O为旋转中心，将正n边形旋转360n︒，你能得到什么结论？师生活动：教师出示问题，让学生思考、讨论后回答问题．答：以正n边形的中心O为旋转中心，将正n边形旋转360n︒后与原来的图形重合．（11）正n边形是中心对称图形吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并回答问题，教师订正．答：当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，它的中心O是对称中心．当n为奇数时，正n边形不是中心对称图形．设计意图：培养学生的动手能力、推理论证能力及归纳概括能力．（三）例题精讲例1 一个正六边形花坛的半径为R，求花坛的边长a，周长p和面积S．师生活动：教师出示例题，让学生完成本题，教师针对学生出现的问题讲评． 解：如下图所示，ABCDEF 为正六边形．连接OA ，OB ，作OG ⊥AB ，垂足为点G ，则OA =OB =R ，AB =a ．在等腰三角形AOB 中， ∵∠GOB =12∠AOB =13603026︒⨯=︒， ∴a =2GB =2R sin 30°=R ． ∴p =6R ．∵OG =R cos 30°， ∴S =6S △AOB=2162R ⨯=． 设计意图：培养学生综合运用所学知识解决问题的能力．例2 如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC =4，OG ⊥BC ，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程． 解：如图，连接OD ．GCF∵六边形ABCDEF 为正六边形， ∴∠COD =3606︒=60°． ∴△COD 为等边三角形．∴CD =OC =4．在Rt △COG 中，OC =4，CG =12BC =12×4=2， ∴OG∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为．设计意图：教师通过引导学生将半径、中心角、边心距等数量，在一个直角三角形中联系起来，将多边形化归为三角形，体现了化归思想．（四）挑战自我如图，正六边形ABCDEF 的边长为5，求对角线AD 、AC 的长．参考答案解：由正六边形的性质可得∠ABC =∠BCD =120°，AB =BC ． ∴在△ABC 中，∠CAB =∠ACB =30°．∴∠ACD =∠BCD -∠ACB =120°-30°=90°，即△ACD 是直角三角形． ∴AD 是正六边形ABCDEF 外接圆的直径． ∵正六边形的边长与外接圆的半径相等， ∴AD =10．在Rt △ACD 中，AC．设计意图：通过本环节让教师查看学生对刚刚学过的知识的掌握情况． （五）课堂练习1．下面的命题是真命题吗？如果不是，请举出一个反例． （1）正多边形的对称轴是经过正多边形的顶点和中心的直线；FEDCBA（2）边数为偶数的正多边形，既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形；（4）有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形．2．完成下表中正多边形的计算，并把计算结果填入表内：师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．解：（1）假命题；反例：过正方形对边中点的直线也是正方形的对称轴．（2）真命题．（3）假命题；反例：等边三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形．（4）假命题；反例：直角三角形既有外接圆也有内切圆，但不是正三角形．2．解：设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．（六）课堂小结1．正多边形的概念各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．2．正多边形的性质（1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴；（2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等；（3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点．3．与正多边形有关的概念（1）正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心；（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距；（4）正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于360n．师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．四、课堂检测设计1．P是正六边形ABCDEF的外接圆上的一点，则∠APB的度数为（）．A．60°B．120°C．30°D．30°或150°2．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）．A．B．C D3．正六边形的边心距与边长之比为（）．A 3B 2C．1∶2 D∶24．如图，正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为___________．5．如图，点M，N分别是正八边形相邻两边AB，BC上的点，且AM=BN，则∠MON=_______度．1．D．2．C．3．B．4．100π-5．45．。
2019-2020学年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆导学案1 新人教版.doc
2019-2020学年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆导学案1 新人教版导学目标知识点：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。
课时：1课时导学方法：探究法导学过程：课前导学1.观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？2.归纳概念：叫做正多边形。
提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个多边形有n(n≥3)条边， , 这个多边形就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．性质：二、课堂导学问题1：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论.想一想：如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？圆内接正n边形：问题2中心半径: ．中心角: ．边心距: ．问题3：如图，以正五边形ABCDE 边心距r 为半径， 中心为圆心作的圆与正五边形有怎样的关系？例1：有一个亭子，它的地基是半径为6m 的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）归纳：如果正n 边形的边数给定，已知它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可以求出其它各项。
例2： 完成下表中有关正多边形的计算：三、展示点评 四、当堂训练 1.已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其内切圆的半径是拓展延伸 ：1、一个正多边形的内角和是7200，则这个多边形是（ ）A ．正方形B ．正五边形C ．正六边形D ．正八边形 2、正多边形的一边所对的中心角与正多边形的一个内角的关系是（ ） A ．两角互余 B ．两角互补 C ．两角互余或互补 D ．不能确定3、已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 与x 的函数关系是（ ）A ．y=42x B ．y=82x C ．y=21x D ．y=x824、如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为劣弧CD上不同于点C 、D 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．450B ．600C ．750D ．9005．等边△ABC 的边长为a ，求其外接圆的面积．6．如图所示，已知⊙O•的周长等于6 cm ，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．课后反思：小组评价： 教师评价：。
九年级数学上册学案：24.3正多边形和圆
24.3正多边形和圆的学案学习目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．重（难）点预见：应用多边形和圆的有关知识计算及画多边形学习流程：一、生读目标二、自学指导：1.复习（1）什么叫正多边形？（2）从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？2、自主学习：自学教材104--- 105页思考下列问题：1、正多边形和圆有什么关系？只要把一个圆分成的一些弧，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的。
2、通过教材图形，识别什么叫正多边形的中心、正多边形的中心角、正多边形的边心距？3、计算一下正五边形的中心角时多少？正五边形的一个内角是多少？正五边形的一个外角是多少？正六边形呢？4通过上述计算，说明正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？5、如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？方法一、用量角器作一个等于的圆心角。
方法二、正六边形、正三角形、正十二边形等特殊正多边形的作法？三、自学检测：1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°BDC A(1) (2) (3)2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36° B．60° C．72° D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）A．18° B．36° C．72° D．144°4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．5．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，若AC=6，则AD的长为________．6．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．7、．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．四、当堂训练：1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．（分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的）EDO2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．3.教材105页练习1、2（口答）4.抢答题：1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的＿＿＿圆与＿＿＿圆的圆心。
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2019-2020学年九年级数学上册第三章《圆》正多边形和圆学案（1）鲁
教版五四制
课题：正多边形和圆（1）
学习
目标：
正n边形的画法；
重点：画图依据
难点：画图依据
一. 学前准备
1、什么是正多边形？举出例子。
2、正多边形具有什么性质？
练习：（1）一个正多边形的一个外角大于一个内角，则其边数为（）A.3 B.4 C.6 D.3或4 （2）正六边形绕它的中心旋转，若旋转的角度是（），则得到的正六边形与原来的不重合。
A.60度 B.150度 C.300度 D.420度
（3）已知两个正多边形的边数之比为1：2，而它们的每个内角度数之比也为1：2，则这两个多边形的边数为（）A.3，4 B.3，6 C.4，6 D.4，8
（4）一个正多边形的内角是144度，这个正多边形是正边形；
二、自主学习：
1、自学课本P.44“议一议”，独立思考尝试解决。
2、怎样作圆的内接正n边形？尝试画一个正五边形、正六边形
三、展示交流：
四、巩固练习：课本随堂练习，习题4.16
五、达标检测：
1、下列判断：（1）圆的内接平行四边形是正方形；（2）圆的外切平行四边形是正方形；（3）圆的内接菱形是正方形；（4）圆的外切矩形是正方形，其中正确的命题有（）
A.1 个
B.2 个
C.3个.
D.4个
2、正三角形的外接圆半径为4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径为；
3、一元硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边唱最大不能超过 mm（保留根号）
4、正n边形的一个内角与正（n+2）边形的一个内角的和为120度，求
N的值。
位置关系？为什么？课题：正多边形和圆（2）
学习
目标：
1、掌握正多边形的有关概念及性质；
2、会进行正多边形的计算问题
重点：会进行正多边形的计算问题
难点：正多边形的有关概念及性质；
一. 自主学习：
1、自学课本P46内容，完成相应问题。
2、自学课本P47“议一议”上面的内容，理解一下相关概念。
正多边形的中心：
正多边形的半径：
正多边形的边心距：
正多边形的中心角：
3、课本：议一议
二、展示交流
三、合作探究：
1、正多边形的性质：
2、例题2：
3、⊙O的半径为4cm，⊙O的内接正多边形的一个内角为135度，求这个正
多边形的边心距、周长和面积（精确到0.1cm）
四、达标检测：
1、正六边形的两条平行边间的距离为2，则它的边长为（）
2、同是12cm长的铝线折成一个正三角形和一个圆，则圆的面积比正三角形的面积大（）
3、已知正十边形的内切圆的半径是3，则这个正十边形的面积是（）
Ａ.４５ｓｉｎ３６°Ｂ.90tan18°Ｃ.45cos36°Ｄ.无法确定
4、已知：正五边形ABCDE的对角线AC与BE交于M点。
（1）求证：ME=AB；（2）ME2=BE.BM
C
O
A
B。