4-3角动量 角动量守恒定律

a sin t i b cost j
v dr
dt
L r mv 2 2 mab cos t k mab sin t k
mab k
4–3 角动量 角动量守恒定律
3
二 . 质点的角动量定理 1 力矩 定义：作用于质点的力 对惯性系中某参考点的 力矩，等于力的作用点 对该点的位矢与力的矢 积，即 M 的方向垂直于r和F所决定的 平面，指向用右手法则确定。 M r F
6
2 .质点的角动量定理
dL d d(mv) dr (r mv) r mv dt dt dt dt
dr v dt
dr mv 0 dt
作用在质点上的力矩等 于质点角动量对时间的 变化率。此即质点对固 定点的角动量定理。
dL r F v mv dt dL M dt
2
3


0
cosd
12
L mR (2 g sin )
32
2
L mR
2g 12 ( sin ) R
方法2: 小球+地球系统, 机械能守恒
1 2 mv 0 mgh 2
v 2gRsin
L mRv mR
32
Ek E p E p1 E p 2
方向： 由 r F 决定
单位：牛顿.米
定义：
注意:1） 力矩与参考点的选择有关
2） F 0
但力矩可以为零即
M 0
因为
M r F sin
1) r 0
2) 力的方向沿矢径的方向 sin 0
例
o
r
f
有心力问题
4–3 角动量 角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
z L mv

r
例1:一质量为m的质点沿着一条空间曲线运 动，该曲线在直角坐标下的矢径为： 其中a、b、 皆为常数，求该质点对原点的角动量。 解：已知
r a costi b sin t j
r a costi b sin t j
l 1 l 2 2 mv0 m l m( ) 4 12 4
12v0 7l
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
4–3 角动量 角动量守恒定律
21
12 v 0 7 l
角动量定理
dL d( J ) dJ M dt dt dt
d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
质点的角动量守恒定律
v
dL M ＝ dt dL 如果 M ＝ 0则 0 dt
L
r
即L 恒矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零， 则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。
4–3 角动量 角动量守恒定律
18
例2.16 在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块， 木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧 的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击 中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l， 此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v 2 . 解 击中瞬间，在水平 面内，子弹与木块组成 的系统沿 v0 方向动量守 恒，即有
1 2 mv mgR sin 2
h R sin
(2 g sin )
12
由： v R
2g 12 ( sin ) R
4–3 角动量 角动量守恒定律
16
三 质点角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L r mv 常数
质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点 对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律。
l0 (m M)v1 l (m M)v2 sin
2 k( l l ) m2 2 0 v2 v 0 (m M)2 mM
arcsin
l0 mv0
2 l m2 v0 k(l l0 )2 (m M)
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
4–3 角动量 角动量守恒定律
20
例 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位 置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量 均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多 大速率向细杆端点爬行? 解: 碰撞前后系统角动量 守恒
0
t
2
p1
*例2 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去 不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度．
mv0 (m M )v1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
4–3 角动量 角动量守恒定律
19
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M) v 1 (m M) v 2 k (l l0 ) 2 2 2 2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2 与OB方向成θ角，则有
考虑到
t
7lg 12v0 dr g cost cos( t) dt 2 24v0 7l
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
角动量的时间变化率 质点所受的合外力矩
称为 冲量矩 这就是质点的
角动量的增量
角动量定理
的积分形式
归纳
质点的
角动量定理 归纳
所受的合外力矩
角动量的时间变化率
冲量矩
角动量的增量 注意:力矩与角动量 对同一参考点而言 果
理解:
因 1）力矩使物体的角动量发生变化 2）力矩等于角动量对时间的变化率
3）冲量矩（力矩对时间的累积）等于物体角动量的增量。
M x yFz zFy
在直角坐标系中，表示式为
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
M y zFx xFz
M z xFy yFx
定义：
t 时刻， 力对定点o 的力矩
大小： M r F sin
略
o
d
r
F

F d 此为中学就熟知
的：力矩等于力 乘以力臂

t
t0
Mdt L L0

t
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
t0
Mdt
叫冲量矩
质点角动量定理
导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？ 思路： 分析 由 则
与什么有关？
两行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
质点所受的合外力矩
Theorem of partical angular momentum 质点 对参考点 的
4–3 角动量 角动量守恒定律
1
一 . 质点的角动量 质点在垂直于 z 轴平面 上以角速度 作半径为 r 的圆运动. 质点角动量（相对圆心）
z

o r
90
A
L r p r mv
大小
mv
L rmv sin 2 L rmv mr （圆运动） L 的方向符合右手法则.
解 小球受力 P 、FN 作用, FN 的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt dL mgRcosdt
考虑到 d dt , L mR v mR
2
得 LdL m gR cosθdθ
2 3
由题设条件积分上式
dL M dt
冲量矩
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角动量 随时间的变化率.
t1
t2
M dt

t2
t1
M dt L2 L1
质点的角动量定理：对同一参考点O， 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. 与质点的动量定理比较:
Fdt p

L
0
LdL m gR
2
3


0
cosd
12
L mR (2 g sin )
32
2
L mR
2g 12 ( sin ) R
考虑到 d dt , L mR v mR
2
得 LdL m gR cosθdθ
2 3
由题设条件积分上式

L
0
LdL m gR