江苏省东台安丰中学2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷(带解析)(1)

江苏省东台安丰中学2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷（带解析）1．函数y __ ；【答案】[)1,-+∞ 【解析】试题分析：根据偶次方根式下被开方数非负，有10, 1.x x +≥≥-因此函数y =是[)1,-+∞，注意结果要写出解集性质.考点：函数定义域 2．已知复数1()1iz i i+=-是虚数单位，则z = ； 【答案】i - 【解析】试题分析：因为11i z i +=-，所以21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ++====--+，所以.z i =-考点：共轭复数概念，复数运算3．已知命题p:0,sin 1x x ∃>≥, 则p ⌝为 （填“真”或“假”）命题； 【答案】假【解析】试题分析：因为当2x π=时，sin 1x =，所以命题p 为真命题，所以p ⌝为假命题.考点：命题的真假4．双曲线2213xy -=的右准线方程为 ； 【答案】32x = 【解析】试题分析：因为双曲线2213x y -=的右准线方程为2a x c =，而2223,1,314,2,a b c c ===+==所以32x =. 考点：双曲线性质5．已知A 为函数x x x f +=4)(图像上一点，在A 处的切线平行于直线x y 5=，则A 点坐标为 ; 【答案】（1,2） 【解析】试题分析：因为3()41f x x '=+，设(,)A a b ，则3()415,1,(1)2,f a a a b f '=+====A点坐标为（1,2）.考点：导数的几何意义6．将5名实习教师分配到高一年级的4个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有_________种；（用数字作答） 【答案】240 【解析】 试题分析：分配方案必然是4个班中有且仅有一个班有两位实习教师，其余三个班级各有一位实习教师.因此不同的分配方案有2454240.C A =考点：排列组合7．已知函数2()()ln f x ax x x x =+-在[1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ; 【答案】12a e≥ 【解析】试题分析：由题意得：()(21)ln 10f x ax x '=+--≥在[1,)+∞上恒成立，即max ln (),(1)2x a x x ≥≥，因为ln ,2x y x =则由21ln 02xy x-'==得x e =，所以当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<；因此当x e =时，ln 2x y x =取最大值1.2e即实数a 的取值范围是12a e≥. 考点：利用导数求参数取值范围8．有A 、B 、C 、D 、E 五位同学参加比赛，决出了第一到第五的名次。

A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名.请你分析一下，这五位同学的名次排列的种数为 ； 【答案】18 【解析】试题分析：实质是A,C,D,E 进行排位，先排A ，有3种排法，C,D,E 进行全排列，有336A =种排法，因此共有3618⨯=种排法. 考点：排列组合9．220(1)x -的展开式中，若第4r 项和第r+2项的二项式系数相等，则r= ； 【答案】4【解析】试题分析：由题意得：4112020r r C C -+=，所以411r r -=+或41120r r -++=，因为r Z ∈，所以4.r =考点：二项式系数，组合数性质10．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组； ①12S S 与；②23a S 与；③1n a a 与；④n a q 与. 【答案】①④【解析】试题分析：由11112a S a a q S =⎧⎨+=⎩得11211a S S q S =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以①唯一确定数列{}n a ，由1221113a q a a a q a q S =⎧⎨++=⎩得2222123123121,()0a a a S a a S a a a ++=+-+=，方程的解不定，所以②不能唯一确定数列{}n a ，由11n n a q a -=得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列{}n a ，由11n n aq a -=得11nn a a q -=，所以④唯一确定数列{}n a . 考点：数列基本量运算 112cos2cos2cos4816πππ===， 请从中归纳出第(*)n n N ∈个等式：2222n +++个…= ；【答案】12cos2n π+【解析】试题分析：等式右边不同之处在于角的分母，数依次为4,8,16， ，所以规律满足23412,2,2,,2n +，即12cos2n π+考点：数列找规律12．过点（1,0）恰可以作曲线32y x ax =-的两条切线，则a 的值为 ；【答案】0或1或9【解析】试题分析：设切点(,)m n ，则有322,0(32)(1),n m am n m am m =--=--所以0m =或22(3)20m a m a -++=.因为过点（1,0）恰可以作曲线32y x ax =-的两条切线，，所以方程22(3)20m a m a -++=有不等于零的两个等根或包含零的两个不等根.由0∆=得1a =或9a =，此时方程的根非零.当方程有零根时，0a =，此时方程还有另一根3.2考点： 导数求切线13．324()12x x f x x x-=++函数的最大值和最小值的乘积为 ； 【答案】116- 【解析】试题分析：当0,1x ≠±时，32422211||||1|()|||1242()4x x x x x x f x x x x x x x---===≤++++-+，所以11()44f x -≤≤，当0,1x =±时，()0,f x =324()12x x f x x x -=++的最大值和最小值的乘积为116-. 考点：基本不等式求最值14．某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队， （1）一共有多少种选法？（2）其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？ （3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？【答案】（1）49126C = （2）3735C = （3）444954120C C C --= ---14分【解析】试题分析：（1）本题就是从5+4=9名医生中选4名的组合数：49126C = （2）因为某内科医生甲必须参加，所以去掉一个名额，只要选派3名医生.某外科医生乙因故不能参加，因此从剩下的9-2=7名医生选3名医生的组合数：3735C = （3）内科医生和外科医生都要有人参加，可用排除法，即去掉全选内科医生或全选外科医生的选法，即：444954120C C C --= （1）49126C = ---4分 （2）3735C = ---8分 （3）444954120C C C --= ---14分 考点：组合应用题 15．记2(1)(1)(1)222n xx x ++⋅⋅⋅+的展开式中，x 的系数为n a ，2x 的系数为n b ,其中*n N ∈ (1)求n a （2）是否存在常数p,q(p<q),使1(1)(1)322n n n p qb =++，对*n N ∈，2n ≥恒成立？证明你的结论. 【答案】（1）112n n a =-，（2）p=-2，q=-1. 【解析】试题分析：（1）因为22111(1)(1)(1)1()222222n nx x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以 x 的系数为211(1)11112211222212n n n-++⋅⋅⋅+==--,（2）计算得，代入，解得p=-2，q=-1，用数学归纳法证明，①当n=2时，b2=，结论成立；②设n=k时成立，即，则当n=k+1时，bk+1=bk+，由①②可得结论成立. （1）根据多项式乘法运算法则，得；（2）计算得，代入，解得p=-2，q=-1，下面用数学归纳法证明，①当n=2时，b2=，结论成立； ②设n=k 时成立，即，则当n=k+1时， bk+1=bk+，由①②可得结论成立.考点：数学归纳法,多项式乘法运算法则16．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =.（1）试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60º； （2）在线段11AC 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q ⊥AP ，并证明你的结论.【答案】（１）60º. （２）Q 为11A C 的中点【解析】 试题分析：（１）利用空间向量研究线面角，关键在于正确表示各点坐标，正确求出平面一个法向量，正确理解线面角与向量夹角之间互余的关系. 建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,2). 所以1(1,1,0),(0,0,2),B D B B =--=(1,1,),A P m A C =-=-又由A BCP10,0AC BD AC BB ⋅=⋅=知AC 为平面1D D 1BB 的一个法向量.π||sin cos 2||||2AP AC AP AC θθ⋅⎛⎫=-== ⎪⋅⎝⎭m =1）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则1(,1,2),(,1,0)Q x x D Qx x -=-.1110(1)02D Q AP AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔+-=⇔=，即Q 为11A C 的中点.（１）建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1), D1(0,0,2).所以1(1,1,0),(0,0,2),BD BB =--=(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-又由110,0AC BD AC BB AC D D ⋅=⋅=1知为平面BB 的一个法向量.设AP 与11BDD B 面　所成的角为θ，则π||sin cos 2||||2AP AC AP AC θθ⋅⎛⎫=-==⎪⋅⎝⎭2， 5分解得m =故当m =AP 与平面11BDD B 所成角为60º. 7分 （２）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ， 则1(,1,2),(,1,0)Q x x DQ x x -=-. 依题意，对任意的m 要使D1Q 在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于1110(1)02D Q AP AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔+-=⇔=即Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求. 14分 考点：利用空间向量研究线面关系 17．已知函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与，递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，（2）a >或01a <<. 【解析】 试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数. 因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+-,令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，列表分析()f x '在()0f x '=根的左右的符号，得()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与，()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，，（2）由（1）得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值4()(0)f x f a ==极大值，要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或41a <，即a >01a <<. 解：（1）因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+- 2分 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-== 由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与 6分()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与， 8分（2）由（1）得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值 4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或41a <， 14分即a >01a <<. 16分 考点：利用导数研究函数性质18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数22(0y x x =-+≤≤M 到边OA 距离为24()33t t ≤≤． （1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？【答案】（1）:129220l x y +-=（2）1t =，max 2S = 【解析】试题分析：（1）直路l 与池边AE 相切，切点为M ，点M 到边OA 距离为23t =，因此214(,),39M 又切线斜率为42,3y x '=-=-故切线方程为:129220l x y +-=，（2）用t 表示出地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积. 2(,2)M t t -+，过切点M 的切线2:(2)2()l y t t x t --+=--即222y tx t =-++，令2y =得2tx =，故切线l 与AB 交于点(,2)2t 令0y =，得12t x t =+，又12t x t =+在24[,]33递减，所以11711[,]2126t x t =+∈,故切线l 与OC 交于点1(,0)2t t+,地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积111(22)24222t t S t t t =--+-⋅=--14()2t t=-+≤，等号1t =，max 2S =.（1）214(,),:12922039M l x y +-= 6分 （2）2(,2)M t t -+，过切点M 的切线2:(2)2()l y t t x t --+=-- 即222y tx t =-++，令2y =得2t x =，故切线l 与AB 交于点(,2)2t； 令0y =，得12t x t =+，又12t x t =+在24[,]33递减，所以11711[,]2126t x t =+∈ 故切线l 与OC 交于点1(,0)2t t+。