人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程(9)二元一次方程的整数解
人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程(9)二元一次方程的整数解(1)
（9）二元一次方程的整数解【知识精读】1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法： 设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值② 用观察法直接写出。
【分类解析】例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918y y y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
(人教版)七年级数学寒假精品课 第09讲 二元一次方程组与解法-【寒假自学课】解析版
第09讲二元一次方程组与解法【学习目标】1.了解二元一次方程及二元一次方程组的概念.2.理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念.3.会判断一组数是不是二元一次方程组的解.4.掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤.5.了解解二元一次方程组的基本思路.6.初步体会化归思想在数学学习中的运用.7.掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤.8.熟练运用消元法解简单的二元一次方程组.9.培养学生的分析能力，能迅速根据所给的二元一次方程组，选择一种简单的方法解方程组.【基础知识】1.二元一次方程：(1)定义：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程.(2)二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值.2.二元一次方程组：(1)定义：有2个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有2个方程的方程组.(2)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解.【钙奶能理解】1.判断对错：(1)方程x+2y-z=0是二元一次方程(×)(2)方程x2+y=0是二元一次方程(×)(3)方程x=y是二元一次方程(√)2.在1434(1),(2),(3)52732x xxy yy⎧==⎧⎪=⎧⎪⎪⎨⎨⎨=-=-⎩⎪⎪=⎩⎪⎩这三组数值中，（1）（2）是方程x-3y=9的解，（1）（3）是方程2x+y=4的解，（1）是方程组3924x yx y-=⎧⎨+=⎩的解.3.消元思想：二元一次方程组中有2未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.4.代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解的方法.【概念理解】1.判断对错：(1)方程3x+2y-8=0用含x的代数式表示y为823yx-=(×)(2)方程3x+2y-8=0用含x的代数式表示y为832xy-=(√)2.下列各对数中，满足方程组5232x yx y-=⎧⎨+=⎩的是(B)3.由方程组213x my m+=⎧⎨-=⎩可得出x与y的关系是2x+y=4.5.加减法：两个二元一次方程中，同一个未知数的系数相反或相同时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称减加法.6.代入法与加减法的关系：代入法和加减法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是采用的方法不同.【自我诊断】1.判断对错：(1)当方程组中相同未知数的系数绝对值相等时，两式相减消去该未知数.(×)(2)当方程组中两个方程，没有一个未知数的系数的绝对值相等时，不能用加减消元法.(×)2.方程组839845x yx y-=⎧⎨+=-⎩消去x得到的方程是(D)A.y=4B.y=-14C.7y=14D.-7y=14【考点剖析】考点一：二元一次方程(组)的概念例1．已知方程(m-2)x n-1+2y|m-1|=m是关于x，y的二元一次方程，求m，n的值. 【答案】∵(m-2)x n-1+2y|m-1|=m是关于x，y的二元一次方程，∴n-1=1，|m-1|=1，解得n=2，m=0或2.若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，则m=0，n=2.例2．已知方程(k+2)x+(k-6)y=k+8是关于x，y的方程.(1)k为何值时，方程为一元一次方程？(2)k为何值时，方程为二元一次方程？【解析】(1)若方程是一元一次方程，则2060kk+=⎧⎨-≠⎩或2060kk+≠⎧⎨-=⎩解得k=-2或k=6.所以当k=-2或k=6时，该方程是一元一次方程.(2)若方程是二元一次方程，则2060 kk+≠⎧⎨-≠⎩解得k≠-2且k≠6.所以当k≠-2且k≠6时，该方程是二元一次方程.【注意】1.二元一次方程具备的条件：方程整理后满足：(1)含有2个未知数.(2)未知数的次数都是1.(3)整式方程.2.二元一次方程组满足的条件：(1)组中一共有两个一次方程.(2)组中含有两个未知数.考点二：二元一次方程(组)的解例3．（1）若在方程2x-y=13的解中，x，y互为相反数，求xy的值.(2)已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求m+n的值.【分析】(1)把解代入方程→一元一次方程→求解→计算xy.(2)把解代入方程组→二元一次方程组→求解→计算m+n. 【详解】(1)∵x，y互为相反数，∴y=-x，将y=-x代入方程2x-y=13中，得2x+x=13，解得x=19，∴y=1 9 -.所以xy=1 81 -.(2)因为21xy=⎧⎨=⎩是方程组的解，所以22(1)12211mn⨯+-⨯=⎧⎨⨯+=⎩解得1mn=-⎧⎨=⎩所以m+n=-1.【注意】如何判断二元一次方程、二元一次方程组的解就是把已知的未知数的值分别代入二元一次方程或二元一次方程组中，满足方程左右两边相等的两个未知数的值，是二元一次方程的解，否则不是；同时满足组中两个方程成立的两个未知数的值，是二元一次方程组的解，否则不是.考点三：代入法解二元一次方程组例4．解方程组：2425x y x y +=⎧⎨+=⎩①②【详解】由②得52x y =-③， 把③代入①， 得2(52)4y y -+=， 解得：y=2，把y=2代入③，得x=1， ∴原方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩.【注意】代入消元法解二元一次方程组的步骤(1)变形：变形方程组中系数较简单的方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. (2)代入：将变形后的方程代入另一个方程，得到一个一元一次方程. (3)求解：解一元一次方程，求出未知数的值.(4)代入：把求出未知数的值代入变形后的方程中，求出另一个未知数. (5)写解：把两个未知数的值用大括号联立起来. 考点四：二元一次方程组的应用例5．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km ，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km.求隧道累计长度与桥梁累计长度. 【分析】设隧道累计长度为xkm ，桥梁累计长度为ykm ，根据“隧道累计长度+桥梁累计长度=342km ，2×隧道累计长度-桥梁累计长度=36km ”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解方程组可得结论. 【详解】设隧道累计长度为xkm ，桥梁累计长度为ykm ， 根据题意得：342236x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：126216x y =⎧⎨=⎩答：隧道累计长度为126km ，桥梁累计长度为216km.【注意】列方程组解应用题的步骤(1)找出题中的两个未知量，设出两个未知数. (2)找准题中的两个等量关系，列出方程组.(3)解方程组得出方程组的解，检验是否符合实际意义，再作答.考点五：加减消元法解二元一次方程组例6．解方程组【详解】①×3+②×2得：13x=52， 解得x=4，把x=4代入①得：y=3， 所以方程组的解为43x y =⎧⎨=⎩.【注意】加减消元法解二元一次方程组的步骤(1)变形：变形组中的一个方程或者两个方程，使其中一个未知数的系数相同或者互为相反数. (2)加减：若同一个未知数的系数相等(互为相反数)，两式相减(相加).(3)求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值；用代入或者加减再求出另一个未知数的值.(4)作答：写出方程组的解.考点六：二元一次方程组的应用例7．六一前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需多少元. 【分析】本题的等量关系：1.1套文具花费+3套图书花费=104元.2.3套文具花费+2套图书花费=116元.【详解】设一套文具x元，一套图书y元，由题意，得∴x+y=48(元).答：1套文具和1套图书需48元.【注意】列方程组解应用题列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量.(2)同类量的单位要统一.(3)方程两边的数值要相等.【真题演练】1．若11xy=⎧⎨=-⎩是方程2x﹣ay＝﹣1的一个解，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【答案】C【分析】根据题意，将11xy=⎧⎨=-⎩代入方程中，即可求a的值．【详解】根据题意，将11xy=⎧⎨=-⎩代入方程2x﹣ay＝﹣1中得，21a+=-，解得a＝-3．故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握已知二元一次方程的解求参数的方法是解答本题的关键．2．已知24xy=-⎧⎨=⎩和41xy=⎧⎨=⎩都是方程y=ax＋b的解，则a和b的值分别是().A．a=2，b=3 B．a=－0.5，b=3 C．a=1，b=3 D．a=3，b=0.5【答案】B【解析】【分析】根据题意得到关于a和b的二元一次方程组，再求出a和b的值．【详解】∵24xy=-⎧⎨=⎩和41xy=⎧⎨=⎩都是方程y=ax＋b的解，∴2441a ba b-+=⎧⎨+=⎩，解得：0.53ab=-⎧⎨=⎩，故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解以及二元一次方程组的解法,.解题关键是根据方程组的解概念，代入方程得到关于a、b的二元一次方程组即可求解.3．用加减消元法解方程组258345x yx y+=⎧⎨-=⎩，先消去y，下面运算正确的是（）A．①×5＋②×4 B．①×5﹣②×4 C．①×4＋②×5 D．①×4﹣②×5 【答案】C【分析】用加减消元法消去y，只需①×4+②×5即可．【详解】解：258 345 x yx y+=⎧⎨-=⎩①②①×4得，8x+20y=32③，②×5得，15x-20y=25④，③+④得，23x=57，故选：C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．4．若|321|0x y--=，则x，y的值为（）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】D 【解析】分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可．详解：∵3210x y --=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝ 将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②，①+②×2得，5x=5，解得x=1， 把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．5．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先求出方程组的解，然后即可判断点的位置． 【详解】解：解方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩，得 1.50.5x y =⎧⎨=⎩，∴点（1.5，0.5）在第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键．6．方程组3276211x yx y+=⎧⎨-=⎩，的解是（）A．15xy=-⎧⎨=⎩，B．12xy=⎧⎨=⎩，C．31xy，=⎧⎨=-⎩D．212xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，【答案】D【分析】利用加减消元法求出解即可．【详解】解：327 6211x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①＋②得：9x=18，即x=2，把x=2代入②得：y=12，则方程组的解为：212 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，故选D．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7．用加减法解方程组235327x yx y-=⎧⎨-=⎩①②下列解法错误的是（）A．①×3－②×2，消去x B．①×2－②×3，消去yC．①×(－3)＋②×2，消去x D．①×2－②×(－3)，消去y【答案】D【详解】本题考查了加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．A 、32⨯-⨯①②，可消去x ，故不合题意；B 、23⨯-⨯①②，可消去y ，故不合题意；C 、(3)2⨯-+⨯①②，可消去x ，故不合题意；D 、2(3)⨯-⨯-①②，得，不能消去y ，符合题意．故选D ． 8．已知方程组3,21x y n x y n +=⎧⎨+=+⎩中的x 、y 相等，则n 的值等于( ) A ．1B ．3C ．－3D ．－4【答案】D【解析】【分析】先根据方程组3,21x y n x y n +=⎧⎨+=+⎩中的x 、y 相等用y 表示出x 把原方程组化为关于y 、n 的二元一次方程组，再用n 表示出y 的值，代入方程组中另一方程求出n 的值即可．【详解】∵方程组3,21x y n x y n +=⎧⎨+=+⎩中的x 、y 相等， ∴原方程组可化为：431y n y n ⎧⎨+⎩＝①＝② , 由①得，y=4n ， 代入②得，34n =n+1，解得n=-4． 故选：D ．【点睛】考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法是解答此题的关键． 9． 解二元一次方程组34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，最恰当的变形是( )A．由①得243yx-=B．由②得y=2x﹣5 C．由①得234yx-=D．由②得52yx+=【答案】B【详解】试题分析：根据二元一次方程的解法—代入消元法，可把某一个系数为1或为-1的项，移项变形即可，因此可由②得y=2x-5.故选B.10．甲、乙两人同求方程ax-by=7的整数解，甲正确地求出一个解为11xy=⎧⎨=-⎩，乙把ax-by=7看成ax-by=1，求得一个解为12xy=⎧⎨=⎩，则a，b的值分别为( )A．25ab=⎧⎨=⎩B．52ab=⎧⎨=⎩C．35ab=⎧⎨=⎩D．53ab=⎧⎨=⎩【答案】B 【解析】把甲的解代入ax-by=7可得a+b=7，把乙的解代入可得a-2b=1，由它们构成方程组可得721a ba b+=⎧⎨-=⎩，解方程组得52ab=⎧⎨=⎩，故选B．【过关检测】1．若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是32xy=⎧⎨=⎩，则a=_____．【答案】4【详解】分析：把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．详解：把32xy=⎧⎨=⎩代入方程得：9﹣2a=1，解得：a=4，故答案为4．点睛：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．2．已知235,23,x y x y +=⎧⎨+=⎩则2 016＋x ＋y ＝_______. 【答案】2018【解析】【分析】方程组两方程相减求出x+y 的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】235,23,x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①－②，得x ＋y ＝2，则原式＝2 016＋2＝2 018.故答案是：2 018.【点睛】考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．已知二元一次方程2x-3y=6，用关于x 的代数式表示y ，则y=______． 【答案】263x - 【分析】把x 看做已知数求出y 即可．【详解】解：方程2x-3y=6，解得：y=263x -， 故答案为263x -. 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．4．若323m x -－21n y - =5是二元一次方程，则m =______，n =_____．【答案】2 1根据二元一次方程的定义求解即可，方程两边都是整式,含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.【详解】解：∵3x2m-3-y2n-1=5是二元一次方程，∴2m-3=1，2n-1=1，∴m=2，n=1.故答案为2，1.【点睛】二元一次方程的概念是本题的考点，熟练掌握其概念是解题的关键.5．已知x、y满足方程组2524x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x y-的值为___．【答案】1【分析】首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x-y或直接让两个方程相减求解．【详解】方法一：解方程组2524x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：21xy=⎧⎨=⎩，∴x-y=1；方法二：两个方程相减，得.x-y=1，故答案为1.【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键，同时注意此题中的整体思想．6．已知关于x、y的方程221255x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y+=-，则a的值为__________________．【答案】5①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【详解】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②， ①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ，∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．7．若()235230x y x y ，-++-+=则x y +的值为______.【答案】-3【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可确定出x+y 的值．【详解】∵（3x-y+5）2+|2x-y+3|=0，∴3x-y+5=0，2x-y+3=0，∴x= -2，y= -1．∴x+y= -3．【点睛】本题考查的知识点是：某个数的平方与另一数的绝对值的和等于0，那么平方数的底数为0，绝对值里面的代数式的值为0．8．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为_____． 【答案】 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩设木条长x 尺，绳子长y 尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于,x y 的二元一次方程组，此题得解．【详解】设木条长x 尺，绳子长y 尺，依题意，得： 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩故答案为 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．解下列方程组（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩ （2）33255(2)4x y x y +⎧=⎪⎨⎪-=-⎩ 【答案】（1）55x y ⎧=⎨=⎩；（2）025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩【分析】本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．【详解】（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩， 整理得63157320-=⎧⎨-=⎩x y x y ， 两式相减得：5x =，把 5x =代入25x y -=中，得y 5=；所以原方程组的解为：55x y ⎧=⎨=⎩． （2）原方程组变式为51565104x y x y ⎧+=⎨-=-⎩， 两式相减得：25y =，将25y=代入5156x y+=中，得251565x+⨯=，解得：0x=．所以原方程组的解为25xy⎧=⎪⎨=⎪⎩．【点睛】本题考查了我二元一次方程组的解法，通过变形选择合适的方法求解是快速解题的关键．10．（1）用代入法解方程组：3 759 x yx y-=⎧⎨+=-⎩（2）用加减法解方程组：2232(3)31 x yx y⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩【答案】（1）1x=21y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩；（2）x=2y=3⎧⎨⎩.【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答. 【详解】解：（1）3759 x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②由①得x=3+y③将③代入②得：y=1 22 -将y=122-代入③得：x=12-所以原方程组的解为：1x=21 y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（2）原方程组可化为：3x212 235yx y+=⎧⎨-=-⎩①②①×2得：6x+4y=24③②×3得：6x-9y=-15④③-④得：13y=39，解得：y=3 将y=3代入①中得：x=2所以原方程组的解为：x=2 y=3⎧⎨⎩【点睛】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.11．已知关于x，y的方程组54522x yax by+=⎧⎨+=-⎩与2180x yax by-=⎧⎨--=⎩有相同的解，求a，b的值．【答案】12 ab=⎧⎨=-⎩.【详解】试题分析：将x＋y＝5与2x－y＝1组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，解答即可得到结论．试题解析：解：由题意可将x＋y＝5与2x－y＝1组成方程组521x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：23xy=⎧⎨=⎩．把23xy=⎧⎨=⎩代入4ax＋5by＝－22，得：8a＋15b＝－22．①把23xy=⎧⎨=⎩代入ax－by－8＝0，得：2a－3b－8＝0．②①与②组成方程组，得：815222380a ba b+=-⎧⎨--=⎩，解得：12ab=⎧⎨=-⎩．12．已知方程组515412ax yx by+=⎧⎨+=⎩①②，王芳看错了方程①中的a，得到的方程组的解为54xy=⎧⎨=⎩，李明看错了方程（2）中的b，得到的方程组的解为45xy=⎧⎨=⎩，求原方程组的解.【答案】原方程组的解为6 {6 xy==【详解】试题分析：根据没看错的方程和方程的解代入可求的a、b的值，然后还原返程组，根据加减或代入消元法求解即可.试题解析：由题意得4×5+4b=12，解得b=-2, 4a+5×5=12，解得a=52-， 代入可得5515{24212x y x y -+=-= 解得6{6x y ==13．善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时,采用了一种“整体代换”的解法: 将方程②变形:4105x y y ++=，即()2255x y y ③++=把方程①代入③,得2351y y ⨯+=∴=-，把1y =-代入①,得4x =，∴原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩请你解决以下问题:模仿小军的“整体代换法”解方程组3259419x y x y ；-=⎧⎨-=⎩(2)已知x y 、满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①，②求224x y +与xy 的值. 【答案】（1）方程组的解为32x y ⎧⎨⎩＝＝；（2）19. 【分析】（1）仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y 的值，即可确定出x 的值； （2）方程组两方程变形后，利用加减消元法求出所求即可．【详解】解：（1）由②得：3（3x-2y ）+2y=19③，把①代入③得：15+2y=19，解得：y=2，把y=2代入①得：x=3，则方程组的解为32x y ⎧⎨⎩＝＝； （2）由①得：3（x 2+4y 2）-2xy=47③，由②得：2（x2+4y2）+xy=36④，③+④×2得：7（x2+4y2）=119，解得：x2+4y2=17．③×2得：6（x2+4y2）-4xy=94⑤，④×3得：6（x2+4y2）+3xy=108⑥，⑥-⑤得：7 xy=14xy=2.【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法。
数学人教版七年级下册专题：二元一次方程的整数解
二元一次方程的整数解
教学目标
知识目标
1．学习并掌握求二元一次方程整数解的方法．
2．能根据所学方法解决有关齐齐哈尔中考试题．
能力目标
1．在学习中培养分析问题及解决问题的能力．
2．会判断一组整数是不是某个二元一次方程的解．
情感与价值观要求
1．体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识．
2．通过对学生熟悉的知识内容讨论，激发学生学习数学的兴趣．
教学重点
1．通过对三种不同类型题目的解决，构建数学方法模型．
2．准确判断方程的整数解．
教学难点
1．判断方程的解是何种类型的整数．
2．判断一组数是不是二元一次方程组的整数解．
教学方法
教师引导、学生探索的方法．
学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础．在教学中，教师可引导学生解二元一次方程时，如何处理方程，以利于求方程的整数解．
教具准备
投影片
教学过程
Ⅰ．出示投影片
教师给出类型1的解题方法，学生在练习本上跟随。
教师出示同步练习，学生自主解答。
Ⅱ．出示投影片
教师给出类型2的解题方法，学生在练习本上跟随。
教师出示同步练习，学生自主解答。
Ⅲ．出示投影片
教师给出类型3的解题方法，学生在练习本上跟随。
教师出示同步练习，学生自主解答。
（2013•齐齐哈尔）假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（）
A．5种B．4种C．3种D．2种
Ⅳ．随堂练习
Ⅴ．课时小结
Ⅵ．课后作业。
2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-10-二元一次方程组解的讨论
2020-2021学年人教版数学初一讲练（培优和竞赛二合一）（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。
②解得a=10, c"`14。
③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
初一数学培训讲义第9讲 二元一次方程组及其解法
第九讲二元一次方程组及其解法一、主要知识点回顾1．二元一次方程：含有未知数，并且未知数的次数都是的整式方程叫做二元一次方程。
2．二元一次方程组：由两个含有未知数的二元一次方程构成的，叫做二元一次方程组。
注意：第一，二元一次方程组中的方程（填“一定”或“不一定”）都是二元一次方程。
例如5321xx y=⎧⎨-=⎩的第一个方程不是二元一次方程，但它仍然是二元一次方程组；第二，两个二元一次方程联立在一起的方程组也（填“一定”或“不一定”）是二元一次方程组，5324x yy z+=⎧⎨-=⎩不是二元一次方程组。
3．二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程组的各个方程左右两边的值都的两个未知数的，叫做二元一次方程组的解。
4．二元一次方程组的基本解法：（1）；（2）。
二、感悟与实践例题1：解下列方程组：（1）1323y xx y=-⎧⎨-=⎩①②（2）（2010丽水）2337x yx y-=⎧⎨+=⎩①②解：把（1）代入（2）得：解：①+②得：∴xy=⎧⎪⎨=⎪⎩∴xy=⎧⎪⎨=⎪⎩变式练习1：解下列方程组：（1）（2011湖北宜昌）122x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）（2011广东中山）2360y xx xy=-⎧⎨--=⎩例题2：用适当的方法解下列方程组：（1）（2011山东潍坊）524050x yx y--=⎧⎨+-=⎩（2）（2011江苏扬州）：20128180x yx y+=⎧⎨+=⎩变式练习2：解下列方程组：（1）2353212x yx y-=-⎧⎨+=⎩（2）1231342m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩例题3：解下列方程组：（1）631x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩（2）2233x yx y zx z-=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩变式练习3：解下列方程组：（1）6810x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（2）3331xx y zx y z=⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩例题4：已知方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩和31ax byax by+=⎧⎨-=⎩有相同的解，求222a ab b-+的值。
七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)
数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。
例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
初中数学培优：二元一次方程的整数解
初中数学培优：二元一次方程的整数解【知识精读】1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2、二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法：设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 1， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值② 用观察法直接写出。
【分类解析】例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918y y y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x=o 时，y=－2，∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
七年级数学培优(十三)——二元一次方程组解法
十三 二元一次方程组能力提升知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解.（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时,方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行.3． 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数）,再解含待定系数的不等式或加以讨论。
(见例2、3）例题① 例1. 选择一组a ，c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2。
无解， 3.有唯一的解例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数?例3. m 取何整数值时,方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法.这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元"转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想. 2、灵活消元（1）整体代入法 （2)先消常数法1. 解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪14232312。
解方程组433132152x y x y +=<>-=<>⎧⎨⎩ （3）设参代入法 (4)换元法3. 解方程组x y x y -=<>=<>⎧⎨⎩321432::4. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩⎪23634(5)简化系数法5. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<>⎧⎨⎩课堂练习1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x 2． a 取哪些正整数值,方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？3． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x k ky x 的解都是整数, k 应取哪些整数值?4． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三,鸡雏三,值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母,鸡雏都买，可各买多少？5． 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和是242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和是341，正确的结果是多少？。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题10 二元一次方程及第三方应用
专题10二元一次方程及第三方应用专题解读】不定方程（组）是数论中的一个古老分支，其内容非常丰富.我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理.无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地.近年来，不定方程的研究又有新的进展.学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能.思维索引例1.已知二元一次方程mx＋ny＝10的两组解12xy=-⎧⎨=⎩和31xy=⎧⎨=-⎩，（1）求3m＋7n的值；（2）求m＋3n的值.例2.已知关于x，y的方程组260250 x yx y mx+-=⎧⎨-++=⎩（1）请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；（3）无论实数m取何值，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.例3.阅读理解解方程组(1)2(2)6 2(1)(2)6 a ba b-++=⎧⎨-++=⎩解：设a－1＝x，b＋2＝y，原方程组可变为26 26 x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组得：22xy=⎧⎨=⎩即1212ab-=⎧⎨+=⎩所以30 ab=⎧⎨=⎩此种解方程组的方法叫换元法.（1）如果关于x、y的二元一次方程组316215x ayx by-=⎧⎨+=⎩的解是71xy=⎧⎨=⎩，求关于x、y的方程组的解：①3()()162()()15x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩②3(2)1623(2)153x y ay b x y y -⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩（2）若关于x ，y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，求关于x ，y 的方程组22ax by cmx ny p -=⎧⎨+=⎩的解.（3）已知关于x ，y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，求关于m 、n 的方程组1112225(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=⎧⎨++-=⎩的解.素养提升1.方程22(1)(2)1x y ++-=的整数解有（ ）A .1组B .2组C .4组D .无数组 2.若二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解21x y =⎧⎨=⎩，则a ＋b 的值为（ ）A .3B .－3C .6D .93.若二元一次方程组323212x y x ay +=⎧⎨+=⎩中的x 与y 互为相反数，那么a 的值是（ ）A .4B .－3C .－2D .74.若11xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组1328mx nymx ny+=⎧⎨+=⎩的解，则5m＋6n的值为（）A.60B.0C.－40D.115.关于x与y的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x＋3y＝32的解，则k的值是（）A.4B.8C.12D.146.方程组42112x ykx y-=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中x与y相等，则k＝ .7.关于x、y的方程组343232x ymx y+=⎧⎨+=⎩的解中x与y的和等于1，则m的值是 .8.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有种不同的买法.9.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格为分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个.10.购买5种数学用品A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下表：种数学用品各买一件共需元11.（1）求方程15x＋52y＝6的所有整数解.（2）求不定方程5x＋7y＝978的正整数解的组数.12.（1）若二元一次方程组3324x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为x ay b =⎧⎨=⎩，求a －b 的值.（2）若二元一次方程组25264x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩和35368x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩有相同的解，求2020(2)a b +的值.13.P n 表示n 边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是：(1)24n n n P -=·2()n an b -+（其中a ，b 是常数，n ≥4） （1）通过画图，可得：四边形时，P 4＝ ；五边形时，P 5＝ ； （2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值.14.已知关于x 、y 的方程组111ax by c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩（1）把x 换成m ，y 换成n ，得到方程组111am bn c a m b n c +=⎧⎨+=⎩，则这个方程组的解是( )( )m n =⎧⎨=⎩；（2）把x 换成2x ，y 换成4y ，得到方程组1112424ax by c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，则2( )4( )x y =⎧⎨=⎩，所以这个方程组的解是( )( )x y =⎧⎨=⎩；（3）参照以上方法解方程组111243243ax by ca xb yc +=⎧⎨+=⎩15.在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？专题10二元一次方程及第三方应用思维索引】例1．(1)74；(2)30；例2．(1)22xy=⎧⎨=⎩，41xy=⎧⎨=⎩；(2)136m=-；(3)2.5xy=⎧⎨=⎩；(4)m＝－1或一3．例3．(1) ①71x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得43xy=⎧⎨=⎩；②272113x yy-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得203xy=⎧⎨=⎩；(2)13xy=⎧⎨=-⎩；(3)设5(3)3(2)m xn y+=⎧⎨-=⎩，可得5(3)53(2)3mn+=⎧⎨-=⎩，解得：23mn=-⎧⎨=⎩.素养提升】1．C；2．A；3．C；4．B；5．A；6．0；7．1；8．2；9．15；10．1000；11．(1)42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数)；(2)871345x ty t=-⎧⎨=+⎩(1345t>-)；12．(1)1；(2)1；13．(1)画出图形如下．当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5．(2)56ab=⎧⎨=⎩．14．(1)34mn=⎧⎨=⎩；(2)321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩；(3)923xy⎧=⎪⎨⎪=⎩．15．4；。
人教版七年级下册数学同步培优课件——二元一次方程组
【问题探究】
x+y=22， (1)
2x+y=40. (2)
满足方程x+y=22且符合实际意义的x，y的值有哪些？
x … 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 … y … 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 …
从中你体会到二元一次方程有＿无＿数＿个解. 上表中哪对x,y的值是方程2x+y=40的解？
t=-2
23
B)
A. -1 6
B. 7 6
C. 1 6
D. -7 6
【解析】选B.根据题意把s,t代入方程可得到 1 2 k 0,
23
7
所以k= .
6
【例题】 【例3】检验下列各对数是不是方程组3xx42yy61, 1 ②① 的解.
①
x y
2, 1.
②
x
y
3, 1.
③
x
y
4, 1. 2
解:(1)把x=2,y=1分别代入方程①②,发现不满足②,所以
不xy 是12,原方程组的解. (2)把x=3，y=-1分别代入方程①②,发现不满足①,所以
概念
二元一次方程 二元一次方程组
概念
二元一次方程 的解
二元一次方程 组的解
应用
1.关于二元一次方程3x+2y=11的解的说法正确的 是 ( D) A.任何一对有理数都是它的解 B.只有一个解 C.只有两个解 D.无穷多个解 【解析】使3x+2y=11成立的x，y有无数组.
4
2.已知2x+3y=4，当x=y 时，x，y的值为___5__，当x+y=0时,
的是__③__⑤__.(填序号)
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论二元一次方程组是初中数学中的一个重要内容，也是数学竞赛中经常出现的题型。
解二元一次方程组的方法主要有代入法、消元法和等式法。
下面是对这三种方法进行详细讨论的精品标准教程。
一、代入法代入法是解二元一次方程组最常见的方法之一、它的基本思想是通过一个方程的解来代入另一个方程，从而得到另一个未知数的解。
例题1：解方程组2x+y=6x-y=2解析：由于第二个方程的形式比较简单，所以可以先解x，然后带入第一个方程来解y。
解方程x-y=2得到x=2+y将x=2+y代入第一个方程2x+y=6得到2(2+y)+y=6化简得4+2y+y=6化简得3y=2解得y=2/3带入第一个方程2x+y=6得到2x+2/3=6化简得2x=6-2/3化简得2x=16/3解得x=8/3所以，解得x=8/3，y=2/3二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过消去一个未知数，得到只含有一个未知数的一次方程，从而求出这个未知数的值，然后代入原方程组来求出另一个未知数的值。
例题2：解方程组2x+y=6x-y=2解析：首先观察发现，两个方程都有x-y，所以可以消去y。
将第二个方程两边同时乘以2得到2x-2y=4将这个方程与第一个方程相加，得到(2x+y)+(2x-2y)=6+4化简得4x=10解得x=10/4=5/2将x=5/2带入第一个方程2(5/2)+y=6化简得5+y=6解得y=1所以，解得x=5/2，y=1三、等式法等式法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是将其中一个方程的左右两边都化成同样的形式，然后将两个方程相减或相加，从而消去一个未知数。
例题3：解方程组3x-2y=72x+3y=1解析：为了消去x或y，我们可以将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，从而使得两个方程的x系数一样。
将第一个方程乘以3得到9x-6y=21将第二个方程乘以2得到4x+6y=2将两个方程相加，得到(9x-6y)+(4x+6y)=21+2化简得13x=23解得x=23/13将x=23/13带入第一个方程3(23/13)-2y=7化简得69/13-2y=7解得y=(69/13-7)/(-2)化简得y=5/13所以，解得x=23/13，y=5/13通过以上的讨论，我们可以看出代入法、消元法和等式法都是解二元一次方程组的有效方法。
数学人教版七年级下册二元一次方程的解法
将y=1回代到（1）式中得 ：x =3
所以， x=3 是方程组的解。 y=1
3x 5y 21 2x 5y -11
①
②
解:由①+②得: 5x=10
x＝ 2
把x＝2代入①，得： y＝3
x 2 所以原方程组的解是 y 3
解方程组 2x -5y=7
试一试：2：用加减法解方程组
思考： 1、用代入消元法怎么解此 方程组？ 2、观察y的系数，能否找 出新的消元方法呢？
x +y =22 ① { 2x+y=40 ②
试一试：2：用加减法解方程组 x+3y =6 ⑴ x－2y=1 ⑵
分析:⑴-(2)可将未知数x消元。 解：（1）-（2），得： 3y－(-2)y=5
主要步骤： 变形 用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 代入 消去一个元 求解 分别求出两个未知数的值 写解 写出方程组的解
加减消元法的主要步骤：
特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数 基本思路: 加减消元 二元 一元
主要步骤： 加减 求解 回代 写解
消去一个未知数后化为一元一 次方程 求出一个未知数的值 代入原方程求出另一个未知数的值 写出方程组的解
所以原方程组的解是两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时将两个方程的两边分别相加或相减就能消去这个未知数得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法简称加减法
新人教版： 二元一次方程组的解法 （复习课）
大研中学 李家红
（一）解二元一次方程组的基本思路是什么？ 基本思路: 消元: 二元
一元
（二）用代入法解方程的步骤是什么？x 1 y 1
(1)
人教版七年级数学培优教程
比例数.
有限小数
可化为分数形式，是有理数
小数 无限循环小数
无限不循环小数 不可化为分数形式，不是有理数
有理数的分类：
正整数
整数
零
自然数
有理数（按定义分类）
负整数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数（按符号分类） 零（零既不是正数，也不是负数）
负有理数
负整数 负分数
该定义更接近分类而非本质定义，例如小数是有理数吗？下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义：能写成 m （m、n 为整数，n≠0，（m，n）=1）的数. n
例： 12 3 ， 3 3 ， 0.1
1
，
0.3
1
82
1
10
3
有理数：rational number，rational（有道理的）的词根为 ratio（比例），有理数可以理解为
6、数轴上：B 到 A 的距离为 1，C 到 B 的距离为 2，求 AC=________
动点（规律类） 1、数轴上：点 A 从原点向右移一个单位，再向左移动两个单位，求现在位置 2、数轴上：点 A 向左移动 3 个单位，向右移动 5 个单位到 2014，求开始的位置 3、数轴上：点 A 从原点开始按照右移 1 个单位，左移 2 个单位，右移 3 个单位，左移 4 个 单位……右移 99 个单位，左移 100 个单位的规律移动 （1）最后的位置________． （2）共移动了多少个单位长度？ （3）若 A 为一个起始为 300kg 的质点，每移动一个单位减少 1kg，A 点消失的位置？ 基础夯实 【例 3】（1）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为
七年级数学下册 第7章 一次方程 培优专题 二元一次方程组的同解、错解、参数问题课件
第7章 一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)
培优专题
二元一次方程组的同解、错解、参数(cānshù)问题
第一页，共十七页。
第7章 一次方程组
培优专题(zhuāntí) 二元一次方程组的同解、通错、参数问题
方法管理 归类探究
第二页，共十七页。
代入①，得 y＝－5.把y＝－5代入bx－ay＝－6，得5a＋b＝－6，解得 a＝b ＝－1.则原式＝[4×(－1)－3×(－1)]2 018＝1.
第四页，共十七页。
【变式跟进】
mx＋2ny＝4， x－y＝3，
1．[2017·杭州一模]若关于 x、y 的方程组x＋y＝1
与nx＋（m－1）y＝3
有相同的解．
x＝－3， 程①中的 a，得到方程组的解为y＝－10；乙看错了方程②中的 b，得到方程组 的解为xy＝＝54，. 试计算 a2 020＋(－b)2 019 的值．
第七页，共十七页。
x＝－3， 解：将y＝－10 代入方程组中的 4x－by＝－2， 得－12＋10b＝－2，解得 b＝1.
x＝5， 将y＝4 代入 ax＋5y＝15，得 5a＋20＝15， 解得 a＝－1.则 a2 020＋(－b)2 019＝1－1＝0.
第十五页，共十七页。
解：(答案不唯一) 我最欣赏乙同学的解题思路，解答如下： 32xx＋ ＋23yy＝ ＝76k.②－2，①，①＋②，得 5x＋5y＝7k＋4，∴x＋y＝7k5＋4. ∵x＋y＝2，∴7k＋ 5 4＝2，解得 k＝67. 评价：乙同学观察到了方程组中未知数 x、y 的系数，以及与 x＋y＝2 中的 系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出 x、y 的值就能解决问 题，思路比较灵活，计算量小．
(完整版)二元一次方程(组)补习、培优、竞赛经典归类讲解、练习及答案
二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。
2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。
（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成⎩⎨⎧==y x 的形式。
5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。
（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。
主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。
代入——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。
变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。
加减——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：① 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。
② 找：找出能够表示题意两个相等关系。
③ 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。
④ 解：解这个方程组，求出两个未知数的值。
⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
6、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
七年级下册数学压轴题二元一次方程整数解
七年级下册数学压轴题二元一次方程整数解二元一次方程整数解是七年级下册数学的一个重要内容。
本文将详细讨论二元一次方程的整数解问题。
二元一次方程可以用以下一般形式表示：ax + by = c，其中a、b、c 为已知整数，而x和y则是未知数。
为了求解二元一次方程的整数解，我们可以采用几种方法。
下面将分别介绍这些方法，并给出示例以便更好地理解。
一、暴力枚举法暴力枚举法是一种朴素的求解方法，适用于方程的系数较小、整数解范围有限的情况。
首先，我们将x的范围设定在一个特定区间内，例如-100到100之间。
然后，遍历这个范围内的每一个整数x。
对于每个x，我们可以通过化简方程求解出相应的y。
如果求解得出的y是整数，且满足方程的整数解条件，即ax + by = c，则将该解记录下来。
以下是一个示例：假设方程为2x + 3y = 12，我们可以按照上述方法进行求解。
当x取值为-5时，方程变为2*(-5) + 3y = 12，化简得到y = 10/3，不是整数，不满足条件。
当x取值为-4时，方程变为2*(-4) + 3y = 12，化简得到y = 16/3，不是整数，不满足条件。
依此类推，继续计算其他x值的情况。
最终我们将得到方程的所有整数解。
二、贝祖等式法贝祖等式法是一种更高效的求解二元一次方程整数解的方法。
它基于一个重要的数论定理，称为贝祖等式。
贝祖等式表明，对于任意整数a、b，存在整数x、y，使得ax + by = gcd(a, b)，其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。
这一等式为我们解决方程提供了思路。
以下是一个示例：假设方程为3x + 5y = 12，我们可以按照贝祖等式法进行求解。
首先，我们求得3和5的最大公约数，即gcd(3, 5) = 1。
根据贝祖等式，我们知道存在整数x0、y0，使得3x0 + 5y0 = 1。
接下来，将方程的右边由12变为1，即将方程乘以12，得到36x + 60y = 12。
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（9）二元一次方程的整数解
【知识精读】
1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，
若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即
如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解
显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x=
5111y -=y y y y 25
15101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是⎩⎨
⎧-=-=k
y k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法： 设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩
⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值
② 用观察法直接写出。
【分类解析】
例1求方程5x －9y=18整数解的能通解
解x=
5
3235310155918y y y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩
⎨⎧-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎩⎨
⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2，求方程5x+6y=100的正整数解
解：x=
52056100y y y --=-(1)， 设k y =5
(k 为整数)，则y=5k,(2) 把（2）代入（1）得x=20-6k ，
∵⎩⎨⎧>>00y x 解不等式组⎩⎨⎧>>-0
50620k k 得0＜k<
620,k 的整数解是1，2，3， ∴正整数解是⎩
⎨⎧==514y x ⎩⎨⎧==108y x ⎩⎨⎧==152y x 例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得
3x+5y=38 （x,y 都是正整数）
∵x ＝1时，y=7，∴⎩
⎨⎧==71y x 是一个整数解 ∴通解是⎩⎨⎧-=+=k
y k x 3751（k 为整数）
解不等式组⎩⎨⎧>->+0
37051k k 得解集是3751<<-k ∴整数k=0，1，2 把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解⎩⎨
⎧==71y x ⎩⎨⎧==46y x ⎩⎨⎧==111y x 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
【实战模拟】，
1， 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3
②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110
3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁
数。
5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
① 4x ＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.。