第一节 n维向量
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北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
线性代数-n维向量
第三章 n维向量
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
第1节 n维向量及其线性相关性(全)
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
1、第一节 n维向量的概念 第二节 向量组的线性相关性
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , 等T 表示，如：
aT (a1 ,a2 ,,an ) n维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
第一节 n维向量的概念ຫໍສະໝຸດ 注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列 向量.
例7.讨论向量组a
1 1,
1 b 2,
1 c 0
1
1
0
解
的线性相关性.
设 1a 2b 3c 0
1 2 3 0
即
1 22 0
1 2 0
11 1
系数行列式 D 1 2 0 1 0
11 0
方程组只有零解 1 2 3 0所以,向量组
a, b, c是线性无关的.
因
1，
2，
线性无关，故有
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 ,,an ) n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
第二节 向量组的线性相关性 一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
第一节n维向量与向量组[1]
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三、线性相关性的判定
定理1.向量组 1 , 2 ,, m （当 m 2 时）线性相关 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量(不妨设 能由其余向量线性表示. 即有
α x α x
1 1 2
2
αx
n
n
β
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合， 个线性组合的系数 .
T m
T 2
T 1
T i T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1 , 2 ,, m , 构成一个 n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以 向量组
1 , 2 , 3线性无关.
定理3 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 ,, m 线性相关, 则
向量组 B : 1 ,, m , m 1 也线性相关.反言之, 若向 量组B 线性无关, 则向量组A也线性无关 .
亦即 （ x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, x1 x 2 0, x x 0. 2 3
n维向量空间
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
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第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
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第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
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第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
第1节 n维向量其线性相关性-文档资料
向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组线性无关性的判定（重点、难点）
向量组A A ： a a …,a a 线性相关 向量组 ： a ,,a ,,…, m线性无关 11 22 m
存在不全为零的实数 ,a k …, km ，使得 如果 k1a1 + k2a2 + … + k k1 （零向量），则必有 2,=0 m m k1a1 + k2 a +k … +… kma ． k = km （零向量） =0 ． m =0 12= 2= m元齐次线性方程组 元齐次线性方程组Ax Ax= =0 0只有零解． 有非零解． m 矩阵 A= =(( a a …,a a 的秩小于向量的个数m m． ． 矩阵 A a ,,a ,,…, m))的秩等于向量的个数 11 22 m 向量组A A中任何一个向量都不能由其余 中至少有一个向量能由其余 mm － 11 个向量线性 向量组 － 个向量线 表示． 性表示．
第四章 向量及向量空间
● ●
n维向量及其线性相关性 向量组的秩
● 线性方程组解的结构
● 向量空间
§1 向量组及其线性组合
定义4.1.1：n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n 维 向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i 个 分量。
分量全为实数的向量称为实向量。 分量全为复数的向量称为复向量。 n维向量写成一行的称为行向量(或行矩阵)。 n维向量写成一列的称为列向量(或列矩阵)。
故
n T 注： 中任一个向量 都可由 ( a , a , a ) 1 2 n
线性表示，即 1,2 , ,n
a a a
1 1 22
n n
例2如果向量组 中有一部分向量线性相 , , 1 2, m 关，则这个向量组也线性相关.
第1节 n维向量及其线性相关性
k1 , k 2 , , k r
k1 k
1
k2 k
2
kr k
r
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性无关，而
, 1 , 2 , , r 线性相关，则 可由 1 , 2 , , r
线性表示，且表示法唯一.
再证表示法唯一，设有两种表示方法：
证 不妨设 1 , 2 , , j ( j
不全为零的数, k 2 k j k1 使
m)
线性相关，于是有
k 1 1 k 2 2 k j
j
0
从而有不全为零的数 k 1 , k 2 k j , 0 , , 0 使
k 1 1 k 2 2 k j j 0
k k 1 1 k 2 2 k r r 0
其中k
0 （如果 k 0 ，则由 1 , 2 , , r 线性无关又得
必须全为零，这与 k , k 1 , k 2 , , k r 不全为零矛 盾），于是 可由 1 , 2 , , r 线性表示为
（4.2）
即
（4.3）
因此，如果 1 , 2 , , r 线性相关，就必有不全为零的 数x1 , x 2 , , x r 使得（4.2）式成立，即齐次线性方程组 （4.1）有非零解；反之，如果线性方程组（4.1）有非 零解，也就是有不全为零的数使（4.2）成立，则 1 , 2 , , r 线性相关.定理得证.
问：（1） 1 , 2 , 3 是否线性相关？（2） 4 是
否由 1 , 2 , 3 线性表示？如能表示求其表示式.
解（1）根据定理2，作矩阵
k1 k
1
k2 k
2
kr k
r
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性无关，而
, 1 , 2 , , r 线性相关，则 可由 1 , 2 , , r
线性表示，且表示法唯一.
再证表示法唯一，设有两种表示方法：
证 不妨设 1 , 2 , , j ( j
不全为零的数, k 2 k j k1 使
m)
线性相关，于是有
k 1 1 k 2 2 k j
j
0
从而有不全为零的数 k 1 , k 2 k j , 0 , , 0 使
k 1 1 k 2 2 k j j 0
k k 1 1 k 2 2 k r r 0
其中k
0 （如果 k 0 ，则由 1 , 2 , , r 线性无关又得
必须全为零，这与 k , k 1 , k 2 , , k r 不全为零矛 盾），于是 可由 1 , 2 , , r 线性表示为
（4.2）
即
（4.3）
因此，如果 1 , 2 , , r 线性相关，就必有不全为零的 数x1 , x 2 , , x r 使得（4.2）式成立，即齐次线性方程组 （4.1）有非零解；反之，如果线性方程组（4.1）有非 零解，也就是有不全为零的数使（4.2）成立，则 1 , 2 , , r 线性相关.定理得证.
问：（1） 1 , 2 , 3 是否线性相关？（2） 4 是
否由 1 , 2 , 3 线性表示？如能表示求其表示式.
解（1）根据定理2，作矩阵
经济数学课件 12.1 n维向量的概念
2.向量的加法满足以下四条运算规律： 1)、交换律：α+β=β+α； 2)、结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）；
3)、有零元：α+ 0 =α， ；
a
4)、有负元：α+ = 0， 。 3.向量的数乘满足以下四条运算规律：
1)、分配律：k( ) k k ； 2)、分配律：(k l) k l ；
3)、结合律：k(l ) (kl) ；
1 4)、有单位元 ： 。
作业：
习题：１２－１：１，２
k 为数域 P 中的数，定义向量
,bn ) ,
(a1 b1,a2 b2 , ,an bn ) 称 为向量 与 的和； 定义向量
k (ka1, ka2 , , kan )
称 k 为向量 与数 k 的数量乘积．
减法 减法用加法定义，如果
（a1, a2 ,an ), (b1, b2 ,bn ) 定义 （ ），称为与的差， 当然 （a1 b1, a2 b2,, an bn )
元向量来表示： ai1, ai2,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, ain,bi
a1
向量有时也写成一列
a2
,
an
2．向量的相等
称之为列向量．
如果n维向量 (a1,a2 , ,an ) , (b1,b2 , ,bn )
的对应分量皆相等，即
ai bi ,
i 1,2, , n
则称向量 与 相等，记作 ．
第十二章 n维向量和线性方程组
第一节 n维向量的概念
一、n向量的定义
向量我们并不陌生，在解几中，我们已经讨论过二维和三
维向量。
在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向
4.1 n维向量及其线性组合
2 1 − 2 1 0 0 0 0 0 0
k1 = − 3 k 3 + 2 ( k 3为任意数） 为任意数） 2k k 2 = 2k 3 + 1
令 k 3 = c , 得表示式
∴ b = ( −3c + 2)α 1 + ( 2c + 1)α 2 + cα 3 .
(c可任意取值 )
k11 k21 （ b1 , b2 ,L, bl ) =（α1 , α 2 ,L, α m ) M k m1
从而
k12 k22 M km 2
L k1l L k2 l M L kml
矩阵K m×l = ( k ij )称为这一线性表示的系 数矩阵 .
n
{
T
}
叫做 n 维向量空间． 维向量空间．
Π = x = ( x1, x2 ,L, xn ) a1 x1 + a2 x2 +L+ an xn = b
T
{
}
n维向量空间 Rn中的 n − 1 维超平面． 维超平面． 叫做
二、线性组合
定义１ 定义１ 给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m，对于任何一 向量 L 组实数 k1，k 2， , k m，
求解方程组
a11 a 21 L a m1
无解，则 b 不能由α1 , α2 , ..., α s 线性表示 无解，
L L L a1 s a2 s L b1 b2 L bm
即对于
L a ms
R(α1 , α2 , ..., αs ) = R(α1 , α2 , ..., αs , b) 有解； 有解；
例1 设
1 n 维向量
定义6
设 1 , 2 ,, m 是n维向量组, k1 , k 2 ,, k m
是一组数, 则称
k11 k 2 2 k m m
是向量组 1 , 2 ,, m 的一个线性组合。
若向量 满足
k11 k2 2 km m
或向量 能由 则称向量 是 1 , 2 ,, m的一个线性组合，
1 1 1
(2) 易知 2 , 所以 是 , 的一个线性组合, 或 能由 , 线性表示.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 例 对线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
系数向量组的线性组合
a11 x1 a12 x2 a1n xn x11 x22 xnn a21x1 a22 x2 a2n xn a x a x a x mn n m1 1 m2 2
若设
a11 a 1 21 , am1
a12 a 2 22 , am 2
b1 a1n b2 a 2 n n , bm amn
T
当向量的分量都为复数时,称该向量为复向量 本书只讨论实向量.
n R 全体n维实向量的集合记为 ,即
R a1 a2 an | ai R, i 1, 2,, n
n T
二 向量的线性运算
(一)定义
定义3: 两个向量, 相等指表示向量的两个矩阵相等.
第二章 n维向量,第1节
第二章 n维列向量
例. n维基本单位向量组
§2.1 n维向量及其运算
1
0
1 = 0 , 2 = 1 , …, n = 0
0
0
1
… … …
第二章 n维列向量
任何一个n维向量
a1
= a2
§2.1 n维向量及其运算
…
an
都能由1, 2, …, n线性表示, 事实上,
1
0
0
= a1 0 + a2 1 + … + an 0
…
…
0
0
1
…
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
a11 a12 … a1s
例.
A=
a21 …
a22 … ……
a2s …
= (1, 2, …, s),
an1 an2 … ans
b1
x1
= b2 , x = x2 ,
… …
bn
xs
能由1, 2, …, s 线性表示
方程组 Ax = 有解
3. n维向量的线性运算满足的性质
4. 线性组合, 线性表示
n维向量: 1, 2, …, s
数: k1, k2, …, ks
线性组合: k11+k22+…+kss
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
n维向量:
若存在数 k1, k2, …, ks使得
= k11+k22+…+kss 则称能由向量组1, 2, …, s 线性表示
第二章 n维向量
§2.1 n维向量及其运算 1. n维向量的概念
§2.1 n维向量及其运算
线性代数第三章第一节 n维向量及其线性相关(2014版)
有非零解，且它的一个非零解 的一组不全为零的系数。
8 0 k ( ) k k , 是 n维向量， k , l F
线性运算：上述向量的加法及数乘运算称为 向量的线性运算 注：
•满足上述 10 80 的运算称为线性运算。
(1) 0 0 (2) (1) ; (3)0 0. (4)如果k 0,则k 0或 0
(5)向量方程 x 有唯一解 x
V , V , 有 V ;
V ,k R, 有 k V .
定义： 设 V F n 的非空集合,如果对于 Fn 中的
加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为 F n 上
的向量子空间．
•两个特殊的子向量空间 V {o}和 F n 称为平凡子空间
例1：3维向量的全体 R3 是一个向量空间。
例2：V { ( x, y,0) | x, y R}
由xoy平面上所有向量全体构成的向量空间,是
R3 的一个子向量空间。
例3: 判别下列集合是否为向量空间.
(1)V1 x 0, x2, , xn T x2, , xn R
(2)V2 x 1, x2, , xn T x2, , xn R
示的一组不全为零的系数。
证：由向量组
1
,
2
,,
线性相关
m
存在一组不全为零实数k1, k2 ,, km ,
使
k11 k22 kmm 0
a11
a12
a1m 0
k1
a21
k2
a22
km
a 2 m
0
an1
an2
anm
0
以
1，
，
2
， m 为系数列向量的齐次线性方程组(*)
第九章 n维向量
第九章 n 维向量第一节 n 维向量的概念一、n 维向量定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量。
这n 个数称为向量的n 个分量，第i 个数i a 称为第i 个分量。
记n 维列向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α n 维行向量为()n T a a a ,,,21 =α例如，三维向量的全体所组成的集合 {}R z y x z y x r R T ∈==,,),,(3在几何中表达空间的点集，称为三维向量空间。
类似地，n 维向量的全体所组成的集合{}R x x x x x x r R n T n n ∈==,,,),,,(2121 ，叫做n 维向量空间。
第二节 向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性若干个同维数的行向量（或者列向量）所组成的集合叫做向量组例如一个n m ⨯矩阵A=n m ij a ⨯)(有n 个m 维列向量，称n ααα,,,21 为矩阵A 的列向量组 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α （n j ,,2,1 =）反之，n 个m 维列向量n ααα,,,21 构成一个n m ⨯矩阵AA= （n ααα,,,21 ）前两章中常把线性方程组写成矩阵形式b Ax =现把方程组写成向量形式βααα=++m m x x x 2211可见方程组与增广矩阵（)βA 的列向量组m ααα,,,21 ，β之间也有一一对应关系。
定义2 给定向量组A ：m ααα,,,21 ，对于任何一组实数，称向量m m k k k ααα ++2211为向量组A 的一个线性组合，m k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数。
定义3 给定向量组A ：m ααα,,,21 和向量β，如果存在一组数m λλλ,,,21 ，使得 β=m m αλαλαλ ++2211则称向量β是向量组A 的线性组合，称向量β可以由向量组A 线性表示向量β可以由向量组A 线性表示，也就是方程组βααα=++m m x x x 2211有解。
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定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b)的秩.
定义２ 设有两个向量组
A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s . 若B组中的每个向量都能由 向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称 这两个向量组等价．
类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
对方程组A的各个方程做线性运算所得到的 一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程组A的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等 价的方程组一定同解.
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地,矩阵A1 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
若记A 1 , 2 , , m )和B b1 , b2 , , bs ).B （ （ 能由A线性表示，即对每个向量b j ( j 1, 2, , s )存 在数k1 j , k2 j , kmj , 使
b j k1 j 1 k2 j 2 kmj m
a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
三、向量空间
向
解析几何
既有大小又有方向的量
量
线性代数
有次序的实数组成的数组
b12 b1n b22 b2 n bl 2 bln
同时，C的行向量组能由 的行向量组线性表示 A B , 为这一表示的系数矩阵 ：
1T a11 T 2 a21 T m am 1
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
k1 j k2 j 1 , 2 ,, m ) （ , k mj
从而
k11 k21 ( b1 , b2 ,, bs ) (1 , 2 , , m ) km 1 k12 k22 km 2 k1 s k2 s kms
a12 a22 am 2
a1l 1T T a2 l 2 T aml l
设矩阵A经初等行变换变成 ，则B的每个行 B 向量都是A的行向量组的线性组合 ，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示 由初等变换可逆性 . 可知，A的行向量组能由 的行向量组线性表示， B 于是A的行向量组与B的行向量组等价.
矩阵Km * s (kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
若Cmn Am * lBl * n，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示， 为这一表示的系数 B 矩阵：
b11 b21 ( c1 , c2 , , cn ) (1 , 2 , , l ) bl 1
第一节
n维向量
一、 n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的 个分量， n
第i个数a i 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k 称为向量组的一个线性组合， 1，k 2， , k m 称为这 个线性组合的系数 .
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
n
T
叫做 n 维向量空间．
x ( x1 , x 2 ,, x n ) a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
T
叫做 n维向量空间 R 中的 n 1 维超平面．
n
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如矩阵A (aij ) 有n个m维列向量 a1 a 2 mn a j an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
n维实向量
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
二、n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如： a T (a1 , a 2 ,, a n ) n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如：
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
n个m维列向量所组成的向量组1 , 2 , , n , 构成一个m n矩阵
A (1 , 2 , , n )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
P ( x, y, z )
一 一 对 应
T
ax by cz d
T
r ( x, y, z )
n n 3时， 维向量没有直观的几何形象．
R x ( x1 , x 2 ,, x n ) x1 , x 2 ,, x nR
( n 3)
坐 标 系
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式
a (a1 , a 2 ,, a n )
T
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面