割圆术——刘徽《九章算术注》

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刘徽割圆术精品PPT课件

如图所示，四边形 OADB的面积和△OAB 的面积的差等于以AD和 DB为弦的两个直角三角形面积，而OADB的面积再加上这样两个直角三角形的面积，就有一部分超出圆周了。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。
发，求得正十二边形的边长。根据勾股定理，从圆内接正n边形每边的长，可以求出圆内接正2n边形每边的长。
第三，从圆内接正n边形每边的长，可以直接求出圆内接正2n边形面积。如图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。但是 “祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人却说不出来。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早在一千四百多年以前，我国古代著名的数学家祖冲之，就精密地计算出圆的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上算得最精确的数值----圆周率。

刘徽与割圆术

圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。
▪ 刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。
正6邊形
正12邊形
正24邊形
邊數愈多，正多邊形愈接近圓形。最後，劉徽求得π≈ 3.1416。 BG
正48邊形
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谢谢观看
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BGΒιβλιοθήκη 4②刘徽原理在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
▪ 成就
▪ 刘徽的成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算
术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的
运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十B进G 分数无限逼近无理根的方法。 3
④方程新术在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。 ⑤重差术在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的
创见： ①割圆术与圆周率他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并

刘徽割圆术

（四）建议将3月14日定为祖冲之纪念日建议将月日定为祖冲之纪念日
美国麻省理工学院首先倡议将3日日寓意3﹒ ）美国麻省理工学院首先倡议将日14日（寓意 ﹒14）定为国际圆周率日(National p Day)。1736年，瑞士数学家歐拉 (Euler，圆周率日。年， 1707 – 1783) 提倡以希腊字母 p (音：pi) 来表示圓周率，p是圓周来表示圓周率，是圓周音的字頭。直到現在，的希腊文 perijereia (英文为 periphery) 的字頭。直到現在，p 已英文为成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“ 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“圆周率日快乐！快乐！”用大家熟悉的生日歌旋律唱起 happy pi day to you！学！院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼(英院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼英同音)以及其他各种以圆周率为主题的食物文pie，与圆周率英文同音以及其他各种以圆周率为主题的食物，，与圆周率英文pi同音以及其他各种以圆周率为主题的食物，举行圆周率背诵比赛。举行圆周率背诵比赛。全球各地的一些著名大学的数学系，也在3月日举行日举行Party庆全球各地的一些著名大学的数学系，也在月14日举行庆在圓周率日當天，祝。在圓周率日當天，加拿大滑铁庐大学还会以供應免費的餡餅来庆祝。而3月14日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 (Albert 庆祝。月日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 Einstein，1879 – 1955) 的生日。所以他们还会「择时辰」以庆祝的生日。所以他们还会「择时辰」，圆周率日：选择在下午1時分开始庆祝分开始庆祝，圆周率日：选择在下午時59分开始庆祝，它代表 3.14159 (准确至准确至六位小数) 的圓周率近似值。六位小数的圓周率近似值。

刘徽和割圆术

刘徽和割圆术中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。

在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。

但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。

在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。

下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。

他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。

他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。

由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。

割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。

这就是著名的圆面积公式:(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。

我们今天可以得出这个公式是正确的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。

在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。

在今天，我们可以看出用圆内12S CR接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。

关于刘徽的割圆术(终审稿)

关于刘徽的割圆术文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-关于刘徽的割圆术关键词九章算术, 刘徽, 割圆术, 圆周率1 刘徽割圆术的内容刘徽的割圆术, 是刘徽在为《九章算术》第一卷方田中的圆田术所作的注中提出来的, 包括如下内容:1) 刘徽首先解释了圆田术求圆面积的方法, 然后指出“周三径一”是不对的, 他说: 以半周乘半径而为圆幂, “此以周径谓至然之数, 非周三径一之率也. 周三者, 从其六觚之环耳, 以推圆规多少之较, 乃弓之与弦也. ”2) 刘徽提出用割圆内接正六边形为正十二边形等步骤, 使圆内接正多边形的面积逐次逼近圆的面积. 进而又指出: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. 觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. 若夫觚之细者, 与圆合体, 则表无余径. 表无余径, 则幂不外出矣. ”3) 刘徽详述了割圆的算法, 例如, 关于割圆内接正六边形为正十二边形, 他说: “令半径一尺为弦, 半面五寸为勾, 为之求股. 以勾幂二十五寸减弦幂, 余七十五寸, 开方除之, 下至秒忽, 又一退法求其微数, 微数无名者以为分子, 以下为分母, 约为五分忽之二, 故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二. 以减半径, 余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三, 谓之小股, 为之求弦, 其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽, 余分弃之, 开方除之, 即十二觚之一面也. ”4) 刘徽在计算了圆内接正一百九十二边形的面积后, 对圆面积进行了大胆推断, 从而获得了当时世界上最精确的圆周率的值. 他说: “差幂六百二十五分寸之一百五, 以十二觚之幂为率消息, 当取此分寸之三十六以增于一百九十二觚之幂( 即三百一十四寸六百二十五分寸之六十四) , 以为圆幂三百一十四寸二十五分寸之四. ”5) 刘徽验证了自己获得的结果的正确性, 为此, 他继续用割圆术, 直到求出圆内接正三千零七十二边形的面积. 他说: “当求一千五百三十六觚之一面, 得三千七十二觚之幂,而裁其微分, 数亦宜然, 重其验耳. ”2 刘徽割圆术的历史地位2. 1 古希腊已有割圆思想古希腊巧辩学派的学者Ant iphon ( 约公元前五世纪) 提出用边数不断增加的圆内接正多边形来接近圆, 并提出把圆看作是无穷多边的正多边形; 另一个古希腊巧辩学派的学者Br yso n( 约公元前五世纪) 类似地提出用边数不断增加的圆外切正多边形来接近圆; 而古希腊的一位大数学家Eudox us( 约公元前四世纪) 则依据这一思想创立了穷竭法这种着名的获取定理和证明定理的方法.虽然刘徽不是人类历史上第一个提出割圆思想的人, 但是, 他没有简单地重复任何人, 而是独立地、完整地、创造性地提出了割圆术, 和古希腊的数学家们一样, 刘徽的思想同样是辉煌的.2. 2 刘徽用割圆术获得了当时世界上最精确的圆周率值古希腊的Ant iphon, Br yso n, Eudo xus 虽然先于刘徽提出割圆思想, 但他们都没有用它去求圆周率的值. 然而, Archimedes( 公元前287～公元前212年) 继承了割圆思想, 并根据圆周长大于圆内接正多边形周长而小于圆外切正多边形周长, 得到圆周率P满足223/ 71 < P< 22/ 7 的结果. 古希腊的Ptolemy( 公元～168年) 并没有专门研究圆周率的值, 他依据他的定理( Ptolemy 定理) 提出一种特殊的割圆技巧,求出了各圆心角所对的弦长的六十进制数值, 其中1/ 2度圆心角所对弦长的数值为31′2 5″,相当于求得P的值为P≈377/ 120. 这是刘徽以前有据可考的圆周率的最好结果.我国古代很早就知道“周三径一”误差很大, 需要改进, 不少人在这方面作过工作:汉代的刘歆( 约公元前50～公元23年) 所用圆周率的值为P≈3. 1547;汉代的张衡( 公元78～139年) 所用圆周率的值为P≈3. 1623; 三国的王蕃( 公元219～257年) 所用圆周率的值为P≈3. 1556. 这些P的近似值都不如Archimedes 和Ptolemy 的结果好, 并且都未提供出正确的算法, 缺乏理论根据.而刘徽根据他所提出的割圆术, 运用勾股定理, 设计出一个完整的求圆周率P近似值的算法.设n= 6 ( 术曰: 割六觚以为十二觚) , 又设r= 1, 则有s= 1( 术曰: 置圆径二尺, 半之为一尺, 即六觚之面也) , 算法步骤如下:1 设弦为r , 勾为s/ 2, 求股, 赋予a( 此为小股, 术曰: 令半径为弦,半面为勾, 为之求股) ;o将r - a 赋予b( 此为余径, 术曰: 觚面之外, 又有余径, 又曰: 以减半径, 谓之小股) ;设勾仍为s/ 2, 股为b, 求弦, 赋予s( 实为圆内接正2n 边形的边长, 术曰: 为之求小弦, 即十二( 2n) 觚之一面也) ;求S= ns 圆周率的近似值( 实为圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积, 术曰: 得二十四( 4n) 觚之幂) ;将2n 赋予向1 .上述算法为计算出更精确的圆周率值奠定了基础. 刘徽所获得的“圆幂三百一十四寸二十五分寸之四”,即P≈3. 1416, 这是当时世界上最精确的圆周率的值.顺便指出, 祖冲之( 公元429～500年) 研究过刘徽的割圆术, 再加上自己的创造, 他获得了当时世界上最精确的圆周率的值: 3. 1415926 < P< 3. 1415927. 此外, 他还用最佳近似分数给出所谓疏率和密率: P≈22/ 7, 这一结果与Archimedes的上限结果相同; P≈355/ 113, 这一结果在西方迟至1573年才由Otho 重新获得.2. 3 在中国刘徽首次比较准确地描述了极限概念在中国战国时代的着作《庄子》中记录了名家惠施的话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭. ”这段话已经有了极限思想的雏形. 但名家所表现出的极限思想是不自觉的、模糊的. 名家的目的仅仅是为了在辩论中强调名词概念的相对性, 因而不可能形成数学上的清晰的极限概念.但是, 刘徽在割圆术中比较准确地描述了极限概念. 他说: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. ”这明确地肯定了limS= P. 这里S是圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积.他又说: “觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. ”这表明刘徽实际上建立了不等式S < P< S+ e, 其中e= S- S , 此即刘徽所说的“差幂”.刘徽的这一不等式明显地优于Archimedes 的不等式, 这是因为: 第一, Archimedes 既要用到圆内接正多边形,也要用到圆外切正多边形, 而刘徽用“差幂”,只需要用圆内接正多边形, 可以减少大约一半运算次数; 第二, 由于S 等于圆内接正4n 边形的半周长, 并且容易证明, S+ e小于圆外切正4n 边形的半周长, 因而, 刘徽的这一不等式比Archimedes 的不等式更精确. 刘徽显然和Archimedes 一样, 已经意识到这里存在类似夹逼定理这样的极限性质, 由此既可以推断极限的存在, 还可以确定极限值各数位上的准确的有效数字. 刘徽正是这样做的, 他用圆内接正一千五百三十六边形和圆内接正三千零七十二边形的面积, 依据他的不等式, 验证了他的结果直到第四位小数都是正确的.刘徽接着说: “觚之细者, 与圆合体, 则表无余径, 表无余径, 则幂不外出矣. ”他正是根据这一点, 解释了圆田术求圆面积的方法( 半周半径相乘得积步) . 刘徽的解释方法, 与Eudox us 证明圆面积之比等于半径平方比的穷竭法如出一辙.3 刘徽割圆术的局限性刘徽的极限概念是不彻底的刘徽的割圆术虽然比较准确地描述了极限概念, 而且, 很可能进行了真正的极限运算, 但刘徽的数学素养还不足以完整地描述这个无限的趋向过程. 他采用了“割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣”,“觚之细者, 与圆合体, 则表无余径”等绝对的、不准确的言词. 实际上, 刘徽的思想陷入了矛盾之中, 一方面, 他像惠施那样意识到割圆的过程是无限的, 是万世不竭的, 另一方面, 他又竭力回避无限, 不愿意正视无限, 相信总有“不可割”,“表无余径”,“幂不外出”,“与圆周合体而无失”之时. 这就足以说明刘徽的极限概念是不彻底的. 事实上, 我国古代还有不少学者虽具有极限思想的雏形, 但在描述中都毫无例外地不得不采用绝对的、不准确的言词. 极限概念的不彻底, 限制了刘徽对极限概念的挖掘和应用, 也限制了刘徽在数学上的创造性. 纵观刘徽在数学上的工作可以看出, 虽然他在圆周率的计算等方面取得了令世人瞩目的成果, 但是, 刘徽在整个数学史上的地位,则不可能超过Ar chimedes 等人.参考文献1 刘徽注. 九章算术. 上海: 上海古籍出版社, 19902 Morris Kl ine 着; 张理京, 张锦炎译. 古今数学思想. 上海: 上海科学技术出版社, 19793 How ard Eves . An In tr od uct ion to the His tory of Mathemat ics. New York: Saunders Coll ege Pub lish ing, 19834 李俨. 中算史论丛. 北京: 中国科学院出版, 19545 钱宝琮. 中国数学史. 北京: 科学出版社, 19816 邓建中, 葛仁杰, 程正兴. 计算方法. 西安: 西安交通大学出版社, 19857 王乃信，王树林，西北农业大学学报，1997年8月。

数学文化之割圆术

割圆术3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.“圜，一中同长也”.意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等.早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系.认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积.我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的公式.为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”. 利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为 3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。

魏晋数学家刘徽与《九章算术》

为。他还认为圆内接正多边形的边数越多，就越同圆周近似
这就是现代数学中的极限概念。圆周率是数学上的一个重要数据，
计算圆面积、圆周长、球表面积和球体积等，都离不开圆周率，所
以，推算出它的准确数值，无论是在理论上还是在实践上都具有
重要的意义。
在世界数学史上，许多国家的数学家都曾把圆周率作为重要
的研究课题，为求出它的精率数值的准确程度，可以衡量这个国
家数学的发展情况。刘徽的贡献就在于他开创了圆周率研究的新
阶段，推动了我国古代数学的发展。
刘徽在注解《九章算术》时除了创建了新的体系“割圆术”外，
他还运用了“齐同术”，即分数加减法中的通分法，用“今有术”
魏晋时期，有一位名叫刘徽的杰出数学家。他在数学领域做
出了很大贡献，而最主要的是为我国古代数学的经典著作《九章
算术》做注。他撰写的《九章算术注》一书，共有卷，在世界
数学史上占有突出的地位
《九章算术》是东汉初期（公元1世纪左右）流传下来的最早
的数学方面的专著，书中总结了我国古代劳动人民和数学家在长
《九章算术》虽是一部经典著作，但它对所列问题的解法或结
论缺乏必要的解释和说明，对所依据的理论也没有做系统的探讨，
这就妨碍了数学的进一步发展。刘徽看到了这一点，于是他不畏
艰难，决定为《九章算术》做注，这是一项非常繁琐的工作。大
约在魏陈留王景元四年（公元263年）刘徽开始注解《九章算
术》，他在序言中说“：我从小学习《九章》，长大后又仔细阅读，
理的应用及相似直角三角形的解法）等九章，其中还包含了系统
的分数四则运算，面积、体积的计算，开平方开立方的方法，各
种分配比例问题，正负数概念和正负数加减法则，多元一次方程

刘徽与割圆术

②在筹式演算理论方面先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 ③在勾股理论方面逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。 ④在面积与体积理论方面用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
成就
刘徽的成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《
术注》术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。

刘徽和割圆术

刘徽和割圆术中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。

在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。

下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。

他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。

他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。

由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。

割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。

这就是著名的圆面积公式:(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。

我们今天可以得出这个公式是正确的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。

在今天，我们可以看出用圆内接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。

高中数学文化情景题专题21 割圆术(以割圆术为背景的高中数学考题题组训练)解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题21 割圆术（以割圆术为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图O 的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则O 圆的内接正二十四边形，以此估计，O 的面积近似为（）A ．32B ．32C ．3D ．3【答案】C 【解析】【分析】求得圆内接正二十四边形的面积，由此求得O 的面积的近似值. 【详解】()sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=圆内接正二十四边形的面积为12411sin151232⨯⨯⨯⨯︒==.故选：C2．刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的．他首先论证，将圆分割成多边形，分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了．如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．3πB ．2πCD【答案】A 【解析】先求出阴影部分及圆的面积，然后结合几何概型中面积型的概率公式求解即可. 【详解】解：设圆的半径为1，由题意可得阴影部分的面积为211121sin 326S π=⨯⨯⨯=，又圆的面积为221S ππ=⨯=，则由几何概型中面积型的概率公式可得此点取自阴影部分的概率是123S S π=, 故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型中面积型的概率公式，重点考查了正多边形面积的求法，属基础题.3．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方x 确定出来2x =，类似地不难得到16166+=++⋯（）A．3B．3CD【答案】A 【解析】【分析】令1666...x =+>+，结合已知可得2610x x --=，求解即可. 【详解】令1666...x =+>+，则16x x+=，∴2610x x --=，解得3x =，∴3x =+ 故选：A4．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有+中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x x 确定出来2x =，类比上述结论可得222log 2log (2log ()[]2)+++的正值为A ．1BC ．2D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据题意,通过类比可得: 2log (2)x x =+,再解方程可得. 【详解】由题意可得2log (2)x x =+，0x >，∴22x x =+，解得2x =．故选C . 【点睛】本题考查了推理与证明中的类比推理,属中档题.5．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

刘徽与割圆术

摘要：刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。

他通过割圆术中极限思想，进而引入数列极限的描述定义。

刘徽借“割圆术”方法，凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式，以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式，运算中包含着微积分的思想。

关键词：刘徽割圆术极限微积分徽率英文题目Abstract:Liu Hui is the third Century the world's most eminent mathematician，in the year 263writings" arithmetic in nine sections。

" and later" island art"，is China's most valuable mathematical legacy，and laid him in Chinese history of mathematics in the immortal status。

He by cutting a circle limit thought in the limit of a sequence，and then introduce the definition。

Liu Hui" by cutting a circle" method，with its superb to infinite problem understanding and using manner，with " notcomponent integrable" premise，" squeeze rule" knowledge that the area of a circle formula，computing contains calculus ideas。

割圆术

简述刘徽的割圆术1、刘徽的“割圆术”我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”．魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式，于公元263 年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记——“割圆术”．“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣！觚面之外，犹有余径，以面乘余径，则幂出弧表．若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径．表无余径，则幂不外出矣．以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂．”刘徽在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想；第二个是无穷小分割思想.如图：设圆面积为0s ，半径为r ，圆内接正n 边形边长为n l ，周长为n L ，面积为n S .将边数加倍后，得到圆内接正2n 边形，其边长、周长、面积分别为2n l ，2n L ，2n S .刘徽从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.同时，它与两个小三角形的面积和相等.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积.即：2n l AD ===知道了内接正n 边形的周长n L ，又可求得正2n 边形的面积：211222n n n l r S n AB OD n L r ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭得2022()n n n n S S S S S <<+-刘徽再把与圆周合体的这个正多边形，就是不可再割的这个正多边形，进行无穷小分割，再分割成无穷多个以圆心为顶点，以多边形每边为底的无穷多个小等腰三角形，这个底乘半径为小三角形面积的两倍，把所有这些底乘半径加起来，应该是圆面积的两倍.那么就等于圆周长乘半径等于两个圆面积.所以一个圆面积等于半周乘半径，所以刘徽说故半周乘半径而为圆幂.那么他的原话就是“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍.故以半周乘半径而为圆幂”.最后完全证明了圆面积公式.随着圆面积公式的证明，刘徽也创造出了求圆周率精确近似值的科学程序.刘徽在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长就要比正六边形的周长更接近圆周了.如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周.这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了.根据圆周率=圆周长/圆直径，可以求出圆周率.2、割圆术的意义及刘徽对后世数学发展的作用刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法，割圆术是《九章算术》中作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽是中算史上第一次建立可靠的理论来推算圆周率的科学家.刘徽在《九章算术注》的自序中表明，把探究数学的根源，作为自己从事数学研究的最高任务.他注《九章算术》的宗旨就是“析理以辞，解体用图”.“析理”就是当时学者们互相辩难的代名词.刘徽通过析数学之理，建立了中国传统数学的理论体系.众所周知，古希腊数学取得了非常高的成就，建立了严密的演绎体系.然而，刘徽的 “割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章.。

以《九章算术注》论刘徽数学证明

以《九章算术注》论刘徽数学证明作者：邬岳基徐泽林来源：《新一代》2017年第20期摘要：《九章算术注》是魏晋时期数学家刘徽的代表作，刘徽以对《九章算术》作注的方式对其中的数学内容进行叙述证明，并在其中贯穿着超越这个时代数学家的演绎证明与非演绎证明方式，形成了其独特的数学证明体系。

关键词：刘徽；演绎证明；数学证明；逻辑推理《九章算术》是中国古典数学中现有传本的最古老的数学典籍，其成书于东汉初期。

对于《九章算术》的注释中以魏晋时期刘徽的《九章算术注》被后人研究以及研读的最多。

如钱宝琮、杜石然认为在刘徽的《九章算术注》中“包含了许多关于数学概念、推理和若干证明论方面的思想”[1]。

在此书中，刘徽详尽的解释了《九章算术》中的所有问题并对疑难处着重进行了探讨并给出了具体应用，还增添了实例进行说明。

如果说“作为一名中国的数学工作者，首先应对自己的数学历史有深刻的认识，为此必须首先对《刘注》与《九章》有确切的了解”[2]。

《九章算术注》是中国传统数学的一部代表作，通过对《九章算术注》的研读从而揣摩体会刘徽形成的独特的数学证明体系。

一、刘徽在《九章算术注》中的一些概念引入在《九章算术注》中，刘徽引入了很多前人并未用到的数学概念，并对这些新的概念做出明确的定义，在后面的篇章中通过之前所做出的定义可对《九章算术》中的问题给予证明。

这种证明方式类似于西方的公理化系统中的逻辑演绎推理证明。

在《九章》第一章方田章开篇有原文写到：“方田术曰：广从步数相乘得积步。

”此文含义为：方田算法中说：长方形长与宽相乘的步数相乘得到其面积”。

针对原文当中“积”的含义刘徽对“积”提出定义：“此积谓田幂。

凡广从相乘谓之幂”针对原文中的“积”刘徽给出定义，凡是长方形面积都用长乘宽即“幂”代替了“积”的含义。

在后文中所有涉及到“积”的相关问题，均由更贴切的“幂”取代。

而在方田章中刘徽还提到了“率”：“凡数相与者谓之率。

率者，自相与通。

有分则可散，分重叠则约也。

基于刘徽割圆术的等距线逼近算法

基于刘徽割圆术的等距线逼近算法刘徽割圆术是古代数学家刘徽在《九章算术》中提出的一种近似计算π值的方法。

这种方法通过不断割圆来逼近圆周率的值。

基于这个思想，我们可以借鉴刘徽割圆术的原理，提出一种基于等距线的逼近算法。

等距线逼近算法的核心思想是通过不断在给定区域内绘制等距线，并计算这些等距线与目标曲线的交点数来逼近曲线的形状。

具体步骤如下：1. 将给定的曲线分割成若干小段，并在每一小段上绘制等距线。

等距线可以是水平线、垂直线或者斜线，关键是要保持等距离。

2. 计算每一段等距线与曲线的交点数。

可以利用数值计算方法，如二分法或牛顿迭代法，来求解等距线与曲线的交点。

3. 根据交点数的变化情况，调整等距线的位置和密度。

如果交点数过少，说明等距线的密度不足，可以增加等距线的数量或缩小等距线的间距；如果交点数过多，说明等距线的密度过高，可以减少等距线的数量或增大等距线的间距。

4. 不断重复步骤2和步骤3，直到交点数的变化趋于稳定，即曲线的形状逼近到一定程度。

等距线逼近算法可以用于曲线的绘制、形状的分析以及图像处理等领域。

它的优点是简单易懂、计算量较小，并且可以根据需要进行调整和优化。

然而，由于基于等距线的逼近算法是一种近似方法，所以在某些情况下可能会引入一定的误差。

因此，在使用该算法时需要根据具体应用场景进行权衡和取舍。

总之，基于刘徽割圆术的等距线逼近算法是一种利用等距线与曲线的交点数来逼近曲线形状的方法。

通过不断调整等距线的位置和密度，可以逐步优化逼近结果。

这种算法具有简单易懂、计算量小等优点，适用于曲线的绘制和形状分析等领域。

然而，需要注意在使用该算法时可能引入的误差问题。

刘徽割圆术介绍_刘徽的著作是什么

刘徽割圆术介绍_刘徽的著作是什么刘徽是魏晋时期最有名的数学家，刘徽在数学上有着极高的成就，割圆术的发明就是他其中的一个成就。

那刘徽还有哪些著作呢?下面是店铺为你搜集刘徽割圆术介绍的相关内容，希望对你有帮助!刘徽割圆术介绍何为割圆术呢?刘徽是这样形容的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

”通俗的说，不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。

牛顿发现了万有引力定律，而刘徽发现割圆术的过程与牛顿有着异曲同工之妙。

有一天，刘徽在偶然中看到了石匠在切割石头，看着看着竟觉得十分有趣，就站在一边，细细地观察起来。

刘徽看到，一块方形的石头，先由石匠切去了四个角，四角的石头瞬间就有了八个角，然后再把这八个角切去，以此类推，石匠一直在把这些角一个一个地切去，直到无角可切为止。

到最后，刘徽就发现，本来呈现方形的石块，早在不知不觉中变成了一个圆滑的柱子。

石匠打磨石块的事情，每天都在发生，但就是这样的一件小事，让刘徽瞬间茅塞顿开，看到了别人没有看到的事情。

刘徽就像石匠所做的那样，把圆不断分割，终于发明了“割圆术”。

刘徽的著作刘徽生于250年左右，他一生醉心于数学，在数学的海洋中孜孜不觉，提出了许多重要的理论。

他总结了自己的研究，写下了《九章算术注》、《海岛算经》以及《九章重差图》。

可惜，年代久远，刘徽的后两部作品在宋代的时候就已经失去了踪迹，再也无处可寻。

但是，刘徽子啊数学界至关重要的地位却是无可动摇的。

《九章算术》大约著作于东汉之初，这部书提出了246个问题的解决方法。

但是这些解决的方法相对来说都显得比较原始，所以刘徽就专门对此做出了一定的补充说明。

在这些说明中，可以十分清晰的看出刘徽在数学上的专研程度之深。

他首先提出了十进小数，以及将无理数的立方根与十进小数联系在了一起。

此外，他还对正负数做出了解释，在几何方面也有着巨大的贡献。

而《海岛算经》是中国最早的一部测量学著作，全书一共有九个利用测量来计算高深广远的问题。

刘徽九章算术注与祖冲之计算圆周率之谜

每次割圆，复杂的运算主要是一次开方和一次平方
刘徽割圆术（六）
...开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也...
忽略单位换算，圆内接正48边形边长X48=13.0806 圆内接正96边形面积S96 = X48*24 = 13.0806*24 = 313.9344 = 313 + 584/625
刘徽割圆术（二）
刘徽割圆术（三）
割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。
祖冲之利用刘徽的开方术实现高精度开方（五）
为了简化计算，当被开方数A不在区间 [ 3，25 ）的时候，可先对A做预处理如下：区间（1，3）内的数值可以先乘以4之后再开方；区间（25， 100）内的数值可以先除以4之后再开方；区间（0，1）内的数值可以先乘以10的偶次方之后再开方；100以上的数值可以先除以10的偶次方之后再开方。
如果按《九章算术》刘徽注文的思路去尝试，祖冲之1到2天就能可靠地筹算出8位圆周率，计算量及复杂程度远低于大家的预期！
刘徽割圆术（一）
刘徽从圆内接正六边形开始，不断割圆，他在《九章算术》的圆田术中，对割