刘徽和割圆术

刘徽割圆术和定积分方法

刘徽是中国古代数学家、天文学家和地理学家，他的著作《九章算术》在中国数学史

上有着非常重要的地位。刘徽在数学领域的贡献众多，其中包括刘徽割圆术和定积分方法

两个重要的成就。

刘徽割圆术是刘徽在几何学中的一项杰出成就。在中国数学史上，刘徽被尊为“割圆术”之祖。刘徽割圆术是指通过逐步不断地用正多边形来逼近圆周，从而求出圆周的长度。刘徽发现，如果一个正多边形的边数不断增加，那么它的周长就会趋向于圆的周长。这样，他便构造出一个近似于圆周长的方法，成为了一种割圆的技术。

刘徽在这一方法中首次提出了极限思想，也就是不断地逼近某个值。这种思想在现代

数学中被称为极限思想，极限思想被广泛应用于微积分和数学分析等学科领域。刘徽在割

圆术的发展过程中，提出了许多新的思想和概念，对后世的数学发展产生了深远的影响。

在数学中，刘徽的定积分方法是他在微积分领域的又一杰出贡献。定积分是微积分的

一个重要概念，是将一个函数在一个区间上的取值进行求和得到近似于该函数在整个区间

上取值的一个方法。刘徽在其著作中提出了用“无限小”思想来解决问题的方法，并且这

种思想在现代数学中得到了广泛的运用。

刘徽的定积分方法为后世的微积分学发展提供了重要的理论基础。通过刘徽的方法，

人们可以将一个问题进行分割，然后逐步求和，得到最终的结果。这种思想成为了微积分

学中的核心思想之一，也被应用于多个领域，包括物理学、工程学和经济学等。

刘徽在割圆术和定积分方法的研究中，提出了许多开创性的思想和概念，为数学的发

展作出了巨大的贡献。他开拓了数学的新领域，丰富了数学的内涵，对后世的数学学科发

刘徽与割圆术

刘徽首创“割圆术” 的方法，可以说他是中国古代极限思想思想的杰出代表，不仅为200年后祖冲之圆周率的计算提供了思想方法与理论依据，也对中国古代的数学研究产生了很大影响。
在生活中，我们也要善于观察、勤于思考，养成爱动脑的好习惯。你们也有可能成为数学家哦！
The end
他沿着割圆术的思路，从圆内接正六边形算起，边数依次加倍，相继算出正12边形，正24边形……直到正192边形的面积，得到圆周率兀的近似值为 157/50 (3.14)；后来，他又算出圆内接正3 072边形的面积，从而得到更精确的圆周率近似值：兀≈3927/1 250(3.1416)。
“哇！原本一块方石，经石匠师傅凿去四角，就变成了八角形的石头。再去八个角，又变成了十六边形。”
一斧一斧地凿下去，一块方形石料就被加工成了一根圆柱。
谁会想到，在一般人看来非常普通的事情，却触发了刘徽智慧的火花。他想：“石匠加工石料的方法，可不可以用在圆周率的研究上呢？”
于是，刘徽采用这个方法，把圆逐渐分割下去，一试果然有效。他发明了亘古未有的“割圆术”。
刘徽
与割圆术
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屯明德小
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刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。

割圆术——刘徽《九章算术注》

割圆术（cyclotomic method）

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

[精华]割圆术——刘徽《九章算术注》

割圆术——刘徽《九章算术注》

割圆术（cyclotomic method）

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

刘徽割圆术

（一）祖冲之简介
祖冲之（公元４２９——５００年）５００年祖冲之（公元４２９４２９５００字文远，范阳郡遒县（字文远，范阳郡遒县（今河北省保定市涞水县）水县）人，是我国南北朝时代一位成绩卓著的科学家。他不仅在天文、著的科学家。他不仅在天文、数学等方面有过闻名世界的贡献，有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等方面也有许多发明创造。方面也有许多发明创造。他的发明为促进社会生产的发展，建立了不可磨灭的功绩，社会生产的发展，建立了不可磨灭的功绩，受到了中国人民和世界人民的尊敬。受到了中国人民和世界人民的尊敬。
第五，刘徽指出：割之弥细，第五，刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。九章算术》圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》方田章圆田术刘徽注）这就是说，方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。限是圆面积。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数逐渐加倍，算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边正二十四边形，形，正二十四边形，……以至于正九十六以至于正九十六边形每边的长，边形每边的长，并且求出正一百九十二边形的面积。形的面积。这相当于求得 π=3.14 1024。他在实际计算中，采用了。他在实际计算中， π=157/50=3.14 ，不仅这样，不仅这样，刘徽还继续求到圆内接正三千零七十二边形的面积，三千零七十二边形的面积，验证了前面的结果，结果，并且得出更精确的圆周率值 π=3927/1250=3.1416

刘徽与割圆术

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②刘徽原理
在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
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▪ 刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则
与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算
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割圆术介绍与发展
▪ 割圆术（cyclotomic method）
利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和阅柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一三又七十分之十而大于，还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于 3.1416）。

刘徽割圆术

刘徽割圆术
•一、刘徽首先指出利用π=3这一数值算得的结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的面积，这个结果比π的真值少.
•二、他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、正96边形……的面积，这些面积会逐渐地接近圆面积.
三、已知正6边形一边（恰与半径等长)即
圆周率是指平面上圆的周长与直径之比。早在一千四百多年以前，我国古代著名的数学家祖冲之，就精密地计算出圆的周长是它直径的3.1415926---3.1415927倍之间。这是当时世界上算得最精确的数值----圆周率。
“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三”的说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它的周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国到西晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3. 14159的圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割圆术”（在圆内做正6边形，6 边形的周长刚好是直径的3倍，然后再做12边形、24边形……边数越多，它的周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4寸，方3 寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也能帮助他了。父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来，可大圆里的边形却越画越多，3072边、6144边……边数越多，边长越短。父子俩蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也不敢走神。最后，他们在那个大圆里画出了24576边形，并计算出它的周长是 3.1415926。俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里的图形，高兴地笑了。后来，祖冲之推算出，49152边形的周长不会超过3.1415927。所以，他得出结论，圆周率是在3.1415926和3.1415927这两个数之间。祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后7位的人，比欧洲人早了1000多年，这是多么了不起的贡献啊！

刘徽割圆术求圆面积的过程

刘徽首先从圆的内接正六边形开始割圆，然后将边数逐渐增加，照这样一直分割下去，等到不可割的时候，圆的内接正多边形就和圆合二为一了。然后他将这个正多边形分割成以圆心为原点，以每条边为底的等腰三角形，这些等腰三角形的高和底相乘得出的结果，是它本身面积的两倍。因此将他们全部相加便是圆的面积的两倍，而这些等腰三角形的底边之和便是圆的周长，因此圆的面积等于圆的周长的一半乘以半径。

刘徽割圆术和定积分方法

引言

刘徽（224年-306年），字玄谟，东晋时期著名的数学家、天文学家、历书编纂家。他在数学领域作出了许多重要的贡献，其中包括割圆术和定

积分方法。本文将详细介绍刘徽的割圆术和定积分方法，并探讨它们在数

学发展史中的重要意义。

刘徽割圆术

割圆术是刘徽最为著名的数学成果之一，它解决了许多关于圆的问题，尤其是平面几何中与圆有关的构造问题。

原理与方法

刘徽的割圆术主要基于尺规作图，具体方法如下：

1.在平面上画一横线，作为基准线。

2.在基准线上选取两个不同的点A和B，并连接。

3.以A为圆心、AB为半径，画一个圆，并记为圆O1。

4.在O1上取两个相等的弧长，并用尺子量取得这个弧长。

5.以B为圆心、AB为半径，再画一个圆，并记为圆O2。

6.使O2上的弧长等于步骤4中得到的弧长。

7.连接两个圆的交点和A B两个端点，得到一个正方形。

8.通过割几何构造，将正方形的边长平分，即可得到所需的圆。

应用与意义

刘徽的割圆术广泛应用于解决与圆相关的问题，例如构建正多边形、

棋盘格问题等。它的应用范围涉及几何、代数和数论等多个数学领域，并

对后来的数学发展产生了深远影响。

刘徽定积分方法

刘徽提出了一种计算曲线下面积的方法，即定积分方法。它的出现填补了求曲线下面积的空白，为微积分的发展奠定了基础。

原理与方法

刘徽的定积分方法主要基于无穷累加的思想，具体方法如下：

1.将曲线下面的区域近似分成若干个矩形，使每个矩形的面积接近曲线下面积。

2.缩小矩形的宽度，增加矩形的数量，使近似更为精确。

3.取极限，使矩形的宽度无限趋近于0，得到准确的曲线下面积。

关于刘徽的割圆术(终审稿)

关于刘徽的割圆术

文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

关于刘徽的割圆术

关键词九章算术, 刘徽, 割圆术, 圆周率

1 刘徽割圆术的内容

刘徽的割圆术, 是刘徽在为《九章算术》第一卷方田中的圆田术所作的

注中提出来

的, 包括如下内容:

1) 刘徽首先解释了圆田术求圆面积的方法, 然后指出“周三径一”是不

对的, 他说: 以

半周乘半径而为圆幂, “此以周径谓至然之数, 非周三径一之率也. 周

三者, 从其六觚之环

耳, 以推圆规多少之较, 乃弓之与弦也. ”

2) 刘徽提出用割圆内接正六边形为正十二边形等步骤, 使圆内接正多边

形的面积逐

次逼近圆的面积. 进而又指出: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以

至于不可割, 则与圆周

合体而无失矣. 觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. 若夫觚

之细者, 与圆合体, 则

表无余径. 表无余径, 则幂不外出矣. ”

3) 刘徽详述了割圆的算法, 例如, 关于割圆内接正六边形为正十二边形, 他说: “令半

径一尺为弦, 半面五寸为勾, 为之求股. 以勾幂二十五寸减弦幂, 余七

十五寸, 开方除之, 下

至秒忽, 又一退法求其微数, 微数无名者以为分子, 以下为分母, 约为五分忽之二, 故得股

八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二. 以减半径, 余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之

三, 谓之小股, 为之求弦, 其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽, 余

分弃之, 开方除之, 即十二觚之一面也. ”

4) 刘徽在计算了圆内接正一百九十二边形的面积后, 对圆面积进行了大胆推断, 从而

割圆术――刘徽《九章算术注》

割圆术——刘徽《九章算术注》

割圆术（cyclotomic method）

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。

这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

中国古代数学家刘徽的小故事

数学家刘徽有一个小故事，那就是他发现“割圆术”的过程。

有一天，刘徽偶然看到石匠在切割石头，看着看着竟觉得十分有趣，就站在一边，细细地观察起来。刘徽看

到，一块方形的石头，先由石匠切去了四个角，四角的石头瞬间就有了八个角，然后再把这八个角切去，以此类推，石匠一直在把这些角一个一个地切去，直到无角可切为止。

到最后，刘徽就发现，本来呈现方形的石块，早在不知不觉中变

成了一个圆滑的柱子。石匠打磨石块的事情，每天都在发生，但就是这样的一件小事，让刘徽瞬间茅塞顿开，看到了别人没有看到的事情。刘徽就像石匠所做的那样，把圆不断分割，终于发明了“割圆术”，为计算圆周率提供了一套严密的理论和完

善的算法。

中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。这就是著名的圆面积公式:

(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。我们今天可以得出这个公式是正确

的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。在今天，我们可以看出用圆内接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。为了给出这一公式的严格证明方法，刘徽发明了割圆术。所谓割圆术其实就是现代微积分中的极限的思想，即用圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积。正如他在《九章算术注》中所说“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割则与圆合体而无所失矣”。在利用这一方法证明这一公式的过程中，刘徽还计算出了当时最精确的圆周率近似值---徽率（），

刘徽与割圆术

刘徽
与
割圆术
洛龙区尹屯明德小学
季亚丽
刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。
我国古代的刘徽他为了圆周率的计算一直潜心钻研着。
一次，刘徽看到石匠在加工石头，觉得很有趣就仔细观察了起来。
他沿着割圆术的思路，从圆内接正六边形算起，边数依次加倍，相继算出正12边形，正24边形……直到正192边形的面积，得到圆周率兀的近似值为 157/50 (3.14)；后来，他又算出圆内接正3 072边形的面积，从而得到更精确的圆周率近似值：兀≈3927/1 250(3.1416)。
刘徽首创“割圆术” 的方法，可以说他是中国古代极限思想思想的杰出代表，不仅为200年后祖冲之圆周率的计算提供了思想方法与理论依据，也对中国古代的数学研究产生了很大影响。
在生活中，我们也要善于观察、勤于思考，养成爱动脑的好习惯。你们也有可能成为数学家哦！
The end
“哇！原本一块方石，经石匠师傅凿去四角，就变成了八角形的石头。再去八个角，又变成了十六边形。”
一斧一斧地凿下去，一块方形石料就被加工成了一根圆柱。
谁会想到，在一般人看来非常普通的事情，却触发了刘徽智慧的火花。他想：“石匠加工石料的方法，可不可以用在圆周率的研究上呢？”

刘徽割圆术

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后来.刘徽就用割圆术将圆周率精确到小数点后3位，
刘徽割圆术
•一、刘徽首先指出利用π=3这一数值算得的结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的面积，这个结果比π的真值少. •二、他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、正96边形……的面积，这些面积会逐渐地接近圆面积.
三、已知正6边形一边（恰与半径等长)即求得正12边形边长，…….由正12边形求正24边形一边之长时，刘徽反复地应用到勾股定理（或称商高、勾股定理），如图二：
割圆术。不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。
刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分， 24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。
《九章算术》注文明白写着： “割之弥细，所失弥少；割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这段注文充分说明了刘徽对极限概念.

刘徽与割圆术

摘要：

刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。他通过割圆术中极限思想，进而引入数列极限的描述定义。。刘徽借“割圆术”方法，凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式，以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式，运算中包含着微积分的思想。

关键词：

刘徽割圆术极限微积分徽率

英文题目

Abstract:

Liu Hui is the third Century the world's most eminent mathematician，in the year 263writings" arithmetic in nine sections。" and later" island art"，is China's most valuable mathematical legacy，and laid him in Chinese history of mathematics in the immortal status。He by cutting a circle limit thought in the limit of a sequence，and then introduce the definition。Liu Hui" by cutting a circle" method，with its superb to infinite problem understanding and using manner，with " not