刘徽与割圆术

②在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基 础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数 学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 ③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理 论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图 形的论析，形成了中国特色的相似理论。 ④在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理， 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理， 并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值 至今仍闪烁着余辉。
成就
刘徽的成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算 是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《
术注》 术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的 运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根 的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割 圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最 用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最 好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算 圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。
割圆术介绍与发展
割圆术（cyclotomic method） 割圆术（cyclotomic method） 利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原 理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在 公元前5 公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计 一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接 正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等， 正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等， 直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他 认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3 认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪，古希腊科学家 阿基米德在《论球和阅柱》 阿基米德在《论球和阅柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题： 只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积 之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》 之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边 形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一三又七十分之十 而大于 ，还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为11：14，即取 ，还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为11：14，即取 圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》 圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》 中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加 倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称 倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称 之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于 之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于 3.1416）。 3.1416）。
刘徽与割圆术
主讲人：李慧
小教一班 12号 12号

刘徽生平简介
生平
刘徽(生于公元250年左右) 三国后期魏国人，是中国古代杰 刘徽(生于公元250年左右)，三国后期魏国人，是中国古代杰 出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年 出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年 月、生平事迹， 史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人。 终生未做官。
刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數 刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。
正6邊形
正12邊形
正24邊形
正48邊形
邊數愈多，正多邊形愈接近圓形。 最後，劉徽求得π≈ 3.1416。 最後，劉徽求得π≈ 3.1416。
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②刘徽原理 在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时， 九章算术•阳马术》 提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 ③“牟合方盖”说 在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是 指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 ④方程新术 在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了 九章算术•方程术》 比率算法的思想。 ⑤重差术 在白撰《海岛算经》 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等 测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展 为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次 为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次 测望的问题。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的
创见： ①割圆术与圆周率 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并 给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数 给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数 倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积， 倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积， 得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。 得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。