刘徽与割圆术

二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的
创见： ①割圆术与圆周率 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并 给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数 给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数 倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积， 倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积， 得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。 得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割 圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最 用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最 好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算 圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。
②在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基 础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数 学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 ③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理 论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图 形的论析，形成了中国特色的相似理论。 ④在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理， 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理， 并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值 至今仍闪烁着余辉。
刘徽与割圆术
主讲人：李慧
小教一班 12号 12号
总纲
刘徽生平简介 割圆术的介绍与发展
刘徽生平简介
生平
刘徽(生于公元250年左右) 三国后期魏国人，是中国古代杰 刘徽(生于公元250年左右)，三国后期魏国人，是中国古代杰 出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年 出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年 月、生平事迹， 史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人。 终生未做官。
刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數 刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。
正6邊形
正12邊形
正24邊形
正48邊形
邊數愈多，正多邊形愈接近圓形。 最後，劉徽求得π≈ 3.1416。 最後，劉徽求得π≈ 3.1416。
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割圆术介绍与发展
割圆术（cyclotomic method） 割圆术（cyclotomic method） 利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原 理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在 公元前5 公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计 一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接 正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等， 正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等， 直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他 认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3 认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪，古希腊科学家 阿基米德在《论球和阅柱》 阿基米德在《论球和阅柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题： 只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积 之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》 之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边 形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一三又七十分之十 而大于 ，还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为11：14，即取 ，还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为11：14，即取 圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》 圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》 中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加 倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称 倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称 之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于 之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于 3.1416）。 3.1416）。
②刘徽原理 在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时， 九章算术•阳马术》 提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 ③“牟合方盖”说 在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是 指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 ④方程新术 在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了 九章算术•方程术》 比率算法的思想。 ⑤重差术 在白撰《海岛算经》 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等 测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展 为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次 为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次 测望的问题。
成就
刘徽的成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算 是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《
术注》 术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的 运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根 的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。