热传导方程的分离变量法

数学物理方法Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院

豆福全

第三章 热传导方程的分离变量法

引 言

上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究，它的研究包括从方程的导出到应用行波法。本章我们对抛物型方程−以热传导方程为代表进行研究。 复习：

数理方程的导出步骤（−−−−

→定量化

物理模型数学模型） ⅰ 建坐标系 ⅱ 选物理量u ⅲ 找物理规律 ⅳ 写表达式

本章，我们先对热传导进行推导。

3.1 热传导方程

1. 物理模型

截面积为A 均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。 2.相关概念和定律

ⅰ相关概念

①热传导：由于温度分布不均匀产生的热传递现象。

设热量：Q 面积：S 体积：V 时间：t 密度：ρ 温度：T ， ②比热：单位物质，温度升高一度所需热量Q

C VT

ρ=

③热流密度：单位时间流过单位面积的热量（Fourier 实验定律）

Q u q tS n

κ∂=

=-∂，κ：导热率 ④热源强度：单位时间，单位体积放出的热量（热源密度）Q

f tV

= ⅱ用到的物理学规律

① Fourier 实验定律(热传导定律)：当物体内存在温度差时，会产生热量

的流动。热流强度（热流密度）q 与温度的下降成正比。即q u κ→

=-∇。

κ：热导系数（热导率），不同物质ℜ不同，(),x u κκ=。对均匀杆κ是常 数。负号表示温度下降的方向。 分量形式：x u q x κ∂=-∂ ，y u q y κ∂=-∂，z u

q z

κ∂=-∂

一维问题：u

q n

κ

∂=-∂ ②热量守恒（质量）定律：物体内部温度升高所吸收的热量（浓度增加 所需要的质量），等于流入物体内部的净热量（质量）与物体内部的热源所 产生的热量（质量）之和。 3分析

研究的问题: 热流流动是由温差造成,设u 为温度. 已知：C ，ρ，κ常数

(),u u x t =是一维问题

4研究建立方程

取x 轴与细杆重合，(),u x t 表示在x 点t 时刻的温度。 考虑任一x ∆段在t ∆时间热量情况 ①流入x 面：1x

u

Q A t x κ

∂=-⋅∆∂ ②流出x x +∆面：2x x

u Q A t x

κ

+∆∂=-⋅∆∂

③热源产生：设有热源其密度为(),f x t ，杆内热源在x ∆段产生的热量为 ④x ∆段温度要升高u ∆所吸收的热量Q ⑤ 根据能量守恒定律

流入x ∆段总热量与x ∆段中热源产生的热量

即 ()(),,C A x u x t t u x t ρ⋅∆+∆-⎡⎤⎣⎦()(),,x x u x x t u x t A t fA x t κ=+∆-∆+∆∆⎡⎤⎣⎦ 两边同除以

1

A x t

∆∆

当0x ∆→，0t ∆→时，t xx C u u f ρκ⋅⋅=⋅+

t xx u Du f =+， 其中D C κρ=

，F f C ρ

= 同理 ，二维热传导方程为 三维热传导方程为

或 t u D u f -∆= 或 2t u a u f -∆= ⒈初始条件 ()(),0u x x ϕ= ⒉ 边界条件提法有三种

ⅰ第一类边界条件：直接给出物理量在边界上的数值（边界上各点 的温度）。

()()10,u t t μ= ，()()2,u l t t μ= ()()10,x u x t t μ==，()()2,x l u x t t μ==

ⅱ第二类边界条件：研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数 值。

()10

x u v t x

=∂=∂ ，

()2x l

u v t x

=∂=∂

或

()()10,x x u x t v t == ， ()10

x

x u v t ==

已知通过细杆端点的热量，特殊情形()0v t = 如 (),0x u l t = 绝

热条件。

物理意义：把细杆端点x l =处的截面用一种定点绝热的物质包

裹起来，使得在端点x l =处，既无热量流出去，又无热量流进来。 ⅲ 第三类边界条件：物理量与外法向导数的线性组合。

已知杆端x l =与某种介质接触，它们之间按热传导中的牛顿实 验定律进行热交换，相应的边界条件为()()(),,x u l t u l t t κθ+=，

κ：热导系数 ，：热交换系数

介质通过边界按 冷却定律散热：单位时间通过单位面积表 面和外界交换的热量与介质表面温度u 边界和外界温度u 之差成正 比。

设比例系数为a ，则()

u

a u u n κ

∂-=-∂边界边界

如在x l =处，()()(),,x u l t u l t t κθ-+=

3 .2 混合问题的分离变量解

有界杆的热传导现象 其中()x ϕ 为已知函数。

分析： 求解： 第一步：分离变量

ⅰ.设热导方程具有如下分离变量解（特解）()()(),u x t X x T t =

ⅱ.将其代入泛定方程有'''

2

1T X a T X

λ==-，其中λ是常数。于是有 ''0X x λ+=，'20T a T λ+=

ⅲ 由边界条件有

当()0,0u t =，则()00X =， 当(),0u l t =，则()0X l =

即本征值问题

第二步：求解本征值问题

上章已经证明只有当0λ>时，证本征值问题有非零解。 ⅰ.(

)X x A B =+ ⅱ. 由

()(

)00000X B A X l =⎫⎪

⇒= , =⎬=⎪⎭