半导体物理第3章
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半导体物理第3章载流子的统计分布
非热平衡状态下的载流子浓度
01
在非热平衡状态下，载流子浓度不再由费米分布函数
决定，而是受到外部因素的影响，如光照、电场等。
02
光照条件下，光子激发电子从价带跃迁到导带，产生
光生载流子，导致载流子浓度增加。
03
电场作用下，载流子将受到电场力的作用，产生漂移
运动，导致载流子浓度和分布发生变化。
温度对载流子浓度的影响
N型半导体中的载流子浓度
N型半导体中，多数载流子是电子，其 浓度远高于空穴。
电子浓度主要由掺杂浓度决定，通常通过引 入施主杂质实现。
在绝对零度以上，由于热激发，会 有少量空穴产生。
P型半导体中的载流子浓度
P型半导体中，多数载流子是空穴，其浓度远高于电子。 空穴浓度主要由掺杂浓度决定，通常通过引入受主杂质实现。 在绝对零度以上，由于热激发，会有少量电子产生。
半导体物理第3章载流子的统计分 布
目 录
• 引言 • 载流子种类 • 载流子分布函数 • 载流子浓度与温度的关系 • 载流子浓度与掺杂的关系 • 结论
01 引言
主题概述
载流子
在半导体中，载流子是指能够导电的粒子，通常为电 子和空穴。
统计分布
载流子的统计分布是指载流子在不同能态上的分布情 况，它决定了半导体的导电性能。
新材料
半导体物理的发展也促进了新材料的发现和应用，如石墨烯、氮化镓 等新型半导体材料在电子器件领域具有广阔的应用前景。
02 载流子种类
电子
01
电子是带负电的粒子，是半导体的主要载流子之一。
02
在半导体中，电子可以在价带和导带之间跃迁，形成导电电 流。
03
电子的浓度和行为受温度、掺杂等因素影响。
半导体物理第三章半导体中的载流子统计分布
电子浓度：单位体积内导带中的电子数(单位：1/cm3)
20
导带中电子都聚集在 导带底 价带中空穴都聚集在 价带顶
21
计算电子：
单位体积中
dN = f (E)gc (E)dE
( ) =
V 2π
2
2me* h3
3/ 2
(E
−
EC
)1/ 2
exp⎜⎜⎝⎛ −
E − EF kBT
⎟⎟⎠⎞dE
( ) dn =
m
3 2
pl
+
3
m
2 ph
⎤ ⎥⎦
3
3
gv(E) =
V
2π 2
(2mdp ) h3
2
(Ev
1
− E) 2
mph 和mpl分别是重空穴和轻空穴的有效质量。由于mph>>mpl, 重空穴带的态 密度显著大于轻空穴带的态密度。所以空穴主要分布在重空穴带中。
§ 3.2 费米能级和载流子的统计分布
费米分布函数 玻尔兹曼分布函数 导体中的电子浓度和价带中的空穴浓度
gv (E)
=
V
2π 2
(
2
m
* p
)
3
2
h3
(Ev
1
− E) 2
实际情况：在价带顶有两种空穴
gv (E ) = gvl (E ) + gvh (E )
3
3
=
V
2π 2
⋅ (2m pl ) h3
2
1
(Ev − E) 2
+
V
2π 2
⋅ (2m ph ) h3
2
(Ev
1
− E) 2
半导体物理学-第三章-半导体中载流子统计分布
当 E-EF>>k0T时,
fB E e x E p k E F T e x E kF p T e x k E p T
费米和玻耳兹曼分布函数
三、空穴的分布函数
空穴的费米分布函数和波尔兹曼分布函数
当 EF-E>>k0T时,
1 fE e x E F p E e x E F p e x E
整个价带的空穴浓度为
p0 NVexpEFk 0TEV NV称为价带的有效状态密度.
价带空穴浓度可理解为:全部空穴集中在价带 顶EV上，其上空穴占据的状态数为NV个.
对于三种主要的半导体材料,在室温(300K)状 况下,它们的有效状态密度的数值列于下表中.
导带和价带有效状态密度(300K)〔见课本P77〕
一、费米〔Fermi〕分布函数与费米能级
1.费米分布函数
电子遵循费米-狄拉克〔Fermi-Dirac〕 统计分布规律。能量为E的一个独立的电 子态被一个电子占据的几率为
K0玻尔兹曼常数，T确定温度，EF费米能级
费米能级的物理意义：化学势
EF (N F)T
当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的状 况下，系统中增加一个电子所引起的系统的自 由能的变化等于系统的化学势也即为系统的费 米能级
在导带中，E-EF>>k0T，则导带中的电 子听从波尔兹曼分布，且随着E的增大， 概率快速削减，所以导带中绝大多数电子 分布在导带底四周
在价带中，EF-E>>k0T，则空穴听从波 尔兹曼分布，且随着E的增大，概率快速 增加，所以价带中绝大多数空穴分布在价 带顶四周。
听从Boltzmann分布的电子系统 非简并系统
§3.1 状 态 密 度
假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间 隔dE内有量子态dZ个，则定义状态密度g 〔E〕为：
半导体物理非热平衡状态下的半导体
• 作业: • 3－1、2、3
§3.2 复合理论
• 一、直接辐射复合 定义
• 1、直接辐射复合过程中的复合率和产生率
R rnp r :复合系数源自由热平衡状态下复合率等于热产生率，得
G
rn0
p0
rn2 i
2、直接辐射复合过程决定的少子寿命
由净复合率
Ud
RG
r(np n2) i
得
p
1
U d r(n0 p0 p)
激发电子
吸收光子 发射光子
复合中心
发射声子
表面复 合中心
发射声子
激发空穴
表面
(a) 直接辐射复合(产生)与直接俄歇复合 (b) 间接复合(产生)
(c) 表面复合(产生)
少子寿命 表面复合（产生）速度 图 5－1 半导体中载流子的复合(产生)过程及过程中的能量释放形式
差别在于复合中心的来源及其空间分布
p(t) / p(0) et /
p(20) / p(0) e20 /10 e2 0.135
p(0) G 10 106 1016 1011
四、非平衡状态下的载流子统计
• 1、准平衡状态 • 在整个系统处于非平衡态的情况下，价带和导带子系统中的
空穴与电子各自仍基本处于平衡态，有各自的费米能级，称 之为子系统的 “准费米能级”，分别用EFn和EFp表示 。 • 这样，统计分布函数分别对子系统仍然适用。
间接禁带半导体的少子寿命较长。
锗、硅、砷化镓相比，锗的少子寿命最长，硅次之，砷化 镓少子寿命最短。
同种材料的少子寿命在不同状况下变化范围也很大。
一块n型半导体样品的少子寿命 =10s，今用光照在
其中均匀注入额外载流子，产生率为1016cm-3s-1。问 光照撤销后20s时刻其额外载流子密度衰减到原值的 百分之几？还有多大？
半导体物理与器件第3章
35
kT
T = 0K 时，
(1) E > EF , 分母中 exp(+∞) → fF(E)= 0 ◆能量高于费米能级的量子态是空的 (2) E < EF , 分母中 exp(-∞)= 0 → fF(E)= 1 ◆能量低于费米能级的量子态是满的 (3) E = EF , 分母中 exp(0)= 1 → fF(E)= 1/2 ◆能量等于费米能级的量子态被电子
大量包含多个电子的原子靠得很近形成晶体材料之 后，原来相同的电子能级发生分裂的情况。
原子靠近→电子云发生重叠→电子之间存在相互作用→分立 的能级发生分裂形成能带
大量硅原子（N）形成硅晶体的电子能级分裂示意图
T=0K
价带
s, p轨道杂化
k=2π/λ
3
硅晶体形成过程中发生的 sp3轨道杂化，形成填 满电子的价带和没有电子的导带，二者之间为禁带 宽度Eg。
3.3 三维扩展
三维情况下各方向势场不同
电子在不同 方向上运动 会遇到不同 的势场，从 而产生不同 的k空间边 界。
31
硅和砷化镓的k空间能带图
直接带隙半导体：价带 间接带隙半导体：价带
能量最大值和导带能量 能量最大值和导带能量
最小值的K坐标一致 最小值的K坐标不一致
32
3.5 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。
温度升高时，共价键中的个别电子可能会获得足够 大的能量，从而克服共价键的束缚，进入导带。
3.2固体中电的传导 3.2.4空穴的运动
kT
T = 0K 时，
(1) E > EF , 分母中 exp(+∞) → fF(E)= 0 ◆能量高于费米能级的量子态是空的 (2) E < EF , 分母中 exp(-∞)= 0 → fF(E)= 1 ◆能量低于费米能级的量子态是满的 (3) E = EF , 分母中 exp(0)= 1 → fF(E)= 1/2 ◆能量等于费米能级的量子态被电子
大量包含多个电子的原子靠得很近形成晶体材料之 后，原来相同的电子能级发生分裂的情况。
原子靠近→电子云发生重叠→电子之间存在相互作用→分立 的能级发生分裂形成能带
大量硅原子（N）形成硅晶体的电子能级分裂示意图
T=0K
价带
s, p轨道杂化
k=2π/λ
3
硅晶体形成过程中发生的 sp3轨道杂化，形成填 满电子的价带和没有电子的导带，二者之间为禁带 宽度Eg。
3.3 三维扩展
三维情况下各方向势场不同
电子在不同 方向上运动 会遇到不同 的势场，从 而产生不同 的k空间边 界。
31
硅和砷化镓的k空间能带图
直接带隙半导体：价带 间接带隙半导体：价带
能量最大值和导带能量 能量最大值和导带能量
最小值的K坐标一致 最小值的K坐标不一致
32
3.5 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。
温度升高时，共价键中的个别电子可能会获得足够 大的能量，从而克服共价键的束缚，进入导带。
3.2固体中电的传导 3.2.4空穴的运动
半导体物理第三章
p0 = ∫
价带底能量
Ev
/ Ev
gv (E) [1 − f ( E )] dE V ( 2m ) h
* 3/ 2 p 3
= 4π
∫
Ev
/ Ev
e
E − EF kT 0
( Ev − E ) dE
1/ 2
令x = ( Ev − E ) /(k0T ) ( Ev − E )1/ 2 = (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( Ev − E ) = −(k0T )dx x' = ( Ev − Ev' ) /(k0T )
导带中大多数电子是在导带底附近，而价带中大多数空穴 则在价带顶附近。 1. 导带中电子浓度 在能量E～(E+dE)之间有： 量子态：dZ=gc(E)dE 电子占据能量为E的量子态的概率： 则电子数为：
29
f B (E) = e
E − EF − kT 0
dN = dZ ⋅ f B ( E ) ( 2m ) = 4πV h
利用前述方法可得：
k12 + k 2 2 k3 2 h E ( k ) = Ec + + 2 mt ml
2
电子态 密度有 15 效质量
2. 价带顶状态密度 在实际Si、Ge中，价带中起作用的能带是极值相重合的 两个能带，与这两个能带相对应的有轻空穴有效质量(mp)l和 重空穴有效质量(mp)h，因此价带顶附近状态密度应为这两个 能带的状态密度之和，称为价带顶空穴的状态密度有效质量 价带顶空穴的状态密度有效质量 (空穴态密度有效质量 空穴态密度有效质量)。价带顶状态密度式子与球形等能面情 空穴态密度有效质量 况下的价带状态密度式(5)有相同的形式，
半导体物理学-第3章
在一个额外载流子的产生机构（例如光照）和复合机 构并存，且稳定发挥作用的情况下，该系统在产生率等于 复合率时进入稳定的非平衡状态，具有不变的额外载流子 密度p。
根据U=G，知 半 导 体 物 理 学
p G
三、额外载流子密度随时间衰减的规律
设在t＝0时刻突然去除光照，∆p将随时间而减少。
dp (t ) p (t ) dt
半 导 体 物 理 学
二、非热平衡状态下的载流子统计
对非简并半导体，即有
EFp E E EFn f n ( E ) exp , f p ( E ) exp . kT kT
2015/5/7 Prof.LEI 17
半导体的非热平衡状态
EFp EV EC EFn p NV exp n NC exp kT kT EC E Fn E Fn E F E Fn Ei n N C exp( ) n0 exp( ) ni exp( ) kT kT kT EFp EV EF EFp Ei EFp p NV exp( ) p0 exp( ) ni exp( ) kT kT kT 相应的准费米能级分别为 n n EFn EC kT ln EF kT ln NC n0
2015/5/7 Prof.LEI 5
半导体的非热平衡状态
3、小注入和大注入 小注入是指注入的额外载流子密度比热平衡条件下的 多数载流子密度低得多，以n型半导体为例，即
p0 n p n0
半 导 体 物 理 学 在非热平衡状态，导带和价带的载流子密度分别为：
n n0 n n0 ;
2015/5/7 Prof.LEI 8
半 导 体 物 理 学
根据U=G，知 半 导 体 物 理 学
p G
三、额外载流子密度随时间衰减的规律
设在t＝0时刻突然去除光照，∆p将随时间而减少。
dp (t ) p (t ) dt
半 导 体 物 理 学
二、非热平衡状态下的载流子统计
对非简并半导体，即有
EFp E E EFn f n ( E ) exp , f p ( E ) exp . kT kT
2015/5/7 Prof.LEI 17
半导体的非热平衡状态
EFp EV EC EFn p NV exp n NC exp kT kT EC E Fn E Fn E F E Fn Ei n N C exp( ) n0 exp( ) ni exp( ) kT kT kT EFp EV EF EFp Ei EFp p NV exp( ) p0 exp( ) ni exp( ) kT kT kT 相应的准费米能级分别为 n n EFn EC kT ln EF kT ln NC n0
2015/5/7 Prof.LEI 5
半导体的非热平衡状态
3、小注入和大注入 小注入是指注入的额外载流子密度比热平衡条件下的 多数载流子密度低得多，以n型半导体为例，即
p0 n p n0
半 导 体 物 理 学 在非热平衡状态，导带和价带的载流子密度分别为：
n n0 n n0 ;
2015/5/7 Prof.LEI 8
半 导 体 物 理 学
半导体物理-第3章-半导体中载流子的统计分布-赵老师
对非简并情况，导带中能量E-->E+dE间的电子数为
d N ＝ fB E g C E d E
31
物理与光电工程学院
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度 对旋转椭球形等能面:
gc(E )2 V 2(m 2 n 3 )3/2(EE C )1/2
m n * m d n s2 /3 (m lm t2 )1 /3
f (Ei) N
i
EF与温度、半导体材料等有关。
8
物理与光电工程学院
3.1.1 费米分布 费米能级在能带中的位置：
对于金属晶体，价电子只能部分填满最外的导带，费米能级位 置在导带中。
对于半导体晶体，价电子填满了价带，最外的导带是空的，费 米能级位置在禁带内，且随其中的杂质种类、杂质浓度以及温度 的不同而改变。
4
物理与光电工程学院
3.1.1 费米分布
量子态：一个微观粒子允许的状态。对费米子来说，一个量子 态只能容纳一个粒子。
量子统计理论指出：对于一个包含有众多粒子的微观粒子系统， 如果系统满足量子力学的粒子全同性原理和泡里不相容原理， 则没有必要追究个别粒子落在哪个量子态，而是考究在给定能 量E的量子态中有粒子或没有粒子的概率即可。
此时,电子的费米分布函数近似为
－ 1
fFE 1 ＋ ex E p k E T F
exE p -E F ()kT
即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数
fBEexpEk0TEF
11
物理与光电工程学院
3.1.2 玻耳兹曼分布函数
2.空穴的玻耳兹曼分布函数
类似地，若 E FEk 时 T, ex[p (F-EE) /k1 T]
等能面为球面时，价带顶附近电子能量E（k）与k的关系为：
d N ＝ fB E g C E d E
31
物理与光电工程学院
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度 对旋转椭球形等能面:
gc(E )2 V 2(m 2 n 3 )3/2(EE C )1/2
m n * m d n s2 /3 (m lm t2 )1 /3
f (Ei) N
i
EF与温度、半导体材料等有关。
8
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3.1.1 费米分布 费米能级在能带中的位置：
对于金属晶体，价电子只能部分填满最外的导带，费米能级位 置在导带中。
对于半导体晶体，价电子填满了价带，最外的导带是空的，费 米能级位置在禁带内，且随其中的杂质种类、杂质浓度以及温度 的不同而改变。
4
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3.1.1 费米分布
量子态：一个微观粒子允许的状态。对费米子来说，一个量子 态只能容纳一个粒子。
量子统计理论指出：对于一个包含有众多粒子的微观粒子系统， 如果系统满足量子力学的粒子全同性原理和泡里不相容原理， 则没有必要追究个别粒子落在哪个量子态，而是考究在给定能 量E的量子态中有粒子或没有粒子的概率即可。
此时,电子的费米分布函数近似为
－ 1
fFE 1 ＋ ex E p k E T F
exE p -E F ()kT
即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数
fBEexpEk0TEF
11
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3.1.2 玻耳兹曼分布函数
2.空穴的玻耳兹曼分布函数
类似地，若 E FEk 时 T, ex[p (F-EE) /k1 T]
等能面为球面时，价带顶附近电子能量E（k）与k的关系为：
半导体物理课件1-7章(第三章)
V
dN 2 2
2mn* 3
2
exp
E EF k0T
E
1
Ec 2 dE
积分
E
' c
导带顶能量
3
n0
dN
V
1 Ec'
Ec 2 2
2mn* 3
2
exp
E EF k0T
E Ec
1
2 dE
热平衡3状2 态下非简并半导体的导带电子浓度n0
3
n0
dN V
1 Ec'
Ec 2 2
3.2费米能级和载流子的统计分布
3.2.1 费米分布函数
⑴把半导体中的电子看作是近独立体系,即认为电子之间的相互 作用很微弱. ⑵大量电子的运动是服从量子力学规律的,用量子态描述它们的 运动状态.电子的能量是量子化的,即其中一个量子态被电子占据, 不影响其他的量子态被电子占据.并且每一能级可以认为是双重 简并的,这对应于自旋的两个容许值. ⑶在量子力学中,认为同一体系中的电子是全同的,不可分辨的. ⑷电子在状态中的分布,要受到泡利不相容原理的限制.
电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布
函数。
f E
1
1 exp( E EF )
k0T
EF：费米能级或费米能量，与温度、半导体材料的导电类
型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。
一个很重要的物理参数
在一定温度下电子在各量子 态上的统计分布完全确定
17
将半导体中大量电子的集体看成一个热力系统， 由统计理论证明，费米能级EF是系统的化学势：
•半导体的导电性受温度影响剧烈。
本章讨论： 1、热平衡情况下载流子在各种能级上的分 布情况 2、计算导带电子和价带空穴的浓度，分析 它们与半导体中杂质含量和温度的关系．
半导体物理第三章半导体中载流子的统计分布
半导体物理第三章半导体中载流子的统计分布第三章半导体中载流子的统计分布第三章 Part 1 3.1 状态密度 3.2 3 2 费米能级和载流子的统计规律3.3 电子和空穴浓度的一般表达式电子和空穴浓度的般表达式 3.4 本征半导体的载流子浓度3.5 杂质半导体的载流子浓度3.6 杂质补偿半导体 3.7 3 7 简并半导体3.1 状态密度状态密度g(E)dZ(E) g( E ) = dE表示在能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数。
dZ 为E到E+dE内的量子态数计算状态密度的方法：1、k空间的量子态密度 1 k空间的量子态密度2、dZ或Z(E)dZ=k空间量子态密度×能量间隔对应的k空间体积Z(E)=k空间量子态密度×能量为E的等能面在k空间的体积一、导带底附近的状态密度1、k空间的量子态密度对于边长为L的立方晶体，波矢对于边长为L的立方晶体波矢 k 的三个分量为的三个分量为： n n n 即( k x = x ， = y ， z = z ) k ky k x ,k y ,k z L L L 其中 n x , n y , n z 取 0，±1，±2… 每个代表点都与体积为每一个代表点都与体积为 1 = 1 的一个小的个小 L3 V 立方体相联系即 k 空间中，电子的状态密度是V 若考虑电子的自旋，量子态密度是2V。
若考虑电子的自旋量子态密度是2V一、导带底附近的状态密度2、求dZ或Z 2 dZ Z①等能面为球面：1 h2k2 假设导带底在k=0，即 E (k ) = EC + * 2 mn以k 为半径的球面对应E，以 k + d k 为半径的球面对应E+dEdZ = 2V × 4πk dk由 E - k 关系可解得关系可解得：(2m ) ( E - EC ) k= h2n112m dE kdk = 2 hn一、导带底附近的状态密度得到(2m ) dZ = 4π V ( E - EC ) dE h1 23 ? 2 n 3所以(2m ) g ( E ) = 4π V ( E - EC ) h3 ? 2 n 31 2一、导带底附近的状态密度②实际材料：对于Si、Ge来说，在导带底附近等能面为旋转椭球面假设有S个能谷，在每个能谷附近：2 2 ? k x + k y k z2 ? h E( k ) = Ec + + ? ? 2 ? mt ml ? 2将上式变形2 kx2mt ( E ? Ec ) h2态数为+2 ky2mt ( E ? Ec ) h2k z2 2ml ( E ? Ec ) h2=1能量为E的等能面在k空间所围成的s个旋转椭球体积内的量子4 2 mt ( E ? Ec ) [2 ml ( E ? Ec )]1 2 Z ( E ) = 2Vs π 3 h2 h一、导带底附近的状态密度则导带底（附近）状态密度为(8s m ml ) dZ ( E ) gC ( E ) = = 4π V dE h2 2 t 312( E ? Ec)12* mn = mdn = ( s 2 mt2 ml )1 3 令，称 m 为导带底电子状态密度 dn有效质量，则有效质量则(2m ) dZ d (E) = 4π V gC ( E ) = d E h* 32 n 3( E ? Ec)12二、价带顶的状态密度①等能面为球面：①等能面为球面h2k 2 E (k ) = Ev 2m* pg v ( E ) = 4π V ?(2 m * ) 3 2 p h3( Ev - E )1 2②实际材料：价带顶在价带顶在k=0，而且重空穴带(mp)h和轻空穴带 (mp)l在布里渊区而空穴带 ( ( 在布渊区的中心处重合。
半导体物理学第3章
2.86×1017cm-3就是室温下Si中掺磷并且强电离的浓度上限，
浓度再高电离就不充分了。 把非简并半导体n0表达式代入nD+/ND中，再利用n0= nD+=I+ND，得
ΔE D 1 3 1 1 I ( 2 m* k0 )3 2 n ( )( ) lnT ln[ ( ) ] 2 3 k0 T 2 ND I h
N N 2 4n 2 D D i E F Ei k 0 Tln 2ni
就可求出过渡区以本征费米能级Ei为参考的费米能级EF 处在过渡区的半导体如果温度再升高，本征激发产生的ni就会远大于杂 质电离所提供的载流子浓度，此时，n0>>ND，p0>>ND，电中性条件是
4、为什么电子分布在导带底，空穴分布在价带顶？
杂质半导体载流子浓度（n型）
n型半导体中存在着带负电的导带电子 (浓度为n0)、带正电的价带空穴(浓度为p0) 和离化的施主杂质(浓度为nD+)，因此电中 性
qn0 qp0 qnD 0
n0 p0 nD
强电离区导带电子浓度n0＝ND，与温度几乎无关。上式
中代入n0表达式，得到
Ncexp( Ec E F k0T ) ND
通过变形也可以得到
Ec E F Ncexp k0T
EF Ec k0Tln
ND Nc
Ei E F ni exp kT 0 ND
g V (E) (V/2 2 )
有效质量。
(2m* )3 2 p 3
(Ev - E)1 2
3 其中 m* mdp [( m p )l3 2 ( m p )h 2 ] 2 3 ，称为价带顶空穴状态密度 p
半导体物理第三章
k空间状态分布
在k 空间量子态的分布是均匀的 量子态的密度为V/83（V立方晶体的体积）。 如果计入自旋，每个量子态可以允许两个自旋相反的电 子占据一个量子态。
换言之，k空间每个量子态实际上代表自旋方向相反的 两个量子态
所以，在k空间，电子允许的量子态密度为2V/83。 注意：这时每个量子态最多容纳一个电子。
(3). E-EF>>kT时,
f
E
exp
E
EF kT
exp
EF kT
exp
E kT
此时分布函数的形式同经典的波尔兹曼分布是一致的.对 于能级比EF高很多的量子态,被电子占据的几率非常小.
(4). EF-E>>kT时,
1
f
E
exp
EF kT
E
exp
EF kT
exp
E kT
f
EF
1
f
EF
1 2
EF实际上是一个参考能级,低于EF的能级被电子占据的 几率大于空着的几率;高于EF的量子态,被电子占据的几率 则小于空着的几率.
1.0
1 f E
0.5
f E
0
E EF KT
分布函数随 E EF KT 的变化
从图中可以看出,函数 f E和1 f E相对于费米能级EF
是对称的.
第3章 半导体中载流子的统计分布
本章重点
计算一定温度下本征和杂质半导体中热平衡载 流子浓度；
探讨半导体中载流子浓度随温度变化的规律。
热平衡状态
一定的温度下，两种相反的过程（产生和复合）建 立起动态平衡
电子从价带跃迁到导带（本征激发），形成导电电 子和价带空穴。
半导体物理3
对于Ge、Si和GaAs：
简并度： gA=4 gD=2
施主浓度:ND
受主浓度: NA：
（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ： 施主能级上的电子浓度 n D = N D f D (E ) (3) →
受主能级上的空穴浓度 p A = N A f A (E ) (4 ) →
（2）电离杂质的浓度
由（5）式
n i = n 0 = p0 = N c N v ⋅ e
Eg − 2k T 0
可以见到：
1、温度一定时，Eg大的材料，ni小； 2、对同种材料， ni随温度T按指数关系上 升。
§3.4 杂质半导体的载流子浓度
一、杂质能级上的电子和空穴
杂质能级
最多只能容纳某个自旋方向的电子。
电子占据施主能级E D的几率f D (E ) = 1+
空穴占据受主能级E A的几率f A (E ) = 1+
1 g D (E )
1 g A (E ) 1 e
EF − EA k 0T
1
e
ED −EF k 0T
(1) →
(2 ) →
g D (E )和g A (E )分别是施主和受主基态简并度
在k空间中，电子的 允许量子态密度是 2×V
一、球形等能面情况
假设导带底在k=0处，且
则 dZ = 2 V × 4 πk 2 dk
(2m ) = 4πV
h
n 3
(
)
1 2
h2k2 E( k ) = Ec + (2 ) → * 2m n
3 * 2
(E − Ec )
dE (3) →
导带底状态密度：
即 Nc ⋅ e
半导体器件物理3章平衡半导体
第三章：平衡半导体到现在为止，我们已经讨论了一般晶体，确定了单晶晶格中电子的一些特性。
这一章，我们将运用这些概念来研究半导体材料，尤其是用导带和价带中量子态密度以及费米－狄拉克分布函数来确定导带和价带中电子和空穴的浓度。
此外，我们还会利用这些概念给出半导体材料的费米能级。
这一章我们将涉及平衡半导体：所谓平衡半导体或处于热平衡状态的半导体，是指无外界（如电压、电场、磁场或温度梯度等）作用影响的半导体。
在这种情况下，材料的所有特性均与时间无关。
平衡状态是研究半导体物理特性的起点，之后我们才会研究偏离平衡状态时出现的特性，例如给半导体材料施加电压时的情况。
这一章我们将要讨论的内容有：1.确定本征半导体热平衡时的电子和空穴浓度2.确定非本征即掺杂半导体热平衡时的电子和空穴浓度3.研究电子和空穴浓度随能量和温度变化的统计规律4.确定本征半导体费米能级的位臵，讨论费米能级随掺杂浓度和温度的变化。
3.1本征半导体中的载流子浓度半导体器件的特性很大程度依赖于半导体材料的电导率，通过控制加入到半导体材料中的特定杂质的数量，就可以改变半导体的电学性能。
掺杂原子的类型决定了半导体材料中起作用的载流子是电子还是空穴。
掺杂原子的引入可以改变电子在有效能量状态上的分布，费米能级的位臵成了杂质原子类型和浓度的函数。
电流实际上表征了电荷的流动速度。
半导体中的两种载流子电子和空穴均对电流有贡献。
因为半导体中的电流大小取决于导带中的电子数目和价带中的空穴数目，所以半导体中的载流子浓度是一个重要参数。
电子和空穴浓度与状态密度函数及费米－狄拉克分布函数有关。
3.1.1本征半导体平衡时的电子和空穴浓度分布导带中电子（关于能量）的分布为导带中的有效量子态密度与某个量子态被电子占据的概率的乘积。
()()()()3.1c F n E g E f E =其中，()F f E 是费米－狄拉克分布函数，()c g E 是导带中有效量子态密度，在整个导带能量范围对上式积分便可得到导带中单位体积的总电子浓度。
半导体物理第3章
表面最低电势位置可以通过对φsf微分得到
对于Vds<<(Vbi-
φsl)情况， y0可以近似为L/2，则有
由
和
得
当l<<L时，可以得到:
SOI MOS器件的阈值电压漂移量与体硅器件的不同之处在于因子 和特征长度1,对于Cbox远小于 Csi和Cox情况，用体硅器 件耗尽层宽度xdep替代tsi，则两者相同。
' gs
根据沟道背面-氧化层边界处电通量的连续 性，可以得到
' Vgb − ϕ b ( x ) ∂ϕ x, y ε ox x =t si = ε tb ∂x si
V = Vgb − V fbb
' gb
由上可得：
C0 ( y ) = ϕ s ( y )
' ϕ s ( y ) − Vgs ε ox C1 ( y ) = ε si tf 2 C0 ( y ) + C1 ( y )t si + C2 ( y )t si = ϕ b ( y )
3 “中等”膜厚器件 所谓“中等”膜厚器件是指器件可根据 不同的背栅偏压条件呈现厚膜器件特性 或薄膜器件特性。
3.3 SOI MOS器件的阈值电压模型
器件模型是电路模拟的基拙，为了提高电路设 计效率、缩短设计周期，需要一个能够正确模 拟电路特性的电路模拟软件。 长沟道和短沟道SOI器件的模型，阈值电压、 亚阈值模型、强反型电流模型，考虑包括短沟 道效应和DIBL效应、漏致电导增强效应、沟道 长度调制效应、串联电阻效应、速度过冲效应 等二级物理效应模型，SOI器件的自加热效应 和浮体效应模型等。
5.工艺制备相应简单
SOI材料的制备虽然比体硅复杂，使得 SOI材料成本较高，但在SOI材料和体硅 上实现相同性能的器件结构时，SOI器件 不需要额外隔离所需的形成埋层和对扩 散等工艺步骤，所以SOI的工艺较为简单。
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连续性方程：
电子的连续性方程：n 1 J n g n n
E p p p p Dp 2 p E p p gp t x x x
2
t
q
n
空穴的连续性方程：
p p 1 J p gp t q p
2
3.4.2 表面的少数载流子
表面复合发生在半导体样品一端
3.4.3 海恩-肖克莱实验
半导体物理中经典实验之一，是证明少数载流子的 漂移及扩散。得到无施加电场下及施加电场下的载流 子分布。
3.5 热电子发射过程：假如载流子拥有足够的能量， 他们可能被发射至真空能级。金半—欧姆接触
3.6 隧穿过程：两个半导体样品距离为d，且势垒高 qV0=电子亲和力qx，假如距离足够小，即使电子能量 远小于势垒高，在左边半导体中电子也可能会跨过势 垒输运，并移至右边。这个过程与量子隧穿现象有关。 隧道二极管。
3.1
随 机 1 热 运 动
载流子漂移
5 4 E 2 4 场随 产机 生运 5 的动 结及 合施 运加 动电
E=0 2
1
3
6
6 3
平均自由程：碰撞间平均距离 平均自由时间：碰撞间平均时间 漂移速度：电子受到一个小电场的作用在碰撞时，产生一 个反方向的加速，这额外的速度成分，就称为漂移速度
3.1.1 迁移率
第3章 载流子输运现象
3.1 载流子漂移
3.2
3.3
载流子扩散
产生与复合过程
3.4
3.5
连续性方程式
热电子发射过程
3.6
3.7
隧穿过程
强电场效应
本章节 主题
电流密度方程式以及其中所含的漂移与扩散成 分 连续性方程式及其中所含的产生与复合成分 其他的输运现象，包括热电子发射，隧穿，转 移电子效应及冲击离子化 测量重要半导体参数的方法，如电阻率，迁移 率，多数载流子浓度及少数载流子寿命
3Hale Waihona Puke 1.2 电阻率载流子的漂移运动：载流子在电场作用下的定向运动 漂移电流 ：J=Jn+Jp=(qnun+qpup)E
σ=q(nun+pup)
1 电阻率： 1/ qnn qp p
为电导率
测量电阻率最常用方法：四探针法
V s w
ρ=V W CF(Ω cm) I
d
3.1.3 霍耳效应
载流子的漂移运动：载流子在电场作用下的运动
漂移电流 J Drift qnvd qnE 引 入 迁 移 率 的 概 念 迁移率： 单位电场作用下载流子获得平均速度
q 反映了载流子在电场作用下输运能力 m
电子迁移率和空穴迁移率
两种散射机制
晶格散射：由于高于绝对零度下的晶格原 子的热运动。uL随T-3/2方式减少。 杂质散射：一个带电载流子经过一个电离 的杂质时，由于库仑力的交互作用，路径 发生偏移。散射几率与电离杂质总浓度有 关。 uI随T3/2/NT方式而变化。
当浓度梯度与电场同时存在时电流密度为 漂移与扩散的总和：
空穴流也可类似表示：
dn Jn q nnE qDn dx
dp Jp q ppE qDp dx
总传导电流：
Jcond Jn Jp
复合机制
非热平衡状态， pn>ni2 ，会出现一些使系统恢 复平衡的机制---将注入的少数载流子与多数载流 子复合。 复合过程释放能量，一般以光子形式辐射或对晶 格产生热。辐射复合和非辐射复合。 复合现象分为直接复合和间接复合。前者在如砷 化镓等直接禁带半导体中较为显著；后者在间接禁 带半导体中较为显著，如硅、锗。 根据复合过程发生的位置，又可分为：体内复合和 表面复合。
使用光电导方法来测量载流子寿命：
pn(t)=pn0+τpGLexp(-t/τp)
3.3.2 间接复合
非平衡载流子通过复合中心的复合
U=(pn-pn0)/ τp
3.3.3 表面复合——在半导体的表面 发生的复合过程 3.3.4 俄歇复合
n型
P型
3.4 连续性方程式
连续性方程式：考虑当漂移、扩 散及复合同时发生时的总和效应 电子的连续性方程： 空穴的连续性方程： 稳态连续性方程：
稳态连续性方程：
d p dp p Dp E 0 p 2 dx dx
3.4.1 单边稳态注入
半无限样品：pn(x)=pn0+[pn(0)-pn0]exp(-x/Lp) 厚度为W样品： pn(x)= pn0+[pn(0)-pn0](1-w/x) 扩散长度: Lp=（Dp τp）1/2
RH=-1/qn
对已知电流磁场，霍耳电压的测量
P=1/（q* RH）=Jp*Bz/（q*Ey）=I*Bz*W/（q*VH*A）
3.2
载流子扩散
载流子的扩散运动：载流子在化学势作用下的运动
电子扩散电流：
J （Dn为扩散系数） n ,diff
空穴扩散电流：
dn qDn dx
J p ,diff
dp qD p dx
爱因斯坦关系:
kT D q
3.3 产生与复合过程
热平衡状态：pn=ni2。
非热平衡状态； pn>ni2 。
载流子注入：导入超量载流子的过程。大 部分半导体器件是通过创造出超出热平衡 时的带电载流子数来工作的。光注入和电 注入是主要方式。 小注入： △P或 △n<<多子浓度
电流密度方程式
[111]
[100]
p
雪崩过程：当半导体中的电场增加超过某一定值， 载流子将得到足够能量发生雪崩电离产生电子-空穴 对。如pn结的击穿。
电离率：一个电子或空穴经过单位距离所产生的电 子空穴对数目。
作业3
P80 1, 4(a ,b), 13,15 补充： 1 什么是非热平衡状态？ 2 什么是小注入？ 3 什么是直接复合、间接复合？
3.7 强电场效应
E
GaAs
对硅晶体，电场不太高 时，漂移速度与电场呈线性 关系，当电场持续增加，漂 移速度增加缓慢，在电场足 够大时，漂移速度趋近饱和。 （300K，107cm/s） n型砷化镓中的强电场输 运与硅晶大不相同，漂移速 度达到一最大值后，反而会 减小，此现象是由于砷化镓 的能带结构。微波转移电子 器件。
3.3.1 直接复合
直接复合：由 电子在导带和价 带间直接跃迁而 引起的非平衡载 流子的复合过程。 U=(pn-pn0)/ τp
非平衡载流子的寿命
产生非平衡载流子的外部作用撤除后，由于半导体的 内部作用，使它由非平衡态恢复到平衡态，过剩载流子 逐渐消失。这一过程称为非平衡载流子的复合。
非平衡载流子的平均生存时间称为非平衡载流子的寿 命。
z
直接测量载流子浓度最常用的方法是霍耳效应
x + VH -
y
W EX VX I EY 面积A
其装置如图
+ V
霍耳效应的相关内容
霍耳效应 q*Ey=q*vx*Bz 或 Ey=vx*Bz 霍耳电压 VH=Ey*W 霍耳电场 Ey= RH* JP *Bz （其中霍耳系数RH=1/qp） 对n型半导体言，也获得类似结果，但其霍耳系数