《变化率问题》教学设计

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变化率问题(1)课时教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题（1）（一）教学内容通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法.（二）教学目标通过实例分析，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，不断渗透"用运动变化的观点研究问题""逼近（极限）"等微积分的重要思想。

引导学生发现求瞬时速度的一般方法，发展学生的数学抽象核心素养.（三）教学重点及难点1.重点理解平均速度、瞬时速度的概念及算法.2.难点平均速度与瞬时速度.（四）教学过程问题1：学生阅读教材本章引言，简要回答本章的内容。

师生活动：（1）学生阅读课本，教师适时引导．（2）在教师的引导下，学生应明确以下内容：一是微积分是数学家的创造。

二是微积分的创立主要源自四个科学问题；三是导数是微积分的主要内容；四是导数主要是在定量的刻画函数局部的变化。

同时，学生还要注意在本章的学习过程中，还会接触到一个重要的数学思想和数学运算——极限。

设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．为发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养埋下伏笔．问题2：请同学们回忆一下初中及高一学习过的函数的单调性的相关知识？师生活动：（1）大部分的学生应该都能够说出一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。

（2）一部分学生能指出底数对指数函数、对数函数单调性的影响，需要类讨论。

教师应适时指出这种影响在一次函数、二次函数、反例函数中也是存在的。

同学们却有意无意只是在指数函数、对数函数中才意识到这个问题的存在。

（3）少数学生还能够强调指出反比例函数、正切函数的分段单调性。

（4）教师要密切关注，争取能在学生发现以下反馈：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多．（5）追问：在前面这些学习的基础上，能否进一步精确定量的刻画变化速度的快慢呢？设计意图：通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题，同时引入新课．问题3：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.现在的问题是：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？师生活动：（1）学生可能会从多个角度回答。

【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用《5.1.1变化率问题》教学设计第2课时◆教学目标1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．◆教学重难点◆教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：什么叫直线与圆相切？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．【探究新知】知识点1：曲线在某点处的切线我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究．问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近任取一点2()P x x ，，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况.如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2(1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1Δ21(1Δ)1f x f x k x x x -+-===+-+-.我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格.0x ∆< 0x ∆>x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01-1.990.012.010.001-1.9990.0012.0010.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001-1.9999990.0000012.000001…… ……当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.事实上，由(1Δ)(1)Δ2Δf x f k x x+-==+可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，Δ2x +无限趋近于2.我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)Δf x f k x +-=的极限”，记为Δ0(1Δ)(1)lim 2Δx f x f x→+-=.从几何图形上看，当横坐标间隔||x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0PT .这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0PT 的斜率0k .因此，切线0PT 的斜率02k =.【巩固练习】例1 已知函数1y x x=-，求该函数在点x ＝1处的切线斜率．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善．预设的答案：∵11(1)(1)11y x x ∆=+∆---+∆111x x =+∆-+∆1xx x ∆=∆++∆111y x x ∆=+∆+∆，∴斜率k ＝001lim lim(1)1121x x y x x∆→∆→∆=+=+=∆+∆．设计意图：通过求曲线上某点处切线斜率的问题，加深学生对曲线在某点处的切线和切线斜率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率 (1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，（2）计算0limx yx∆→∆∆，该值即为曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率．例2已知函数f (x )＝3x 2＋5，曲线y =f （x ）在点（（x 0，f （x 0））处的切线方程．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善．预设的答案：因为f (x )＝3x 2＋5，所以Δy = f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 02＋5) =3 x 02＋6 x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3 x 02－5＝6 x 0Δx ＋3(Δx )2. 所以063yx x x∆=+∆∆，所以0000limlim(6)6x x yx x x x ∆→∆→∆=+∆=∆，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为6 x 0，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为000()6()y f x x x x -=-，即200635y x x x =-+．方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程(1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，（2）计算0limx y x ∆→∆∆，即曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为0lim x yk x∆→∆=∆．（3）写出切线方程00()()y f x k x x -=-．设计意图：通过求曲线上某点处切线的方程问题，进一步加深学生对曲线在某点处的切线的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．练习：教科书P 64 练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5.1.1变化率问题新知探究巩固练习知识点1：曲线在某点处的切线例1 知识点2：曲线在某点处的切线斜率例22．总结概括：（1）什么叫曲线在某点处的切线；（2）如何求曲线在某点处的切线斜率．师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力． 3．课堂作业：教科书P 70 习题5.1 2、4、7【目标检测设计】1.在曲线2y x =上取一点(1)1，及附近一点()11x y +∆+∆，，则曲线在点(1)1，处的切线的斜率为( ) A.12x x∆++∆ B.2 C .2x ∆+ D.12x x+∆-∆ 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线及切线斜率的求解. 2.已知曲线11y x =-上两点112222A B x y ⎛⎫⎛⎫-+∆-+∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，当1x ∆=时，割线AB 的斜率为_______. 3．求曲线24y x =在x ＝2处的切线的方程．设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线方程的求法.参考答案：1. B 设2()f x x =，则2000(1)(1)(1)1limlim lim(2)2x x x f x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-==∆+=∆∆.故选B.2.16-设1()1f x x =-，则1111(2)(2)1122222(2)x f x f x x x -∆⎛⎫⎛⎫+∆-=---=-= ⎪ ⎪+∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭，则(2)(2)12(2)2(2)xf x f x xx x ∆-+∆--+∆==∆∆+∆，当1x ∆=时，割线AB 的斜率112(21)6k -==-⨯+.3．解：∵2222()4(2)2(24)4x xy x x -∆-∆∆=-=+∆+∆，24(2)y x x x ∆-∆-=∆+∆ ∴20044limlim 1(2)4x x y x x x ∆→∆→∆-∆--===-∆+∆，∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的斜率为-1， ∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的方程为y -1=-1（x -2），即y =-x +3．。

高中数学_变化率问题教学设计学情分析教材分析课后反思

变化率问题教学设计一.内容和内容解析；内容：平均变化率的概念及其求法；内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导；教学重点：函数平均变化率的概念；二.目标和目标解析；新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化；目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率；1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变；§1.1.1 变化率问题一. 内容和内容解析内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。

本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。

在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。

二.目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

目标解析：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

高中数学的变化率问题教案

高中数学的变化率问题教案教学目标：1. 理解变化率的定义和概念；2. 掌握求解变化率的方法；3. 能够应用变化率解决实际问题。

教学重点和难点：1. 变化率的概念和定义；2. 求解变化率的方法；3. 将变化率应用于实际问题中。

教学准备：1. 教材：高中数学教材中有关变化率的知识点；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教案复印件；3. 知识点整理：准备变化率的定义、求解方法和相关例题。

教学流程：一、引入教师通过一个简单的生活场景引入变化率的概念，让学生了解变化率与日常生活的联系。

二、概念和定义1. 教师讲解变化率的定义和概念，引导学生理解变化率表示的是某一情况随时间、空间或其他变化而发生的程度。

2. 教师让学生通过实例理解变化率的计算方法，如函数的导数表示函数在某一点的变化率。

三、求解变化率的方法1. 教师让学生通过实例计算函数的导数，并解释导数的物理意义；2. 教师讲解变化率计算的一般步骤，如根据已知量列方程、求导、代入数值等。

四、实际问题应用1. 教师让学生通过应用例题，实践变化率的计算方法；2. 教师引导学生分析实际问题，找出关键信息，运用变化率解决问题。

五、课堂练习教师设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识点。

六、总结教师对本节课所学内容进行总结，强调变化率的重要性和应用。

七、作业布置教师布置相关作业，让学生巩固所学内容。

教学反思：1. 教师要注意引导学生提高数学思维，培养解决问题的能力；2. 教师要根据学生的表现及时调整教学方法，确保教学效果。

（备注：以上教案仅供参考，具体教学过程根据实际情况进行调整和改进）。

变化率问题2教案

变化率问题2教案教案标题：变化率问题2教案教案目标：1. 学生能够理解变化率的概念，并能够应用变化率解决实际问题。

2. 学生能够计算变化率，并能够解释计算结果的含义。

3. 学生能够应用变化率解决与速度、斜率和增长率相关的问题。

教学重点：1. 变化率的概念和计算方法。

2. 变化率在实际问题中的应用。

3. 变化率与速度、斜率和增长率的关系。

教学准备：1. 教学投影仪和电脑。

2. 学生练习纸和铅笔。

3. 实际问题的案例和练习题。

教学过程：引入：1. 使用一个实际问题引入变化率的概念，例如：小明骑自行车从家到学校的路程是10公里，他用了1小时完成。

请问他的平均速度是多少？2. 引导学生思考速度的计算方法，并解释速度就是距离和时间的比值。

讲解：1. 引导学生理解变化率的概念：变化率是指某个量随着另一个量变化的速度。

2. 解释变化率的计算方法：变化率等于两个量的差值除以两个量之间的差值。

3. 给出一个简单的例子，例如：小明从家到学校的距离是10公里，他用了1小时，而小红从家到学校的距离是8公里，她用了40分钟。

请计算小明和小红的平均速度，并比较两者之间的变化率。

实践：1. 分发练习纸和铅笔，让学生在小组内完成一些练习题，例如：计算不同物体的速度和变化率。

2. 鼓励学生在解答问题时运用变化率的概念和计算方法。

拓展：1. 引导学生思考变化率与斜率的关系，并解释斜率就是变化率的几何表示。

2. 给出一个图形问题，例如：一条直线上的两个点A和B的坐标分别是(2, 4)和(6, 10)，请计算直线AB的斜率，并解释结果的含义。

总结：1. 回顾变化率的概念和计算方法。

2. 强调变化率在实际问题中的应用，例如速度、斜率和增长率的计算。

3. 鼓励学生在解决实际问题时灵活运用变化率的概念和计算方法。

扩展活动：1. 让学生选择一个自己感兴趣的实际问题，并运用变化率的概念和计算方法解决。

2. 学生可以在小组内分享自己的解决过程和结果。

高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计

高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。

3、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。

基于以上课程标准，本节课的教学目标设计如下：1、理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。

2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。

3、通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义，并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。

4、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。

四、教学过程设计1、导入环节通过“气球膨胀率”、“高台跳水”等生活实例，引导学生思考变化率的概念，并通过图像、表格等方式，让学生感受变化率的变化趋势。

2、知识讲解1）平均变化率的概念和计算方法，以及平均变化率的几何意义。

2）瞬时变化率的概念和计算方法，以及导数的定义和几何意义。

3）导数的求解方法和应用。

3、案例分析通过一些典型例题，让学生掌握导数的计算方法和应用，培养学生的解决实际问题的能力。

4、练与巩固通过一些练题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

5、拓展与应用通过一些拓展性的问题，让学生进一步理解导数的概念和应用，培养学生的创新思维能力。

6、总结与评价对本节课所学知识进行总结，并对学生的表现进行评价和反馈。

五、教学方法通过引导学生思考、案例分析、练巩固、拓展应用等多种教学方法，培养学生的数学思维能力和创新意识。

六、教学手段通过黑板、投影仪、实物模型等多种教学手段，让学生更加直观地理解所学知识。

本节课的教学目标需要更具体、可操作和可检测性。

通过解读《课程标准》，我们将课堂教学目标确定为：1.理解平均变化率的概念，了解其几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法。

为了有效地突破教学难点，我们将引用苏教版《变化率问题》中的“气温变化”问题，通过数学角度解释生活中的变化快慢现象，为后面探究“气球膨胀率”、“高台跳水”问题奠定基础，为归纳“平均变化率”的概念提供具体背景。

2023年秋《变化率问题》教学设计

《变化率问题》教学设计一、本节内容分析本节的主要知识内容是平均变化率、导数及导数的几何意义,在众多变化率问题中,教材选择了物理中的高台跳水运动的速度问题和几何学中圆锥曲线的抛物线问题,这两类问题来自不同的学科领域,把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率,解决问题时都采用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.对学生来说,一个是生活中的物理问题,一个是熟悉的数学问题,这样的设计既可以引起学生的学习兴趣,又可以减少因背景复杂而形成对数学知识的干扰.学生学会先求函数的导数,继而求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法,通过实际问题的引入加深对几何意义的理解和应用,使学生自然的接受新知识的教授.本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析在学习本节内容之前,学生已经学习了速度问题和抛物线问题,知识的引入比较简单直接,所以本节引入难度不是很大,但是大部分学生对极限含义的理解有一定的困难,导数概念的本质是极限,本教材没有介绍极限形式化定义及相关知识,而是通过列表计算,直观把握函数变化趋势,在此过程中学生可以很好的理解并建立导数的概念.本部分知识涉及大量的计算和相关符号,对于学生的计算能力和符号的正确运用的考查也是很关键的.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.变化率问题2.导数的概念3.导数的几何意义【教学目标设计】1.了解平均变化率的概念.2.利用学生对瞬时速度的理解,逐步达到对导数概念和基本方法的直观准确的理解.3.理解导数的几何意义,体会导数在刻画函数性质中的作用.【教学策略设计】学生体验用平均速度逼近瞬时速度,割线斜率逼近切线斜率,这是求瞬时速度,求切线斜率的重要方法,也是建立导数概念的重要支持,学生在高中数学学习过程中对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会和认知.教学中利用预设问题激发学生思考,问题的设置体现由特殊到一般的认知规律;在学生充分经历瞬时速度的计算和切线斜率的计算过程后,引导学生归纳概括导数概念,强化学生数学抽象核心素养的形成;通过割线逼近切线,割线斜率逼近切线斜率的过程,引导学生借助直观想象理解导数的几何意义.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________ 【教学重点难点】重点:1.了解函数的变化率、平均变化率.2.理解瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数概念.3.理解导数的几何意义及“数形结合、以直代曲”的思想方法.难点:1.通过大量实例,使学生学会用数学的度量来描述平均变化率,体会函数的内涵与思想.2.准确理解导数概念,体会极限思想.3.发现、理解并应用导数的几何意义.【教学材料准备】1.常规材料:计算器、多媒体课件、____________________________________________2.其他材料:________________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:同学们,我们都进行过这样的运动—爬山,请回答下面的问题:问题1:在爬山的过程中,感觉平缓的山好攀登,还是陡峭的山好攀登呢?问题2:想想什么原因呢?请同学们做个简单图形来分析.问题3:对比分析两个一样高度的山,一个平缓,一个陡峭,那么两者的区别在哪里?【师生共同讨论为什么陡峭的山攀登感觉更累.学生独立做出图形】师:这都是日常生活中的例子,我们找出了问题关键,导致不同感觉的原因是因为在相同条件下,变化率大小不同.【设计意图】通过登山运动,教师引入本课所学变化率问题,提升学生的探究兴趣.教学精讲探究1 瞬时速度【情境设置】高台跳水在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:S )存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢?(1)如何计算00.5t ≤≤和12t ≤≤的平均速度? (2)如何计算运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度? 师:运动员从起跳到入水的过程中,在上升阶段运动得越来越慢,在下降阶段运动得越来越快,我们可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态.【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】生:(1)在00.5t ≤≤这段时间里,(0.5)(0)2.35(m /s)0.50h h v -==-;在12t ≤≤这段时间里,(2)(1)9.9(m /s)21h h v -==--.(2)根据函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象,结合图形可知,48(0)49h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以48(0)490(m /s)48049h h v ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.师:根据上述的解答过程,总结一下,在12t t t ≤≤这段时间内的运动员平均速度v 如何表示? 生:()()()2112214.9 4.8h t h t v t t t t -==-++-.【以学定教】通过类比师生对登山问题的研究,学习高台跳水问题,强化所学知识,提高对概念的认知. 【概括理解能力】通过教师提醒函数能够代表很多问题,提醒学生概念上需要注意的点,引导学生敢于总结,规范语言,概括出题目条件,培养学生概括理解的能力.师:探究思考以下问题:【情境设置】高台跳水1.运动员在这段时间内是静止的吗?2.你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以启发和肯定】生:虽然运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度为0m /s ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.【自主学习】学生自主解决实际问题,教师继续设疑,使学生逐步建立知识体系和认知,增强了学生学习的主动性.师:为了精确刻画运动员的运动状态,需要引入瞬时速度的概念. 【要点知识】瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设物体运动的路程与时间的关系是()S S t =,当t ∆趋近于0时,函数()S t 在0t 到0t t +∆之间的平均变化率()()00s t t s t s t t+∆-∆=∆∆趋近于常数,我们把这个常数称为运动物体在0t 时刻的瞬时速度.【概括理解能力】通过引入概念,使学生充分理解函数变化率的概念和计算顺序,加深对概念的运用能力. 师:瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在1s t =的瞬时速度吗? 师:设运动员0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是v ,可以想象,如果不断缩短这一时间段的长度,那么v 将越来越趋近于运动员在0t 时刻的瞬时速度.为了求运动员在1t =时的瞬时速度,我们在1t =之后或之前,任意取一个时刻1,t t +∆∆是时间改变量,可以是正值,也可以是负值,但不为0.当0t ∆>时,1t +∆在1之后;当0t ∆<时,1t +∆在1之前.当0t ∆>时,把运动员在时间段[1,1]t +∆内近似看成做匀速直线运动,计算时间段[1,1]t +∆内的平均速度v ,用平均速度v 近似表示运动员在1t =时的瞬时速度.当0t ∆<时,在时间段[1,1]t +∆内可作类似处理.为了提高近似表示的精准度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格.【学生以小组为单位,列好表格,准备好计算器】【以学定教】引出瞬时速度与平均速度有什么关系的问题,激发学生好奇心和学习动力,充分调动学生的积极性.师:当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势?生:当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于1的一边,还是从大于1的一边趋近于1时,平均速度v 都趋近于一个确定的值5-.师:从物理的角度看,时间||t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度,因此,运动员在1t =时的瞬时速度是5m /s -.为了表述方便,我们用0(1)(1)lim 5t h t h t∆→+∆-=-∆,表示“当1,t t =∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值5-”.师:你能求出运动员在2t =时的瞬时速度吗?如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度.【分组讨论,思考,组内合作完成】师:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.小结一下:【要点知识】对瞬时速度的理解1.计算瞬时速度必须先求出平均速度sv t∆=∆,再对平均速度取极限.2.t ∆趋近于0,是指时间间隔越来越小,能小于任意小的时间间隔,即||t ∆要多小就有多小,其含义是可以小到任何预先给定的正数,但t ∆始终不能为零.【设情境巧激趣】利用学生的活动和熟悉的例题,教师创设物理情境根据问题引导学生从物理学角度理解数学问题.探究2 抛物线的切线的斜率【情境设置】抛物线切线斜率的探究如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切,对于一般的曲线C ,如何定义它的切线呢?下面我们以抛物线2()f x x =为例进行研究.你认为应该如何定义抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线?0P 附近的点?师:与研究瞬时速度类似,为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线,我们通常在点0(1,1)P 的附近任取一点()2,P x x ,考察抛物线2()f x x =的割线0P 的变化情况.【推测解释能力】教师通过具体问题引导,提醒学生概念上需要注意的关键点,引导学生重视概念本身,加深理解.【情境设置】抛物线切线斜率的探究()2,P x x 沿着2()f x x =趋近于0(1,1)P 时,割线0P P 有什么变化趋势?生:我们发现,当点P 无限趋近于点0P 时,割线0P P 无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线0P T 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线.【以学论教】教师类比研究瞬时速度,来进行抛物线的切线的斜率的探究,巩固旧知,加强对新知的理解,体现以学论教.师:从上述切线的定义可见,抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-,则点P 的坐标是()21,(1)x x +∆+∆.于是,割线0P P 的斜率2()(1)(1)121(1)1f x f x k x x x -+∆-===∆+-+∆-.我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0P T 的斜率0k ,并且可以通过不断缩短横坐标||x ∆来提高近似表示的精确度,得到如下表格.【学生以小组为单位,列好表格,准备好计算器】师:在表格中当x ∆无限趋近于0时,割线的斜率趋近于多少?生:当x ∆无限趋近于0时,即无论x 从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.【活动学习】学生分组列表,用计算器来计算割线的斜率,提高学生的计算能力,体现活动学习. 【要点知识】抛物线切线斜率的探究事实上,由(1)(1)2f x f k x x+∆-==∆+∆可以直接看出,当x ∆无限趋近于0时,2x ∆+无限趋近于2.我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时,(1)(1)f x f k x+∆-=∆的极限”,记为(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆.从几何图形上看,当横坐标||x ∆无限变小时,点P 无限趋近于点0P ,于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0P T ,这时,割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0P T 的斜率0k ,因此,切线0P T 的斜率02k =.【设活动深探究】通过探究抛物线切线的斜率,经探究得出切线斜率的特点,提高学生的活动学习能力. 【课堂小结】变化率问题1.理解并掌握函数变化率的几何意义和概念.2.准确运用数学符号正确地表达函数变化率. 【设计意图】通过课堂总结,让学生对变化率问题有深刻理解,对下节课导数的学习起到了铺垫作用.培养学生的概括理解能力.教学评价本部分学习注重以学生为主体,每一个知识的引入和发现都学生自己得出,课堂上教师给予学生充足的思考空间,保证学生书写过程清楚,表达正确,尽量正确使用规范的符号语言.本节课学习从源头上说明导数的意义,让学生充分理解导数知识来源于生活.【设计意图】通过动手实践,学生经历探究导数的几何意义的建构过程,从而准确理解导数的几何意义,应用大量实例,使学生体会思想方法和应用的广泛.培养了学生的概括理解,分析计算能力和数学运算、逻辑推理核心素养.应用所学知识,完成下面各题:1.求函数2()f x x =在1,2,3x =附近的平均变化率,取x ∆都为13,哪一点附近平均变化率最大?解析:直接代入公式()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆计算平均变化率,比较大小即可.在1x =附近的平均变化率为21(1)(1)(1)12f x f x k x x x +∆-+∆-===+∆∆∆;在2x =附近的平均变化率为222(2)(2)(2)24f x f x k x x x +∆-+∆-===+∆∆∆;在3x =附近的平均变化率为223(3)(3)(3)36f x f x k x x x+∆-+∆-===+∆∆∆.若13x ∆=,则123171131192,4,6333333k k k =+==+==+=.由于123,k k k <<∴在3x =附近的平均变化率最大.2.两个学校开展节能活动,活动开始后两学校的用电量1()W t 、2()W t 与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A.1W 比2W 节能效果好.B.1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率大.C.两学校节能效果一样好.D.1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大.解析:由图象可知,对任意的()100,t t ∈,曲线1()W W t =在1t t =处的切线比曲线2()W W t =在1t t =处的切线要“陡”,所以,1W 比2W 节能效果好,A 正确,C 错误;由图象可知,()()1012020(0)(0)W t W W t W t t --<,则1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率要小,B 选项错误;由于曲线1()W W t =和曲线2()W W t =不重合,D 选项错误.答案:A3.已知22()3f x x =-,若1()3f a '=,则a 的值等于( ) A.14- B.14 C.49- D.34解析:本题只需根据导数的定义可得2220002242()()4243333()lim lim lim 333x x x x x x x x x f x x x x x x x x ∆→∆→∆→⎛⎫-+∆---∆-∆ ⎪⎛⎫⎝⎭'===--∆=- ⎪+∆-∆⎝⎭, 因此41()33f a a '=-=,则14a =-. 答案:A4.曲线223y x x =-+在点(1,6)A -处的切线方程是________.解析:本题利用导数的几何意义求曲线切线的步骤解题.因为223y x x =-+,切点为(1,6)A -,所以斜率2100(1)2(1)3(123)lim lim (4)x x x x x k y x x=-∆→∆→-+∆--+∆+-++='==∆-=∆4-,所以切线方程为64(1)y x -=-+,即420x y +-=.答案:420x y +-=【分析计算能力】根据所学平均变化率的知识,分析具体数据,让学生自主的计算,提高对概念的理解和运用.【综合问题解决能力】学生在理解导数概念的基础上进行审题,强化导数几何意义,提高综合问题解决能力.教学反思本节课在正确理解函数平均变化率的问题和导数的概念等知识的基础上,研究导数的几何意义,由于新教材涉及极限,尽量采用形象直观的方式,提高学生的动手能力,注重多媒体的使用和数形结合思想的应用,使学生深刻体会导数的几何意义和“以直代曲”的思想,即在利用导数几何意义研究具体实际问题时,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的,并通过对例题的研究,让学生体验导数与切线斜率的关系,并感受导数应用的广泛性,应提供学生多实践,多练习的机会,提高计算能力和概念的认知能力.【以学定教】启发并引导学生理解函数变化率、导数的概念和几何意义,熟练掌握导数概念的表示方法和利用导数几何意义求切线的解题步骤,提高综合问题的解决能力.【以学论教】通过教师引导学生阅读教材,归纳探究,解决有关导数问题,课堂上教师采用活动学习、意义学习的策略,使得学生掌握导数概念及其几何意义,达到较好的学习效果.。

5.1.1变化率问题(教学设计)(人教A版2019选择性必修第二册)

5.1.1变化率问题教学设计一、课时教学内容1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．二、课时教学目标1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率.三、教学重点、难点1、教学重点瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法.2、教学难点割线与切线的斜率.四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数．刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念．在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑．微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等，历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具．在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．5.1导数的概念及其意义在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题．5.1.1变化率问题问题1高台跳水运动员的速度探究:在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++．如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态．例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)2.35(m /s)0.50h h v -==-；在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)9.9(m /s)21h h v -==--一般地，在12t t t ≤≤这段时间里，211221()()4.9() 4.8h t h t v t t t t -==-++-．环节二观察分析，感知概念思考:计算运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？我们发现，运动员在049t ≤≤这段时间里的平均速度为0．显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态．因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态．为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity ）．探究:瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在1s t =s 时的瞬时速度吗？设运动员在0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在0t 时刻的瞬时速度．用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想．为了求运动员在1t =时的瞬时速度，我们在1t =之后或之前，任意取一个时刻1t +∆，t ∆是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当0t ∆>时，1t +∆在1之后，当0t ∆<时，1t +∆在1之前．当0t ∆>时，把运动员在时间段[1,1]t +∆内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1]t +∆内的平均速度v ，用平均速度v 近似表示运动员在1t =时的瞬时速度．当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）．表5.1-1当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内当0t ∆>时，在时间段[1,1]t +∆内t ∆2(1)(1)1(1)4.9()5 4.95h h t v t t tt t-+∆=-+∆∆+∆==-∆--∆t ∆2(1)(1)(1)14.9()5 4.95h t h v t t tt t+∆-=+∆--∆-∆==-∆-∆－0.01 －4.951 0.01 －5.049 －0.001 －4.9951 0.001 －5.0049 －0.0001 －4.99951 0.0001 －5.00049 －0.00001 －4.999951 0.00001 －5.000049 －0.000001－4.9999951 0.000001－5.0000049……观察:给出t ∆更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v 的值．当t ∆无限趋近于0时，平均速度v 有什么变化趋势？1时，平均速度v 都无限趋近于5-．事实上，由(1)(1)4.95(1)1h t h v t t +∆-==-∆-+∆-可以发现，当t ∆无限趋近于0时， 4.9t -∆也无限趋近于0，所以v 无限趋近于5-．这与前面得到的结论一致．数学中，我们把5-叫做“当t ∆无限趋近于0时，(1)(1)h t h v t+∆-=∆的极限”，记为0(1)(1)lim5t h t h t ∆→+∆-=-∆．从物理的角度看，当时间间隔t ∆无限趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度．因此，运动员在1s t =时的瞬时速度(1)5m /s v =-．思考:（1）求运动员在2s t =时的瞬时速度；（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度？解：（1）运动员在2s t =时的瞬时速度2200(2)(2)[ 4.9(2) 4.8()11][ 4.92 4.8211](2)lim lim (2)2t t h t h t t t v t t ∆→∆→+∆--+∆++∆+--⨯+⨯+==+∆-∆lim( 4.914.8)14.8t t ∆→=-∆+=．（2）运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度2200000000000()()[ 4.9() 4.8()11][ 4.9 4.811]()lim lim()t t h t t h t t t t t t t v t t t t t∆→∆→+∆--+∆++∆+--++==+∆-∆000lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t t t ∆→=-∆-+=-+．1．求问题1中高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度．1．【解析】22(0.5)(0.5)[ 4.9(0.5) 4.8(0.5)11]( 4.90.5 4.80.511)h t h t t +∆-=-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9()0.1t t =-∆-∆，所以，00(0.5)(0.5)(0.5)limlim(0.1 4.9)0.1(m /s)t t h t h v t t∆→∆→+∆-==--∆=-∆．所以，高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度为0.1m /s -． 2．火箭发射s t 后，其高度（单位：m ）为2()0.9h t t =，求：（1）在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度；（2）发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度． 2．【解析】（1）因为22(2)(1)0.920.91 2.7(m /s)21h h v -==⨯-⨯=-，所以在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7m /s ；（2）因为222000(10)(10)0.9(10)0.9100.9()18lim lim lim (10)10t t t h t h t t t t t t ∆→∆→∆→+∆-⨯+∆-⨯∆+∆==+∆-∆∆ 0lim(0.11898)t t ∆→=∆+=．所以发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度18m /s ．3．一个小球从5 m 的高处自由下落，其位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2() 4.9y t t =-．求1s t =时小球的瞬时速度．3．【解析】由题意知：222000()() 4.9() 4.99.8 4.9()lim lim limt t t y t t y t t t t t t t t t t∆→∆→∆→+∆--+∆+-⋅∆-∆==∆∆∆ 0lim(9.8 4.9)9.8t t t t ∆→=--∆=-，当1s t =时，小球的瞬时速度为s 9.8m /-．环节四辨析理解，深化概念问题2抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C ，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线2()f x x =为例进行研究．探究：你认为应该如何定义抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线？与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线，我们通常在点0(1,1)P 的附近任取一点2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况．观察：如图5.1-1，当点2(,)P x x 沿着抛物线2()f x x =趋近于点0(1,1)P 时，割线0P P 有什么变化趋势？我们发现，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0P T 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线．环节五概念应用，巩固内化探究我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率0k 呢？从上述切线的定义可见，抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系．记1x x ∆=-①，则点P 的坐标是2(1,(1))x x +∆+∆．于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1)121(1)1f x f x k x x x -+∆-===∆+-+∆-．①x ∆可以是正值，也可以是负值，但不为0．我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0P T 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）．表5.1-20x ∆< 0x ∆>x ∆ 2k x =∆+ x ∆ 2k x =∆+ －0.01 1.99 0.01 2.01 －0.001 1.999 0.001 2.001 －0.00011.99990.00012.0001OxyP 0PT2()f x x =－0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 －0.0000011.9999990.0000012.000001……观察：利用计算工具计算更多割线0P P 的斜率k 的值，当x ∆无限趋近于0时，割线0P P 的斜率k 有什么变化趋势？近于1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2．事实上，由(1)(1)2f x f k x x+∆-==∆+∆可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，2x ∆+无限趋近于2．我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1)(1)f x f k x+∆-=∆的极限”，记为(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆．从几何图形上看，当横坐标间隔x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0P T ．这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0P T 的斜率0k ．因此，切线0P T 的斜率02k =．思考：观察问题1中的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象（图5.1-2），平均速度(1)(1)(1)1h t h v t +∆-=+∆-的几何意义是什么？瞬时速度(1)v 呢？环节六归纳总结,反思提升问题:请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？2() 4.9 4.811h t t t =-++(1,(1))h (1,(1))t h t +∆+∆图5.1-2(1) 平均速度、瞬时速度的概念及其关系。

变化率问题教案

变化率问题教案教案: 变化率问题I. 引言A. 引入变化率的概念B. 引出学生在解决变化率问题上的困惑C. 目标：通过本课程，学生将能够熟练解决变化率问题II. 学习目标与能力要求A. 学习目标：了解变化率的定义，掌握计算变化率的方法，能够应用变化率解决实际问题B. 能力要求：具备基本的数学计算能力，理解直线的斜率概念III. 预习活动A. 学生通过阅读教科书或课外资料扩充对变化率的理解B. 学生为预习问题解决方案做准备IV. 暖身活动A. 学生通过解决简单的变化率问题来复习前一个章节的知识B. 学生互相讨论解决方案，分享自己的思考过程V. 教学过程A. 引导学生理解变化率1. 提供一个简单的实例，让学生观察和描述变化率的含义2. 指导学生使用数学表达式定义变化率，讨论其意义3. 练习计算变化率的例子，确保学生掌握计算方法B. 应用变化率解决实际问题1. 提供一些实际生活中的问题，引导学生用变化率解决2. 要求学生在解决问题的过程中陈述他们的思考步骤，以促进深入理解3. 练习更复杂的变化率问题，以加强学生的应用能力C. 深入理解变化率1. 引导学生思考变化率的特性和性质2. 提供一些挑战性问题，让学生通过分析和推理来解决3. 鼓励学生提出自己的问题，并寻找解决方案VI. 巩固练习A. 给学生一些变化率相关的题目作为巩固与拓展B. 学生独立完成练习，然后和同伴交流解决方案C. 教师梳理学生的答案与思路，进行解析与讨论D. 对于有困惑的学生，教师提供额外的辅导与指导VII. 总结与反思A. 教师引导学生总结课程的内容，强调变化率的重要性与应用B. 学生反思自己的学习过程，提出问题和心得C. 教师提供鼓励和指导，激发学生继续深入学习相关知识的兴趣VIII. 作业布置A. 提供一些练习题作为课后作业B. 要求学生总结今天学到的重点知识，书写对变化率的理解和应用IX. 扩展学习A. 推荐学生到外部资源寻找更多变化率相关的问题和实例B. 鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，拓宽数学应用领域X. 复习与检测A. 定期安排复习课堂，检验学生对变化率概念的理解与应用B. 根据学生的学习情况进行个别辅导和指导本教案按照教案格式来介绍了一堂关于变化率问题的课程。

5.1.1变化率问题(教学设计)

5.1.1变化率问题本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。

在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

课程目标学科素养A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．1.数学抽象：函数的变化率2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率4.数学建模：函数的变化率重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念多媒体来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v̅近似的描述它的运动状态。

例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，v̅=ℎ(0.5)−ℎ(0)0.5−0=2.35(m/s)在 1≤ t ≤2这段时间里，v̅=ℎ(2)−ℎ(1)2−1=−9.9(m/s)一般地，在 t 1≤ t ≤t 2这段时间里，v̅=ℎ(t 2)−ℎ(t 1)t 2−t 1=−4.9(t 1+t 2)+4.8探究1：计算运动员在0 ≤ t ≤4849这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？1．平均变化率对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率ΔyΔx ＝＝ .x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2－f x 1x 2－x 1；f x 1＋Δx －f x 1Δx2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0ΔyΔx＝ .某一时刻；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx问题2. 抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.探究3. 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？与研究瞬时速度类似为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近取一点P(x,x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况。

1.1.1变化率问题(教学设计)

1.1变化率与导数（教学设计）（1）1．1．1变化率问题教学目标：知识与技能目标：了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念。

过程与方法目标：通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础。

情感、态度与价值观目标：通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的铁钻研精神。

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景、新课引入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．师生互动、新课讲解（一）问题提出问题1 气球膨胀率将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．例1（tb11500601）求下列问题的平均变化率（1）已知函数f(x)=x+1 ，求x 取从1到2时的平均变化率；（2）已知函数f(x)=1x，求x 取从1到2时的平均变化率；（3）已知函数f(x)=lnx ，求x 取从1到2时的平均变化率；（4）已知函数f(x)=sinx ，求x 取从1到2时的平均变化率。

高中数学变化率问题教案

高中数学变化率问题教案一、教学内容本节课主要介绍数学中的变化率问题，包括函数的导数和微分的概念，以及如何利用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。

二、教学目标1. 了解导数和微分的定义和性质；2. 掌握求函数导数和微分的方法；3. 能够应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。

三、教学重点1. 函数导数和微分的计算方法；2. 如何应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。

四、教学难点1. 理解函数的导数和微分的物理意义；2. 能够灵活运用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。

五、教学过程1. 导入：通过一个生活中的例子引入变化率的概念，让学生了解变化率的重要性；2. 讲解：介绍函数的导数和微分的定义和性质，以及其计算方法；3. 练习：给学生几个简单的函数求导数和微分的练习题，让他们掌握计算方法；4. 拓展：介绍如何应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题，例如速度、加速度等；5. 实践：让学生做一些实际问题的应用练习，培养他们解决实际问题的能力；6. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对函数的导数和微分有一个清晰的认识。

六、教学资源1. 课件：包括导数和微分的定义、性质和计算方法；2. 教材：提供相关的例题和练习题；3. 实例：准备一些生活中的例子，引发学生思考。

七、教学评估1. 课堂练习：通过课堂上的练习题检测学生对导数和微分的掌握情况；2. 作业：布置相关的作业，考察学生对实际问题的应用能力；3. 讨论：组织学生进行小组讨论，检查其解题思路和方法。

八、课后作业1. 完成教师布置的练习题；2. 尝试解决一些实际问题，应用导数和微分计算变化率。

注：以上内容仅为参考，具体教学过程和内容可根据实际情况进行调整。

变化率问题精品教案

变化率问题（第一课时）一、教课目的：1．认识曲线的切线的观点．2．在认识刹时速度的基础上，抽象出变化率的观点．3．掌握切线的斜率、刹时速度，它们都是一种特别的极限，为学习导数的定义确立基础．二、教课要点：切线的观点和刹时速度的观点．教课难点：在认识曲线的切线和刹时速度的基础上抽象出变化率的观点．三、教课器具：多媒体四、教课过程： 1．曲线的切线如图，设曲线 C 是函数 y f (x) 的图像，点 P( x 0 , y 0 ) 是曲线 C 上一点，点Q( x 0x, y 0 y) 是曲线 C 上与点 P 周边的任一点．作割线PQ ，当点 Q 沿着曲线 C 无限地趋近于点 P ，割线 PQ 便无穷地趋近于某一极限地点PT ．我们就把极限地点上的直线PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线．问：如何确立曲线 C 在点 P 处的切线呢？由于 P 是给定的，依据分析几何中直线的点斜式方程的知识，只需求出切线的斜率就够了．设割线 PQ 的倾斜角为，切线 PT 的倾斜角为，既然割线 PQ 的极限地点上的直线PT 是切线，因此割线 PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率 tan ，即 tanlim ylim f ( x 0x)f ( x 0 ).x 0x x 0x例题求曲线 y x 2 1 在点 P （ 1， 2）处的切线的斜率 k ．解： yf (x 0 x)f ( x 0 )f (1x)f (1)(1x) 2 1 (1 1)x 22 xy x 2 2 x2xxx∴ klim y lim ( x 2)2 ，即 k 2 ．xx 0 x 02．刹时速度我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数s s(t ) 描绘．下边以自由落体运动为例进行剖析．已知 s1 gt2 ．2（ 1）计算 t 从 3 秒到 3.1 秒、 3.01 秒、 3.001 秒、 3.0001 秒各段内均匀速度．（ 2）求 t 3 秒时的刹时速度．解：（ 1） 3,3.1, t3 0.1, t 指时间改变量．s s(3.1)s(3) 1 g 21 g 32 0.3059. s 指地点改变量．2 23.059.vt其他各段时间内的均匀速度，预先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的均匀速度后，即用多媒体出示，让学生思虑在各段时间内均匀速度的变化状况．（ 2）从（ 1）可见某段时间内的均匀速度s随 t 变化而变化， t 越小， s越靠近t s的极限．t 于一个定值，由极限制义可知，这个值就是t0 时，tss(3t) s(3)1g (3t )2 1 g 32v limlimlim 2t 2 t0 t t 0t t 01 g lim ( 6 t ) 3g29.4 （米 /秒）2t 0s的极限）问：非匀速直线运动的刹时速度是如何定义的？（当t0 时，均匀速度t教师指引，学生进行概括：求非匀速直线运动在时辰 t 0 的刹时速度的方法以下：非匀速直线运动的规律 s s(t )时间改变量 t ，地点改变量 s s(t 0 t) s(t 0 )均匀速度 vs，刹时速度 v limst ．tt一般地，假如物体的运动规律是 s s(t) ，物体在时辰t 的刹时速度 v ，就是物体在 t到 tt 这段时间内，当 t 0 时，均匀速度的极限，即 v lim s lim s(tt ) s(t )ttt 0t 0例题若一物体运动方程以下：s3t 22(0 t 3) (1)29 3(t3) 2 (t3) (2)求此物体在 t 1 和 t 3 时的刹时速度．解：当 t 1时，s 3t 2 2v s lim s(t t ) s(t ) lim 3(1 t )2 2 3 12 2t t 0 t t 0 tlim 6 t 3 t 2 lim (6 3 t ) 6.t 0 t t 0当 t 3 时，s 29 3(t 3)2v s lim s(t t ) s(t ) lim 29 3(3 t 3) 2 29 3(3 3) 2 lim 3( t) 2 t t 0 t t 0 t t 0 t lim 3 t 0.t 0因此，物体在 t 1和 t 3 时的刹时速度分别是6和 0．3．讲堂练习（学生练习后教师再讲评）（ 1）求y x3 2x 2 在x 2 处的切线的斜率．解：y f (x0 x) f (x0 )f (2 x) f (2)(2 x) 3 2(2 x) 2 (23 2 2 2)10 x 6( x)2 ( x)3y 10 6 x ( x) 2xy∴ k lim lim (10 6 x x 2 ) 10.x x 0x 0（ 2）教科书练习第1、2 题．4．讲堂小结（1）曲线的切线．（2）刹时速度．（3）求切线的斜率、刹时速度的步骤．五、部署作业1．求以下曲线在指定点处的切线斜率．（ 1）yx3 2, x 2 处，（ 2）y 1 , x 0 处．x 12．已知某质点按规律s 2t 2 2t （米）作直线运动．求：（1）该质点在运动前 3 秒内的均匀速度；（ 2）质点在 2 秒到 3 秒内的均匀速度；（3）质点在 3 秒时的刹时速度．解： 1．（ 1）k 12 ，（2） k 1 ；2．（ 1） 8 米/秒，（ 2） 12 米 /秒，（ 3） 14 米 /秒．。

3.1.1变化率问题,教案

3.1.1变化率问题,教案篇一：3.1.1变化率问题教案3.1变化率与导数3.1.1变化率问题一、【创设情境】为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3分析:r(V)?43?r33V4?3V4?(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)r(1)?r(0)气球的平均膨胀率为?0.62(dm/L)1?0(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)r(2)?r(1)气球的平均膨胀率为?0.16(dm/L)2?1可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)?r(V1)V2?V1t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)0.5?0在1?t?2这段时间里,v?探究:计算运动员在0?t?h(2)?h(1)??8.2(m/s)2?165这段时间里的平均速度,并思考以下问题:49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像,结合图形可知,h(65)?h(0),所以v?49h(65)?h(0)49?0(s/m)65?049虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m),49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,x2?x1称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.2.若设?x?x2?x1,?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f???x2?x1?x?x?x?ff(x2)?f(x1)表示什么???xx2?x1思考:观察函数f(x)的图象平均变化率三、典例分析例1已知函数f(x)??x?x的图象上的一点a(?1,?2)及2?y?.?x解:?2??y??(?1??x)2?(?1??x)临近一点B(?1??x,?2??y)则?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x∴?x?x例2求y?x2在x?x0附近的平均变化率.解:?y?(x0??x)?x02222x0?2x0?x??x2?x0?y(x0??x)2?x0所以???2x0??x?x?x?x所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x2课堂练习1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为.2.物体按照s(t)?3t?t?4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y?f(x)?x上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线,求出当?x?0.1时割线的斜率.四、【课堂小结】1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.322篇二：3.1.1变化率问题(学、教案)变化率问题课前预习学案一、预习目标了解平均变化率的定义。

【教学方案】《变化率问题》教学案3

《变化率问题》教学案学习目标:1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习重点:求函数在某点附近的平均变化率.学习难点:对增量的理解.学习过程:一、引言学习阅读教材P 72~ P 73，体会为什么要学习导数.二、新课导学阅读教材P 72~ P 74，在书上标注出重点和疑惑之处※ 学习探究问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率思考：当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？问题2：高台跳水，求平均速度探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆=_______________或者2x =______________，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆=______________；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为______________，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是______________的增量与______________的增量的比值. 思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么？一起讨论、分析，得出结果；※ 典型例题(展示点评)例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y x∆∆=_________. 小结：※ 动手试试(展示点评)练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.(发现：y kx b =+在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升※ 学习小结1.函数()f x 的平均变化率是____________________.2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量____________________.(2)计算平均变化率____________________.※ 知识拓展T(月)6 3 9 12平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为( )A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为( ) A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为( ) A ．6t +∆ B ．96t t +∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______.5.223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____.。

变化率问题教学设计(王占军)

《变化率问题》教学设计宁夏回族自治区银川市第九中学王占军教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”，一、教学内容分析导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。

教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。

从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。

在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。

基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。

二、学生情况分析（一）、学生已有的认知基础1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。

并能从图像中看出函数变化的快与慢。

2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。

（二）可能存在的认知困难1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。

2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。

对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。

变化率问题(1)教学设计

探究在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系 .如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？观看视频：
探究：这段视频中运动员跳水运动状态如何？怎么描述它的运动状态？
问题1：那么如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度呢？
当时，在时间段内
当时，在时间段内
……
……
思考：给出更多的值，利用信息技术计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？
当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于 .
问题5：你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？
计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征，需要从更加理性的角度加以说明.
我们可以把刚才的过程进行梳理，由h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的表达式，所以运动员在时间段 [1，1＋Δt]的平均速度为
3.事实上，由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致.数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为 .
研究方法：1.无限逼近的极限思想；2.由特殊到一般的思想；
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
2.由特殊到一般的数学思想。
教学过程
一、新课导入
在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题.

变化率问题教案

第课时 21．3 实际问题与一元二次方程（2）【学习目标】会根据具体问题中的数量关系，利用“变化率”问题建立数学模型解决实际问题。

【评价任务】通过探究新知检测目标的达成。

【教学过程】【情景引入】二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a 分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？【探究新知】探究1两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1 吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?分析:甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元)乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大。

但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。

解:设甲种药品成本的年平均下降率为x, 则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元, 两年后甲种药品成本为5000(1-x)²元,由题意得：5000（1-x ）2=3000解得: 答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较:两种药品成本的年平均下降率(22.5%,相同)思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）小结：类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式：若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n 次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n =b(中增长取+,降低取－)【应用拓展】探究2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率． )(775.1,225.021舍去≈≈x x分析：设这种存款方式的年利率为x ，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x ·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x ·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x ·80%+（1000+2000x ·8%）x ·80%=1320 整理，得：1280x 2+800x+1600x=320，即8x 2+15x-2=0解得：x 1=-2（不符，舍去），x 2=0.125=12.5%答：所求的年利率是12．5%．【课堂小结】若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n 次后的量是b,则它们的数量关系可表示为其中增长取+,降低取－注意：（1）1与x 的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般用：直接开平方法【布置作业】1、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，可列出方程为__________．2、某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?3、某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。