正方形的性质
正方形的性质及判定
正方形的性质与判定板块名称中考考试要求层次ABC正方形会识别正方形掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。
3. 提高学生分析问题与解决问题的能力。
4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点：正方形知识的灵活应用中考要求知识点睛重、难点教学目标一、正方形的性质【铺垫】正方形有条对称轴．【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形⑵如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且 20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FED CBA⑶如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为．【例2】 ☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为A 5A 4A 3A 2A 1【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA例题精讲【例4】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.【巩固】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．【巩固】 ☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．【例6】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠=．【例7】 ☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDC BA【例8】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．【巩固】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例9】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.【巩固】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.【例10】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.【巩固】 ☆已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例11】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为．【例12】 ☆如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【巩固】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.【例13】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FECDBA 【巩固】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数ABCDEF E 'GNMDCBA【巩固】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．【例14】 ☆把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【例15】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.二、正方形的判定【例16】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【巩固】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．【巩固】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【例17】 ☆如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．【例18】 ☆如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例19】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【巩固】 ☆如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDCBA【例20】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例21】 ☆已知：PA 4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB 与PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，与相应∠APB 的大小.PDCBA1.如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA2. 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.3.如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．4. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．课后练习。
(完整版)正方形知识点复习总结
(完整版)正方形知识点复习总结正方形知识点复总结1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：- 四条边的长度相等。
- 四个内角都是90度。
- 对角线相等且垂直平分。
2. 正方形的性质2.1 逆向性质正方形的逆向性质可以由其定义推导得出：- 如果一个四边形的四条边都相等且四个内角都是90度，则它是正方形。
2.2 边长和对角线的关系在一个正方形中，边长和对角线之间存在以下关系：- 对角线的长度等于边长的根号2倍。
- 边长等于对角线长度的根号2的一半。
2.3 面积和周长正方形的面积和周长计算公式如下：- 面积：边长的平方。
- 周长：边长的四倍。
2.4 正方形与其他几何图形的关系正方形与其他几何图形的关系如下：- 正方形是一个长方形，其中长和宽相等。
- 正方形也是一个菱形，其中每个角都是90度。
3. 判断正方形的方法在解决问题时，我们有时需要判断一个四边形是否是正方形。
以下是几种判断的方法：- 判断边长：检查四条边是否长度相等。
- 判断角度：检查四个内角是否都是90度。
- 判断对角线：检查对角线长度是否相等且垂直平分。
4. 示例题目下面是一些关于正方形的示例题目，帮助巩固对正方形知识的理解：1. 若一个四边形的边长为4cm，是不是正方形？2. 如果一个四边形的边长为6cm，内角都是90度，那它一定是正方形吗？3. 一个四边形的对角线长度为5cm，是不是正方形？5. 结论正方形是一种具有特殊性质的四边形，有着特定的定义和性质。
了解正方形的定义、性质以及判断方法可以帮助我们更好地理解和应用正方形相关的问题。
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质正方形是一种常见的几何形状，具有一些独特的特征和性质。
了解正方形的定义、特征和性质，有助于我们对几何学的理解和应用。
本文将对正方形的特征和性质进行详细阐述。
一、定义正方形是一种特殊的四边形，它的四边相等且四个角均为直角。
也就是说，正方形是一个具有四个相等边长和四个直角的几何形状。
正方形的定义直观简单，我们可以根据这个定义来判断一个图形是否为正方形。
二、特征1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的特征。
我们可以用字母a来表示正方形的边长。
当一条边的长度确定时，其余三条边的长度也随之确定。
2. 角度为直角：正方形的四个角均为直角，即每个角都是90度。
这个特征可以直接由正方形的定义得知。
3. 对角线相等且互相垂直：正方形的对角线互相垂直且相等。
设对角线长度为d，则我们可以使用勾股定理来计算边长 a 与对角线长度 d之间的关系： a^2 + a^2 = d^2。
由此可得，该正方形的对角线长度为d = √2a。
三、性质1. 周长公式：正方形的周长可以通过将四条边长相加来求得。
因为正方形的四条边长度相等，所以周长 C = 4a。
2. 面积公式：正方形的面积可以通过边长的平方来计算。
面积 A =a^2。
3. 对角线性质：- 对角线相等：正方形的两条对角线相等，即d = √2a。
- 对角线相交于中点：正方形的两条对角线相交于正方形的中心点。
- 对角线互相垂直：正方形的两条对角线互相垂直，即对角线间的夹角为90度。
4. 判断正方形：- 利用边长：当一个四边形的四条边相等时，且四个角均为直角时，该四边形就是正方形。
- 利用对角线：当一条四边形的两条对角线相等且互相垂直时，该四边形就是正方形。
综上所述，正方形具有边长相等、角度为直角、对角线相等且互相垂直的特征和性质。
掌握了这些特征和性质，我们可以进行正方形相关的几何计算和应用。
对于数学、物理等学科的学习和实际问题的解决，正方形的特征和性质是非常重要的基础知识。
正方形及特殊正方形知识点(经典完整版)
正方形及特殊正方形知识点(经典完整版)
正方形是一种具有特殊性质的几何形状，它的四边长度相等且四个角都是直角。
以下是关于正方形及其特殊类型的一些基本知识点。
正方形的性质
- 正方形的四条边长度相等，记作a。
- 正方形的四个角都是直角，每个角为90度。
- 正方形的对角线长度相等，记作d，满足d = a * √2。
- 正方形的内角和为360度，每个内角为90度。
- 正方形的面积为A = a * a，其中a为边长。
- 正方形的周长为P = 4 * a，其中a为边长。
特殊正方形类型
边长为整数的正方形
除了一般的正方形，还可以根据边长的特定性质来划分特殊类型的正方形。
1. 完全平方数正方形：当正方形的边长为整数且为完全平方数时，可以得到完全平方数正方形。
例如，边长为1、4、9等都是完全平方数的正方形。
具有特定角度关系的正方形
2. 黄金角正方形：黄金角正方形是指正方形的一条对角线与边长之比等于黄金比例（约为1.）的正方形。
3. 铂金角正方形：铂金角正方形是指正方形的一条对角线与边长之比等于铂金比例（约为1.）的正方形。
具有特定长度关系的正方形
4. 对角线倍数正方形：对于正方形的一条对角线长度，可以找到倍数关系的正方形。
例如，当正方形的对角线长度为d时，可以找到边长为d/√2的正方形。
这些是关于正方形及其特殊类型的一些知识点。
通过理解正方形的性质和不同类型，我们可以更好地应用它们在几何问题和实际生活中的应用。
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正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形性质
正方形性质正方形是一种具有特殊性质的四边形。
它具有以下几个重要的性质：1. 边长相等：正方形的四条边的长度都相等，即具有等边性质。
这意味着正方形的四个内角也是相等的，每个角都是90度。
正方形的边长通常用字母s表示。
2. 直角：正方形的四个内角都是直角，也就是90度。
这是因为正方形的边长相等，对角线也相等，从而使得四个角都是直角。
3. 对称性：正方形具有4条对称轴。
具体来说，正方形具有4条对称轴，分别是两条互相垂直的水平和垂直轴线以及两条对角线。
这意味着正方形可以通过旋转180度或镜像来得到完全相同的图形。
4. 对角线相等：正方形的两条对角线相等且相交于垂直平分线。
这可以通过勾股定理来证明。
由于正方形的四个内角都是直角，对角线就等于正方形的边长。
5. 面积计算：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即A = s^2。
这是因为正方形可以看作是一个已知边长的长方形，长和宽都是s。
6. 周长计算：正方形的周长可以通过边长乘以4来计算，即P = 4s。
这是因为正方形的四条边长度相等。
7. 面对角线关系：正方形的面对角线关系是一个重要性质。
面对角线关系意味着正方形的对角线长度等于边长的根号2倍，即d = s√2。
这可以通过勾股定理证明。
总之，正方形具有边长相等、直角、对称性、对角线相等、面积计算、周长计算和面对角线关系等重要性质。
这些性质使得正方形在几何学中具有重要的地位，而且在实际应用中也有广泛的应用。
无论是建筑设计、绘画艺术还是其他领域，正方形都扮演着重要的角色。
下一篇将继续探讨正方形的更多特点和性质。
（字数： 304）。
小学数学点知识归纳正方形的概念与性质
小学数学点知识归纳正方形的概念与性质在小学数学中，正方形是一个常见的几何图形。
它具有一些特殊的概念和性质。
本文将对正方形的概念与性质进行归纳总结。
一、正方形的概念正方形是指四边相等且四个内角都为直角的四边形。
可用以下几种方式来描述正方形的概念：1. 边长相等：正方形的四条边的长度相等，可表示为a。
2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角，即每个内角为90°。
3. 对角线相等且垂直：正方形的两条对角线相等且互相垂直。
4. 对称性：正方形具有4个对称轴，即通过正方形中心点和每条边的中点可以得到4条对称轴。
二、正方形的性质正方形具有以下几个重要的性质：1. 对边对角相等：正方形的对边长度相等，即a = a。
2. 内角相等：正方形的四个内角都是直角，且每个内角为90°。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，可表示为d = d。
4. 对角线垂直：正方形的两条对角线互相垂直，即两条对角线的交点处于正方形的中心位置。
5. 边和对角线的关系：正方形的边长和对角线的关系可以通过勾股定理求得。
根据勾股定理，对角线的长度等于边长的平方根乘以根号2，即d = a√2。
三、正方形的应用正方形作为一种常见的几何图形，在生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑物的平面布局中常使用正方形，如广场、道路交叉口等。
正方形结构的均衡性和美学特点使其成为建筑设计中常见的元素。
2. 家具设计：一些家具也采用正方形的形状，如桌子、抽屉等。
正方形的形状使得家具的结构稳定，使用起来更加方便。
3. 绘画艺术：在绘画中，正方形常被用作画面的基本形状。
画家们可以通过正方形的对称性和均衡性来构图，使画面更具美感。
4. 计算机图形学：在计算机图形学中，正方形也被广泛应用。
正方形的对称性和简洁性使其成为建模、纹理映射等领域中常见的图形元素。
总结：通过对小学数学中正方形的概念与性质的归纳，我们可以清楚地了解到正方形的特点和应用。
听课记录正方形的性质
听课记录正方形的性质听课记录：正方形的性质引言在数学中，正方形是一种特殊的四边形。
它具有独特的性质和特点，在几何学和其他领域都具有广泛的应用。
本文将探讨正方形的性质，包括定义、性质、公式以及与其他几何形状的比较。
定义正方形是一种具有以下特点的四边形：- 所有边的长度相等- 所有角的大小都是90度- 对角线的长度相等且互相平分性质正方形具有以下性质：1. 边和角度正方形的四条边长度相等，记为a。
每个角都是90度，因此正方形是一种直角四边形。
这也意味着它的两个相邻边是垂直的，形成直角。
2. 对角线正方形的对角线长度相等，记为d。
对角线互相平分，即将正方形分为两个完全相等的直角三角形。
由勾股定理可知，对角线的长度与边长之间存在以下关系：d² = a² + a² = 2a²，推导可得d = a√2。
3. 周长和面积正方形的周长可以通过四条边的长度相加得到：周长 = 4a。
正方形的面积可以通过边长的平方得到：面积 = a²。
4. 对称性正方形具有四个对称轴，分别是垂直轴、水平轴和两个对角线。
这些对称轴可以帮助我们进行对称性的判断和几何问题的求解。
公式正方形的一些常用公式如下：周长公式正方形的周长可以通过以下公式计算：周长 = 4a，其中a为正方形的边长。
面积公式正方形的面积可以通过以下公式计算：面积 = a²，其中a为正方形的边长。
对角线长度正方形的对角线长度可以通过以下公式计算：对角线长度d = a√2，其中a为正方形的边长。
与其他几何形状的比较正方形是一种特殊的长方形，也是一种特殊的平行四边形。
相比于长方形，正方形的边长更加均匀，并且正方形的对角线长度较长。
相比于平行四边形，正方形的所有边长相等且所有角度都是直角。
结论正方形是一种独特而重要的几何形状。
它具有特殊的性质，包括相等边长、直角角度以及对称性。
正方形的性质可以在几何学、物理学以及其他领域中得到广泛的应用和研究。
正方形和长方形的性质
正方形和长方形的性质正方形和长方形是我们日常生活中常见的两种几何形状。
虽然它们都属于四边形，但在性质和特点上有许多不同之处。
本文将分别探讨正方形和长方形的性质，帮助我们更好地理解和区分它们。
一、正方形的性质正方形是一种四边相等且四个角度均为直角的特殊矩形。
下面将详细介绍正方形的性质。
1. 边长相等：正方形的四条边长都相等，记为a。
2. 角度：正方形的四个角都是直角，即每个角度为90度。
3. 对角线：正方形的两条对角线相等且互相垂直，记为d。
4. 对称性：正方形具有对称性，其对称轴包括对角线、中垂线等。
5. 面积和周长：正方形的面积可表示为a的平方，即A = a²；周长为4a。
6. 详略：正方形具有简洁明了的几何特点，符合对称美的审美标准，广泛应用于建筑、绘画等领域。
二、长方形的性质长方形是一种具有两对对边平行且相等的四边形。
接下来将详细介绍长方形的性质。
1. 边长：长方形的相邻边长度可以不相等，分别记为a和b，其中a 和b为正数。
2. 角度：长方形的每个内角都是90度，即四个角均为直角。
3. 对角线：长方形的两条对角线相等，但不一定互相垂直。
4. 对称性：长方形同样具有对称性，其对称轴包括中垂线、中轴线等。
5. 面积和周长：长方形的面积可表示为a乘以b，即A = a*b；周长为2(a + b)。
6. 多样性：长方形有着丰富的变化形式，如正规长方形（a = b），狭长的长方形（a较大），或宽较大的长方形（b较大）。
三、正方形与长方形的异同正方形和长方形有着共同之处，如都是四边形和具有对称性。
但它们也存在一些差异。
1. 边长：正方形的四条边完全相等，而长方形的边长可以不同。
2. 角度：正方形的四个角均为直角，而长方形的每个内角仍然是直角。
3. 对角线：正方形的两条对角线相等且互相垂直，长方形的对角线仅相等。
4. 面积和周长：正方形的面积计算简单，只需边长平方；长方形的面积则需乘以两个相邻边长。
正方形的判定与性质
正方形的判定与性质引言正方形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特征。
本文将介绍如何判定一个四边形是否是正方形以及正方形的性质。
判定正方形判定一个四边形是否是正方形可以从不同角度进行考虑。
以下是几种常见的判定方法：1.边长相等一个四边形的四条边长度相等是判定其是否为正方形的一个重要条件。
如果一个四边形的4条边都相等，则可以认为它是正方形。
2.角度相等正方形的特征之一是它的四个角都是直角（90度）。
因此，如果一个四边形的四个角都是90度，则可以判定它是正方形。
3.对角线相等正方形的两条对角线相等且互相平分对方，也是判定一个四边形为正方形的条件之一。
如果一个四边形的对角线相等且平分对方，则可以认为它是正方形。
正方形的性质除了以上的判定条件外，正方形还具有许多独特的性质和特征。
以下是一些常见的正方形性质：1.对称性正方形具有4个对称轴，分别为水平轴、垂直轴和两条对角线。
这意味着正方形可以通过沿着这些轴进行翻转而保持不变。
2.面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于4倍边长。
这是正方形最基本的面积和周长公式。
3.相似性正方形与自身全等且相似。
这意味着可以通过变换、旋转和缩放等操作得到无数个相似的正方形。
4.内角和外角正方形的内角都是90度，外角则是270度。
这是正方形内角和外角之间的关系。
结论正方形的判定和性质是数学中的基础知识，对于理解几何形状和解决实际问题都非常重要。
通过判定其边长、角度和对角线是否满足特定条件，我们可以判断一个四边形是否是正方形。
正方形具有对称性、特定的面积和周长公式，以及内角和外角的特征。
通过研究正方形的性质，我们可以深入理解几何形状和它们之间的关系。
正方形的性质及判定
正方形的性质及判定1•正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形•它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等.②角的性质：四个角都是直角.③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角.④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形.平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3.正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定②：有一个角是直角的菱形是正方形.―、正方形的性质【例1】正方形有条对称轴.【例2】已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则S:S正方形BDEF正方形ABCD【例3】如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AE丄AF，AF=20，则BE的长为【例4】如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1,BF=2，Z GEF=90。
，则GF的长为.【例5】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A,A ，…，A 分别是正方形的中心，则n 个正12n方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC,BD 的交点，过点O 作OE 丄OF ，分别交AB ，CD 于E ，F ，若AE =4,CF =3，则EF =【例7】如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM 丄BC 于M ，PN 丄BD 于N ，则PM+PN的值为【例8】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE =CE .A EB FD例11】 【例9】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE 丄BC 于E ,PF 丄CD 于F .求证：AP=EF .【例10】如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ,MN 〃AB ,且分别与AO 、BO 交于M 、N .试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程.如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且A ABP 为等边三角形，那么Z DCP =【例12】已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使ED ：AD =2FC :AC ，求证：A BEF 是等腰直角三角形．【例13】如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若Z EAF=50。
正方形性质知识点总结初中
正方形性质知识点总结初中一、正方形的定义和基本性质1. 正方形的定义：正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等，且四个角度都是90度。
2. 正方形的特点：正方形具有对称性，对角线相等且相交于90度，具有相等的周长和面积。
3. 正方形的性质：正方形是一种特殊的矩形，所以它具有矩形的所有性质，如对角线相等、相互垂直、相对边相等等。
二、正方形的周长和面积1. 周长：正方形的周长等于四条边的长度之和，即4×边长。
2. 面积：正方形的面积等于边长的平方，即边长×边长。
三、正方形的性质应用1. 判定正方形：在题目中给出一个四边形，要求判断是否是正方形，可以通过是否满足四条边相等或对角线相等、四个角度都是90度来判断。
2. 计算正方形的周长和面积：在题目中给出正方形的边长或对角线长度，要求计算周长和面积，可以直接使用正方形的公式进行计算。
3. 利用正方形的性质解题：在解决实际问题时，可以利用正方形的性质来求解，如确定正方形的边长、对角线长度等。
四、与正方形相关的定理1. 等腰直角三角形：正方形是一种特殊的等腰直角三角形，因为它具有两条对边相等且对角度都是90度。
2. 等边三角形：正方形也是一种特殊的等边三角形，因为它的四条边都相等。
3. 锐角直角钝角三角形：正方形是一种特殊的矩形，所以它也具有矩形的性质，如对角线相等、相互垂直等。
五、常见的正方形相关题型1. 判断题型：例如给出一个四边形，要求判断是否是正方形。
2. 计算题型：例如给出正方形的边长，要求计算周长和面积。
3. 应用题型：例如给出一个正方形的对角线长度，要求求解正方形的边长。
六、学习方法和技巧1. 理解定义：首先要深刻理解正方形的定义和基本性质，掌握其特点和特殊性。
2. 记忆公式：正方形的周长和面积的计算公式是必须要记忆和掌握的，可以通过多练习来加深记忆。
3. 多做题：通过多做相关的练习题，可以加深对正方形性质的理解和掌握。
4. 应用实际问题：在解题过程中，可以结合实际问题来应用正方形的性质，从而更好地理解和掌握。
小学数学知识点认识正方形的特征与性质
小学数学知识点认识正方形的特征与性质正方形是小学数学中最基本的几何图形之一，它具有一些独特的特征和性质。
通过了解正方形的特点，我们可以更好地认识和理解这个几何图形。
本文将系统地介绍正方形的特征和性质，帮助小学生更好地掌握数学知识。
1. 正方形的定义正方形是一个具有四条边相等、四个角都是直角的四边形。
它的每条边都相等，每个角都是90度。
正方形可以看作是矩形的一种特殊情况，也可以看作是菱形的一种特殊情况。
正方形的对角线相等且相互垂直，是它独特的特点。
2. 正方形的特征正方形的特征有三个方面：边长、对角线和对称性。
- 边长：正方形的四条边都相等。
- 对角线：正方形的对角线相等且相互垂直。
- 对称性：正方形具有四个对称轴，分别是水平对称轴、垂直对称轴和两条对角线。
这意味着正方形可以通过旋转、翻转和折叠得到相等的图形。
3. 正方形的性质正方形具有一些独特的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和计算。
以下是几个常见的性质：- 周长和面积：正方形的周长等于四条边的长度之和，即4倍边长。
面积等于边长的平方。
- 对角线长度：正方形中，对角线的长度可以通过边长来计算。
根据勾股定理，对角线的长度等于边长的平方根的2倍。
- 内角和外角：正方形的内角都是90度，外角都是270度。
这意味着正方形的内角和为360度，外角和为1,080度。
- 正方形与其他几何图形的关系：正方形是矩形的特例，也是菱形的特例。
它具有矩形的所有性质，如平行四边形的性质和对角线的性质。
同时，正方形也具有菱形的特点，如对称性和等长对角线。
通过了解正方形的特征和性质，我们能够更好地应用数学知识解决问题。
在几何学中，正方形是非常常见的图形，在日常生活中也能经常遇到。
掌握了正方形的特征和性质，我们能够更好地认识和理解这个几何图形，在解决实际问题时能够灵活运用。
总结：正方形是小学数学中最基本的几何图形之一，它具有四条边相等、四个角都是直角的特点。
正方形的对角线相等且相互垂直，具有对称性。
正方形的性质
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设计：正方形在平面设计中常用 于布局和排版，如海报、网页等
包装：正方形在包装设计中常用 于制作包装盒、包装袋等
建筑设计：正方 形是建筑设计中 常用的形状，如 窗户、门、墙壁 等
绘画和雕塑：正 方形是绘画和雕 塑中常用的形状， 如正方形的画框、 雕塑等
手工艺品：正方 形是手工艺品中 常用的形状，如 正方形的剪纸、 折纸等
面积公式：S=a^2
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边长为a的正方形，面积等于a^2
面积计算方法：边长乘以边长
正方形有四个直 角，每个角都是 90度
正方形的对角线 互相垂直，且平 分
正方形的对角线 相等，且互相平 分
正方形的边长和 面积可以通过对 角线长度计算
对称轴：正方形有四条 对称轴，分别是两条对 角线、两条边
对称中心：正方形有四 个对称中心，分别是四 个顶点
对称性：正方形具有旋 转对称性，可以绕任意 一个顶点旋转90度， 保持形状不变
对称群：正方形的对 称群是D4，即四元 旋转群，包括四个元 素：旋转0度、90度、 180度、270度
建筑：正方形是建筑设计中常用 的形状，如房屋、桥梁等
家具：正方形在家具设计中常用 于制作桌子、椅子等
起源：古代埃及和巴比伦时期， 人们就已经开始使用正方形
应用：古代建筑、雕塑、绘画等 领域广泛使用正方形
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早期发展：古希腊时期，数学家 欧几里得在《几何原本》中定义 了正方形
演变：随着数学的发展，正方形 的概念逐渐完善，成为几何学中 的重要概念
基础图形：正 方形是数学和 几何学中最基 本的图形之一， 具有重要的地
正方形的性质及判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】 正方形有 条对称轴．【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】 如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】 如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例23】 如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。
正方形的性质
正方形的性质正方形是一种具有特殊性质的四边形。
它的四条边相等且四个内角均为直角。
在几何学中，正方形是一种基本的多边形，具有许多独特的性质和特点。
本文将重点探讨正方形的性质，以及展示其在日常生活和数学中的应用。
一、正方形的基本性质正方形具有以下几个基本性质：1. 边长相等：正方形的四条边完全相等，每条边都具有相同长度。
2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角，每个角度为90度。
3. 对角线相等且垂直平分：正方形的对角线长度相等，并且相互垂直平分对方角。
4. 两个相邻内角互补：正方形的相邻内角互补，即两个相邻内角的和为180度。
5. 具有轴对称性：正方形具有轴对称性，其中每条对角线都是轴线。
二、正方形的面积和周长正方形的面积和周长是研究正方形最常用的两个指标。
1. 面积（A）：正方形的面积可以通过边长（a）的平方来计算，即A = a²。
例如，如果正方形的边长为5个单位，则其面积为25个单位。
2. 周长（P）：正方形的周长可以通过边长（a）乘以4来计算，即P = 4a。
例如，如果正方形的边长为5个单位，则其周长为20个单位。
正方形的面积和周长的计算公式可以在建筑设计、土地测量等领域中得到广泛应用。
三、正方形的应用正方形作为一种常见的几何形状，在日常生活和数学中有许多实际应用。
1. 建筑设计：正方形的特殊性质使其在建筑设计中得到广泛应用。
例如，建筑物的门窗常常采用正方形的设计，以便更好地利用空间，并使建筑物的外观更加均衡。
2. 棋盘游戏：正方形是棋盘游戏（如国际象棋和围棋）的基本元素之一。
棋盘上的方格通常是正方形的，一方的角色在棋盘上移动，并根据规则进行对局。
3. 数学研究：正方形作为一种简单且易于研究的几何形状，经常出现在数学研究中。
数学家使用正方形来探索几何性质、计算面积和周长，以及解决各种几何问题。
4. 艺术设计：正方形在艺术设计中也经常出现。
许多艺术作品使用正方形的几何元素来打造平衡、稳定的图案或空间。
正方形知识点总结
正方形知识点总结
性质：
1.四边等长：正方形的四条边长度都相等。
2.四个内角均为90度：正方形的每个内角都是90度。
3.对角线相等：正方形的两条对角线长度相等。
4.相对边平行且相等：正方形的对边是平行且相等的。
周长：
正方形的周长可以通过四条边的长度之和来计算，即周长=4×边长。
面积计算：
正方形的面积可以通过两种方法来计算，一种是利用正方形的边长，另一种是利用对角线
的长度。
1.利用边长计算：正方形的面积等于边长的平方，即面积=边长×边长。
2.利用对角线计算：正方形的面积等于对角线的平方除以2，即面积=（对角线长度）^2/2。
相关定理：
1.垂直平分线定理：正方形的对角线互相垂直且相互平分。
2.对角线长度定理：设正方形的边长为a，则其对角线的长度为sqrt(2)a。
3.角度定理：正方形的每个内角都是90度。
4.对边平行定理：正方形的对边是平行的。
以上就是关于正方形的性质、周长、面积计算和相关定理的知识总结。
正方形是一种简单
却重要的几何形状，它具有许多独特的性质和规律，对于我们理解几何学和应用数学都有
着重要意义。
希望本文对您理解和掌握正方形的知识有所帮助。
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课题：正方形（性质）
授课人：冯光军
教学目标
知识目标：
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质．
能力目标：
经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
情感目标：
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
教学重点、难点、关键
重点：探索正方形的性质．
难点：掌握正方形的性质．
关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．
教学准备
教师准备：矩形纸片，活动的菱形框架．
学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质，预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，•在取得一定的经验的基础上，认知正方形．
2．知识线索：
3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．
教学过程
一、合作探究，导入新课
显示内容：举出生活中有关正方形例子，展示出正方形图片。
【活动方略】
教师活动：边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？•四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察展示的正方形图片．进行联想．易知：1．•正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．
实验活动：教师拿出矩形折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形是正方形．
教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．
正方形性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．
是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．
二、实践应用，探究新知
【课堂演练】
演练题：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，•且分别与OA、OB相交于M、N．
求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．
思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON 是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，•就可以了．【活动方略】
教师活动：组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再讲解．
证：（1）•∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，
∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，
又∵∠1=•∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON，
∴△CON≌△BOM，∴BM=CN．
（2）由（1）知△BOM•≌△CON，
∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，
∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．
【设计意图】关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力．
三、随堂练习，巩固深化
1、要使一个平行四边形成为一个正方形，则需要增加的条件是
（填上一个正确的即可）
2．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，•面积是________．
3．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，•则∠AFC=________．
4．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
4．四条边都相等的四边形一定是（ ）
A ．正方形
B ．菱形
C ．矩形
D ．以上结论都不对
四、课堂总结，发展潜能
【问题提出】 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：
边 角 对角线
平行四边形
矩形
菱形
正方形
五、布置作业。
1．课本P104 练习1、2、3。