函数教学(正式)

谈高中数学课程中函数的教学

石光华侨联合中学朱珊珊

函数是中学数学的核心内容。在整个中学数学课程中充当着联系各部分代数知识的“纽带”，同时也为解析几何学习中所需的数、形结合思想奠定了基础。函数的学习，标志着从常量数学学习开始进入变量数学学习。理解函数要求学生在思维中构建一个过程，来反映函数可能出现的一个情形(解析式、表格或图象表示)，对定义域中每一个特定值都得到唯一一个函数值的这种动态变化过程。同时，还要把函数的三个成分—对应关系、定义域和值域浓缩为一个对象来把握。因此，函数的学习促使数学思维方式发生了重大的转折：思维从静止走向了运动、从离散转向了连续、从运算转向了关系、从单一的数（式）转向了数与形的相得益彰，进一步增加了数学的抽象性程度和形式化程度，使思维超越了形式逻辑，进入了辨证逻辑思维。从教材本身来讲，这部分内容涉及的概念较多且抽象，并对各种数学思想的运用提出了一定的要求，而从历年的高考试题来看，函数内容一直都是“重头戏”，因而既是重点又是难点。

中学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期，思维水平基本上停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、分隔地、抽象地认识所学的事物，对函数概念不能正确全面地理解。无论是用变量形式描述的传统定义，还是用映射观点阐述的近代定义，学生都容易产生函数即解析式的偏见。这除了跟学生初中接触的函数定义域为整个实数域（仅反比例函数定义域为x 0），一定程度上形成思维的定势有关外，另一方面也跟函数概念教学时强调构成函数必须有定义域，对应法则、值域三个要素的力度不够有关。诚然函数的核心部分是对应法则，但在解题过程中对定义域、值域不能全面考虑、权衡，将局部性质特征认为是全体的，或对某区间内函数是否有定义没有判断清楚就盲目解题，造成性质运用时的错误。增国光老师在《在中学生函数概念认知发展研究》一文中指出，学生函数概念的认知发展有三个阶段：作为“算式”的函数；作为“变化过程”的函数；作为“对应关系”的函数。贾丕珠教授在《函数学习中的六个认知层次》一文指出，函数知识建构可分为6个层次，即经历认识变量；突出关系；区别函数与算式；掌握“对应”；把握形式化描述；形成函数对象等主要环节。这些都说明了学生对函数概念的学习理解，必然要贯穿于整个中学数学课程的学习活动之中，经历循环渐进的过程才可以。

因此，函数概念的教学设计、安排，需要从整个中学数学课程的全局来考虑，也就成了必然！

高中数学课程中函数的教学，首先要清楚在整个中学数学课程，与函数教学相关的内容及其对函数学习的影响。清楚了函数与中学数学课程中各部分内容的联系后，就可以根据学生的思维水平，及其在中学数学课程的相应阶段，合理确定函数教学的目标，克服函数教学中的难点。一般来讲，解决函数教学中的难点可采用以下对策：

1、全面理解函数概念是突破难点的前题。

由于教材编排的顺序原因，利用函数性质解题的能力是不可能在高一时就得到综合和深化，学生的认识能力还有一定的局限性，所以注意早期渗透。象函数这样的核心概念，它的学习需要学生对一些相关内容有初步的认识和理解，比如：数学符号、变量的认识、变量间制约关系等。因此教学中，虽然不属函数教学的内容，但教师应着眼于整个数学课程，在教学中有意识地逐步渗透给学生一些视角和想法。性质是建立在概念的基础上，因此打实基础，全面理解概念就成了提高认知能力，掌握函数性质的前题。比如对函数概念的理解，必须突出三要素，如何突出三要素呢？只凭纯字面的解释显然达不到应有的深度，可通过精心设计一些选择题、判断题让学生训练，通过训练让学生对构成函数的三要素有较清醒的认识。只有两个函数的三要素全部相同时才可以认为是同一函数。

例题、下列函数中表示同一函数的是（ ）

A 、2(),()f x x g x ==;

B 、(),()f x x g x ==

; C 、0()1,()f x g x x ==; D 、,0

,0(),(){x x x x f x x g x >-<==

此题的意图在于让学生正确判定函数的定义域、值域和对应法则之间相互依赖和相互制约的实质，明确判断同一函数的条件，学会如何进行分析而得到正确结论。

2、明确函数性质的区域性是突破难点的重要方面。

函数性质的研究是一个很大的课题，但就中学数学中所涉及的内容来讲，主要是函数在定义区间内的一些直观性质，它的前题是区域性。如奇偶性指的是关于原点对称的区间上的性质，若区间不对称就无奇偶性可言，而单调性是函数在定义域内某子区间上的特性，比如在研究一些常见函数构成的复合函数时，如何根据一般函数的性质来判断和证明复合函数的有关性质，往往是学生的思维障碍所在。为了克服这一思维障碍，首先让学生熟悉几种常见函数的性质，其次在解题的思考中，应让学生学会分析每一次的交换中函数的定义域是否有变化，有关性质在变换后是否同样还能适用。

例题、设函数()22()log 3221f x k x kx k ⎡⎤=---+⎣⎦，求使f(x)在)0,(-∞内单调递减，而在),1(+∞内单调递增的实数K 的范围。

分析：在此题求解过程中，首先使学生思维受阻的是对函数f(x)的两个单区间的处理，因为底数大于1，若令g(x)=(3-2k)x-2kx-k+1，则g(x)和f(x)在)0,(-∞和),1(+∞内的单调性相同。因此让学生正确判断单调区间就成了顺利求解的关键，又因函数定义域知在)0,(-∞和),1(+∞内必须有g(x)>0，显然g(0)、g(1)都大于等于0。通过以上分析，让同学们再列式求解就较容易了。列式如下：

023>-k

1230≤-≤k k

01)0(≥+-=k g

045)1(≥+-=k g , 从而得出 54

0≤≤k .

3、利用函数图像的直观性是突破难点的有效方法。

函数图像是函数关系的一种直观表示，是用图形语言形象地表示函数的一种方式，它可以帮助学生方便地理解和记忆函数的有关性质，处理一些其他语言无法表达的思维过程，解题时往往行之有效，可迅速找出解题入口。因此，解题时若能充分利用图形语言，合理用图，往往能收到事半功倍的效果。在教学中可通过图像分析。要求学生熟记一些常用函数的图像特征，借助图像来思考、解题。以达到化繁为简，化难为易的目的。

例题、若方程2

22log ()log ()a a x ka x a -=-有解，求实数k 的范围。 分析：若归结为不等式组

22a x ka x -=-

0>-ka x

022>-a x

来求解，显然运算量较大。

为此可构造函数y=x-ka ，y =

，并在同一坐标系中作出它们的图像，根据它们的位置关系可确定K 的范围:

由图不难得0<-<-ka a 或a ka >-，

所以 )1,0()1,( --∞∈k

事实上利用函数图像求解上题可以认为是最简便有效的。一般来讲，利用图形语言，对讨