2019届陕西省高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

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陕西省高2019届第二次教学质量检测理科数学试题(Word版)

风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生陕西省高2019届第二次教学质量检测理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共计150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，请将试题（卷）和答题纸上密封线内的项目填写清楚.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔填涂在答题卡上.3. 非选择题用黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，在试题（卷）上作答无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}0log |,22|2>=<<-=x x N x x M ，则N M 为（）A.()2,2-B. ()+∞,1C. ()2,1D. ()+∞-,22. 已知复数z 满足251iz +-=，则=z （） A.3 B.26 C.4 D. 2263. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+104x x y y x ，则目标函数22y x z +=的最大值为（） A.6 B.10 C.22 D.74. 已知命题:p 对0>∀x ，总有x x sin <；命题:q 直线012:1=++y ax l ，()011:2=--+y a x l 若21//l l ，则12-==a a 或；则下列命题中是真命题的是（）A.q p ∧B. ()()q p ⌝∧⌝C. ()q p ∨⌝D. qp ∨风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生 5. 陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言。

景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（） A.32 B. 21 C. 51 D. 52 6. 右图是计算10181614121++++值得程序框图，其中判断框内应填入的条件是（） A.5≥k B. 5<k C. 5>k D. 6≤k 7. 已知点()8,2在幂函数()n x x f =图像上，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=45log ,45,54212.03.0f c f b f a ，则c b a ,,的大小关系是（）A.c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >>8. 要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=122sin πx y 的图像，只需将函数x y sin =的图像经过下列两次变换而得到的（） A. 先将x y sin =的图像上各点的横坐标缩短为原来的一半，再将所得图像向左平移6π个单位 B. 先将x y sin =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图像向左平移24π个单位 C. 先将x y sin =的图像向左平移12π个单位，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半 D. 先将x y sin =的图像向左平移12π个单位，再将所得图上各点的横坐标伸长为原来的2倍 9. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（） A.2 B. 22 C. 6 D.210. 已知抛物线x y 42=的准线过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点，且与双曲线交于B A ,两点，O为坐标原风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生点，且AOB ∆的面积为23，则上双曲线的离心率（） A. 23 B. 4 C. 3 D.211. 一布袋中装有n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（）A. 若9=n ，则乙有必赢的策略B. 若7=n ，则甲有必赢的策略C. 若6=n ，则甲有必赢的策略D. 若4=n ，则乙有必赢的策略12. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,x x x e x x f x ，又函数()()()()R t x tf x f x g ∈++=12有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是（） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞-e e 1,2 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,12e e C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2,12e e D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+e e 1,22第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13. 若⎰⎰⎰===2132122121,1,dx e S dx xS dx x S x ，则321,,S S S 的大小关系为____________<<. 14. 公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则_________log 152=a . 15. 圆122=+y x 的任意一条切线与圆422=+y x 相交于()()2211,,,y x B y x A 两点，O 为坐标原点，则_______2211=+y x y x . 16. 在实数集R 中定义一种运算“＊”，具有性质：(1) 对任意a b b a R b a *=*∈,,；(2) 对任意00,=*a a ；风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生(3) 对任意()()()()c c b c a ab c c b a R b a 5,,-*+*+=**∈.则函数()()01>*=x xx x f 的最小值为_____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17. （本小题12分）赛道，AE BA CB DC ED ,,,,为赛道（不考虑宽某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车4,32==∠=∠=∠DE BAE CDE BCD πkm, 度），BE 为赛道内的一条服务通道，km CD BC 3==.(1) 求服务通道BE 的长度；(2) 应如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长？18. （本小题12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示(1) 由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月代码x 之间的关系，求y 关于x的风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；(2) 甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有B A ,两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对B A ,两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其它成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：371,966161==∑∑==i i i i i y x y . 参考公式：回归直线方程为()()()∑∑==-=--=+=n i i ni i i x x y y x x b a x b y 12196ˆ,ˆˆˆ其中.风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生19. （本小题12分）如图所示，等腰梯形ABCD 的底角︒=∠=∠60ADC BAD ，直角梯形ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，且222,90====︒=∠AB AF AD ED EDA .(1) 证明：平面EBD ABE 平面⊥；ECD 所成角的锐二面角的余弦值为43. (2) 点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面20. （本小题12分）已知21,F F 为椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，点()3,2P 为其上一点，且821=+PF PF . (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线4:-=kx y l 交椭圆C 于B A ,两点，且原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求k 的取值范围.风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生21. （本小题12分）函数()()x at x x f ++=ln ，其中a t ,为实常数.(1) 若0=t 时，讨论函数()x f 的单调性；(2) 若0=t 时，不等式()1≥x f 在(]1,0∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围；(3) 若()x ae x g x +=，当2≤t 时，证明：()()xf xg >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4—:4：坐标系与参数方程】（本小题10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生 02:,0:222221=-+=-+y y x C x y x C .(1) 以过原点的直线的倾斜角θ为参数，写出曲线2C 的参数方程；(2) 直线l 过原点，且与曲线21,C C 分别交于B A ,两点（B A ,不是原点），求AB 的最大值.风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生23. 【选修4—:5：不等式选讲】（本小题10分）已知对任意实数x ，都有042≥--++m x x 恒成立.(1) 求实数m 的取值范围；(2) 若m 的最大值为n ，当正实数b a ,满足623154nb a b a =+++时，求b a 74+的最小值.风声雨声读书声声声入耳热点难点疑难点点点关注拼一分高一分一分成就一生。

陕西省汉中市2019届高三第二次教学质量数学(理)

陕西省汉中市2019届高三第二次教学质量数学（理）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|13A x x =-≤≤，|B x y ⎧==⎨⎩，则A B =（） A ．[]1,3- B ．[]1,3C ．(1,3]D ．(1,3]-2.复数21z i=-+，则（） A ．z 的虚部为1-B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的共轭复数为1i +3.在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机选取一个实数x ，则事件“sin 2x ≥”发生的概率为（） A ．1B ．14C ．13D ．164.已知双曲线C 的方程为22149y x -=，则下列说法正确的是（）A ．焦点在x 轴上B ．虚轴长为4C ．渐近线方程为230x y ±=D 5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时3()log (6)3f x x a a =++-，则()f a =（） A ．9B ．6C ．3D ．16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A ．120B ．60C ．24D ．207.已知圆的半径为1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且AB AC AD +=，则ABC∆面积的最大值为（）A ．1B C D ．28.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若2AB =，3BC =，4PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．13πB ．20πC ．25πD ．29π9.秦九昭算法是南宋时期数学家，秦九昭提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法框图如图所示，若输入的0a ，1a ，2a ，…，n a 分别为0，1,2，…，n ，若4n =，根据算法计算当1x =时多项式的值，则输出的结果是（）A ．3B ．6C ．10D ．1510.已知实数x ，y 满足1,49,3,x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩给x ，y 中间插入5个数，这7个数构成以x为首项，y 为末项的等差数列，则这7个数和的最大值为（） A ．49B ．634C ．212D ．49211.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的部分图象如图所示，则()f x 的图象向右平移2个单位后，得到()g x 的图象，则()g x 的解析式为（）A．()8xg xπ=B．()8xg xπ=-C．()8xg xπ=D．()8xg xπ=-12.已知函数ln,2,()2,2,xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩函数()()g x f x m=-恰有一个零点，则实数m的取值范围为（）A．ln21(0,)(,4]2eB．1(,0)(,4)e-∞C．1(,0](,4]e-∞D．1(,4]e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列的值为。

2019届陕西省渭南市高三第二次教学质量检测数学(理)试题解析

绝密★启用前2019届陕西省渭南市高三第二次教学质量检测数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3答案：A依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-.2．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i + B ．1i -C ．iD ．i -答案：C直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．解析：由()11z z i -=+得：()()()211111i iz i i i i ++===-+- 本题正确选项：C 点评：本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．3．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．答案：B根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．3B ．3-C ．3±D ．13答案：B利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．解析：1cos 3α=-Q ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 3α∴===()sin sin 3παα∴+=-=-本题正确选项：B 点评：本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．5．设0.20.321,log 3,22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（） A ．b c a >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．a c b >>答案：C由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可. 解析：由题意可得：()0.210,12a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，2log 31b =>，()0.30.3120,12c -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故0.20.31122⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，综上可得：b a c >>. 故选：C. 点评：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u v u u u u v，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v等于（）A ．49B ．49-C ．43D ．43-答案：B由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u ru u u u r可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．解析：解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r∴P 是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r2||PA AP PA u u u r u u u r u u u r =⋅=-又∵AM ＝1∴2||3PA =u u u r∴()49PA PB PC ⋅+=-u u u r u u u r u u u r故选B ．点评：判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 或222AP BP CP ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．7．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 答案：D根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确；回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误．故选D ．8．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13答案：B基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率．解析：在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P == 本题正确选项：B 点评：本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．9．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度答案：A 解析：由()f x 的最小正周期是π，得2ω=，即()sin(2)4f x x π=+cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2()8x π=-，因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ．【考点】函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：10．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．23D ．43答案：A由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，2AD =，3AE =2AB =.∴该几何体的体积为1232232V =⨯= 故选A.11．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PF PA的最小值为（）A ．12B ．22C ．3 D ．223答案：B通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．解析：解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±，所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=．故选：B ．点评：本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为3,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( ) A ．34B ．7 C ．377D ．7 答案：C设D 为AB 中点,先证明CD ⊥平面PAB ，得出CPD ∠为所求角,利用勾股定理计算,,PA PD CD ,得出结论．解析：设,D E 分别是,AB BC 的中点AE CD F =IPA ⊥Q 平面ABC PA CD ∴⊥ABC ∆Q 是等边三角形 CD AB ∴⊥又PA AB A =ICD \^平面PAB CPD ∴∠为PC 与平面PAB 所成的角ABC ∆Q 是边长为233CD AE ∴==，223AF AE ==且F 为ABC ∆所在截面圆的圆心 Q 球O 的表面积为20π ∴球O 的半径5OA 221OF OA AF ∴=-=PA ⊥Q 平面ABC 22PA OF ∴== 227PD PA AD ∴=+=37tan 77CD CPD PD ∴∠===本题正确选项：C 点评：本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．二、填空题13．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线为2y x =,则焦点到这条渐近线的距离为_____．答案：2.由双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线为2y x =，解得b ．求出双曲线的右焦点(),0c ，利用点到直线的距离公式求解即可．解析：Q 双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线为2y x = 21b ∴=解得：2b = c ∴==∴双曲线的右焦点为)∴2=本题正确结果：2 点评：本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题．14．函数xy axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____．答案：1.求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．解析：Q 函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-垂直,∴函数x y axe =的图象在0x =的切线斜率1k =()x x f x ae axe '=+Q ()01f a '∴==本题正确结果：1 点评：本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．15．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=__________．答案：120︒∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =︒．16．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()1,1对称,()()311g x x =-+,若函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点为112220192019,,,,()()(),,x y x y x y ⋯,则()20191iji x y =+=∑_____．答案：4038.由函数图象的对称性得：函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点关于点()1,1对称，则120192201832017101022x x x x x x x +=+=+=⋅⋅⋅==，120192201832017101022y y y y y y y +=+=+=⋅⋅⋅==,即()201914038i j i x y =+=∑，得解．解析：由()()311g x x =-+知：()()22g x g x +-=得函数()y g x =的图象关于点()1,1对称又函数()f x 的图象关于点()1,1对称则函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点关于点()1,1对称则120192201832017101022x x x x x x x +=+=+=⋅⋅⋅==120192201832017101022y y y y y y y +=+=+=⋅⋅⋅==故12201820192019x x x x ++⋅⋅⋅++=，12201820192019y y y y ++⋅⋅⋅++=即()201914038iji x y =+=∑本题正确结果：4038点评：本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．三、解答题17．已知等比数列{}n a ,其公比1q >,且满足2312a a +=,2a 和4a 的等差中项是10． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若n n b na =,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使12140n n T n +-⋅+=成立的正整数n的值．答案：(Ⅰ) 2nn a =.(Ⅱ) 3n =.(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(Ⅱ)2nn n b na n ==⋅，由数列的错位相减法求和可得n T ，解方程可得所求值．解析：(Ⅰ)等比数列{}n a ,其公比1>q ,且满足2312a a +=,2a 和4a 的等差中项是10即有21112a q a q +=，3241120a a a q a q =+=+解得：12a q == 2nn a ∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：2nn n b na n ==⋅ 则231222322nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅相减可得：()231121222222212n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-化简可得：()1212n n T n +=+-⋅12140n n T n +-⋅+=，即为11620n +-=解得：3n = 点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．18．每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X表示抽到“很幸福”的人数,求X的分布列及()E X．答案：(Ⅰ)199204. (Ⅱ)见解析.(Ⅰ)18人中很幸福的有12人，可以先计算其逆事件，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量23,3X B⎛⎫⎪⎝⎭:，列出分布列，根据公式求出期望即可．解析：(Ⅰ)设事件{A=抽出的3人至少有1人是“很幸福”的}，则A表示3人都认为不很幸福()()363185199111204204CP A P AC∴=-=-=-=(Ⅱ)根据题意，随机变量23,3X B⎛⎫⎪⎝⎭:，X的可能的取值为0,1,2,3()3311327P X C⎛⎫===⎪⎝⎭；()2132121339P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭；()2232142339P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭；()333283327P X C⎛⎫===⎪⎝⎭所以随机变量X的分布列为：X0123P1272949827所以X 的期望()124801232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型．19．已知ABC ∆是等腰直角三角形,,22ACB AC π∠==．,D E 分别为,AC AB 的中点,沿DE 将ADE ∆折起,得到如图所示的四棱锥1A BCDE -．(Ⅰ)求证：平面1A DC ⊥平面1A BC ．(Ⅱ)当三棱锥1C A BE -的体积取最大值时,求平面1A CD 与平面1A BE 所成角的正弦值．答案：(Ⅰ)见解析. (Ⅱ)63. (I)证明DE ⊥平面1A CD 得出BC ⊥平面1A CD ，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当1A D ⊥平面BCDE 时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案．解析：(I)证明：2ACB π∠=Q AC BC ∴⊥,D E Q 分别为,AC AB 的中点 //DE BC ∴ DE AC ∴⊥DE CD ∴⊥，1DE A D ⊥，又1A D CD D =IDE ∴⊥平面1A CDBC ∴⊥平面1A CD ，又BC ⊂平面1A BC∴平面1A DC ⊥平面1A BC(II)11C A BE A BCE V V --=Q ，BCE S V 为定值∴当1A D⊥平面BCDE时，三棱锥1C A BE-的体积取最大值以D为原点,以1,,DC DE DA为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz-则()()()11,2,0,0,1,0,0,0,1B E A()1,1,0BE∴=--u u u v，()10,1,1EA=-u u u v设平面1A BE的法向量为(),,n x y z=v，则1m BEm EAu u u vvu u u vv⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即x yy z--=⎧⎨-+=⎩，令1x=可得()1,1,1n=--vDE⊥Q平面1A CD()0,1,0n∴=v是平面1A CD的一个法向量3cos,31m nm nm n⋅∴<===⨯>r rr rrr∴平面1A CD与平面1A BE236133⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭点评：本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题．20．已知定点()30A-,，()3,0B，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为19-，记动点M的轨迹为曲线C。

陕西省2019届高三第二次联考数学(理)试卷及解析高考资料高考复习资料中考资料

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2019年最新陕西省高考数学二模试卷(理科)及答案解析

陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2 B． C． D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．556．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．1507．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．328．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．a C．b D．c9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．210．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤ D．②③⑤11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m=______．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为______．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则=______．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC的面积．18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE 夹角的余弦值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合A、B，求出∁R B，再求A∩（∁R B）即可．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，∴∁R B={x|x＞1}，∴A∩（∁R B）={x|1＜x＜3}．故选：A．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则ta nθ==﹣．故选：B．3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2 B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．利用体积计算公式、勾股定理即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．则×h=2，解得h=3．∴此四棱锥最长的侧棱长PC==．故选：C．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得b=a，由双曲线的渐近线方程即可得到所求方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，可得e==，即有c=a，由c2=a2+b2，可得b=a，即有渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．55【考点】计数原理的应用；二项式定理的应用．【分析】先根据排列组合求出n的值，再根据通项公式求出k的值，问题得以解决．【解答】解：根据题意，先安排除甲乙之外的2人，有A22=2种不同的顺序，排好后，形成3个空位，在3个空位中，选2个安排甲乙，有A32=6种选法，则甲乙不相邻的排法有2×6=12种，即n=12；（﹣）n=（﹣）12的通项公式C12k（﹣）k x﹣k=（﹣）k，k C12当4﹣=0时，即k=3时，（﹣）3C123=﹣，故选：A．6．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．150【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图计算成绩不低于80分的频率，然后根据频数=频率×总数可得所求．【解答】解：根据频率分布直方图，得；成绩不少于80分的频率为（0.015+0.010）×10=0.025，所以估计成绩优秀的学生人数为600×0.25=150．故选：D．7．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．32【考点】二次函数的性质．【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．【解答】解∵点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n﹣1=，∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C8．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．a C．b D．c【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，比较a、b、c 三数的大小，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，∵a3=＞3=b3＞0，∴a＞b；又c=（）ln3=e=e=＞=a．∴输出的结果为c．故选：D．9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．2【考点】利用导数研究函数的极值；等比数列的通项公式．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出b的值，结合等比数列的性质求出ac的值即可．【解答】解：∵实数a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵函数y=（x﹣2）e x，∴y′=（x﹣1）e x，令y′＞0，解得：x＞1，令y′＜0，解得：x＜1，∴函数y=（x﹣2）e x在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，∴y极小值=y|x=1=﹣e，∴b=﹣e，b2=e2，则ac=e2，故选：C．10．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤ D．②③⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据回归直线的性质进行判断．②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据三角函数的图象和性质进行判断．④根据幂函数的性质进行判断．⑤根据函数的零点的定义进行判断．【解答】解：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；故①正确，②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；故②正确，③函数y=sinx+cosx=2cos（x﹣），将函数的图象向右平移后，得到y=2cos（x﹣﹣）=2cos（x﹣），此时所得到的图象关于y轴不对称；故③错误，④由m﹣1=1得m=2，此时f（x）=x0是幂函数，在（0，+∞）上函数不递增；故④错误，⑤若x≤0则由（x）=0得x+1=0，得x=﹣1，若x＞0，则由（x）=0得2x|log2x|﹣1=0，即|log2x|=（）x，作出y=|log2x|和y=（）x的图象，由图象知此时有两个交点，综上函数f（x）=恰好有三个零点；故⑤正确，故选：B11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：由已知易得：S长方形=4×2=8，S阴影=∫04（）dx===，故质点落在图中阴影区域的概率P==，故选A．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，∴g（x）＞4，又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，∴g（x）＞g（1），∴x＞1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f=，∴f=f（1）=f（﹣4）=2﹣4=．故答案为：．14．已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m= 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，由=0，求得实数m 的值．【解答】解：∵两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量=（3，﹣3），=（1，m），若⊥，则=3+m（﹣3）=0，求得实数m=1，故答案为：1．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为 4 ．【考点】简单线性规划；基本不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得2a+3b=1，然后结合基本不等式求得的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），化目标函数z=ax+by为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，等于2a+3b=1，∴=（）（2a+3b）=2+．当且仅当2a=3b，即时上式等号成立．故答案为：4．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则= 1+．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出F点坐标，代入抛物线方程即可得出a，b的关系得到关于的方程，从而解出．【解答】解：∵D是抛物线y2=2ax的焦点，∴D（，0）．∵正方形DEFG的边长为b，∴F（，b）．∵F在抛物线上，∴b2=2a（），即b2﹣2ab﹣a2=0，∴（）2﹣﹣1=0，解得=1+或1﹣．∵0＜a＜b，∴=1+．故答案为：三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=sin（2ωx﹣），由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由f（C）=1，得，结合范围0＜C＜π，可得﹣＜2C﹣＜，解得C=，结合已知由余弦定理得ab的值，由面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx），∴，…由题意可知其周期为π，故ω=1，则f（x）=sin（2x﹣），…由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，…（Ⅱ）由f（C）=1，得，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，解得C=．…又∵a+b=3，，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos，∴（a+b）2﹣3ab=3，即ab=2，由面积公式得三角形面积为．…18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意求出分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份．利用对立事件概率计算公式能求出从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E（X）．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可得：设事件D表示“从选出的9份答卷中选出3份，至少有1份选择A题作答”，则：P（D）=1﹣p（）=1﹣=1﹣=，∴从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．…（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3…P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，…∴随机变量X的分布列为：∴E（X）==．…19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE 夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．（Ⅱ））由CD⊥平面ABC，是∠CMD为DM与平面ABC所成角，以C为坐标原点，CB为x 轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，∵F、G分别是AD、AC的中点，∴FG∥CD，且．又∵CD∥BE，且CD=2BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，EF⊄面ABC且BG⊆面ABC，∴EF∥面ABC．…（Ⅱ））∵CD⊥平面ABC∴∠CMD为DM与平面ABC所成角，∵M为AB的中点，且AC=BC=2，AC⊥BC，得∵DM与平面ABC所成角的正切值为，∵CD=2，BE=1，…以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1），∴=（0，﹣2，2），=（2，﹣1，0），设平面ADE的法向量为=（x，y，z），由，取x=1，得=（1，2，2），而平面ACD的法向量为=（2，0，0），由cos＜＞==，得平面ACD与平面ADE夹角的余弦值为．…20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）求出圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d，利用2=2，解得a2，又=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得•=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m即可得出．【解答】解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d==1，∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b．∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=．•=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）•﹣（m+k2）+m2+k2=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=．因此在x轴上存在定点M（，0），使得•为定值．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）问题等价于，即证，令，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ），得由f'（x）＞0，得0＜x＜e∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立令，当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增∴h（x）min=h（1）=4，∴m≤4，即实数m的取值范围是（﹣∞，4]…（Ⅲ）证明：等价于，即证由（Ⅰ）知，（当x=e时取等号）令，则，易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增∴（当x=1时取等号）∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立则对一切x∈（0，+∞），都有成立．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理．【分析】（Ⅰ）利用圆的切线的性质，及直径所对的角为直角，即可证明AD∥OC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB，利用AD•OC=8，求出半径，即可求圆O的面积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，OD∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC又∵AB为圆O的直径，则AD⊥DB，∴AD∥OC，∴∠BAD=∠BOC…（Ⅱ）解：设圆O的半径为r，则AB=2OA=2OB=2r由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB则，∴AB•OB=AD•OC=8，2r2=8，r=2，∴圆O的面积为S=πr2=4π…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…由得ρcosθ+ρsinθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0…（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d==…由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC=2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；（Ⅱ）求出f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需．【解答】（Ⅰ）证明：∵m＞0，，当即时取“=”号…（Ⅱ）解：当m=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3则f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述实数t的取值范围是．…。

2019年陕西省高考数学二模试卷(理科)

2019年陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．复数2015计算的结果是（）A ．－1B ．i - CD2．若sin 20a =，则sin 230的值为（）A ．221a -B ．21a -C ．21a -D ．212a -3．522x ⎫⎪⎭-的展开式中常数项是（）A ．5B ．5-C ．10D ．10-4．已知为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，611S S =，则必有（） A ．170a = B ．6120a a += C ．170S > D ．90a <5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．6B ．9C ．12D ．186．右图是函数2sin()(0)y x ωφω=+>图像的一部分，则ω和φ为（）Ａ．115ω=, 56πφ=-Ｂ．75ω=, 6πφ=-Ｃ．175ω=, 56πφ=-Ｄ．135ω=, 6πφ=-7．展开10()a b c ++合并同类项后的项数是（）A ．11B ．66C ．76D ．1348．已知随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，1EX =，则DX =（） A ．25 B ．45 C ．23 D ．43{}na9．若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．110．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0PA PB ⋅=，0PB PC ⋅=，0PC PA ⋅=,则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为（）A ．12B ．1C ．2D ．411．已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222x y a-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．5 B．15 C．3 D12．已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围是（）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是．14．已知数列1、a 、b 成等差数列，而1、b 、a 成等比数列．若a ≠b ，则7alog a （﹣b ）= ．15．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为3，则球O 的体积为．16．已知曲线y=x +lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax 2+（a +2）x +1相切，则a= ．三、解答题（共5小题，每小题12分，共60分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=3，b=4，B=+A ．（I ）求tanB 的值；（Ⅱ）求c 的值．18．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．（1）求N和[30，35）这组的参加者人数N1；（2）已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；（3）组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．19．如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形，，点M为BC中点，平面PCD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥BC；（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．20．已知椭圆L： +=1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB 的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=，且n=4m（m＞0），求证：x≥0时，r（x）≥1．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c=d﹣b，证明：（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2019年陕西省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是21．【考点】二项式系数的性质．【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为﹣3得到展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴展开式的通项为T r+1=令7﹣=﹣3，解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故答案为：21．14．已知数列1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列．若a≠b，则7alog a（﹣b）=．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】数列1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列．可得2a=1+b，b2=a，解得b，a，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列．∴2a=1+b，b2=a，可得2b2﹣b﹣1=0，解得b=1或﹣．∵a≠b，∴b≠1．∴b=﹣，a=．则7alog a（﹣b）==．故答案为：．15．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为3，则球O的体积为24π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为3，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC =V C﹣AOB===3∴R3=18，则球O的体积为πR3=24π．故答案为：24π．16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．三、解答题（共5小题，每小题12分，共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（I）求tanB的值；（Ⅱ）求c的值．【考点】正弦定理．【分析】（I）由正弦定理，诱导公式可得3cosA=4sinA，可得tanA的值，由已知及诱导公式即可求tanB的值．（Ⅱ）由tanB=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB，sinA，cosA，由两角和的余弦函数公式可求cosC的值，利用余弦定理即可求c的值．【解答】解：（I）∵a=3，b=4，B=+A．∴由正弦定理可得：=，∴3cosA=4sinA，可得：tanA==，∴tanB=tan（+A）=﹣=﹣．（Ⅱ）∵tanB=﹣．∴cosB=﹣=﹣，sinB==，sinA=sin（B﹣）=﹣cosB=，cosA=，∴cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB=×﹣×（﹣）=，∴c===．18．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．（1）求N和[30，35）这组的参加者人数N1；（2）已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；（3）组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）先求出年龄在[35，40）内的频率，由此能求出总人数和[30，35）这组的参加者人数N1．（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有1名数学教师”，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，分别求出P（B），P（C），由此能求出两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率．（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵年龄在[35，40）内的频率为0.04×5=0.2，∴总人数N==40人．∵[30，35）这组的频率为：1﹣（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3，[30，35）这组的参加者人数N1为：40×0.3=12人．（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有2名数学教师”，∵年龄在[30，35）之间的人数为12，∴P（B）=1﹣=，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，∵年龄在[35，40）之间的人数为8，∴P（C）=1﹣=，∴两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率P（BC）==．（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，∴ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，1 2 3Eξ==2．19．如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形，，点M为BC中点，平面PCD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥BC；（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可得到结论．（2）过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，分别求出平面ADM的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AM﹣D的大小．【解答】解：（1）取CD的中点O，连接OP，∵△PCD为等边三角形，∴OP⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∵CD⊥BC，∴BC⊥平面PCD，∴PD⊥BC…（2）以O为原点，过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．∵，不妨设AB=2，则BC=2，依题意得：A（2，﹣1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，），M（，1，0），∵OP⊥平面ABCD，∴是平面ADM的法向量，设平面PAM的法向量为，又，由，令y=1，得=（），∴cos＜＞==，∴二面角P﹣AM﹣D的大小为45°．20．已知椭圆L： +=1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB 的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，又点（2，）在L上，可得+=1，解得a=2，b=2，即有椭圆L： +=1；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+b代入椭圆方程+=1，可得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣8=0，x1+x2=﹣，即有AB的中点M的横坐标为﹣，纵坐标为﹣k•+b=，直线OM的斜率为k OM==﹣•，即有k OM•k=﹣．则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=，且n=4m（m＞0），求证：x≥0时，r（x）≥1．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r （x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．【解答】解：（1）当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）==+=+，则函数的导数r′（x）=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=+0=1，故当x≥0时，r（x）≥1成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c=d﹣b，证明：（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（Ⅰ）运用两边平方，结合条件和不等式的性质，即可得证；（Ⅱ）先证若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；再证若+＞+，两边平方，由条件结合不等式的性质，可得|a﹣b|＜|c﹣d|，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）由（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a﹣c=d﹣b，可得a+b=c+d，由ab＞cd，可得（+）2＞（+）2，即为+＞+；（Ⅱ）若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；若+＞+，则（+）2＞（+）2，即有a+b+2＞c+d+2，由a﹣c=d﹣b，可得a+b=c+d，即有ab＞cd，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd=（c﹣d）2，可得|a﹣b|＜|c﹣d|．即有+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．。

2019届陕西省汉中市高三年级教学质量第二次检测考试数学(理)试题(解析版)

【答案】B
【解析】取的中点，连结 ,这样求异面直线与所成的角就转化成求的大小。
【详解】
取的中点，连结 ,在直三棱柱，点为的中点,
且，且，所以就是异面直线与所成的角。，可以求出，在中，由勾股定理可求出，在中，由勾股定理可求出，显然是直角三角形， ,所以，因此本题选B。
（1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图.
抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表
社区服务时间
人数
频率
0.05
20
0.35
30
合计
100
1
学生社区服务时间合格与性别的列联表
不合格的人数
合格的人数
男
女
（2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格，根据上面的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由.
【详解】
不等式组所表示的平面区域如下所示：
通过上图，可以发现平面区域是个三角形，解方程组解得A点坐标为，点B坐标为（1，0），点C坐标为（2，0）因此三角形ABC的面积为，
所以不等式组所表示的平面区域的面积等于。
【点睛】
本题考查了不等组所表示的平面区域的面积。解决此类问题的关键是画出正确的平面区域。
综上所述，有4个命题是正确的，因此本题选A。
【点睛】
本题考查了奇函数的性质、利用导数研究函数单调性。本题重点考查了数形结合思想、分类讨论思想。
二、填空题
13．不等式组所表示的平面区域的面积等于__________．

陕西省2019届高三第二次联考数学(理)试卷及解析-精编

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“超级全能生”陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

“超级全能生”陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|−2<x <2}，N ={x|log 2x >0}，则M ∩N 为( )A. (−2,2)B. (1,+∞)C. (1,2)D. (−2,+∞)【答案】C【解析】解：∵集合M ={x|−2<x <2}， N ={x|log 2x >0}={x|x >1}， ∴M ∩N ={x|1<x <2}=(1,2)．故选：C ．分别求出集合M ，N ，由此能求出M ∩N ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 已知复数z 满足z =−1+5i 2，则|z|=( )A. 3B. √26C. 4D. √262【答案】D【解析】解：由复数模的运算法则可得：|z|=|−1+5i 2|=|−1+5i||2|=√262．故选：D ．由题意结合复数模的运算法则计算z 的模即可．本题主要考查复数的模的求解等知识，属于基础题．3. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0，则目标函数z =√x 2+y 2的最大值为( )A. √6B. √10C. 2√2D. √7【答案】B【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0，所对应的可行域，而目标函数z =√x 2+y 2表示可行域内的点A 到原点距离的平方，由：{x +y =4x=1，解得A(1,3)数形结合可得最大值为：√1+9=√10，故选：B ．作出可行域，z =√x 2+y 2表示可行域内的点到原点距离，数形结合可得．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．4.已知命题p：对∀x>0，总有x<sinx；命题q：直线l1：ax+2y+1=0，l2：x+(a−1)y−1=0若l1//l2，则a=2或a=−1；则下列命题中是真命题的是()A. p∧qB. (￢p)∧(￢q)C. (￢p)∨qD. p∨q【答案】D【解析】解：设f(x)=sinx−x，则f′(x)=cosx−1≤0，则函数f(x)在x≥0上为减函数，则当x>0时，f(x)<f(0)=0，即此时sinx<x恒成立，即命题p是真命题，若a=0，则两直线方程为l1：2y+1=0，l2：x−y−1=0，此时两直线不平行，不满足条件．若a≠0，若两直线平行，则满足1a =a−12≠−11，由1a =a−12得a(a−1)=2，即a2−a−2=0得a=2或a=−1，由1a≠−1得a≠−1，则a=2，即命题q是假命题，则p∨q是真命题，其余为假命题，故选：D．根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假的判断，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．5.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为()A. 23B. 12C. 15D. 25【答案】B【解析】解：现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n=C52=10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m=C51=5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为p=mn =510=12．故选：B．基本事件总数n=C52=10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m=C51=5，由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6. 如图是计算12+14+16+18+110值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A. k ≥5B. k <5C. k >5D. k ≤6【答案】C【解析】解：∵算法的功能是计算12+14+16+18+110值，共循环5次， ∴跳出循环体的n 值为12，k 值为6， ∴判断框内应填的条件是k >5或k ≥6．故选：C ．根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n 值为12，k 值为6，由此可得判断框内应填的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环体的k 值是关键．7. 已知点(2,8)在幂函数f(x)=x n 图象上，设a =f((45)0.3),b =f((54)0.2),c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. b >a >cB. a >b >cC. c >b >aD. b >c >a【答案】A【解析】解：点(2,8)在幂函数f(x)=x n 图象上， ∴f(2)=2n =8，解得n =3，∴f(x)=x 3，设a =f((45)0.3),b =f((54)0.2),c =f(log 1254)，∴45<a =[(45)0.3]3=(45)0.9<(45)0=1，54>b =[(54)0.2]3=(54)0.6>(54)0=1，c =(log 1254)3<(log 121)3=0，∴a ，b ，c 的大小关系是b >a >c ．故选：A ．推导出f(x)=x 3，从而45<a =[(45)0.3]3=(45)0.9<(45)0=1，54>b =[(54)0.2]3=(54)0.6>(54)0=1，c =(log 1254)3<(log 121)3=0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8. 要得到函数y =sin(2x +π12)的图象，只需将函数y =sinx 的图象经过下列两次变换而得到的( )A. 先将y =sinx 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，再将所得图象向左平移π6个单位 B. 先将y =sinx 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移π24个单位 C. 先将y =sinx 的图象向左平移π12个单位，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半 D. 先将y =sinx 的图象向左平移π12个单位，再将所得图上各点的横坐标伸长为原来的2倍【答案】C【解析】解：要得到函数y =sin(2x +π12)的图象，只需将函数y =sinx 的图象向左平移π12个单位，得到y =sin(x +π12)，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到y =sin(2x +π12)，故选：C ．根据三角函数的图象变换关系进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为( )A. 2B. 2√2C. √6D. √2【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：可知PA⊥底面ABC，三角形ABC是等腰三角形，AB⊥BC，可知PC是最长的棱长：√4+4=2√2．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长．本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．10.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为32，则双曲线的离心率为()A. 32B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，∴双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为(−1,0)x=−1时，代入双曲线方程，由b2=1−a2，可得y=±1−a2a，∵△AOB的面积为32，∴12⋅1⋅2(1−a2)a=32，∴a=12，∴e=ca=2．故选：D．求出抛物线y2=4x的准线方程，可得双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，求出x=−1时，y的值，利用△AOB的面积为32，求出a，即可求双曲线的离心率．本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算，正确运用抛物线、双曲线的几何性质是关键．11.一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是()A. 若n=9，则甲有必赢的策略B. 若n=11，则乙有必赢的策略C. 若n=6，则乙有必赢的策略D. 若n=4，则甲有必赢的策略【答案】A【解析】解：若n=9，则甲有必赢的策略，必赢策略如下：第一步：甲先抓1球，第二步：①当乙抓1球时，甲再抓3球时；②当乙抓2球时，甲再抓2球时； ③当乙抓3球时，甲再抓1球时；第三步：这时还有4个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球，则布袋中都会剩余1--3个球，第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜．故选：A ．甲若想必胜，则必须最后取球时还剩1--3个球，通过简单的合情推理可以得解．本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题．12. 已知函数f(x)={xe x ,x ≥0−x,x <0，又函数g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A. (−∞,−e 2+1e )B. (e 2+1e ,+∞)C. (−e 2+1e ,−2)D. (2,e 2+1e )【答案】A【解析】解：由已知有f(x)=xe x (x ≥0)， f′(x)=1−x e x，易得0≤x <1时，f′(x)>0，x >1时，f′(x)<0，即f(x)在[0,1)为增函数，在(1,+∞)为减函数，设m =f(x)，则h(m)=m 2+tm +1，设h(m)=m 2+tm +1的零点为m 1，m 2则g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点等价于t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的交点有4个，函数t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的位置关系如图所示，由图知：0<m 2<1e <m 1，即h(1e )<0，解得：t <−e 2+1e，故选：A ．由函数的零点与函数图象的交点问题得：g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点等价于t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的交点有4个，结合利用导数研究函数的图象可作出函数t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的位置，由二次方程区间根问题得：h(1e )<0，解得：t <−e 2+1e，得解本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题、利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题，属中档题二、解答题（本大题共11小题，共102.0分）13. 若S 1=∫x 221dx,S 2=∫1x 21dx,S 3=∫e x 21dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为______．【答案】S 2<S 1<S 3【解析】解：S 1=13×(23−13)=73， S 2=ln2−ln1=ln2， S 3=e 2−e ，其中0<S 2<1，2<S 1<3，S 3>3，故答案为S 2<S 1<S 3运用微积分基本定理可解决此问题．本题考查定积分的简单应用．14. 公比为√2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12=16，则log 2a 15=______．【答案】6【解析】解：∵a 2a 12=a 72=16，∴a 7=4， ∴log 2a 15=log 2a 7q 8=log 24×(√2)8=6．故答案为：6．等比中项结合对数的运算性质可得结果．本题考查了等比数列的性质及对数的运算性质，属基础题．15. 圆x 2+y 2=1的任意一条切线与圆x 2+y 2=4相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，O 为坐标原点，则x 1x 2+y 1y 2=______．【答案】−2【解析】解：根据题意，设AB 与圆x 2+y 2=1相切于点P ，分析可得|OP|=1，|OA|=|OB|=2，又由OP ⊥AB ，则∠BOP =60∘，则∠AOB =120∘，又由A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=|OA||OB|cos120∘=−2，则x 1x 2+y 1y 2=−2；故答案为：−2．根据题意，设AB 与圆x 2+y 2=1相切于点P ，由两个圆的方程分析可得|OP|=1，|OA|=|OB|=2，又由OP ⊥AB ，分析可得∠AOB =120∘；结合数量积的计算公式可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=|OA||OB|cos120∘=−2，即可得答案．本题考查直线与圆相交的性质，涉及圆与圆的位置关系以及数量积的计算公式，属于基础题．16. 在实数集R 中定义一种运算“∗”，具有性质：(1)对任意a ，b ∈R ，a ∗b =b ∗a ； (2)对任意a ，a ∗0=0；(3)对任意a ，b ∈R ，(a ∗b)∗c =c(ab)+(a ∗c)+(b ∗c)−5c ．则函数f(x)=x ∗1x (x >0)的最小值为______．【答案】−3【解析】解：根据定义的运算性质得：f(x)=x ∗1x =(x ∗1x )∗1 =1×(x ⋅1x )+(x ∗1)+(1x ∗1)−5×1=1+1∗x +1∗1x =x +1x−5，因为x >0，由均值不等式得f(x)=x +1x−5≥2√x ⋅1x−5=2−5=−3(当且仅当x =1时取“=”)，即f(x)的最小值为−3．故答案为−3．根据题目给出的新定义，写出函数的解析式f(x)=x +1x −5，然后运用基本不等式求最值．本题考查了函数值域的求法，考查了利用基本不等式求函数最值的方法，解答此题的关键是能够根据题目所给的新定义，正确写出熟悉的函数表达式．17. 某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道(不考虑宽度)，BE 为赛道内的一条服务通道，∠BCD =∠CDE =∠BAE =2π3，DE =4km ，BC =CD =√3km ．(1)求服务通道BE 的长度；(3)应如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长？【答案】解：(1)∵连接BD ，∠BCD =∠CDE =∠BAE =2π3，DE =4km ，BC =CD =√3km∴在△BCD 中，由余弦定理可得：BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CD ⋅cos∠BCD =3+3+2×√3×√3×12=9， ∴BD =3， ∵BC =CD ，∴∠CBD =∠CDB =π6，又∵∠CDE =2π3，∴∠BDE =π2，在Rt △BDE 中，BE =√BD 2+DE 2=5． (2)在△BAE 中，∠BAE =2π3，BE =5，由余弦定理可得：BE 2=AB 2+AE 2−2AB ⋅AE ⋅cos∠BAE ，即：25=AB 2+AE 2+AB ⋅AE ，可得：(AB +AE)2−25=AB ⋅AE ≤(AB+AE 2)2，从而34(AB +AE)2≤25，即：AB +AE ≤10√33，当且仅当AB =AE 时，等号成立，即设计为AB =AE 时，折线段赛道BAE 最长．【解析】(1)连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理可得BD 的值，由BC =CD ，可求∠CBD =∠CDB =π6，可求∠BDE =π2，利用勾股定理可求BE 的值． (2)在△BAE 中，∠BAE =2π3，BE =5，由余弦定理，基本不等式可求AB +AE ≤10√33，当且仅当AB =AE 时，等号成立，即可得解AB =AE 时，折线段赛道BAE 最长．本题主要考查了余弦定理，勾股定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；(2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A ，B 两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：寿命类型 1个月 2个月 3个月 4个月总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其它成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：∑y i 6i=1=96,∑x i 6i=1y i =371．参考公式：回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂,其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)=96∑(n i=1x i −x −)2．【答案】解：(1)由折现图可知统计数据(x −,y −)共6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得x −=16(1+2+3+4+5+6)=3.5，y −=16∑y i 6i=1=16⋅96=16，故b ̂=371−6⋅3.5⋅1617.5=2，故a ̂=y −−b ̂x −=16−2⋅3.5=9， ∴x 关于y 的线性回归方程为y ̂=2x +9，故x =11时，则y ̂=2×11+9=31，即预测公司2018年1月份(即x =7时)的利润为31百万元；(2)由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1， ∴A 型材料利润的数学期望为(5−10)×0.2+(10−10)×0.35+(15−10)×0.35+(20−10)×0.1=1.75万元；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴B 型材料利润的数学期望为(5−12)×0.1+(10−12)×0.3+(15−12)×0.4+(20−12)×0.2=1.50万元； ∵1.75>1.50， ∴应该采购A 型材料．【解析】(1)求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论； (2)分别计算相应的数学期望，即可得出结论．本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19. 如图所示，等腰梯形ABCD 的底角∠BAD =∠ADC =60∘，直角梯形ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，且∠EDA =90∘，ED =AD =2AF =2AB =2． (1)证明：平面ABE ⊥平面EBD ；(2)点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．【答案】证明：(1)∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF =AD ，ED ⊥AD ， ∴EAD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AD ， ∵AB =1，AD =2，∠BAD =60∘， ∴BD =√1+4−2×1×2cos60∘=√3， ∴AB 2+BD 2=AD 2，∴AB ⊥AD ，又BD ⊂平面BDE ，ED ⊂平面BDE ，BD ∩ED =D ， ∴AB ⊥平面BDE ，又AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面EBD ．解：(2)以B 为坐标原点，以BA ，BD 为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,0，0)，C(−12,√32,0)，D(0,√3,0)，E(0,√3,2)，F(1,0，1)，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,−1)，设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗ =(λ,−√3λ,−λ)，(0≤λ≤1)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,√3−√3λ,2−λ)，设平面CDE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，平面ABM 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x +√32y =02z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)，{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x =0λx +(√3−√3λ)y +(2−λ)z =0，取y =2−λ，得n ⃗ =(0,2−λ,√3λ−√3)，∵平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=|2−λ|2√4λ2−10λ+7=√34，解得λ=12，∴点M 中线段EF 中点时，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．【解析】(1)推导出EAD ⊥平面ABCD ，ED ⊥AD ，AB ⊥AD ，由此能证明AB ⊥平面BDE ，从而平面ABE ⊥平面EBD ．(2)以B 为坐标原点，以BA ，BD 为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M 中线段EF 中点时，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，点P(2,3)为其上一点，且|PF 1|+|PF 2|=8． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y =kx −4交椭圆C 于A ，B 两点，且原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求k 的取值范围．【答案】解：(1)由题意可得{4a2+9b 2=12a =8，解得a 2=16，b 2=12，∴椭圆的方程为x 216+y 212=1，(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由{x 216+y 212=1y =kx −4得(4k 2+3)x 2−32kx +16=0， ∴x 1+x 2=32k 4k 2+3，x 1x 2=164k 2+3，由△>0，即(−32k 2)−4×16(4k 2+3)>0，解得k >12或k <−12.① ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ >0， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−4)(kx 2−4)=(k 2+1)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16 =(k 2+1)⋅164k 2+3−4k ⋅32k 4k 2+3+16=16(4−3k 2)4k 2+3>0解得−2√33<k <2√33.② 由①②解得实数k 的范围是(−2√33,−12)∪(12,2√33). 【解析】(1)由题意可得{4a 2+9b 2=12a =8，解得a 2=16，b 2=12求椭圆C 的方程．(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，通过原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，推出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ >0，然后求解k 的范围即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21. 函数f(x)=ln(x +t)+ax ，其中t 、a 为实常数．(1)若t =0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)t =0时，不等式f(x)≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若g(x)=e x +ax ，当t ≤2时，证明：g(x)>f(x)．【答案】解：(1)当t =0时，f(x)=lnx +ax ，x >0， ∴f′(x)=1x −ax 2=x−a x 2，当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a>0时，若0<x<a，则f′(x)<0，函数单调递减，若x>a，则f′(x)>0，函数单调递增，∴f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)单调递增，(2)∵不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，∴a≥x−xlnx，设h(x)=x−xlnx，x∈(0,1]∴h′(x)=1−1−lnx=−lnx≥0恒成立，∴h(x)在(0,1]上单调递增，∴h(x)max=h(1)=1，∴a≥1(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，∴x+t>0，∴x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，∴m′(x)=e x−1，当x>0时，m′(x)>0，函数m(x)单调递增，当x<0时，m′(x)<0，函数m(x)单调递减，∴m(x)>m(0)=1−1>0，∴e x>x+1，要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，∴φ′(x)=1−1x+t =x+t−1x+t，令φ′(x)=0，解得x=1−t>−1，当x>1−t时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增，当−t<x<1−t时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，∴φ(x)min=φ(1−t)=2−t≥0，∴g(x)>f(x)．【解析】(1)当t=0时，f(x)=lnx+ax ，x>0，f′(x)=1x−ax2=x−ax2，对a分类讨论即可得出函数的单调性．(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，可得a≥x−xlnx，设h(x)=x−xlnx，x∈(0,1]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，由x+t>0，可得x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，利用导数研究函数的单调性可得e x>x+1.因此要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)= x+1−ln(x+t)，利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：x2+y2−x=0，C2：x2+y2−2y=0．(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数，写出曲线C2的参数方程；(2)直线l过原点，且与曲线C1，C2分别交于A，B两点(A,B不是原点)，求|AB|的最大值．【答案】解：(1)如图，C 1：x 2+y 2−x =0，即(x −12)2+y 2=14，是以C 1(12,0)为圆心，12为半径，且过原点的圆，设∠PC 1x =α(0≤α<π)．则{x =12+12cosαy =12sinα，由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0≤θ<π，而α=2θ，所以圆的参数方程为：{x =12+12cos2θy =12sin2θ(θ为参数，且0≤θ<π)． (2)根据已知C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ=cosα，ρ=2sinα(ρ>0)，故|AB|=|ρ1±ρ2|=|2sinα±cosα|=√5|sin(α±φ)|≤√5，其中tanφ12．故当|sin(α±φ)|=1时，等号成立．综上，|AB|的最大值为√5．【解析】(1)先设出圆C 2的参数方程的标准形式，再根据两个参数之间的关系可得； (2)利用极坐标方程的极径的几何意义可求得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 已知对任意实数x ，都有|x +2|+|x −4|−m ≥0恒成立．(1)求实数m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，当正实数a ，b 满足4a+5b +13a+2b =n6时，求4a +7b 的最小值．【答案】解：(1)对任意实数x ，都有|x +2|+|x −4|−m ≥0恒成立；因为|x +2|+|x −4|≥|(x +2)−(x −4)|=6，所以6≥m ，即m ≤6，实数m 的取值范围是m ≤6；(2)由(1)知n =6，所以4a+5b +13a+2b =n6=1，所以4a +7b =(4a +7b)(4a+5b +13a+2b )=[(a +5b)+(3a +2b)](4a +5b +13a +2b)=4+1+4(3a+2b)a+5b+a+5b 3a+2b ≥5+2√4(3a+2b)a+5b⋅a+5b3a+2b =9，当且仅当b =5a ，即a =313，b =1513时取“=”；所以4a +7b 的最小值为9．【解析】(1)不等式化为|x+2|+|x−4|≥m恒成立，利用绝对值不等式求出|x+2|+|x−4|的最小值，即可得出m的取值范围；(2)由(1)知n=6，得4a+5b +13a+2b=n6=1，则4a+7b=(4a+7b)(4a+5b+13a+2b)，再利用基本不等式求出它的最小值．本题考查了绝对值不等式以及基本不等式的应用问题，是中档题．。

2019年陕西省高考数学二模试卷和答案(理科)

2019年陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，若z＝，则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．D．2．（5分）设全集U＝{x∈N|x≤5}，集合A＝{x∈Z|∈N}，B＝{4，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{1，2，3} 3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5﹣a2＝10，则S15＝（）A．20B．75C．150D．3004．（5分）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin的图象分割为两个对称的鱼形图案（如图），其中小圆的半径均为2，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则（）A．B．a2＜b2C．ab+1＞a+b D．lga+lgb＞0 6．（5分）阅读如图程序框图，则输出i的值为（）A．8B．9C．10D．127．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣e|x﹣1|﹣2x+3，则f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（5分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最大值为（）A．B．0C．D．10．（5分）在四面体ABCD中，BD＝CD＝AB＝1，AB⊥BD，CD⊥BD．当四面体ABCD体积最大时，四面体ABCD外接球的表面积是（）A．2πB．3πC．4πD．5π11．（5分）（2x2﹣x+1）8的展开式中x5的系数是（）A．1288B．1280C．﹣1288D．﹣128012．（5分）若两个函数f（x）＝x2与g（x）＝a x（a＞0，a≠1）的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．（e，e）B．（0，e）C．（0，e）∪（e，+∞）D．（e，1）∪（1，e）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如图，已知点A，B在单位圆上，∠yOB＝60°，∠xOA＝30°，则＝．14．（5分）若曲线y＝xlnx在点x＝1处的切线与直线l：ax﹣y+1＝0垂直，则切线和直线l 与y轴围成的三角形的面积为．15．（5分）数列{a n}的通项公式是a n＝n（sin+cos），其前n项和为S n，则S2019＝16．（5分）已知等腰△ABC的底边端点A，B在双曲线＝1的右支上，顶点C在x 轴上，且AB不垂直于x轴，则顶点C的横坐标t的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2+c2﹣a2＝c（a cos C+c cos A）．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a＝3，求△ABC的周长．18．（12分）某中学为了了解本校高三学生的化学学习情况，在第三次摸底考试结束后，从本校高三理科所有学生中随机抽取了100人，将他们的化学成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图．现规定：“化学成绩大于等于80分”为“优秀”，“化学成绩小于80分”为“非优秀”．（Ⅰ）求图中实数a的值并估算本次化学考试的平均成绩；（Ⅱ）请将下面的列联表补充完整；根据已完成的2×2列联表，判断是否有99%的把握认为“化学成绩与城乡差别有关”；（Ⅲ）若从化学成绩优秀的学生中任意抽取2人，求抽出的2人中化学成绩大于等于90分的人数ξ的分布列及其数学期望．（注：参考公式K2＝19．（12分）如图，直角梯形ABCD中，DC＝2AB＝2AD＝4，AB∥CD，AB⊥AD，且O为BD的中点．将△ABD沿BD折起，形成三棱锥A1﹣BCD，且A1在底面ABCD内的射影恰为OA的中点H．（Ⅰ）设BC，A1A的中点分别为F，P，证明：PF∥平面A1DC；（Ⅱ）求直线BC与平面A1DC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，短轴的两个端点分别为A，B，S△ABF＝1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点D（2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（M在D，N之间），求（O为坐标原点）的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x﹣2ax+a．（Ⅰ）当a＝4时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝2e x﹣ax2，若h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求a的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m|+|x﹣3|（m＞0）．（Ⅰ）若m＝1，求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为3，＝m（p＞0，q＞0），求pq的最小值．2019年陕西省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，若z＝，则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．D．【解答】解：∵z＝＝＝，∴复数z的虚部是﹣．故选：D．2．（5分）设全集U＝{x∈N|x≤5}，集合A＝{x∈Z|∈N}，B＝{4，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【解答】解：∵∈N，∴＝1，2，3，6，则x＝﹣3，0，1，2，即A＝{﹣3，0，1，2}，∁U B＝{0，1，2，3}，则A∩（∁U B）＝{0，1，2}，故选：C．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5﹣a2＝10，则S15＝（）A．20B．75C．150D．300【解答】解：∵2a5﹣a2＝10，∴2（a1+4d）﹣（a1+d）＝a1+7d＝a8＝（a1+a15）＝10，即a1+a15＝20，∴S15＝（a1+a15）＝150，故选：C．4．（5分）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin的图象分割为两个对称的鱼形图案（如图），其中小圆的半径均为2，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y＝3sin的图象与x轴交于点（6，0）和点（﹣6，0），则大圆的半径为6，∴S大圆＝36π，∵小圆的半径为2，∴两个小圆的面积和为2×4π＝8π，∴现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为P＝＝．故选：B．5．（5分）若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则（）A．B．a2＜b2C．ab+1＞a+b D．lga+lgb＞0【解答】解：由已知得a＞b＞1或0＜b＜a＜1，因此必有＜，a2＞b2，所以选项A，B错误；又ab＞1或0＜ab＜1，因此lga+lgb＝lg（ab）＞0或lg（ab）＜0，所以选项D错误；而ab+1﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，即ab+1＞a+b，所以选项C正确．故选：C．6．（5分）阅读如图程序框图，则输出i的值为（）A．8B．9C．10D．12【解答】解：模拟执行程序，可得i＝1，S＝0第1次循环，S＝﹣lg3＞﹣1，i＝3第2次循环，S＝﹣lg5＞﹣1，i＝5第3次循环，S＝﹣lg7＞﹣1，i＝7第4次循环，S＝﹣lg9＞﹣1，i＝9第5次循环，S＝﹣lg11＜﹣1，结束循环，输出i的值为9．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣e|x﹣1|﹣2x+3，则f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知f（x）＝x2﹣e|x﹣1|﹣2x+3＝x2﹣2x+3﹣e|x﹣1|，y＝x2﹣2x+3对称轴为x＝1，y＝e|x﹣1|对称轴为x＝1，所以知f（x）的对称轴为x＝1，排除B，D．代特殊值x＝3得y＜0，排除C，选A．8．（5分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：函数y＝sin（2x+）＝sin[（2x+）﹣]＝sin[（2x+）+﹣]＝cos[2（x+）﹣]，∴要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点向左平移个单位长度．故选：C．9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最大值为（）A．B．0C．D．【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得C（，﹣），化目标函数z＝2x﹣3y为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过C时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×（）+3×＝．10．（5分）在四面体ABCD中，BD＝CD＝AB＝1，AB⊥BD，CD⊥BD．当四面体ABCD 体积最大时，四面体ABCD外接球的表面积是（）A．2πB．3πC．4πD．5π【解答】解：如图，将四面体ABCD置于棱长为1的正方体中，则当AB⊥平面BCD时，四面体ABCD的体积最大，此时四面体ABCD的外接球就是正方体的外接球，球心O即为AC的中点，由已知可得AC＝，则外接球的半径为．∴外接球的表面积S＝．故选：B．11．（5分）（2x2﹣x+1）8的展开式中x5的系数是（）A．1288B．1280C．﹣1288D．﹣1280【解答】解：x5可能是（﹣x）5，（2x2）（﹣x）3，（2x2）2（﹣x），（﹣x）5表示在8个式子中5个选（﹣x），其余3个选出1，系数为（﹣1）5•13＝﹣56；（2x2）（﹣x）3表示在8个式子中1个选2x2，其余7个中3个选（﹣x），其余选1，系数为•2•（﹣1）3•14＝﹣560；（2x2）2（﹣x）表示在8个式子中2个选2x2，其余6个中一个选（﹣x），其余选1，系数为•22•（﹣1）•15＝﹣672，所以将（2x2﹣x+1）8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是﹣56﹣560﹣672＝﹣1288．故选：C．12．（5分）若两个函数f（x）＝x2与g（x）＝a x（a＞0，a≠1）的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．（e，e）B．（0，e）C．（0，e）∪（e，+∞）D．（e，1）∪（1，e）【解答】解：由x2＝a x可得lnx2＝xlna，故lna＝，令F（x）＝（x≠0），则F′（x）＝，令F′（x）＝0可得x＝±e，∴当x＜﹣e或x＞e时，F′（x）＜0，当﹣e＜x＜0或0＜x＜e时，F′（x）＞0，∴F（x）在（﹣∞，﹣e）上单调递减，在（﹣e，0）上单调递增，在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．∴当x＝﹣e时，F（x）取得极小值F（﹣e）＝﹣，当x＝e时，F（x）取得极大值F （e）＝．做出F（x）的函数图象如图所示：∵f（x）＝x2与g（x）＝a x（a＞0，a≠1）的图象只有一个交点，∴lna＝F（x）只有一解，∴lna＞或lna＜﹣．∴a＞e或0＜a＜e．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如图，已知点A，B在单位圆上，∠yOB＝60°，∠xOA＝30°，则＝．【解答】解：点A，B在单位圆上，∠yOB＝60°，∠xOA＝30°，则A（，），B（﹣，），∴2+3＝（，1）+（﹣，）＝（﹣，），∴＝＝，故答案为：14．（5分）若曲线y＝xlnx在点x＝1处的切线与直线l：ax﹣y+1＝0垂直，则切线和直线l 与y轴围成的三角形的面积为1．【解答】解：由y＝xlnx，得y′＝lnx+1，则y′|x＝1＝1，∵曲线y＝xlnx在点x＝1处的切线与直线l：ax﹣y+1＝0垂直，∴a＝﹣1．又切点为（1，0），则切线方程为y＝x﹣1，直线l：y＝﹣x+1，如图：则切线和直线l与y轴围成的三角形的面积为．故答案为：1．15．（5分）数列{a n}的通项公式是a n＝n（sin+cos），其前n项和为S n，则S2019＝﹣2020【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n＝n（sin+cos），故：a1＝1，a2＝﹣2，a3＝﹣3，a4＝4．故：a1+a2+a3+a4＝0a5＝5，a6＝﹣6，a7＝﹣7，a8＝8，故：a5+a6+a7+a8＝0，…，每经过4个数循环一次，故：，＝2017﹣2018﹣2019，＝﹣2020．故答案为：﹣2020．16．（5分）已知等腰△ABC的底边端点A，B在双曲线＝1的右支上，顶点C在x轴上，且AB不垂直于x轴，则顶点C的横坐标t的取值范围是（，+∞）．．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的垂直平分线交x轴于C（t，0），AB的中点M（x0，y0），则x0＞，由x12﹣2y12＝6，x22﹣2y22＝6，作差可得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣2（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，即为x0（x1﹣x2）﹣2y0（y1﹣y2）＝0，即k AB＝，又k MC＝，由题意可得•＝﹣1，解得t＝x0＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2+c2﹣a2＝c（a cos C+c cos A）．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a＝3，求△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2＝c（a cos C+c cos A），∴由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝c（+），可得b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．…6分（Ⅱ）∵△ABC的面积为＝bc sin A＝bc×，∴bc＝，…8分∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc cos＝（b+c）2﹣3bc ＝（b+c）2﹣16＝9，∴解得：b+c＝5，∴△ABC的周长为a+b+c＝8．…12分18．（12分）某中学为了了解本校高三学生的化学学习情况，在第三次摸底考试结束后，从本校高三理科所有学生中随机抽取了100人，将他们的化学成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图．现规定：“化学成绩大于等于80分”为“优秀”，“化学成绩小于80分”为“非优秀”．（Ⅰ）求图中实数a的值并估算本次化学考试的平均成绩；（Ⅱ）请将下面的列联表补充完整；根据已完成的2×2列联表，判断是否有99%的把握认为“化学成绩与城乡差别有关”；（Ⅲ）若从化学成绩优秀的学生中任意抽取2人，求抽出的2人中化学成绩大于等于90分的人数ξ的分布列及其数学期望．（注：参考公式K2＝【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得，10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）＝1，解得a＝0.03；计算平均分为＝0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95＝74（分）；（Ⅱ）根据题意填写列联表，根据表中数据，计算K2＝≈4.239＜6.635，所以没有99%的把握认为“化学成绩与城乡差别有关”；（Ⅲ）从图中可知化学成绩优秀的学生人数为（0.025+0.010）×10×100＝35（人），化学成绩大于或等于90分的人数为0.010×10×100＝10（人），所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2；计算P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝；则ξ的分布列为，数学期望为E（ξ）＝0×+1×+2×＝．19．（12分）如图，直角梯形ABCD中，DC＝2AB＝2AD＝4，AB∥CD，AB⊥AD，且O为BD的中点．将△ABD沿BD折起，形成三棱锥A1﹣BCD，且A1在底面ABCD内的射影恰为OA的中点H．（Ⅰ）设BC，A1A的中点分别为F，P，证明：PF∥平面A1DC；（Ⅱ）求直线BC与平面A1DC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1B的中点Q，连结PQ，FQ，则PQ∥AB，∵AB∥DC，PQ⊄平面A1DC，∴PQ∥平面A1DC，又QF∥A1C，QF⊄平面A1DC，∴PQ∩GF＝Q，∴平面PQF∥平面A1DC，∵PF⊂平面PQF，∴PF∥平面A1DC．解：（Ⅱ）∵A1B＝A1D，∴OA1在底面ABCD内的射影一定落在OA上，又A1在底面ABCD内的射影恰为OA的中点H，∴OH＝OA＝＝，∵AB⊥AD，∴过点O分别作AD、AB的平行线，并以它们分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），C（1，3，0），D（1，﹣1，0），A1（﹣，），∴＝（），＝（），设平面A1DC的法向量＝（x，y，z），设直线BC与平面A1DC所成角为θ，则，即，令z＝，得＝（2，0，），∵＝（2，2，0），∴sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴直线BC与平面A1DC所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，短轴的两个端点分别为A，B，S△ABF＝1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点D（2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（M在D，N之间），求（O为坐标原点）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）S△ABF＝1，则bc＝1，又e＝＝，a2＝b2+c2，∴a＝，b＝1，∴椭圆C的标准方程+y2＝1．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为x＝my+2，由，得（1+m2）y2+4my+2＝0，∴△＝16m2﹣8（1+m2）＞0，解得m2＞1，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，令＝＝t，∵|y1|＜|y2|，∴0＜t＜1，则＝t++2＝＝∈（4，8），∴3﹣2＜t＜1，故（O为坐标原点）的取值范围为（3﹣2，1）．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x﹣2ax+a．（Ⅰ）当a＝4时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝2e x﹣ax2，若h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝4时，f（x）＝xe x﹣8x+4，f（1）＝e﹣4，f′（x）＝xe x+e x﹣8，f′（1）＝2e﹣8，∴切线方程为y﹣（e﹣4）＝（2e﹣8）（x﹣1），即y＝（2e﹣8）x﹣e+4；（Ⅱ）∵h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴h′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）．①当a＞0时，h（x）在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减．∵h（1）＝﹣e＜0，h（2）＝a＞0．∴h（x）在（1，+∞）上有且只有一个零点．下面考虑h（x）在（﹣∞，1）上零点的情况（考虑到h（x）中含有e x，为了化简h（x），所以想到ln）．取b，使b＜0，且b＜ln，则h（b）＞．即h（x）有两个不同的零点．②当a＝0时，h（x）＝（x﹣2）e x，此时h（x）只有一个零点．③当a＜0时，令h′（x）＝0，得x＝1或x＝ln（﹣2a）．当a＝﹣时，h′（x）＝（x﹣1）（e x﹣e），h′（x）≥0恒成立，∴h（x）在R上单调递增．当a＞﹣时，即ln（﹣2a）＜1．若x＜ln（﹣2a）或x＞1，则h′（x）＞0；若ln（﹣2a）＜x＜1，则h′（x）＜0．∴h（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））和（1，+∞）上单调递增，在（ln（﹣2a），1）上单调递减．当a＜时，即ln（﹣2a）＞1．若x∈（﹣∞，1）∪（ln（﹣2a），+∞），则h′（x）＞0，若x∈（1，ln（﹣2a）），则h′（x）＜0．∴h（x）在（﹣∞，1）和（ln（﹣2a），+∞）上单调递增，在（1，ln（﹣2a））上单调递减．当a＜0时，∵h（1）＝﹣e＜0，h（ln（﹣2a））＝（﹣2a）[ln（﹣2a）﹣2]+a[ln（﹣2a）﹣1]2＝a[（ln（﹣2a）﹣2）2+1]＜0．∴h（x）无零点，不合题意．综上，h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，a的取值范围是（0，+∞）．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由于：直线l与圆C相交于A，B两点，故：圆心（）到直线的距离d＝，则：＝．[选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m|+|x﹣3|（m＞0）．（Ⅰ）若m＝1，求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为3，＝m（p＞0，q＞0），求pq的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|，f（x）≥4等价为或或，即为x≥4或x∈∅或x≤0，则原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}；（Ⅱ）f（x）＝|x﹣m|+|x﹣3|≥|x﹣m﹣x+3|＝|m﹣3|，若f（x）的最小值为3，即|m﹣3|＝3，解得m＝6（0舍去），＝6≥2，（p，q＞0），可得pq ≥，当且仅当p ＝，q ＝时，取得等号，则pq 的最小值为．第21页（共21页）。

2019届陕西省汉中市高三第二次教学质量检测(二模)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前
陕西省汉中市2019届高三第二次教学质量检测(二
模)
数学（理）试题
（解析版）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式确定集合A,
【详解】因此集合
因此本题选C.
【点睛】本题考查了集合的表示方法之间的转化、集合之间关系。

2.,则的虚部为（）
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出复数的共轭复数,计算,根据结果写出虚部。

的虚部为因此本题选C。

【点睛】本题考查了复数的共轭复数、复数的四种运算、虚部的概念。

3.,）
【答案】A
【解析】
【分析】
求向量的模可以先求出模的平方,然后再开算术平方根。

【详解】
因此本题选A。

【点睛】本题考查了向量求模的方法。

一般的方法有二种：一是平方进行转化；另一个是利用向量加减法的几何意义进行求解。

本题也可以利用第二种方法来求解。

设
4.）
【答案】D
【解析】
【分析】
可以求出运用两角差的正切公式可以求的值。

【详解】
,因此本题选D。

【点睛】本题考查了同角三角函数之间的关系、两角差的正切公式。

5.的图像是（）
A. B. C. D.。

陕西省2019届高三第二次大检测数学试题(理)

陕西省2019届高三第二次大检测数学试题（理）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，3} B．{2} C．{2，3} D．{3}2．若复数，则|z|=（）A．B．1 C．D．3．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（）A．（，0）（﹣，0）B．（0，），（0，﹣）C．（0，3）（0，﹣3）D．（3，0），（﹣3，0）4．下列命题正确的是（）A．函数y=sinx在区间（0，π）内单调递增B．函数y=tanx的图象是关于直线成轴对称的图形C．函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期为2πD．函数的图象是关于点成中心对称的图形5．已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则2snαcosα等于（）A．﹣B．﹣3 C．3 D．7．已知两条直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0，l2：2x+（m+6）y﹣8=0，且l1⊥l2，则直线l1的一个方向向量是（）A．（1，﹣）B．（﹣1，﹣）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）8．已知变量x，y，满足约束条件，目标函数z=x+2y的最大值为10，则实数a的值为（）A．2 B．C．4 D．89．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5、S 4、S 6成等差数列．则数列{a n }的公比为q 的值等于（）A ．﹣2或1B ．﹣1或2C ．﹣2D ．1 10．在边长为4的等边三角形OAB 内部任取一点P ，使得•≤4的概率为（） A ． B ． C ． D ．11．若f （x ）=xe x ﹣a 有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．（，+∞） B ．（，0） C ．（﹣，+∞） D ．（﹣，0）12．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），当x ∈[0，2）时，f （x ）=函数g （x ）=x 3+3x 2+m ．若∀s ∈[﹣4，2），∃t ∈[﹣4，﹣2），不等式f （s ）﹣g （t ）≥0成立，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣12]B ．（﹣∞，﹣4]C ．（﹣∞，8]D ．（﹣∞，]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。