2014-2015学年北京市朝阳区2015年初三数学一模试题(含答案)
2015年北京市朝阳区初三毕业考数学试题及答案
北京市朝阳区2015年初中毕业考试数学试卷 2015.4一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．2的绝对值是A ．2B ．－2C ．21 D ．21- 2．数据显示，2014年末北京市常住人口为2151.6万人，将2151.6用科学记数法表示为A ．0.21516×103B ．0.21516×104C ．2.1516×103D ．2.1516×104 3. 函数3-=x y 中，自变量x 的取值范围是A ．3≠xB ．x ≥3C ．x ＞3D ．x ＞－34. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，直线l 与AC 、BC 分别相交于点D 、E ，则∠1+∠2的度数为A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°5. 小翔同学在参加校运动会前进行了刻苦训练，如果对他10次训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则需要知道他这10次成绩的A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差6. 图中几何体的主视图是7．从单词mathematics （数学）所包含的字母中，随机选取一个字母，则这个字母是“m ”的概率是A ． 51B ．101C ．112D ． 111 8．如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于点C ，点D若∠B =40°，则∠D 等于A ．50°B ．40°C ．25°D ．20°9．将抛物线y =(x+1)2+2向右平移2个单位后所得到的抛物线为A ．2)1-(2+=x yB ．2)3(2++=x yC ．4)1(2++=x yD ．4)1-(2+=x y 10．若关于x 的一元二次方程mx 2+ (2m －1)x +m = 0有两个不相等的实数根，则m 的取值 范围是B AA ．m ＞－41B ．m ＞－41且m ≠0 C ．m ＜41 D ．m ＜41且m ≠0第Ⅱ卷 （共70分）二、填空题 （共6道小题，每小题3分，共18分）11. 计算：23a a ⋅= ．12．分解因式：x 2－25 = ．13. 若反比例函数的图象经过点（2，6），则该反比例函数的表达式为 ．14. 如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，如果标杆BE 高1.2m ，测得AB =1.4m ，BC =12.6m ，则楼高CD = m ．15.对于实数a 、b ，定义运算“☆”：a ☆b =22()()a ab a b b ab a b ⎧+≥⎨+⎩＜，例如4☆2，因为4>2，所以 4☆2=2442⨯+=24．若点A （1，m ）,B （2，n ）都在一次函数12+=x y 的图象上， 则m ☆n= 16.如图，将半径为6的圆形纸片，按下列顺序折叠，若和都经过圆心O ，则图中 阴影部分的面积是 （结果保留π）．三、解答题（共10道小题，17-24题每小题5分，25-26题每小题6分，共52 分）17．（本小题5分）计算：011()4sin602-+︒． 18．（本小题5分）已知：如图，AB ＝DC ，∠ABC =∠DCB .求证：∠A =∠D .19．（本小题5分）解不等式5x -1≤5+3x ，并把它的解集在下面的数轴上表示出来．20．（本小题5分）先化简，再求值：2113()369x x x x -÷+++，其中4x =-． 21．（本小题5分）某校社团为了解本校学生在各项体育运动中对足球的喜欢程度，该社团随机调查了部分学生并将相关数据绘制成如下的两幅不完整的统计图．对足球喜欢程度的条形统计图 对足球喜欢程度的扇形统计图请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次随机调查了多少名学生？（2）补全图中的条形统计图.（3）若该校共有400名学生，请你估计该校有多少名学生“非常喜欢”足球．22. （本小题5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，OA =3.（1）求直线OB 的表达式；（2）若直线y=x+b 与该正方形有两个公共点，请直接写出．．．．b 的取值范围.23．列方程或方程组解应用题（本小题5分）在学校组织的参观花卉基地的社会实践活动中，小何同学了解到该基地中甲、乙 两家种植户种植玫瑰花、薰衣草的种植面积与卖这两种花总收入的情况（见下表）：（说明：甲、乙种植的同种花卉每亩卖花的平均收入相等）试求玫瑰花、薰衣草每亩卖花的平均收入各是多少？24．（本小题5分）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，AE =CF ．（1）求证：DE =BF ；（2）若AD=4，AB=8，AE=3，求证：四边形BEDF 是菱形．25．（本小题6分）如图，以△ABC 的一边AB 为直径的⊙O 经过BC 边的中点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE =3DE ，求tan B 的值．26. （本小题6分）抛物线32--=mx x y 与x 轴的两个交点分别为A （－1，0）、B ，与y 轴的交点为C .（1）求抛物线的顶点D 的坐标；（2）求证：△BCD 是直角三角形；（3）在该抛物线上是否存在点P ，使得△ABP 的面积是△BCD 的面积的103倍，若存在，直接写出．．．．P 点坐标；若不存在，请说明理由． 草稿纸。
定稿-朝阳区九年级期末答案2015.1.23往年数学知识点
北京市朝阳区2014~2015学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015.1二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．5 10．1211．答案不惟一，如2y x =（说明：写成2y x c =+的形式时，c 的取值范围是－2≤c ≤1） 12．60，3π三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式21=……………………………………………………………………4分 = ………………………………………………………………………………………5分14.解： x 2-4x =1. ……………………………………………………………………………………………… 1分x 2-4x +4=1+4 ，(x -2)2=5 .…………………………………………………………………………………………… 3分x -2=，∴12x =22x =-……………………………………………………………………… 5分15.解：∵∠ACD =∠ABC ，∠A=∠A , …………………………………………………………………… 2分 ∴△ACD ∽△ABC . ……………………………………………………………………………… 3分∴AD AC AC AB=. …………………………………………………………………………………… 4分 ∵AD =2，AB =6，∴26AC AC =. ∴212AC =.∴AC =. …………………………………………………………………………………………5分 16.解：如图，作AD ⊥BC 于点D ．………………………………… 1分连接AB ．∴142BD BC ==． ………………………………………… 3分 ∵点A 的坐标是（2，3），∴AD =3．……………………………………………………… 4分 在Rt △ABD 中，∴5AB = ……………………………………… 5分 ∴⊙A 的半径为5．17.解：（1）如图1．………………………… 1分（说明：点F在CD的延长线上）∴△ADF为所求．（2）①如图2，依题意，AE=AF，∠EAF =90°．…………… 2分在Rt△ABE中，∵AB=2，112BE BC==，∴AE．…………………………………………… 3分在Rt△AEF中，EF==．……………………………… 4分②l==．……………………………… 5分∴弧EF的长为2．18．解：如图，作PD⊥BC于点D．………………………1分根据题意，得∠BPD=60°，∠CPD=45°．PB=AP - AB =20．………………………………… 2分在Rt△BPD中，∴cos60=10PD PB=•︒．……………………………3分在Rt△CPD中，∴cos45PDPC=︒…………………………… 4分∴14PC≈．…………………………………………5分答：乙船的航行距离约是14海里．四、解答题（本题共20分，每小题5分）C图1D图219.解：（1）证明：∆=〔-(m +1)]2-4m =(m -1)2．…………………………………………………………………………………… 1分∵（m -1）2≥0，∴∆≥0．∴该方程总有两个实数根． ………………………………………………………………… 2分（2）解：x =当m 为整数1或-1时，x 2为整数，即该方程的两个实数根都是整数，∴m 的值为1或-1．…………………………………………………………………………… 5分20.解：（1）∵点A （a ，3）在直线2y x =-+ 上， ∴ 3=-a +2．∴ a =-1．………………………………………………………………………………………… 1分 ∴A （-1，3）．∵点A （-1，3）在反比例函数ky =x的图象上，∴31k=－．∴ k = -3． ………………………………………………………………………………………… 2分∴3y =x-． ……………………………………………………………………………………… 3分（2）（0，4 ）或（0，-4 ）．……………………………………………………………………………5分21.解：（1）120+5x ；……………………………………………………………………………………………………………………………… 1分（2）设有x 辆车未租出时，该汽车租赁公司日收益为y 元．根据题意，有()()4012052100y x x =-+-．…………………………………………………………………… 3分 即 25802700y x x =-++． ∵05<-， ∴当8082(5)x =-=⨯-时，y 有最大值.y 有最大值是3020. ……………………………………………………………………………………………………………………… 4分 ∴120+5x =120+5×8=160. …………………………………………………………………………………………………………… 5分答：当每辆车的日租金为160元时，该汽车租赁公司日收益最大，最大日收益为3020元.22. （1）证明：如图，连接BD ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．…………………………………… 1分 ∴∠DAB +∠ABD =90°． ∵AF 是⊙O 的切线， ∴∠FAB =90°．…………………………………… 2分 即∠DAB +∠CAF =90°． ∴∠CAF =∠ABD ．A∵BA =BC ，∠ADB =90°， ∴∠ABC =2∠ABD ．∴∠ABC =2∠CAF ．………………………………… 3分（2）解：如图，连接AE ．∴∠AEB =90°． 设CE = x ，∵CE ：EB =1：4，∴EB =4x ，BA =BC =5x ，AE =3x ． 在Rt △ACE 中，AC 2=CE 2+AE 2．即(210)2= x 2+(3x ) 2．∴x =2． ∴CE =2．…………………………………………………………………………………………… 4分 ∴EB =8，BA =BC =10，AE =6．∵tan AE AFEB BAABF ==∠. ∴6810AF =. ∴AF =152. ……………………………………………………………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解： (1) 由题意可知，此二次函数图象的对称轴为2x =，即()322k k-+-=. ∴1k =. …………………………………………………………………………………………1分 ∴y =x 2-4x +3. ……………………………………………………………………………………2分 （2）如图1…………………………………………3分1＜x ＜3. …………………………………………………………………………………………………………………………… 4分（3）由（1）得此方程为2230x mx m m -+-=.22=34m m m ∆---（）（）=-m 2+4m . …………………………………………………………………………………… 5分∴Δ是m 的二次函数.图1由图2可知，当-1≤m ＜0时，Δ＜0； 当m =0时，Δ=0；当0＜m ≤3时，Δ＞0. ∴当-1≤m ＜0时，原方程没有实数根；当m =0时， 原方程有两个相等的实数根 ；当0＜m ≤3时，原方程有 两个不相等的实数根. ………………………………7分24.（1）90；………………………………………………………1分 （2）∠FPG =120°；……………………………………………2分证明：如图，连接BD ，CE ． ∵∠BAC =∠DAE ， ∴∠BAD =∠CAE ． ∵AB =AC ，AD =AE ，∴△BAD ≌△CAE ……………………………………3分∴∠1=∠2．∵点F ，G ，P 分别是DE ，BC ，CD 的中点，∴PF ∥CE ，PG ∥BD ．……………………………………………………………………………4分 ∴∠FPD=∠ECD =∠2+∠3，∠4=∠5． ∴∠DPG =∠4+∠6=∠5+∠6．∴∠FPG=∠FPD +∠DPG =∠2+∠3 +∠5+∠6=∠1+∠3 +∠5+∠6．即∠FPG=∠ABC +∠ACB =180°-∠BAC =120°．…………………………………………………5分（3）7sin(90)2α︒－． ……………………………………………………………………………………7分（说明：也可以写成7cos 2α） 25.解：（1）依题意，可知 A （-1， 0），B （0，2）．抛物线y ＝ax 2＋bx －32经过点A ，C (4,0) 所以有 203216+40.3a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， ………………………………………………………………………1分解得 161.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴2112623y x x =--．………………………………………………………………………………2分 （2）点D 在该抛物线上．………………………………………………………………………………3分B依题意，可得BO =2，CO =4． 过点D 作DF 垂直x 轴于点F , ∴△CDF ∽△CBO ． ∴2===1DC DF CF BC BO CO ． ∴DF =4，OF = CF - OC = 4． ∴ D （-4，4）．……………………………………4分∵()()21124623⨯-⨯-=-4-4，∴点D 在该抛物线上． （3）①由题意可知E （4，10）． 设DE 与y 轴的交点为M ′， ∵M ′B ∥EC ，∴'1'DM DB EM CB ==． ∴D M ′=EM′．∴M′ 即⊙M 的圆心M ．∴152BM EC ==．∴M （0，7）．…………………………………………………………………………………6分 ②（-4，4）或（3，3）．………………………………………………………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.。
2014北京中考朝阳区一模数学试题及答案(word版)
2014北京市朝阳区九年级综合练习（一）数 学 试 卷 2014.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．-5的相反数是A ．5B ．-5C ．15 D ．152．高速公路假期免费政策带动了京郊旅游的增长．据悉，2014年春节7天假期，我市乡村 民俗旅游接待游客约697 000人次，比去年同期增长14.1%．将697 000用科学记数法 表示应为 A ．697×103B ．69.7×104C ．6.97×105D ．0.697×1063．把多项式x 2y ﹣2 x y 2+ y 3分解因式，正确的结果是（ ） A ．y (x ﹣y)2B ．y (x + y )(x ﹣y )C ．y (x + y )2D ．y (x 2﹣2xy + y 2)4．在九张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是奇数的概率是 A ．29 B ．13C ．49D ．59 5．如图，△ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上，DE ∥AB ， 若∠ADE =46°，则∠B 的度数是 A ．34° B ．44° C ．46°D ．54°6．期中考试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小晖说：“我们组考分是82分的人最多”，小聪说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是82分”．上面两位同学的话能反映出的统计量是A ．众数和平均数B ．平均数和中位数C ．众数和方差D ．众数和中位数7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =2x 2+mx +8的顶点A 在x 轴 上，则m 的值是 A ．±4 B ． 8C ．-8D ．±88．正方形网格中的图形（1）～（4）如图所示，其中图（1）、图（2）中的阴影三角形都是有一个角是60°的直角三角形，图（3）、图（4）中的阴影三角形都是有一个角是60°的锐角三角形．以上图形能围成正三棱柱的图形是A ．（1）和（2）B ．（3）和（4） C．（1）和（4） D ．（2）、（3）、（4）B5题图7题图二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．请写出一个经过第一、二、三象限，并且与y 轴交与点（0,1）的 直线表达式 ____________．10．如图，已知零件的外径为30 mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD 相等，OC =OD ）测量零件的内孔直径AB ．若OC ：OA =1∶2，且量得CD ＝12 mm ，则零件的厚度_____x =mm ．11．将一张半径为4的圆形纸片（如图①）连续对折两次后展开得折痕AB 、CD ，且AB ⊥CD ，垂足为M （如图②），之后将纸片如图③翻折，使点B 与点M 重合，折痕EF 与AB 相交于点N ，连接AE 、AF （如图④），则△AEF 的面积是__________．12．如图，在反比例函数2y x=（x > 0）的图象上有点A 1，A 2，A 3，…，A n -1，A n ，这些点的横坐标分别是1，2，3，…，n -1，n 时，点A 2的坐标是__________；过点A 1 作x 轴的垂线，垂足为B 1，再过点A 2作A 2 P 1⊥A 1 B 1于点P 1，以点P 1、A 1、A 2为顶点的△P 1A 1A 2的面积记为S 1，按照以上方法继续作图，可以得到△P 2 A 2A 3，…，△P n -1 A n -1 A n ，其面积分别记为S 2，…，S n -1，则S 1+ S 2+…+ S n =________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13． 计算：11()3--－8－(5－π)0+4cos45°． 14．解不等式组：22021 1.3x x x -≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩，15． 已知2240x x +-=，求22(1)(6)3x x x ---+的值．10题图图① 图② 图③ 图④16．如图，四边形ABCD是正方形，AE、CF分别垂直于过顶点B的直线l，垂足分别为E、F．求证：BE=CF．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AD=6，A（1，0），B（9，0），直线y=kx+b经过B、D两点．（1）求直线y=kx+b的表达式；（2）将直线y=kx+b平移，当它l与矩形没有公共点时，直接写出b的取值范围．Array18．列方程或方程组解应用题：从A地到B地有两条行车路线：路线一：全程30千米，但路况不太好；路线二：全程36千米，但路况比较好，一般情况下走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的1.8倍，走路线二所用的时间比走路线一所用的时间少20分钟．那么走路线二的平均车速是每小时多少千米？．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，△ABC中，BC >AC，点D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E 是AB的中点．（1）求证：EF∥BD ；（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四边形BDFE的面积．20．据报道，历经一年半的调查研究，北京PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车一天行驶20千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放0.035千克污染物．以下是相关的统计图、表：（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“2013年北京市全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100辆机动车，了解到其中每天出行超过20千米的有40辆．已知北京市2013年机动车保有量已突破520万辆，请你通过计算，估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？21．如图，CA 、CB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．直径延长AD 与CB 的延长线交于点E ． AB 、CO 交于点M ，连接OB ． （1）求证：∠ABO =12∠ACB ； （2）若sin ∠EAB ，CB =12，求⊙O 的半径及BEAE的值．A2013年北京市全年空气质量等级天数统计表北京市空气中PM 2.5本地污染源扇形统计图22．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移).小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等．．．．，若设新的正方形的边长为x （x ＞0），可得x 2=5，x 由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长. 参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．具体要求如下： （1）设拼接后的长方形的长为a ，宽为b ，则a 的长度为 ； （2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）； （3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程 23(1)230mx m x m -+++=.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．图④ 图⑤CB图① 图② 图③24．在△ABC 中，CA ＝CB ，在△AED 中， DA ＝DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上，． （1）如图①，若∠ACB ＝∠ADE ＝90°，则CD 与BE 的数量关系是 ； （2）若∠ACB ＝∠ADE ＝120°，将△AED 绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ；， （3）若∠ACB ＝∠ADE ＝2α（0°< α < 90°），将△AED 绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD 与BE 的数量关系，并加以证明(用含α的式子表示)．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A( 0)，点B (0，2)，点C 是线段OA 的中点． （1）点P 是直线AB 上的一个动点，当PC +PO 的值最小时，①画出符合要求的点P （保留作图痕迹）； ②求出点P 的坐标及PC +PO 的最小值；（2）当经过点O 、C 的抛物线y =ax 2+bx +c 与直线AB 只有一个公共点时，求a 的值并指出这个公共点所在象限．A 图①A 图③A 图②北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2014.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．D 7．B 8．C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．答案不唯一，如y =x +1 10. 3 11.12. (2,1)；1n n-.（每空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式3142=--+………………………………………… 4分 =-4.………………………………………………………………… 5分14.解：220211.3x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由不等式①，得x ≥1. ……………………………………………………… 2分由不等式②，得x < 4. ……………………………………………………… 4分所以不等式组的解为1≤x < 4. …………………………………………… 5分15. 解：原式2224263x x x x =-+-++ ………………………………………………2分= x 2+2x +5. …………………………………………………………………3分∵ x 2+2x -4 =0，∴ x 2+2x = 4. ……………………………………………………………………4分 ∴ 原式=4+5=9. …………………………………………………………………5分16. 证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB =BC ，∠ABC=90°． ……………………………………………………1分 即 ∠ABE +∠CBF =90°． ∵ AE ⊥l ，CF ⊥l ，∴ ∠AEB =∠BFC =90°，且∠ABE+∠BAE =90°． ……………………… 2分 ∴ ∠BAE =∠CBF ． ………………………………………………………… 3分 ∴ △ABE ≌△BCF ． ………………………………………………………… 4分 ∴ BE =CF ． ………………………………………………………………… 5分17. 解:（1）∵ A （1，0）， B （9，0），AD =6．∴D (1，6)． ………………………………………………………………… 1分 将B ， D 两点坐标代入y =kx +b 中，得6,90k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得 34,274k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 32744y x =-+． …………………………………………………… 3分（2）34b <或514b >. ……………………………………………………………… 5分18. 解：设走路线一的平均车速是每小时x 千米，则走路线二平均车速是每小时1.8x 千米． …………………………………… 1分 由题意，得3036201.860x x =+ ……………………………………………………… 2分 解方程，得 x =30. …………………………………………………………3分 经检验，x =30是原方程的解，且符合题意. …………………………………4分 所以 1.8x =54． …………………………………………………………………5分 答：走路线二的平均车速是每小时54千米.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证明：∵ CA =CD ，CF 平分∠ACB ，∴ CF 是AD 边的中线． …………………………………………………1分 ∵ E 是AB 的中点，∴ EF 是△ABD 的中位线．∴ EF ∥BD ； ………………………………………………………………2分（2）解：∵ ∠ACB =60°，CA =CD ，∴ △CAD 是等边三角形．∴ ∠ADC =60°，AD =DC =AC =8．∴ BD =BC -CD =4．过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ．∴ sin AM AD ADC =⋅∠= ．12ABD S BD AM ∆=⋅= …………………………………………………… 3分∵ EF ∥BD ，∴ △AEF ∽△ABD ，且12EF BD =．∴14AEF ABD S S ∆∆=．∴AEF S ∆=． …………………………………………… 4分 四边形BDFE 的面积=ABD AEF S S ∆∆-=． ………………………………… 5分20.解：（1）31.1； ……………………………………………………………………… 1分（2）45134113584474513++++++ ……………………………………………… 2分≈0.16 ． …………………………………………………………………… 3分 该年度重度污染和严重污染出现的频率共是0.16．（3）4052000000.035100⨯⨯ …………………………………………………… 4分 =7 280 0. …………………………………………………………………… 5分 估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放 72 800千克污染物．21. 解：（1）证明：∵CA 、CB 为⊙O 的切线， ∴ CA =CB ， ∠BCO =12∠ACB ，∴∠CBO =90°．……………………………… 1分 ∴ CO ⊥AB ．∴ ∠ABO +∠CBM =∠BCO +∠CBM =90°． ∴ ∠ABO =∠BCO ． ∴ ∠ABO =12∠ACB ． ……………………………………………………………2分 （2） ∵ OA ＝OB ， ∴∠EAB =∠ABO ．∴ ∠BCO ＝∠EAB ． ∵ sin ∠BCO =sin ∠EAB ．…………………3分 ∴OB CB ＝13． ∵ CB ＝12，∴ OB ＝4． ……………………………………………4分 即⊙O 的半径为4．∴∠OBE ＝∠CAE ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴△OBE ∽△CAE ． ∴BE AE ＝OB CA． ∵CA ＝CB ＝12， ∴BE AE ＝13． ………………………………………………………………………5分22. 解：（1； ……………………………………………………………………… 1分A（2）如图（画出其中一种情况即可）…………………………………… 3分（2）如图（画出其中一种情况即可） ……………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 解：（1）由题意 m ≠ 0， ………………………………………………………… 1分 ∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ △>0． ……………………………………………………………… 2分即 22[3(1)]4(23)(3)0m m m m -+-+=+>．得 m ≠﹣3． ………………………………………………………………… 3分 ∴ m 的取值范围为m ≠0和m ≠﹣3；（2）设y =0，则23(1)230mx m x m -+++=．∵ 2(3)m ∆=+， ∴ 33(3)2m m x m+±+=．∴ 123m x m+=，21x =．……………………………………………… 5分 当 123m x m+=是整数时， 可得m =1或m =-1或m =3．………………………………………………………… 6分 ∵ 4x <，∴ m 的值为﹣1或3 ． …………………………………………………………… 7分24.解：（1）BE ； ……………………………………………………………… 1分（2）BE ； ………………………………………………………………… 3分（3）BE =2CD ·sin α． ……………………………………………………………… 4分 证明：如图，分别过点C 、D 作CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AE 于点N ， ∵ CA ＝CB ，DA ＝DE ，∠ACB ＝∠ADE =2α ， ∴ ∠CAB ＝∠DAE ，∠ACM ＝∠ADN=α ，AM=12AB ，AN=12AE ． ∴∠CAD ＝∠BAE ． ……………………………………………………………… 5分Rt △ACM 和Rt △ADN 中,sin ∠ACM =AM AC，sin ∠ADN =ANAD ．∴ sin AM AN AC AD α==．∴ 2sin AB AE AC ADα==．……………………… 6分又 ∵∠CAD ＝∠BAE ，∴ △BAE ∽△CAD ．∴ 2sin BE AB CD ACα==∴ BE =2DC ·sin α． ……………………………………………………………… 7分25. 解：（1）①如图1． ………………………………………………………………… 1分 ②如图2，作DF ⊥OA 于点F ，根据题意，得 AC =COBAO =30°，CE =DE ， ∴ CDCF，DF =32． ∴ D（，32）．………………………2分 求得直线AB的表达式为2y =+， 直线OD的表达式为y =， ∴ P（1）．……………………… 3分在△DFO 中，可求得 DO =3．∴PC +PO 的最小值为3． ……………………… 4分（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O 、C ，∴2y ax =． ……………………………………………………………… 5分由题意，得22ax +=+ ． …………………………………………… 6分 整理，得22=0ax x +--． ∵242=0a ∆--⨯-=（）．图2∴a=………………………………………………………………7分当a=当a=……………………………………………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分．。
2014-2015学年北京市朝阳区2015年初三数学一模试题(附答案)
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2015.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界 平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A ．0.8×1013B ．8×1012C ．8×1013D ．80×10112. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是A ．m ＞nB ．m =nC ．m ＞－nD ．m =－n3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80°4．下列计算正确的是A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3)4= a 7 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是 A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差7为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为 A.16 B. 51C. 310D. 12 8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A ．100B ．C ．D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m ， ST =120 m ，QR =80 m ，则河的宽度PQ 为A ．40 mB ．60 mC ．120 mD ．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的 时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若分式21x 有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ．14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－1，2）的函数，所写的函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a ，417a-，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D作DE ∥AC 且DE=12AC ，连接 CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．（1）求证：OE =CD ；（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为 万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据； （3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与 公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份 公共自行车投放数量（万辆） 利用公共自行车出行人数（万人） 2012 1.4 约9.9 2013 2.5 约17.6 2014 4 约27.6 2015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果， 精确到0.1）25.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 在⊙O 上，过点D 作⊙O切线与AC 的延长线交于点E ，ED ∥BC ，连接AD 交BC 于点F . （1）求证：∠BAD =∠DAE ；（2）若AB =6，AD =5，求DF 的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值； （2）若CD=2，则BP = ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.图1图2图329．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ； ②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图1 图2北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a，nn a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分 21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分① ②12436--=k 244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根， ∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分 ① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分 ② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数. ∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE =………………4分 在Rt △ACE 中，．………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分 （2）如图. …………… 3分（3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD，∵ED为⊙O的切线，∴OD⊥ED．……………………………………………………………………………1分∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ……………………………………………………………… 2分∵BC∥ED,∴∠ACB=∠E=∠EDO.∴AE∥OD.∴∠DAE=∠ADO.∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO.∴∠BAD=∠DAE. ………………………………3分（2）连接BD，∴∠ADB=90°.∵AB=6，AD=5，∴BD=……………………………………………………………4分∵∠BAD=∠DAE=∠CBD ，∴tan∠CBD = tan∠BAD.在Rt△BDF中，∴DF=BD·tan∠CBD =115. ……………………………………………………………5分26. 解：PDAP 的值为23 . …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2，∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k .∵E 是AC 中点，∴AE ＝CE .∵AF ∥DB ，∴∠F ＝∠1.又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分∴AF ＝BC ＝2k .∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP . ∴DB AF PDAP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分 （2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) .∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分∵直线n x y +=经过点F ，∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.∵DF ⊥BC ，∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠ABC =∠DFB =90°.∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中，∵AC =8，DF =3，∴AC=，DF=. ………………………………………………………………4分AF =AB －BF=即BE= …………………………………………………………………………5分（2BD =BE +AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，根据题意，有 ⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k . 图1∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P . ∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分。
2015北京市中考朝阳一模数学
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A．0.8×1013B．8×1012C．8×1013D．80×10112. 如图，下列关于数m、n的说法正确的是A．m＞n B．m=n C．m＞－n D．m=－n3．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于A．20°B．40°C．60°D．80°4．下列计算正确的是A．2a+3a=6a B. a2+a3=a5 C. a8÷a2=a6 D. (a3)4= a75．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是A．平均数B．中位数C．众数D．方差7为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为A. 16B.51C.310D.128. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A．100 B．C．D．109．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ为A．40 m B．60 mC．120 m D．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ． 14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－，2）的函数，所写的 函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a ，417a -，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量（万辆）利用公共自行车出行人数（万人）2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）25.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 在⊙O 上，过点D 作⊙O 切线与AC 的延长线交于点E ，ED ∥BC ，连接AD 交BC 于点F . （1）求证：∠BAD =∠DAE ；（2）若AB =6，AD =5，求DF 的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值； （2）若CD=2，则BP = ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.图1图2图328．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ；②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图1 图2北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a ，nn a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .① ②∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分12436--=k244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根， ∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数.∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE =………………4分 在Rt △ACE 中，………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分 （2）如图. …………… 3分（3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD ，∵ED 为⊙O 的切线，∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ………………………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 （2）连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5，∴BD ……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ，∴tan ∠CBD = tan ∠BAD . 在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =115. ……………………………………………………………5分 26. 解：PD AP 的值为23. …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点，∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ，∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP .∴DBAFPD AP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分 （2） 6. ……………………………………………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M 2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°. ∵DF ⊥BC ， ∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分 ∵∠C =90°，AC =BC ， ∴∠ABC =∠DFB =90°. ∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分 ∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中， ∵AC =8，DF =3，∴AC=，DF=. ………………………………………………………………4分 AF =AB －BF=即BE= …………………………………………………………………………5分 （2BD =BE +AB. ……………………………………………………………………7分图129. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分 ∵P (1，2)， ∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=， 根据题意，有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P .∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分。
2015年北京市朝阳区中考一模数学试卷(解析版)
2015年北京市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8000000000000美元基建投资．将8000000000000用科学记数法表示应为（）A．0.8×1013B．8×1012C．8×1013D．80×1011 2．（3分）如图，下列关于数m、n的说法正确的是（）A．m＞n B．m＝n C．m＞﹣n D．m＝﹣n 3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2＝∠3，若∠1＝80°，则∠4等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°4．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．a2+a3＝a5C．a8÷a2＝a6D．（a3）4＝a7 5．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差7．（3分）下表是某种抽奖活动中，封闭的抽奖箱中各种球的颜色、数量，以及它们所代表的奖项：为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）若正方形的周长为40，则其对角线长为（）A．100B．C．D．109．（3分）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m 10．（3分）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）A．乙的速度是4米/秒B．离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C．甲从起点到终点共用时83秒D．乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分解因式：3m2﹣6mn+3n2＝．13．（3分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC＝40°，则∠CDB的度数为．14．（3分）请写出一个图象从左向右上升且经过点（﹣1，2）的函数，所写的函数表达式是．15．（3分）为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）．如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是（填“一类、二类、三类”中的一个）．16．（3分）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．18．（5分）计算：|﹣|+（﹣）﹣1﹣2sin45°+（π﹣2015）0．19．（5分）解不等式组：．20．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3＝0（1）求k的取值范围；（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．22．（5分）列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工．按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列车时速是最慢列车时速的倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．24．（5分）为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012﹣2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系．2012﹣2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）25．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O 切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠DAE；（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的长．26．（5分）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD＝1：2，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC＝1：2：3．（1）求的值；（2）若CD＝2，则BP＝．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）如图，将抛物线M1：y＝ax2+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线y＝x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是﹣3．（1）求a的值及M2的表达式；（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD 的右侧作正方形CDEF．①当点C的横坐标为2时，直线y＝x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；②在点C的运动过程中，若直线y＝x+n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）．28．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BC边上．①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．29．（8分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P（1，2），Q（4，2）．①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．2015年北京市朝阳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8000000000000美元基建投资．将8000000000000用科学记数法表示应为（）A．0.8×1013B．8×1012C．8×1013D．80×1011【解答】解：8000000000000＝8×1012，故选：B．2．（3分）如图，下列关于数m、n的说法正确的是（）A．m＞n B．m＝n C．m＞﹣n D．m＝﹣n【解答】解：由图可知：点m表示的数是﹣2，点n表示的数是2，2与﹣2互为相反数，∴m＝﹣n，故选：D．3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2＝∠3，若∠1＝80°，则∠4等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°【解答】解：∵a∥b，∠1＝80°，∴∠2+∠3＝80°，∠3＝∠4．∵∠2＝∠3，∴∠3＝40°，∴∠4＝40°．故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．a2+a3＝a5C．a8÷a2＝a6D．（a3）4＝a7【解答】解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A错误；B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；故选：C．5．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．6．（3分）为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解答】解：吃哪种水果的人最多，就决定最终买哪种水果，而一组数据中出现次数最多的一个数是这组数据的众数．故选：C．7．（3分）下表是某种抽奖活动中，封闭的抽奖箱中各种球的颜色、数量，以及它们所代表的奖项：为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵共有5+6+9+10＝30个球，为红色（一等奖）的有5个，∴P（抽中一等奖）＝＝，故选：A．8．（3分）若正方形的周长为40，则其对角线长为（）A．100B．C．D．10【解答】解：∵正方形的周长为40，∴正方形的边长为10，∴对角线长为，故选：C．9．（3分）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m【解答】解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PSR，∴＝，即＝，∴PQ＝120（m）．故选：C．10．（3分）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）A．乙的速度是4米/秒B．离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C．甲从起点到终点共用时83秒D．乙到达终点时，甲、乙两人相距68米【解答】解：由函数图象，得：甲的速度为12÷3＝4米/秒，乙的速度为400÷80＝5米/秒，故A错误；设乙离开起点x秒后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得：5x＝12+4x，解得：x＝12，∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点为：12×5＝60（米），故B错误；甲从起点到终点共用时为：400÷4＝100（秒），故C错误；∵乙到达终点时，所用时间为80秒，甲先出发3秒，∴此时甲行走的时间为83秒，∴甲走的路程为：83×4＝332（米），∴乙到达终点时，甲、乙两人相距：400﹣332＝68（米），故D正确；故选：D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是x≠2．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2；故答案为：x≠2．12．（3分）分解因式：3m2﹣6mn+3n2＝3（m﹣n）2．【解答】解：3m2﹣6mn+3n2＝3（m2﹣2mn+n2）＝3（m﹣n）2．故答案为：3（m﹣n）2．13．（3分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC＝40°，则∠CDB的度数为20°．【解答】解：连接OB，∵⊙O的直径CD垂直于AB，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝40°，∴∠BDC＝∠AOC＝×40°＝20°．故答案为：20°．14．（3分）请写出一个图象从左向右上升且经过点（﹣1，2）的函数，所写的函数表达式是y＝x+3．【解答】解：写出的函数只要是函数值y随x的增大而增大即可，∴y＝x+3（答案不唯一）．故答案为：y＝x+3．15．（3分）为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）．如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是二类（填“一类、二类、三类”中的一个）．【解答】解：如果停车所在地区的类别是一类，应该收费：2.5×4+3.75×8＝40（元），如果停车所在地区的类别是二类，应该收费：1.5×4+2.25×8＝24（元），如果停车所在地区的类别是三类，应该收费：0.5×4+0.75×8＝8（元），故答案为二类．16．（3分）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n 为正整数）．【解答】解：∵＝（﹣1）2•，＝（﹣1）3•，＝（﹣1）4•，…∴第7个式子是，第n个式子为：．故答案是：，．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（SAS）．∴AC＝ED．18．（5分）计算：|﹣|+（﹣）﹣1﹣2sin45°+（π﹣2015）0．【解答】解：原式＝﹣3﹣2×+1＝﹣2．19．（5分）解不等式组：．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x＜1，∴不等式组的解集是﹣2＜x＜1．20．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值．【解答】解：（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4＝x2+x﹣3，∵x2+x﹣5＝0，∴x2+x＝5，∴原式＝5﹣3＝2．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3＝0（1）求k的取值范围；（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．【解答】解：（1）△＝（﹣6）2﹣4（k+3）＝36﹣4k﹣12＝﹣4k+24，∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣4k+24＞0．解得k＜6；（2）∵k＜6且k为大于3的整数，∴k＝4或5．①当k＝4时，方程x2﹣6x+7＝0的根不是整数．∴k＝4不符合题意；②当k＝5时，方程x2﹣6x+8＝0根为x1＝2，x2＝4均为整数．∴k＝5符合题意．综上所述，k的值是5．22．（5分）列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工．按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列车时速是最慢列车时速的倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？【解答】解：设京张高铁最慢列车的速度是x千米/时．由题意，得，解得x＝180．经检验，x＝180是原方程的解，且符合题意．答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．24．（5分）为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为2300万吨；（2）请根据以上信息补全2012﹣2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系．2012﹣2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）【解答】解：（1）920÷40%＝2300（万吨）；（2）2014年全市燃煤数量为：2300﹣450＝1850（万吨），2015年全市燃煤数量为：2300﹣800＝1500（万吨），2017年全市燃煤数量为：2300﹣1300＝1000（万吨），折线统计图补充如下：（3）∵9.9÷1.4≈7.07，17.6÷2.5＝7.04，27.6÷4＝6.9，∴估计该地区2015年利用公共自行车出行的人数为：5×0.70＝35.0（万人）．故答案为2300；35.0．25．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O 切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠DAE；（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的长．【解答】解：（1）连接OD，∵ED为⊙O的切线，∴OD⊥ED，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BC∥ED，∴∠ACB＝∠E＝∠EDO，∴AE∥OD，∴∠DAE＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠BAD＝∠DAE；（2）连接BD，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，AD＝5，∴BD＝，∵∠BAD＝∠DAE＝∠CBD，∴tan∠CBD＝tan∠BAD＝，在Rt△BDF中，∴DF＝BD•tan∠CBD＝．26．（5分）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD＝1：2，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC＝1：2：3．（1）求的值；（2）若CD＝2，则BP＝6．【解答】解：的值为．提示：易证△AEF≌△CEB，则有AF＝BC．设CD＝k，则DB＝2k，AF＝BC＝3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到＝＝．故答案为：；解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC＝k，由DC：BC＝1：2得BC＝2k，DB＝DC+BC＝3k．∵E是AC中点，∴AE＝CE．∵AF∥DB，∴∠F＝∠1．在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF＝BE，AF＝BC＝2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴＝＝＝＝．∴的值为；（2）当CD＝2时，BC＝4，AC＝6，∴EC＝AC＝3，EB＝＝5，∴EF＝BE＝5，BF＝10．∵＝（已证），∴＝，∴BP＝BF＝×10＝6．故答案为6．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）如图，将抛物线M1：y＝ax2+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线y＝x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是﹣3．（1）求a的值及M2的表达式；（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD 的右侧作正方形CDEF．①当点C的横坐标为2时，直线y＝x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；②在点C的运动过程中，若直线y＝x+n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）．【解答】解：（1）∵点A在直线y＝x，且点A的横坐标是﹣3，∴A（﹣3，﹣3），把A（﹣3，﹣3）代入y＝ax2+4x，解得a＝1．∴M1：y＝x2+4x，顶点为（﹣2，﹣4）．∴M2的顶点为（1，﹣1）．∴M2的表达式为y＝x2﹣2x．（2）①由题意，C（2，2），∴F（4，2）．∵直线y＝x+n经过点F，∴2＝4+n．解得n＝﹣2．②由题意得：n的取值范围是n＞3，n＜﹣6．28．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BC边上．①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示．②如图1②，由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°．∵DF⊥BC，∴∠FDB＝90°．∴∠ADF＝∠EDB．∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠DFB＝45°．∴DB＝DF．∴△ADF≌△EDB．∴AF＝EB．在△ABC和△DFB中，∵AC＝8，DF＝3，∴A＝，BF＝．AF＝AB﹣BF＝即BE＝．（2）如图2，BD＝BE+AB．29．（8分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P（1，2），Q（4，2）．①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是A、B；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）①∵P（1，2），Q（4，2），∴在点A（1，0），B（，4）到PQ的距离为2．∴PQ的“等高点”是A、B，故答案为：A、B；②如图1，作点P关于x轴的对称点P′，连接P′Q，P′Q与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q的长．∵P（1，2），∴P′（1，﹣2）．设直线P′Q的表达式为y＝kx+b，根据题意，有，解得．∴直线P′Q的表达式为．当y＝0时，解得．即．根据题意，可知PP′＝4，PQ＝3，PQ⊥PP′，∴．∴“等高距离”最小值为5．（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，∴PQ＝2，MN＝2．设PN＝x，则NQ＝2﹣x，在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：MP2＝22+x2＝4+x2，MQ2＝22+（2﹣x）2＝x2﹣4x+8，∴MP2+MQ2＝2x2﹣4x+12＝2（x﹣1）2+10，∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x＝1，即PN＝NQ，∴△MPQ为等腰三角形，∴MP＝MQ＝，如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，则在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：QE2＝QP2﹣OE2＝22﹣y2＝4﹣y2，＝，∴4﹣．解得y＝．，当点Q在第一象限时x＝，当点Q在第二象限时x＝﹣，∴Q（，）或Q（，）．。
北京市2015年朝阳区初三数学一模试卷及答案
2015年初中毕业生学业考试模拟试题（一）·数学本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分）1．在1-，0，3和（A ）1-． （B ）0． （C ）3． （D2．由6个完全相同的小正方体搭成的几何体如右图所示，它的主视图是3．计算32(2)a 的结果是（A ）52a ． （B ）54a （C ）62a ． （D ）64a ．4．不等式组20,26x x -≥⎧⎨>⎩的解集为（A ）2x ≥． （B ）3x >． （C ）23x ≤<． （D ）2x >． 5．如图，直线a 与直线b 被直线c 所截，b c ⊥，垂足为点A ，170∠=︒．若使直线b 与直线a平行，则可将直线b 绕着点A 顺时针旋转（A ）70︒． （B ）50︒． （C ）30︒． （D ）20︒．6．如图，AB 是O 的直径，点C 在圆周上，点P 是线段OB 上任意一点，连结AC 、CP ．若35BAC ∠=︒，则APC ∠的度数不可能．．．是 （A ）90︒． （B ）75︒． （C ）60︒． （D ）50︒．7．如图，在平面直角坐标系中，点(,2)A m 在第一象限．若点A 关于y 轴的对称点B 在反比例函数6y x=-的图象上，则m 的值为 （A ）3-． （B ）3． （C ）6． （D ）6-．8．将22⨯的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD 的顶点都在格点上．若直线(0)y kx k =≠与正方形ABCD 有公共点，则k 的取值范围是（A ）2k ≤． （B ）12k ≥． （C ）122k ≤≤． （D ）122k <<． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9= ．10．甲、乙二人一起加工零件．甲平均每小时加工a 个零件，加工2小时；乙平均每小时加工b个零件，加工3小时．甲、乙二人共加工零件 个．11．如图，在ABC ∆中，80,60ACB ABC ∠=︒∠=︒．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 于点D ．则ADB ∠的度数为 °．12．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC 边的中点，1OE =，则AB 的长是 ．（A ） （B ） （C ） （D ）（第7题）（第11题） （第12题）ODC EB AGFE DC B Aba（第5题） （第6题）B（第13题） （第14题）13．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，连结对角线AC AE 、．若O 的半径为2，则图中阴影部分图形的面积和是 （结果保留π）．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(2)y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．过点B 作BCx 轴，交抛物线于点C ，过点A 作AD y 轴，交BC 于点D ，点P 在BC 下方的抛物线上（P 不与,B C 重合），连结,PC PD ，则PCD ∆面积的最大值是 ． 三、解答题（本大题10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：22426933a a aa a a a --÷-++++，其中1a =-.16．（6分）甲、乙两个不透明的口袋中各装有3个小球，它们除所标数字不同外其余均相同．甲口袋中小球分别标有数字1，5，7，乙口袋中小球分别标有数字0，1，2．现从甲口袋中随机摸出1个小球，记下标号；再从乙口袋中随机摸出1个小球，记下标号．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出小球的标号之和是偶数的概率．17．（6分）某市为了在冬季下雪时更好的清扫路面积雪，新购进一批清雪车．每辆新清雪车比每辆旧清雪车每小时多清扫路面2km ，每辆新清雪车清扫路面35km 与每辆旧清雪车清扫路面25km 所用的时间相同，求每辆旧清雪车每小时清扫路面多少km ？18．（7分）如图，甲楼AB 的高度为35m ，经测得，甲楼的底端B 处与乙楼的底端D 处相距105m ，从甲楼顶部A 处看乙楼顶部C 处的仰角CAE ∠的度数为25︒．求乙楼CD 的高度（结果精确到0.1m ）．【参考数据：sin 250.42cos 250.91tan 250.47︒=︒=︒=，，】19．（7分）我国从2011年1月1日起在公共场所实行“禁烟”，到2015年1月1日，实行了四年．某社区为进一步巩固“禁烟”成果，开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，随机抽样调查了该社区部分居民的意见，并将调查结果整理后绘制成如下统计图． （1）该社区一共随机调查了多少人；（2）此次抽样调查的居民中，支持“替代品戒烟”的居民有 人，并补全条形统计图； （3）若该社区共有居民18000人，则该社区大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式.20．（7分）如图，在正方形ABCD 中，以AD 为边作等边三角形ADE ，点E 在正方形内部，将AB 绕着点A 顺时针旋转30︒得到线段AF ，连结EF ．求证：四边形ADEF 是菱形．（第19题）戒烟 戒烟 戒烟 戒烟 方式被调查的居民支持哪种戒烟强制戒烟40%警示戒烟药物戒烟被调查的居民支持哪种戒烟 方式人数的扇形统计图25°E DCBA（第18题）（第20题）FEDBA21．（8分）王先生开轿车从A 地出发，前往B 地，路过服务区休息一段时间后，继续以原速度行驶，到达B 地后，又休息了一段时间，然后开轿车按原路返回A 地，速度是原来的1.2倍．王先生距离A 地的路程(km)y 与行驶的时间(h)x 之间的函数图象如图所示． （1）王先生开轿车从A 地行驶到B 地的途中，休息了 h ；（2）求王先生开轿车从B 地返回A 地时y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）王先生从B 地返回A 地的途中，再次经过从A 地到B 地时休息的服务区，求此时的x 的值．22．（9分）探究：如图①，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =．点D 在边AB 上（D 不与,A B 重合），连结CD ，过点C 作CE CD ⊥，且CE C D =，连结DE 、AE ．求证：BCD ∆≌ACE ∆．应用：如图②，在图①的基础上，点D 在BA 的延长线上，其他条件不变．若14AD AB =，4AB =，求DE 的长．23．（10分）如图，抛物线212y x bx c =-++与直线112y x =+交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标是2．点P 在直线AB 上方的抛物线上，过点P 分别作PCy 轴、PD x 轴，与直线AB 交于点C D 、，以PC PD 、为边作矩形PCQD ，设点Q 的坐标为(,)m n ．（1）点A 的坐标是 ，点B 的坐标是 ；（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；（3）求m 与n 之间的函数关系式（不要求写出自变量n（4）请直接写出矩形PCQD 的周长最大时n 的值．24．（12分）如图，在矩形ABCD 中，3cm,4cm AB BC ==，点O 是对角线AC 的中点，连结BO ．动点,P Q 从点B 同时出发，点P 沿B C B →→以2cm /s 的速度运动到终点B ． 点Q 沿B A →以1cm /s 的速度运动到终点A ．以BP BQ 、为边作矩形BPMQ （点M 不与点A 重合）．设矩形BPMQ 与OBC ∆重叠部分图形的面积为2(cm )y ，点P 的运动时间为(s)x ．（1）当点M 在AC 上时，求x的值；（2）直接写出点O 在矩形BPMQ 内部时x 的取值范围；（3）当矩形BPMQ 与OBC ∆重叠部分的图形是四边形时，求y 与x 之间的函数关系式． （4）直接写出直线AM 将矩形ABCD 的面积分成1:3的两部分时x 的值．（第23题）（第24题）A CD PQ OM （备用图）ODCA （第22题）（图①）CDE（图②）ED CBA（第21题）y2015年初中毕业生学业考试模拟试题（一）·数学答案阅卷说明：1．评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分．2．考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分． 一、选择题（每小题3分，共24分）1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C 二、填空题（每小题3分，共18分）9．1- 10．(23)a b + 11．100 12．2 13．43π 14．4 评分说明：第10题不加括号不扣分，第11题带单位不扣分． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15．解：原式2(2)(2)3(3)23a a a a a a a +-+=-+-+ …………（3分） 233a a a a +=-++23a =+. …………（4分） 当1a =-时，原式2113==-+. …………（6分）16．解：树状图如图所示：…………（4分）∴P（两次摸出的小球标号之和是偶数）3193== …………（6分） 评分说明：列树状图不写出结果不扣分． 17．解：设每辆旧清雪车每小时清扫路面x km ． …………（1分）由题意，得25352x x =+． …………（3分） 解得5x =． …………（5分）经检验5x =是原方程的解，且符合题意．答：每辆旧清雪车每小时清扫路面5km ．…………（6分） 18．解：（1）如图，由题意，得35m DE AB ==，105m,25AE BD CAE ︒==∠=．在Rt ACE △中，90AEC ∠=︒，tan CECAE AE∠=， …………（3分）∴tan 1050.4749.35m CE AE CAE =∙∠=⨯=． …………（5分）∴84.3584.4m CD AB CE =+=≈． …………（7分）答：乙楼CD 的高约为84.4m ．评分说明：（1）计算过程和结果中写成“=”“≈”均不扣分．（2）计算过程加单位不扣分．（3）不答不扣分． 19．解：）12040%300÷=． 2分）答：一共调查了300人．（2）30 3分）如图． …………（5分）（3）105180006300300⨯=（人）． …………（7分）答：该社区大约有6300人支持“警示戒烟”这种方式．评分说明：条形统计图画线不标30或只标30不画线，均可得分．25°EDC BA（第18题）（第19题）戒烟 戒烟 戒烟 戒烟 方式被调查的居民支持哪种戒烟52 0 1 72 0 1 12 0 1 甲乙 结果 1 2 3 5 6 7 7 8 9或20．证法一：证明：如图，∵ADE ∆是等边三角形，∴,60AD DE AE DAE ==∠=︒． …………（1分）∵四边形ABCD 是正方形， ∴,90AD AB BAD =∠=︒． …………（2分）∴30BAE ∠=︒．…………（3分）∵,30AB AF BAF =∠=︒， ∴AF AE =，60EAF ∠=︒． …………（4分）∴AEF ∆是等边三角形． …………（5分）∴AF EF DE AD ===． …………（6分）∴四边形A 是菱形． …………（7分）证法二：证明：如图，∵ADE ∆是等边三角形，∴,60AD DE DAE =∠=︒． …………（1分）∵四边形ABCD 是正方形， ∴,90AD AB BAD =∠=︒． …………（2分）∴30BAE ∠=︒． …………（3分）∵,30AB AF BAF =∠=︒， ∴AF DE=，60EAF AED ∠=∠=︒． …………（4分） ∴AF DE ． …………（5分）∴四边形A D是平行四边形． …………（6分）∴AD DE =．∴平行四边形ADEF是菱形． …………（7分） 21．解：（1）0.4 …………（2分）（2）如图，王先生从B 地返回A 地的速度是2002 1.2120÷⨯=，所用时间为3601203÷=．∴图象经过点(． …………（3分） 设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠． 由题5360,80.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得120,960.k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x之间的函数关系式为120y x =-+． …………（6分）（3）当200y =时，200120960x =-+． 解得193x =． …………（8分） 答：当193x =时，王先生再次经过从A 地到B 地时休息的服务区．22．探究：如图①，∵CE CD ⊥，90ACB ∠=︒， ∴90DCE ACB ∠=∠=︒． …………（1分）（第20题）FEDCBACE（第20题）FEDCBA（第21题）y∴BCD ACE ∠=∠． …………（2分）∵AC BC =，CE CD =，∴BCD ∆≌ACE ∆． …………（3分）应用：如图②，∵AC BC =，90ACB ∠=︒， ∴45CAB ABC ∠=∠=︒，…………（4分）∵14AD AB =，∴1AD =，5BD =． …………（5分） ∵BCD ∆≌ACE ∆，∴5AE BD ==． …………（6分） ∴45CAE CBD ∠=∠=︒． …………（7分）∴90DAE ∠=︒． …………（8分）∴DE = …………（9分）23．解：（1）(2,0)- …………（1分）(2,2) …………（2分）（2）由题意，得221(2)20,2122 2.2b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩ …………（3分） 解得1,23.b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴这条抛物线所对应的函数关系式为211322y x x =-++． …………（4分）（3）如图，∵点Q 的坐标为()m n ，，∴点C的为(2n n -， 点D 的为1(,1)2mm +． ∴点P 的坐标为1(22,1)2n m -+． …………（7分） 把1(22,1)2n m -+代入211322y x x =-++，得 24102m n n =-+-． …………（9分）∴m n ，之间的函数关系式是24102m n n =-+-．（4）1n =． …………10分）24．解：（1）如图①，∵在矩形ABCD 中，∴90ABC ∠=︒．∵90MPC ABC ∠=∠=︒， ∴tan tan MCP ACB ∠=∠． ∴MP ABPC BC =． ∴3424x x =-． ∴65x =． …………（2分） （第23题）D A A D (Q )M D A （图②）E C（2）如图②、③，x的取值范围是332x <<． …………（4分） （3）∵在矩形ABCD 中，∴14362ABC S ∆=⨯⨯=．∵点O 是对角线AC 的中点，∴132OBC ABC S S ∆∆==．①当605x <≤时，如图④，设OB 与QM的交点为E ． …………（5分）∵tan tan QBE CAB ∠=∠，∴QE BCQB AB =． ∴43QE x =． ∴43QE x =．∴BEQ BPMQ y S S ∆=-矩形21442233x x x x x =∙-∙=． …………（6分） ②当322x ≤<时，如图⑤，设OC 与PM 的交点为F ． …………（7分）∵tan tan BCA PCF ∠=∠，∴PF ABPC BC =． ∴3424PF x =-． ∴3(42)4PF x =-． ∴BOC PCF y S S ∆∆=-221333(42)63242x x x =-∙-=-+-． ………… （8分）③当23x <<时，如图⑥，设OC 与PM 的交点为G ． …………（9分）∵tan tan BCA PCG ∠=∠， ∴PG AB PC BC =． ∴3244PG x =-． ∴3(24)4PG x =-．∴BOC PCG y S S ∆∆=-221333(24)63242x x x =-∙-=-+-． …………（10分）综合所述，y 与x 之间的函数关系式为22246(0),353363(2),22363(23).2x x y x x x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-≤<⎨⎪⎪-+-<<⎪⎩（4）34x =或127x =． …………（12分）评分说明：（1）第（1）问若答出4x =不扣分； （2）第（2）问答出332x ≤<或332x <≤均给1分，若答出332x ≤≤不得分； （3）第（3）问的第②、③种情况FE （图④） （图⑤） （图⑥）AC D P Q OMMOQP D CA A CDP QOMG函数关系式若写成23(2)32y x =--+不扣分； 若写成：当33,22x x ≤<≠时，23632y x x =-+-．则得4分；若写成：当332x ≤<时，23632y x x =-+-．则得3分．以下解题过程是第（4）问的解题过程：①当01x <≤时，如图⑦，此时直线AM 经过BC 的中点N ． ∵PM AB ，∴PMN ∆∽BAN ∆．∴PM PN AB BN =．∴2232x x-=．∴34x =． ②当12x <≤时，如图⑧，此时直线AM 经过CD 的中点E ．过点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ．∵EF QM ，∴AMQ ∆∽AEF ∆．∴AQ QM AF EF =．∴32342x x -=．∴127x =． 当24x <≤时，127PM >，直线AM 不在经过点E ．N M OQ P DC B AFEMO Q P D CB A （图⑦） （图⑧）。
2014-2015年北京朝阳初三上学期期末数学试题及答案
2014-2015年北京朝阳初三上学期期末数学试题及答案北京市朝阳区2014～2015学年度第一学期期末检测九年级数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1.一元二次方程x 2-2x =0的解为A ．x = 2B ．x 1 = 0，x 2 = 2C ．x 1 = 0，x 2 = -2D ．x 1 = 1，x 2 = 2 2. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是 A ．（1，2） B ．（1，-2） C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）3.下列图形是中心对称图形的是A B C D4. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若∠C ＝35°，则∠AOB 的度数为 A ．35° B ． 55°C ．65°D ． 70°5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点 均在格点上，则tan ∠ABC 的值为A ．35 B ．34C 5D ．16.下列事件是随机事件的是A ．明天太阳从东方升起B ．任意画一个三角形，其内角和是360°C ．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D ．射击运动员射击一次，命中靶心 7.一个矩形的长比宽相多3cm ，面积是25cm 2，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为x cm ， 则所列方程正确的是A ．x 2-3x +25=0B ．x 2-3x -25=0C ．x 2+3x -25=0D ．x2+3x -50=0 8.如图，点C 是以点O为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与 点A ，B 重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC 的面积为y ，则 下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是BA B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.如图，A 是反比例函数(0)ky x x=＞图象上的一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 垂直于y 轴，垂足为C ，若矩形ABOC 的面积为5，则k 的值为 ． 10.一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的点数大3的概率是 ．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 是边长为2的正方形ABCD 的中心．写出一个函数2y x c =+，使它的图象与正方形ABCD 有公共点，这个函数的表达式为．12.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，将扇形OAB 绕点A 逆时针旋转n °（0＜n ＜180）后得到扇形O ′AB′ ，当点O 在弧AB'上时，n 为 ，图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒∙︒－ .14. 用配方法解方程： x 2-4x -1=0．15. 如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD =2，AB =6，求AC 的长．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A （2，3）为圆心的⊙A 交 x 轴于点B ，C ，BC =8， 求⊙A 的半径．（第11题图）（第12题图）A17. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，以点A 为中心，把△ABE 逆时针旋转90°，设点E 的对应点为F ．（1）画出旋转后的三角形． （2）在（1）的条件下，①求EF 的长；②求点E 经过的路径弧EF 的长．18．如图，甲船在港口P 的南偏东60°方向，距港口30海里的A 处，沿AP 方向以每小时5海里的速度驶向港口P ；乙船从港口P 出发，沿南偏西45°方向驶离港口P ．现两船 同时出发，2小时后甲船到达B 处，乙船到达C 处，此时乙船恰好在甲船的正西方向， 求乙船的航行距离1.41≈1.73，结果保留整数)．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m +1)x +1=0． （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m 的值.20. 如图，直线2y x =-+错误！未找到引用源。
2014-2015学年北京市西城区初三一模数学试题
北京市西城区2015年初三一模试卷数学2015. 4一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的•11.1的相反数是31 1A. B. - C.3 D. -33 32 •据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五同比下降了32% •将196 000用科学记数法表示应为A.1.96 105B.1.96 104C.19.6 1043.下列运算正确的是3 2 236632A. 3a 3b =6abB. a「a 二aC. a 二aD. a a 二a4.如图是一个几何体的直观图，则其主视图是定各自的跑道.若甲首先抽签，则甲抽到1A. 1B.21号跑道的概率是11C. D.346.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7.如图，线段AB是O O的直径，弦CD丄AB，如果/ BOC=70 °那么/ BAD等于A. 20 °B. 30C. 35 °D.70A R5.甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1, 2, 3, 4四条跑道，选手以随机抽签的方式决24时，全市共销售烟花爆竹约196 000箱,D. 0.196 106&在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3, 0P=5, 那么该函数的表达式为12A. yB.x12y = -x15 15C. y =D. y =-x x9•为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图•这组数据的众数和中位数分别是A. 6 , 4B. 6 , 6C. 4 , 4D. 4, 610.如图，过半径为6的O 0上一点A作O 0的切线丨，P为O 0上的一个动点，作PH丄丨于点H，连接PA .如果PA=x , AH= y ,那么下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.如果分式一1有意义，那么x的取值范围是x —512.半径为4cm，圆心角为60°勺扇形的面积为 2cm .._ 213.分解因式：12m -3 =14.如图，△ ABC中，AB=AC,点D, E在BC边上，当—△ ABD ◎△ ACE .（添加一个适当的条件即可）15.如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以O为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB 的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m,OC= 0.5 m,通过计算得到此时的h1,再将横板AB换成横板A B', O为横板A'B的中点，且A'B' 3m，此时B点的最大高度为h2,由此得到h1与h2的大小关系是：h1 h2 （填“〉”、“=”或“V” ）.可进一步得出，h随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变”）.16.如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1,现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A，第2次从点A向右移动6个单位长度至点A，第3次从点A向左移动9个单位长度至点A，,，按照这种移动方式进行下去，点A表示的数是_，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：诉2+ n2008）（1）- -6tan30 .18.如图，/ C=Z E ,Z EAC= / DAB , AB=AD . 求证：BC=DE .19.解不等式组丿2一x'°，35x +1 p>4x —8.20.先化简，再求值:a2 3a ...a 3a2 2a 1 a 1，其中a =2 .£21.从北京到某市可乘坐普通列车或高铁.已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米•如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的 2.5倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时.求高铁的平均速度是多少千米/时.22.已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x - m(m • 2) = 0.(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若x二-2是此方程的一个根，求实数m的值.四、解答题(本题共20分，每小题5分)23.如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC,垂足为点F, E为四边形ABCD外一点，且/ ADE = / BAD ,AE 丄AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA 平分/ BDE , AB=5, AD=6,求AC 的长.24 •在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式•据调查，新票价改革政策的实施给北京市 轨道交通客流带来很大变化•根据 2015年1月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图.调价后部分线路客流馱及变化率调价后不同里程对应票价及客流量变化图根据以上信息解答下列问题： （1）补全扇形图；（2） 题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x （千米）在范围内的客流量下降最明显•对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计 2016年1月这条线路的日均客流量将达到万人次； （精确到0.1）（3） 小王同学上学时，需要乘坐地铁 15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次•问：调价后小王 每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元. （不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次 乘坐地铁票价为2元）市民过去四周乘坐地铁的次数扇形图2014^1 月日均甞流荒 2015年1月 日均客流輦⑷号线154.0 -14,87 1号线110.7 -14.71 2号线 124.81018 -16.835号线 曲88413号线 80.4 72+7 -9.58 6号绘 62.4 7L2 14J0 9号线 44.1 40占 -7J26 E 号线 26.3 30.4 15J59 八通线 31.9 27.6 -13.4815号线 1X5 173 2845昌平线 14-7 15.9 846 亦庄线 17.0 15.6-8^4 房山线9.5 9,2-3.163.22.8 -1250无30J&—驻程（千米）12<i^22 22<x^32 32<x^52 52<r^72 72<x^92客流量变化率（麗）-8.8 -8.0 -7.6 -72 S.6-15.2 -13臬价｛元｝3456789毎周10次或以上12J%29.7%9.0%0.0% -2.0%-AM-6.0% -8,0% -10.0% -12.0% -14.0%25.如图，AB为O O的直径，M为O O外一点，连接MA与O O交于点C,连接MB并延长交O O于点D，经过点M的直线I与MA所在直线关于直线MD对称.作BE丄I于点E,连接AD, DE .(1)依题意补全图形；(2)在不添加新的线段的条件下，写出图中与/ BED相等的角，并加以证明.26•阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题:1 1如果a, B都为锐角，且tan a = - , tan P =-，求a + P的度数.2 3小敏是这样解决问题的：如图1,把:放在正方形网格中，使得.ABD = • CBE =2，且BA, BC在直线BD的两侧，连接AC,可证得△ ABC是等腰直角三角形，因此可求得J = / ABC=°请参考小敏思考问题的方法解决问题：3如果:-,-都为锐角，当tan: -4 , tan『'：一时，在图2的正方形网格中，禾U用已作出的锐角5/ MON= a —B ,由此可得 a - P = ________ °.a,画出五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)227、已知二次函数％=x bx c的图象G经过(-1,0), (0,-3)两点.(1)求C i对应的函数表达式；(2)将G先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线C2，将C22对应的函数表达式记为y^x mx n，求C?对应的函数表达式；(3)设y3 =2x 3 在(2)的条件下，如果在-2 < x w a内存在某一个x的值，使得y2w y3成立，利用函数图象直接写出a的取值范围.28、△ ABC中，AB=AC .取BC边的中点D，作DE丄AC于点E,取DE的中点F，连接BE, H.(1) 如图1，如果.BAC =90 ,(2)AF那么.AHB 二, 二；BE猜想.AH［的度数和AF的值，并证明你的结论;BE如图2，如果ZBAC =60 ,AF交于点29、给出如下规定：两个图形G i和G2,点P为G i上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点.(1)____________________________________________________________ 点A的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线0A之间的距离为___________________________________________ ，点C(/,3)和射线0A之间的距离为_________ ;k(2)如果直线y=x和双曲线y 之间的距离为、2，那么k=;(可在图1中进行研究)x(3)点E的坐标为(1, .. 3)，将射线0E绕原点0逆时针旋转60，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线0E, 0F之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M .①请在图2中画出图形M ,并描述图形M的组成部分；(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)②将射线0E , 0F组成的图形记为图形W，抛物线y = x2- 2与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离.-5 -+ -3 ^2 -10 1 J 3 4 5 1北京市西城区2015年初三一模试卷数学试卷参考答案及评分标准2015. 4题号12345678910答案B A C C D A C A B C 、填空题（本题共18分，每小题3分）111213141516x鼻58n33(2m+1 )(2m—1 )BD=CE, / BAD= / CAE , Z ADB = / AEC,BE=CD, Z BAE= Z CAD , Z ADE = Z AED ,AE=AD (只填一个即可)一 ?不变7, 1317 .解：J12+（n2008 0 •（；）」-6tan30=2 3 12—6 34 分3= 2 -3 3 - 2 .3=3v ♦））））））））））））））））））））））））））））18.证明：如图1 .•••/ EAC= / DAB,二匚EAC Q = DAB ,/1 . 即/ BAC= / DAE 在厶ABC和厶ADE中，-C =• E,:—BAC - DAE,,,,,,,,,,AB =AD,由① 得x >2I—I—I : I 'J，八J •）））））））））））））））））））））））））由②，得15x 3 4x -8 .移项，合并，得11x -11 .19.解: 2 -x 空0,3 5x 1 4x -8.4分5分所以原不等式组的解集为 x_2 .2a 3a a 3 1—2 ' —a 2a 1 a 1 a 1_ a a 3 a 31 ----------------- 2(a +1) a +1 a +1 a a 3 a 1 12 —a 1 a 3 a 1=a 1= --a 1 a 1=a —1 = • 门门门门门门门门门门门门门门门a 1当 a =2 时 原式= ------- =—.””，”” ””” ”””， 2+1 3 21 .解：设普通列车的平均速度为 x 千米/时.则高铁的平均速度是 2.5x 千米/时.400 520依题意，得 ----- 3. ”，””，”，””2.5xx解得 x = 120经检验，x 二120是原方程的解，且符合题意. 所以 2. 5x = 300 . 答：高铁的平均速度是 300千米/时 22. (1)证明：厶-I -2(m -1) f 4m(m 2)2 2 =4m -8m 4 4m 8m2—8m 4. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1分 ••• 8m 2 > 0,2••• 8m 2 +4 > 02 分•••方程总有两个不相等的实数根.,,,,,,,,,,,,,,,3分(2)解：T x =「2是此方程的一个根，2• (-2) -2 (-2)(m-1)-m(m 2)=0.整理得m - 2m =0 . 解得m =0 ,也=2 .四、解答题(本题共 20分，每小题5分) 23. (1)证明：T ADE =/BAD ,AB // ED1 分•/ BD 垂直平分AC ,垂足为F , • BD _AC , AF=FC .又••• AE _ AC , • . EAC = DFC =90 . • AE // BD .20.解:3分 4分 5分1分2分3分 4分5分•••四边形ABDE 是平行四边形.(2)解：如图2，连接BE 交AD 于点0. •/ DA 平分/ BDE ,•••/ ADE= / 1.又••• . ADE = . BAD , •••/ 1= / BAD . • AB= BD 3分• ABDE 是菱形. ■/ AB= 5, AD= 6,1• BD=AB= 5, AD_BE , OA 二 AD =3 .2在 Rt △ OAB 中，OB 二■. AB 2 -OA 2 =4 .24•解：(1)补全扇形图如图3所示.，,,,,,，1分(2)2 号线，52 V x W 72 , 22.2.(各 1 分)4分5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1八(3)30.,,,,,,,,,,,,,,,5分•/ AB 为O O 的直径，• . ACB =90，即 BC _ MA . 又••• BE _1 , ■/ MC =MB cos £1 , ME = MB cos £2 , • MC=ME .又••• C , E 两点分别在直线 MA 与直线l 上, 可得C , E 两点关于直线 MD 对称. • 3 二 BED . ,,,,,,,4 分又•••乙3 ZBAD ,•- BAD 二.BED . ,,,,,,5 分26.解：45. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 分25.解：(1)依题意，补全图形如图4* • ))5!，”1分(2)— BAD .,,,,,,,,,,,,,,2分证明：如图5,连接BC , CD .T 直线l 与直线 MA 关于直线MD 对称,•仁/2 .,,,,J 5 5 5 53分財E11S ABDAD O B = BD AF , 2 2• 6 4 =5AF .解得 AF =4.8 .,,,,,,,,,,4分•/ BD 垂直平分AC ,• AC =2AF =9.6 .,,,,, ,,, 5 分注：其他解法相应给分. C图2iff 艮过土四間義塑地铁的机數JS 世區12.2419 7*加用|瞰戒上1XM图4MK图5r --------- T ---------- 1 ---------- 1 --------- v ------- 1 ---------- 1 --------- 厂 I I I k I I I h画图见图6.,,,,,, 45.,五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8 分）227.解：（I ）：•二次函数 y i =x bx c 的图象 C i 经过（-1,0） , （0,-3）1 —b c =0, c 二—3.解得b 」2,c ■ -3.•抛物线C 1的函数表达式为 ％ = x 2 一 2x - 3.(2)T y 1 =X 2 -2x -3=(x -1)2 -4 ,•••抛物线C i 的顶点为（1,-4）.,,AF _三 BE 一 2 .证明：如图8,连接AD .•/ AB=AC ,Z BAC=60° ,• △ ABC 是等边三角形. •/ D 为BC 的中点， • AD 丄 BC .•••/ 1 + / 2=90° . 又••• DE 丄 AC ,•••/ DEC =90° .•••/ 2+ / C=90° .•••/ 1 = / C=60° .设 AB=BC=k ( k 0 ),1 k则 CE = CD , DE2 4••• F 为DE 的中点，3 "8 k ，DFCE1•- DF DE2 .AD _3 • • ---- — ---BC 2 'AD□ AB2•平移后抛物线C 2的顶点为（0,0）, 它对应的函数表达式为 y 2 =x 2. , 5分(3) a > -1 (见图 7).,, 128 .解：(1) 90,—.,,,,,,,,,,,,,,,,2(2)结论： ZAHB =90 ,.AD DF "■--------------- = ------------------------ •5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5! BC CE15 5 5 5 5 5 5 5 5 53分又•••/ 1=/ C ,•••△ ADF B CE .,,, 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 54分.AF AD 品BE 一 BC 一 2，，5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 55分/ 3= / 4.又•••/ 4+ / 5=90°, /5= / 6,:丄 3+ / 6=90° .•匚AHB =90 .,,,,,,,,5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 56分(3) — tan (90 …).,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 27分注：写1 c°s-或其他答案相应给分.2sin :-29.解：（1） 3,13 .（每空各 1 分）,,,,,15 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 52分(2) -1 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4分（3）①如图9,过点0分别作射线OE 、OF 的垂线 OG 、OH ，则图形M 为：y 轴正半轴，/ 【GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分） •5 5 5 5 5 5 5 57分说明：（画图2分，描述1分）（图形M 也可描述为：y 轴正半轴，直线y F 方重叠的部分（含边界））8•分9图。
2014朝阳一模数学试题答案
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2014.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．A 2．C 3．A4．D5．B 6．D 7．B8．C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．答案不唯一，如y =x +110. 3 11.12.(2,1)；1n n-.（每空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式3142=--+?………………………………………… 4分 =-4.………………………………………………………………… 5分14.解：220211.3x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由不等式①，得x ≥1. ……………………………………………………… 2分由不等式②，得x <4. ………………………………………………………4分所以不等式组的解为1≤x < 4. ……………………………………………5分15.解：原式2224263x x x x =-+-++ ………………………………………………2分=x 2+2x +5. …………………………………………………………………3分∵ x 2+2x -4=0，∴ x 2+2x = 4. ……………………………………………………………………4分 ∴ 原式=4+5=9. …………………………………………………………………5分16. 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∠ABC=90°． ……………………………………………………1分 即∠ABE +∠CBF =90°． ∵AE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠BFC =90°，且∠ABE+∠BAE =90°． ……………………… 2分 ∴∠BAE =∠CBF ． ………………………………………………………… 3分 ∴△ABE ≌△BCF ． ………………………………………………………… 4分 ∴BE =CF ． ………………………………………………………………… 5分17. 解:（1）∵A （1，0），B （9，0），AD =6．∴D (1，6)． ………………………………………………………………… 1分 将B ，D 两点坐标代入y =kx +b 中，得6,90k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得 34,274k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 32744y x =-+． …………………………………………………… 3分（2）34b <或514b >. ……………………………………………………………… 5分18. 解：设走路线一的平均车速是每小时x 千米，则走路线二平均车速是每小时1.8x 千米． …………………………………… 1分 由题意，得3036201.860x x =+ ……………………………………………………… 2分 解方程，得 x =30. …………………………………………………………3分 经检验，x =30是原方程的解，且符合题意. …………………………………4分 所以 1.8x =54． …………………………………………………………………5分 答：走路线二的平均车速是每小时54千米.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证明：∵CA =CD ，CF 平分∠ACB ，∴ CF 是AD 边的中线． …………………………………………………1分 ∵ E 是AB 的中点，∴ EF 是△ABD 的中位线．∴ EF ∥BD ； ………………………………………………………………2分（2）解：∵ ∠ACB =60°，CA =CD ，∴ △CAD 是等边三角形．∴ ∠ADC =60°，AD =DC =AC =8．∴ BD =BC -CD =4．过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ．∴ sin AM AD ADC =⋅∠=12ABD S BD AM ∆=⋅= …………………………………………………… 3分∵ EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，且12EF BD =．∴14AEF ABD S S ∆∆=．∴AEF S ∆= …………………………………………… 4分 四边形BDFE 的面积=ABD AEF S S ∆∆-= ………………………………… 5分20.解：（1）31.1； ……………………………………………………………………… 1分 （2）45134113584474513++++++ ……………………………………………… 2分≈0.16 ．…………………………………………………………………… 3分该年度重度污染和严重污染出现的频率共是0.16．（3）4052000000.035100⨯⨯…………………………………………………… 4分 =7 280 0. ……………………………………………………………………5分 估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放 72 800千克污染物．21. 解：（1）证明：∵CA 、CB 为⊙O 的切线， ∴ CA =CB ，∠BCO =12∠ACB ，∴∠CBO =90°．……………………………… 1分 ∴ CO ⊥AB ．∴ ∠ABO +∠CBM =∠BCO +∠CBM =90°． ∴ ∠ABO =∠BCO ． ∴ ∠ABO =12∠ACB ． ……………………………………………………………2分 （2） ∵ OA ＝OB ，∴∠EAB =∠ABO ．∴ ∠BCO ＝∠EAB ． ∵ sin ∠BCO =sin ∠EAB ．…………………3分 ∴OB CB ＝13． ∵ CB ＝12，∴ OB ＝4． ……………………………………………4分 即⊙O 的半径为4．∴∠OBE ＝∠CAE ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴△OBE ∽△CAE ． ∴BE AE ＝OBCA． ∵CA ＝CB ＝12， ∴BE AE ＝13． ………………………………………………………………………5分22.解：（1； ……………………………………………………………………… 1分 （2）如图（画出其中一种情况即可）A…………………………………… 3分（2）如图（画出其中一种情况即可）……………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）由题意 m ≠ 0，………………………………………………………… 1分 ∵方程有两个不相等的实数根，∴ △>0． ………………………………………………………………2分即22[3(1)]4(23)(3)0m m m m -+-+=+>．得m ≠﹣3．…………………………………………………………………3分 ∴ m 的取值范围为m ≠0和m ≠﹣3；（2）设y =0，则23(1)230mx m x m -+++=．∵2(3)m ∆=+， ∴33(3)2m m x m+±+=．∴ 123m x m+=，21x =．………………………………………………5分 当 123m x m+=是整数时， 可得m =1或m =-1或m =3．………………………………………………………… 6分 ∵4x <，∴ m 的值为﹣1或3 ． ……………………………………………………………7分24.解：（1）BE ； ……………………………………………………………… 1分（2）BE ； ………………………………………………………………… 3分 （3）BE =2CD ·sin α． ……………………………………………………………… 4分证明：如图，分别过点C 、D 作CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AE 于点N ， ∵ CA ＝CB ，DA ＝DE ，∠ACB ＝∠ADE =2α， ∴ ∠CAB ＝∠DAE ，∠ACM ＝∠ADN=α，AM=12AB ，AN=12AE ． ∴∠CAD ＝∠BAE ． ……………………………………………………………… 5分Rt △ACM 和Rt △ADN 中,sin ∠ACM =AM AC ，sin ∠ADN =ANAD． ∴ sin AM AN AC AD α==．∴ 2sin AB AE AC ADα==．……………………… 6分又 ∵∠CAD ＝∠BAE ，∴ △BAE ∽△CAD ．∴ 2sin BE AB CD ACα==∴ BE =2DC ·sin α． ……………………………………………………………… 7分25.解：（1）①如图1． ………………………………………………………………… 1分 ②如图2，作DF ⊥OA 于点F ，根据题意，得 AC =COBAO =30°，CE =DE ， ∴ CDCFDF =32． ∴ D（，32）．………………………2分 求得直线AB的表达式为2y =+， 直线OD的表达式为y =， ∴P（1）．……………………… 3分在△DFO 中，可求得 DO =3．∴PC +PO 的最小值为3． (4)（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O 、C ，∴2y ax =． ……………………………………………………………… 5分由题意，得 22ax x +=+ ． ……………………………………………6分 整理，得 22=0ax x +--． ∵ 242=0a ∆-⨯-=（）． 图2∴a=………………………………………………………………7分当a=当a=……………………………………………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分．。
2015北京市朝阳区初三(一模)数学
2015北京市朝阳区初三（一模）数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8000000000000美元基建投资．将8000000000000用科学记数法表示应为（）A．0.8×1013B．8×1012C．8×1013D．80×10112．（3分）如图，下列关于数m、n的说法正确的是（）A．m＞n B．m=n C．m＞﹣n D．m=﹣n3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°4．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3a=6a B．a2+a3=a5C．a8÷a2=a6D．（a3）4=a75．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C． D．6．（3分）为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差7．（3分）下表是某种抽奖活动中，封闭的抽奖箱中各种球的颜色、数量，以及它们所代表的奖项：颜色数量（个）奖项红色 5 一等奖黄色 6 二等奖蓝色9 三等奖白色10 四等奖为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）若正方形的周长为40，则其对角线长为（）A．100 B．C．D．109．（3分）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b 的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m10．（3分）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）A．乙的速度是4米/秒B．离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C．甲从起点到终点共用时83秒D．乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分解因式：3m2﹣6mn+3n2=．13．（3分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC=40°，则∠CDB的度数为．14．（3分）请写出一个图象从左向右上升且经过点（﹣1，2）的函数，所写的函数表达式是．15．（3分）为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）．地区类别首小时内首小时外一类 2.5元/15分钟 3.75元/15分钟二类 1.5元/15分钟 2.25元/15分钟三类0.5元/15分钟0.75元/15分钟如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是（填“一类、二类、三类”中的一个）．16．（3分）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）已知：如图，E是BC上一点，AB=EC，AB∥CD，BC=CD．求证：AC=ED．18．（5分）计算：|﹣|+（﹣）﹣1﹣2sin45°+（π﹣2015）0．19．（5分）解不等式组：．20．（5分）已知x2+x﹣5=0，求代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．22．（5分）列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工．按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列车时速是最慢列车时速的倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．24．（5分）为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012﹣2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系．2012﹣2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量（万辆）利用公共自行车出行人数（万人）2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）25．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED ∥BC，连接AD交BC于点F．（1）求证：∠BAD=∠DAE；（2）若AB=6，AD=5，求DF的长．26．（5分）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．（1）求的值；（2）若CD=2，则BP=．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）如图，将抛物线M1：y=ax2+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线y=x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是﹣3．（1）求a的值及M2的表达式；（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF．①当点C的横坐标为2时，直线y=x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；②在点C的运动过程中，若直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）．28．（7分）在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BC边上．①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．29．（8分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P（1，2），Q（4，2）．①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．（2）若P（0，0），PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．数学试题答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】8000000000000=8×1012，故选：B．2．【解答】由图可知：点m表示的数是﹣2，点n表示的数是2，2与﹣2互为相反数，∴m=﹣n，故选：D．3．【解答】∵a∥b，∠1=80°，∴∠2+∠3=80°，∠3=∠4．∵∠2=∠3，∴∠3=40°，∴∠4=40°．故选B．4．【解答】A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A错误；B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；故选：C．5．【解答】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选D．6．【解答】吃哪种水果的人最多，就决定最终买哪种水果，而一组数据中出现次数最多的一个数是这组数据的众数．故选C．7．【解答】∵共有5+6+9+10=30个球，为红色（一等奖）的有5个，∴P（抽中一等奖）==，故选A．8．【解答】∵正方形的周长为40，∴正方形的边长为10，∴对角线长为，故选C．9．【解答】∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PSR，∴=，即=，∴PQ=120（m）．故选C．10．【解答】由函数图象，得：甲的速度为12÷3=4米/秒，乙的速度为400÷80=5米/秒，故A错误；设乙离开起点x秒后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得：5x=12+4x，解得：x=12，∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点为：12×5=60（米），故B错误；甲从起点到终点共用时为：400÷4=100（秒），故C错误；∵乙到达终点时，所用时间为80秒，甲先出发3秒，∴此时甲行走的时间为83秒，∴甲走的路程为：83×4=332（米），∴乙到达终点时，甲、乙两人相距：400﹣332=68（米），故D正确；故选：D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【解答】由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2；故答案为：x≠2．12．【解答】3m2﹣6mn+3n2=3（m2﹣2mn+n2）=3（m﹣n）2．故答案为：3（m﹣n）2．13．【解答】连接OB，∵⊙O的直径CD垂直于AB，∴=，∴∠BOC=∠AOC=40°，∴∠BDC=∠AOC=×40°=20°．故答案为：20°．14．【解答】写出的函数只要是函数值y随x的增大而增大即可，∴y=x+3（答案不唯一）．故答案为：y=x+3．15．【解答】如果停车所在地区的类别是一类，应该收费： 2.5×4+3.75×8=40（元），如果停车所在地区的类别是二类，应该收费： 1.5×4+2.25×8=24（元），如果停车所在地区的类别是三类，应该收费：0.5×4+0.75×8=8（元），故答案为二类．16．【解答】∵=（﹣1）2?，=（﹣1）3?，=（﹣1）4?，…∴第7个式子是，第n个式子为：．故答案是：，．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（SAS）．∴AC=ED．18．【解答】原式=﹣3﹣2×+1=﹣2．19．【解答】解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x＜1，∴不等式组的解集是﹣2＜x＜1．20．【解答】（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4=x2+x﹣3，∵x2+x﹣5=0，∴x2+x=5，∴原式=5﹣3=2．21．【解答】（1）△=（﹣6）2﹣4（k+3）=36﹣4k﹣12=﹣4k+24，∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣4k+24＞0．解得k＜6；（2）∵k＜6且k为大于3的整数，∴k=4或5．①当k=4时，方程x2﹣6x+7=0的根不是整数．∴k=4不符合题意；②当k=5时，方程x2﹣6x+8=0根为x1=2，x2=4均为整数．∴k=5符合题意．综上所述，k的值是5．22．【解答】设京张高铁最慢列车的速度是x千米/时．由题意，得，解得x=180．经检验，x=180是原方程的解，且符合题意．答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC=AC．∴DE=OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE=CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2．∴在矩形OCED中，CE=OD=．在Rt△ACE中，AE=．24．【解答】（1）920÷40%=2300（万吨）；（2）2014年全市燃煤数量为：2300﹣450=1850（万吨），2015年全市燃煤数量为：2300﹣800=1500（万吨），2017年全市燃煤数量为：2300﹣1300=1000（万吨），折线统计图补充如下：（3）∵9.9÷1.4≈7.07，17.6÷2.5=7.04，27.6÷4=6.9，∴估计该地区2015年利用公共自行车出行的人数为：5×0.70=35.0（万人）．故答案为2300；35.0．25．【解答】（1）连接OD，∵ED为⊙O的切线，∴OD⊥ED，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC∥ED，∴∠ACB=∠E=∠EDO，∴AE∥OD，∴∠DAE=∠ADO，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠BAD=∠DAE；（2）连接BD，∴∠ADB=90°，∵AB=6，AD=5，∴BD=，∵∠BAD=∠DAE=∠CBD，∴tan∠CBD=tan∠BAD=，在Rt△BDF中，∴DF=BD?tan∠CBD=．26．【解答】的值为．提示：易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到==．故答案为：；解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴====．∴的值为；（2）当CD=2时，BC=4，AC=6，∴EC=AC=3，EB==5，∴EF=BE=5，BF=10．∵=（已证），∴=，∴BP=BF=×10=6．故答案为6．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．【解答】（1）∵点A在直线y=x，且点A的横坐标是﹣3，∴A（﹣3，﹣3），把A（﹣3，﹣3）代入y=ax2+4x，解得a=1．∴M1：y=x2+4x，顶点为（﹣2，﹣4）．∴M2的顶点为（1，﹣1）．∴M2的表达式为y=x2﹣2x．（2）①由题意，C（2，2），∴F（4，2）．∵直线y=x+n经过点F，∴2=4+n．解得n=﹣2．②由题意得：n的取值范围是n＞3，n＜﹣6．28．【解答】（1）①补全图形，如图1所示．②如图1②，由题意可知AD=DE，∠ADE=90°．∵DF⊥BC，∴∠FDB=90°．∴∠ADF=∠EDB．∵∠C=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠DFB=90°．∴DB=DF．∴△ADF≌△EDB．∴AF=EB．在△ABC和△DFB中，∵AC=8，DF=3，∴A=，BF=．AF=AB﹣BF=即BE=．（2）如图2，BD=BE+AB．29．【解答】（1）①∵P（1，2），Q（4，2），∴在点A（1，0），B（，4）到PQ的距离为2．∴PQ的“等高点”是A、B，故答案为：A、B；②如图1，作点P关于x轴的对称点P′，连接P′Ｑ，P′Ｑ与x轴的交点即为“等高点”Ｍ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Ｑ的长．∵P （1，2），∴P′（1，﹣2）．设直线P′Ｑ的表达式为y=kx+b，根据题意，有，解得．∴直线P′Ｑ的表达式为．当y=0时，解得．即．根据题意，可知PP′=4，PQ=3，PQ⊥PP′，∴．∴“等高距离”最小值为5．（2）如图2，过PQ的“等高点”Ｍ作MN⊥PQ于点N，∴PQ=2，MN=2．设PN=x，则NQ=2﹣x，在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：MP2=22+x2=4+x2，MQ2=22+（2﹣x）2=x2﹣4x+8，∴MP2+MQ2=2x2﹣4x+12=2（x﹣1）2+10，∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x=1，即PN=NQ，∴△MPQ为等腰三角形，∴MP=MQ=，如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，则在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：QE2=QP2﹣OE2=22﹣y2=4﹣y2，=，∴4﹣．解得y=．，当点Q在第一象限时x=，当点Q在第二象限时x=﹣，∴Q（，）或Q（，）．。
北京市朝阳区2014-2015学年度第一学期九年级九月月考数学试卷、答案及评分标准
北京市朝阳区2014-2015学年度第一学期九年级九月月考数学答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）C B C AD A C A二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 3k ≤≠且k 210.8 11. 4433π-12. 60°或120°（各2分）三、简答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算﹣×14. 计算：-11-3+-24⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）36-326-6=63分12452==+ 3分5分 5分 15.解方程 3x 2-x-4=0 16. 解方程 (2-x)2-1=0 解：（3x-4）（x+1）=0 3分 解：4-4x+x 2-1=0 1分 X1=-1，X2=435分 x 2-4x+3=0 2分 （x-1）（x-3）=0 3分 X 1=1，X 2=3 5分 17. 求证：无论m 取何值，关于x 的方程x 2+(2m-3)x-2m+2=0都有两个实数根。
证明：22222=m-3-4-m+ =4m 12988441(21)(21)0m m m m m m ∆-++-=-+=--≥∴（2）（22）得证3分4分 5分18．解：依题设有OC ⊥AB 于C ，又∵AB 为⊙O 的弦 ∴ AC =BC =12AB ……… 2分 连结OA 则 22AC OA OC =- 又∵OA =6，OC =3∴ AC =33∴ AB =63………3分 （2）由（1）知，在Rt △ACO 中，OA =6，OC =3 ∴ ∠OAC =30° ∴ ∠AOC =60°∴ ∠AOB =120° ………4分∴ AB ⌒ = 123OA π⋅⋅=4π ………．．5 分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）画出Rt △A 1B 1C 1.的图形；A 1的坐标为（1,0）2分 （2）画出Rt△A 2B 2C 2.的图形；A 1C 1=222313=+ 4分 C 1.所经过的路经为：9013180π13． 5分20. 解：线段AC 与线段BC 垂直且相等 ………1分证明：连结AD ………2分 ∵ 四边形AEDG 为正方形 ∴ ∠ADE =45°∵ 四边形ABCD 内接⊙O∴∠B +∠ADC =180° ……．．．3分 又∵∠ADE +∠ADC =180° ∴∠B =∠ADE =45° 又∵AB 为⊙O 直径∴ ∠ACB =90°，即AC ⊥BC ……4分∴ ∠BAC =45°∴ AC =BC ……．．5分 21.解：（1）证明： 如图1，连接OD ． ∵ OA =OD ， AD 平分∠BAC ，∴ ∠ODA =∠OAD ， ∠OAD =∠CAD ． ………………1分 ∴ ∠ODA =∠CAD ．∴ OD //AC ． …………………………………2分 ∴ ∠ODB =∠C =90︒．∴ BC 是⊙O 的切线． ……………………………3分 图1 （2）解法一： 如图2，过D 作DE ⊥AB 于E ． ∴ ∠AED =∠C =90︒．又∵ AD =AD ， ∠EAD =∠CAD ，∴ △AED ≌△ACD ． ∴ AE =AC ， DE =DC =3．在Rt △BED 中，∠BED =90︒，由勾股定理，得 图2BE =422=-DE BD ． ………………………………………………………4分设AC =x （x >0）， 则AE =x ．在Rt △ABC 中，∠C =90︒， BC =BD +DC =8， AB =x +4， 由勾股定理，得 x 2 +82= （x +4） 2． 解得x =6．即 AC =6． …………………………………………………………5分 解法二： 如图3，延长AC 到E ，使得AE =AB ． ∵ AD =AD ， ∠EAD =∠BAD ， ∴ △AED ≌△ABD ． ∴ ED =BD=5．在Rt △DCE 中，∠DCE =90︒， 由勾股定理，得CE =422=-DC DE ． ………… ……………4分 图3在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒， BC =BD +DC =8， 由勾股定理，得 AC 2 +BC 2= AB 2．即 AC 2 +82=（AC +4） 2．解得 AC =6． …………………………………………………………5分 22．(1)设所求方程的根为y ，则y=－x ，所以x=－y ．………………(1分) 把x=－y 代入已知方程x 2＋x －2=0， 得(－y)2＋(－y)－2=0．化简，得：y 2－y －2=0．………………(2分)(2)设所求方程的根为y ，则y=1x ，所以x=1y ．………………(3分)把x=1y代如方程ax 2＋bx ＋c=0得．CAO B EBDCAO Ea(1y )2＋b ·1y＋c=0， 去分母，得，a ＋by ＋cy 2=0．……………………(4分)若c=0，有ax 2＋bx=0，于是方程ax 2＋bx ＋c=0有一个根为0，不符合题意． ∴c ≠0，故所求方程为cy 2＋by ＋a=0(c ≠0)．……………………(5分) 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23． （1）略 4分（2）105° 7分24． 解 ：（1）不会发生变化的是△AOB 的外接圆半径，1分 ∵∠AOB=90°，∴AB 是△AOB 的外接圆的直径AB 的长不变，即△AOB 的外接圆半径不变 2分 （2）设⊙K 的半径为r ，⊙K 与Rt △AOB 相切于E 、F 、P ，连EK 、KF ∴∠KEO=∠OFK=∠C=90°， ∴四边形EOFK 是矩形，又OE=OF∴四边形EOFK 是正方形， 3分 ∴OE=OF=r ，AE=AP=4，∴PB=BF=6， 4分 ∴（4+r ）2+（6+r ）2=100， 5分 ∴r=-12（不符合题意），r=2， 6分 取r=2 7分 25. 解：（1）∵A （2，0）， ∴OA =2．作BG ⊥OA 于G ，∵△OAB 为正三角形，∴OG =1，BG =3， ∴B （1，3）． ………………………………1分 连AC ，∵∠AOC =90°，∠ACO =∠ABO =60°．90AOC ∠=，∴OC =332． ∴C （0，332）． …………………………………2分 （2）∵∠AOC =90°，∴AC 是圆的直径， 又∵CD 是圆的切线，∴CD ⊥AC ．∴∠OCD =30°，OD =32．∴D （32-，0）． 设直线CD 的函数解析式为y =kx +b （k ≠0）， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==bk b 320332，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3323b k ∴直线CD 的解析式为y =3323+x ．…4分 （3）∵AB =OA =2，OD =32，CD =2OD =34，BC =OC =332，∴四边形ABCD 的周长6+332． 设AE =t ，△AEF 的面积为S ， 则AF =3+33－t ，S =t 43（3+t -33）． ∵S =t 43（3+t -33）=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2337639432t ． ∵点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+≤≤≤322333020t t ∴2331≤≤+t …………………………6分 ∴当t =639+时，S 最大=831237+．…………8分（第25题）EF。
北京市朝阳区2015届初三一模数学试题及答案
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a ，nn a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分① ②21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分12436--=k244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根， ∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数.∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE ==………………4分 在Rt △ACE 中，………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分（2）如图. …………… 3分（3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD，∵ED为⊙O的切线，∴OD⊥ED．……………………………………………………………………………1分∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ………………………………………………………………………… 2分∵BC∥ED,∴∠ACB=∠E=∠EDO.∴AE∥OD.∴∠DAE=∠ADO.∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO.∴∠BAD=∠DAE. ………………………………3分（2）连接BD，∴∠ADB=90°.∵AB=6，AD=5，∴BD.……………………………………………………………4分∵∠BAD=∠DAE=∠CBD ，∴tan∠CBD = tan∠BAD=5.在Rt△BDF中，∴DF=BD·tan∠CBD =115. ……………………………………………………………5分26. 解：PD AP 的值为23. …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP . ∴DBAFPD AP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分（2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.∵DF ⊥BC ，∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠ABC =∠DFB =90°.∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中，∵AC =8，DF =3，∴AC=，DF=………………………………………………………………4分 AF =AB －BF=即BE=. …………………………………………………………………………5分（2=BE +AB. ……………………………………………………………………7分图129. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，根据题意，有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P . ∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分。
2014—2015学年度第一学期期末学业质量评估九年级数学试题(含答案)
九年级数学试题注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷2页，为选择题，共36分.第Ⅱ卷2页，为非选择题，共84分.全卷满分120分，考试时间120分钟．2．答卷前，务必将答题卡上面的项目填涂清楚.所有答案都必须涂、写在答题卡相应的位置，答在本试卷上一律无效．第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记零分.）1. 下列说法中正确的是（）A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B. 圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；C. 弦的垂直平分线过圆心；D. 相等的圆心角所对的弧也相等．2. 如图，A、B、P是⊙O上的三点，∠APB=40°，则弧AB的度数为（）A.50°B.80°C.280°D.80°或280°3. 如图，在直径为AB的半圆O上有一动点P从O点出发，以相同的速度沿O－A－B－O的路线运动，线段OP的长度d与运动时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）4. 下列命题中的假命题是（）A. 正方形的半径等于正方形的边心距的2倍；B. 三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心；C. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不小于60°”时，第一步应该“假设每一个内角都小于60°”；D. 过三点能且只能作一个圆．5. 如图，⊙O的半径是4，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=6，∠APO=30°，则弦AB的长为（）A ．27B ．7C ．5D ．526. 如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC =∠A ，BC =3，AC =6，则CD 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．23 D ．25 7. 下列方程中：①x 2－2x －1=0, ②2x 2－7x +2=0, ③x 2－x +1=0 两根互为倒数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 一次函数y 1=3x +3与y 2=－2x +8在同一直角坐标系内的交点坐标 为（1，6）．则当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A. x ≥1B. x =1C. x ＜1D. x ＞1 9. 在△ABC 中，若()21cosA 1tanB 02-+-=，则∠C 的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°10. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为（ ） A ．1603m B ．803 m C ．()12031- m D ．()12031+m11. 已知反比例函数y =xk的图像经过点P （－1,2），则这个函数图像位于（ ） A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 12. 已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＜0；②b ＞a +c ；③2a －b =0；④b 2－4ac ＜0．其中正确的结论个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，要求将每小题的最后结果填写在横线上. 每小题3分，满分18分） 13. 已知一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1=2,x 2=-3，则二次三项式ax 2+bx +c 可分解因式为 .14. ⊙O 的半径为10cm ，AB ,CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB =16cm ,CD =12cm .则AB 与CD 之间的距离是 cm .15. 如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且满足12AE AF EB FC ==，则△EFD 与△ABC 的面积比为 ．16. 如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线MN 截△ABC交AC 于点N ，使截得的△CMN 与△ABC 相似. 已知AB =6，AC =8，CM =4，则CN = .17. 一个足球从地面上被踢出，它距地面高度y （米）可以用二次函数x x y 6.199.42+-=刻画，其中x （秒）表示足球被踢出后经过的时间. 则足球被踢出后到离开地面达到最高点所用的时间是 秒. 18. 在△ABC 中，AB =AC =5，tanB =34．若⊙O 的半径为10，且⊙O 经过点B 、C ，那么线段OA 的长等于 .三、解答题（本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 共66分） 19. （本题满分10分）市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售.（1）求平均每次下调的百分率.（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？如图，晚上小明站在路灯P的底下观察自己的影子时发现，当他站在F点的位置时，在地面上的影子为BF，小明向前走2米到D点时，在地面上的影子为AD，若AB=4米，∠PBF=60°，∠PAB=30°，通过计算，求出小明的身高．（结果保留根号）．21. （本题满分11分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD.（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）已知AC=6，求阴影部分的面积.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE =∠B .（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB =8，AD =63，AF =43，求sinB 的值．23. （本题满分12分）已知关于x 的一元二次方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=. （1）试说明：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程的两个实数根，第三边BC 的长为5. 当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.AB是⊙O的直径，AD与⊙O相交，点C是⊙O上一点，经过点C的直线交AD于点E.⑴如图1 ，若AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，求证：CE是⊙O的切线；⑵如图2，若CE是⊙O的切线，CE⊥AD于点E，AC是∠BAD的平分线吗？说明理由；⑶如图3，若CE是⊙O的切线，AC平分∠BAD，AB=8，AC=6，求AE的长度.试题答案及评分标准一、选择题（每小题选对得3分，满分36分. 多选、不选、错选均记零分.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBBDACBDCADB二、填空题（每小题3分，满分18分）13. a (x -2)(x +3) 14. 214或 15. 2:9 16. 1655或17.2 18. 3或5 三、解答题（本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.共66分） 19. （本题满分10分）解：解：（1）设平均每次下调的百分率为x ， 则6000（1-x ）2=4860， 解得：x 1=0.1=10%, x 2=1.9(舍).故平均每周下调的百分率为10%.……………………6分 （2）方案1优惠：4860×100×（1-0.98）=9720（元）； 方案2可优惠：80×100=8000（元）. 故方案1优惠.…………………………10分20. （本题满分10分）解：设小明的身高为x 米，则CD =EF =x 米． 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，tan ∠CAD =ADCD，即tan 30°=x /AD ，AD =3x --2分 在Rt △BEF 中，∠BFE =90°，tan ∠EBF =EF /BF ，即tan 60°=x /BF ，BF =x 33---4分 由题意得DF =2，∴BD =DF -BF =2-x 33，∵AB =AD +BD =4，∴3x +2-x 33=4 --8分即x =3．答：小明的身高为3米．------------------------------------------------------------------------10分 21. （本题满分11分）⑴证明：∵∠BAD =120°，AB =AD ∴∠ABD =∠ADB =30° ∴弧AB 和弧AD 的度数都等于60°又 ∵BC 是直径 ∴弧CD 的度数也是60° ------------------ --------------2分 ∴AB =CD 且∠CAD =∠ACB =30° ∴BC ∥AD∴四边形ABCD 是等腰梯形. --------------------------------------------------5分⑵∵BC 是直径 ∴∠BAC =90°∵∠ACB =30°，AC =6∴0cos 30AC BC ===R =∵弧AB 和弧AD 的度数都等于60° ∴∠BOD =120° ---------------------------6分 连接OA 交BD 于点E ,则OA ⊥BD 在Rt △BOE中：0sin30OE OB =⋅=0cos 330BE OB =⋅=，BD =2BE =6----------------------------------------------------8分∴(21201-63602BOD BODS S S⨯⨯=-=⨯阴影扇形ππ ----------------------------------------------------11分 22. （本题满分11分）⑴证明：∵∠AFE =∠B ，∠AFE 与∠AFD 互补，∠B 与∠C 互补∴∠AFD =∠C --------------------------------------------------2分 ∵AD ∥BC ∴∠ADF =∠DEC -------------------------------------------4分 ∴△ADF ∽△DEC ----------------------------------------------------5分 ⑵解：∵△ADF ∽△DEC ∴AD AFDE CD== 解得：DE =12 ----------------------------------------------------7分 ∵AE ⊥BC , AD ∥BC ∴AE ⊥AD∴6AE ==----9分在Rt △ABE 中，63sin 84AE B AB === -------------------------------------------------11分 23. （本题满分12分）解：⑴△=()()243341k k k -++ =2216181212k k k k ++--=2441k k -+ =()221k -≥0 --------------------------------------------------4分∴无论k 取何值，方程总有两个实数根. -------------------------------------------------5分 ⑵若AB =AC 则方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=有两个相等的实数根此时△=0，即：()221k -=0 解得：12k =当12k =时，AB =AC =3，此时AB 、AC 、BC 满足三边关系. -------------------------8分 若BC =5为△ABC 的一腰，则方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=有一根是5，将5x =代入方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=解得：14k = 当14k =时，解得方程两根为5和3，此时AB 、AC 、BC 满足三边关系. ----------11分 综上：当△ABC 是等腰三角形时，k 的值为1124或. -----------------------------12分24. （本题满分12分） ⑴证明：连接OC∵OA =OC ∴∠OAC =∠OCA ∵AC 平分∠BAD ∴∠OCA =∠CAD ∴OC ∥AD∵CE ⊥AD ∴CE ⊥OC -----------------------------------------------3分 又OC 是半径 ∴CE 是⊙O 的切线。
2015年北京市朝阳区初三数学一模试题(附答案)
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A．0.8×1013B．8×1012C．8×1013D．80×10112. 如图，下列关于数m、n的说法正确的是A．m＞n B．m=nC．m＞－n D．m=－n3．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于A．20°B．40°C．60°D．80°4．下列计算正确的是A．2a+3a=6a B. a2+a3=a5 C. a8÷a2=a6 D. (a3)4= a75．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是A．平均数B．中位数C．众数D．方差7为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为A. 16B.51C.310D.128. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A ．100 B． C． D ．109．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m ，ST =120 m ，QR =80 m ，则河的宽度PQ 为A ．40 mB ．60 mC ．120 mD ．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若分式21-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ． 14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－1，2）的函数，所写的函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是（填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a，417a -，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量（万辆）利用公共自行车出行人数（万人）2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.（1）求证：∠BAD=∠DAE；（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求APPD的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APPD的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ．（1）求AP PD的值； （2）若CD=2，则BP = ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3.（1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围（直接写出结果）.28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE .（1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.图1 图2 图329．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”．（1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ； ②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标． 图1 图2北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分）11. 2≠x 12. 2)(3n m - 13. 20° 14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a，n n a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ， 解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ，∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分 12436--=k244+-=k① ②∵原方程有两个不相等的实数根，∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分 ② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数. ∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分 由题意，得 60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分 答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ．∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2．∴在矩形OCED 中，CE ==………………4分在Rt △ACE 中，．………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分（2）如图. …………… 3分（3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD ，∵ED 为⊙O 的切线，∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ……………………………………………………………… 2分∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO .∴AE ∥OD .∴∠DAE =∠ADO .∵OA =OD ,∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分（2）连接BD ，∴∠ADB =90°.∵AB =6，AD =5，∴BD =……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ，∴tan ∠CBD = tan ∠BAD . 在Rt △BDF 中，∴DF =BD ·tan ∠CBD =115 . ……………………………………………………………5分26. 解：PD AP 的值为23 . …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2，∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k .∵E 是AC 中点，∴AE ＝CE .∵AF ∥DB ，∴∠F ＝∠1.又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分∴AF ＝BC ＝2k .∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP . ∴DB AF PDAP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分 （2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) .∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分∵直线n x y +=经过点F ，∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.∵DF ⊥BC ，∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠ABC =∠DFB =90°.∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中，∵AC =8，DF =3，∴AC=，DF=………………………………………………………………4分AF =AB －BF=即BE= …………………………………………………………………………5分（2BD =BE +AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，根据题意，有 ⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 图1根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P . ∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分。
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北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2015.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界 平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A ．0.8×1013B ．8×1012C ．8×1013D ．80×10112. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是A ．m ＞nB ．m =nC ．m ＞－nD ．m =－n3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于 A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°4．下列计算正确的是A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3)4= a 7 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是A．平均数B．中位数C．众数D．方差7为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为A. 16B.51C.310D.128. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A．100 B．C．D．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ为A．40 m B．60 mC．120 m D．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式21-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ．14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－，2）的函数，所写的函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a，417a -，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D作DE ∥AC 且DE=12AC ，连接 CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．（1）求证：OE =CD ；（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量（万辆）利用公共自行车出行人数（万人）2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.（1）求证：∠BAD=∠DAE；（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值； （2）若CD=2，则BP = ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系图1图2图3（直接写出结论）.29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ；②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图1 图2北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a ，nn a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分① ②21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分12436--=k244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根， ∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数.∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE =………………4分 在Rt △ACE 中，=………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分（2）如图. …………… 3分（3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD，∵ED为⊙O的切线，∴OD⊥ED．……………………………………………………………………………1分∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ……………………………………………………………… 2分∵BC∥ED,∴∠ACB=∠E=∠EDO.∴AE∥OD.∴∠DAE=∠ADO.∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO.∴∠BAD=∠DAE. ………………………………3分（2）连接BD，∴∠ADB=90°.∵AB=6，AD=5，∴BD=……………………………………………………………4分∵∠BAD=∠DAE=∠CBD ，∴tan∠CBD = tan∠BAD.在Rt△BDF中，∴DF=BD·tan∠CBD =115. ……………………………………………………………5分26. 解：PD AP 的值为23 . …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2，∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k .∵E 是AC 中点，∴AE ＝CE .∵AF ∥DB ，∴∠F ＝∠1.又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分∴AF ＝BC ＝2k .∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP . ∴DB AF PD AP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分（2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) .∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分∵直线n x y +=经过点F ，∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.∵DF ⊥BC ，∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠ABC =∠DFB =90°.∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中，∵AC =8，DF =3，∴AC=DF=………………………………………………………………4分AF =AB －BF=即BE=. …………………………………………………………………………5分（2=BE +AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，根据题意，有图1⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P . ∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分。