明辨古典概型和几何概型

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古典概型与几何概型的异同点

古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。

若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。

2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。

它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。

二、相同点1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。

2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。

三、不同点1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。

2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。

而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。

3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。

而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。

4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。

而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。

5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。

而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。

6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。

而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。

7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。

四、例子1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。

这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。

1.3古典概型与几何概型

所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球其中a个黑球 b个白球随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知在 10 个球中任取两球的取法有C120 种在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球其中a个黑球 b个白球随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行求下列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中共有(N1)n种放

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型古典概型和几何概型是概率论中的两个重要概念，它们被广泛应用于统计学、数学和其他科学领域。

本文将从古典概型和几何概型的定义、特点和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

1. 古典概型古典概型是指在确定试验中，每个基本事件发生的概率相等的情况。

简单来说，就是试验的结果可以列举出来，并且每个结果发生的可能性相同。

比如，投掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是1/6，这就是一个典型的古典概型。

古典概型的特点是简单明确，适用于具有确定结果的试验。

它可以用于求解事件的概率、计算期望值等问题。

古典概型在实际应用中有着广泛的应用，比如扑克牌、硬币、骰子等常见的游戏和赌博问题都可以用古典概型进行分析和计算。

2. 几何概型几何概型是指试验的结果在几何空间中的分布情况。

与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件并不一定具有相等的概率。

几何概型常用于描述连续型随机变量的分布情况，比如长度、面积、体积等。

几何概型的特点是可以用几何图形来表示，更加直观直观形象。

在几何概型中，我们可以通过计算几何形状的面积、体积等来求解概率和期望值。

几何概型在实际应用中有着广泛的应用，比如连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的计算等。

3. 古典概型与几何概型的联系与区别古典概型和几何概型都是概率论中常用的概念，它们都可以用于描述试验结果的概率分布情况。

但是古典概型强调的是试验结果具有相等的概率，而几何概型则不一定具有相等的概率。

古典概型适用于离散型随机变量的分析，一般用于计算排列组合、事件概率等问题。

而几何概型适用于连续型随机变量的分析，一般用于计算几何空间的面积、体积等问题。

古典概型和几何概型在实际应用中常常结合使用。

例如，在计算连续型随机变量的概率时，可以先用几何概型计算几何形状的面积或体积，然后再根据总体积或面积计算概率。

4. 古典概型与几何概型的应用举例古典概型和几何概型在实际应用中有着广泛的应用。

古典概型和几何概型

一、古典概型1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 2）基本事件的特点：① 任何两个基本事件是互斥的；② 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是： ① 有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．② 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型． 4）基本事件的探索方法：① 列举法：此法适用于较简单的实验．② 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索．5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有n 个不同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法： ① 有放回的抽样每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去． ② 无放回的抽样每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次．二、古典概型计算公式1）如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n； 2）如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率()m P A n=． 3）事件A 与事件B 是互斥事件()()()P AB P A P B =+4）事件A 与事件B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件()()()()P A B P A P B P A B =+-．古典概型注意：① 列举法：适合于较简单的试验．② 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(),x y 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如()1,2与()2,1相同．三、几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．四、几何概型的计算1）几何概型中，事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量． 2）两种类型线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．五、几何概型具备以下两个特征：1）无限性：即每次试验的结果(基本事件)有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；2）等可能性：即每次试验的各种结果(基本事件)发生的概率都相等．一、古典概型古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值．【题干】甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D.【解析】甲、乙在同一组：113P =.甲、乙不在同一组，但相遇的概率：2111362P =+=.【点评】【题干】有十张卡片，分别写有A 、B 、C 、D 、E 和a 、b 、c 、d 、，（1）从中任意抽取一张，①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是或的概率；e A a（2）若从中抽出两张，③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率；【答案】【解析】【点评】【题干】袋子中装有编号为,a b 的2个黑球和编号为,,c d e 的3个红球，从中任意摸出2个球．（1）写出所有不同的结果；（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；（3）求至少摸出1个黑球的概率．【答案】（1）,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de ；（2）0.6；（3）0.7. 【解析】（1）,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de .（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含了上一问列举的所有结果，记“恰好摸出1个黑球和1红球”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为,,,,,ac ad ae bc bd be ，共6个基本事件，所以()60.610P A ==. （3）试验发生包含的事件共有10个，记“至少摸出1个黑球”为事件B ，则B 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad ae bc bd be ，共7个基本事件，所以()70.710P B ==. 【点评】步骤：用列举法求出基本事件的总数n ，求出具体时间包含的基本事件数m ，根据古典概型求出概率.二、一维情形的几何概型（长度）将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．【题干】在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（） A ．13 B ． 2πC ． 12D ． 23 【答案】A【解析】∵0cos x <<12，∴52,233x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭.当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,,2332x ππππ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率133P ππ==.【点评】【题干】平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm ，把一枚半径为1cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) A.14B ．13 C ． 12D ．23【答案】B【解析】为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠的最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ；线段OM 长度的取值范围就是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只有当132OM <≤时，硬币不与平行线相碰，所以所求事件的概率33110223P ⎛⎫⎛⎫=-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点评】【题干】在区间[010],中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是______．【答案】25【解析】在区间[010],中，任意取一个数x ，则它与4之和大于10的x 满足4x +>10，解得610x <≤，所以，概率为1062105-=. 【点评】【题干】在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与812cm 之间的概率为（） A ．56B ．12C ．13D ．16【答案】D.【解析】由题意可得此概率是几何概率模型.因为正方形的面积介于362m 与812m 之间，座椅正方形的边长介于6cm 到9cm 之间，即线段AM 介于6cm 到9cm 之间，所以AM 的活动范围长度为：3.由几何概型的概率公式可得31186=.【点评】【题干】某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（） A ．113 B. 19 C ． 14 D ． 12【答案】B【解析】整个靶子是如图所示的大圆，而距离靶心距离小于2用图中的小圆所示：故此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率226129P ππ==.【点评】【题干】两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（） A.12B ．13C ．14D ．23【答案】13. 【解析】设事件A 为“灯与两端距离都大于2m ”，根据题意，事件A 对应的长度为2m 的部分，因此，事件A 发生的概率()2163P A ==. 【点评】三、二维情形的几何概型（面积）数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，利用公式可求．【题干】如图，60AOB ∠=°，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：（1）AOC ∆为钝角三角形的概率；（2）AOC ∆为锐角三角形的概率．【答案】（1）0.4（2）0.6【解析】如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．（1）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形，记“AOC ∆为钝角三角形”为事件M ，则()110.45OD EB P M OB ++===，即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．（2）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角形，记“AOC ∆为锐角三角形”为事件N ，则()30.65DE P N OB ===，即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6．【点评】AOC ∆为直角三角形的概率等于0，但直角三角形AOC ∆是存在的，因此概率为0的事件不一定是不可能事件．【题干】已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．【答案】36【解析】设图中阴影部分的面积为S ，由题意可得6001251000S =⨯，解得36S =. 【点评】【题干】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．【答案】【解析】【点评】CE DBOA【题干】在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(),x y 满足225x y +≤，从区域W 中随机取点(),M x y ．（1）若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第四象限的概率；（2）已知直线():0l y x b b =-+>与圆22:5O x y +=求y x b ≥-+的概率．【答案】（1）17；（2.【解析】（1）若x Z ∈，y Z ∈，则点M 的个数共有21个，列举如下：()2,1--，()2,0-，()2,1-，()1,2--，()1,1--，()1,0-，()1,1-，()1,2-，()0,2-，()0,1-，()0,0，()0,1，()0,2，()1,2-，()1,1-，()1,0，()1,1，()1,2，()2,1-，()2,0，()2,1时，点M 位于第四象限.当点M 的坐标为()1,2-，()1,1-，()2,1-时，点M 位于第四象限.故点M 位于第四象限的概率为17. （2）由已知可知区域W 的面积是5π.因为直线:l y x b =-+与圆22:5O x y +=的弦长为，如图，可求得扇形的圆心角为23π，所以扇形的面积为125233S ππ=⨯=，则满足y x b≥-+的点构成的区域的面积为122sin 233S ππ=⨯=，所以y x b≥-+的概率为20125ππ- .【点评】【题干】如图，60AOB ︒∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：（1）AOC ∆为钝角三角形的概率；（2）AOC ∆为锐角三角形的概率．【答案】（1）0.4 ；（2）0.6 .【解析】如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =.（1）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形，记“AOC∆为钝角三角形”为事件M ，则()110.45OD EB P M OB ++===.（2）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角形，记“AOC ∆为锐角三角形”为事件N ，则()30.65DE P N OB ===. 【点评】【题干】在区间[]1,1-上任取两实数,a b ，求二次方程2220x ax b ++=的两根都为实数的概率．【答案】()12P A =【解析】方程有实根的条件为22440a b ∆=-≥，即||||a b ≥．在平面直角坐标系中，点(),a b 的取值范围为如图所示，的正方形的区域，随机事件A “方程有实根”的所围成的区域如图所示的阴影部分．易求得()12P A =．【点评】四、三维情形的几何概型（体积）【题干】在Rt ABC ∆中，30A ∠=，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M，求使CE DBOAAM AC >的概率．【答案】16. 【解析】设事件D 为“作射线CM ，使AM AC >”．在AB 上取点1C 使1AC AC =，因为1A C C ∆是等腰三角形，所以118030752ACC -∠==，907515A μ=-=，90μΩ=，所以()151906P D ==. 【点评】几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM 落在ACB ∠内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因M 在AB 上的落点不是等可能的．【题干】设正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的点．（1）设“14P ABC V V -≥”的事件为X ，求概率()P X ；（2）设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ，求概率()P Y ．【答案】【解析】【点评】【题干】一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（） A ．18 B ．116 C ．127 D ．38【答案】C ；【解析】容易知道，当蜜蜂在边长为10，各棱平行于玻璃容器的棱的正方体内飞行时是安全的．于是安全飞行的概率为331013027=．【点评】【题干】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．【答案】112π-【解析】点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则()3331421231212P A ππ-⨯⨯==-. 【点评】【题干】在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为（）A.2 B ．2 C. 16D ． 16π【答案】C【解析】本题是几何概型问题，与点A 距离等于a 的点的轨迹是一个八分之一个球面，其体积为：33114836a a V ππ=⨯⨯=，“点P 与点O 距离大于1的概率”事件对应的区域体积为：3314836a a ππ⨯⨯=，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为：33166a a ππ=.【点评】【题干】设正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的点． ①设“14P ABC V V -≥”的事件为X ，求概率()P X ； ②设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ，求概率()P Y ．【答案】①()2764P X =②18【解析】①分别取,,DA DB DC上的点,,E F G，并3,3,3DE EA DF FB DG GC ===，连结,,EF FG GE ，则平面EFG 平面ABC ．当P 在正四面体DEFG 内部运动时（如图），满足14P ABC V V -≥，故()33327464D EFG D ABC V DE P X V DA --⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．②在AB 上取点H ，使3AH HB =，在AC 上取点I ，使3AI IC =，在AD 上取点J ，使3AJ JD =，P 在正四面体AHIJ 内部运动时，满足14P BCD V V -≥．结合①，当P 在正四面体DEFG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动时，亦即P 在正四面体EMNJ 内部运动时（M 是EG 与IJ 的交点，N 是EF 与HJ 的交点），同时满足14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥，于是()331281J EMN D ABC JE D Y V A V P --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝．【点评】五、高考汇编【题干】（2010年江苏理科 3）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率________.【答案】【解析】【点评】【题干】（2010年江苏理科4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[]5,40 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有________根在棉花纤维的长度小于20mm .【答案】【解析】【点评】【题干】（2011江苏5）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是BAB A另一个的两倍的概率是________. 【答案】13【解析】【点评】【题干】（2011江苏6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s =________. 【答案】165【解析】可以先把这组数都减去6再求方差，【点评】【题干】（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．【答案】15.【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样.将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性.因此，由35015334⨯=++知应从高二年级抽取15名学生. 【点评】【题干】（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．【答案】35. 【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，3-，9，27-，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63105=. 【点评】。

古典概型与几何概型的辨别

摇
姨
3
，则AB1=
摇
姨
3
，AC=2，则B1C=2-
摇
姨
3
.
由几何概型的概率公式求得P（A）=
B1C
=
2-
摇
姨
3
.
AC 2
（2）设“作射线 BM，使
B
AM>AB”为事件A，在线段AC
上取一点B1，使得AB=AB1，所
以 △ABB1是等腰三角形，可
得∠ABB1=
180°-30° 2
=75°.
图1
分清了概率题所对应的类型后，要正确做对一道概
率题，对题意中的基本事件总数的分析尤为重要.
二、古典概型的解题关键在于搞清基本事件的个数
古典概型中，同学们在考虑总的基本事件数与所求事件A包含的基本事件数时，首先要考虑是否需要次序. 若总的基本事件数是有次序的，那么事件A需几步发生，也需考虑次序.反之，若总的基本事件数是没有次序的，那么事件A的事件数也无需考虑次序.
12 4 （2）以x轴和y轴分别表示a、b所取实数，设事件A为
“方程有实数根”，即Δ≥0，化简得 y
a≥b（ . a，b）的所有可能结果是长
ห้องสมุดไป่ตู้
（2，2）
（0，2）
与宽分别为3与2的矩形，而a≥b由
图1中阴影部分所表示.所以P（A）
3×2- 1 ×2×2
= S阴影 =
2
=2.
S矩形
3×2
3
O
（3，0） x
3×2×1 个，剩下3名男生即是所要求的.
（2）考虑用次序做就比较容易理解. 解：（1）设“所选3人都是男生”为事件A. 法1：考虑用排序的方法做，则P（A）= 4×3×2 = 1 .

几何概型与古典概型的区别

编辑课件
6
与长度有关的几何概型 [例 1] (2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取
一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则
该矩形面积大于 20 cm2 的概率为
1
1
A.6
B.3
()
2
4
C.3
D.5
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7
1．在区间－π2，π2上随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 0 到12之间的概率为________．
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3．如图所示，边长为 2 的正方形中有一封
闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随
机撒粒豆子，它落在阴影区域内的概
率为23，则阴影区域的面积为
4
8
2
A.3
B.3
C.3
() D．无法计算
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x2－4x≤0， 4．若不等式组－1≤y≤2，
x－y－1≥0
表示的平面区域为 M，(x－4)2
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2．几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件则有无限个． 2．几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝_试__验__的__全__部__结__果__所__构__成__的__区__域__长__度___面__积__或__体__积___.
[例 2] (1)已知平面区域 U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，
y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域 U 内
随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为________． (2)(2012·湖北高考)如图所示，在圆心角

古典概型和几何概型

一、古典概型1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件.２)基本事件得特点:①任何两个基本事件就是互斥得;②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与.３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是:①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。

②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型.４)基本事件得探索方法:①列举法:此法适用于较简单得实验.②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。

5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法:①有放回得抽样每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去.②无放回得抽样每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次.二、古典概型计算公式１)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是;2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率.３)事件与事件就是互斥事件4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。

古典概型注意:①列举法:适合于较简单得试验。

②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、三、几何概型事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型.四、几何概型得计算１)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。

2)两种类型线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。

研修：古典概型和几何概型的意义和主要区别

古典概型和几何概型的意义和主要区别古典概型特点：1、实验的样本空间只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同；具有以上两个特点的实验是大量存在的，这种实验叫等可能概型，也叫古典概型。

求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。

概率模型的转换：古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。

概率模型会由古典概型转变为几何概型。

简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

比如：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点。

这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等。

用这种方法处理随机试验，称为几何概型.几何概型与古典概型相对，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸。

这个概念在我国初中数学中就开始介绍了。

古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。

几何概型的特点有下面两个：(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等古典概型是概率的来源，利于学生接受和掌握，几何概率有利于学生的发展。

解决概率问题时，拿出一类概率问题要能抽象出本质，看它属于哪种模型，对于具体的某一概率问题，要能寻找它的变式，从感性到理性，从简到繁，从现象到本质，举一反三，触类旁通。

这需要老师耐心引导，学生们之间认真思考交流，抓住问题的本质，促进学生素质的提高和发展。

人教版数学高一-人教A必修三 3.3甄别古典概型和几何概型

甄别古典概型和几何概型山东省德州市实验中学（253014）肖成荣一．古典概型与几何概型的共同点与区别1．古典概型与几何概型的共同点都具有等可能性，非负性（对任意事件A ，有0≤P （A ）≤1），规范性（必然事件概率为1，不可能事件概率为0）和有限可加性，即当事件A 1、A 2 、…、A n 互斥时，P （A 1+A 2 +…+A n ）= P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）．另外几何概率还具有完全可加性，即当事件A 1、A 2 、A 3 、……互斥时，有∑∑∞=∞==11i i ii A P A P ）（）（． 2．古典概型与几何概型的区别古典概型的试验可能结果是有限个,解决古典概型的关健问题是要分清基本事件个数n 与事件A 所包含的结果数m ，然后利用公式求nm A P =)(,即为事件A 的概率．几何概型的试验可能结果不是有限个，它的特点是试验的基本事件数是无限多个，每一个基本事件发生的可能性是等同的，且在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．在几何概型中，事件A 的概率计算公式是：的度量的度量D d A P =)(．二．解题步骤1．求古典概型概率可分为四个步骤：(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；(2)判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法等方法计算基本事件的个数及事件A 中包含的基本事件的个数m ；(4)计算事件中A 的概率nm A P =)(． 2．求几何概率概率可分为三大步骤：(1)把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来，其中又分两类:(Ⅰ)样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的几何区域题目中已给出；(Ⅱ）样本空间所求事件所对应的几何区域没有直接给出，找出它们成为解这类几何概率题的关键．具体步骤：①根据题设引入适当变量；②利用所引进的变量，把题设中的有关条件转换成变量所满足的代数条件；③第一步根据所得到的代数条件找出相应的几何区域；(2)在坐标系中把几何图形画出来；(3)把样本空间和所求概率的事件所在的几何图形的度量，就是所说的长度、面积或者体积求出来，然后代入公式P(A) =ΩS S A 即可．三．典例分析例1．将一颗骰子抛掷2次，观察向上的点数，问两数之和为3的倍数的概率是多少？解:先后抛掷一颗骰子2次，可能结果有6×6＝36种；先后抛掷一颗般子2次，所得点数之和为3的倍数，共12种：因为抛掷2次得到的36种结果是等可能出现的，记“向上的点数之和是3的倍数”为事件A ，则事件A 的结果有12种，故所求的概率为P(A)= 313612=．评注：（1)运用古典概型的概率公式解题时，需确定全部的基本事件的个数，及所求概率对应的基本事件数．(2)注意要恰当地进行分类，分类时应不重不漏．(3)分清问题是“放回”还是“不放回”；是“有序”还是“无序”．例2．在1000张有奖储蓄的奖券中，设有一个一等奖，三个二等奖，从中买2张奖券，求：(1)分别获一等奖、二等奖的概率；(2)获得一等奖或二等奖的概率．解:(1)从1000张里取2张，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝｛（a 1，a 2），（a 1, a 3），…，（a 1，a 1000），（a 2，a 3），（a 2，a 4），…，（a 2，a 1000），…，（a 999，a 1000）｝其中小括号内左边第1个字母表示第1次取出的奖券，右边字母表示第2次取出的奖券．Ω由29991000⨯个基本事件组成，而这些事件的出现可以认为是等可能的．设事件A 为“获一等奖”，事件B 为“获二等奖”，则p(A)= 5001299910009991=⨯⨯，p(B )= 5003299910009993=⨯⨯． (2)设 C 为"获得一等奖或二等奖”，则P(C)=P(A ∪B) = P （A ）+P （B ）－P （A ∩ B ）＝50015003+－16650013312999100031=⨯⨯．评注：本题“获一等奖”和“获二等奖”不是互斥事件，所以应用概率的一般加法公式，在求P(A∩B)时，获一等奖且获二等奖的概率为2999100031⨯⨯．例3．如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在xOT ∠内的概率．解：以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的．落在xOT ∠内的概率只与xOT ∠ 的大小有关，符合几何概型的条件．记{}B OA xOT =∠射线落在内．60xOT ∠=∵°， 601()3606P B ==°∴°，即射线OA 落在xOT ∠内的概率为16．评注：若随机事件所在区域是一个单点,因其长度、面积、体积均为0，则其出现的概率为0，但它不是不可能事件;若一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则其出现的概率为1,但它不是必然事件．例4．射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内：白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径12．2cm ，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？分析：由于箭都能中靶，且对中靶面的任一点是等可能的，因此符合几何极型的特征，可用几何概型的求概率公式求解．解：记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点满在面积为41π×12．22cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率:22112.24()0.0111224P B ππ⨯⨯==⨯⨯ 答：“射中靶心”的概率是0．01．。

古典概型与几何概型知识点总结

古典概型与几何概型知识点总结古典概型和几何概型是概率论中的两种常见概型，它们分别基于不同的概率空间的划分方式。

下面将对古典概型和几何概型的知识点进行总结。

古典概型（Classical Probability Model）是指概率实验基本样本点是有限个的概率模型。

在古典概型中，样本空间中的每一个样本点发生的机会相同，且样本空间中所有的样本点构成一个有限集合。

在古典概型中，我们通常会利用排列组合的方法来计算事件的概率。

以下是古典概型的一些重要知识点：1.样本空间和事件：样本空间是指一个概率实验中所有可能结果的集合，用Ω表示。

事件是样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的结果。

2.事件的概率：在古典概型中，事件A的概率P(A)等于A中的样本点数目除以样本空间中的样本点总数。

即P(A)=，A，/，Ω。

3.加法法则：如果A和B是两个互不相容的事件（即A∩B=Ø），那么两个事件的并事件A∪B的概率等于事件A和事件B的概率之和。

即P(A∪B)=P(A)+P(B)。

4.乘法法则：如果A和B是两个独立事件，即事件A的发生与事件B的发生无关，那么两个事件的交事件A∩B的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率。

即P(A∩B)=P(A)*P(B)。

几何概型（Geometric Probability Model）是指概率实验的样本空间是由几何构造组成的。

在几何概型中，样本空间通常是一个几何形状，概率的计算涉及到几何图形的面积或长度。

以下是几何概型的一些重要知识点：1.区间概率：对于一些连续型随机变量，概率可以通过计算指定区间的长度、面积或体积来求解。

这种类型的概率常常与几何图形的几何属性相关。

例如，对于均匀分布的连续随机变量，一个给定区间[a,b]内事件发生的概率等于区间长度除以总长。

2. 概率密度函数：对于连续型随机变量，其概率密度函数（Probability Density Function，PDF）描述了随机变量的可能取值的相对可能性。

古典概型与几何概型辨析

古典概型与几何概型辨析作者：汪云霞来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2013年第02期苏教版必修3第三章讲了《概率》，包括古典概型与几何概型，这两种概型的共同点是在随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的．可它们又是两种不同的概型，同学们在解题时常常把这两种概型混淆，导致解题错误．这两种概型的区别到底在哪儿，我们又该如何区分这两种概型，对这两种概型如何求解？通过本文的分析，希望对同学们有所启发．一、古典概型与几何概型的区别例1 （1）在区间［0，10］上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为_____________；（2）在区间［0，10］上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为_____________．分析：本题中，问题1因为总的基本事件是［0，10］内的全部整数，所以基本事件总数为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为411．问题2中，因为总的基本事件是［0，10］内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间［0，10］长度为10，而事件“不大于3”对应区间［0，3］长度为3，所以所求概率为310．小结：1．此题中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题1中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题2中的总基本事件是无限个，属于几何概型.故在实际解决问题中，关键要正确区分古典概型与几何概型．古典概型中基本事件的个数是有限的，事件是可以数出个数的；而几何概型中基本事件是无限的，事件是不可以数出有多少个的，这是这两种概型的本质区别．2．两种概型的概率公式．古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P（A）=mn；几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（长度或面积或体积或角度等）试验的全部结果所构成的区域长度（长度或面积或体积或角度等）．例2 判断下列概率问题中哪些属于古典概型哪些属于几何概型：（1）从一批产品中抽取30件进行检查，有5件次品，求正品的概率；（2）随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率．（3）箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？（4）甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率．对比古典概型和几何概型的特点，判断得（1）、（2）属于古典概型；（3）、（4）属于几何概型．二、古典概型注意点1．注意“非等可能”与“等可能”例3 掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率．错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，…，12}，属于事件A的结果只有3，故P（A）=111．分析：公式P（A）=属于事件A的基本事件数基本事件的总数仅当所述的试验结果是等可能时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这种情况（1，1）才出现，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推．正确答案掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为6×6=36．在这些结果中，事件A的含有两种结果（1，2），（2，1）．∴P（A）＝236=118．2．注意“可辩认”与“不可辨认”例4 将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A：“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”．错解：将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中，所有可能的结果数为Nn，而事件A 含有n！种结果．所以P（A）=n！Nn分析：这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了．因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球．我们在此用符号“□”表示一个盒子，“○”表示球，先将盒子按号码排列起来这样的N个盒子由N+1个“|”构成，然后把n个球任意放入N个盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在这样的放法中，符号“|”和“○”共占有：N+1+n个位置，在这N+1+n个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”，其余的N+n-1个位置上“|”和“○”可以任意次序排列．则N-1个“1”和n个“○”在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是，将n个不可辨认的球放入指定的n个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1种，故事件A含1个结果，从而P（A）=1CnN+n-1=n！（N-1）！（N+n-1）！.正解：分两种情况：（1）当球是可辩认的，则P（A）=n！Nn；（2）当球是不可辨认的，则P（A）=n！（N-1）！（N+n-1）！．三、几何概型中注意点解几何概型问题的关键是准确分清几何概型的测度．例5 （1）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM（2）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样．问题1的测度定性为线段长度，当∠CAM0=30°时，CM0=33AC=33CB，符合条件的点M等可能的分布在线段CM0上，所以所求概率等于CM0CB=33．而问题2的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM0∠CAB=30°45°=23．此题中的两个问题都是几何概型的问题，但是选取的测度不一样，在解决时考察和计算的结果也不一致．可见在解决几何概型问题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题．例6 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟的概率是多大？解析：①这是什么概型，为什么？②借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件？（圆或线段）③该如何建立数学模型？解：设A=“等待时间不超过10分钟”，则P（A）=CBAB=60－5060=16或P（A）=S扇形1S圆=16（2）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率．可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A，则P（A）=等待的时间不多于10分钟时间长度所有在60分钟里醒来的时间长度＝1060=16；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解．问题拓展：某人午觉醒来，发现表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？分析：本题的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用上题中的时间长度之比来解决，得到错误的答案560=112．学生错误的原因在于没有科学的认识题中的变量．本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在［0，60］内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在［0，60］内的任意时刻．所以本题的解决应以x轴和y轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是|x－y|≤5，从而可以绘制坐标轴，数形结合，得到结果．由于（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形，差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示，记“差异不超过5分钟”为事件A因此，差异不超过5分钟的概率P（A）=602－552602=23144．总之，如何解决概率问题，得首先分清是古典概型与几何概型，然后再用相应的方法来解题，关注解决两种概型的一些注意点．（作者：汪云霞，如皋市第二中学）。

明辨古典概型和几何概型

明辨古典概型和几何概型作者：于健来源：《新高考·高二数学》2015年第09期一、古典概型与几何概型的区别2.例题分析问题（2）中，因为总的基本事件是[o，10]上的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]长度为10，而事件“不大于3”对应区间长度为3，所以所求概率为3/10，小结此题中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题（1）中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题（2）中的总基本事件是无限个，属于几何概型.二、解题注意点1.解古典概型问题时应注意区分“非等可能”与“等可能”例2 掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率.错解掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，…，12}，属于事件A的结果只有3，故P（A）一1/11.而取数值2和3不是等可能的，2只有（1，1）这种情况才出现，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其他的情况可类推.正解掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为6×6 =36.2.解几何概型问题时应注意准确分清问题的测度分析此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样.小结在解决几何概型问题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题.（具体可参考下文的《准确掌握几何概型测度的锦囊妙计》）3.合理认识几何概型中的变量例4（1）某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于10 min的概率是多大？（2）某人午觉醒来，发现表停了.则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5 min的概率为多少？解析（1）①这是什么概型？其中的变量是什么？②借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件？（圆或线段）③该如何建立数学模型？因为本题包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在[0，60]内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在[0，60]内的任意时刻.所以本题的解决应以x轴和y轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么“差异不超过5min”即是|x-y|≤5，从而可以绘制坐标系，如图4所示，数形结合，得到结果.总之，解决概率问题，同学们一定要认真审题，首先应分清是古典概型还是几何概型，然后再用相应的方法来解题.。

几何概型与古典概型的区别

与长度有关的几何概型 [例 1] (2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取
一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则
该矩形面积大于 20 cm2 的概率为
1
1
A.6
B.3
()
2
4
C.3
D.5
1．在区间－π2，π2上随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 0 到12之间的概率为________．
求解与长度有关的几何概型的两点注意 (1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．
与面积(体积)有关的几何概型
[例 2] (1)已知平面区域 U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，
2．已知集合 A＝{x|－1<x<5}，B＝xx3－－2x>0 ，在集合 A 中任取一个元素 x，则事件“x∈A∩B”的概率是_______．
在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，并以线段 AC 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率是多少？
y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域 U 内
随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为________． (2)(2012·湖北高考)如图所示，在圆心角
为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为
直径作两个半圆，在扇形 OAB 内随机取一
点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )
B.9
1
1
4．点CA.4为周长等于 3 的圆周上一个D.定2 点，若在该圆周上随

古典概型和几何概型的区别

古典概型和几何概型的区别
相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的。

不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关。

（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

（3）几何概型求事件A的概率公式：
PA=构成事件A的区域长度面积或体积/实验的全部结果所构成的区域长度面积或体积（1）试验中所有可能出现的基本事件是有限的。

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

（3）古典概型求事件A的概率公式：
PA=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数
例题：某人午觉醒来发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

分析：收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个的，因而适合几何概型。

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高考数学考点归纳之古典概型与几何概型

高考数学考点归纳之古典概型与几何概型一、基础知识1•古典概型(1) 古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性•(2) 古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式P(A) = m，求出事件A的概率•(3) 频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型(2 )几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等•(3)计算公式：构成事件A的区域长度面积或体积_________P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积•几何概型应用中的关注点1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率• 2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性A. 3_ 10 考点一古典概型［典例精析］(1)(2018全国卷n )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果•哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()C.15(2)(2019武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和b ,贝U 方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解的概率是()7 1 A.36 B.2 19 5 C — D — C.36D.18［解析］⑴不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有 C 1o = 45种情况，而和为30的有7+ 23,11+ 19,13 + 17这3种情况，所以所求概率P =45=1_ *1 < a <6, a € N ,⑵投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为1 w b < 6, b € N *,组合有36种.若方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解，贝U △= b 2— 4a > 0，所以 b 2> 4a.当b = 1时，没有a 符合条件；当 b = 2时，a 可取1;当b = 3时，a 可取1,2 ;当b = 4 时，a 可取 1,2,3,4 ;当 b = 5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6 ;当 b = 6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有1919种，则方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解的概率 P =--.36［答案］(1)C (2)C［题组训练］1. (2019 益阳、湘潭调研)已知 a € { — 2,0,1,2,3}, b € {3,5}，则函数 f(x) = (a 2— 2)e x + b 为减函数的概率是()所以a 和b 的3 21解析：选 C 若函数 f(x) = (a 2— 2)e x + b 为减函数，则 a 2— 2v 0,又 a € { — 2,0,1,2,3},故只有a = 0, a = 1满足题意，又b € {3,5}，所以函数f(x)= (a 2 — 2)e x + b 为减函数的概率是2•从分别标有1,2,…，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )5 4 A — B —A.18B .93•将A , B , C , D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是 ( )1 A .2 1 B.4 C 1 C • 61解析：选B A , B , C ,D 4名同学排成一排有 A 4= 24种排法.当A , C 之间是B 时，4 + 2 1有2X 2=4种排法，当A , C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率P =-24-=4.考点二几何概型类型(一)与长度有关的几何概型［例1］ (2019濮阳模拟)在［— 6,9］内任取一个实数 m ,设f(x) = — x 2 + mx + m ,则函数f(x) 的图象与x 轴有公共点的概率等于()27A B A.15 B .153 11C5 D.亦［解析］•/ f(x)=— x 2+ mx + m 的图象与 x 轴有公共点，二 △= m 2+ 4m > 0,. m < — 4 或m > 0,.••在［—6,9］内取一个实数m ，函数f(x)的图象与x 轴有公共点的概率P =[—4— — 6 ] + 9— 0 = 9——6 — ［答案］D解析：选C 由题意得，所求概率5X 4X 2 9X 859. 11狗，故选D . 15类型(二)与面积有关的几何概型［例2］(1)(2018潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形,(2)由题意知圆O 的面积为n 3,正弦曲线y = sin x , x € ［- n, n ］ x 轴围成的区域记为 M ，根据图形的对称性得区域 M 的面积S = 2 / o sin xdx =- 2COS x|o = 4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率P =刍.n［答案］(1)C (2)B类型(三)与体积有关的几何概型［例3］已知在四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄底面 ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA = AB = 22，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ,则四棱锥 O -ABCD 的体积不小于3的概率为2［解析］当四棱锥O -ABCD 的体积为3时，设O 到平面ABCD 的距离为 12 1h ,则 3x 22x h = 3,解得 h = 1 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 内作平面EFGH 平行于底面 ABCD ，且1平面EFGH 与底面ABCD 的距离为2.PH 3因为PA 丄底面ABCD ，且FA = 2,所以pA = 4,若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是A.4B.12 C.3(2)(2019洛阳联考)如图，圆O : x 轴围成的区域记为 M (图中阴影部分 A 落在区域M 内的概率是()4 ArB. nD.［解析］ ⑴设正六边形的中心为点 O,BD 与AC 交于点G,BC = 1,则BG = CG , Z BGC =120°在厶BCG 中，由余弦定理得1= BG 2+ BG 2- 2BG 2COS 120°得BG =彳，所以&BCG=2 x BG x BG x sin 120 °= 2 xf x 33 x 学=器，因为1S 六边形 ABCDEF = S A BOC x 6 = ~ x 1 x 1 x Sin 60°x 6= 乎，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P = 1-6G BCG S 六边形ABCDEF23.又四棱锥P-ABCD与四棱锥P-EFGH相似,所以四棱锥 O -ABCD 的体积不小于2的概率P = V 四棱锥P -EFGH3 V 四棱锥P-ABCD “亠 27［答案1 64类型（四）与角度有关的几何概型［例4］如图，四边形 ABCD 为矩形，AB = 3，BC = 1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧斥「，在/ DAB 内任作射线 AP ,则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 _____________________ .［解析］连接AC ,如图，因为tan / CAB =器二彳,所以/ CAB =才，满足条件的事件是直线AP 在/ CAB 内，且AP 与AC 相交时，即直线n/ CAB 61AP 与线段BC 有公共点，所以射线 AP 与线段BC 有公共点的概率 P =/DAB =n=勺2 (1)［答案1 3［题组训练］1.（2019豫东名校联考）一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体： F-AMCD 内的概率为（）'；A.|1所以它飞入几何体 F-AMCD 内的概率P = — = 2.I 3 2 2a2•在区间［0, n ］随机取一个数x ，则事件“ sin x + cos ”发生的概率为解析：1 1 1选 D 由题图可知 V F -AMCD = 3 X S 四边形 AMCD X DF = 4a 3, V ADF -BCE =尹3,C.3 PH 3 = 3 3= 27 PA 4 64.1sin x + cos x >解析：由题意可得20< x < n解得2. （2019漳州一模）甲、乙、丙、丁、戊 5名同学参加"《论语》知识大赛”，决出第 1 名到第5名的名次•甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，故所求的概率为 12_ 77 12答案：右3. （2018唐山模拟）向圆（x — 2）2+ （y — ,3）2= 4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为 _________ .解析：如图，连接CA , CB ，依题意，圆心 C 到x 轴的距离为 3,所1 2 1 以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以弓形 ADB 的面积为2x 2 nX 2 —1 2X 2 X 3 = ^n — . 3,所以向圆（x — 2）2+ （y — . 3）2= 4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P =1-1 答案：16 ［课时跟踪检测］1.（2019衡水联考）2017年8月1日是中国人民解放军建军 90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币•如图所示是一枚 8克圆形金质纪念币，直径 22 mm ，面额100元•为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷 100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. 363 n 10 2mm 2 363 n B.2 mm 2C.726 n 2 mm 2 D.3；20_n mm 2解析：选A向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是 S = 1°0X nx 112 =现采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学去某敬老院参加献爱心活动但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析, 丙是第名的概率是（） 1 A.51 B.31 C.4 1D.6 解析：选B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊 •又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件, 所以丙 1 是第一名的概率是I 3.（2019郑州模拟）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有 5张奖票（其中 3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在 3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到第4人抽完结束的概率为（） 1 B.1 2D.5 解析：选C 将5张奖票不放回地依次取出共有A 5= 120（种）不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有C 2C 1A =36（种）取法，所以P =蛊=鲁. 4.（2019长沙模拟）如图是一个边长为 8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（） n A.8nC.1—n解析：选C 正方形的面积为82,正方形的内切圆半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,所以白色区域的面积为 nX 42—nX 22-4 XnX 12= 8 n,所以黑色区域的面积 82 — 8 n n 为82— 8 n 在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为 P == 1—刁 82 5.（2019郑州模拟）已知圆C : x 2+ y 2= 1,直线I : y = k （x + 2），在［—1,1］上随机选取一个数k ,则事件“直线I 与圆C 相离”发生的概率为（） 2— ,2 B.2 A.1 C 3-V3 C. 32 — ,3 D. 2解析：选C 圆C : x 2+ y 2= 1的圆心C(0,0)，半径r = 1,圆心到直线I : y = k(x + 2)的距离d = |0； 0+ 2F=-^L ,直线|与圆C 相离时d > r ,即丁鉴> 1,解得k v —申或 \jk + — 1 yj k + 1 yj k + 134 1(3,7), (4,6)中任选3组，有C 4= 4种选法，故这7个数的平均数是5的概率P = 36 = 了7•一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为 a , b , c ,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213,134)，若a , b , c € {1,2,3,4}，且a , b ,c 互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是 ____________ .解析：从1,2,3,4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A 4= 24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为 1,2,3或1,3,4,所以共组成2A 3 = 12个“好数”，故所求概8•太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美•按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标n系中，圆0被函数y = 3s“6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为解析：根据题意，大圆的直径为函数y = 3si^ 的最小正周期 T ,又T = 3= 12,所以6 n612大圆的面积 S = n •- 2= 36n, 一个小圆的面积 S ' = n*2= n,故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率 P =%=令=补.S 36 n 181答案：18 9.(2018天津高k >f,故所求的概率 3P =2- f1——13 —3_6•从1〜9这9个自然数中任取 7个不同的数，则这7个数的平均数是 5的概率为解析：从1〜9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C 7= 36 种，从(1,9), (2,8),24 12.考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？⑵设抽出的7名同学分别用 A ，B , C ，D ，E , F ，G 表示，现从中随机抽取 2名同学承担敬老院的卫生工作•① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；② 设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率. 解：(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3 : 2 : 2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3人，2人，2人.⑵①从抽取的7名同学中随机抽取 2名同学的所有可能结果为{A , B}, {A , C} , {A ,D} , {A , E} , {A , F}, {A , G} , {B , C} , {B , D} , {B , E} , {B , F} , {B , G} , {C , D}, {C , E}, {C , F}, {C , G}, {D , E}, {D , F} , {D , G} , {E , F} , {E , G} , {F , G},共 21种.②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是 A , B , C ,来自乙年级的是 D , E , 来自丙年级的是 F , G ,则从抽出的7名同学中随机抽取的 2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A , B} , {A , C} , {B , C} , {D , E}, {F , G},共 5 种.5所以事件M 发生的概率P(M =—. 10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ,B ,C ,D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者•(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率A 41⑵记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务 ”为事件E ,那么P(E) =10,所以甲、9乙两人不在同一岗位服务的概率是P( E ) = 1 — P(E) =后.1.(2019太原联考)甲、乙二人约定 7: 10在某处会面，甲在 7: 00〜7: 20内某一时刻4解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ,那么P(E A ) =A * * 3 __1 C 5A L 40 ,即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是140.1=4所以仅有一人参加A 岗位服2B1答案:——> > ------ >P B + P C + 2 PA = 0,现将一粒黄豆随机撒在随机到达，乙在7: 05〜7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙 5分钟的概率是（） 1 A.81 B.4 3 C.8 5 D.8 解析：选C 建立平面直角坐标系如图， x , y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，则坐标系中每个点（x , y ）可对应甲、乙二人到达时刻的可能 y — x > 5, 性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是 0W x w 20, 其构成的区域 5< y < 20, 为如图阴影部分，则所求的概率1X 15X 15-2 3 P = =— 20 X 15 8' 2.（2019开封模拟）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 2X 2X 3的长方体框架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）解析：选B 根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，•••一共要走 3 次向上，2次向右，2次向前，共7次，.••最近的行走路线共有 A 7= 5 040（种）.•••不能连续向上，.••先把不向上的次数排列起来，也就是 2次向右和2次向前全排列为 A 4.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中， 5个位置排3个元素，也就是 A 5，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有 A 4A 5= 1 440（种），•其最近的行走路线中不连续向上 1 440 2 攀登的概率p =両r 7.故选B. 3•已知等腰直角厶 ABC 中，/ C = 90°在/ CAB 内作射线 AM ，则使/ CAM V 30°的概率为解析：如图，在/ CAB 内作射线AM 0, 使/ CAM 0= 30° 于是有 P(/ CAM / CAM 0 30 V 30 )=TCAB"— 245一3.△ ABC 内,则黄豆落在△ PBC 内的概率是（1A]4•已知 P 是厶ABC 所在平面内一点，且1根据几何概型的概率计算公式2 3解析：选C 以PB, PC为邻边作平行四边形PBDC,连接PD交BC于点0,则再B + R6 = _PD .--- B ---- B ------ B•/ PB + PC + 2 PA = 0,二-6+_P CT=- 2-，即可6= - 2"P A ,由此可得，P是BC边上的中线A0的中点，点P到BC的距离等于点A到BC的距离,,1 1 S^PBC 的2, •••S APBC=2S S BC,.・.将一粒黄豆随机撒在△ ABC内，黄豆落在△ PBC内的概率P =王；二12.5.点集Q = {(x, y)|0w x w e, 0< y w e}, A= {(x, y)|y>e x, (x, y) € Q}，在点集Q 中任取一个元素a，则a€ A的概率为()1A.—eB.4e—1C.-ee2-1 D.—2 e解析：选B 如图，根据题意可知Q表示的平面区域为正方形BCDO , 面积为e2, A表示的区域为图中阴影部分，面积为/ 0 (e- e x)dx= (ex-1e x)|0= (e- e)-(—1) = 1，根据几何概型可知 a € A的概率P=二.故选B.e n a/ C1L 电*6.如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形边AB, AC A ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为H,其余.此图由三ABC的斜边BC,直角P1, P2, P3，则部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I ,n，川的概率分别记为C.p2= p3D.p1 = p2+ p3解析：选A不妨设△ ABC为等腰直角三角形，AB= AC = 2, 则BC = 2 2,A. p1 = p2B.p1= p3所以区域I的面积即△ ABC的面积，1为S1 = X 2X 2= 2,区域H的面积S2= T X 12—nX22- 2 = 2,区域川的面积S3=nX2"-2 =n- 2.得 P1=p2=dk ，P3=n 2，所以 P 1M p 3,卩2工P 3, P 1工P 2 + P 3, 故选 A.X 2 3 V 27.双曲线 C :孑一詁=1(a > 0, b > 0)，其中 a € {1,2,3,4} , b € {1,2,3,4}，且 a , b 取到其中每个数都是等可能的，则直线I: y =x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为 ()1 A.1 5 D.5解析：选B 直线I : y = x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，贝U b > 1，总基本事件a 数为 4X 4= 16,满足条件的(a , b)的情况有(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)，共 6 个, 故概率为3.818.在区间［0,1］上随机取两个数 a , b ,则函数f(x)= x 2 + ax + 4b 有零点的概率是1解析：函数 f(x)= x 2 + ax + 4b 有零点，则 △= a 2— b > 0，二 b < a 2,「.函数 f(x)= x 2 + ax (3)因为有两人同时参加 A 岗位服务的概率3务的概率P 1= 1 — P 2=；.2 / o a 2da 1 + 4b 有零点的概率 P = 1 % 1 = 3.3 B.3C.2。

“古典概型”和“几何概型”意义和区别的理解

“古典概型”和“几何概型”意义和区别的理解作者：穆高岭来源：《中学数学杂志(初中版)》2009年第06期1 两种概型的特点和意义1.1 古典概型在这个模型下,随机实验所有可能的结果是有限的,并且每个基本结果发生的概率是相同的. 例如:掷一次硬币的实验,只可能出现正面或反面,由于硬币的对称性,总认为出现正面或反面的可能性是相同的. 又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验,也属于这个模型. 它是概率论中最直观和最简单的模型;概率的许多运算规则,也首先是在这种模型下得到的.古典概型特点:1.实验的样本空间只包括有限个元素(有限性);2.实验中每个基本事件发生的可能性相同(等可能性).同时具有以上两个特点的实验叫等可能概型,也叫古典概型. 这是判断古典概型的一个依据.古典概型概率求法的基本步骤:(1)算出所有基本事件的个数n;(2)求出事件A包含的所有基本事件数m;2.2 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;所谓几何概型的概率问题,是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题:设在空间上有一区域G,又区域g包含在区域G内(如图1),而区域G与g都是可以度量的(可求面积),现随机地向G内投掷一点M,假设点M必落在G中,且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量(长度、面积、体积等)成正比,而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验(掷点),称为几何概型.关于几何概型的随机事件“ 向区域G中任意投掷一个点M,点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为:g的度量与G的度量之比,即几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.几何概型的概率公式:几何概型的意义事件A理解为区域的某一子区域A,事件A发生的概率只与构成该事件的子区域的几何度量(长度、面积、体积)成正比,而与A的位置和形状无关.2 “古典概型”和“几何概型区别几何概型是无限个等可能事件的情况,而古典概型等可能事件只有有限个.“古典概型”和“几何概型”与初中教学联系最密切的章节是“统计与概率”.“统计与概率”的教育价值主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机事现象,它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮助人们作出合理的决策. 随着社会的不断发展,统计与概率的思想方法将越来越重要. 如:奥地利遗传学家,孟德尔的“遗传定律”就是通过统计概率的知识得来的,为人类做出了伟大的贡献,孟德尔本人也成了遗传学的奠基人. 统计与初步所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍使用的并且强有力的思维方式. 初中阶段要求学生熟悉统计与概率的基本思想方法,逐步形成统计概念,让学生了解随机现象,形成科学的世界观与方法论.初中的“统计与概率”中蕴含着极其丰富的“古典概型”和“几何概型”有关实际问题.例1 (淮安金湖实验区)为了调查淮安市今年有多少名考生参加中考,小华从全市所有家庭中抽查了200个家庭,发现了其中10个家庭有子女参加中考.(1)本次抽查的200个家庭中,有子女参加中考的家庭频率是多少?(2)如果你随机调查一个家庭,估计家庭有子女参加中考的概率是多少?(3)已知淮安市约有个家庭,假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生,请你估计今年全市有多少名考生参加中考?例2 (河南课改实验区)若从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4,将它们背面朝上,分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面的数字之和等于5的概率是多少?请你用列举法(列表或画树状图)加以分析说明.解可用列举法列出所有的可能得到的牌面数字之和:从上表可知,共有m=16种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共有n=4次. 记牌面数字之和等于5为事件A,则评注计数的常用方法是列表或画树状图.例3 (扬州课改实验区)某商场进行有奖促销活动. 活动规则:购买500元商品就可以获得一次转盘的机会(转盘分为5个扇形区域,分别是特等奖彩电一台,一等奖自行车一辆,二等奖圆珠笔一枝,三等奖卡通画一张及不获奖)转盘指针停在哪个获奖区域就可以获得该区域相应等级奖品一件. 商场工作人员在制作转盘时,将获奖扇形区域圆心角分配如下表:(2)可采用“抓阄”或“抽签”等方法代替,规则如下:在一个不透明的箱子里放进360个除标号不同外,其他均一样的乒乓球,其中一个标“特”,10个标“1”,30个标“2”,90个标“3”,其余的不标数字,摸出标有哪个奖次的乒乓球,则获相应等次的奖品.评注从例1、例2看学生脑海中虽没有“古典概型”的概念,但此概念即将呼之欲出!从例3看学生已经潜意识的,在使用“几何概型”.无论是从统计与概率的教育价值,还是新课标的教学内容,以及对学生的思维能力培养来看,作为我们初中教师就更应该理解“古典概型”和“几何概型”的意义和区别,以便更好的有的放矢的进行潜移默化的教学,便于使学生在丰富的生活素材实验中去归纳、分析、总结,使学生逐渐形成对“古典概型”和“几何概型”的潜意识. 有助于学生向高中阶段学习的顺利过渡,有助于培养学生对数学思维方法的情感体验,更有助于学生健康发展.作者简介穆高岭,男,1965年9月生,中学数学一级教师,中国尝试教学会会员.主要研究中学数学课堂教学改革,发表论文数篇.。

古典概型和几何概型的联系和区别

古典概型和几何概型的联系和区别古典模式和几何模式是几何学中最重要的概念，两者都拥有自己独特的性质和特点，古典模式在几何学中有着重要的地位，而几何模式的作用也是不可忽视的。

本文研究古典模式和几何模式之间的联系和区别，探究它们在几何学中的作用和分别。

古典模式概念的最初来源于古希腊的几何学家，他们提出一种建立在基本几何设定上的认识框架，把它们用来构建古典几何模式。

这种模式考察两个点之间的关系，即连续无穷的直线上可以放置无数个点，而不同点之间可以确定一个角度，即认为两个点之间可以构成一条线，并且可以求出两点之间的距离和它们的点积。

古典模式可以用来定义几何图形的形状，例如圆形和多边形，也可以用来计算各种平面或空间几何形状的面积和体积。

几何模式是20世纪出现的一种新型几何学，它从古典模式出发，使用现代数学理论构建出更为复杂的几何模型。

几何模式以向量论、线性代数和拓扑学作为基础，运用几何模型来分析和解决实际几何问题。

几何模式是一种抽象的模型，用于表示几何图形的抽象特征和性质，它利用数学函数和抽象空间概念来分析和解释几何形状和空间结构的属性。

这种模型主要用于几何学研究，目的在于更好地理解复杂的几何形状和空间结构。

古典模式和几何模式之间存在着某种关联，古典模式是几何模式的基础。

古典模式的概念在几何学中有着重要的作用，它们为几何学提供了基本的基础和理论，几何学家们可以利用它们来构建和推导几何模型。

另外，古典模式也可以用来计算几何图形的面积和体积，而几何模式则可以深入分析几何形状和空间结构的抽象特征和性质。

虽然古典模式和几何模式有一定的关联，但它们之间也存在着明显的区别。

古典模式是以古希腊的几何学家所提出的一种框架为基础，主要用来定义几何图形形状和计算几何图形的面积和体积；而几何模式则是在古典模式基础上发展而来的，它建立在物理实验、向量论、线性代数和拓扑学等数学理论基础上，运用几何模型来分析和解决实际几何问题。

由此可见，古典模式主要是用来定义几何图形形状，而几何模式则是运用数学理论深入分析几何形状的性质。

古典概型和几何概型的意义和主要区别

专题六作业：3．在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，是否更有利于从事相应的教学，举例说明；在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，更有利于从事相应的数学教学。

一、古典概型1、古典概型的意义如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件），发生的可能性大小相等；则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。

因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型.2.古典概型的两个基本特点（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，由试验产生随机数。

（2）每个基本事件出现的可能性相等.2、常见的三种古典概型基本模型(1) 摸球模型；同类型的问题还有1) 中彩问题；2) 抽签问题；3) 分组问题；4) 产品检验问题；5) 扑克牌花色问题；6) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题.(2) 分房问题；同类型的问题还有：1) 电话号码问题2) 骰子问题3) 英文单词、书、报等排列问题.(3) 随机取数问题.同类型的问题还有：1) 球在杯中的分配问题(球→人，杯→房)2) 生日问题；(日→房，N=365天) ( 或月→房，N=12月)3) 旅客下站问题；( 站→房)4) 印刷错误问题；(印刷错误→人，页→房)5) 性别问题(性别→房，N=2)在老教材中的古典概型是强调用排列组合的公式计算事件个数，而新教材中的古典概型是强调利用枚举法，画树形图来排出所有的事件个数。

二、几何概型1 ．几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。

用这种方法处理随机试验，称为几何概型．（这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等）2 ．几何概型的基本特点：（ 1 ）基本事件的个数，有无限多个。