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2019学年初三数学上(北师大版)第一章《特殊平行四边形》达标测试卷(含解析)

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2019版【北师大版】九年级数学上：第1章《特殊平行四边形》单元测试(含答案)

2019版【北师大版】九年级数学上：第1章《特殊平行四边形》单元测试(含答案)

2019版数学精品资料（北师大版）北师大版九年级数学上第1章《特殊平行四边形》单元试题（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C． D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。

2019-2020北师大版数学九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测解析版

2019-2020北师大版数学九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测解析版

北师大版数学九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测考试时间：100分钟；满分：120分姓名：___________班级：___________学号：___________成绩:___________一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列性质中菱形有矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．（3分）若菱形的周长为16，则它的边长为（）A．8B．6C．4D．23．（3分）边长为1的正方形的对角线为（）A．B．1C．D．2+14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝（）A．120°B．100°C．150°D．60°5．（3分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm6．（3分）下列性质，菱形、矩形和正方形都具有的是（）A．轴对称图形B．对角线平分一组对角C．对角线相等D．对角线互相垂直7．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标分别是（）A．（，3）B．（，4）C．（，4）D．（，）8．（3分）已知矩形OABC，坐标分别为O（0，0），A（0，a），B（b，2），C（3，0），则（）A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3 9．（3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（）A．16B．17C．18D．1910．（3分）如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，以AB为边向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度数发生变化，连接CN，则CN的最大值是（）A．4B．6C．4+2D．2+411．（3分）在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC上一点，且EF＝BF+DE，则∠EAF的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．小于60°12．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC 的度数为（）A．60°B．45°C．75°D．67.5°二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．（4分）如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线交AD，BC 于点E，F．若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为．14．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝12cm，则AB＝cm．15．（4分）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，6），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，则P点的坐标为．16．（4分）在长方形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，4），则点D的坐标是．17．（4分）在正方形ABCD的平面内作等边三角形△ADE，则∠AEB的度数为．18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在BC上，且BE＝2，BF⊥AE于F，交AC于点G，则AG的值为．三．解答题（共9小题，满分60分）19．（5分）如图，正方形ABCD及EFGC的面积分别是10和5，求长方形AHGD留下阴影部分的周长和面积．20．（5分）如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD．若矩形的周长为48cm，求矩形的面积．21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，B的坐标（0，4），C的坐标（3，0），A、D在第一象限．（1）过D作DE⊥x轴，垂足为E，先证明△OBC≌△ECD，再写出点D的坐标；（2）求点A的坐标．22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于点P，CN与DQ交于点M．在不添加其他条件的情况下，试判别四边形MNPQ的形状，并说明理由．23．（7分）如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．24．（7分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH．求证：四边形EFGH是正方形．25．（7分）四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形．26．（8分）如图，菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE，且∠ABE：∠CBE＝7：3，BE交对角线AC于F，交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC＝15°．（1）求∠DEB的度数；（2）求证：2CF＝CM+2FB．27．（9分）如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．（1）求证：BE＝DE；（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF＝DP．参考答案一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列性质中菱形有矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【解答】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，故菱形具有而矩形不具有的性质是两条对角线互相垂直，故选：A．【点评】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．2．（3分）若菱形的周长为16，则它的边长为（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：因为菱形的四边相等，周长为16，∴菱形的边长为4，故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质就解决问题的关键．3．（3分）边长为1的正方形的对角线为（）A．B．1C．D．2+1【解答】解：由勾股定理知，对角线长＝，故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质，关键是根据勾股定理的运用解答．4．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝（）A．120°B．100°C．150°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝2∠B，∴∠A＝120°，∠B＝60°，∴∠C＝120°，故选：A．【点评】本题考查菱形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（3分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为，故选：B．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．6．（3分）下列性质，菱形、矩形和正方形都具有的是（）A．轴对称图形B．对角线平分一组对角C．对角线相等D．对角线互相垂直【解答】解：A、正确．矩形、菱形、正方形都是轴对称图形．B、错误．矩形不具有的对角线互相垂直这个性质．C、错误．菱形不具有的对角线相等这个性质．D、错误．矩形不具有对角线互相垂直这个性质．【点评】本题考查矩形、菱形、正方形的性质，记住矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．7．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标分别是（）A．（，3）B．（，4）C．（，4）D．（，）【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y 轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴＝，即＝，∴OE＝，∴点B（，3），【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．8．（3分）已知矩形OABC，坐标分别为O（0，0），A（0，a），B（b，2），C（3，0），则（）A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3【解答】解：因为矩形OABC，坐标分别为O（0，0），A（0，a），B（b，2），C（3，0），所以a＝2，b＝3，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，关键是根据矩形的性质和坐标特点解答．9．（3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（）A．16B．17C．18D．19【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB＝BC，DE＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，∴sin∠CAB＝sin45°＝＝，即AC＝BC，同理可得：BC＝CE＝CD，∴AC＝BC＝2CD，又AD＝AC+CD＝6，∴CD＝2，∴EC2＝22+22，即EC＝2；∴S1的面积为EC2＝2×2＝8；∵∠MAO＝∠MOA＝45°，∴AM＝MO，∵MO＝MN，∴AM＝MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3＝9，∴S1+S2＝8+9＝17．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质，考查了学生的读图能力和计算能力，题目比较典型，难度适中．10．（3分）如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，以AB为边向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度数发生变化，连接CN，则CN的最大值是（）A．4B．6C．4+2D．2+4【解答】解：∵四边形ABMN为正方形，∴AB＝AN，∠BAN＝90°，∴将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC′N，如图，∴∠CAC′＝90°，AC′＝AC＝2，NC′＝BC＝4，∴△ACC′为等腰直角三角形，∴CC′＝AC＝2，∵NC′+CC′≥NC（当且仅当点C′在NC上时，取等号），∴点C′在NC上时，NC最大，此时NC＝4+2，即CN的最大值是4+2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．解决本题的关键通过旋转把零散的条件集中到一个三角形中．11．（3分）在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC上一点，且EF＝BF+DE，则∠EAF的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．小于60°【解答】解：延长FB使得BG＝DE，连接AG，在△ABG和△ADE中，，∴△ABG≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠BAG，AE＝AG，又∵EF＝DE+BF＝FB+BG＝FG，AF＝AF，在△AFG和△AEF中，，∴△AFG≌△AEF（SSS），∴∠F AG＝∠EAF，∵∠DAE+∠EAF+∠BAF＝90°∴∠F AG+∠EAF＝90°，∴∠EAF＝45°．故选：C．【点评】本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG＝∠EAF是解题的关键．12．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC 的度数为（）A．60°B．45°C．75°D．67.5°【解答】解：如图，在□ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC．∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∴∠EBC＝90°﹣60°＝30°，BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知BE＝BC是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．（4分）如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线交AD，BC 于点E，F．若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为3．【解答】解：根据矩形的性质得△OBF≌△ODE，属于图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．S△ADC＝CD×AD＝×2×3＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．14．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝12cm，则AB＝6cm．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD＝6，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6cm，故答案为6【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．15．（4分）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，6），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，则P点的坐标为P1（2，6），P2（5，6），P3（8，6），P4（18，6）．【解答】解：当P1O＝OD＝10时，由勾股定理可以求得P1F＝8，P1C＝2，P2O＝P2D时，作P2E⊥OA，∴OE＝ED＝5；当P3D＝OD＝10时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝2，∴P3C＝8；当P4D＝OD＝10时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG＝8，∴OG＝18．∴P1（2，6），P2（5，6），P3（8，6），P4（18，6）；故答案为：P1（2，6），P2（5，6），P3（8，6），P4（18，6）【点评】本题考查了矩形的性质，关键是根据坐标与图形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理的运用解答．16．（4分）在长方形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，4），则点D的坐标是（﹣3，4）．【解答】解：∵长方形ABCD中，A（﹣3，2），C（0，4），∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为4，∴点D的坐标为（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，根据图形确定点D的横坐标与纵坐标是解题的关键．17．（4分）在正方形ABCD的平面内作等边三角形△ADE，则∠AEB的度数为75°或15°．【解答】解：如图，当点E在正方形内部时，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵△AED是等边三角形，∴∠EAD＝60°，AD＝AE＝AB，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝75°．当点E′在正方形外部时，同理可得，∠ABE＝×（180°﹣150°）＝15°，故答案为：75°或15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，等边三角形的性质、正方形的性质的知识点的应用，关键是求出∠EAD的度数和证出∠ABE＝∠AEB．18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在BC上，且BE＝2，BF⊥AE于F，交AC于点G，则AG的值为．【解答】解：如图，延长BG交CD于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝6，∠ABC＝∠BCM＝90°，∴AC＝＝＝6，∵AE⊥BM，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°∠ABF+∠CBM＝90°，∴∠BAE＝∠CBM，在△ABE和△BCM中，，∴△ABE≌△BCM，∴CM＝BE＝2，∵CM∥AB，∴CM：AB＝CG：AG＝2：6＝1：3，∴AG＝AC＝6×＝．故答案为．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．三．解答题（共9小题，满分60分）19．（5分）如图，正方形ABCD及EFGC的面积分别是10和5，求长方形AHGD留下阴影部分的周长和面积．【解答】解：∵正方形ABCD及EFGC的面积分别是10和5∴BC＝，EF＝＝CE∴BE＝BC﹣CE＝﹣∴四边形BEFH的周长＝2（BE+EF）＝2（﹣+）＝2四边形BEFH的面积＝BE×EF＝（）＝5﹣5【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．20．（5分）如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD．若矩形的周长为48cm，求矩形的面积．【解答】解：∠CDM+∠CMD＝90°，∠CMD+∠BMA＝90°，∴∠CDM＝∠BMA，同理∠DMC＝∠BAM．∴△DCM∽△MBA．∴，∵DC＝AB，BM＝CM，∴AB＝BM．又∵（AB+BC）×2＝48，∴（AB+2AB）×2＝48．∴AB＝8，BC＝16．∴矩形ABCD的面积为128．【点评】本题的关键是利用了三角形相似的判定定理，及相似三角形的性质和矩形的性质．21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，B的坐标（0，4），C的坐标（3，0），A、D在第一象限．（1）过D作DE⊥x轴，垂足为E，先证明△OBC≌△ECD，再写出点D的坐标；（2）求点A的坐标．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠BCO+∠CBO＝90°，∠BCO+∠DCE＝90°，∴∠CBO＝∠DCE，在△OBC和△ECD中，∴△OBC≌△ECD（AAS），∴OC＝DE＝3，OB＝CE＝4，∴D（7，3）；（2）解：C点向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点D，则D点向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点A，所以A点坐标为（4，7）．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定方法．22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于点P，CN与DQ交于点M．在不添加其他条件的情况下，试判别四边形MNPQ的形状，并说明理由．【解答】解：四边形MNPQ是矩形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∵AP，BP分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠P AB+∠PBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．∴∠P＝90°，同理：∠M＝90°，∠PQM＝90°，∴∠PNM＝90°，∴四边形MNPQ是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角是四边形是矩形．23．（7分）如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．【解答】证明：∵MN∥PQ，∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC，∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，∴∠BAC＝∠MAC、∠DCA＝∠ACQ，又∵∠MAC＝∠ACQ，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，∴∠BCA＝∠ACP、∠DAC＝∠NAC，又∵∠ACP＝∠NAC，∴∠BCA＝∠DAC，∴AD∥CB，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD平行四边形，∵∠BAC＝∠MAC，∠ACB＝∠ACP，又∵∠MAC+∠ACP＝180°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．24．（7分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH．求证：四边形EFGH是正方形．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠EBF＝∠HAE＝∠GDH＝∠FCG，又∵BE＝CF＝DG＝AH，∴CG＝DH＝AE＝BF∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE，∴EF＝FG＝GH＝HE，∠EFB＝∠HEA，∴四边形EFGH为菱形，∵∠EFB+∠FEB＝90°，∠EFB＝∠HEA，∴∠FEB+∠HEA＝90°，∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形．25．（7分）四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO，∵MN垂直平分对角线BD，∴OD＝OB，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（ASA），∴OM＝ON，∴四边形MBND是平行四边形，又∵MN⊥BD，∴四边形MBND是菱形．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．26．（8分）如图，菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE，且∠ABE：∠CBE＝7：3，BE交对角线AC于F，交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC＝15°．（1）求∠DEB的度数；（2）求证：2CF＝CM+2FB．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝2∠DAC＝2×5°＝30°，∠ABC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°，∵∠ABE：∠CBE＝7：3，∴∠ABE＝150°×＝105°，∴∠DEB＝180°﹣∠ABE＝180°﹣105°＝75°；（2）证明：∵BK⊥AD，菱形的对边AD∥BC，∴∠CBM＝∠AKB＝90°，∠BCA＝∠DAC＝15°，如图，取CM的中点G，连接BG，则BG＝CG＝CM，∴∠CBG＝∠BCG＝15°，∵∠EBG＝∠EBC﹣∠CBG＝（150°﹣105°）﹣15°＝30°，∠BGM＝∠CBG+∠BCA＝15°+15°＝30°，∴∠GBF＝∠BMG，∴FB＝FG，∵CF＝CG+FG，∴CF＝CM+FB，故2CF＝CM+2FB．【点评】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，难点在于（2）根据2倍关系考虑到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作出辅助线构造出两个等腰三角形，这也是解决本题的关键．27．（9分）如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．（1）求证：BE＝DE；（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF＝DP．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE；（2）解：命题：正方形一条对角线上的点到另一对角线的两端点的距离相等；（3）证明：如图，连接PB，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC＝90°，∴四边形BFPE是矩形，∴EF＝PB，由（2）PB＝DP，∴EF＝DP．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记正方形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键．。

2019届九年级数学上册第一章特殊平行四边形测评新版北师大版

2019届九年级数学上册第一章特殊平行四边形测评新版北师大版

第一章测评(时间:45分钟,满分:100分)一、选择题(每小题4分,共32分)1.下列命题中,正确命题的序号是()①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;②一组邻边相等的平行四边形是正方形;③对角线相等的四边形是矩形;④对角线相等的梯形是等腰梯形.A.①②B.②③C.③④D.①④2.由矩形(非正方形)各内角平分线所围成的四边形一定是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于()A. B.C.5D.44.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形.若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A.16B.17C.18D.195.若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线的平方和为()A.16B.8C.4D.16.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,则CE 的长为()A.3B.3.5C.2.5D.2.87.如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,则图中与△ABC全等的三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF的面积为()A.4B.2C.D.2二、填空题(每小题4分,共16分)9.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件,使四边形ABCD是正方形.10.矩形的周长为24 cm,一边中点与对边两顶点连线成直角,则矩形两邻边长分别为和.11.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为.12.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.有下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC,且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有.(只填写序号)三、解答题(共52分)13.(10分)如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC,四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.14.(10分)如图,点O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.15.(10分)如图,正方形ABCD的边长为8 cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过某一定点,并说明理由.16.(10分)如图,B,C,E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形.连接BG,DE.(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系,并证明你的结论.(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请指出,并说出旋转过程;若不存在,请说明理由.17.(12分)(1)如图①,在平行四边形纸片ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15,过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE 剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图②,在(1)中的四边形纸片AEE'D中,在EE'上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE'F'的位置,拼成四边形AFF'D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.答案：一、选择题1.D2.D3.A4.B5.A6.C7.D8.B二、填空题9.AC=BD(或∠ABC=90°等)10.4 cm8 cm11.12.①②③④三、解答题13.证明∵AB=BC,BD平分∠ABC,∴BD⊥AC,AD=CD.∵四边形ABED是平行四边形,∴BE∥AD,BE=AD.∴BE=CD.∴四边形BECD是平行四边形.∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°.∴四边形BECD是矩形.14.解 (1)四边形OCED是菱形.理由如下:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.又∵在矩形ABCD中,OC=OD,∴四边形OCED是菱形.(2)如图,连接OE.由四边形OCED是菱形得CD⊥OE.∵四边形ABCD是矩形,∴CD⊥BC.∴OE∥BC.又∵CE∥BD,∴四边形BCEO是平行四边形.∴OE=BC=8.∴S四边形OCED=OE·CD=×8×6=24.15.(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠ABC=90°,AB=DA.∵AE=DH,∴BE=AH.又∵AE=BF,∴△AEH≌△BFE.∴EH=FE,∠AHE=∠BEF.同理可证FE=GF=HG.∴EH=FE=GF=HG.∴四边形EFGH是菱形.∵∠A=90°,∴∠AHE+∠AEH=90°.∴∠BEF+∠AEH=90°.∴∠FEH=90°.∴菱形EFGH是正方形.(2)解直线EG经过正方形ABCD的对称中心.理由如下:如图,连接BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥DC,AB=DC.∴∠EBD=∠GDB.∵AE=CG,∴BE=DG.又∵∠EOB=∠GOD,∴△EOB≌△GOD.∴BO=DO,即O为BD的中点.∴直线EG经过正方形ABCD的对称中心.16.解 (1)BG=DE.证明:∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,∴GC=CE,BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°.∴△BCG≌△DCE(SAS).∴BG=DE.(2)存在.△BCG和△DCE.△BCG绕点C顺时针方向旋转90°后与△DCE重合.17.解 (1)C(2)①证明:∵AD=5,S▱ABCD=15,∴AE=3.又∵EF=4,∴AF==5.∴AF=AD=5.又∵AF∥DF',AF=DF',∴四边形AFF'D是平行四边形.∴四边形AFF'D是菱形.②解:连接AF',DF(图略).在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,∴DF=.由S▱ABCD=15,得S菱形AFF'D=15,故有×AF'=15,解得AF'=3.。

2019期九年级数学第一学期 第一章 特殊平行四边形综合测试 (新版)北师大版

2019期九年级数学第一学期 第一章 特殊平行四边形综合测试 (新版)北师大版

第一章综合训练（满分120分）一、选择题.(每小题4分，共32分)1．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）2．如图，点P是菱形ABCD内一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是E和F.若PE=PF，下列说法不正确的是（）A．点P一定在菱形ABCD的对角线AC上B．可用HL证明Rt△AEP≌Rt△AFPC．AP平分∠BADD．点P一定是菱形ABCD的两条对角线的交点3．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A=∠B=∠C=∠D；②∠B=∠C=∠D；③∠A=∠B，∠C=∠D；④∠A=∠B=∠C=90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A.3B.3.5C.2.5D.2.85.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E.若∠ADC=130°,则∠AO E的大小为（）A.75°B.65°C.55°D.50°6.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对7.如图，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为a，b（a>b），则（a-b）等于（）Ａ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．48.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（）度.A.75B.60C.45D.30二、填空题.(每小题4分，共32分)9．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．10．如图，在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为 .11．如图，P为菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥A B于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 cm．12．（2015·内蒙古赤峰）如图，M、N分别是正方形AB CD边DC、AB的中点，分别以AE、BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则△ABG是三角形.13．如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形.14.矩形ABCD的周长为16cm，但两条邻边之差为4cm，则矩形的面积为______ m2. 15．（2015·广东东莞）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是.16．如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G.若CG=7，则正方形ABCD的面积等于．三、解答题.(共56分)17.（7分）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是点F，G.求证：AE=FG.18.（9分）蔬菜大户老李有一块正方形菜地，他准备在菜地中间空出两条笔直的交叉小路，把菜地平均分成面积相等的四部分进行特色种植.请你在图中添加两条相交线，帮助老李设计三种不同的分割方案，并简要说明作图方法.19．（9分）（2015·贵州黔南州）如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？20．（10分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由．21.（9分）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F.（1）求证：四边形AE CF为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；（3）求在（2）的条件下折痕EF的长．22.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连接AD、CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点H.（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）已知AD=6，求四边形AFDC的面积;（3）在△ABC中，设B C=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2+b2.在任意△ABC中，c2=a2+b2+k.就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）.11。

(北师大版)北京市九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测(包含答案解析)

(北师大版)北京市九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，给出下列结论：①BE=DF ；②∠DAF=15°；③AC 垂直平分EF ；④BE+DF=EF ；其中结论正确的共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 2．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（ ）A ．4B ．23C ．2D ．1 3．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点（点P 不与点B 、D 重合），PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接EF ，给出下列几个结论：①AP EF =；②AP EF ⊥；③当APD ∆是等腰三角形时，67.5DAP ∠=︒；④PFE BAP ∠=∠．其中有正确有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．如图所示，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是( )①点 P 在∠A 的平分线上； ②AS=AR ； ③QP //AR ； ④△BRP ≌△QSP ．A ．全部正确B ．①②正确C ．①②③正确D ．①③正确 5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE的值为（ ）A ．512B ．725C ．718D ．5246．如图所示，在菱形ABCD 中，5AC =，120BCD ∠=︒，则菱形ABC 的周长是（ ）．A ．20B ．15C ．10D ．57．如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处．若6AB =，10AD =，则EC 的长为（ ）A ．2B ．83C ．3D ．1038．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若25CBF ︒∠=，则AED =∠A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°9．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A ．2B ．2.4C ．2.6D ．310．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，12BC =．将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ，FG 交CD 于点H ．给出以下结论：①EF BG ⊥；②GE GF =；③GDK △和GKH △的面积相等；④当点F 与点C 重合时，75DEF ∠=︒，其中正确的结论共有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（ ）A ．221B ．421C ．12D ．24 12．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=6，则BC 的长为（ ）．A ．3B ．2C ．3D ．322二、填空题13．如图，四边形ABCD 是一个正方形，E 是BC 延长线上一点，且AC ＝EC ，则∠DAE 的度数为_________．14．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若∠DHO=20°，则∠HDB 的度数是________．15．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为______．16．如图，点H 在菱形ABCD 的边BC 上，连结AH ，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在边BC 上的点E 处，若∠B=70°，则∠AED 的度数为_____．17．如图，将长方形纸片进行折叠，ED ，EF 为折痕，A 与A '、B 与B '、C 与C '重合，若∠AED ＝25°，则∠BEF 的度数为_____．18．如图，四边形ABCD 中，30,120B D ∠=︒∠=︒，且,6AB AC AD CD ⊥+=，则四边形ABCD 周长的最小值是_______________________．19．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8AC =，10BD =，E 、F 、M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么四边形EFMN 的面积等于______．20．如图将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点A 、B 分别落在A ′、B ′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是___________．三、解答题21．已知矩形ABCD 中，点F 在AD 边上，四边形EDCF 是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．（1）在图1画出BCD △中DC 边上的中线BG ；（2）在图2中画出线段AF 的垂直平分线．22．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE CF =，AE 与BF 相交于点O ．（1）求证：ABE BCF △△≌；（2）求证：AE BF ⊥；（3）若2BE =，30BAE ∠=︒，求线段AO 的长．23．如图，长方形OBCD 的OB 边在x 轴上，OD 边在y 轴上，OB=15，OD=9，在BC 上取一点E ，使△CDE 沿DE 折叠后，点C 落在x 轴上，记作点F ．（1）求点F 的坐标；（2）求点E 的坐标．24．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB AD CB CD ==，，判断四边形ABCD 是否为垂美四边形，并说明理由；（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD 中探究2AB 、2BC 、2CD 、2AD 之间的数量关系；（3）解决问题：如图3，分别以Rt △ABC 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFD 和正方形ABGE ，连接BD 、CE 、DE ，CE 分别交AB 、BD 于点M 、N ，若AB ＝2，AC ＝3，求线段DE 的长．25．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE BF =，AC EF ⊥．求证：四边形AECF 是菱形．26．在四边形ABCD 中，AD//BC ．∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝24cm ．BC ＝26cm ．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．求：从运动开始，使PQ ＝CD ，需要经过的时间是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，设EC=x ，由勾股定理就可以表示出BE 与EF ，再通过比较可以得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ．故①正确；∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°故②正确；∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．故③正确；设EC=x ，由勾股定理，得EF=2x ，CG=22x ，AG=62x ∴AC=62x + ∴AB=31x + ∴BE=313122x x x +--= ∴BE+DF=()31x -≠2x =EF 故④错误；故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．2．C解析：C【分析】先画出图形，再根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质即可得．【详解】如图，由题意得：菱形ABCD 的周长为8，120ABC ∠=︒，82,604AB AD A ∴===∠=︒， ABD ∴是等边三角形，2BD AB ∴==， A ABC ∠<∠，∴该菱形较短的对角线长为2BD =，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 3．C解析：C【分析】过P 作PG ⊥AB 于点G ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP ≌△FPE 后即可证明①AP ＝EF ；④∠PFE ＝∠BAP ；延长AP 到EF ，交EF 于点H ，知∠PAG ＝∠PFH ，结合∠APG ＝∠FPH 得∠PHF ＝∠PGA ＝90°，据此知AP ⊥EF ，②正确；由点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上不于点B 、D 重合的任意一点，∠ADP ＝45°知当∠PAD ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形，可判断③；【详解】过点P 作PG ⊥AB 于点G ，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点（点P 不与点B 、D 重合），∴GB ＝GP ，同理：PE ＝BE ，∵AB ＝BC ＝GF ，∴AG ＝AB−GB ，FP ＝GF−GP ＝AB−GB ，∴AG ＝PF ，在△AGP 和△FPE 中，AG PF AGP FPE GP PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP ＝EF ，①正确，∠PFE ＝∠GAP ，∴∠PFE ＝∠BAP ，④正确；延长AP 到EF ，交EF 于一点H ，∴∠PAG ＝∠PFH ，∵∠APG ＝∠FPH ，∴∠PHF ＝∠PGA ＝90°，∴AP ⊥EF ，②正确，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上不与点B 、D 重合的任意一点，∠ADP ＝45°， ∴当PA ＝PD 时，∠PAD ＝45°；当DA ＝DP 时，∠PAD ＝67.5°，即当，△APD 是等腰三角形时，∠PAD ＝45°或67.5°时，故③错误．因此，正确的结论是①②④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．4．A解析：A【分析】因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，则AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ＝PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ∥AB，故③正确，又可推出△BRP≌△QSP，故④正确．【详解】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S∴∠ARP＝∠ASP＝90°∵PR＝PS，AP＝AP∴Rt△ARP≌Rt△ASP∴AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点∵AQ＝PQ∴点Q是AC的中点∴PQ是边AB对的中位线∴PQ∥AB，故③正确∵Q是AC的中点，∴QC=QP，∵∠C=60°，∴△QPC是等边三角形，∴PB=PC=PQ，∵PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，∴△BRP≌△QSP，故④正确∴全部正确．故选：A．【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握上述性质和判定方法是解题的关键．5．C解析：C【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝12AC＝3，BO＝12BD＝4，AO⊥BO，∴BC5，∵S菱形ABCD＝12AC•BD＝BC×AE，∴AE＝16825⨯⨯＝245．在Rt△ABE中，BE75，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣75＝185，∴775==18185BECE的值为718，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形性质：四条边都相等、对角线互相垂直平分．6．A解析：A【分析】根据题意可得出∠B=60︒，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得出菱形的周长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴//BA CD，又∵∠BCD=120︒，∴∠B=180︒-∠BCD= 60︒，又∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形，∴BA=BC=AC=5，故可得菱形的周长=4AB=20．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△ABC是等边三角形是解答本题的关键，难度一般．7．B解析：B【分析】由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=6，∴∠B=∠BCD=90°，由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x．在Rt△ABF中，8BF===，∴CF=BC-BF=10-8=2，在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2，∴（6-x）2=x2+22，∴x=8，3∴EC=8．3故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．8．C解析：C【分析】先证明△ABE≌△ADE，得到∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°，在△ADE中利用三角形内角和180°可求∠AED度数．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．9．B解析：B【分析】先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP 最短时的长，然后即可求出AM 最短时的长．【详解】解：连接AP ，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ．∵M 是EF 的中点，∴AM=12AP ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样AM 也最短，∴S △ABC=12BC•AP ＝12AB•AC ， ∴12×10AP ＝12×6×8， ∴AP 最短时，AP=245， ∴当AM 最短时，AM=12AP=125=2.4． 故选：B ．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．10．C解析：C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG 是菱形，从而可判断①②正确；由角平分线定理可判断DK KH ≠，即可推导出③错误；根据点F 、C 重合时的性质可得30AEB ∠=︒，进而算出④正确．解：连接BE ，如图：由折叠可知：BE GE =，BF GF =，BEF GEF ∠=∠∵//AD BC∴GEF BFE ∠=∠∴BEF BFE ∠=∠∴BE BF GE GF ===∴四边形EBFG 是菱形∴EF BG ⊥∴①②正确∵GK 平分DGH ∠，DG GH ≠∴DK KH ≠∴GDK GKH S S ≠△△∴③错误∵当点F 与点C 重合∴122BE BF BC AB ====∴30AEB ∠=︒ ∴180752AEB GEF ︒-∠∠==︒ ∴④正确．故选：C【点睛】 本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、折叠的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等，关键在于结合图形对线段、角进行转化．11．A解析：A【分析】连接AC 、BD ，由菱形的性质得出5AB =，122OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，由勾股定理求出OA ，得出221AC =性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．解：连接AC 、BD ，如图所示：菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，4BD =，5AB ∴=，122OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，22225221OA AB OB ∴=--2221AC OA ∴== ∴菱形ABCD 的面积11221442122AC BD =⨯=⨯= O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积12=菱形ABCD 的面积221；故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，中心对称，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 12．C解析：C【分析】根据菱形AECF ，得∠FCO=∠ECO ，再利用∠ECO=∠ECB ，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【详解】解：∵菱形AECF ，AB=6，设BE=x ，则AE=CE=6-x ，∵菱形AECF ，∴∠FCO=∠ECO ，∵∠ECO=∠ECB ，∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°，∴2BE=CE ，即CE=2x ，∴2x=6-x ，解得：x=2，∴CE=4，又EB=2， 则利用勾股定理得：23BC =故选：C ．【点睛】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后二、填空题13．5°【分析】由四边形ABCD 是一个正方形根据正方形的性质可得∠ACB=45°又由AC=EC 根据等边对等角可得∠E=∠CAE 继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC 的度数进一步即可求得∠D解析：5°【分析】由四边形ABCD 是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC ，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE ，继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC 的度数，进一步即可求得∠DAE 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴45ACB ∠=︒，∴18045135ACE ∠=-=︒︒︒，又∵AC CE =， ∴()118013522.52CAE CEA ∠=∠=⨯︒-︒=︒， 则4252.52.52DAE DAC CAE ∠=∠-∠=-︒=︒︒．故答案为：22.5°【点睛】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．14．20°【分析】根据菱形的性质得出OB=OD 根据直角三角形斜边的一半等于斜边的一半得出OH=OD 即可得出∠HDB=∠DHO=20°【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形∴OB=OD ∵DH ⊥AB 于点H ∴OH解析：20°【分析】根据菱形的性质得出OB=OD ，根据直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，得出OH=OD ，即可得出∠HDB=∠DHO=20°．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OB=OD ，∵ DH ⊥AB 于点H ，∴OH=12BD=OD ， ∴ ∠HDB=∠DHO=20°．故答案为：20°．此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△OBH 是等腰三角形是关键．15．【分析】如图作AF ⊥x 轴于FCE ⊥x 轴于E 先证明△COE ≌△OAF 推出CE ＝OFOE ＝AF 由此即可解决问题【详解】解：如图作AF ⊥x 轴于FCE ⊥x 轴于E ∵四边形ABCO 是正方形∴OA ＝OC ∠AOC ＝ 解析：()3,1-【分析】如图作AF ⊥x 轴于F ，CE ⊥x 轴于E ，先证明△COE ≌△OAF ，推出CE ＝OF ，OE ＝AF ，由此即可解决问题．【详解】解：如图作AF ⊥x 轴于F ，CE ⊥x 轴于E ．∵四边形ABCO 是正方形，∴OA ＝OC ，∠AOC ＝90°，∵∠COE +∠AOF ＝90°，∠AOF +∠OAF ＝90°，∴∠COE ＝∠OAF ，在△COE 和△OAF 中，CEO AFO COE OAF OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△OAF ， ∴CE ＝OF ，OE ＝AF ，∵A （13∴CE ＝OF ＝1，OE ＝AF 3∴点C 坐标()3,1-， 故答案为：()3,1-．【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．55°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AE 然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AEB=70°根据菱形的四条边都相等可得AB=AD 菱形的对角相等求出∠ADC再求出∠DAE然后根据等腰三角形两底解析：55°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AEB=70°，根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，菱形的对角相等求出∠ADC，再求出∠DAE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠AED．【详解】解：∵菱形ABCD沿AH折叠，B落在BC边上的点E处，∴AB=AE，∵∠B=70°，∴∠AEB=70°在菱形ABCD中，AB=AD，∠ADC=∠B=70°，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°，∵AB=AE，AB=AD，∴AE=AD，∴∠AED=12（180°-∠DAE）=12（180°-70°）=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，翻折前后对应边相等，菱形的四条边都相等，对角相等．17．65°【分析】根据折叠的性质和平角的定义即可得到结论【详解】解：根据翻折的性质可知∠AED＝∠A′ED∠BEF＝∠FEB′∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′＝180°∴∠AED+∠BEF＝解析：65°【分析】根据折叠的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：根据翻折的性质可知，∠AED＝∠A′ED，∠BEF＝∠FEB′，∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′＝180°，∴∠AED+∠BEF＝90°，又∵∠AED＝25°，∴∠BEF＝65°．故答案为：65°．【点睛】本题主要考查翻折性质，正确理解翻折性质是本题解题关键．18．【分析】延长AD至点E使得连接CE过点C作证明△CDE为等边三角形分别求出四边形ABCD 的边长判断即可；【详解】如图所示延长AD 至点E 使得连接CE 过点C 作∵∴又∵∴△CDE 为等边三角形∴设则∵∴则∴ 解析：1563+【分析】延长AD 至点E ，使得DE CD =，连接CE ，过点C 作CH AE ⊥，证明△CDE 为等边三角形，分别求出四边形ABCD 的边长判断即可；【详解】如图所示，延长AD 至点E ，使得DE CD =，连接CE ，过点C 作CH AE ⊥，∵120ADC =∠︒，∴180********EDC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∵DE CD =，∴△CDE 为等边三角形，∴CD DE CE ==，60E ∠=︒，设CE x =，则CD DE x ==，∵CH DE ⊥，∴9030ECH E ∠=︒-∠=︒， 则1122EH CE x ==， ∴=+-=+-=-11622AH AD DE EH AD CD x x ， 22221342CH CE EH x x x =-=-=，∴===≥AC，∴当3x=时，AC取得最小值为此时，3AD CD x===，∵AB AC⊥，∴90BAC=︒，又30B∠=︒，∴12AC BC=，即2BC AC=，AB===，∴四边形ABCD周长AD CD AB BC=+++，()2AD CD AC=+++，))626215AC=++≥++⨯=+；∴四边形ABCD的最小值为15+故答案是15+【点睛】本题主要考查了四边形综合，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19．20【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形再证明EF⊥EH证得四边形EFGH是矩形即可根据矩形的面积公式计算得出答案【详解】∵点EF分别是边ABBC的中点∴EF∥ACEF=AC解析：20【分析】根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH是平行四边形，再证明EF⊥EH，证得四边形EFGH是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案．【详解】∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC=4，同理，HG∥AC，HG=12AC=4，EH∥BD，EH=12BD=5，∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF ⊥EH ，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=4520EF EH ⋅=⨯=,故答案为：20．【点睛】此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键 ．20．55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°再根据折叠的性质可得答案【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ∴∠B′FC=∠2=70°∴∠1+∠B′FE=180°-∠B解析：55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠B′FC=∠2=70°，∴∠1+∠B′FE=180°-∠B′FC=110°，由折叠知∠1=∠B′FE ，∴∠1=∠B′FE=55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握矩形的对边平行、两直线平行同位角相等性质．三、解答题21．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）（1）延长EF交BC于H，连结DH，交CF于N，连结AH，FB交于M，过M、N作直线交DC于G,连结BG即可；（2）连接AH，BF，相交于M，连接BE并交AD于N，由四边形EDCF是平行四边形，矩形ABCD，可得EF=CD=AB，EF∥CD∥AB，可证△ANB≌△FNE（AAS），可得AN=FN过M、N作直线l即可．【详解】解：（1）如图，延长EF交BC于H，连结DH，交CF于N，连结AH，FB交于M过M、N作直线交DC于G连结BG如图1，线段BG即为所求作；（2）如图，连接AH，BF，相交于M，连接BE并交AD于N，∵四边形EDCF是平行四边形，矩形ABCD∴EF=CD=AB，EF∥CD∥AB∴∠ABN=∠FEN，∠ANB=∠FNE∴△ANB≌△FNE（AAS）∴AN=FN过M、N作直线l如图2，直线l即为所求作．【点睛】本题考查的是利用无刻度的直尺作图，平行四边形的性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，三角形的中线的概念，线段垂直平分线，掌握以上知识是解题的关键． 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3AO =．【分析】（1）由正方形的性质可得AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△BCF 全等；（2）由全等三角形对应角相等可得∠BAE ＝∠CBF ，然后求出∠BAE ＋∠ABF ＝∠ABC ＝90°，判断出AE ⊥BF ；（3）由30度角所对的直角边是斜边的一半，可得AE=2BE=4，同理可得OE=1，即可求得AO 的长．【详解】（1）证明：∵ABCD 是正方形，∴AB BC =，且90ABE BCF ∠=∠=︒，∵BE CF =，∴ABE BCF △△≌（SAS ）；（2）证明：由（1）知∠BAE ＝∠CBF ，∵90CBF ABF ABC ∠+∠=∠=︒∴90BAE ABF ∠+∠=︒，∴∠AOB=90︒，∴AE BF ⊥；（3）∵2BE =，30BAE ∠=︒，∴24AE BE ==，由（1）知，BAE CBF ∠=∠，且30BAE ∠=︒，∴30CBF ∠=︒， ∴112EO BE ==， ∴3AO AE EO =-=．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE ≌△BCF 是解题的关键． 23．（1）点F(12，0)；（2）点E(15，4) ．【分析】（1）由四边形OBCD 是长方形可得CD=OB=15、BC=OD=9、∠DOB=∠OBC=900，由折叠的性质可得DF=CD=15，然后运用勾股定理求得OF ，即可确定F 点的坐标；（2）运用线段的和差可得BF=OB-OF=3，再由折叠的性质可得CE=EF, 设BE=x ，则CE= =9-x ，然后运用勾股定理求得x 即可解答．【详解】解：（1）∵四边形OBCD 是长方形∴CD=OB=15，BC=OD=9，∠DOB=∠OBC=900由折叠△CDE 得△FDE 可知：DF=CD=15∴222215912OF DF OD =-=-=∴点F （12，0）；（2）由（1）得OF=12∴BF=OB-OF=15-12=3由折叠可知：CE=EF设BE=x ，则CE=EF=BC-BE=9-x∴()22293x x -=+，解得x=4 ∴点E （15，4）．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理的应用，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．24．（1）是，见解析；（2）2222AB CD BC AD +=+；（3）13DE =【分析】（1）证法一：证明△ABC ≌△ADC ，即可得解；证法二：根据垂直平分线的性质证明即可；（2）根据勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理计算即可；【详解】解：（1）如图1，四边形ABCD 是垂美四边形．理由如下：证法一：∵AB AD CB CD ==，，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC ．∴∠BAC ＝∠DAC ．∴AC 是等腰三角形ABD 顶角∠BAD 的平分线．∴AC BD ⊥．∴四边形ABCD 是垂美四边形．证法二：连结AC 、BD 交于点E ．∵AB AD =，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上．∵CB CD =，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上．∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线．∴AC BD ⊥．∴四边形ABCD 是垂美四边形．（2）如图2，在垂美四边形ABCD 中，∵AC BD ⊥于点O ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠AOD ＝90°．∴222AB AO BO =+．222BC BO CO =+．222CD CO DO =+．222AD AO DO =+．∴222222AB CD AO BO CO DO +=+++．222222BC AD BO CO AO DO +=+++．∴2222AB CD BC AD +=+．（3）分别连结CD 、BE ，如图3，∵∠CAD ＝∠BAE ＝90°，∴CAD BAC BAE BAC ∠+∠=∠+∠．即DAB CAE ∠=∠．在DAB ∆和CAE ∆中，AD AC DAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAB CAE ∆≅∆．∴ABD AEC ∠=∠．∵∠BAE ＝90°，∴90AEC AME ∠+∠=︒．∴90ABD BMN ∠+∠=︒．∴90BNM ∠=︒，即BD CE ⊥．∴四边形CDEB 是垂美四边形．由（2）得：2222DE BC CD BE+=+．∵AB＝AE＝2，AC＝AD，∴222226CD AC AD=+=+=．22222228BE AB AE=+=+=．2222221BC AB AC=-=-=．∴222268113DE CD BE BC=+-=+-=．∴DE=【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合勾股定理、垂直平分线的性质计算是解题的关键．25．见详解【分析】先证明四边形AECF是平行四边形，再结合AC EF⊥，即可得到结论成立．【详解】证明：在平行四边形ABCD中，有AD∥BC，AD=BC，∵DE BF=，∴AD DE BC BF-=-，∴AE CF=，∵AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC EF⊥，∴四边形AECF是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．26．8s或28 3s【分析】设运动时间为t秒，则有AP＝t，CQ＝2t，分PQ//CD和PQ与CD不平行两种情况进行讨论，再根据平行四边形或梯形的性质建立方程即可求解．【详解】解：（1）当PQ//CD时，∵AD//BC，∴四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，而AP＝t，CQ＝2t，PD＝AD－AP＝24－t，即：2t＝24－t解得： t＝8．（2）当PQ与CD不平行时，而AD//BC，PQ＝CD，∴四边形PDCQ是等腰梯形，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则四边形ABND、PMND均是矩形，∴AD＝BN＝24，CN＝BC－BN＝2，QM＝CN＝2，PD＝MN，而CQ＝QM＋MN＋NC，∴ 2t＝24－t＋2＋2，解得： t＝283．【点睛】此题考查了平行四边形的性质及等腰梯形的判定与性质，属于动点型问题，关键是分类讨论点P及点Q位置，然后利用方程思想求解t的值．。

【2019秋】数学九年级上北师大版第一章特殊的平行四边形达标检测卷

【2019秋】数学九年级上北师大版第一章特殊的平行四边形达标检测卷

第一章特殊的平行四边形达标检测卷一．选择题1．下列说法中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的平行四边形是矩形2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则正确的结论是（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．四边形ABCD是菱形3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点E在AC上，若四边形BCDE 为菱形，则AE的长度为（）A．7 B．9 C．3 D．44．如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，添加下列条件后，能使▱ABCD成为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．BD平分∠ABC D．AC⊥BD5．已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．如图，当∠APB＝45°时，PD的长是（）A．2B．2C．3D．56．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为（）A．B．C．D．27．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E、F分别是OA、OC的中点，下列结论：①四边形BFDE是菱形；②S四边形ABCD＝EF×BD；③∠ADE＝∠EDO；④△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长度为（）A．B．C．5 D．9．如图，P为线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上．若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝1，M，N分别是对角线AC，BE的中点．MN长为（）A．B．C．1 D．410．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，分别以AC，BC为边向△ABC外作正方形，两个正方形的面积分别记为S1，S2，则S1+S2等于（）A．30 B．150 C．200 D．225二．填空题11．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝35°，则∠DBE＝度．12．如图，菱形ABCD的面积为24cm，正方形ABCF的面积为18cm，则菱形的边长为．13．如图是由四块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形．已知其中的两块，一块长为5cm，宽为2cm；一块长为4cm，宽为1cm，则大正方形的面积为cm2．14．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC＝34°，则∠ECA＝°．15．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则线段AP+PD的最小值为．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为OB上的点，∠EAB＝15°，若OE＝，则AB的长为．17．如图，将5个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A、B、C、D是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为．三．解答题18．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求AC和BD的长．19．如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．（1）求证：四边形BDEC是平行四边形；（2）连接AD、BE，△ABC添加一个条件：，使四边形DBEA是矩形（不需说明理由）．20．如图，点E是正方形ABCD的BC延长线上一点，连接ED，过点B作BF⊥ED交ED的延长线于点F，连接CF．（1）若∠ABF＝30°，CE＝4，求BF的长；（2）求证：BF+DF＝CF．21．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．22．学完三角形的高后，小明对三角形与高线做了如下研究：如图，D是△ABC中BC 边上的一点，过点D、A分别作DE⊥AB，DF⊥AC、AG⊥BC，垂足分别为点E、F、G，由△ABD与△ADC的面积之和等于△ABC的面积，有等量关系式： AB•DE+AC•DF＝BC•AG像这种利用同一平面图形的两种面积计算途径可以得出相关线段的数量关系式，从而用于解决数学问题的方法称为“等积法”，下面请尝试用这种方法解决下列问题（1）如图（1），矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是AD上一点，过点P作PE⊥AO，PF⊥OD，垂足分别为点E、F，求PE+PF的值；（2）如图（2），在Rt△ABC中，角平分线BE，CD相交于点O，过点O分别作OM⊥AC、ON⊥AB，垂足分别为点M，N，若AB＝3，AC＝4，求四边形AMON的周长．参考答案一．选择题1．解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确；D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；故选：C．2．解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB垂直平分CD，故选：A．3．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，∴AC＝＝25，连接BD交AC于O，∵四边形BCDE为菱形，∴BD⊥CE，BO＝DO，EO＝CO，∴BO＝＝＝12，∴OC＝＝9，∴CE＝2OE＝18，∴AE＝7，故选：A．4．解：A、AB＝AD能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意；B、AC＝BD能判定四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；C、BD平分∠ABC，能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意；D、AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意；故选：B．5．解：过A点作AE⊥PB于E，如图：∵∠APB＝45°，∴△APE为等腰直角三角形，∴PE＝AE＝PA＝1，∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝4﹣1＝3，在Rt△AEB中，由勾股定理得AB＝＝；∵AD＝AB，∠DAB＝90°，∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如上图，∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，∴△APF为等腰直角三角形，∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2，∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2，∴由勾股定理得FB＝2，∴PD＝2，故选：A．6．解：∵正方形ABCD的边长为，∴OB＝OC＝BC＝×＝1，OB⊥OC，∵CE＝OC，∴OE＝2，在Rt△OBE中，BE＝＝．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD∵E、F分别是OA、OC的中点∴AE＝EO＝FO＝CF，∴EF＝AC∵EO＝OF，BO＝DO∴四边形BEDF是平行四边形，且AC⊥BD ∴四边形BEDF是菱形，故①正确∵S四边形ABCD＝AC×BD∴S四边形ABCD＝EF×BD故②正确∵Rt△ADO中，DE是AO的中线∴∠ADE≠∠EDO故③错误∵四边形BEDF是菱形，∴△DEF是等腰三角形∴△DEF是轴对称图形故④正确故正确的结论是①②④故选：C．8．解：菱形ABCD面积是×6×8＝24，因为菱形的对角线长为6和8，所以利用勾股定理可得菱形的边长为5，则5×DE＝24，解得DE＝．故选：B．9．解：连接PM、PN．∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴PM⊥AC，PN⊥BE，∠CAB＝∠NPB＝30°．∴∠MPC+∠NPC＝90°，即△MPN是直角三角形．在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN．∵AP2+3PB2＝1，∴（2PM）2+3（PN）2＝1，整理得PM2+PN2＝在Rt△MPN中，MN2＝PM2+PN2，所以MN＝．故选：A．10．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，∴由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝225，则S1+S2＝AC2+BC2＝225，故选：D．二．填空题（共7小题）11．解：∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OB＝OC∴∠ACB＝∠OBC＝35°∵∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝70°，且BE⊥AC∴∠DBE＝20°故答案为：2012．解：因为正方形AECF的面积为18cm2，所以AC＝＝6cm，因为菱形ABCD的面积为24cm2，所以BD＝＝8cm，所以菱形的边长＝＝5cm．故答案为：5cm．13．解：如图，设大正方形的边长为x，则AB＝x﹣1﹣2＝x﹣3，BC＝4+5﹣x＝9﹣x，∵AB＝BC，∴x﹣3＝9﹣x，解得x＝6，∴大正方形的面积为36cm2．故答案为：36．14．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC＝34°．∠BCA＝∠DCO＝90°﹣34°＝56°．∵EF垂直平分BC，∴∠ECF＝∠DBC＝34°．∴∠ECA＝56°﹣34°＝22°．故答案为22．15．解：如图，作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，∵四边形ABCD是菱形∴∠DAC＝∠CAB，AB＝BC，且∠B＝120°∴∠CAB＝30°∴PE＝AP，∠DAF＝60°∴∠FDA＝30°，且DF⊥AB∴AF＝AD＝2，DF＝AF＝2∵AP+PD＝PE+DP∴当点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF，∴线段AP+PD的最小值为2故答案为：216．解：∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠OAE＝45°﹣∠EAB＝45°﹣15°＝30°，在Rt△AOE中，OA＝OE＝×＝3，在Rt△OAB中，AB＝OA＝3．故答案为3．17．解：∵点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，∴每一个阴影部分的面积等于正方形的，∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和＝4××42＝16cm2．故答案为：16cm2．三．解答题（共5小题）18．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°．在Rt△ABO中，AB＝10，∴AO＝5，BO＝5．∴AC＝2AO＝10，BD＝2BO＝10．19．（1）证明：∵E是AC中点，∴EC＝AC．∵DB＝AC，∴DB＝EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．（2）如图，连接AD，BE，添加AB＝BC．理由：∵DB∥AE，DB＝AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE．∴▭ADBE是矩形．故答案为：AB＝BC．20．解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AB＝CD＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°＝∠DCE ∵∠ABF＝30°，∴∠FBC＝60°，且BF⊥DE∴∠E＝30°，且∠DCE＝90°，BF⊥DE∴CE＝CD＝4，BE＝2BF∴CD＝4，∴BC＝4，∴EB＝4+4∴BF＝BE＝2+2（2）如图，过点C作CG⊥CF，交DE于点G，∵∠BCD＝∠FCG＝90°∴∠BCF＝∠DCG∵∠FBC+∠BFD+∠FDC+∠BCD＝360°∴∠FBC+∠FDC＝180°，且∠FDC+∠CDG＝180°∴∠FBC＝∠CDG，且BC＝CD，∠BCF＝∠DCG∴△FBC≌△GDC（ASA）∴FC＝CG，BF＝DG∵∠FCG＝90°，FC＝CG∴FG＝FC＝FD+DG，∴FD+BF＝CF21．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠DEB＝90°，∵AE＝3，DE＝4，DF＝5∴AD＝＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB＝∠DFA，∴∠FAB＝∠DFA，∴AF平分∠DAB．22．解：（1）连接PO，∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝90°，AO＝CO，BO＝DO，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝×2×4＝2，∵AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝2∴AO＝＝DO又S△APO+S△DPO＝S△AOD∴∴解得：，（2）连接OA，过点O作OF⊥BC，垂足为点F，又∵CO、BO是△ABC的角平分线，OM⊥AC、ON⊥AB，垂足分别为点M、N，∴OM＝OF，ON＝OF∴OM＝OF＝ON在Rt△ABC中，BC＝设OM＝x，则OF＝ON＝x∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC∴解得：x＝1∵∠ONA＝∠OMA＝∠NAM＝90°∴四边形ANOM是矩形又OM＝ON∴矩形ANOM是正方形∴正方形ANOM的周长＝1×4＝4.。

2018-2019学年数学北师大版九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测卷(解析版)

2018-2019学年数学北师大版九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测卷(解析版)

2018-2019学年数学北师大版九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测卷一、单选题1.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A. 20B. 24C. 40D. 482.一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）cm2．A.12B.96C.48D.243.如图，在□ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A.AM=ANB.MN⊥ACC.MN是∠AMC的平分线D.∠BAD=120°4.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）A. B. 8 C. D. 65.下列命题中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形6.如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A. 当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形B. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形D. 当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形7.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角形互相垂直平分8.夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A，F分别在两条平行线上．若A，D，F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系是（）A.∠1+∠2=60°B.∠2﹣∠1=30°C.∠1=2∠2．D.∠1+2∠2=90°9.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④ ．上述结论中正确的是( )A. ②③B. ②④C. ①②③D. ②③④二、填空题11.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，，，则BD的长为________．12.如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EF⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD 的面积为________13.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为________．14.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F 的坐标为________．15.如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是________三、解答题16.如图，在四边形中，，.是四边形内一点，且.求证：（1）；（2）四边形是菱形.17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是________．18.如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长．19.已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．20.如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由（2）在（1）的条件下，当∠A=________时四边形BECD是正方形．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】菱形的性质【解析】【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO，则AB= =5，故这个菱形的周长L=4AB=20．故答案为：A．【分析】利用菱形的性质：对角线互相垂直平分，可求出AO、BO的长，艾莱依勾股定理求出菱形的边长，就可求出菱形的周长。

北师大版九年级第一章《特殊平行四边形》单元检测卷(含答案)

北师大版九年级第一章《特殊平行四边形》单元检测卷(含答案)

第一章《特殊平行四边行》单元检测卷（全卷满分100分时限90分钟）一．选择题（每小题3分，共36分）1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有() A．4对B．6对C．8对D．10对2.如图，在□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是()A．AE＝AF B．EF⊥AC C．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线3.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于()A．20 B．15 C．10 D．54.如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是()A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC5.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为()A．10°B．12.5°C．15°D．20°6.已知，如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当∠BED ＝126°时，∠EDA的度数为()A．54°B．27°C．36°D．18°7.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形8.如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为() A．8 2 B．4 2 C．8 D．69.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，则∠BOE的度数是()A．80°B．65°C．45°D．75°10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为()A.3－1 B．3－ 5 C.5＋1 D.5－111．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，点E、F分别是AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝()A．35°B．45°C．50°D．55°12．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝12(BC－AD)；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题：（每小题3分，共12分）13.如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD＝1∶2，则AC＝____________．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则DE的长度是____．15．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G.若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝________°.16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于________°.三、解答题(本大题共7个小题，共52分)17.(6分)如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．18.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．19.(7分)如图，已知：四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.(1)试探究四边形BECF是什么特殊的四边形并说明理由；(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．20.(8分)如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为DC ，BC 中点． (1)求证：△ADE ≌△ABF ； (2)求△AEF 的面积．21.(6分)已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点． (1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OA ＝12BD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？说明理由．22.(8分)已知：如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线与BC边相交于点E，∠ABC的平分线与AD边相交于点F.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4 cm，∠BAD＝120°，求AE，BF的长．23.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(t＞0)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明现由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．参考答案一、选择题（共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CCDACDCCDDDC二．填空题：（每小题3分共12分） 三．解答题：17.（1）四边形ACED 是平行四边形。

2019最新九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形检测卷 (新版)北师大版

2019最新九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形检测卷 (新版)北师大版

第一章特殊平行四边形一、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.四边形的对角线、相交于点，，，为使四边形为正方形，还需要满足下列条件中：①；②；③；④中的哪两个________（填代号）．2.木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为，宽为，对角线为，这个桌面________（填“合格”或“不合格”）．3.如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形．4.如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于于，则阴影部分的面积为________．5.如图，正方形边长为，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为时，点所在位置为________；当点所在位置为点时，点的运动路程为________（用含自然数的式子表示）．6.如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形．7.如图将两张长为，宽为的矩形纸条交叉，重叠部分是一个特殊四边形，则这个特殊四边形周长的最小值为________．8.如图，已知正方形的周长为，为边上任一点，于，于，则________．9.矩形的两条对角线的一个交角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较长边为________．10.现有一张边长等于的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点处，沿角画线，将正方形纸片分成部分，则阴影部分是________（填写图形的形状）（如图），它的一边长是________．二、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.一个菱形的周长为，高为，这个菱形两邻角度数之比为（）A. B. C. D.12.下列说法中，不正确的是（）A.有三个角是直角的四边形是矩形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形13.四边形的两条对角线互相垂直，且相等，则这个四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定14.对角线相等且互相平分的四边形是（）A.一般四边形B.平行四边形C.矩形D.菱形15.如图，四边形的四边相等，且面积为，对角线，则四边形的周长为（）A. B. C. D.16.如图，用块相同的长方形地砖拼成一个矩形，已知地砖的宽为，则每块长方形地砖的面积是（）A. B. C. D.17.菱形的周长等于高的倍，则此菱形的较大内角是（）A. B. C. D.18.下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A.个B.个C.个D.个19.下列说法正确的有（）①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A.个B.个C.个D.个20.小明和小亮在做一道习题，若四边形是平行四边形，请补充条件，使得四边形是菱形．小明补充的条件是；小亮补充的条件是，你认为下列说法正确的是（）A.小明、小亮都正确B.小明正确，小亮错误C.小明错误，小亮正确D.小明、小亮都错误三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，四边形为平行四边形，，分别交，于点，，交，的延长线于，，且，求证：；四边形是菱形．22.如图，在矩形中，两条对角线、相交于，，．判断的形状；求对角线的长．23.已知四边形是矩形，对角线和相交于点，若在矩形的上方加一个，且使，，试说明四边形是菱形．24.如图，在中，，为的中点，且，．证明：四边形是菱形；若，，求菱形的高．（计算结果保留根号）25.如图，是矩形的对角线的交点，、、、分别是、、、上的点，且．求证：四边形是矩形；若、、、分别是、、、的中点，且，，求矩形的面积．26.如图，在长方形中，，线段上有动点，过作直线交边于点，并使得．当与重合时，求的长；在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．答案1.①②或①④2.不合格3.4.5.点6.7.8.9.10.正方形11.C12.B13.D14.C15.A16.B17.D18.A19.C20.B21.证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴，又∵四边形为平行四边形，∴四边形是菱形．22.解：∵四边形为矩形，∴，，∵，∴，而，∴为等边三角形；∵为等边三角形，∴，∴．23.证明：∵，是矩形的对角线，∴，，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．24.证明：∵，，∴四边形是平行四边形，又∵，是的中点，∴，∴平行四边形是菱形；解：过点作，垂足为点，如图所示：即为菱形的高，∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，又∵，∴在中，．25.证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，即：，∴四边形是矩形；解：∵是的中点，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵是中点，，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，，∴，∴矩形的面积．26.解：与重合时，，∴；①时，如图，易得，在和中，，∴，∴，，∵，∴，解得，∴；②时，如图，过点作于，易得，在和中，，∴，∴，，∴；③时，如图，过点作于，易得，在和中，，∴，∴，综上所述，或或时，是等腰直角三角形．。

2019年秋季数学北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元练习包含答案和部分解析

2019年秋季数学北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元练习包含答案和部分解析

2019年秋季初三数学北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元练习1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．邻边相等 2. 一张矩形纸片ABCD ，已知AB ＝3，AD ＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG 的长为( )A ． 2B ．2 2C ．1D ．23．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连结BE ，FE ，则∠EBF 的度数是( )A ．45°B ．50°C ．60°D ．不确定4. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于( )A ．35B ．53C ．73D ．545. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( )A ． 5B ．136C ．1D ．566. 如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设∠PAD＝θ1，∠PBA ＝θ2，∠PCB ＝θ3，∠PDC ＝θ4.若∠APB＝80°，∠CPD ＝50°，则( )A ．(θ1＋θ4)－(θ2＋θ3)＝30°B ．(θ2＋θ4)－(θ1＋θ3)＝40°C ．(θ1＋θ2)－(θ3＋θ4)＝70°D ．(θ1＋θ2)＋(θ3＋θ4)＝180° 7. 如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O .若tan ∠BAC ＝13，AC ＝6，则BD 的长是 ．8. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，M 是AB 边的中点，连结MD ，ME.若∠EMD＝90°，则cos B 的值为 ．9. 如图②，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则ABBC的值是 ．10. 如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE＝ ．11. 如图为某城市的部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD ＝1 500 m ，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D →E →F.若小敏行走的路程为3 100 m ，则小聪行走的路程为 m.12. 如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE＝DF.(1)求证：▱ABCD 是菱形；(2)若AB ＝5，AC ＝6，求▱ABCD 的面积．13. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，AB＝4，求AD的值．14. 已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.(1)如图①，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG.(2)如图②，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE 于点F，交OC于点G.若OE＝OG.①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．15. 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连结AC，DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．16. 如图，在▱ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连结DF并延长，交CB的延长线于点E，连结AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC＝10，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．答案和解析： 1. B 2. A3. A 解析:如图，过点E 作HI∥BC，分别交AB ，CD 于点H ，I ，则∠BHE＝∠EIF ＝90°.∵E 是BF 的垂直平分线EM 上的点，∴EF ＝EB ．∵E 是∠BCD 平分线上一点，∴E 到BC 和CD 的距离相等，即BH ＝⎩⎪⎨⎪⎧EB ＝EF ，BH ＝EI ，∴Rt △BHE ≌Rt △EI.在Rt △BHE 和Rt △EIF 中，EIF ，∴∠HBE＝∠IEF.∵∠HBE ＋∠HEB＝90°，∴∠IEF ＋∠HEB＝90°， ∴∠BEF ＝90°.∵BE ＝EF ，∴∠EBF ＝∠EFB＝45°.故选A ．4. B 解析:由折叠的性质，可得AE ＝AB ，∠E ＝∠B ＝90°.又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，∴AE ＝DC ．在△AEF 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE＝∠CFD，∠E ＝∠D，AE ＝CD ，∴△AEF≌△CDF ，∴EF ＝DF.∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝6，CD ＝AB ＝4. ∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ，∴FC ＝FA ．设FA ＝x ，则FC ＝x ，FD ＝6－x ，在Rt △CDF 中，CF 2＝CD 2＋DF 2，即x 2＝42＋(6－x)2，解得x ＝133，则FD ＝6－x ＝53.故选B ．5. D 解析:如图，过点F 作FH⊥AE，垂足为H.∵AE，CF 是平行线段，∴FH ＝2＝AD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ．又∵AE∥CF，∴四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝CE ，∴设DE＝BF ＝x ，即FA ＝3－x.在矩形ABCD 中，∵∠BAD ＝∠D＝∠AHF＝90°，∴∠DAE ＝∠AFH.又∵FH＝AD ，∴△ADE ≌△FHA ，∴AE ＝FA ＝3－x.∴在Rt △ADE 中，由勾股定理，得22＋x 2＝(3－x)2，解得x ＝56，即DE ＝56.故选D ．6. A 解析:∵AD∥BC，∴∠CBP ＋∠DAP＝∠AP B ．∵∠APB ＝80°，∴∠CBP ＝∠APB－∠DAP＝80°－θ1， ∴∠ABC ＝θ2＋80°－θ1. ∵∠DCP ＋∠CPD ＋∠CDP＝180°，∴∠DCP ＝180°－∠CPD－∠CDP＝130°－θ4， ∴∠BCD ＝θ3＋130°－θ4. ∵∠ABC ＋∠BCD＝180°，∴θ2＋80°－θ1＋θ3＋130°－θ4＝180°， ∴(θ1＋θ4)－(θ2＋θ3)＝30°.故选A ． 7. 2 8.3－12解析: 如图，连结DE ，延长DM 交CB 的延长线于点H.∵四边形ABCD是菱形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，AD ∥CH ，∴∠ADM ＝∠H.又∵AM＝BM ，∠AMD ＝∠HMB，∴△ADM ≌△BHM ，∴AD ＝HB ＝2，HM ＝DM.∵EM⊥DH ，HM ＝DM ，∴EH ＝ED ．∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD，∴∠AEB ＝∠EAD＝90°.设BE ＝x ，∵AE 2＝AB 2－BE 2＝DE 2－AD 2，∴22－x 2＝(2＋x)2－22，∴x ＝3－1或 －3－1(舍去)．∴cos ∠ABC ＝BE AB ＝3－12.9.2＋14 解析: 设七巧板的边长为1，则AB ＝12＋22，BC ＝12＋1＋12＝2，∴AB BC ＝12＋222＝2＋14. 10.6＋22解析: 如图，连结AC ，过点E 作EN⊥AB 于点N.∵四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°， ∴∠ABD ＝30°，∠EAC ＝15°，则∠BAE AE ＝2x ，BN ＝NEtan 30°＝3＝45°.∴设AN ＝x ，则NE ＝x ，x ，∴AB AE ＝x ＋3x 2x ＝6＋22.11. 4600 解析:小敏行走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100(m)，则AG ＋GE ＝1600 m ．小聪行走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．如图，连结CG，在正方形ABCD中，∵点A和点C关于对称轴BD对称，∴AG＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形GECF是矩形，∴CG＝EF.又∵∠CDG ＝45°，∴DE＝GE，∴小聪行走的路程为BA＋AD＋DE＋EF＝3000＋(GE＋AG)＝3 000＋1 600＝4600(m)．12. (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D．∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．(2) 解：如图，连结BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝12AC＝12×6＝3.∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝AB2－AO2＝52－32＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S▱ABCD＝12·AC·BD＝24.13. （1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF.又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B．又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB．（2）解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF.∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.14. (1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE ＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°.∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠OCE＝∠ODG，∴△COE≌△DOG，∴OE＝OG.(2) ①证明：∵OG＝OE，∠DOG＝∠COE＝90°，OD＝OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG＝∠OCE.②解：设CH＝x.∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1－x，∠DBC＝∠BDC ＝∠ACB＝45°.∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH＝1－x.∵∠ODG ＝∠OCE，∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴△CHE∽△DCH，∴EHHC＝HCCD，∴HC2＝EH·CD，∴x2＝(1－x)·1，解得x＝5－12或－5－12(舍去)，∴HC＝5－12.15. (1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA．又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．(2) 解：BC＝2CD．理由如下：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE.∵E是AD的中点，∴AD ＝2CD．∵AD＝BC，∴BC＝2CD．16. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF＝∠EBF.∵AF＝BF，∠AFD＝∠BFE，2019年秋季数学北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元练习包含答案和部分解析 11 / 11 ∴△AFD ≌△BFE ，∴AD ＝BE.∵AD∥BE，∴四边形AEBD 是平行四边形．又∵BD＝AD ，∴四边形AEBD 是菱形．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝10，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠DCB，∴tan ∠ABE ＝tan ∠DCB ＝3.∵四边形AEBD 是菱形，∴AB ⊥DE ，AF ＝FB ，EF ＝DF ，∴tan ∠ABE ＝EF BF＝3. ∵BF ＝102，∴EF ＝3102， ∴DE ＝310，∴S 菱形AEBD ＝12·AB·DE＝12×10×310＝15.。

2019-2020学年北师大版九年级上册数学 第一章 特殊平行四边形 单元达标测试题(含答案)

2019-2020学年北师大版九年级上册数学 第一章 特殊平行四边形 单元达标测试题(含答案)

第一章特殊平行四边形一、选择题1.已知菱形的边长为，较短的一条对角线的长为，则该菱形较长的一条对角线的长为（）A. B. C. D.2.下列说法中不正确的是（）A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等3.一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A. 48B. 24C. 24或40D. 48或804.如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（）A. B. C. D.5.对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A. 对角线垂直且相等B. 四边都互相垂直C. 四个角都相等D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形6.如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )A. B. C. D.7.已知四边形的ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，则这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形8.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，，则BE等于A. B. C. D. 29.正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A. 对角线互相垂直平分B. 内角和为360°C. 对角线相等D. 对角线平分内角10.在四边形中，是对角线、的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，11.如图，四张大小不一的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落,其中，①和②纸片既不重叠也无空隙．在矩形ABCD的周长己知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（）A. ①B. ②C. ③D. ④12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A. 2B. 4C. 4D. 2二、填空题13.若菱形两条对角线的长分别是6cm和8cm，则其面积为________cm2．14.已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为________，面积为________.15.如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是________.16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.17.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（添加一个条件即可）．18.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF长为________.19.四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的四边形是________.20.如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是________（只需添加一个即可）21.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF.当△ABF为等腰三角形时，BE的长为________.22.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG=________．三、解答题23.已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF.求证：四边形AECF是菱形.24.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,并且CE∥BD,连接DE.求证:四边形BCED是菱形.25.如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．26.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长．27.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．28.如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF，AE，CE，CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．29.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段CM与CN的数量关系并加以证明．参考答案一、选择题1. C2. C3. B4. C5. C6. A7. B8. A9. C 10. D 11. B 12.A二、填空题13. 24 14. 10cm；50 cm215. 24 16. 17. ∠ABC=90°或AC=BD．18.19.矩形20. ∠ABC=90°或AC=BD 21. 或1- 22.三、解答题23. 证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF∴△ADF≌△CDF（SAS）∴AF＝CF，∵AB∥CD，AE∥CF∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形24.证明：∵≌，∴，在和中,∴≌，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形BCED是菱形.25.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，∴∠AEB=∠DAE．∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°．在△ABE和△DFA中，∵∴△ABE≌△DFA，∴AB=DF26.解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA= AC=3，OD= BD=4，∴∠AOD=90°，∴AD= = =5．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形，∴OE=AD=527.解：证明：∵AB∥DC，FC=AB，∴四边形ABCF是平行四边形．∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形．∴∠AFC=90°，∴∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF．∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA．∵∠EGA=∠CGF，∴∠DAF=∠CGF．∴∠D=∠ECD．∴ED=EC28.解：四边形AECF是菱形．∵在正方形ABCD中，AB=AD，∴∠ABE=∠ADF，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，同理可得，CE=CF，∵在正方形ABCD中，CD=AD，∠CDE=∠ADF，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴AF=CF，∴AE=AF=CF=CE，∴四边形AECF是菱形．29.（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD= ，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1．（2）解：CN= CM.证明如下：∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF 和△CBN 中，∴△ABF≌△CBN（ASA），∴AF=CN，∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，∴△ABF~△COM，∴，∴，即CN= CM.。

2019期九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形综合测试 (新版)北师大版

2019期九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形综合测试 (新版)北师大版

第一章综合训练（满分120分）一、选择题.(每小题4分，共32分)1．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）2．如图，点P是菱形ABCD内一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是E和F.若PE=PF，下列说法不正确的是（）A．点P一定在菱形ABCD的对角线AC上B．可用HL证明Rt△AEP≌Rt△AFPC．AP平分∠BADD．点P一定是菱形ABCD的两条对角线的交点3．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A=∠B=∠C=∠D；②∠B=∠C=∠D；③∠A=∠B，∠C=∠D；④∠A=∠B=∠C=90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A.3B.3.5C.2.5D.2.85.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E.若∠ADC=130°,则∠AO E的大小为（）A.75°B.65°C.55°D.50°6.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对7.如图，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为a，b（a>b），则（a-b）等于（）Ａ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．48.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（）度.A.75B.60C.45D.30二、填空题.(每小题4分，共32分)9．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．10．如图，在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为 .11．如图，P为菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥A B于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 cm．12．（2015·内蒙古赤峰）如图，M、N分别是正方形AB CD边DC、AB的中点，分别以AE、BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则△ABG是三角形.13．如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形.14.矩形ABCD的周长为16cm，但两条邻边之差为4cm，则矩形的面积为______ m2. 15．（2015·广东东莞）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是.16．如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G.若CG=7，则正方形ABCD的面积等于．三、解答题.(共56分)17.（7分）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是点F，G.求证：AE=FG.18.（9分）蔬菜大户老李有一块正方形菜地，他准备在菜地中间空出两条笔直的交叉小路，把菜地平均分成面积相等的四部分进行特色种植.请你在图中添加两条相交线，帮助老李设计三种不同的分割方案，并简要说明作图方法.19．（9分）（2015·贵州黔南州）如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？20．（10分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由．21.（9分）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F.（1）求证：四边形AE CF为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；（3）求在（2）的条件下折痕EF的长．22.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连接AD、CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点H.（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）已知AD=6，求四边形AFDC的面积;（3）在△ABC中，设B C=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2+b2.在任意△ABC中，c2=a2+b2+k.就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）.11。

2019北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 单元练习卷 含答案

2019北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 单元练习卷 含答案

第一章特殊的平行四边形一．选择题（共8小题）1．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．5B．2C．D．2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO 3．关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形C．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形D．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是正方形4．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四边相等B．四角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC＝BD时，它是正方形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC⊥BD时，它是菱形6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形8．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF 于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF ＝2S△ABE，其中正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共7小题）9．如果菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，那么菱形的边长为cm．10．已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为cm2．11．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH 为菱形，则对角线AC、BD应满足条件．12．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．13．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，则∠AOB的度数为．15．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．三．解答题（共5小题）16．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．17．如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D 作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由（2）在（1）的条件下，当∠A＝时四边形BECD是正方形．18．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？20．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG 为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系．（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5（cm），∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．2．解：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当∠ABO＝∠CBO时，由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，∴∠ABO＝∠ADO，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；故选：B．3．解：A、错误．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是矩形；B、错误．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形；C、正确．D、错误．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形；故选：C．4．解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的四个角不一定相等，而正方形的四个角一定相等．故选：B．5．解：A、正确．根据邻边相等的平行四边形是菱形；B、错误．对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形．C、正确．有一个角是直角的平行四边形是矩形．D、正确．对角线垂直的平行四边形是菱形．故选：B．6．解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO＝OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；综上所述，错误的有③．故选：B．7．解：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；故选：D．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．∵△AEF等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．∴∠BAE+∠DAF＝30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF（故①正确）．∠BAE＝∠DAF，∴∠DAF+∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°（故②正确），∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF．（故③正确）．设EC＝x，由勾股定理，得EF＝x，CG＝x，AG＝AE sin60°＝EF sin60°＝2×CG sin60°＝x，∴AC＝，∴AB＝，∴BE＝﹣x＝，∴BE+DF＝x﹣x≠x，（故④错误），∵S△CEF＝x2，S△ABE＝x2，∴2S△ABE＝x2＝S△CEF，（故⑤正确）．综上所述，正确的有4个，故选：C．二．填空题（共7小题）9．解：如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，且AC＝8cm，BD＝6cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，AC＝AC＝4，在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，即菱形的边长为5cm．故答案为5．10．解：∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）．故答案为：24．11．解：添加的条件应为：AC＝BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．故答案为：AC＝BD12．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴AD＝5，∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．13．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•5＝•6•8，∴DH＝．故答案为．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵ED＝3BE，∴BE：OB＝1：2，∵AE⊥BD，∴AB＝OA，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°；故答案为：60°．15．解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，∴OA＝OD＝5，∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，∴S△AOD＝S△ACD＝12，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，解得：PE+PF＝4.8．故答案为：4.8．三．解答题（共5小题）16．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．17．解：当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；∵D为AB中点，∴AD＝BD，∴BD＝CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形；（2）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∵四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．故答案为：45°．18．（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2，又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，同理，FO＝CO，∴EO＝FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO＝FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5，又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝×180°＝90°．即∠ECF＝90度，∴平行四边形AECF是矩形．（3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB＝90°时，四边形AECF会是正方形，理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵∠ACB＝90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝45°，∴四边形AECF是正方形．19．解：（1）四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE＝AE，FD∥AC．∴BD＝CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE＝AE＝AF．∴∠F＝∠5＝∠1＝∠2．∴∠FAE＝∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF＝EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，由（1）知CE＝AB，∴AC＝CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF不可能是正方形，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＜∠ACB，即∠ACE＜90°，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形．20．解：（1）BG＝DE，BG⊥DE；∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，BC＝DC∠BCG＝∠DCECG＝CE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；延长BG交DE于点H，∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG＝∠CDE，又∠CBG+∠BGC＝90°，∴∠CDE+∠DGH＝90°，∴∠DHG＝90°，∴BH⊥DE，即BG⊥DE；（2）BG＝DE，BG⊥DE仍然成立，在图（2）中证明如下∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，又∵∠BHC＝∠DHO，∠CBG+∠BHC＝90°∴∠CDE+∠DHO＝90°∴∠DOH＝90°∴BG⊥DE．。

北师大版九年级第一章《特殊平行四边形》单元测试卷(含答案解析)

北师大版九年级第一章《特殊平行四边形》单元测试卷(含答案解析)

第一章《特别平行四边形》单元测试卷班级： ___________ 姓名： ___________ 得分： ___________一 .选择题：（每题 3 分，共 36 分）1．菱形拥有而矩形不必定拥有的性质是（）A ．对角线相互垂直B ．对角线相等C．对角线相互均分D．对角互补2．矩形拥有而菱形不必定拥有的性质是（）A ．内角和等于3600B ．对角互补C．对边平行且相等D．对角线相互均分3．已知四边形ABCD 是平行四边形，以下结论不正确的选项是（）A ．当 AC=BD 时，它是菱形B．当 AC⊥ BD 时，它是菱形C．当∠ ABC=90 °时，它是矩形D．当 AB=BC 时，它是菱形4．如下图，四边形ABCD 的对角线相互均分，要使四边形ABCD 成为矩形，需要增添的条件是（）A ．AB＝CDB ．AD ＝BD C． AB＝ BC D． AC＝ BD(第 4题)(第 5题)(第 6题)5．如图，矩形ABCD 的对角线AC=8 cm，∠ AOD =120 °，则 AB 的长为（）A ．cm B． 2cm C． 2cm D． 4cm6．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以下说法不正确的选项是（）A ．当 AC=BD 时，四边形ABCD 是矩形 ;B ．当 AB =BC 时，四边形ABCD 是菱形 ;C．当 AC⊥ BD 时，四边形ABCD 是菱形 ;D ．当∠ DAB=90 °时，四边形ABCD 是正方形7．正方形拥有而菱形不拥有的性质是（）A ．对角线均分一组对角B．对角线相等C．对角线相互垂直均分 D ．四条边相等N 分别是边AB、 BC 的中点，则PM +PN 的最小值是（）A ．5B． 10C． 14 D ．不确立(第 8题)(第9题)(第10题)9．如下图，在菱形ABCD 中， AC、 BD 订交于点O， E 为 AB 的中点，若OE=4，则菱形ABCD 的周长是（）A ．8B． 16C．24D．3210．如图， AC、BD 是矩形 ABCD 的对角线，过点 D 作 DE∥ AC，交 BC 的延伸线于E，则图中与△ ABC 全等的三角形共有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个11．如图，在菱形 ABCD 中，∠ BAD =82 °，AB 的垂直均分线交对角线AC 于点 F，垂足为 E，连结 DF ，则∠ CDF 等于（）A.67 °B.57 °C.60 °D.87 °(第 11 题) (第 12 题)12．如图，将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如下图摆放，点A1、 A2、、 A n分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（）A ．1cm2 B ．ncm2 C．n 1cm2 D ．(1)n cm2 4 4 4 4二 .填空题：（每题 3 分，共 12 分13．如图，四边形ABCD 中，点 E、F 、G、 H 分别为边AB、 BC、 CD、 DA 的中点，请你(第 13 题)(第 14 题)(第 15 题)14．如图， l∥m，矩形 ABCD 的极点 B 在直线 m 上，则∠α=度．15．如图， E 是边长为 1 的正方形ABCD 对角线 BD 上一点，且BE=BC，P 为 CE 上随意一点， PQ⊥BC 于点 Q， PR⊥ BD 于点 R，则 PQ+PR 的值为。

新北师大版九年级数学第1章特殊的平行四边形达标检测卷(含解析版)

新北师大版九年级数学第1章特殊的平行四边形达标检测卷(含解析版)

第1章特殊的平行四边形章末达标检测卷【北师大版】考试时间：100分钟；满分：100分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•香坊区校级期中）下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1B．2C．3D．42．（3分）（2018春•忻城县期中）如图，要使平行四边形ABCD成为菱形时，需添加的一个条件是（）A．AC＝AD B．AB＝BC C．∠ABC＝90°D．AC＝BD3．（3分）（2019春•金华期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝4，点E是BC的中点，连结OE，则OE的长是（）A．B．2C．D．44．（3分）（2019春•莱州市期中）如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥ADC．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO5．（3分）（2018春•赣榆区期中）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠AED的度数为（）A．15°B．20°C．22.5°D．25°6．（3分）（2018春•襄州区期中）如图，下列四组条件中，不能判定▱ABCD是正方形的有（）A．AO＝BO，∠A＝90°B．AC⊥BD，AC＝BDC．OA＝OD，BC＝CD D．∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA7．（3分）（2019春•江汉区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DE⊥AB于点E，则DE 的长度为（）A．B．C．5D．8．（3分）（2018春•汶上县期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC 于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（）A．60°B．90°C．100°D．110°9．（3分）（2018春•苏州期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．≤AM＜6B．5≤AM＜12C．≤AM＜12D．≤AM＜610．（3分）（2018春•梁子湖区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G．有以下四个结论：①GA＝GD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF 是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019春•嘉祥县期中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝8，BD＝4，则菱形ABCD的周长是．12．（3分）（2019春•扬州期中）如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，7），则点A的坐标为．13．（3分）（2019春•新泰市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，过对角线AC中点O的直线分别交AB、CD于点E、F，连接AF、CE．当四边形AECF是菱形时，EF的长为．14．（3分）（2019春•宁都县期中）已知：矩形ABCD，AB＝5，BC＝4，P是边CD上一点，当△P AB是等腰三角形时，求PC的长可以是．15．（3分）（2019春•邗江区期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为．16．（3分）（2018春•马尾区期中）正方形ABCD中，AB＝4，P是AC上一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．则MN最小值．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2019春•三台县期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：BD＝EC；（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．18．（8分）（2018秋•定边县期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A 作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，求证：四边形ABGE是菱形．19．（8分）（2018春•平南县期中）如图，在矩形ABCD中，M为BC上的点，过点D作DE⊥AM于E，DE＝DC＝5，AE＝2EM．（1）求证：BM＝AE；（2）求BM的长．20．（8分）（2019春•陆川县期中）如图，AD是等腰△ABC底边BC上的中线，点O是AC中点，延长DO 到E，使OE＝OD，连接AE，CE，求证：四边形ADCE的是矩形．21．（10分）（2018秋•莱西市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．22．（10分）（2019春•岱岳区期中）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：△AGE≌△AFE；（2）若BE＝2，DF＝3，求AH的长．第1章特殊的平行四边形章末达标检测卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•香坊区校级期中）下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1B．2C．3D．4【分析】利用矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【答案】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；④对角线平分、相等且垂直的四边形是正方形，错误；⑤每一条对角线平分每一组对角的平行四边形是菱形，正确，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质、平行四边形的判定、菱形的判定及矩形的判定，解题的关键是能够熟练掌握有关的判定定理，难度不大．2．（3分）（2018春•忻城县期中）如图，要使平行四边形ABCD成为菱形时，需添加的一个条件是（）A．AC＝AD B．AB＝BC C．∠ABC＝90°D．AC＝BD【分析】根据菱形的判定方法得出B正确，A、C、D不正确；即可得出结果．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故B选项正确；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．（3分）（2019春•金华期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝4，点E是BC的中点，连结OE，则OE的长是（）A．B．2C．D．4【分析】求出AB的长，由三角形中位线定理求出OE的长即可．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠BCO＝60°，∴AB＝BC＝4，∵点E是BC的中点，∴OE＝AB＝2；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是关键．4．（3分）（2019春•莱州市期中）如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥ADC．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．【答案】解；A、∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°根据有三个角是直角的四边形是矩形可判定为矩形，故此选项错误；BAB∥CD，AB＝CD，可以判定为平行四边形，又有AB⊥AD，可判定为矩形，故此选项错误；C、AO＝BO，CO＝DO，不可以判定为平行四边形，所以不可判定为矩形，故此选项正确；D、AO＝BO＝CO＝DO，可以得到对角线互相平分且相等，据此可以判定矩形，故此选项错误．故选：C．【点睛】本题考查的是矩形的判定以及矩形的定理，难度简单．5．（3分）（2018春•赣榆区期中）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠AED的度数为（）A．15°B．20°C．22.5°D．25°【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出AD＝AE，∠DAE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出∠AED即可．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠AED＝（180°﹣150°）＝15°，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．6．（3分）（2018春•襄州区期中）如图，下列四组条件中，不能判定▱ABCD是正方形的有（）A．AO＝BO，∠A＝90°B．AC⊥BD，AC＝BDC．OA＝OD，BC＝CD D．∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA【分析】根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案．【答案】解：A、AO＝BO，∠A＝90°；根据有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形，故不能判定▱ABCD是正方形，故此选项错误；B、AC⊥BD，AC＝BD；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；C、OA＝OD，BC＝CD；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA＝OD，所以AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定▱ABCD 是正方形，故此选项正确；D、∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA；由∠BOC＝90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD＝∠CDB＝∠DCA，所以OC＝OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形的判别方法，正方形的判定方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．7．（3分）（2019春•江汉区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DE⊥AB于点E，则DE 的长度为（）A．B．C．5D．【分析】利用已知的对角线求出菱形的面积以及菱形的边长，再根据菱形面积（底×高）求出DE长．【答案】解：菱形ABCD面积是×6×8＝24，因为菱形的对角线长为6和8，所以利用勾股定理可得菱形的边长为5，则5×DE＝24，解得DE＝．故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的两个面积公式：1．底×高；2．对角线乘积的一半．8．（3分）（2018春•汶上县期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC 于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（）A．60°B．90°C．100°D．110°【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1＝∠3，故可得出▱AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论．【答案】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．故选：B．【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．9．（3分）（2018春•苏州期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．≤AM＜6B．5≤AM＜12C．≤AM＜12D．≤AM＜6【分析】首先证明四边形AEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长AM经过点P，推出EF＝AP，可得AM＝EF＝P A，求出P A的最小值可得AM的最小值，又由AP＜AC，即可求得AM的取值范围．【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠PEA＝∠PF A＝∠EAF＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∵M是EF的中点，∴延长AM经过点P，∴EF＝AP，AM＝EF＝P A，当P A⊥CB时，P A＝＝，∴AM的最小值为，∵P A＜AC，∴P A＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6，故选：A．【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当AP⊥BC 时，AP最小，且AP＜AC．10．（3分）（2018春•梁子湖区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G．有以下四个结论：①GA＝GD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF 是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④【分析】根据角平分线性质得：DE＝DF，证△AED≌△AFD，得AE＝AF，再一一判断即可．【答案】解：①根据已知条件不能推出GA＝GD，∴①错误；②∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥EF，∴②正确；③∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∵AE＝AF，∴四边形AEDF是正方形，∴③正确；④∵AE＝AF，DE＝DF，∴AE2+DF2＝AF2+DE2，∴④正确；∴②③④正确，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，角平分线性质的应用，能判断Rt△AED ≌Rt△AFD是解此题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019春•嘉祥县期中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝8，BD＝4，则菱形ABCD的周长是8．【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【答案】解：∵菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC＝8，BD＝4，由菱形对角线互相垂直平分，∴BO＝OD＝2，AO＝OC＝4，∴DA＝＝2∴菱形ABCD的周长＝4×2＝8故答案为：8【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理计算AD的长是解题的关键．12．（3分）（2019春•扬州期中）如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，7），则点A的坐标为（4，3）．【分析】作AD⊥x轴于D，AE⊥y轴于E，BF⊥AE于F，证明△BAF≌△OAD，根据全等三角形的性质得到BF＝OD，AF＝AD，根据题意列式计算即可．【答案】解：作AD⊥x轴于D，AE⊥y轴于E，BF⊥AE于F，则四边形EODA是矩形，∴∠EAD＝90°，又∠BAO＝90°，∴∠BAF＝∠OAD，在△BAF和△OAD中，∴△BAF≌△OAD，∴BF＝OD，AF＝AD，∵点B的坐标是（1，7），∴，解得，OD＝4，AD＝3，∴点A的坐标为（4，3）．【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（3分）（2019春•新泰市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，过对角线AC中点O的直线分别交AB、CD于点E、F，连接AF、CE．当四边形AECF是菱形时，EF的长为7.5．【分析】设菱形的边长为x，则DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，利用勾股定理可得x值，根据菱形的面积：对角线乘积的一半和底乘高，利用面积法可求EF长．【答案】解：设菱形的边长为x，则DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，利用勾股定理可得62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，所以AC＝10．根据菱形的面积可得×AC×EF＝×6，解得EF＝7.5．故答案为7.5．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理，解题的关键是根据菱形的面积，利用面积法求出其对角线的长．14．（3分）（2019春•宁都县期中）已知：矩形ABCD，AB＝5，BC＝4，P是边CD上一点，当△P AB是等腰三角形时，求PC的长可以是 2.5或3或2．【分析】三种情况：①P A＝PB，求出P在AB的垂直平分线上，即可求出DP，进而得出CP；②P A＝AB＝5，根据勾股定理求出DP，进而得出CP；③PB＝BA＝5，同法求出CP．【答案】解：有三种情况：①P A＝PB，∵P在AB的垂直平分线上，∴DP＝PC＝×5＝2.5；②P A＝AB＝5，∵矩形ABCD，∴∠D＝90°；由勾股定理得：DP＝，∴CP＝5﹣3＝2，③PB＝BA＝5，同法求出CP＝3，故答案为：2.5或3或2．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．15．（3分）（2019春•邗江区期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为16．【分析】想办法证明S△PEB＝S△PFD解答即可．【答案】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，故答案为16【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．16．（3分）（2018春•马尾区期中）正方形ABCD中，AB＝4，P是AC上一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．则MN最小值2．【分析】连接PB，∠DCB＝∠B＝90°，DC＝BC＝AD＝AB＝4，∠ACD＝∠ACB，由勾股定理得出AC ＝＝4，证出四边形BNPM是矩形，由矩形的性质得出PB＝MN，再由SAS证明△PCD ≌△PCB，得出PD＝PB＝MN，当PD⊥AC时，PD最小，由△ACD的面积的面积关系即可得出结果．【答案】解：过P作PE⊥DC于E，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝∠B＝90°，DC＝BC＝AD＝AB＝4，∠ACD＝∠ACB，∴AC＝＝4，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴四边形BNPM是矩形，∴PB＝MN，在△PCD和△PCB中，，∴△PCD≌△PCB（SAS），∴PD＝PB，∴PD＝MN，当PD⊥AC时，PD最小，∵△ACD的面积＝AD×CD＝AC×P'D，∴P'D＝＝＝2，∴MN的最小值为2，；故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2019春•三台县期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：BD＝EC；（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC；（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．18．（8分）（2018秋•定边县期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A 作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，求证：四边形ABGE是菱形．【分析】先证明AB＝AE，由ASA证明△ABF≌△GBF，得出AB＝GB，因此AE＝GB，证出四边形ABGE是平行四边形，即可得出结论；【答案】证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC且AD＝BC，∴∠CBE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝∠GFB＝90°，在△ABF和△GBF中，，∴△ABF≌△GBF（ASA），∴AB＝GB，∴AE＝GB，又∵AD∥BC，∴四边形ABGE是平行四边形，又∵AB＝GB，∴四边形ABGE是菱形；【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（8分）（2018春•平南县期中）如图，在矩形ABCD中，M为BC上的点，过点D作DE⊥AM于E，DE＝DC＝5，AE＝2EM．（1）求证：BM＝AE；（2）求BM的长．【分析】（1）由题意可证△AED≌△ABM，则结论可得．（2）在Rt△ABM中根据勾股定理可求EM的长，即可求AE的长．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°∴∠DAE＝∠AMB∵CD＝DE，CD＝AB∴AB＝DE，且∠ABC＝∠AED＝90°，∠DAE＝∠AMB∴△ADE≌△ABM∴BM＝AE（2）在Rt△ABM中，AM2＝AB2+BM2．∴9EM2＝25+4EM2．∴EM＝∴AE＝BM＝2【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键20．（8分）（2019春•陆川县期中）如图，AD是等腰△ABC底边BC上的中线，点O是AC中点，延长DO 到E，使OE＝OD，连接AE，CE，求证：四边形ADCE的是矩形．【分析】根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC＝90°，根据矩形的判定得出即可．【答案】证明：∵点O是AC中点，∴AO＝OC，∵OE＝OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中．21．（10分）（2018秋•莱西市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；（2）先证出BD＝CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，即可得出四边形BECD是菱形；（3）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，当△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴四边形BECD是正方形；【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．22．（10分）（2019春•岱岳区期中）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：△AGE≌△AFE；（2）若BE＝2，DF＝3，求AH的长．【分析】（1）利用旋转的性质，得AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，DF＝BG，再利用SAS证明△AGE≌△AFE 即可；（2）利用（1）的全等，得到∠AEB＝∠AEH，在利用角平分线的性质，得AB＝AH，设AB＝BC＝CD ＝DA＝x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x的值即可．【答案】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，DF＝BG，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，又∵AF＝AG，AE＝AE，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）解：由（1）可得：△AGE≌△AFE（SAS），∴∠AEB＝∠AEH，∵AB⊥BC，AH⊥EF，∴AH＝AB，设AB＝BC＝CD＝DA＝x，则FC＝x﹣3，EC＝x﹣2，EF＝GE＝BE+GB＝BE+DF＝5，在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解得：x1＝6，x2＝﹣1（舍去），∴AH＝AB＝6．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解决此题的关键是能利用旋转的性质，建立起线段之间的联系，进而利用勾股定理求出线段长度．。

北师大新版 九年级(上)数学 第1章 特殊的平行四边形 单元测试卷 (含解析)

北师大新版 九年级(上)数学 第1章 特殊的平行四边形 单元测试卷 (含解析)

九年级（上）数学 第1章 特殊的平行四边形 单元测试卷一．选择题（共10小题）1．已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是( )A ．AB BD = B ．AC BD = C ．90DAB ∠=︒ D ．90AOB ∠=︒2．下列说法正确的是( )A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．对角互补的平行四边形是矩形C ．一条对角线被另 一条对角线垂直平分的四边形是菱形D ．对角线相等的四边形是矩形3．菱形的边长是5cm ，一条对角线的长是8cm ，则另一条对角线的长为( )A ．10cmB ．83cmC ．6cmD ．53cm 4．在长方形MNPQ 中，三点的坐标分别是(0,0)M ，(4,0)N ，(4,2)P ，则Q 点的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(4,0)5．如图，要使平行四边形ABCD 成为矩形，需要添加的条件是( )A ．180AB ∠+∠=︒ B ．180BC ∠+∠=︒ C ．A B ∠=∠D ．B D ∠=∠6．如图，要使平行四边形ABCD 变为菱形，需要添加的条件是( )A ．AC BD =B ．AD BC = C ．AB CD = D ．AB BC =7．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边CDE ∆，连接AE ，若2AB =，则AE 等于( )A ．31+B ．231+C ．23+D ．32+8．矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，//DE AC ，//CE BD ，若8AB =，6BC =，则四边形OCED 的周长为( )A ．20B ．40C ．47D ．879．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，连结BM 、DN ．若4AB =，8AD =，则MD 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．610．矩形ABCD 中，3AD =，9AB =，点E 、F 同时分别从点A 、C 出发沿AB 、CD 方向以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD 为菱形时，两点运动的时间为( )A ．4秒B ．5秒C ．6秒D ．2二．填空题（共8小题）11．正方形ABCD 2，面积为 ．12．如图，菱形ABCD 中，40ACD ∠=︒，则ABC ∠= ︒．。

2019-2020学年度第一学期北师大版九年级上数学第一章特殊平行四边形测试试题(含答案)

2019-2020学年度第一学期北师大版九年级上数学第一章特殊平行四边形测试试题(含答案)

2019----2020学年度第一学期北师大版九年级数学第一章测试题一、选择题（30分）1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有( )A．AC⊥BDB．B．AB＝BCC．AC＝BDD．∠1＝∠22.下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形3.如图，过矩形ABCD四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于点E、F、G、H，则四边形EFGH 是( )A．平行四边形B．B．矩形C．C．菱形D．D．正方形4.已知菱形的两条对角线长分别是4cm和8cm，则与此菱形同面积的正方形的边长是（）A. 8cmB 4cmC cmD cm5.如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角统AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是（）A.10B.8C.5D.46.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分7.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1B．C．4﹣2D．3﹣48.如图，将矩形纸片ABCD折叠，AE、EF为折痕，点C落在AD边上的G处，并且点B落在EG边的H 处，若AB=，∠BAE=30°，则BC边的长为（）A．3B．4C．5D．69.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是( )A．20°B．25°C．30°D．40°10..如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③∠GDE=45°；④DG=DE在以上4个结论中，正确的共有（）个A．1个B．2 个C．3 个D．4个二、填空题（15分）12.如图：矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=4cm，∠AOB=60°，则AD=________ cm．13.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 的值为．14.对角线长为的正方形的周长为________，面积为________．15.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC 上的点F处，则EF的长为．三、解答题（75分）16.如下图，在△ABC中AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)当∠A=90°时，四边形AEDF是什么四边形?请证明你的结论．17.已知：如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN 于E，连结DE交AC于F．(1)求证：DF//AB，DF=2AB；(2)当△ABC是什么三角形时，四边形ADCE是一个正方形?简述你的理由．18.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．19.如图，在▱CBCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB，且CF＝DE，连接AE，BF，EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠ABE+∠BFC＝180°，则四边形ABFE是什么特殊四边形？说明理由．20.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．21.（1）问题发现：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC，请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是．（2）拓展探究：如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）类比延伸：如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．22.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．（1）发现①线段DE、BG之间的数量关系是；②直线DE、BG之间的位置关系是．（2）探究如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）应用如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．1---5CDCBC 6---10DCAAC11. 2412.413. 2.414. 8；415.或16.(1)略；(2)正方形，17.(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，AD平分∠BAC∵AN平分∠MAC，∴∠DAE=90°∵CE⊥AN，∴四边形ADCE为矩形∴AF=FC∴DF为△ABC的中位线∴DF//AB．DF=1／2AB(2)当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形18.（1）证明：在△A BC中，AB＝AC，AD⊥BC．∴∠BAD＝∠DAC．∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴．∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝180°＝90°．又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴＝90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）说明：答案只要正确均应给分．例如，当AD＝时，四边形ADCE是正方形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于D．∴DC＝．又AD＝，∴DC＝AD．由（1）四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形19.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CF∥DB，∴∠BCF＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCF在△ADE与△BCF中，∴△ADE≌△BCF（SAS）．（2）四边形ABFE是菱形理由：∵CF∥DB，且CF＝DE，∴四边形CFED是平行四边形，∴CD＝EF，CD∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC，∵∠AED+∠AEB＝180°，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．20.解：证明：∵AB∥DC，FC=AB，∴四边形ABCF是平行四边形．∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形．∴∠AFC=90°，∴∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF．∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA．∵∠EGA=∠CGF，∴∠DAF=∠CGF．∴∠D=∠ECD．∴ED=EC21.】解：（1）FG=CE，FG∥CE；理由如下：过点G作GH⊥CB的延长线于点H，如图1所示：则GH∥BF，∠GHE=90°，∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°，∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HGE，在△HGE与△CED中，，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD，∵CE=BF，∴GH=BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；故答案为：FG=CE，FG∥CE；（2）FG=CE，FG∥CE仍然成立；理由如下：过点G作GH⊥CB的延长线于点H，如图2所示：∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°，∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HGE，在△HGE与△CED中，，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD，∵CE=BF，∴GH=BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）FG=CE，FG∥CE仍然成立．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，在△CBF与△DCE中，，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵EG=DE，∴CF=EG，∵DE⊥EG∴∠DEC+∠CEG=90°∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．22.解：（1）发现①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG，理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BDA=90°，∴∠BAG=∠BAD=90°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∴△AED≌△AGB，∴DE=BG；②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，理由是：如图2，延长DE交BG于Q，由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，∴∠BEQ+∠ABG=90°，∴∠BQE=90°，∴DE⊥BG；故答案为：①DE=BG；②DE⊥BG；（2）探究（1）中的结论仍然成立，理由是：①如图3，∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，在△EAD和△GAB中，，∴△EAD≌△GAB（SAS），∴ED=GB；②ED⊥GB，理由是：∵△EAD≌△GAB，∴∠GBA=∠EDA，∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，∴∠BMH+∠GBA=90°，∴∠DHB=180°﹣90°=90°，∴ED⊥GB；（3）应用将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，过P作PH⊥CD于H，①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，在Rt△AED中，AD=4，AE=2，∴∠ADE=30°，DE==2，∴DF=DE﹣EF=2﹣2，∵AD⊥CD，PH⊥CD，∴AD∥PH，∴∠DPH=∠ADE=30°，cos30°==，∴PH=（2﹣2）=3﹣；②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，∴以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，当P在的中点时，如图5，此时PH的值最大，∵AB=AD=4，由勾股定理得：BD=4，则半径OB=OP=2∴PH=2+2．综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+2，最小值是3﹣．。

2019届九年级数学上册第一章特殊平行四边形测评(新版)北师大版

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第一章测评(时间分钟,满分分) 一、选择题(每小题分,共分).下列命题中,正确命题的序号是()①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;②一组邻边相等的平行四边形是正方形;③对角线相等的四边形是矩形;④对角线相等的梯形是等腰梯形..①②.②③.③④.①④.由矩形(非正方形)各内角平分线所围成的四边形一定是() .平行四边形.矩形.菱形.正方形.如图,四边形是菱形⊥于,则等于(). ..如图,边长为的大正方形中有两个小正方形.若两个小正方形的面积分别为,则的值为() .若一个菱形的边长为,则这个菱形两条对角线的平方和为().如图,在矩形中,对角线的垂直平分线分别交于点,连接,则的长为().如图是矩形的对角线,过点作∥交的延长线于,则图中与△全等的三角形共有()个个个个.如图,正方形的边长为在的延长线上,四边形也为正方形,则△的面积为().二、填空题(每小题分,共分).如图,在菱形中,对角线相交于点,不添加任何辅助线,请添加一个条件,使四边形是正方形. .矩形的周长为 ,一边中点与对边两顶点连线成直角,则矩形两邻边长分别为和..如图,在正方形中,对角线与相交于点为上一点为的中点.若△的周长为,则的长为..如图,在△中,点分别在边上,且∥∥.有下列四种说法:①四边形是平行四边形;②如果∠°,那么四边形是矩形;③如果平分∠,那么四边形是菱形;④如果⊥,且,那么四边形是菱形.其中,正确的有.(只填写序号)三、解答题(共分).(分)如图,在△中平分∠,四边形是平行四边形交于点,连接.求证:四边形是矩形..(分)如图,点为矩形对角线的交点∥∥. ()试判断四边形的形状,并说明理由; ()若,求四边形的面积..(分)如图,正方形的边长为分别是上的动点,且. ()求证:四边形是正方形;()判断直线是否经过某一定点,并说明理由..(分)如图是同一直线上的三个点,四边形与四边形都是正方形.连接.()观察猜想与之间的大小关系,并证明你的结论.()图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请指出,并说出旋转过程;若不存在,请说明理由..(分)()如图①,在平行四边形纸片中▱,过点作⊥,垂足为,沿剪下△,将它平移至△'的位置,拼成四边形',则四边形'的形状为().平行四边形.菱形.矩形.正方形()如图②,在()中的四边形纸片'中,在'上取一点,使,剪下△,将它平移至△''的位置,拼成四边形'.①求证:四边形'是菱形;②求四边形'的两条对角线的长.答案：一、选择题二、填空题(或∠°等) ..①②③④三、解答题.证明∵平分∠,∴⊥.∵四边形是平行四边形,∴∥.∴.∴四边形是平行四边形.∵⊥,∴∠°.∴四边形是矩形..解 ()四边形是菱形.理由如下:∵∥∥,∴四边形是平行四边形.又∵在矩形中,∴四边形是菱形.()如图,连接.由四边形是菱形得⊥.∵四边形是矩形,∴⊥.∴∥.又∵∥,∴四边形是平行四边形.∴.∴四边形·××..()证明∵四边形是正方形,∴∠∠°.∵,∴.又∵,∴△≌△.∴,∠∠.同理可证.∴.∴四边形是菱形.∵∠°,∴∠∠°.∴∠∠°.∴∠°.∴菱形是正方形.()解直线经过正方形的对称中心.理由如下:如图,连接交于点.∵四边形是正方形,∴∥.∴∠∠.∵,∴.又∵∠∠,∴△≌△.∴,即为的中点.∴直线经过正方形的对称中心. .解 ().证明:∵四边形和四边形都是正方形,∴,∠∠°.∴△≌△().∴.()存在.△和△.△绕点顺时针方向旋转°后与△重合..解 ()()①证明:∵▱,∴.又∵,∴.∴.又∵∥'',∴四边形'是平行四边形.∴四边形'是菱形.②解:连接'(图略).在△'中,∵''',∴.由▱,得菱形',故有×',解得'.。

北师大新版 九年级(上)数学 第1章 特殊平行四边形 单元测试卷 (解析版)

北师大新版 九年级(上)数学 第1章 特殊平行四边形 单元测试卷 (解析版)

第1章特殊平行四边形单元测试卷一、选择题1．（3分）已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（）厘米．A．8B．5C．10D．4.82．（3分）如果一个四边形的两条对角线相等且互相平分，那么这个四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形3．（3分）以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD4．（3分）如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B，C，F三点共线，连接BE交CD于M，连接DG交BE，CE，CF分别于N，P，Q，下面结论：①BE＝DG；②BM＝DQ；③CM＝CP；④∠BNQ＝90°中正确的是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①③④5．（3分）下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分6．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．四条边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相平分的平行四边形是菱形7．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC ＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选①③C．选②④D．选②③8．（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB 的长是（）A．4B．5C．6D．89．（3分）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（）A．0.618B．C．D．2二、填空题（本大题共9小题，共30分）10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝3，则菱形ABCD的周长是．11．（3分）如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以对角线的一半为边依次作平行四边形，则S＝，S＝．13．（3分）已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．14．（3分）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）15．（3分）菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为cm2．16．（3分）菱形的对角线长分别为24和10，则此菱形的周长为，面积为．17．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为cm．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD＝120°，AB ＝2，则AD＝．三、解答题（本大题共8小题，共63分）19．若菱形两条对角线长分别为6cm和8cm，则它的周长为，面积是．20．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形．21．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．22．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE＝DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．23．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试确定AD与EF的位置关系，并说明理由．24．如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于O，∠BAD＝60°．（1）求对角线AC，BD的长；（2）求菱形的面积．25．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于点E．（1）请判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB＝6，BC＝9，求四边形OCED的面积．26．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．参考答案一、选择题（本大题共9小题，共27分）1．（3分）已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（）厘米．A．8B．5C．10D．4.8解：设菱形的另一对角线长为xcm，×6×x＝24，解得：x＝8，菱形的边长为：＝5（cm），故选：B．2．（3分）如果一个四边形的两条对角线相等且互相平分，那么这个四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形解：∵一个四边形的两条对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵这个四边形的两条对角线相等，∴这个四边形是矩形．故选：A．3．（3分）以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD解：如图：A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA＝OC，OB＝OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选：D．4．（3分）如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B，C，F三点共线，连接BE交CD于M，连接DG交BE，CE，CF分别于N，P，Q，下面结论：①BE＝DG；②BM＝DQ；③CM＝CP；④∠BNQ＝90°中正确的是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①③④解：在正方形ABCD与正方形CEFG中，BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，故①正确；在△BCM和△DCQ中，，∴△BCM≌△DCQ（ASA），∴BM＝DQ，CM＝CQ，故②正确；在Rt△CPG中，∠CGP+∠CPG＝90°，在Rt△CDQ中，∠CDQ+∠CQD＝90°，∵正方形ABCD与正方形CEFG的边长不等，∴∠CDQ≠∠CGP，∴∠CQD≠CPG，∴CQ≠CP，∴CM≠CP，故③错误；∵∠CBE+∠BMC＝90°，∠CBE＝∠CDG，∠BMC＝∠DMN（对顶角相等），∴∠CDG+∠DMN＝90°，∴∠DNM＝90°，∴∠BNQ＝180°﹣∠DNM＝180°﹣90°＝90°，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④．故选：B．5．（3分）下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选：D．6．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．四条边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相平分的平行四边形是菱形解：如图所示；∵将△ABC延底边BC翻折得到△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD，∵AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABDC是菱形；故选：B．7．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC ＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选①③C．选②④D．选②③解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．故选：D．8．（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB 的长是（）A．4B．5C．6D．8解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝4，故选：A．9．（3分）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（）A．0.618B．C．D．2解：∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴AB：BF＝AD：AB，∴AD•BF＝AB•AB，又∵BF＝AD，∴AD2＝AB2，∴＝．故选：B．二、填空题（本大题共9小题，共30分）10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝3，则菱形ABCD的周长是24．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∵点P是AB的中点，∴AB＝2OP，∵PO＝3，∴AB＝6，∴菱形ABCD的周长是：4×6＝24，故答案为：2411．（3分）如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是15．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长＝3AB＝15，故答案为：15．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以对角线的一半为边依次作平行四边形，则S＝6，S＝．解：∵四边形ABCD矩形，∴OB＝OC，BC＝AD＝4，矩形ABCD的面积＝3×4＝12；∵四边形OBB1C是平行四边形，OB＝OC，∴四边形OBB1C是菱形，∴BA1＝CA1＝BC＝2，∴OA1是△ABC的中位线，∴OA1＝AB＝，∴O1B＝2OA1＝3，∴平行四边形四边形OBB1C的面积＝×3×4＝6；故答案为：6；根据题意得：四边形A1B1C1C是矩形，∴平行四边形A1B1C1C＝A1C×A1B1＝2×＝3；同理：平行四边形OB1B2C的面积＝×2×＝；故答案为：．13．（3分）已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是20cm2．解：由已知得，菱形面积＝×5×8＝20cm2．故答案为20．14．（3分）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件AC、BD互相平分（答案不唯一），使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）解：四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）故答案为：AC、BD互相平分（答案不唯一）．15．（3分）菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为24cm2．解：菱形的周长为20cm，则边长为5cm，∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得另一对角线的一半为3cm，则另一对角线长6cm，则菱形的面积为6×8×＝24cm2．故答案为24．16．（3分）菱形的对角线长分别为24和10，则此菱形的周长为52，面积为120．解：菱形对角线互相垂直平分，所以AO＝5，BO＝12，∴AB＝＝13，故菱形的周长为4×13＝52，菱形的面积为×24×10＝120．故答案为：52、120．17．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为24cm．解：如图：AB＝12cm，∠AOB＝60°．∵四边形是矩形，AC，BD是对角线．∴OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC．在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°．∴OA＝OB＝AB＝12cm，BD＝2OB＝2×12＝24cm．故答案为：24．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD＝120°，AB ＝2，则AD＝2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB．∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°．∴△AOB为等边三角形．∵AC＝BD，∴AO＝BO＝AB＝2．∴AC＝2AO＝4．∴AD2＝AC2﹣DC2＝16﹣4，∴AD＝2，故答案为．三、解答题（本大题共8小题，共63分）19．若菱形两条对角线长分别为6cm和8cm，则它的周长为20cm，面积是24cm2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝AD，∵AC＝8cm，BD＝6cm，∴AD＝5cm，S菱形ABCD＝AC•BD＝24cm2．故答案为：20cm、24cm2．20．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形．【解答】证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°．∴四边形BEDF为矩形．又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DF＝DE．∴矩形BEDF为正方形．21．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形．22．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE＝DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF，同理∠DAE＝∠FDA，∵AD＝DA，∴△ADE≌△DAF，∴AE＝DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠DAF＝∠FDA．∴AF＝DF．∴平行四边形AEDF为菱形．23．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试确定AD与EF的位置关系，并说明理由．解：AD⊥EF．∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠1＝∠ADF，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ADF．∴AF＝DF．∴四边形AEDF是菱形．∴AD⊥EF．24．如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于O，∠BAD＝60°．（1）求对角线AC，BD的长；（2）求菱形的面积．解：（1）在菱形ABCD中，AB＝AD＝10cm，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝10cm，∵AC平分∠BAD，AC⊥BD，∴∠BAC＝30°，BO＝BD＝5，在Rt△AOB中，AO＝＝5，∴AC＝2AO＝10（cm）（2）菱形的面积为：＝50（cm2）．25．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于点E．（1）请判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB＝6，BC＝9，求四边形OCED的面积．解：（1）四边形OCED是菱形，理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∵四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD．∴四边形OCED是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝9，∴△OCD的面积＝矩形ABCD的面积＝×AB×BC＝×6×9＝，∵四边形OCED是菱形，∴四边形OCED的面积＝2△OCD的面积＝27．26．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OC＝OD，∴▱OCED是菱形；（2）方法一：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝2，AB＝2，∵S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，∴S菱形OCED＝×2×2＝2．方法二：解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝2，∴AB＝DC＝2，如图，连接OE，交CD于点F，∵四边形OCED为菱形，∴F为CD中点，∵O为BD中点，∴OF＝BC＝1，∴OE＝2OF＝2，∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×2×2＝2．。

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2019学年初三数学上(北师大版)第一章《特殊平行四边形》达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )A ．四条边相等，四个角相等B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角线互相平分2．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠BCD ＝120°，则△ABC 的周长等于( )A ．20B ．15C ．10D ．5(第2题) (第3题) (第4题) (第5题)3．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( )A. B. C. D.1514133104．如图，菱形ABCD 的周长为24 cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，则线段OE 的长等于( )A ．3 cmB ．4 cmC ．2.5 cmD ．2 cm5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为( )A ．3B ．2 C. D ．32636．顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是( )A ．菱形B ．对角线互相垂直的四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A ．15°或30°B ．30°或45°C ．45°或60°D ．30°或60°8．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则∠EAF 等于( )A．75° B．45° C．60° D．30°(第7题) (第8题) (第9题) (第10题) 9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C 与点A重合，则下列结论错误的是( )A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF5C．EF＝2D．AF＝EF10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每题3分，共24分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．(第11题) (第12题) (第13题) (第14题)12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，3点B的坐标为(0，)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 019s时，点P的坐标为________．(第15题) (第16题) (第17题) (第18题) 16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC 边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG＋FH＝________.18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，2且正方形的对角线交于点O，连接OC.已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为________．三、解答题(19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.(第19题)20．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．(第20题)21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．(第21题)22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．(第22题)23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F 不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．(第23题)24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图①；(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．(第24题)答案一、1.D 2.B 3.B4．A 点拨：∵菱形ABCD 的周长为24 cm ，∴AB ＝24÷4＝6 (cm)，O B ＝O D .又∵E 为AD 边的中点，∴O E 是△ABD 的中位线．∴O E ＝AB ＝×6＝3 (cm)．故选A .12125．D 6.D 7.D 8.C9．D 点拨：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.(第9题)∵AD ∥BC ，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE ＝AF .故选项A 正确．由折叠的性质得CD ＝AG ，∠D ＝∠G ＝90°.∵AB ＝CD ，∴AB ＝AG .又∵AE ＝AF ，∠B ＝90°，∴Rt △ABE ≌Rt △AGF (HL)．故选项B 正确．设DF ＝x ，则GF ＝x ，AF ＝8－x .又∵AG ＝AB ＝4，∴在Rt △AGF 中，根据勾股定理得(8－x )2＝42＋x 2.解得x ＝3.∴AF ＝8－x ＝5.则AE ＝AF ＝5，∴BE ＝＝＝3.AE 2－AB 252－42过点F 作FM ⊥BC 于点M ，则FM ＝4，EM ＝5－3＝2.在Rt △EFM 中，根据勾股定理得EF ＝＝＝＝2，则选项C 正确．EM 2＋FM 222＋42205∵AF ＝5，EF ＝2，∴AF ≠EF .故选项D 错误．510．C 点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°.∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°.∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°.在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，{AE ＝AF ，AB ＝AD ，)∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL )．∴BE ＝DF (故①正确)，∠BAE ＝∠DAF .∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°(故②正确)．∵BC ＝CD ，∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ，又∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF (故③正确)．设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ＝AE ＝x ，∴EG ＝CG ＝x .222∴AG ＝x .62∴AC ＝.6x ＋2x2∴AB ＝BC ＝.3x ＋x2∴BE ＝－x ＝.∴BE ＋DF ＝x －x ≠x (故④错误)．3x ＋x 23x －x 232易知S △CEF ＝，S △ABE ＝＝，x 223x －x 2·3x ＋x 22x 24∴2S △ABE ＝＝S △CEF (故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．x 22二、11.90°　12.16　13.2.514．2　点拨：设正方形的边长为a ，∵S △ABE ＝18，13∴S 正方形ABCD ＝2S △ABE ＝36，∴a 2＝36.∵a ＞0，∴a ＝6.在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∠C ＝90°，∴BE ＝＝＝2.BC2＋CE262＋421315.(14，334)16．16　点拨：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝x ，AD ＝y ，∴CD ＝AB ＝x ，BC ＝AD ＝y ，∠BCD ＝90°.又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF ＝4，∴BF ＝DF ＝EF ＝4，∴CF ＝4－BC ＝4－y .在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2，即x 2＋(4－y )2＝42＝16.∴x 2＋(y －4)2＝16.17.　点拨：如图，连接EF ，3105(第17题)∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝2，∠A ＝∠D ＝90°.∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ＝1，∴BE ＝＝＝，CE ＝＝AE 2＋AB 212＋3210DE 2＋DC 212＋32＝，10∴CE ＝BE .∵S △BCE ＝S △BEF ＋S △CEF ，∴BC ·AB ＝BE ·FG ＋CE ·FH ，∴BC ·AB ＝BE (FG ＋FH )，即2×3＝121212(FG ＋FH )，解得FG ＋FH ＝.10310518．7　点拨：如图，过点O 作O M ⊥CA ，交CA 的延长线于点M ，过点O作O N ⊥BC 于点N ，易证△O MA ≌△O NB ，CN ＝O M，(第18题)∴O M ＝O N ，MA ＝NB .∴O 点在∠ACB 的平分线上．∴△O CM 为等腰直角三角形．∵O C ＝6，∴CM ＝O M ＝6.2∴MA ＝CM －AC ＝6－5＝1.∴BC ＝CN ＋NB ＝O M ＋MA ＝6＋1＝7.故答案为7.三、19.证明：连接DB .∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC .又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .20．(1)证明：∵CE ∥O D ，DE ∥AC ，∴四边形O CED 是平行四边形．又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠C O D ＝90°，∴四边形O CED 是矩形．(2)解：∵在菱形ABCD 中，AB ＝4，∴AB ＝BC ＝CD ＝4.又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝4，∴O C ＝AC ＝2，12∴O D ＝＝2，42－223∴矩形O CED 的面积是2×2＝4.3321．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AB ∥CD .又∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∴AC ＝BE ，∴BD ＝BE .(2)解：如图，过点O 作O F ⊥CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD ＝90°，∴∠BCE ＝90°.在Rt △BCE 中，根据勾股定理可得BC ＝8.∵BE ＝BD ，∴CD ＝CE ＝6，∴DE ＝12.∵O D ＝O C ，∴CF ＝DF ，又O B ＝O D ，∴O F 为△BCD 的中位线，∴O F ＝BC ＝4，12∴S △O DE ＝DE ·O F ＝×12×4＝24.1212(第21题)22．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ＝90°，∴∠ADB ＝∠DBC .根据折叠的性质得∠ADB ＝∠BDF ，∠F ＝∠A ＝90°，∴∠DBC ＝∠BDF ，∠C ＝∠F .∴BE ＝DE .在△DCE 和△BFE 中，{∠DEC ＝∠BEF ，∠C ＝∠F ，DE ＝BE ，)∴△DCE ≌△BFE .(2)解：在Rt △BCD 中，∵CD ＝2，∠DBC ＝∠ADB ＝30°，∴BD ＝4.∴BC ＝2.3在Rt △ECD 中，易得∠EDC ＝30°.∴DE ＝2EC .∴(2EC )2－EC 2＝CD 2.又∵CD ＝2，∴CE ＝.233∴BE ＝BC －EC ＝.43323．(1)证明：如图，连接AC .∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，　∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形．∴AC ＝AB .∴△ABE ≌△ACF .∴BE ＝CF .(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2，(第23题)∴AM ＝＝＝2.AB 2－BM 242－223∴S △ABC ＝BC ·AM ＝×4×2＝4.121233故S 四边形AECF ＝4.324．解：(1)如图①.(2)如图②，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线A P 的对称点，∴∠P AE ＝∠P AB ＝20°，AE ＝AB .∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∴∠AED ＝∠ADE ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠BA P ＋∠P AE ＝130°.∴∠ADF ＝＝25°.180°－130°2(3)EF 2＋FD 2＝2AB 2.证明如下：如图③，连接AE ，BF ，BD ，由轴对称和正方形的性质可得，EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，易得∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ，∵∠BAD ＝90°.∴∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°.∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠FBD ＝90°.∴∠BFD ＝90°.在Rt △BFD 中，由勾股定理得BF 2＋FD 2＝BD 2.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB2，∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.(第24题)。

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