数学物理方法 分离变量法习题 刁元胜
数学物理方法第八章
(7 ) ⎧ A0 = 0 ⎪ α1′ ⎪ A1a = − Ea + (8) a ⎪ ′ ⎨ A an = αn (9) n ⎪ n a ⎪ ′ βn n (10) ⎪ Bn a = n a ⎩
Wuhan University
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
【求解】
∂u I ε ∂ρ
∞
∂u II ρ =a = ∂ρ
2 l nπ 2 l nπ An = ∫ ϕ (α ) sin αdα , Bn = ∫0ψ (α ) sin l αdα 0 l l nπa
Wuhan University
习题课
二、齐次问题
1、求解
解：u ( x, t ) =
∑(A
n =1
⎧utt = a 2u xx , 0 < x < π , t > 0 ⎪ ⎪u ( x,0) = 3 sin x ⎫ ⎨ ⎬,0≤ x ≤π ⎭ ⎪ut ( x,0) = 0 ⎪u (0, t ) = u (π , t ) = 0; ∞ ⎩
n =1
′ ′ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ ) ρ − n u
II
∞
ρ →∞
= − Eρ cos ϕ →
n =1
α 0 = 0, β 0 = 0; α n = 0(n ≠ 1), β n = 0; α1 ρ = − Eρ → α1 = − E
′ ′ u ( ρ , ϕ ) = − Eρ cos ϕ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ )ρ − n
(3)
(2)
ρ =a
( 4)
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
《数学物理方法》第十一章分离变量法
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解 ，其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
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2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i
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u'y1+ v'y2 ＝0
→ u"y1+ u'y1'+ v "y2 + v'y2'＝ 0
→ u"y1+ v"y2 ＝ (u'y1'+ v 'y2')
(uy1+vy2)"+p(uy1+vy2)'+q(uy1+vy2)＝f(x) (10)
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
化。
(4) 分离变量法的适用范围： 波动、输运、稳定场问题等(比行波法适用范围要广)
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§11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问 • 首先通过实例说明用题分离变量法解题的六个
基本步骤.
• 【例11.1.1】求两端固定的弦自由振动的规律 .
解 定解问题为
1.分离变量
y ＝ eax (c1cosbx + c2sinbx) (7)
数学物理方法答案(科学出版社)
λn (x )=(
nπ 2 nπ x ) ， X n (x )=sin l l
（3）特解的线性叠加
n 2π 2 a 2t − ∞ nxπ u ( x , t ) = ∑ Cn e sin l2 l n =1
（4）根据本征函数正交性，由初始条件定系数. 由 x (l
n
∞
( 2n + 1) π at 得 A
=0,
得Bn =
8lv0 2 (2 n +1)π x l dx = ∫0 v0 sin (2 n +1)π a 2l (2 n +1)2 π 2 a
8lv0 ∞ 1 (2 n +1)π at (2 n +1)π x sin sin ∑ 2l 2l π 2 a n = 0 (2 n +1)2
l nxπ − x ) = u ( x , 0) = ∑ Cn sin l n =1
nxπ 2 l 4l 2 n C = ∫0 x (l − x ) sin dx = [1 − ( −1) ] n l l n3π 3 (2 n +1)2 π 2a 2 2 − 8l ∞ ( 2 n +1) xπ 1 2 ∑ ∴ u ( x, t ) = e sin l l π 3 n =0 (2 n +1)3
段的相对伸长为
( X =0端固定)
1 (n+ )π x 2 X (x )=sin n l
(3)通解为：
，λ
n
(x )=(
(2n+1)π 2 ) 2l
∞ 2 n +1 2 n +1 2 n +1 u ( x , t ) = ∑ [A cos( at ) + B sin( at )]sin( π π π x) n n 2 l 2 l 2 l n =0 (4)由 u ( x , 0) = 0 得 B = 0 t n ∞ F0 x 2 n +1 π x ) 得： = u( x , 0) = ∑ An sin( YS l 2 时,上式中的 x ± at 就会超出这个区间.考虑本题是第一内 边界条件,这里的 ϕ ( x ) 与ψ ( x ) 应理解为经过奇沿拓的,周期为 2l 的初位移与初速 度.
数理方法习题参考答案(1)
x
P0
(x)dx
=
1 xdx = 1
0
2
∫ ∫ c2n
=
4n +1 2
1 −1
x P2n (x)dx
= (4n +1)
1 0
xP2n
(x
)dx
∫ ( ) =
(4n +1) 22n (2n)!
1
x
0
d 2n dx 2n
x 2 − 1 2n dx
( ) ∫ ( ) ( ( )) ( ( )) =
4n 22n
+ c3
1 2
5x3
− 3x
=
5c3 2
x3
+
3c2 2
x2
+
⎜⎛ ⎝
c1
−
3c3 2
⎟⎞ ⎠
x
+
c0
5c3 2
= 1，3c2 2
= 0，c1
− 3c3 2
= 0，c0
=0
c0 = 0,
c1
=
3, 5
c2
= 0,
c3
=2 5
∴ x3
=
3 5
P1(x) +
2 5
P3 (x)
待定系数法只能适用于 f (x) 为 xn 多项式或者可以展开 xn 多项式的情况。
1 x2
−1
d l−1 dx l−1
x 2 − 1 l dx
∫ ( ) ( ) =
−
3
2l + 1 2l+1 l!
1 x2d
−1
d l−2 dx l−2
x2 −1 l
( ) ∫ ( ) ( ) ( ) =
数学物理方法(10)--期末考试试卷(4)答案
k 2
k 0
� w( z )
2c2 +
ﾥ
[(k + 2)(k +1)ck+2 - ck-1]zk
0
k 1
将代入方程
c2 0c,3ckkk+23kk((ck33kkk--+-33-12c)1)k-()1k + 1)
即亦即
c3k
c3k -3 3k(3k -1)
1 3k (3k
-1)
代换，有
f1
t -
e- pt dt
0
f1
e- p + d
0
f1 e-p d
0
f2
第e- p d1
页F(1共p F23 p页 )
f (x) lim
n e -nx2
n
3. 试证明：是函数的一种表达式。
答： 函数的傅里叶变换：，又称为的像函数；
F -1 G
f
xGfx21
G eixd
-
函数的傅里叶逆变换：，又称为的像原函数。
专业：
院（系）：
得分 评阅人 二、证明题：（共 3 题，每题 9 分，共 27 分）
1. 已知，试证明： （）
证明：将对 r 求导
ﾥ 1
1+ r2 - 2rx< 1)
(l +1)Pl+1(x) - (2l +l 1ﾥ)1xPl (x) + lPl-1(x) 0
ﾥ 1
1+ r2 - 2rx
ﾥ l0
Pl (x)rl
( x < 1)
数学物理方法课本答案第三章分离变量法
第三章 分离变量法3。
2 基础训练3.2.1 例题分析例1 解下列定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-==∂∂=><<∂∂=∂∂====0,20,00,0020022222t t lx x t u lx x u x uu t l x x u a t u （1） 解：分离变量，即令(,)()()u x t X x T t = （2） 代入方程（（1）中第一式），得0)()(2=+''t T a t T λ （3）0)()(=+''x X x X λ （4）其中λ为分离常数。
（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得0)()0(='=l X X （5）相应的本证值问题为求⎩⎨⎧='==+''0)()0(0)()(l X X x X x X λ （6） 的非零解．下面针对λ的取值情况进行讨论： （1）当0λ<时，（6）式中方程的通解是()X x Ae =+ （7）其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得A B Ae+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ （8）由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。
(2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。
（3）当02>=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为x B x A x X ββsin cos )(+=代入条件（6）中边界条件，得0cos ,0==l B A β由于 0≠B ，故 0cos =l β，即),2,1,0(212 =+=n ln πβ从而得到一系列固有值与固有函数2224)12(ln n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin)( =+=n x ln B x X n n π与这些固有值相对应的方程（3）的通解为),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )( =+'++'=n tlan D t l a n C t T n nn ππ于是，所求定解问题的解可表示为x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∑∞=利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得0=n D33202)12(322)12(sin )2(2ππ+-=+-=⎰n l xdxln lx x l C l n故所求的解为x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0332πππ++⨯+-=∑∞=例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。
第四章分离变量法(1)
习题3.11．考察长为l 的均匀细杆的导热问题，若（1）杆的两端温度保零度； （2）杆的两端均绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热，而初始温度分布均为)(x ϕ； 试用分离变量法求解在这三种情况下的杆的导热问题的解。
解：（1）该问题的数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧=>==><<=)()0,(0,0),(),0(0,0,2x x u t t l u t u t l x u a u xx t ϕ 其D a =2Step1：分离变量：令)()(),(t T x X t x u =，代入齐次方程及齐次边界条件有：)()()()0()()()()(2==''='t T l X t T X t T x x a t T x X由于0)(,0)(≠≠t T x X 所以有：)()0()()()()(2==='=''∆l X X t T a t T x X x X λ 整理得)()(0)()0(0)()(2=-'===-''t T a t T l X X x X x X λλStep2：求解特征值问题⎩⎨⎧===-''0)()0(0)()(l X X x X x X λ 讨论：若0=λ，则0)(=''x X此时Dx C x X +=)(将0)()0(==l X X 代入得0==D C ，于是0)(=x X ∴λ=0不合适，舍去。
若0>λ时方程0)()(=-''x X x X λ的特征方程为02=-λr ∴ λ±=2,1r∴ xxDe Cex X λλ-+=)(将0)()0(==l X X 代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-00ll DeCe D C λλ 得C=-D=0∴ 0)(=x X ∴ 0>λ也不合适，舍去。
若0<λ时方程0)()(=-''x X x X λ的特征方程为02=-λr ∴ i r λ-±=2,1∴ x D x C x X λλ-+-=s i n c o s )( 将0)0(=X 代入有C=0将0)(=l X 代入有0sin =-l D λ ∵ 0≠D ∴ 0s i n =-l λ ∴πλn l =- ∴ ,2,1,)(2=-=n ln n πλ 此时 ,2,1 sin )(==n x ln D x X n n πStep3：将2)(ln n πλ-=代入关于)(t T 的常微分方程有 0)()()(2=+'t T la n t T n n π ∴ ,2,1 )(2)(==-n eC t T t la n n n π∴ t la n n n n n n e C lx n D t T x X t x u 2)(s i n )()(),(ππ-==x ln ea t la n n ππsin2)(-= ,2,1=n 其中n a 待求。
数学物理方法习题
第一章 分离变量法1、求解定解问题：200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。
[定解问题为220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩](P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。