高二期末模拟试卷(2)

高二期末模拟试卷（2）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合{}1,2,3A =-，{}|(3)0B x x x =-<，则A B=I ．2.在复平面内，复数12iz i-=（i 为虚数单位）对应的点位于第象限． 3.设x R ∈，则“22x >”是“11x<”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本三等品的件数为 ．5.运行如图所示的算法流程图，输出的k 的值为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ．7.书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ．8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -= ． 9.记棱长为1的正三棱锥的体积为1V ，棱长都为1的正三棱柱的体积为2V ，则12V V = ． 10.若πtan 2tan 5α=，则3πcos()10πsin()5αα-=- ．11. 如图，在梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，如果 AD AB BM AC ⋅-=⋅则,3= .12.已知函数2()21f x x ax b =+-+（a ，b 为正实数）只有一个零点，则121aa b ++的最小值为 ．13.已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足210PA PB λ⋅-+=u u u r u u u r的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是 ．14.若函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]1 1x ∈-，时，2()f x x =，则函数4()() log F x f x x =-的零点个数为 ．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知10cos A =-，2b =，5c =．（1）求a ；（2）求cos()B A -的值．16.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面PAC ，AB BP ⊥，M ，N 分别为PA ，AB 的中点．（1）求证：//PB 平面CMN ；（2）若AC PC =，求证：AB ⊥平面CMN ．17.如图，有一椭圆形花坛，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点. 现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE =OF ，沿CE 、CF 、FA 铺设管道，设θ=∠CFO ，若OA =20m ，OC =10m ， （1）求管道长度u 关于角θ的函数； （2）求管道长度u 的最大值.18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P ，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）若直线l 与y 轴交于D ，且16DP DQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程；（2）设直线QA ，QB 的斜率分别是12,k k ，求12k k +的值； （3）设AB 的中点为M ，点N 4(,0)3，若MN =，求QAB ∆的面积．19. 已知函数()ln x ae f x x x x =-+，()x xg x e=（其中a 为参数）．（1）若对任意x R ∈，不等式()0g x b -<恒成立，求实数b 的取值范围；（2）当a e1=时，求函数()f x 的单调区间；（3）求函数()f x 的极值．20.（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n na =，求证：{}n a M ∈；（2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求2512a a -的取值范围；（3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由． 1.{}22.三3.充分不必要4.1005.96.67.310 8.316 ．3 11.．2312.52 13.3182λ<≤14.415.解：（1）在ABC ∆中，因为cos 10A =-，b =c =所以2222cos 252(9a b c bc A =+-=+-=， 因为a 是ABC ∆的边，所以3a =．（2）在ABC ∆中，因为cos 10A =-，所以(,)2A ππ∈，所以sin A ===，在ABC ∆中，sin sin a b A B =sin B=，所以sin B =，又(,)2A ππ∈，所以(0,)2B π∈，所以cos 5B ===，所以cos()cos cos sin sin ()51051010B A B A B A -=+=-+=． 16.证明：（1）在平面PAB 中，M ，N 分别为PA ，AB 的中点，所以//MN PB ， 又PB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， 所以//PB 平面CMN ．（2）在平面PAB 中，AB BP ⊥，//MN PB ，所以AB MN ⊥， 在平面PAC 中，AC PC =，M 为PA 中点，所以CM PA ⊥， 因为平面PAB ⊥平面PAC ，平面PAB I 平面PAC PA =， 所以CM ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，所以CM AB ⊥，又CM MN M =I ，CM ⊂平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， 所以AB ⊥平面CMN ． 17.解：（1）因为θsin 01=CF ，θtan 10=OF ，θtan 10-20=AF ， 所以θθθθsin cos 102020tan 1002sin 02-+=-+=++=AF CF CE u ， 其中，552cos 0<<θ. （2）由 θθsin cos 102020-+=u ，得θθ2'sin cos 0201-=u ，令21cos 0'==θ，u ，当 21cos 0<<θ时，0'>u ，函数）（θu 为增函数；当552cos 21<<θ时，0'<u ，函数）（θu 为减函数. 所以，当21cos =θ，即3πθ=时，310203sin21102020max +=⨯-+=πu （m ）所以，管道长度u 的最大值为）（31020+m.18.（本题满分16分）解：（1）若直线l 垂直与x 轴，则方程为2x =，与圆只有一个交点，不合题意． 故l 存在斜率，设直线l 的方程为4(2)y k x -=- 即240kx y k --+=，圆心到直线l的距离d =，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B，所以2d =<，解得34k >． ………2分 又(0,24)D k -+，(2,0)Q ，所以(2,24),(2,2)DQ k DP k =-=u u u r所以42(24)16DP DQ k k ⋅=+-=u u u r u u u r，解得3k =或1k =-（舍去）， 所以直线l 的方程是320x y --=． ………………4分（2）联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得222(1)4(2)(24)40k x k k x k +--+--= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221224(2)1(24)41k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪⋅=⎪+⎩所以12121212(2)4(2)42222y y k x k x k k x x x x -+-++=+=+---- 121212124(4)4422222()4x x k k x x x x x x +-=++=+---++ (6)分22224(2)4(4)12(24)44(2)2411k k k k k k k k k --+=+----+++ 4(84)2221116k k k k +=-=--=-．即12k k +的值是1- (8)分（3）法一：设中点00(,)M x y ，则由（2）知12020024(2)212(2)(2)41x x k k x k k y k x k +-⎧==⎪⎪+⎨--⎪=-+=⎪+⎩（*） (10)分又由3MN =，得22220000413()()39x y x y -+=+ 化简得22000640x y x +++=，………………12分将（*）代入解得1k =． (14)分因为圆心到直线l的距离d ==所以AB ==Q 到直线l的距离h =所以142ABQ S AB h ∆=⋅=即QAB ∆面积面积为4． ………………16分法二：设中点(,)M x y ，由MN =，化简得22640x y x +++=，① 又OM PM ⊥，所以M 在以OM 为直径的圆上（在圆O 的内部）即22(1)(2)5x y -+-= ②联立①②解得(1,1)M --，再求得QAB ∆面积面积为4．19.解：（1）分离参数得：对任意x R ∈，()b g x >恒成立，求导得1'()x xg x e-=，令'()0g x =，则1x =，故max 1()(1)g x g e ==，∴b e>． （2）()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为2(1)()'()x x ae x f x x --=，当1a e =时，12(1)()'()x x e x f x x ---=，由（1）知1xx e e≤，即10x e x --≥，当且仅当1x =时取等号， 令'()0f x =，则1x =，所以()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞．（3）2()(1)'()x xxe a x ef x x--=（0x >），由上面知1x x e e ≤，又0x x e >，故10x x e e <≤，下面讨论处理： ①当0a ≤时，0xxa e -<，此时()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减； 所以()(1)1f x f ae ==-极大值，无极小值； ②当1a e ≥时，0x xa e-≥，此时()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， 所以()(1)1f x f ae ==-极小值，无极大值；③当10a e <<时，令()x xx a e ϕ=-，下面证()x ϕ在(0,1)，(1,)+∞上各有一个零点． 因为()0a a a a e ϕ=->，1(1)0a e ϕ=-<，()x ϕ在(,1)a 上递减且连续，所以()x ϕ在(,1)a 上有唯一零点1x ，且11x x a e=，易证：0x >时，2x e x >，故121111()1()0a aaa e a a a a e e ϕ-=-=>， 又1(1)0a e ϕ=-<，()x ϕ在1(1,)a 上递增且连续，所以()x ϕ在1(1,)a 上有唯一零点2x ，且22x x a e=， 故()f x 在1(0,)x 上递减，在1(,1)x 上递增，在2(1,)x 上递减，在2(,)x +∞上递增， 所以()(1)1f x f ae ==-极大值，11111()()ln 1ln x ae f x f x x x a x ==+-=+极小值，22222()()ln 1ln x ae f x f x x x a x ==+-=+极小值．综上得：0a ≤时，()(1)1f x f ae ==-极大值，无极小值；当1a e≥时，()(1)1f x f ae ==-极小值，无极大值；当10a e <<时，()(1)1f x f ae ==-极大值，11111()()ln 1ln x ae f x f x x x a x ==+-=+极小值，22222()()ln 1ln x ae f x f x x x a x ==+-=+极小值．20.（本题满分16分）解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， 所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． ………………… 2分（2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(2)()n n a n a a a n ++≤+++++++L （*），特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， ………………… 4分 由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++， 整理得211131()10222d n a d n a ++----≥， 因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-， 又1d ≤-，所以1d =-， ………………… 6分 于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+， 所以110a +≥，即11a ≥-，所以222511114259()92()a a a a a =---=-≥--，因此2512a a -的取值范围是[)9,-+∞． ………………… 8分（3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nS S +≤， 所以13121122n n n nS S SS S S S S ++=⋅⋅⋅≤L ，从而有11122n n n S S a +≤⋅⋅=， …………………10分 又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⋅，即212)3(n n a a n -≤⋅≥， 又222112a S a -⋅=≤，12112a a -⨯<，所以有2*12()n n a a n -≤⋅∈N ，所以1442n nn a a ≥⋅，假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得1144422m m nm m a d b a n a b +⋅≥=≥⋅=，即2112n da n ba ++≥， ………………… 12分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<， 于是当3n ≥时，222n n +>， ………………… 14分从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立，因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． ………………… 16分。