均匀物质为工作物质的卡诺循环效率的推证

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卡诺循环热力学第二定律概要课件

卡诺循环的效率由两个热源的温度决定，可以用公式表示为：η=1-T2/T1 ，其中T1为高温热源温度，T2为低温热源温度。
02
卡诺循环热力学第二定律
热力学第二定律的表述
热力学第二定律指出，不可能从单一热源吸收热量并使之完全变为有用的功而不产生其他影响。
换句话说，热能不可能自发地从低温物体传递到高温物体而不引
卡诺循环热力学第二定律概要课件
目录
• 卡诺循环简介 • 卡诺循环热力学第二定律 • 卡诺循环效率 • 卡诺循环的应用 • 结论
01
卡诺循环简介
卡诺循环的定义
01
卡诺循环是一个由两个等温过程和两个绝热过程组成的理想循环过程。
02
它是由法国工程师尼古拉斯·卡诺于1824年提出的，是热力学的基本理论之一。
提高卡诺循环效率的方法
总结词
提高卡诺循环效率的方法包括降低低温热源温度、提高高温热源温度和使用高效工质。
详细描述
要提高卡诺循环效率，可以从以下几个方面着手：首先，降低低温热源温度可以减少热量向低温热源的传递，从而提高效率；其次，提高高温热源温度可以增加热机工作过程中吸收的热量，从而提高效率；最后，使用高效工质也可以提高卡诺循环效率，例如使用氦气等高效工质代替传统的水蒸气等。这些方法可以有效提高卡诺循环的效率，从而提高热机的整体性能。
起其他变化。
该定律是热力学的基本定律之一，用于限制热能转化为机械能的
方式和效率。
卡诺循环热力学第二定律的表述
卡诺循环热力学第二定律指出，在理想卡诺循环中，工作物质从高温热源吸收热量并对外做功，而向低温热源释放热量，而不产生其他影响。
该定律是热力学第二定律在卡诺循环中的具体应用，强调了理想卡诺循环的效率和限制。

卡诺循环热效率的推导

卡诺循环热效率的推导热力学中的卡诺循环是一种理想的热机循环，用于研究热机的最高效率。

卡诺循环通过两个等温过程和两个绝热过程组成，其中等温过程是在恒温热源和恒温冷源之间进行的，绝热过程是在绝热壁之间进行的。

卡诺循环的热效率可以通过以下推导得到。

首先，根据热力学第一定律，热机工作时，从热源吸收的热量等于向冷源释放的热量加上对外做的功，即Q1 = Q2 + W。

其中，Q1表示从热源吸收的热量，Q2表示向冷源释放的热量，W表示对外做的功。

根据热力学第二定律，任何一个热机的热效率都不会超过卡诺循环的热效率。

热效率可以定义为输出功与输入热量的比值。

即η = W / Q1。

卡诺循环的热效率可以表示为ηc = 1 - Q2 / Q1。

接下来，我们将推导卡诺循环的热效率。

首先考虑卡诺循环的等温过程。

在这个过程中，系统与热源保持恒温，热量的传递是可逆的。

根据热力学第一定律，这个过程中吸收的热量等于对外做的功，即Q1 = W1。

同样地，对于另一个等温过程，我们有Q2 = W2。

考虑卡诺循环的绝热过程。

在这个过程中，系统与绝热壁保持隔绝，热量的传递是不可逆的。

根据绝热过程的特点，系统内部没有热量交换，因此绝热过程中没有对外做的功，即W = 0。

现在我们可以计算卡诺循环的热效率。

根据前面的推导，我们有Q1 = W1 和Q2 = W2。

将其代入热效率的定义式中，可以得到ηc = 1 - Q2 / Q1 = 1 - W2 / W1。

根据卡诺循环的特点，W2 是绝热过程中的功，等于0。

而W1 是等温过程中的功，可以通过热力学循环图的面积计算得到。

由于卡诺循环是由两个等温过程和两个绝热过程组成的，因此循环图可以分为两个等腰三角形和一个矩形。

由此可得，W1 = (Q1 - Q2) * (T1 - T2) / 2。

将W2 = 0 和W1 = (Q1 - Q2) * (T1 - T2) / 2 代入热效率的定义式中，可以得到卡诺循环的热效率为ηc = 1 - W2 / W1 = 1 - 0 / [(Q1 - Q2) * (T1 - T2) / 2] = 1 - 0 / [(Q1 - Q2) * (T1 - T2) / 2] = 1 - 0 = 1。

第3节卡诺循环与卡诺定理

W=W1+W3 (W2和W4抵消)
二、卡诺循环的效率(η)
任何热机从高温(T2)热源吸热Q2，一部分转化为功W，另一部分Q1传给低温(T1)热源。将热机所作的功与所吸的热之比值称为热机效率，或称为热机转换系数，用η表示。
W Q2
三、卡诺循环的计算
根据绝热可逆过程方程式
1 1 T V T V 过程2： 2 2 1 3
W2 U CV (T1 T2 )
Q0
3、过程3：等温(T2)可逆压缩由p3V3到p4V4(C ΔU3=0
V4 W3 nRT 1 ln V3
D)
Q1=-W3
4、过程4：绝热可逆压缩过程由p4V4T1到p1V1T2(D
W4 U CV (T2 T1 )
A)
Q0
ηIR<ηR
将一个功率大于可逆机的不可逆热机与
一逆向可逆机联合操作。
卡诺定理的证明示意图
卡诺定理推论：
所有工作于同温热源与同温冷源之间的可逆机，其热机效率都相等，即与热机的工作物质无关。卡诺定理的意义：
（1）引入了一个不等号η I<ηR ，原则上解决了
化学反应的方向问题；（2）解决了热机效率的极限值问题。
如果将卡诺机倒开，就变成了致冷机，这时环境对体系做功W，体系从低温(T1)热源吸热 Q1’，而放给高温(T2)热源Q2’的热量，将所吸的热与所作的功之比值称为冷冻系数，用β 表示。
Q T1 W T2 T1
式中W表示环境对体系所作的功。
' 1
五、从卡诺循环得到的结论
W Q1 Q2 T1 T2 Q1 Q1 T1
过程4： T2V1 ∴
1

热力学统计物理第四版汪志诚答案

第一章热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。

解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。

解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==（常量），或.p VC T = （5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。

确定常量C 需要进一步的实验数据。

1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。

卡诺循环的原理

卡诺循环科技名词定义中文名称：卡诺循环英文名称：Carnot cycle定义：由两个可逆的等温过程和两个可逆的绝热过程所组成的理想循环。

百科名片卡诺循环卡诺循环(Carnot cycle) 是由法国工程师尼古拉·莱昂纳尔·萨迪·卡诺于1824年提出的，以分析热机的工作过程，卡诺循环包括四个步骤：等温膨胀，绝热膨胀，等温压缩，绝热压缩。

即理想气体从状态1（Ｐ1，Ｖ1，Ｔ1）等温膨胀到状态2（Ｐ2，Ｖ2，Ｔ2），再从状态2绝热膨胀到状态3（Ｐ3，Ｖ3，Ｔ3），此后，从状态3等温压缩到状态4（Ｐ4，Ｖ4，Ｔ4），最后从状态4绝热压缩回到状态1。

这种由两个等温过程和两个绝热过程所构成的循环成为卡诺循环。

简介卡诺循环包括四个步骤：等温膨胀、绝热膨胀、等温压缩、绝热压缩等温膨胀，在这个过程中系统从环境中吸收热量；绝热膨胀，在这个过程中系统对环境作功；等温压缩，在这个过程中系统向环境中放出热量；绝热压缩，系统恢复原来状态，在这个过程中系统对环境作负功。

卡诺循环可以想象为是工作与两个恒温热源之间的准静态过程，其高温热源的温度为Ｔ1，低温热源的温度为Ｔ2。

这一概念是1824年N.L.S.卡诺在对热机的最大可能效率问题作理论研究时提出的。

卡诺假设工作物质只与两个恒温热源交换热量，没有散热、漏气、摩擦等损耗。

为使过程是准静态过程，工作物质从高温热源吸热应是无温度差的等温膨胀过程，同样，向低温热源放热应是等温压缩过程。

因限制只与两热源交换热量，脱离热源后只能是绝热过程。

作卡诺循环的热机叫做卡诺热机[1]。

原理卡诺循环的效率通过热力学相关定理我们可以得出，卡诺循环的效率ηc＝1-Ｔ2/Ｔ1，由此可以看出，卡诺循环卡诺循环的效率只与两个热源的热力学温度有关，如果高温热源的温度Ｔ1愈高，低温热源的温度Ｔ2愈低，则卡诺循环的效率愈高。

因为不能获得Ｔ1→∞的高温热源或Ｔ2=0K（-273℃）的低温热源，所以，卡诺循环的效率必定小于1。

证明卡诺定理推论

证明卡诺定理推论卡诺定理是热力学中的一个基本定律，描述了理想热机的效率与工作温度之间的关系。

根据卡诺定理，没有任何一个工作物质能够在两个给定温度之间以100%的效率执行热机循环。

根据卡诺定理的推论可以进一步了解热力学系统的运行特性和限制。

首先，我们来探讨卡诺热机效率的推论。

根据卡诺定理，卡诺热机的效率由以下公式给出：η=1-Tc/Th其中，η表示热机的效率，Tc表示冷源的温度，Th表示热源的温度。

推论一：对于给定的冷源温度和热源温度，卡诺热机的效率是恒定的。

这是由于卡诺热机是一个理想热机，不存在内部损失，所有的能量转化都是理想的。

接下来，我们探讨卡诺制冷机的性能。

卡诺制冷机是一个将热量从低温区域转移到高温区域的系统。

它的性能由制冷系数(COP)表示，计算公式为：COP=Qc/W其中，Qc表示制冷量，W表示制冷机的功率。

推论二：卡诺制冷机的COP是最高的。

这是因为卡诺制冷机在整个制冷循环中没有能量损失，所有的能量转移都是最理想的。

进一步推论，我们将讨论热力学中的一个重要概念-热力学温标。

根据卡诺定理，卡诺热机的效率只与工作温度有关，与工作物质的性质无关。

因此，可以利用卡诺热机的效率来定义热力学的温度标尺。

这个温标被称为热力学温标或卡诺温标。

推论三：不同温度下的热力学系统可以通过热力学温标进行比较。

热力学温标的基准点被定义为绝对零度，即0K。

最后，我们来推论卡诺定理对于实际热机的应用。

由于卡诺热机是一个理想化的模型，而实际的热机存在摩擦、热传导等不可避免的能量损失。

因此，实际热机的效率无法达到卡诺热机的效率。

推论四：所有实际热机的效率均低于卡诺热机的效率。

这是热机工程的基本限制。

综上所述，卡诺定理是热力学中一个重要的基本定律，推论从不同角度描述了卡诺热机、制冷机、热力学温标以及实际热机之间的关系和应用。

通过理解和应用卡诺定理及其推论，我们可以更好地理解热力学系统的运行规律和限制，为工程实践和能量转化提供参考和指导。

热力学循环卡诺循环和效率

热力学循环卡诺循环和效率热力学循环：卡诺循环和效率热力学循环是指在一定条件下，热能的转化和热能与其他形式能量之间的相互转化循环过程。

其中，卡诺循环作为最基本的循环过程之一，被广泛应用于热力学研究和工程实践中。

本文将介绍卡诺循环的基本原理和效率计算方法，以及其在能源系统中的应用。

一、卡诺循环的基本原理卡诺循环是由两个等温过程和两个绝热过程组成的理想热力学循环。

在卡诺循环中，工作物质按照一定的路径在热源和冷源之间进行循环过程，从而完成热能的转化。

1.1 等温过程在卡诺循环中的两个等温过程是指工作物质与热源保持恒定的温度，并从热源吸收或放出一定的热量。

在这两个等温过程中，工作物质发生状态变化，能量转化为对外界的功或从外界获得的功。

1.2 绝热过程在卡诺循环中的两个绝热过程是指工作物质与外界没有热量交换，只是通过与外界进行机械作用来转化能量的过程。

在绝热过程中，工作物质发生状态变化，由于不与外界进行热交换，故在这两个阶段中不发生热量的传递。

二、卡诺循环的效率计算卡诺循环的效率是指在给定的热源温度和冷源温度下，能够将热能转化为对外界的最大功率的百分比。

卡诺循环的效率由卡诺功率公式计算得出，该公式为：η = 1 - Tc/Th其中，η为卡诺循环的效率，Tc为冷源温度，Th为热源温度。

从该公式可以看出，卡诺循环的效率只与温度有关，与具体工质无关。

三、卡诺循环的应用卡诺循环作为最理想的热力学循环，被广泛应用于能量系统中，特别是工程实践领域。

以下是卡诺循环在能源系统中的主要应用。

3.1 内燃机卡诺循环在内燃机中的应用是将燃料的化学能转化为对外界的功，从而实现动力输出。

内燃机通过对工质进行循环过程，将燃料的化学能转化为机械能，从而驱动车辆或机械设备的运转。

3.2 汽轮机汽轮机是利用蒸汽的压力和温度对涡轮进行机械作用，将热能转化为机械能。

在汽轮机内部，蒸汽按照卡诺循环的原理进行循环过程，从燃料燃烧所释放的热量中提取能量并转换为机械功。

再论卡诺循环的效率

再论卡诺循环的效率
李军平
【期刊名称】《延安职业技术学院学报》
【年(卷),期】2006(020)004
【摘要】卡诺循环的效率不能从热力学第一定律和热力学第二定律的推论导出,其效率公式更接近热力学第二定律而独立于热力学第一定律.
【总页数】2页(P65-66)
【作者】李军平
【作者单位】宜川中学,陕西,宜川,716200
【正文语种】中文
【中图分类】G633.7
【相关文献】
1.用熵证明卡诺循环的效率最高 [J], 袁琳
2.范德瓦尔斯气体的卡诺循环效率 [J], 蓝风华
3.均匀物质为工作物质的卡诺循环效率的推证 [J], 邓晓冉;杨帅
4.均匀物质为工作物质的卡诺循环效率的推证 [J], 邓晓冉;杨帅;
5.卡诺循环与热机效率的提高 [J], 傅春花
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卡诺循环的组成和循环效率的表达式

卡诺循环的组成和循环效率的表达式卡诺循环是一种理想的热力循环过程，由四个可逆过程组成，包括两个等温过程和两个绝热过程。

卡诺循环的循环效率是衡量热力循环过程性能的一个重要指标。

本文将详细介绍卡诺循环的组成和循环效率的表达式。

卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成。

首先，工作物质在高温热源与工作物质接触时进行等温膨胀过程，吸收热量Q1，此时工作物质从高温热源吸收热量，温度保持不变。

然后，工作物质经过绝热膨胀过程，压强降低，温度下降，不与外界热源交换热量。

接着，工作物质与低温热源接触进行等温压缩过程，放出热量Q2，此时工作物质向低温热源放出热量，温度保持不变。

最后，工作物质经过绝热压缩过程，压强进一步升高，温度上升，不与外界热源交换热量。

这样，卡诺循环完成了一次循环。

卡诺循环的循环效率可以通过热机效率的定义来表达。

热机效率是指热机从热源吸收的热量与向低温热源放出的热量之比。

在卡诺循环中，热机效率可以用高温热源与低温热源的温度差来表示。

设高温热源的温度为T1，低温热源的温度为T2，卡诺循环的循环效率η可以用以下表达式表示：η = 1 - T2/T1其中，η表示卡诺循环的循环效率，T2/T1表示高温热源与低温热源的温度比。

卡诺循环的循环效率是所有可能的热力循环过程中最高的。

这是因为卡诺循环是由可逆过程组成的，可逆过程具有最高的热力效率。

在卡诺循环中，等温过程和绝热过程的可逆性保证了循环效率的最大化。

卡诺循环的循环效率对于热力工程和热力学有着重要的意义。

热力工程中的热机、制冷机和热泵等设备都可以通过卡诺循环来理想化地描述和分析。

循环效率的表达式可以帮助我们评估和比较不同热力循环过程的性能，并指导实际工程的优化设计。

除了循环效率，卡诺循环还具有其他重要的性质。

例如，卡诺循环中的热机效率只取决于高温热源和低温热源的温度差，与工作物质的性质无关。

这意味着，无论是理想气体、蒸汽还是其他工质，只要热源温度差相同，卡诺循环的循环效率都是相同的。

推导卡诺循环的效率公式

推导卡诺循环的效率公式卡诺循环，这可是热力学中的一个重要概念。

对于咱们学习物理的同学来说，推导卡诺循环的效率公式就像是攀登一座神秘的知识山峰，虽然过程可能有点曲折，但一旦登顶，那风景绝对美不胜收！咱们先来聊聊什么是卡诺循环。

想象一下，有一个热机，它的工作过程就像一个超级有规律的舞步。

首先，进行等温膨胀，这就好比是热机在温暖的怀抱中尽情舒展；接着是绝热膨胀，像是勇敢地冲向未知的远方；然后是等温压缩，仿佛是在适当的时候给自己收收心；最后是绝热压缩，为下一轮的精彩表现做好准备。

为了推导这个效率公式，咱们得先搞清楚几个关键的概念。

比如说，什么是工作物质吸收的热量，什么又是放出的热量。

这就像是在一场游戏中，我们要清楚得分和失分的规则。

我记得有一次给学生们讲解卡诺循环的时候，有个同学一脸迷茫地问我：“老师，这卡诺循环到底和我们的生活有啥关系啊？”我笑着回答他：“你想想看，咱们家里用的空调、冰箱，它们能够制冷或者制热，背后可都离不开卡诺循环的原理呢！”听到这儿，那同学的眼睛一下子亮了起来。

咱们接着说推导。

在等温膨胀过程中，工作物质从高温热源吸收热量 Q₁。

根据热力学第一定律，内能的变化等于吸收的热量减去对外做的功。

因为等温过程中内能不变，所以吸收的热量就等于对外做的功。

然后是绝热膨胀，这个过程没有热量交换，但内能减少，对外做功。

到了等温压缩，工作物质向低温热源放出热量Q₂，同样因为等温，内能不变，所以放出的热量等于外界对它做的功。

最后是绝热压缩，内能增加，外界对它做功。

经过这一系列的过程，我们可以通过计算得出卡诺循环的效率η = 1 - Q₂ / Q₁。

在实际的学习过程中，很多同学会在计算热量和功的环节出错。

这就需要咱们多做几道练习题，熟练掌握各种公式和概念的运用。

总之，推导卡诺循环的效率公式虽然有点复杂，但只要咱们一步一个脚印，理清思路，就一定能够攻克这个难关。

就像我们在生活中面对各种挑战一样，只要有耐心和方法，没有什么是解决不了的！希望同学们都能在热力学的世界里畅游，感受科学的魅力！。

谈以实际气体为工作物质的卡诺循环

谈以实际气体为工作物质的卡诺循环导读:卡诺循环的工作物质可以是气体(理想气体或实际气体),液体,也可以是固体。

现以范德瓦耳斯气体(实际气体)为例,计算卡诺循环的热功转换效率。

:范德瓦耳斯方程,卡诺循环,热功转换效率18世纪末19世纪初,蒸汽机的效率仍很低,只有3%-5%左右。

这期间,大批科学家和工程师试图通过改良热机的结构,减少漏热、漏气、摩擦等,来提高热机的效率,但进展相当缓慢。

这使得他们认识到只从具体结构上改良热机是非常有限的。

必须从理论上研究如何提高热机效率。

修改。

正是在这样一种时代背景下出现了法国青年工程师卡诺的工作。

1824年法国青年工程师卡诺研究了一个特殊而重要的循环,它包括两个等温过程和两个绝热过程。

具体过程如下列图:P1→2 等温膨胀过程,1 22→3 绝热膨胀过程,3→4 等温压缩过程,4→1 绝热压缩过程。

4 3这一循环过程就被称为卡诺循环。

卡诺循环的工作物质V可以是气体(理想气体或实际气体)、液体,也可以是固体。

理想气体只是一种理想模型,并不真实存在。

为了更具有普适性,我们就以实际气体为工作物质,来讨论卡诺循环。

1.范德瓦耳斯气体的内能及绝热过程方程质量为,摩尔质量为的实际气体。

其物质的量。

那么该气体的范德瓦耳斯方程: (1)其中=为内压强,它是对分子间引力引起的修正。

是分子本身体积引起的修正。

1.1该气体的内能=+(为分子无规那么运动的动能,为分子间相互作用势能)。

修改。

又因为。

所以 (2)1.2 该气体在绝热过程中的过程方程首先由热力学第一定律: =,可知该气体在绝热过程()中,满足 (3)再由(2),(3)可得:即:=0 。

那么:成立。

对其两边积分可得:常量 (4)这就是该气体在绝热过程中的过程方程。

修改。

其中。

2. 卡诺循环热功转化效率的理论推导2.1 等温膨胀过程(1→2 )气体与温度为的高温热源保持接触,那么。

根据实际气体内能(2)式可知:该气体内能的微分表达式:= 。

卡诺定理推导

卡诺定理的证明过程如下：
设有两个热机A和B，高温热源1和低温热源2。

其中A是可逆热机。

它们在各自的工作循环中分别从高温热源吸收热量Q1和Q1'（Q1=Q1'），向低温热源释放热量Q2和Q2'，对外做功分别为W和W'。

则它们的工作效率：
1.ηA=W/Q1
2.ηB=W'/Q1'
由于Q1=Q1'，所以W=W'。

由于A是可逆热机，所以卡诺定理得证。

使用反证法证明：假设ηA<ηB，则由Q1=Q1'，结合（1）式可得W<W'。

已知A是可逆热机，现在我们利用W'的一部分（其值等于W）使A逆循环工作，成为制冷机。

根据可逆性，A从低温热源吸收的热量为Q2，向高温热源释放的热量为Q1。

当B作为热机，A作为制冷机循环一圈后，其内部的工作物质恢复原状。

在这个过程中，高温热源得到的热量为Q1-Q1'=0，低温热源释放的热量为Q2-Q2'，对外做的总功为W'-W。

由热力学第一定律：W+Q2=Q1，Q1'=Q2'+W'。

两式相减可得：W'-W=Q2-Q2'。

这个式子表示：循环终了时，低温热源被吸取了(Q2-Q2')的热量，对外做了(W'-W)的功。

而这与热力学第二定律的开尔文表述：“不可能从单一热源吸热，使之完全转化为有用功而不引起其它变化。

”相矛盾。

故原假设ηA<ηB错误，ηA≥ηB正确。

卡诺循环的推导过程

T1 , w : 要从温度越低的低温热源中吸热就要消耗更多的功。
注意：
A净 1 Q2
Q吸
Q1
w Q2 A
对一切循环适用
1 T2
T1 w T2
T1 T2
只对卡诺循环适用
二、卡诺循环
18世纪末19世纪初，蒸汽机的效率很低，不能满足资本主义大工业的需要。提高热机效率，解决动力问题就成了当时的首要任务。法国工程师卡诺认为：“要最完整地研究由热得到动力的道理，必须不依赖于任何特定机构和任何特殊的工作物质，必须使所进行的讨论不仅适合于蒸汽机，而且可以应用于一切可以想象的热机，不管它们用的什么物质，也不管它们如何动作”。在此思想的指导下，提出了一个十分重要的循环--卡诺循环。
Q1
Q2
A = Q1 -Q2
A+ Q1=
Q2
A
Q2
低温T2
低温T2
正循环
逆循环
A B 等温膨胀从T1吸热对外做正功
正循环 B C 绝热膨胀对外做正功内能降低 C D 等温压缩向T2放热对外做负功
D A 绝热压缩对外做负功内能升高
2. 理想气体的卡诺循环
1) 卡诺正循环的效率
V3 V4
o
绝热过程：
T1 T2
T2 V
32 1 4
T1V2r1 T2V3r1 T1V1r1 T2V4r1
V2 V3 V1 V4
w Q2 Q2
M
RT2
ln V3 V4
A
Q1 Q2
M
R
T1
ln
V2 V1
M
R
T2
ln
V3 V4
注意：
Q1 Q21

卡诺循环实验

卡诺循环实验引言：卡诺循环是热力学中一种理想的循环过程，它由法国物理学家尼古拉·卡诺在19世纪中叶提出，被广泛应用于热力学及工程学领域。

本文将详细介绍卡诺循环的定义、定律以及实验准备和过程，并分析其在实际应用和其他专业领域的意义。

一、卡诺循环的定义和定律卡诺循环是一个理想的热力学循环过程，由两个等温过程和两个绝热过程组成。

其特点是能量的转化效率最高，被认为是理论上最理想的发动机循环。

卡诺循环的定律包括：1. 卡诺循环定律一：一个工作物质在一定高温和低温之间工作时，其效率最高。

2. 卡诺循环定律二：所有工作在给定高温和低温之间的热机，其效率都不会高于卡诺循环。

二、卡诺循环的实验准备要进行卡诺循环的实验，我们需要以下实验装置和材料：1. 热源和冷源：为了模拟卡诺循环中的高温和低温之间的温差，我们需要提供一个恒温热源和一个恒温冷源。

热源可以采用加热器或恒温水浴，冷源可以采用冷水或冰水浴。

2. 工质：选择一个适合的工质循环流动，例如气体如氢气或理想气体。

工质要足够纯净，以确保实验结果的准确性。

3. 衡器：用于测量工质的质量，以便计算和分析卡诺循环的效率。

4. 传感器：用于测量热源和冷源的温度，以确定等温过程和绝热过程。

5. 绝热容器和热交换装置：用于实现绝热过程和热交换过程，确保实验的可控性。

三、卡诺循环的实验过程下面是一种简化的卡诺循环实验过程：1. 将工质置于初始状态，记录初始温度和压力。

2. 开启热源和冷源，使工质分别与热源和冷源接触，进入等温过程。

3. 记录等温过程中的温度和压力变化。

4. 将工质与热源和冷源切断接触，进入绝热过程。

5. 记录绝热过程中的温度和压力变化。

6. 将工质再次与热源和冷源接触，进入另一个等温过程。

7. 记录等温过程中的温度和压力变化。

8. 将工质再次与热源和冷源切断接触，进入另一个绝热过程。

9. 记录绝热过程中的温度和压力变化。

10. 分析实验数据，计算卡诺循环的效率。

卡诺循环效率公式推导

卡诺循环效率公式推导
卡诺循环是一个理想化的热力循环，它由两个等温过程和两个绝热过程组成。

卡诺循环的效率可以通过以下公式推导得到：首先，考虑一个热机，它从高温热源吸收热量Q1，向低温热源释放热量Q2，做功W。

根据能量守恒定律，有：
Q1 - Q2 = W
根据卡诺循环的特点，高温等温过程的热量Q1可以表示为：
Q1 = T1 * ΔS1
其中，T1是高温热源的温度，ΔS1是高温等温过程中系统的熵变。

同样地，低温等温过程的热量Q2可以表示为：
Q2 = T2 * ΔS2
其中，T2是低温热源的温度，ΔS2是低温等温过程中系统的熵变。

根据热力学第二定律，有：
ΔS1 + ΔS2 ≥ 0
结合热量和功的关系，可以得到：
Q1 - Q2 = T1 * ΔS1 - T2 * ΔS2 ≥ 0
根据能量守恒定律和以上不等式，可以得到：
W = Q1 - Q2 ≤ T1 * ΔS1 - T2 * ΔS2
由于ΔS1 + ΔS2 ≥ 0，所以 T1 * ΔS1 - T2 * ΔS2 ≤ T1 * ΔS1
因此，W ≤ T1 * ΔS1
根据卡诺循环的特点，W是该循环可达到的最大功。

卡诺循环的效率定义为：
η = W / Q1 = (Q1 - Q2) / Q1 = 1 - Q2 / Q1
将Q1和Q2的表达式代入上式，可以得到：
η = 1 - T2 / T1
这就是卡诺循环的效率公式。

根据该公式，可以看出，卡诺循环的效率只与高温热源和低温热源的温度有关，与具体的工作物质无关。

卡诺循环的效率是所有热力循环中最高的效率。

热力学与统计物理答案第二章

第二章均匀物质的热力学性质2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.解：根据题设，气体的压强可表为(),p f V T = （1）式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =--得麦氏关系.T VS p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）将式（1）代入，有().T VS p p f V V T T ∂∂⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）由于0,0p T >>，故有0T S V ∂⎛⎫>⎪∂⎝⎭. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加.2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T =试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T = （1）故有().Vp f V T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （2）但根据式（2.2.7），有,T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）所以()0.TU Tf V p V ∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ （4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.2.3 求证： ()0;HS a p ⎛⎫∂< ⎪∂⎝⎭ ()0.U S b V ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭解：焓的全微分为.dH TdS Vdp =+ （1）令0dH =，得0.HS Vp T ⎛⎫∂=-< ⎪∂⎝⎭ （2）内能的全微分为.dU TdS pdV =- （3）令0dU =，得0.U S p V T∂⎛⎫=> ⎪∂⎝⎭ （4）2.4 已知0T UV ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭，求证0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 解：对复合函数(,)(,(,))U T P U T V T p = （1）求偏导数，有.T T TU U V p V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫= ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）如果0TU V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭，即有0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ （3）式（2）也可以用雅可比行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)T U U T p p T U T V T V T p T ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭∂∂=∂∂.T TU V V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）2.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.解：热力学用偏导数pS V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压过程中的熵随体积的变化率，用pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压下温度随体积的变化率. 为求出这两个偏导数的关系，对复合函数(,)(,(,))S S p V S p T p V == （1）求偏导数，有.p p p p pC S S T T V T V T V ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）因为0,0p C T >>，所以p S V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭的正负取决于pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭的正负. 式（2）也可以用雅可经行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)P S S p V V p S p T p T p V p ∂∂⎛⎫= ⎪∂∂⎝⎭∂∂=∂∂P PS T T V ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数S T p ⎛⎫∂⎪∂⎝⎭和HT p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭描述. 熵函数(,)S T p 的全微分为 .P TS S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在可逆绝热过程中0dS =，故有.T P p SPS V T p T T Sp C T ⎛⎫∂∂⎛⎫⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （1）最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓(,)H T p 的全微分为.P TH H dH dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在节流过程中0dH =，故有.T PpH PH V T V p T T H p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫- ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （2）最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 将式（1）和式（2）相减，得0.pSH T T V p p C ⎛⎫⎛⎫∂∂-=> ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.2.7 实验发现，一气体的压强p 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即(),().pV f T U U T ==试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.解：根据题设，气体具有下述特性：(),pV f T = （1）().U U T = （2）由式（2.2.7）和式（2），有0.T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）而由式（1）可得.Vp T df T T V dT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4）将式（4）代入式（3），有,dfTf dT= 或.df dT f T= （5）积分得ln ln ln ,f T C =+或,pV CT = （6）式中C 是常量. 因此，如果气体具有式（1），（2）所表达的特性，由热力学理论知其物态方程必具有式（6）的形式. 确定常量C 需要进一步的实验结果.2.8 证明2222,,p V T Vp TC C p V T T V T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭并由此导出0020222,.VV VV Vp p p p pp C C T dV T p C C T dp T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T 的函数.解：式（2.2.5）给出.V VS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （1）以T ，V 为状态参量，将上式求对V 的偏导数，有2222,V T VC S S S T T T V V T T VT ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）. 由理想气体的物态方程pV nRT =知，在V 不变时，p 是T 的线性函数，即220.Vp T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以 0.V TC V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭ 这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（2）积分，得0202.VV VV Vp C C T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ （3）式（3）表明，只要测得系统在体积为0V 时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.同理，式（2.2.8）给出.p pS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4）以,T p 为状态参量，将上式再求对p 的偏导数，有2222.p p TC S S S T T T p p T T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5）其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）. 由理想气体的物态方程pV nRT =知，在p 不变时V 是T 的线性函数，即220.pV T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以0.p TC p ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（5）积分，得0202.pp pp pV C C T dp T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ 式（6）表明，只要测得系统在压强为0p 时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数，与比体积无关.解：根据习题2.8式（2）22,V T VC p T V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）范氏方程（式（1.3.12））可以表为22.nRT n a p V nb V=-- （2）由于在V 不变时范氏方程的p 是T 的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T 的函数，与比体积无关.不仅如此，根据2.8题式（3）0202(,)(,),VV V V Vp C T V C T V T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ （3）我们知道，V →∞时范氏气体趋于理想气体. 令上式的0V →∞，式中的0(,)V C T V 就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积V 与温度T 不呈线性关系. 根据2.8题式（5）22,V T VC p V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）这意味着范氏气体的定压热容量是,T p 的函数.2.10 证明理想气体的摩尔自由能可以表为,,00,002ln ln V m m V m m m m V m m m mC F C dT U T dT RT V TS TdTT C dT U TS RT V T=⎰+-⎰--=-⎰⎰+--解：式（2.4.13）和（2.4.14）给出了理想气体的摩尔吉布斯函数作为其自然变量,T p 的函数的积分表达式. 本题要求出理想气体的摩尔自由能作为其自然变量,m T V 的函数的积分表达式. 根据自由能的定义（式（1.18.3）），摩尔自由能为,m m m F U TS =- （1）其中m U 和m S 是摩尔内能和摩尔熵. 根据式（1.7.4）和（1.15.2），理想气体的摩尔内能和摩尔熵为,0,m V m m U C dT U =+⎰ （2）,0ln ,V m m m m C S dT R V S T=++⎰（3）所以,,00ln .V m m V m m m m C F C dT T dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）利用分部积分公式,xdy xy ydx =-⎰⎰令,1,,V m x Ty C dT ==⎰可将式（4）右方头两项合并而将式（4）改写为,002ln .m V mm m m dTF T C dT RT V U TS T=--+-⎰⎰ （5）2.11 求范氏气体的特性函数m F ，并导出其他的热力学函数. 解：考虑1mol 的范氏气体. 根据自由能全微分的表达式（2.1.3），摩尔自由能的全微分为,m m m dF S dT pdV =-- （1）故2,m m m m TF RT ap V V b V ⎛⎫∂=-=-+ ⎪∂-⎝⎭ （2）积分得()(),ln ().m m m maF T V RT V b f T V =---+ （3）由于式（2）左方是偏导数，其积分可以含有温度的任意函数()f T . 我们利用V →∞时范氏气体趋于理想气体的极限条件定出函数()f T . 根据习题2.11式（4），理想气体的摩尔自由能为,,00ln .V m m V m m m m C F C dT dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）将式（3）在m V →∞时的极限与式（4）加以比较，知,,00().V m V m m m C f T C dT T dT U TS T=-+-⎰⎰（5）所以范氏气体的摩尔自由能为 ()(),,00,ln .V m m m V m m m m mC aF T V C dT T dT RT V b U TS TV =----+-⎰⎰（6）式（6）的(),m m F T V 是特性函数范氏气体的摩尔熵为(),0ln .V m mm m m C F S dT R V b S T T∂=-=+-+∂⎰ （7）摩尔内能为,0.m m m V m m maU F TS C dT U V =+=-+⎰ （8）2.12 一弹簧在恒温下的恢复力X 与其伸长x 成正比，即X Ax =-，比例系数A 是温度的函数. 今忽略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能F ，熵S 和内能U 的表达式分别为()()()()()()2221,,0,2,,0,21,,0.2F T x F T Ax x dAS T x S T dT dA U T x U T A T x dT =+=-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 解：在准静态过程中，对弹簧施加的外力与弹簧的恢复力大小相等，方向相反. 当弹簧的长度有dx 的改变时，外力所做的功为.dW Xdx =- （1）根据式（1.14.7），弹簧的热力学基本方程为.dU TdS Xdx =- （2）弹簧的自由能定义为,F U TS =-其全微分为.dF SdT Xdx =--将胡克定律X Ax =-代入，有,dF SdT Axdx =-+ （3）因此.TF Ax x ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 在固定温度下将上式积分，得()()0,,0xF T x F T Axdx =+⎰()21,0,2F T Ax =+（4）其中(),0F T 是温度为T ，伸长为零时弹簧的自由能.弹簧的熵为()21,0.2F dAS S T x T dT∂=-=-∂ （5）弹簧的内能为()21,0.2dA U F TS U T A T x dT ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭（6）在力学中通常将弹簧的势能记为21,2U Ax =力学没有考虑A 是温度的函数. 根据热力学，U 力学是在等温过程中外界所做的功，是自由能.2.13 X 射线衍射实验发现，橡皮带未被拉紧时具有无定形结构；当受张力而被拉伸时，具有晶形结构. 这一事实表明，橡皮带具有大的分子链.（a ）试讨论橡皮带在等温过程中被拉伸时，它的熵是增加还是减少；（b ）试证明它的膨胀系数1ST L L α∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭是负的.解：（a ）熵是系统无序程度的量度.橡皮带经等温拉伸过程后由无定形结构转变为晶形结构，说明过程后其无序度减少，即熵减少了，所以有0.TS L ∂⎛⎫< ⎪∂⎝⎭ （1）（b ）由橡皮带自由能的全微分dF SdT JdL =-+可得麦氏关系.T LS J L T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）综合式（1）和式（2），知0.LJ T ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭ （3）由橡皮带的物态方程(),,0F J L T =知偏导数间存在链式关系1,L J TJ T L T L J ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即.J L TL J L T T J ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）在温度不变时橡皮带随张力而伸长说明0.TL J ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭ （5）综合式（3）-（5）知0,JL T ∂⎛⎫< ⎪∂⎝⎭ 所以橡皮带的膨胀系数是负的，即10.JL L T α∂⎛⎫=< ⎪∂⎝⎭ （6）2.14 假设太阳是黑体，根据下列数据求太阳表面的温度；单位时间内投射到地球大气层外单位面积上的太阳辐射能量为3211.3510J m s --⨯⋅⋅（该值称为太阳常量），太阳的半径为86.95510m ⨯，太阳与地球的平均距离为111.49510m ⨯.解：以s R 表示太阳的半径. 顶点在球心的立体角d Ω在太阳表面所张的面积为2s R d Ω. 假设太阳是黑体，根据斯特藩-玻耳兹曼定律（式（2.6.8）），单位时间内在立体角d Ω内辐射的太阳辐射能量为42.s T R d Ωσ （1）单位时间内，在以太阳为中心，太阳与地球的平均距离se R 为半径的球面上接受到的在立体角d Ω内辐射的太阳辐射能量为321.3510.se R d Ω⨯令两式相等，即得132421.3510.ses R T R σ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）将,s R σ和se R 的数值代入，得5760.T K ≈2.15 计算热辐射在等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量.解：根据式（1.14.3），在可逆等温过程中系统吸收的热量为.Q T S =∆ （1）式（2.6.4）给出了热辐射的熵函数表达式34.3S aT V =（2）所以热辐射在可逆等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量为()4214.3Q aT V V =- （3）2.16 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率. 解：根据式（2.6.1）和（2.6.3），平衡辐射的压强可表为41,3p aT = （1）因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程. 式（2.6.5）给出了平衡辐射在可逆绝热过程（等熵过程）中温度T 与体积V 的关系3().T V C =常量（2）将式（1）与式（2）联立，消去温度T ，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p 与体积V 的关系43pV C '=（常量）. （3）下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p V -图，其中等温线和绝热线的方程分别为式（1）和式（3）.下图是相应的T S -图. 计算效率时应用T S -图更为方便.在由状态A 等温（温度为1T ）膨胀至状态B 的过程中，平衡辐射吸收的热量为()1121.Q T S S =- （4）在由状态C 等温（温度为2T ）压缩为状态D 的过程中，平衡辐射放出的热量为()2221.Q T S S =- （5）循环过程的效率为()()2212211211111.T S S Q TQ T S S T η-=-=-=-- （6）2.17 如图所示，电介质的介电常量()DT Eε=与温度有关. 试求电路为闭路时电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差.解：根据式（1.4.5），当介质的电位移有dD 的改变时，外界所做的功是đ,W VEdD = （1）式中E 是电场强度，V 是介质的体积. 本题不考虑介质体积的改变，V 可看作常量. 与简单系统đW pdV =-比较，在变换,p E V VD →-→ （2）下，简单系统的热力学关系同样适用于电介质. 式（2.2.11）给出.p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）在代换（2）下，有,E D D EE D C C VT T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （4）式中E C 是电场强度不变时介质的热容量，D C 是电位移不变时介质的热容量. 电路为闭路时，电容器两极的电位差恒定，因而介质中的电场恒定，所以D C 也就是电路为闭路时介质的热容量. 充电后再令电路断开，电容器两极有恒定的电荷，因而介质中的电位移恒定，所以D C 也就是充电后再令电路断开时介质的热容量.电介质的介电常量()DT Eε=与温度有关，所以,ED dE E T dT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2,DE D d T dT εε∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （5）代入式（4），有2E D D d d C C VT EdT dTεεε⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭223.D d VT dT εε⎛⎫= ⎪⎝⎭（6）2.18 试证明磁介质H C 与M C 之差等于20H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭解：当磁介质的磁化强度有dM 的改变时，外界所做的功是0đ,W V HdM μ= （1）式中H 是电场强度，V 是介质的体积.不考虑介质体积的改变，V 可看作常量. 与简单系统đW pdV =-比较，在变换0p H,V VM μ→-→ （2）下，简单系统的热力学关系同样适用于磁介质. 式（2.2.11）给出.p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）在代换（2）下，有0H M M HH M C C T T T μ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （4）式中H C 是磁场强度不变时介质的热容量，M C 是磁化强度不变时介质的热容量. 考虑到1H M TM T H T H M ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5）（5）式解出HM T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭,代入(4)式,得 20H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭2.19 已知顺磁物质遵从居里定律：().CM H T=居里定律若维物质的温度不变，使磁场由0增至H ，求磁化热.解：式（1.14.3）给出，系统在可逆等温过程中吸收的热量Q 与其在过程中的熵增加值∆S 满足.Q T S =∆ （1）在可逆等温过程中磁介质的熵随磁场的变化率为（式（2.7.7））0.T HS m H T μ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）如果磁介质遵从居里定律(),CVm H C T=是常量（3）易知2Hm CV H T T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭, （4）所以0.T CV H S H T μ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭2（5）在可逆等温过程中磁场由0增至H 时，磁介质的熵变为202.2HTCV H S S dH H T μ∂⎛⎫∆==- ⎪∂⎝⎭⎰（6）吸收的热量为20.2CV H Q T S Tμ=∆=- （7）2.20 已知超导体的磁感强度0()0B H M μ=+=，求证：（a ）M C 与M 无关，只是T 的函数，其中M C 是磁化强度M 保持不变时的热容量.（b ）200.2M M U C dT U μ=-+⎰（c ）0.MC S dT S T=+⎰解：先对超导体的基本电磁学性质作一粗浅的介绍.1911年昂尼斯（Onnes ）发现水银的电阻在4.2K 左右突然降低为零，如图所示. 这种在低温下发生的零电阻现象称为超导电性. 具有超导电性质的材料称为超导体. 电阻突然消失的温度称为超导体的临界温度. 开始人们将超导体单纯地理解为具有无穷电导率的导体. 在导体中电流密度e J 与电场强度E 满足欧姆定律.eJ E σ=（1）如果电导率σ→∞，导体内的电场强度将为零. 根据法拉第定律，有,BV E t∂⨯=-∂ （2）因此对于具有无穷电导率的导体，恒有0.Bt∂=∂ （3）下图（a ）显示具有无穷电导率的导体的特性，如果先将样品降温到临界温度以下，使之转变为具有无穷电导率的导体，然后加上磁场，根据式（3）样品内的B 不发生变化，即仍有0B =但如果先加上磁场，然后再降温到临界温度以下，根据式（3）样品内的B 也不应发生变化，即0.B ≠这样一来，样品的状态就与其经历的历史有关，不是热力学平衡状态了. 但是应用热力学理论对超导体进行分析，其结果与实验是符合的. 这种情况促使人们进行进一步的实验研究.1933年迈斯纳（Meissner ）将一圆柱形样品放置在垂置于其轴线的磁场中，降低到临界温度以下，使样品转变为超导体，发现磁通量完全被排斥于样品之外，即超导体中的B 恒为零：()00.B H M μ=+= （4）这一性质称为完全抗磁性. 上图（b ）画出了具有完全抗磁性的样品在先冷却后加上磁场和先加上磁场后冷却的状态变化，显示具有完全抗磁性的超导体，其状态与历史无关.1953年弗·伦敦（F.London ）和赫·伦敦（H.London ）兄弟二人提出了一个唯象理论，从统一的观点概括了零电阻和迈斯纳效应，相当成功地预言了超导体的一些电磁学性质.他们认为，与一般导体遵从欧姆定律不同，由于零电阻效应，超导体中电场对电荷的作用将使超导电子加速. 根据牛顿定律，有,m qE =v （5）式中m 和q 分别是超导电子的质量和电荷，v 是其加速度. 以s n 表示超导电子的密度，超导电流密度s J 为.=s s n q v J （6）综合式（5）和式（6），有1,s t Λ∂=∂J E （7）其中2.s mΛn q =（8）将式（7）代入法拉第定律（2），有,s Λt t ∂∂⎡⎤∇⨯=-⎢⎥∂∂⎣⎦B J或[]()0.s Λt∂∇⨯+=∂J B （9）式（9）意味着()s Λ∇⨯+J B 不随时间变化，如果在某一时刻，有(),s Λ∇⨯=-J B （10）则在任何时刻式（10）都将成立. 伦敦假设超导体满足式（10）. 下面证明，在恒定电磁场的情形下，根据电磁学的基本规律和式（10）可以得到迈斯纳效应. 在恒定电磁场情形下，超导体内的电场强度显然等于零，否则s J 将无限增长，因此安培定律给出0.s μ∇⨯=B J （11）对上式取旋度，有0(),s Λμμ∇⨯∇⨯∇⨯=-B J B （12）其中最后一步用了式（10）. 由于2()().∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇B B B而0∇⋅=B ，因此式（12）给出20μΛ∇=B B （13）式（13）要求超导体中B 从表面随浓度很快地减少. 为简单起见，我们讨论一维情形. 式（13）的一维解是e≈B （14）式（14）表明超导体中B 随深度x 按指数衰减.如果2310cm s n ≈，可以得到6210cm .-≈⨯这样伦敦理论不仅说明了迈斯纳效应，而且预言磁屏蔽需要一个有限的厚度，磁场的穿透浓度是-610cm 的量级. 实验证实了这一预言. 综上所述，伦敦理论用式（7）和式（10）s ,()s tΛΛ∂=∂∇⨯=-J B J B（15）来概括零电阻和迈斯纳效应，以式（15）作为决定超导体电磁性质的基本方程. 迈斯纳效应的实质是，磁场中的超导体会在表面产生适当的超导电流分布，使超导体内部0.=B 由于零电阻，这超导电流是永久电流，不会衰减. 在外磁场改变时，表面超导电流才会相应地改变.伦敦理论是一个唯象理论. 1957年巴丁、库柏和徐瑞佛（Bardeen ，Cooper ，Schriffer ）发展了超导的微观理论，阐明了低温超导的微观机制，并对超导体的宏观特性给予统计的解释.下面回到本题的求解. 由式（3）知，在超导体内部恒有,M H =- （16）这是超导体独特的磁物态方程. 通常的磁物态方程(,,)0f H M T =对超导体约化为式（16）.根据式（16），有0,0.HMM T H T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （17）（a ）考虑单位体积的超导体. 式（2.7.2）给出准静态过程中的微功为0đ.W HdM μ= （18）与简单系统的微功đW pdV =-比较知在代换0,p H V M μ→→下，简单系统得到的热力学关系同样适用于超导体. 2.9题式（2）给出22.V T VC p T V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 超导体相应的热力学关系为2020.M T MC H T ΜT μ⎛⎫∂∂⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （19）最后一步用了式（17）. 由式（19）可知，M C 与M 无关，只是T 的函数.（b ）相应于简单系统的（2.2.7）式,T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭超导体有000,T MU ΗT H M ΜT μμμ∂∂⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （20）其中第二步用了式（17）.以,T M 为自变量，内能的全微分为0.M TM U U dU dT dMT M C dT MdM μ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=- 积分得超导体内能的积分表达式为200.2M M U C dT U μ=-+⎰ （21）第一项是不存在磁场时超导体的内能，第二项代表外磁场使超导体表面感生超导电流的能量. 第二项是负的，这是式（16）的结果，因此处在外磁场中超导体的内能低于无磁场时的内能. （c ）相应于简单系统的（2.4.5）式0,V V C p S dT dV S T T ⎡⎤∂⎛⎫=++ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰ 超导体有00M MC ΗS dT dM S T T μ∂⎛⎫=-+ ⎪∂⎝⎭⎰0,MC dT S T=+⎰（22）第二步用了式（17）. 这意味着，处在外磁场中超导体表面的感生超导电流对熵（无序度）没有贡献.补充题1 温度维持为25C ，压强在0至1000n p 之间，测得水的实验数据如下：()363114.510 1.410cm mol K .pV p T ----∂⎛⎫=⨯+⨯⋅⋅ ⎪∂⎝⎭ 若在25C 的恒温下将水从1n p 加压至1000n p ，求水的熵增加值和从外界吸收的热量.解：将题给的pV T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭记为.pV a bp T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1）由吉布斯函数的全微分dG SdT Vdp =-+得麦氏关系.p TV S T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）因此水在过程中的熵增加值为()212121p P T p p pp p S S dpP V dp T a bp dp∂⎛⎫∆= ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭=-+⎰⎰⎰()()222121.2b a p p p p ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦（3）将11,1000n n n p p p p ==代入，得110.527J mol K .S --∆=-⋅⋅根据式（1.14.4），在等温过程中水从外界吸收的热量Q 为 ()112980.527J mol 157J mol .Q T S--=∆=⨯-⋅=-⋅补充题2 试证明范氏气体的摩尔定压热容量与摩尔定容热容量之差为(),,23.21p m V m m m R C C a V b V RT-=--解：根据式（2.2.11），有,,.m m p m V m V pV p C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）由范氏方程2m mRT ap V b V =-- 易得,m V m p R T V b∂⎛⎫= ⎪∂-⎝⎭()232.m m Tm p RT aV V V b ⎛⎫∂=-+ ⎪∂-⎝⎭ （2）但1,m m V m Tp V p T T V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以m V m pm Tp T V T p V ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎛⎫∂⎝⎭ ⎪∂⎝⎭()()323,2m m mm RV V b RTV a V b -=-- （3）代入式（1），得(),,23.21p m V m m mR C C a V b RTV -=--（4）补充题3 承前1.6和第一章补充题3，试求将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量和内能的变化.解：式（2.4.4）给出，以,T V 为自变量的简单系统，熵的全微分为.V VC p dS dT dV T T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1）对于本题的情形，作代换,,V L p →→-J （2）即有.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （3）将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量Q 为002.L L LQ TdS T dL T ∂⎛⎫==- ⎪∂⎝⎭⎰⎰J （4）由2020L L J bT L L ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得220002200021,L L L dL J L L b bT T L L L L L dT⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5）代入式（4）可得00002222200022002L L L L L L L L Q bT dL bT a dL L L L L ⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 0051,2bTL a T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ （6）其中0001.dL L dTα=过程中外界所做的功为002220020,L L L L L L W JdL bT dL bTL L L ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰（7）故弹性体内能的改变为2005.2U W Q bT L α∆=+= （8）补充题4 承上题. 试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化率.解：上题式（3）已给出.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （1）在可逆绝热过程中0dS =，故有.S LL T T J L C T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）将习题2.15式（5）求得的L J T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭代入，可得 2200022002.S L L L T bT L L T L C L L L L α⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）补充题5 实验测得顺磁介质的磁化率()T χ. 如果忽略其体积变化，试求特性函数(,)f M T ，并导出内能和熵.解：在磁介质的体积变化可以忽略时，单位体积磁介质的磁化功为（式（2.7.2））0đ.W HdM μ= （1）其自由能的全微分为0.df SdT MdM μ=-+将()χ=T M H 代入，可将上式表为.Mdf SdT dM μχ=-+ （2）在固定温度下将上式对M 积分，得20(,)(,0).2()M f T M f T T μχ=+ （3）(,)f T M 是特性函数. 单位体积磁介质的熵为(),MS f T M T ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦221(,0).2d M S T dTμχχ=+ （4）单位体积的内能为220002.22M d U f TS M T U dTμμχχχ=+=++ （5）。

热力学中的循环过程卡诺循环与热效率的计算

热力学中的循环过程卡诺循环与热效率的计算热力学中的循环过程：卡诺循环与热效率的计算热力学是研究能量转化和传递的学科，而循环过程是其中的一个重要概念。

卡诺循环是热力学中的一种理想循环，它通过在不同温度下的热源和冷源之间进行热传递来实现工作效果。

本文将介绍卡诺循环的基本原理以及计算卡诺循环的热效率。

一、卡诺循环的基本原理卡诺循环是由法国工程师尼古拉·卡诺提出的，它由两个等温过程和两个绝热过程组成。

卡诺循环的工作物质可以是任意理想气体，具体以理想气体为例进行讲解。

1. 等温过程：在卡诺循环的等温过程中，工作物质与热源（温度为Th）或冷源（温度为Tc）之间进行热平衡，温度不发生变化。

在等温过程中，工作物质从热源吸收热量并膨胀，或者向冷源释放热量并压缩。

2. 绝热过程：在卡诺循环的绝热过程中，工作物质与外界之间没有热量交换，只有机械功的转化。

在绝热过程中，工作物质的温度会发生改变，但热平衡被维持。

卡诺循环通过交替进行等温和绝热过程，达到工作物质在热源和冷源之间进行热传递和机械功的转化。

它的一个重要性质是热效率（η），热效率是工作物质从热源吸收的热量与释放的热量之比。

二、计算卡诺循环的热效率卡诺循环的热效率（η）可以通过工作物质在等温和绝热过程中的热量变化来计算。

具体计算方法如下：1. 等温过程中的热量变化：等温过程中的热量变化可以用热容和温度变化来表示。

对于理想气体，等温过程中的热量变化为Q = mRln(Th/Tc)，其中m为工作物质的质量，R为气体常数。

2. 绝热过程中的热量变化：绝热过程中没有热量交换，只有机械功的转化。

对于绝热过程，热量变化为Q = 0。

3. 计算热效率：热效率为η = 1 - Tc/Th，其中Tc为冷源的温度，Th 为热源的温度。

根据以上计算方法，可以得到卡诺循环的热效率。

热效率是一个理论上的极限值，表示利用热量进行工作的最大效果，对于给定的热源和冷源温度，热效率是不可超越的。

卡诺循环与卡诺定理PPT课件

能量最高
自旋体系中的分子具有由于原子核自旋而产生的磁矩，而这些分子在低温下可以定向排列，从而在宏观上产生磁性。分子磁矩的取向倾向于与外磁场方向相同，在低温下，让分子磁矩与外磁场同向，然后翻转外磁场，我们就得到处于负温度的系统。负温度系统的热二必须重新表述。
了解一下：温度的正负号不能从卡诺定理中得到，所以热力学温标也可以取为负的，并且不会引起任何矛盾，只要克劳修斯说法也相应更改就可以了。
了解一下：负温度
即使采用现行的温标，自然界中仍然存在一类物质，它们的温度可以是负的，这类物质称为核自旋系统。
低温，T>0
高温，T>0
负温度，T<0
B
B
B
能量最低
3
)
因为方程左边与2无关 Q1
所以方程右边也与2无关
Q3
F (1, 3 )
f (1 ) f (3 )
3.热力学温标(thermodynamic temperature scale) 令热力学温标与热量成正比，即
令： QR1 f (1 ) T1 QR3 f (3 ) T3
第十届国际计量大会决定水的三相点的热力学温度为273.16K
Q1 Q2 W WR QR1 QR2
h hR
W Q1
WR QR1
QR1 Q1 , QR2 Q2
净效果为从低温热源吸热QR2+Q2，再到高温热源排放，不可能。
2.卡诺定理(Carnot theorem) 所有工作于两个温度一定的热源之间的热机，以可逆热机的热机效率为最大。
卡诺定理推论： ◆工作于两个温度一定的热源之间的所有可逆热
注意：在一个变化过程中，仅当系统时刻处于平衡态时，才
能在状态图上画出一根曲线！