第七章 不等式
第七章 不等式
第七章 不等式、推理与证明第一节不等关系与一元二次不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ； a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方性：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a ＞b ＞0⇒n a ＞ nb (n ∈N ，n ≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法,(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.[熟记常用结论]1．倒数性质的几个必备结论 (1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a .2．两个重要不等式 若a ＞b ＞0，m ＞0，则(1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)． (2)a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0)． [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( ) (2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．( ) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )(4)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R.( )二、选填题1．设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ＞B C ．A ≤BD ．A ＜B2．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b ＞1a B.1a ＞1b C ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 23．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________． 5．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．[题组练透]1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d2．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．4．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．5．已知－1＜x ＜4,2＜y ＜3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．[名师微点]比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论． (2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．考点二一元二次不等式的解法[师生共研过关][典例精析](1)解不等式：－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3；(3)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ≤0)．[解题技法]1．解一元二次不等式的一般步骤2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)对于ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)的形式： 当a ＝0时，转化为一次不等式．当a ＜0时，转化为二次项系数为正的形式． 当a ＞0时，直接求解．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根或一个根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[过关训练]1．不等式0＜x 2－x －2≤4的解集为________． 2．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集．考点三一元二次不等式的恒成立问题[全析考法过关][考法全析]考法(一)在R上的恒成立问题[例1]若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[－2,2]C．(－2,2] D．(－∞，－2)考法(二)在给定区间上的恒成立问题[例2]设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．考法(三)给定参数范围求x的范围的恒成立问题[例3]若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．[解]令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.[规律探求][过关训练]1．若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．2．函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．[课时跟踪检测]一、题点全面练1．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是() A．M＜N B．M＞NC．M＝N D．不确定2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m3．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④4．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定5．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )A ．13B ．18C ．21D ．266．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．7．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．8．对于实数x ，当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜152，又当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)9．若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ＜2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．10．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x ＞0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求实数a 的取值范围．二、专项培优练易错专练——不丢怨枉分 1．不等式x2x －1＞1的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，22．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |3．已知x ＞y ＞z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy ＞yz B ．xz ＞yz C ．xy ＞xz D ．x |y |＞z |y |4．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．5．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1.第二节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题❶画二元一次不等式(组)表示的平面区域时，一般步骤为：直线定界，虚实分明；特殊点定域，优选原点；阴影表示．注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．特殊点一般选一个，当直线不过原点时，优先选原点．❷如果目标函数存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得.1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)把直线ax＋by＝0向上平移时，直线ax＋by＝z在y轴上的截距zb逐渐增大，且b＞0时z的值逐渐增大，b＜0时z的值逐渐减小．(2)把直线ax＋by＝0向下平移时，直线ax＋by＝z在y轴上的截距zb逐渐减小，且b＞0时z的值逐渐减小，b＜0时z的值逐渐增大．以上规律可简记为：当b＞0时，直线向上平移z变大，向下平移z变小；当b＜0时，直线向上平移z 变小，向下平移z 变大．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )二、选填题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＜0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是()2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23 C.43 D.343．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．454．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5＞0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________．5．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为________．考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域[师生共研过关][典例精析](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞[过关训练]1．(2019·漳州调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0所表示的平面区域被直线l ：mx －y ＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－22．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．考点二 目标函数的最值问题[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求线性目标函数的最值[例1] (2018·郑州第一次质量预测)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为________．考法(二) 求非线性目标函数的最值 [例2] 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.则yx的取值范围为________．[变式发散]1．(变设问)本例条件不变，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为________．2．(变设问)本例条件不变，则目标函数z ＝y －1x －1的取值范围为________．考法(三) 求参数值或取值范围[例3] (2019·黄冈模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝x ＋3y 的最小值为2，则常数k ＝________.[规律探求]1．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．2．(2019·陕西教学质量检测)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．考点三 线性规划的实际应用[师生共研过关][典例精析](2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．[过关训练]1．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需要A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．16万元 C ．18万元 D ．19万元2．某高新技术公司要生产一批新研发的A 款产品和B 款产品，生产一台A 款产品需要甲材料3 kg ，乙材料1 kg ，并且需要花费1天时间，生产一台B 款产品需要甲材料1 kg ，乙材料3 kg ，也需要1天时间，已知生产一台A 款产品的利润是1 000元，生产一台B 款产品的利润是2 000元，公司目前有甲、乙材料各300 kg ，则在不超过120天的情况下，公司生产两款产品的最大利润是________元．[课时跟踪检测]一、题点全面练1．由直线x －y ＋1＝0，x ＋y －5＝0和x －1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0，x ≥1 B.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －5≤0，x ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －5≥0，x ≤1D.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0，x ≤12．(2018·南昌调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．43．(2019·黄冈模拟)若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A ．913B ．313 C.72 D.744．(2019·淄博模拟)已知点Q (2,0)，点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，则|PQ |的最小值是( )A.12 B.22C ．1 D. 25．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12 B.13 C ．1 D ．26．(2019·开封模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值是________．7．已知x ，y 满足以下约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≤0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为________．8．(2019·山西五校联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0表示的平面区域为Ω，直线x ＝a (a ＞1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为________．9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．10．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 解析2．(2019·金华模拟)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析3．若存在实数x ，y ，m 使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与向量交汇]已知P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0所确定的平面区域上的动点，若点M (2,1)，O (0,0)，则z ＝OP ―→·OM ―→的最大值为( )A ．1B ．2C ．10D ．115．[与概率交汇]关于实数x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的平面区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为( )A.π16 B.π8 C.14 D.126．[与圆交汇]记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≥10，x ≤3，y ≤4表示的平面区域为D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则当∠APB 的值最大时，cos ∠APB ＝( )A.32B.23C.13D.12第三节基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 注：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(3)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( )(4)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( )二、选填题1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．822．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b3．函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2,2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．R4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．5．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关] (一) 拼凑法——利用基本不等式求最值[例1] (1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值为________．(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值[例2] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．[变式发散]1．(变条件)将条件“a ＋b ＝1”改为“a ＋2b ＝3”，则1a ＋1b 的最小值为________．2．(变设问)保持本例条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．[解题技法]通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． (三) 消元法——利用基本不等式求最值[例3] 已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．(四) 利用两次基本不等式求最值[例4] 已知a ＞b ＞0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________．[过关训练]1．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为________．2．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是________．考点二 利用基本不等式解决实际问题[师生共研过关][典例精析]某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？[解题技法]利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[过关训练]1．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.2．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？考点三 基本不等式的综合应用[师生共研过关][典例精析](1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ＞0，c ＞0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．[过关训练]1．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12 B.32 C ．1 D ．2解析：2．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(4－n,2)，m ＞0，n ＞0，若a ∥b ，则1m ＋8n 的最小值为________．[课时跟踪检测]一、题点全面练1．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12 B.43 C ．－1 D ．02．(2018·哈尔滨二模)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．44．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．245．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)6．(2019·青岛模拟)已知x ＞0，y ＞0，(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________．7．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为________．8．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．10．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3 B. 3 C ．2 D. 22．若正数a ，b 满足：1a ＋2b ＝1，则2a －1＋1b －2的最小值为( )A ．2 B.322 C.52 D ．1＋324解3．函数y ＝1－2x －3x (x ＜0)的值域为________．(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与函数交汇]已知函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若直线xm ＋yn＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，则3m ＋n 的最小值为( ) A ．16 B ．8 C ．12 D ．145．[与数列交汇]已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N *，满足a m a 2n ＝a 24，则2m ＋1n的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.926．[与解析几何交汇]若直线mx ＋ny ＋2＝0(m ＞0，n ＞0)被圆(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1所截得的弦长为2，则1m ＋3n的最小值为( )A ．4B ．6C ．12D ．167．[与线性规划交汇]已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y ≤1，z ＝2x ＋y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，则1a ＋4b的最小值为__________．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其
a＋b
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 2
，几何平均数为 ab ，基
本不等式可叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 .
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最 小 值
2 p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最 大 值 p2 4 .(简记：和定积最大)
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知 x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(12)y，若1x＋my (m>0)的最小值为 3，则 m＝ ________.
解析答案
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
解析答案
题型二 基本不等式与学科知识的综合 命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题
12345
解析答案
x2＋y2 2.若实数 x，y 满足 x>y>0，且 log2x＋log2y＝1，则 x－y 的最小值为 ___4_____.
解析 由log2x＋log2y＝1得xy＝2，又x>y>0，
x2＋y2 x－y2＋2xy 所以 x－y>0， x－y ＝ x－y
＝x－y＋x－4 y≥2 x－y·x－4 y＝4， x2＋y2
当且仅当 x－y＝2，即 x＝1＋ 3，y＝ 3－1 时取等号，所以 x－y 的
最小值为 4.
12345
解析答案
3.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝___3_____.
2024年高考数学总复习第七章不等式真题分类26不等关系与不等式
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真题分类26 不等关系与不等式
高考·数学
答案：B 解法一： ∵a＞b＞0，ab＝1，∴log2(a＋b)＞log2(2 ab )＝1.
1 ∵2ba ＝2aa ＝a－1·2－a，令 f(a)＝a－1·2－a， 又∵b＝1a ，a＞b＞0，∴a＞1a ，解得 a＞1. ∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2＝－a－2·2－a·(1＋aln 2)＜0， ∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减，∴f(a)＜f(1)，即2ba ＜12 . ∵a＋1b ＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)，∴2ba <log2(a＋b)<a＋1b . 故选 B.
Ⅰ.利用不等式的性质判断不等关系
1．(2019·课标全国Ⅱ(理)，6，5 分)若 a>b，则( )
A．ln (a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0
D．|a|>|b|
答案：C 由 a>b，得 a－b>0，但 a－b>1 不一定成立，则 ln (a－b)>0 不一定成立， 故 A 不一定成立．
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真题分类26 不等关系与不等式
解法二： ∵a＞b＞0，ab＝1， ∴取 a＝2，b＝12 ， 此时 a＋1b ＝4，2ba ＝18 ，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3， ∴2ba ＜log2(a＋b)＜a＋1b .故选 B.
高三理科数学一轮总复习第七章 不等式
第七章不等式高考导航知识网络7.1 不等式的性质典例精析题型一 比较大小【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q .【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差； ②变形；③判断符号；④得出结论.【变式训练1】已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( )A.m ＜nB.m ＞nC.m ≥nD.m ≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，而n ＝x －2≤(12)－2＝4.题型二 确定取值范围【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围.【解析】因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，两式相加得－π2＜α＋β2＜π2.又－π4≤－β2＜π4，所以－π2≤α－β2＜π2，又因为α＜β，所以α－β2＜0，所以－π2≤α－β2＜0，综上－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2＜0为所求范围.【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，所以⎩⎨⎧-=--=+1,94μγμγ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=38,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋83(4a －c )∈[－1,20].题型三 开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞db ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ⇔bc －adab ＞0.(1)由ab ＞0，bc ＞ad ⇒bc －adab＞0，即①③⇒②；(2)由ab ＞0，bc －adab ＞0⇒bc －ad ＞0⇒bc ＞ad ，即①②⇒③；(3)由bc －ad ＞0，bc －adab ＞0⇒ab ＞0，即②③⇒①.故可组成3个正确命题.【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.【变式训练3】a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式a b ＞cd ＞0和ad ＜bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是_______________(只要写出符合条件的一组即可).【解析】写出一个等比式子，如21＝42＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小42的分子，把上式变成不等式21＞32＞0，此时不符合ad ＜bc 的条件，进行变换可得21＞－3－2＞0，此时2×(－2)＜1×(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一组值.总结提高1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab ＞0，a ＞b ⇒1a ＜1b 这一性质时，不可弱化为a ＞b ⇒1a ＜1b ，也不可强化为a ＞b ＞0⇒1a ＜1b.2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.7.2 简单不等式的解法典例精析题型一 一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式： (1)x 2－2x －3＞0；(2)已知A ＝{x |3x 2－7x ＋2＜0}，B ＝{x |－2x 2＋x ＋1≤0}，求A ∪B ，(∁R A )∩B . 【解析】(1)方程两根为x 1＝－1，x 2＝3， 所以原不等式解集为{x |x ＜－1或x ＞3}.(2)因为A ＝{x |13＜x ＜2}，∁R A ＝{x |x ≤13或x ≥2}，B ＝{x |x ≤－12或x ≥1}，所以A ∪B ＝{x |x ≤－12或x ＞13}，(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－12或x ≥2}.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),0()0(22x c bx x x 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B.[－3，－1]C.[－3，－1]∪(0，＋∞)D.[－3，＋∞)【解析】选C.由已知对x ≤0时f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－4)＝f (0)，知其对称轴为x ＝－2，故－b2＝－2⇒b ＝4.又f (－2)＝0，代入得c ＝4，故f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),0(44)0(22x x x x分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞). 题型二 解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ).【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况：(1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2m .所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2m}；(2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 其对应方程两根为x 1＝－1，x 2＝2m ，x 2－x 1＝2m －(－1)＝m ＋2m .①m ＜－2时，m ＋2＜0，m ＜0，所以x 2－x 1＞0，x 2＞x 1， 不等式的解集为{x |－1＜x ＜2m }；②m ＝－2时，x 2＝x 1＝－1，原不等式可化为(x ＋1)2＜0，解集为∅； ③－2＜m ＜0时，x 2－x 1＜0，即x 2＜x 1， 不等式解集为{x |2m ＜x ＜－1}.综上所述：当m ＜－2时，解集为{x |－1＜x ＜2m }；当m ＝－2时，解集为∅；当－2＜m ＜0时，解集为{x |2m ＜x ＜－1}；当m ＝0时，解集为{x |x ＜－1}； 当m ＞0时，解集为{x |x ＜－1或x ＞2m}.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0.【解析】原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0. 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＞1a 或x ＜－1}；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为{x |1a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当a ＜－1时，不等式的解集为{x |－1＜x ＜1a }.题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集. 【解析】由于ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，因此a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1、3，则－b a ＝1＋3，c a ＝1×3，即b a ＝－4，ca ＝3.又a ＜0，不等式cx 2＋bx ＋a ＜0可以化为c a x 2＋ba x ＋1＞0，即3x 2－4x ＋1＞0，解得x ＜13或x ＞1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2009江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝ . 【解析】 2.作出函数y ＝9－x 2和y ＝k (x ＋2)－2的图象，函数y ＝9－x 2的图象是一个半圆，函数y ＝k (x ＋2)－2的图象是过定点(－2，－2)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a ＝1，即 1是方程9－x 2＝k (x ＋2)－2的根，代入得k ＝2.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一 平面区域【例1】已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(,0,0b a f b a 所围成的面积是( )A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f ′(x )的图象可知，f (x )在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.因为f (－2)＝f (4)＝1，所以当且仅当x ∈(－2,4)时，有f (x )＜f (－2)＝f (4)＝1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是() A.12B.π4C.1D.π2【解析】选C.当a ＝b ＝1时，满足x ＋y ≤1，且可知0≤a ≤1，0≤b ≤1，所以点P (a ，b )所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二 利用线性规划求最值(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， 故z 的最小值是(|0－5＋2|2)2＝92.(3)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－12)连线斜率的2倍.因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z的取值范围为[34，72].【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练2】已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，求a ＋b 的最小值.【解析】因为f ′(x )＝x 2＋2ax －b ，f (x )在区间[－1,3]上是减函数.所以f ′(x )≤0在[－1,3]上恒成立.则作出点(a ，b )表示的平面区域.令z ＝a ＋b ，求出直线－2a －b ＋1＝0与6a －b ＋9＝0的交点A 的坐标为(－1,3). 当直线z ＝a ＋b 过点A (－1,3)时，z ＝a ＋b 取最小值2. 题型三 线性规划的实际应用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m 3，第二种有56 m 3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m 3，第二种木料0.08m 3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m 3，第二种木料0.28 m 3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x ，衣柜生产的个数为y ，所获利润为z ，则z ＝6x ＋10y ，当直线l ：6x ＋10y ＝0平移到经过点M (350,100)时，z ＝6x ＋10y 最大. z max ＝6×350＋10×100＝3 100，所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x ≥0，y ≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费 元.【解析】500.设需35千克的x 袋，24千克的y 袋，则目标函数z ＝140x ＋120y ，约束条件为⎩⎨⎧∈≥+N y x y x ,106,2435当x ＝1时，y ≥7124，即y ＝3，这时z min ＝140＋120×3＝500. 总结提高1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.7.4 基本不等式及应用典例精析题型一 利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A.x ＋y ≥2(2＋1) B.x ＋y ≤2(2＋1) C.x ＋y ≤2(2＋1)2D.x ＋y ≥(2＋1)2(2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，a ＋b2，a 2＋b 22，2aba ＋b的大小顺序是 . 【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(x ＋y 2)2，所以(x ＋y 2)2≥1＋(x ＋y ).解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2). 因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1).(2)由a ＋b 2≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥2ab ab ，所以ab ≥2aba ＋b .又a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 24≤2(a 2＋b 2)4，所以a 2＋b 22≥a ＋b2， 所以a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b. 【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λa －c 恒成立，则λ的取值范围是 .【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0. 而(a －c )(1a －b ＋1b －c )＝[(a －b )＋(b －c )](1a －b ＋1b －c)≥4，所以λ＜4.题型二 利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为 ；(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数f ′(x )，f ′(0)＞0，对任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( )A.3B.52C.2D.32【解析】(1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0.所以y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.所以x ＝1时，y max ＝1.(2)选C.因为f (x )≥0，所以⎩⎨⎧≤-=>.0402ac b Δa 所以c ≥b 24a .又f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＞0，f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋4a 2＋b 24ab ≥1＋24a 2b 24ab ＝2， 当且仅当c ＝b 24a且4a 2＝b 2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求(a ＋b )2cd 的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ， cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝2＋x y ＋yx ，当y x ＞0时，(a ＋b )2cd ≥4；当yx ＜0时，(a ＋b )2cd ≤0， 故(a ＋b )2cd 的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).题型三 应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)； (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1).设平均每天所支付的总费用为y 1，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝900x ＋9x ＋10 809≥2x x9900 ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，取等号. 即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35). 因为y 2′＝9－900x 2，当x ≥35时，y 2′＞0. 所以y 2＝900x＋9x ＋9 729在[35，＋∞)上是增函数. 所以x ＝35时，y 2取最小值70 4887. 由70 4887＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件. 【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值.【解析】因为a ＞0，b ＞0,2a ＋b ＝1，所以4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab ，且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18. 所以S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )＝2ab ＋4ab －1≤2－12， 当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立. 总结提高1.基本不等式的几种常见变形公式：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； 2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0). 注意不等式成立的条件及等号成立的条件.2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.7.5 不等式的综合应用典例精析题型一 含参数的不等式问题【例1】若不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)25(2,0222k x k x x x 的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围. 【解析】由x 2－x －2＞0有x ＜－1或x ＞2，由2x 2＋(5＋2k )x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k )＜0.因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)(x ＋k )＜0有－52＜x ＜－k . 因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k ≤3，即－3≤k ＜2，故k 的取值范围是[－3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(－1)na ＜2＋(－1)n ＋1n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】当n 为奇数时，－a ＜2＋1n ，即a ＞－(2＋1n). 而－(2＋1n)＜－2，则a ≥－2； 当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32. 综上可得－2≤a ＜32. 【点拨】不等式中出现了(－1)n 的时候，常常分n 为奇数和偶数进行分类讨论.题型二 不等式在函数中的应用【例2】已知函数f (x )＝2x －a x 2＋2在区间[－1,1]上是增函数. (1)求实数a 的值组成的集合A ；(2)设x 1，x 2是关于x 的方程f (x )＝1x的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]，不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)f ′(x )＝4＋2ax －2x 2(x 2＋2)2， 因为f (x )在[－1,1]上是增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≥0恒成立，令φ(x )＝x 2－ax －2，即x 2－ax －2≤0恒成立.所以A ＝{a |－1≤a ≤1}.(2)由f (x )＝1x得x 2－ax －2＝0. 设x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2.从而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8，因为a ∈[－1,1]，所以a 2＋8≤3，即|x 1－x 2|max ＝3.不等式对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]不等式恒成立，即m 2＋tm －2≥0恒成立.设g (t )＝m 2＋tm －2＝mt ＋m 2－2，则解得m ≥2或m ≤－2.故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a 2＋1＋b b 2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是 . 【解析】[1，＋∞).因为ab ＝1，所以a a 2＋1＋b b 2＋1＝2a ＋b ≤22ab＝1，所以λ≥1. 题型三 不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m 2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则t ＝5×10050x －100＝10x －2， y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝125xt ＋100x ＋60(500＋100t )＝125x ×10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝100(x －2)＋62 500x －2＋31 450 ≥2100(x －2)·62 500x －2＋31 450＝36 450，当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ，中间的矩形区域面积为S ，则半圆的周长为πy 2， 因为操场周长为400，所以2x ＋2×πy 2＝400， 即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400π)， 所以S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·⎝⎛⎭⎫2x ＋πy 22＝20 000π， 由⎩⎨⎧=+=,400π2,π2y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 所以当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 时等号成立， 即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大. 总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.。
高三复习数学：第七章不等式
学必求其心得，业必贵于专精§7。
1 不等关系与不等式的性质1．两个实数比较大小的方法（1）作差法错误!（a，b∈R）；(2）作商法错误!(a∈R，b〉0）．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a〉b⇔b<a⇔传递性a>b，b〉c⇒a〉c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性错误!⇒ac〉bc注意c的符号错误!⇒ac〈bc学必求其心得，业必贵于专精3(1）倒数的性质①a〉b，ab〉0⇒错误!<错误!.②a〈0〈b⇒错误!<错误!。
③a>b〉0,0<c<d⇒ac〉错误!。
④0〈a〈x<b或a<x〈b<0⇒错误!〈错误!<错误!。
(2）有关分数的性质若a〉b>0，m〉0，则①错误!〈错误!；错误!>错误!(b－m〉0）．②错误!〉错误!；错误!<错误!（b－m〉0）．【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）a>b⇔ac2〉bc2。
( )（2)1a>错误!⇔a<b（ab≠0）．( )(3)a〉b，c>d⇒ac〉bd。
( ）（4)若错误!〈错误!<0，则|a｜>|b｜.（)(5)若a3〉b3且ab<0,则错误!>错误!.（)答案：（1）×（2)×(3）×（4)×（5）√1．（教材改编)下列四个结论，正确的是( ）①a〉b，c〈d⇒a－c>b－d;②a>b>0,c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒错误!〉错误!；④a>b〉0⇒错误!〉错误!.A．①②B．②③C．①④D．①③答案：D2．若a<0，－1〈b<0，那么下列不等式中正确的是( )A．a<ab2<ab B．ab2〈a〈abC．a〈ab〈ab2D．ab2<ab〈a解析：选A.因为－1<b<0，所以b<0<b2<1，于是a<ab2<ab.3．若a>1>b,下列不等式中不一定成立的是（)A．a－b>1－b B．a－1〉b－1C．a－1〉1－b D．1－a〉b－a解析:选C.由a>1知a－b>1－b，故A正确;由a〉b知a－1>b－1，故B正确；由1>b知1－a〉b－a，故D正确，C项错误，如当a＝3，b＝－3时,不成立．4．x＋y<2m的一个充分不必要条件是( )A．x<m或y<m B．x<m且y〈mC．x<m且y〉m D．x〈m或y>m解析:选B。
第七章 7.2不等关系与不等式
§7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集与其对应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象有什么关系？ 提示 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是其对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？ 提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × )(3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2或x >3} D ．{x |x ≤－2或x ≥3} 答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}． 故选B.3．y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,2]解析 当a －2≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，得－2<a <2；当a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.即实数a 的取值范围是(－2,2].一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (2019·新乡模拟)已知集合A ＝{x |x 2－4x <5}，则下列选项中正确的是( ) A ．－1.2∈A B ．30.9∉AC ．log 230∈AD ．A ∩N ＝{1,2,3,4}答案 C解析 因为A ＝{x |－1<x <5}，－1.2∉A ，所以选项A 错误；1<30.9<3,30.9∈A ，所以选项B 错误；0<log 230<log 232＝5，log 230∈A ，所以选项C 正确；A ∩N ＝{0,1,2,3,4}，所以选项D 错误．故选C.命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(2019·北京市海淀区期末)不等式x 2＋2x －3<0的解集为( ) A ．{x |x <－3或x >1} B ．{x |x <－1或x >3} C ．{x |－1<x <3} D ．{x |－3<x <1}答案 D解析 由x 2＋2x －3<0得(x ＋3)(x －1)<0，解得－3<x <1.故选D.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.(3)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞. 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67.若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m无解”，如何求m 的取值范围？解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1,3]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max ＝6，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围？ 解 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)． 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)若当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)由题意可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，∴－7≤a <－4.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，Δ>0)有不相等的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)． 表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)表二：(两根与k的大小比较)大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <k ，f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，f (k )>0f (k )<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <k ，f (k )<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >k ，f (k )<0 f (k )>0综合结论(不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，a ·f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，a ·f (k )>0a ·f (k )<0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m ，n )内 两根有且仅有一根在(m ，n )内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m ，n )内，另一根在(p ，q )内，m <n <p <q根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (n )<0；(2)a <0时，⎩⎨⎧f (m )>0，f (n )>0.对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m ，n )内有以下特殊情况：(ⅰ)若f (m )＝0或f (n )＝0，则此时f (m )·f (n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ，n )内，从而可以求出参数的值．如方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx 2－(m ＋2)x ＋2＝(x －1)(mx －2)，另一根为2m ，由1<2m <3得23<m <2即为所求；(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m ，n )内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m 的取值范围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m ＋15)(m ＋3)<0得出－3<m <－1514；②由Δ＝0即16m 2－4(2m ＋6)＝0得出m ＝－1或m ＝32，当m ＝－1时，根x ＝－2∈(－3,0)，即m ＝－1满足题意；当m ＝32时，根x ＝3∉(－3,0)，故m ＝32不满足题意．综上分析，得出－3<m <－1514或m ＝－1.例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)， 由(2m ＋1)·f (0)<0 ，即(2m ＋1)(m －1)<0， 解得－12<m <1，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，1. 例2 已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－－(m ＋1)2×2>0，f (0)>0⇒⎩⎨⎧(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0⇒ ⎩⎨⎧m <3－22或m >3＋22，m >0⇒0<m <3－22或m >3＋22，即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．例3 已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围． 解 由(m ＋2)·f (1)<0 ，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0⇒－2<m <－12，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12.1．(2019·武汉调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,2) B ．(－1,0) C ．(－3,2) D ．(－1,3)答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．(2019·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，32 答案 A解析 由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a ＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选A.3．(2020·永州模拟)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >1答案 A解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立， ∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0，∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A.4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3] 答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3. 5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故选A.6．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－2,4) C ．[－1,3] D ．[－2,4]答案 C解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1， 所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C.7．(2020·北京市石景山区模拟)已知集合A ＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______________． 答案 (x ＋4)(x －6)>0(答案不唯一)解析 因为不等式(x ＋4)(x －6)>0解集为{x |x >6或x <－4}，解集中只有－5在集合A 中．8．(2019·北京市顺义区模拟)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是________． 答案 (－2，－1)(答案不唯一)解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0， 则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是(－2，－1)．9．(2019·江西省宜丰中学月考)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，32 解析 由题意，可知不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立， 又由(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0， 解得－12<a <32.10.(2019·北京市丰台区模拟)已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时， f (x )＝－(x －1)2＋1. ①当x ∈[－1,0]时， f (x )的取值范围是________；②当函数f (x )的图象在直线y ＝x 的下方时， x 的取值范围是________． 答案 [－1,0] (－1,0)∪(1，＋∞)解析 因为f (x )为奇函数，故可以求函数在[0,1]上的值域，当x >0时， f (x )＝－(x －1)2＋1在[0,1]上的值域为[0,1]，故在x ∈[－1,0]上的值域为x ∈[－1,0]；如图所示，当函数f (x )的图象在直线y ＝x 的下方时，得x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．11．(2019·衡水第十三中学质检)已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ， 解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时， 不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0， 又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y max ＝457 500.故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．13．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A.12B.13C.14D.22答案 C解析 由题意知a <0，a <b ，则①当b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2，所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14； ②当b >0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；③当b ＝0时，由题意知x ∈(a ,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立，所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以0<b －a ≤14. 综上所述，b －a 的最大值为14. 14．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,5]解析 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立，符合题意；当a ＝1时，f (－1)＝0，不符合题意；当a ＝4时，f (2)＝0 符合题意；当Δ>0 时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5. 综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．15．(2020·上海市金山区模拟)若集合A ＝{x ∈Z |x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0}中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，23解析 f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0，即x 2－2x ＋1<a (x ＋1)－1，分别令y 1＝x 2－2x ＋1，y 2＝a (x ＋1)－1，易知y 2过定点(－1，－1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合A ＝{x ∈Z |f (x )<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤1，2a －1>0，3a －1≤1，解得12<a ≤23. 16．(2019·南京六校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1.若对任意的a ∈(0,3)，存在x 0∈[0,4]，使得t ≤|f (x 0)|成立，求实数t 的取值范围．解 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1的对称轴为x ＝a ，且a ∈(0,3)，∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0，a ]上是减函数，在[a ,4]上是增函数；∴函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1在[0,4]上的最小值为f (a)＝－(a－1)2∈(－4,0]，|f (a)|＝(a－1)2，①当2≤a<3时，函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝0时取得最大值，且最大值为2a －1，由于此时2≤a<3，则3≤2a－1<5，易知当2≤a<3时，(a－1)2<2a－1，所以|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (0)|}＝|f (0)|＝2a－1∈[3,5)．∴t≤3.②当0<a<2时，函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝4时取得最大值，且最大值为42－8a＋2a－1＝15－6a，由于此时0<a<2，所以3<15－6a<15，且15－6a>(a－1)2，|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (4)|}＝|f (4)|＝15－6a∈(3,15)，∴t≤3.综上，t的取值范围是(－∞，3]．。
高中数学第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式
第一节 不等式的性质及一元二次不等式[考纲要求]1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．4．会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式模型．5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．突破点一 不等式的性质[基本知识]1．比较两个实数大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0).2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则：①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1) 若1a <1b <0，则1a+b <1ab . ( )(2)若a c >bc ，则a >b .( )(3)若a >b ，c >d ，则ac >bd .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1．若a <b <0，则1a －b 与1a大小关系是__________． 答案：1a －b <1a2．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 答案：(－∞，－1)[典例感悟]1．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：选A 因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以M >N ，故选A.2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a >b ⇒ac >bc ；②a >b ⇒1a <1b ；③a >b >0，c >d >0⇒a d >bc ；④a >b >1，c <0⇒a c <b c .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 当c ＝0时，①不正确． 当a >0>b 时，②不正确． 由于c >d >0，所以1d >1c >0，又a >b >0，所以a d >bc >0，③正确．由于a >b >1，当x <0时，a x <b x ， 故a c <b c ，④正确．故选B. 3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜4．已知－12≤2x ＋y ≤12，－12≤3x ＋y ≤12，则9x ＋y 的取值范围是________．解析：设9x ＋y ＝a (2x ＋y )＋b (3x ＋y )，则9x ＋y ＝(2a ＋3b )x ＋(a ＋b )y ，于是比较两边系数得⎩⎨⎧2a ＋3b ＝9，a ＋b ＝1，得a ＝－6，b ＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x ＋y )≤3，－72≤7(3x ＋y )≤72，所以－132≤9x ＋y ≤132.答案：[]－132，132[方法技巧]1．比较两个数(式)大小的两种方法2．不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．突破点二 一元二次不等式[基本知识]1．三个“二次”之间的关系有两个相等实根x ＝x ＝－(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为空集．( ) (3)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，则其判别式Δ≤0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1．不等式1x －1≥－1的解集是________________． 解析：原不等式可化为xx －1≥0，即x (x －1)≥0，且x －1≠0，解得x >1或x ≤0. 答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )()x －1a <0的解集是________________．答案：(－∞，a )∪()1a ，＋∞3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是()－12，13，则a ＋b 的值是________． 答案：－144．若不等式ax 2－ax ＋1<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为________． 答案：[0,4][全析考法]考法一 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步骤[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x ＋3－x 2>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |x >3或x <－1} C ．{x |－3<x <1}D ．{x |x >1或x <－3}(2)(2019·深圳月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(－2,1)D ．(－1,2)[解析] (1)原不等式变形为x 2－2x －3<0， 即(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3.故选A.(2)∵f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，∴函数f (x )是奇函数，且在R 上单调递增， ∴f (2－a 2)>f (a )等价于2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0， 解得－2<a <1，∴实数a 的取值范围是(－2,1)，故选C. [答案] (1)A (2)C[例2] (2019·六安阶段性考试)已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2. [解] ∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为{ x |x <－a 4，或x >a3}； ②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为{ x |x <a 3，或x >－a4}. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为{ x |x <－a 4，或x >a3}； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为{}x |x <a 3，或x >－a4. [方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 考法二 由一元二次不等式恒成立求参数范围考向一 在实数集R 上恒成立[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2]D ．(－2,2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0时，则有⎩⎨⎧a －2<0，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2，∴－2<a ≤2，故选C. [答案] C考向二 在某区间上恒成立[例4] (2019·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0D ．m ≥－4[解析] 令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时f (x )取得最小值，为－3，∴m ≤－3，故选A.[答案] A [方法技巧]解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．[集训冲关]1.[考法一]如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．64解析：选B 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎨⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81.故选B. 2.[考法二·考向一]已知关于x 的不等式x 2－(k －1)x －k ＋1≥0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B ．(－∞，1]∪[3，＋∞) C ．[－1,3]D ．[－3,1]解析：选D 关于x 的不等式x 2－(k －1)x －k ＋1≥0对任意实数x 都成立，则Δ＝(k －1)2＋4(k －1)≤0，解得－3≤k ≤1，故选D.3.[考法二·考向二]若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎨⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎨⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.答案：()－22，0 [课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．下列结论正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，c <0，则a ＋c <b ＋cD ．若a <b ，则a <b解析：选D 选项A 中，当c ＝0时不满足ac 2>bc 2，所以A 错；选项B 中，当a ＝－2，b ＝－1时，满足a 2>b 2，不满足a >b ，所以B 错；选项C 中，a ＋c >b ＋c ，所以C 错；选项D 中，因为0≤a <b ，所以a <b ，所以D 正确．故选D.2．(2019·郑州模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件，故选A.3．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：选A 依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A. 4．(2019·江淮十校联考)|x |·(1－2x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪()0，12 B ．()－∞，12C.()12，＋∞D ．()0，12解析：选A 原不等式等价于⎩⎨⎧1－2x >0，x ≠0，解不等式组可得实数x 的取值范围是(－∞，0)∪()0，12.5．(2019·遂宁诊断)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD ．2a ＋b a ＋2b >ab解析：选A 不妨取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )不一定成立，因此a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，故选A. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·郑州模拟)已知p ：1a >14，q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1a >14得0<a <4.∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，必有⎩⎨⎧ a ＝0，1>0或⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.2．(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[]－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.()13，12D ．()－∞，13∪()12，＋∞解析：选A ∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[]－12，－13，∴a <0，方程ax 2－bx －1＝0的两个根为－12，－13，∴－－b a ＝－12－13，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5，又x 2－bx －a <0，∴x 2－5x ＋6<0，∴(x －2)(x －3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．3．(2019·深圳中学模拟)已知a >b >0，c <0，下列不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c >b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D ．a a －c >bb －c解析：选D 因为c <0，a >b ，所以ac <bc ，故A 错；当c <0时，幂函数y ＝x c 在(0， ＋∞)上是减函数，所以a c <b c ，故B 错；若a ＝4，b ＝2，c ＝－4，则log a (a －c )＝log 48<2< log b (b －c )＝log 26，故C 错；a a －c －bb －c＝ab －ac －ab ＋bc (a －c )(b －c )＝(b －a )c (a －c )(b －c )>0，所以a a －c >bb －c成立，故D 正确．选D.4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5．(2019·包头模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎨⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2.则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，由二次函数的图象可知选C.6．(2019·绵阳诊断)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动．一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( ) A ．300元 B ．400元 C ．500元D ．600元解析：选B 设购买的商品的标价为x 元，则(x －200)×20%>x ·10%，且(x －200)×20%>30，解得x >400，选B. 7．(2019·南昌重点校联考)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2,1)C ．(－2,0)D ．(－2，2)解析：选A 记f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，依题意有⎩⎨⎧f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎨⎧1－(m －1)＋m 2－2<0，1＋(m －1)＋m 2－2<0，解得0<m <1.选A.8．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.9．(2019·西北工业大学附属中学模拟)已知a >b >1，c <0，在不等式①c a >cb ；②ln(a ＋c )>ln(b ＋c )；③(a －c )c <(b －c )c ；④b e a >a e b 中，所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④解析：选B ∵a >b >1，∴0<1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，∴①正确；∵a >b >1，c <0，∴不妨取a ＝3，b ＝2，c ＝－4，此时ln(a ＋c )>ln(b ＋c )不成立，∴②错误；易知函数y ＝x α(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，∵a －c >b －c >0，c <0，∴(a －c )c <(b －c )c，∴③正确；令y ＝e x x (x ≠0)，则y ′＝(x －1)e x x 2，令y ′＝0，得x ＝1，令y ′>0，得x >1，故函数y ＝e xx在(1，＋∞)上单调递增，∵a >b >1，∴e a a >e bb，即b e a >a e b ，∴④正确，故选B.10．(2019·启东中学调研)已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a <4，∴ca的取值范围为(0,2)．答案：(0,2)11．(2019·青岛模拟)设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有____________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，由条件可得a >1，b >0，则a ＋b >1，又a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，所以a －b <1，故①正确．对于②，令a ＝2，b ＝23，则1b －1a ＝1，但a －b ＝43>1，故②错．对于③，令a ＝4，b ＝1，则|a －b |＝1，但|a －b |＝3>1，故③错．对于④，|a 3－b 3|＝|(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)|＝1，由条件可得，a ，b 中至少有一个大于等于1，则a 2＋ab ＋b 2>1，则|a －b |<1，故④正确．综上，真命题有①④.答案：①④12．(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0，所以令f (x )＝0，有Δ<0或⎩⎨⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f (1)≥0，f (5)≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.答案：(1,5]13．(2019·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是________． 解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为k ()x －k 2＋4k (x －4)<0，等价于()x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有3≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.答案：[1,4]14．(2019·南昌模拟)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋3)＝2f (x )，当x ∈[－1,2)时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ∈[－1，0)，－()12|x －1|，x ∈[0，2)，若存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，则实数t 的取值范围是___________．解析：由题意知f (x )＝12f (x ＋3)．当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 2＋x ＝()x ＋122－14∈[]－14，0；当x ∈[0,2)时，f (x )＝－()12|x －1|∈[]－1，－12.所以当x ∈[－1,2)时，f (x )min ＝－1.故当x ∈[－4，－1)时，x ＋3∈[－1,2)，所以f (x ＋3)min ＝－1，此时f (x )min ＝12×(－1)＝－12.由存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，可得t 2－3t ≥4×()－12，解得t ≤1或t ≥2.答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)15．(2019·南昌摸底)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0.解：(1)由题意知a <0，且－1,3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两个根，则⎩⎨⎧ b ＝2，8a ＋3b ＋2＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)，∵a >0，∴f (x )>0可化为()x －a －2a(x ＋1)>0， ①当a －2a ≥－1，即a ≥1时，不等式的解集为{}x |x <－1或x >a －2a； ②当a －2a <－1，即0<a <1时，不等式的解集为{}x |x <a －2a或x >－1.16．(2018·正定中学二模)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R.(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的实数x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若a <0，解不等式f (x )>1.解：(1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的实数x ∈[－1,1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1(x ∈[－1,1])，①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，得a >－12，所以a ∈∅；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，a 的取值范围为(1－2，＋∞)． (2)ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， 因为a <0，所以(x －1)()x ＋a ＋1a<0， 因为1－()－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为{}x |1<x <－a ＋1a； 当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为{}x |－a ＋1a<x <1.。
高考数学复习第七章不等式推理与证明7.2基本不等式及其应用市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课
x=3 时,等号成立.
所以当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3.
18/37
-19考点1
考点2
考点3
考向二 求含有等式条件函数最值
例3(1)(河南中原学术联盟仿真)若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线
1 2
+
y=1+sin πx(0<x<2)对称中心,则
最小值为
.
(2)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y最小值为
· =3+2 2,
2
1
2
,即
a=
2-1,b=22时等号成立,此时
+
的最
+
当且仅当 =
小值为 3+2 2.
9-3
.
1+
(2)(方法一)由已知得 x=
9-3
12
∵x>0,y>0,∴y<3,∴x+3y= 1+ +3y=1++(3y+3)-6
≥2
12
·
(3
1+
+ 3)-6=6,
A.(-∞,-1)
B.(-∞,2 2-1)
2
2
x
∵3 +32-1)
≥2 D.(-2
2 当且仅当3
= 3 ,即 =
C.(-1,2
2-1,2 2-1)
log 3 2时,等号成立 ,
关闭
2
∴3x+3 的最小值为 2 2.
第七章不等式与证明
等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）
A.0 个 C.2 个
B.1 个 D.3 个
5. 已知 a b c,且a b c 0,则b2 4ac的符号是___(填“正”或“负”).
1. 已知：a,b,c, d R，则下列命题中必成立的是（） A.若a b, c b,则a c B.若a b,则c a c b
C.若a b, c d,则 a b cd
D.若a2 b2,则 a b
2.已知a,b, c R,且ab 0,则下面推理中正确的是（）
A.a b am2 bm2
3
4 f (1) 1
(1) ( 5) ( 5) f (1) (4) ( 5)
33
3
①
又 1 f (2) 5
8 8 f (2) 40
33
3
②
把①和②的各边分别相加得
1 8 f (2) 5 f (1) 20,即-1 f (3) 20
3
3
f (3)的取值范围是1, 20
实战练兵
知识梳理
1. 不等式的基本性质
①（对称性） a b b a ②（传递性） a b,b c a c
③（可加性） a b a c b c （同向可加性） a b, c d a c b d
（异向可减性） a b, c d a c b d
④（可积性） a b, c 0 ac bc
⑤ ac2 bc2 c 0 c2 0, 所以a b ，正确
⑥ a b 0 0 1 1 ,又c 0,所以 c c ，正确
ab
ab
题型二：利用不等式的性质证明不等式
例 2.已知： a b,e f ,c 0,求证f ac e bc.
2024年高考数学总复习第七章《不等式》不等关系与不等式
2024年高考数学总复习第七章《不等式》§7.1不等关系与不等式最新考纲1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．1．两个实数比较大小的方法(1)－b >0⇔a >b－b ＝0⇔a ＝b－b <0⇔a <b (a ，b ∈R )(2)⇔a >b 1⇔a ＝b⇔a <b (a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b 的大小关系确定吗？提示不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(√)(2)若ab>1，则a >b .(×)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×)(4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .(√)(5)ab >0，a >b ⇔1a <1b .(√)题组二教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是()A ．a －c <b －dB ．ac <bdC ．a ＋c >b ＋dD ．a ＋d >b ＋c答案C解析由同向不等式具有可加性可知C 正确．题组三易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有()A.a c －b d >0 B.a c －b d <0C.a d >b c D.a d <b c答案D解析∵c <d <0，∴0<－d <－c ，又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ，又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案(－π，0)解析由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为()A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案B解析(作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解∵a a b b a b b a ＝a a －bb a －b＝－b，又a >b >0，故ab >1，a －b >0，－b>1，即a a b ba b ba >1，又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b >a b b a .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法．跟踪训练1(1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．答案M >N解析因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则()A ．77a a <7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定答案C解析77a a 7a a7＝77－a a a －7－a，则当a >7时，0<7a <1，7－a <0，则－a>1，∴77a a >7a a 7；当0<a <7时，7a >1，7－a >0，则－a>1，∴77a a >7a a 7.综上，77a a >7a a 7.题型二不等式的性质例2(1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是()A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bcB ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >bD ．若a >b ，则1a <1b 答案C解析对于选项A ，当c <0时，不正确；对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0，能推出1a <1b 的是________．(填序号)答案①②④解析运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2(1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2D．ac(a－c)>0答案A解析由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac一定成立．(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正确的不等式有________．(填序号)答案①④解析因为1a<1b<0，所以b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a两边同时乘以b，因为b<0，所以ab<b2.因此正确的是①④.题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例3已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案A解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35，2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.命题点2求代数式的取值范围例4已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4，2)(1，18)解析∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.引申探究若将本例条件改为－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，＋n＝3，－n＝2，＝52，＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴－52<52(x＋y)<10，1<12(x－y)<32，∴－32<52(x＋y)＋12(x－y)<232，即－32<3x＋2y<232，∴3x＋2y－32，思维升华(1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是()A.1a－b>1bB．a2<abC.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n答案C解析(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.(2)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是________．答案(－4，0)解析∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4，0)．一、选择题1．下列命题中，正确的是()A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案C解析A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误；C 项，因为a c 2<bc 2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C.2．若1a <1b <0，则下列结论正确的是()A ．a 2>b 2B ．C.b a ＋a b <2D ．a e b >b e a答案D解析由题意知，b <a <0，则a 2<b 2>1，b a ＋ab >2，∵b <a <0，∴e a >e b >0，－b >－a >0∴－b e a >－a e b ，∴a e b >b e a ，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是()A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >ab答案A解析取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.4．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是()A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |答案C解析∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .5．设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则()A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案A解析因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ，而sin 2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是()A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π答案C解析∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2.又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2.故－3π2<2α－β<π2.7．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．答案a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋ba 2－＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b 8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c ；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．答案①解析由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0.其中正确的命题是________．(填序号)答案①②③解析∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0，∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．设αT 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案T 1<T 2解析T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d ；(2)已知c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b .证明(1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥a b ，∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d.(2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.由a >b >0⇒1a <1b ，c >0⇒c a <c b ⇒c －a a <c －b b ，c －a >0，c －b >0⇒a c －a >b c －b.12．已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与a b 的取值范围．解因为1<a <4，2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b <2.13．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是()A ．ab <b 2<1B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <1答案C 解析方法一(特殊值法)：取b ＝14，a ＝12.方法二(单调性法)：0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝12log x 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log b >12log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.14．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案B 解析方法一对于函数y ＝f (x )＝ln x x (x >e)，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .方法二易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251024>1，所以b >c .即c <b <a .15．已知实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是()A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)B ．sin x >sin yC ．x 3<y 3D.1x 2＋1>1y 2＋1答案C 解析方法一因为实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，所以x <y .对于A ，取x ＝0，y ＝3，不成立；对于B ，取x ＝－π，y ＝π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3<y 3成立；对于D ，取x ＝－2，y ＝1，不成立．故选C.方法二根据指数函数的性质得x <y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．16．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是()A ．a ln b >b ln aB ．a ln b <b ln aC ．a e b <b e aD ．a e b ＝b e a 答案B解析观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln x x ，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0，1)上单调递增．所以ln b b <ln a a ，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2<0，所以函数f (x )＝e x x 在(0，1)上单调递减，又因为0<b <a <1，所以f (a )<f (b )，即e a a <e b b，所以a e b >b e a ，故选B.。
第七章 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥□012ab (a ，b ∈R )(当且仅当□02a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：□03a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当□04a ＝b 时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的□05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的□06几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当□07x ＝y 时，x ＋y 简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当□09x ＝y 时，xy 有□10最大值S24.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (3)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( )A.1B.1 4C.12 D.22答案 B解析∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，当且仅当a＝b＝12时等号成立．故选B.2．(2019·山西模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72 B.4C.92 D.5答案 C解析y＝12(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋4ab＋ba≥92⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a＝23，b＝43时等号成立.故选C.3.(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A.9B.9 2C.3D.32 2答案 B解析当a＝－6或a＝3时，(3－a)(a＋6)＝0；当－6<a<3时，(3－a)(a＋6)≤3－a＋a＋62＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时取等号．4．(2019·南昌摸考)已知函数y＝x＋mx－2(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________．答案 4解析∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋mx－2＋2≥2(x－2)·mx－2＋2＝2m＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.5．(2019·大连模拟)函数y ＝2x ＋2x (x <0)的最大值为________． 答案 －4解析 ∵x <0，∴－x >0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2(－2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x ≤－4(当且仅当－2x ＝－2x ，即x ＝－1时等号成立)．6．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可得a －3b ＝－6， 又∵2a＋18b ≥22a8b ＝22a －3b ＝22－6＝14(当且仅当a ＝－3，b ＝1时取等号)，∴2a＋18b 的最小值为14.核心考向突破考向一 利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________． 答案 0 解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.触类旁通通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.即时训练 1.已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8(x ＋2)(y ＋4)的最小值为________．答案 12解析 ∵x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，∴x ＋2＋y ＋4＝8，∴8≥2(x ＋2)(y ＋4)，即1(x ＋2)(y ＋4)≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，则8(x ＋2)(y ＋4)≥816＝12.角度2 利用常数代换法求最值例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.(2)(2017·山东高考)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案 8解析 ∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b ＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a b ·ba ＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.触类旁通常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值.即时训练 2.(2019·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb 2的最大值为( )A ．8B ．2C ．18D ．16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以acb 2＝ac(2a ＋c )2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋c a ＋4≤124a c ·c a ＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C.(2)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 答案 3解析 由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x2＋32x ≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.触类旁通通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．即时训练 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a＋b ＋3ba 的最小值为________．答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b ＋3ba 的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立． ∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.(2)(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)·(xy－3)≤0，∴0<xy≤3，∴x＋3y＝9－xy≥6.故选C.触类旁通(1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活的进行转化.(2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或范围.即时训练 4.设a>0，b>0且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于()A．0 B．4C．－4 D．－2 答案 C解析由1a＋1b＋ka＋b≥0得k≥－(a＋b)2ab，又(a＋b)2ab＝ab＋ba＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－(a＋b)2ab≤－4，因此要使k≥－(a＋b)2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.故选C.5．(2019·上海模拟)设x，y均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy的最小值为()A．4 B．4 3 C．9 D．16答案 D解析32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.故选D.考向三基本不等式的实际应用例5(2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解(1)设第n年获取利润为y万元．n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n×1＋n(n－1)2×2＝n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，∴利润y＝30n－n2－81(n∈N*)．令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，解得3<n<27(n∈N*)，∴从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t＝30n－(81＋n2)n＝30－81n－n＝30－⎝⎛⎭⎪⎫81n＋n≤30－281n·n＝12(当且仅当81n＝n，即n＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)，当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.触类旁通有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.即时训练 6.某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)， ∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．金版教程·高考总复习·数学·理（经典版）(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ，由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎨⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. 答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练已知a >b >0，求a 2＋16b (a －b )的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 24. ∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．∴a 2＋16b (a －b )的最小值为16.。
2024年高考数学总复习第七章不等式真题分类27一元二次不等式及其解法
答案：（－5，0）∪（5，＋∞） 由于 f(x)为 R 上的奇函数，所以当 x＝0
时，f(0)＝0；当 x<0 时，－x>0，所以 f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，即 f(x)＝－x2－4x，
x2－4x，x>0， 所以 f(x)＝0，x＝0，
－x2－4x，x<0.
由 f(x)>x，可得x2－4x>x， x>0
或－ 5 或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞).
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真题分类27 一元二次不等式及其解法
高考·数学
02. 解不等式需要注意下面几个问题
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法． (2)掌握用数轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方 法． (3)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化 为易解的不等式． (4)对于含字母的不等式，要按照正确的分类标准，进行分类讨论．
C3.一元二次不等式的解法
高考·数学
命题者说：掌握二次不等式的解题要领，能讨论含参不等式的解法及高次不等式的解法．
第1题 第2题 第3题 第4题
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真题分类27 一元二次不等式及其解法
高考·数学
Ⅰ.不含参数的一元二次不等式的解法 1．(2013·广东，9，5 分)不等式 x2＋x－2<0 的解集为________.
真题分类27 一元二次不等式及其解法
高考·数学
第七章 不等式
§7.1 不等式及其解法 真题分类27 一元二次不等式及其解法
C3.一元二次不等式的解法 C4.一元二次不等式的恒成立问题 C5.一元二次方程的根的分布问题 C6.一元二次不等式与函数的综合问题
八年级下册数学第七章71生活中的不等式
苏科版八年级下册数学第七章**不等式的解集I．知识技能达标版学习目标1. 在现实情境中认识数量间的不等关系，理解不等式的意义2. 会用不等式表示不等关系一、相关知识链接1.等式像 2×（3 ×4）=（2 ×3）×4 、ab = b a、S=vt、x2+2x+1=0 等用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。
二、教材知识详解【知识点1】不等式（链接例1）像30＜55 、x＞50，x＋2＜48、a≤100、3y≥10等，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.【注意】（1）等式是反映两个量之间的相等关系．显然不等式则反映了两个量之间的不等关系，所以不等式中必定含有表示不等关系的符号．（2）不等式是由表示不等式关系的符号与它左、右两边的代数式组成的。
（3）我们现在经常用到的表示不等关系的符号有：>、<、≥、≤和≠等五种．其中“>”读作“大于”，表示其左边的量大于右边的量；“<”读作“小于”，表示其左边的量小于右边的量；“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边不小于右边；“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边不大于右边；“≠”读作“不等于”，表示两个量之间的关系是不相等的，但并未明确左边大，还是右边大．【例1】下列式子中哪些是不等式？（1）0＜1 （2）a+b=b+a （3）x2+5＞10 （4）x≠0 (5)3a+2 (6) a≥0分析：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.（2）是等式，不是不等式；（5）是一个代数式，也不是等式；是不等式的有（1）（3）（4）(6) 。
解：（1）（3）（4）(6) 是不等式；（2）（5）不是不等式。
剖析：判断一个式子是否为不等式，关键是看这个式子中是否含有不等号，如“>”、“<”、“≥”、“≤”和“≠”。
本题容易忽视的是：x≠0也是不等式。
第七章 不等式、推理与证明 7.1
§7.1 不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)．概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示 不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b ，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b ，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示 可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若ab>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(5)ab >0，a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二 教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋d D ．a ＋d >b ＋c答案 C解析 由同向不等式具有可加性可知C 正确． 题组三 易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c －bd >0 B.a c －b d <0 C.a d >b c D.a d <b c答案 D解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ，又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝a a －bb a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b，又a >b >0，故ab >1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，即a a b ba b b a >1， 又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b >a b b a .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法．跟踪训练1 (1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a <7a a 7 B ．77a a ＝7a a 7 C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 77a a 7a a 7＝77－a a a －7＝⎝⎛⎭⎫7a 7－a，则当a >7时，0<7a <1，7－a <0，则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7； 当0<a <7时，7a >1，7－a >0，则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7. 综上，77a a >7a a 7. 题型二 不等式的性质例2 (1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b答案 C解析 对于选项A ，当c <0时，不正确； 对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确； 对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ； ④a >b >0，能推出1a <1b 的是________．(填序号)答案 ①②④解析 运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b ，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．思维升华 常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立． (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号) 答案 ①④解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35，2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4，2) (1，18)解析 ∵－1<x <4，2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 跟踪训练3 (1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n答案 C解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.(2)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是________． 答案 (－4，0)解析 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0， ∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4，0)．一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案 C解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误； C 项，因为a c 2<bc 2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 2．若1a <1b <0，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．1>⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12aC.b a ＋ab <2 D ．a e b >b e a答案 D解析 由题意知，b <a <0， 则a 2<b 2，⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12a >1，b a ＋ab >2， ∵b <a <0，∴e a >e b >0，－b >－a >0 ∴－b e a >－a e b ，∴a e b >b e a ，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b 答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.4．(2018·沈阳模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .5．设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( ) A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q 答案 A解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2； 又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ，而sin 2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π 答案 C解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π. ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.7．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．ab <b 2<1B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <1解析 方法一 (特殊值法)：取b ＝14，a ＝12.方法二 (单调性法)：0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝12log x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴12log b >12log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.8．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 B解析 方法一 对于函数y ＝f (x )＝ln x x (x >e)，y ′＝1－ln xx 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .方法二 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c <b <a .9．已知实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是() A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) B ．sin x >sin yC ．x 3<y 3 D.1x 2＋1>1y 2＋1答案 C解析 方法一 因为实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，所以x <y .对于A ，取x ＝0，y ＝3，不成立；对于B ，取x ＝－π，y ＝π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3<y 3成立；对于D ，取x ＝－2，y ＝1，不成立．故选C.方法二 根据指数函数的性质得x <y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．10．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．a ln b >b ln aB ．a ln b <b ln aC ．a e b <b e aD ．a e b ＝b e a答案 B解析 观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln x x，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0，1)上单调递增．所以ln b b <ln a a，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2<0，所以函数f (x )＝e x x在(0，1)上单调递减，又因为0<b <a <1，所以f (a )<f (b )，即e a a <e b b，所以a e b >b e a ，故选B. 二、填空题11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________． 答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b 解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 12．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________． 答案 ①解析 由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．13．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．14．设α∈⎝⎛⎭⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________． 答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.三、解答题15．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d； (2)已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明 (1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥a b， ∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b ，c >0⇒c a <c b⇒ ⎭⎬⎫c －a a <c －b b ，c －a >0，c －b >0⇒a c －a >b c －b . 16．已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与a b的取值范围． 解 因为1<a <4，2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b <2.。
高中数学高考42第七章 不等式、推理与证明 7 6 直接证明与间接证明
跟踪训练 2 已知 a>0，证明： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
师生共研
题型三 反证法的应用
例 3 设 a>0，b>0，且 a＋b＝1a＋1b.证明： (1)a＋b≥2；
证明 由 a＋b＝1a＋1b＝aa＋bb，a>0，b>0，得 ab＝1.
由基本不等式及ab＝1，
有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2，当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立.
7.如果 a a＋b b>a b＋b a成立，则 a，b 应满足的条件是_a_≥__0_，__b_≥__0_且__a_≠__b_. 解析 ∵a a＋b b－(a b＋b a) ＝ a(a－b)＋ b(b－a) ＝( a－ b)(a－b) ＝( a－ b)2( a＋ b). ∴当 a≥0，b≥0 且 a≠b 时，( a－ b)2( a＋ b)>0. ∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是 a≥0，b≥0 且 a≠b.
(1)证明：数列T1n是等差数列； 证明 ∵an＋1＝TTn＋n 1＝11－－aan＋n 1 ⇒ an＋1 ＝ 1 ⇒ 1 － 1 ＝1，
1－an＋1 1－an 1－an＋1 1－an
∴Tn1＋1－T1n＝1，
又∵T1＝1－a1＝a1， ∴a1＝12，∴T11＝1－1 a1＝2， ∴数列T1n是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列.
师生共研
题型一 综合法的应用
例1 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证： (1) a＋ b＋ c≤ 3； 证明 ∵( a＋ b＋ c)2＝(a＋b＋c)＋2 ab＋2 bc＋2 ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)
＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，
∴ a＋ b＋ c≤ 3(当且仅当 a＝b＝c 时取等号).
2024年高考数学总复习第七章不等式真题分类28二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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真题分类28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考·数学
目标函数 z＝x＋2y，即 y＝－12 x＋2z ，画出直线 y＝－12 x 并平移，当直线 y ＝－12 x＋2z 经过点 A(2，1)时，z 取最小值，无最大值，zmin＝2＋2×1＝4，所以 z 的取值范围为[4，＋∞)，故选 B.
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真题分类28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考·数学
4．(2020·浙江，3，4 分)若实数 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋3≥1≤0，0， 则 z＝x＋2y
的取值范围是( )
A．(－∞，4]
B．[4，＋∞)
C．[5，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案：B 由 x，y 满足的约束条件画出可行域， 如图中阴影部分所示(包含边界).
的可行域，
2x＋3y－1≤0
如图所示：
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真题分类28Leabharlann 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考·数学
目标函数 z＝x－12 y 化为 y＝2x－2z， 由x2＝x＋－31y－，1＝0， 解得xy＝＝－1. 1， 设 A(－1，1)，当直线 y＝2x－2z 过 A 点时，z＝x－12 y 取得最小值为－32 . 故选 B.
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真题分类28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考·数学
由xy＋ ＝y3＝4， 可得点 A(1，3)， 转换目标函数 z＝3x＋y 为 y＝－3x＋z， 上下平移直线 y＝－3x＋z，数形结合可得当直线过点 A 时，z 取最小值， 此时 zmin＝3×1＋3＝6. 故选 C.
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第七章 不等式一、基础知识 1、基本不等式： 0 a b a b ->Û> ；0 a b a b -=Û= ； 0 a b a b -<Û< ．2、不等式的性质：①a b b a >Û< ；② , a b b c a c >>Þ> ；③a b a c b c >Þ+>+ ； ④ ,0 a b c ac bc >>Þ> ， ,0 a b c ac bc ><Þ< ； ⑤ , a b c d a c b d >>Þ+>+ ； ⑥ 0,0 a b c d ac bd >>>>Þ> ； ⑦ ( ) 0,1 nna b a bn n >>Þ>ÎN > ； ⑧ ( ) 0,1 nn a b a b n n >>Þ>ÎN > ．3、一元二次不等式： 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式 24 b acD =- 0 D > 0 D = 0D < 二次函数 2 y ax bx c=++ ( ) 0 a >的图象一元二次方程 2ax bx c ++= ( ) 0 a > 的根有两个相异实数根1,22 b x a-± D = ( )12 x x < 有两个相等实数根122 bx x a==- 没有实数根2 0ax bx c ++> ( )0 a > { }12x x x x x <> 或 2 b x x a ìü¹- íýîþ R一元二次 不等式的 解集2 0ax bx c ++< ( )0 a > { }12 x xx x << Æ Æ一看二次项系数；二看判别式；三看对称轴；四看特殊点（和x 、y 轴的交点，以及顶点）4、二元一次不等式 0 x y C A +B +> （或 0 x y C A +B +< ）表示平面区域:直线定界，特殊点定域；注意直线的虚实理解直线 0 x y C A +B += 把平面直角坐标系分成三部分，即： 0 x y C A +B +> ，0 x y C A +B += ， 0x y C A +B +< 5、线性规划（1）线性约束条件：由x ， y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ， y 的线性约束条件．（2）目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ， y 的解析式． （3）线性目标函数：目标函数为x ， y 的一次解析式．（4）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． （5）可行解：满足线性约束条件的解( ) , x y ；（6）可行域：所有可行解组成的集合；（7）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 6、均值不等式定理：设a 、b 是两个正数，则2a b+ 称为正数a 、b 的算术平均数， ab 称为正数a 、b 的几何平均数． 若 0 a > ， 0 b > ，则 2 a b ab +³ ，即 2a bab + ³ ．7、常用的基本不等式： ① ( ) 222, a b ab a b R +³Î ；② ( ) 22, 2a bab a b R + £Î ；③ ( ) 20,02 a b ab a b + æö£>> ç÷ èø； ④ ( ) 222 , 22 a b a b a b R ++ æö³Î ç÷ èø．8、极值定理：设x 、 y 都为正数，则有⑴若x y s += （和为定值），则当x y = 时，积xy 取得最大值 24s ． （一正，二定，三相等）⑵若xy p = （积为定值），则当x y = 时，和x y + 取得最小值2 p ． 二、常用方法1、含有绝对值的不等式：当 a> 0 时，有 （1） 22x a x a a x a <Û<Û-<< . （2） 22x a x a x a >Û>Û> 或 x a <- . 2、无理不等式（1） ()0 ()() ()0()() f xf xg x g x f x g x ³ ì ï>Û ³ í ï > î. （2） 2 ()0 ()0 ()() ()0 ()0 ()[()] f xf x f xg x g x g x f x g x ³ ì ³ ì ï>Û ³ íí< î ï > î或 . 3、指数不等式与对数不等式 (1)当 1 a > 时,()() ()() f x g x a a f x g x >Û> ;()0 log ()log ()()0 ()() a a f xf xg x g x f x g x > ì ï>Û> í ï > î.(2)当01 a << 时,()() ()() f x g x a a f x g x >Û< ; ()0 log ()log ()()0 ()() a a f x f x g x g xf xg x > ì ï >Û> í ï < î4、 ( ) 0 ky x k x=+> “对勾函数” 利用它的单调性求最值与利用均值不等式 求最值的区别是什么？y O x- kk 2 ()0 (3)()() ()0()[()] f xf xg x g x f x g x ³ ì ï<Û > í ï < îy (a>0)O k x 1x 2x5、一元二次方程根的分布问题。
()0 k k f k Û< (1)一根大于 ，一根小于20 0 2 ()0b ax bxc k ka f k D ³ ìï ï ++=Û-> í ï > ï î (2)二次方程 的两根都大于 6、 ( ) () 0 ()f x a ag x >¹ 解分式不等式 的一般步骤是什么？（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。
） 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶不穿” ，从最大根的右上 方开始；7、 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。
）例如：解不等式| | x x - - + < 3 1 1（解集为 ） x x | > ìíîü ý þ 1 2 8、不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） ()() a f x a f x <Û< （1） 恒成立 的最小值； ()() a f x a f x >Û> （2） 恒成立 的最大值()() a f x a f x >Û> （3） 能成立 的最小值 ()() a f x a f x <Û< （4） 能成立 的最大值9、线性规划问题的方法步骤： 列、 画、 移、 求、 答设线性目标函数为z ax by =+ ：（1）取 0 z = ，作直线 0 :0 l ax by += ；（2）平移直线 0 l ，则向 0 ax by +> 区域平移时z 增大，向 0 ax by +< 区域平移时 z 减小； （3）确定最优解及目标函数z 的最值；注意：（1）理解等值线，及最优解往往是三条直线的交点；（2）联系“距离”和“斜率”这两个概念和公式的应用； 三、典型例题例 1、 求下列不等式的解集 （1） 244150x x --> （2） 2610x x --³ （3） |1||3|0x x +--³ 例 2、已知不等式 22(45)4(1)30 m m x m x +---+> 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围； 例 3、若 (0,),230 x y x y xy Î+¥++= 、 ，求xy 的取值范围例 4、设x y 、 满足约束条件 0, 21 x x y x y ³ ì ï³ í ï -£ î则 32 z x y =+ 的最大值是；( )( ) ( ) 231120x x x +--< 如：四、练习： 1、 110 a b<< 若 ，则下列结论不正确的是（） 222.. A a b B ab b<< .||||||.2 a bC a b a bD b a+>++> 2、已知关于x 的方程 22(1)20 x a x a +-+-= 的一个跟比 1 大，另一个跟比 1小，则实数a 的取值范围是 A 、(1,1) - B 、 (,1)(1,) -¥-+¥ U C 、 (2,1) - D 、 (,2)(1,)-¥-+¥ U 3、已知 0,0 x y >> ，且 211 x y+= ，若 2 22 x y m m +>+ 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A 、 42m m ³£- 或 B 、 24 m m ³£- 或 C 、24m -<< D 、 42m -<< 4、不等式 20 ax bx c ++> 的解集为{|23} x x << ，则不等式 20 ax bx c -+> 的解集为；5、 4023 x x x>-- 若 ， 的最大值为；6、 2124 x yx y +=+ ，则 的最小值为；7、设 , x y R + Î 且 191 x y+= ,则x y + 的最小值为________； 8、 3||2| x x x a a -++> 对于一切实数 ，若| 恒成立，则 的取值范围是；9、若实数x y 、 满足 20 , x y y x y x b -³ ìï³ í ï ³-+ î且 2 z x y =+ 的最小值为 3，则实数b 的值为；10、如果方程 22(1)20 x m x m +-+-= 的两个不等实根均大于 1，求实数m 的取值范围；11、实数x y 、 满足 10 0 2 x y x y -+£ ì ï> í ï £ î，（1）若 , yz x= 求z 的取值范围；（2）若 22, z x y =+ 求z 的取值范围； 附：例 1（1） 35 (,)(,) 22-¥-+¥ U （2） 11 (,][,) 32-¥-+¥ U （3）[1,) +¥ 例 2、[1,19) 例 3、(0,18]例 4、5练习：1、C 2、C 3、 D 4、 (3,2) -- 5、 243 - 6、 22 7、 16 8、 (,5)-¥ 9、9410、1272 3m -- <<- 11、（1） [2,) +¥ （2） (1,5]。