【附加15套高考模拟】【全国百强校】辽宁省沈阳市第二中学2020届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题含

【全国百强校】辽宁省沈阳市第二中学2020届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则直线CE 与1D F 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()x x x x e e f x e e--+=-，若12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln 2b f =，1ln 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>4．已知a ，b ,c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b ∥，b α⊂，则a P αB ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥C ．若αβ∥，a P α，则a β∥D ．若a αβ⋂=，b βγ=I ，c αγ⋂=，a b ∥，则b c ∥5．已知函数10()ln ,0x x f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( ) A ．(21e -，0) B ．(12e -，0) C ．(0，12e ) D ．(0，21e )6．若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩…，则y z x =的最大值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．547．过双曲线()222210,0x y a b a b-＝＞＞的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A．( B．( C． D． 8．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3 B ．0C ．1-D ．1 9．定义区间[],a b ，(),a b ，(],a b ，[),a b 的长度为b a -.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m （其中(]0,m e ∈，e 为自然对数的底数），那么称这个函数为“m 函数”.下列四个命题： ①函数()ln x f x e x =+不是“m 函数”； ②函数()ln xg x x e =-是“m 函数”，且1m me =； ③函数()ln xh x e x =是“m 函数”； ④函数()ln x x x eϕ=是“m 函数”，且ln 1m m =. 其中正确的命题的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面； ③若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．设1A ，2A 分别为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点，过左顶点1A 的直线l 交双曲线右支于点P ，连接2A P ，设直线l 与直线2A P 的斜率分别为1k ，2k ，若1k ，2k 互为倒数，则双曲线C 的离心率为（ ）A．12 B ．2 C ．3 D ．2212．已知函数2log (1)(1,3)()4,[3,)1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩，则函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}1n n a a +-是公差为2的等差数列，且11a =，39a =，则n a =__________． 14．运行如图所示的框图对应的程序，输出的结果为___________.15．已知函数()ln ,0,x x e f x e x e x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点123,,x x x ，且()121233x x x x x f x <<，则的取值范围为___________．16．已知O 为坐标原点，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点，,,A B D 分别为椭圆C 的左、右顶点和上顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过,A D 点的直线l 与直线PF 交于M ，若直BM 线与线段OD交于点N ，且2ON ND =，则椭圆C 的离心率为_____．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，45,2,2,A AB BC BE AD ∠===⊥o 于点E ，将ABE ∆沿BE 折起，使90AED ∠=o ，连接,AC AD ，得到如图所示的几何体．求证：平面ACD ⊥平面ABC ；若点P 在线段AB 上，直线PD 与平面BCD 所成角的正切值为15，求三棱锥P BCD -的体积．18．（12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3sin B C bc C +=.求b 的值；若cos 3sin 2B B +=，求ABC ∆面积的最大值.19．（12分）ABC ∆的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且满足222233a c acb +-=． 求sin B 的值；如图，若2,A B D =是边BC 上一点，AD AC ⊥，且6AD =，求ABD ∆的面积．20．（12分）在数列{}n a 中，11a =，11n n n a a a +=+，设1n n b a =，*n N ∈ 求证数列{}n b 是等差数列，并求通项公式n b ；设12n n n c b -=⋅，且数列{}n c 的前n 项和n S ，若R λ∈，求使1n n S c λ-≤恒成立的λ的取值范围. 21．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=bcosC+csinB ．求B ；求y=sinA-2sinC 的取值范围．22．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和2()n S n n N +=∈，数列{}n b 为等比数列，且满足11b a =，342b b =.求数列{}{},n n a b 的通项公式； 求数列{}n n a b 的前n 项和.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D2．C3．D4．D5．C6．B7．C8．C9．B10．B11．B12．C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．22 (33) n n-+14．1 915．()1,+∞16．15三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析；（2）112.【解析】【分析】（1）取AC中点M，以,,ED EB EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明,DM AB DM BC⊥⊥，即可得出DM⊥平面ABC，从而可得结论；（2）过P作PN BE⊥，垂足为N，连接DN，则//PN AE，可得PN⊥平面BCDE，由此PDN∠为直线PD与平面BCD所成的角，利用正切值为15求出P到平面BCDE的距离，代入体积公式即可得结果．【详解】（1）∵BE⊥AE，DE⊥AE，BE∩DE=E，∴AE⊥平面BCDE，以E为坐标原点，以ED，EB，EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（1，0，0），设AC的中点为M，则M（1，12，12），∴DMu u u u v=（0，12，12），ABu u u v=（0，1，-1），BCu u u r=（2，0，0），∴DM ABu u u u r u u u r⋅=0，DM BC⋅u u u u r u u u r=0，∴DM⊥AB，DM⊥BC，又AB∩BC=B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DM ⊥平面ABC ，又DM ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）过P 作PN ⊥BE ，垂足为N ，连接DN ，则PN ∥AE ，∴PN ⊥平面BCDE ，∴∠PDN 为直线PD 与平面BCD 所成的角．设PN=x ，则BN=x ，故EN=1-x ，∴∴tan ∠PDN=PNDN =15，解得x=14，即PN=14．∵，，BC=2，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴BD ⊥CD ．∴S △BCD =12BD CD ⋅⋅=1， ∴三棱锥P-BCD 的体积V=13⋅S △BCD •PN=11134⨯⨯=112． 【点睛】本题考查来了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.18． (1)b =【解析】分析：（1）在式子cos cos 3sin B C A b c C+=中运用正弦、余弦定理后可得b =（2）由cos 2B B +=经三角变换可得3B π=，然后运用余弦定理可得2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，从而得到3ac ≤，故得1sin 24S ac B =≤．详解：(1)由题意及正、余弦定理得222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=，整理得222a abc =，∴b =（2）由题意得cos 2sin 26B B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴sin(+=16B π），∵()0,B π∈， ∴62B ππ+=， ∴3B π=.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，3ac ∴≤，当且仅当a c ==∴11sin 32224S ac B =≤⨯⨯=．∴ABC ∆面积的最大值为4． 点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形222()2a c a c ac +=+-，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．19．；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos B 的值，结合范围()0,B π∈，可求B 为锐角，进而可求得sin B 的值．（Ⅱ）利用二倍角公式可求sin A ，cos A 的值，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求sin BAD ∠， cos BAD ∠，在ABD ∆中，由正弦定理可求BD ，最后根据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】（Ⅰ）因为2223a c acb +-=．所以由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==， 因为()0,B π∈，故B 为锐角，可得：sin 3B =． （Ⅱ）2A B =Q ，sin 2sin cos 3A B B ∴==， 21cos 2cos 13A B =-=-，1sin sin 23BAD BAC π⎛⎫∠=∠-= ⎪⎝⎭，cos BAD ∠=， ∴在ABD ∆中，由sin sin AD BD B BAD=∠，得BD = 又由于()sin sin ADC B BAD ∠=+∠=， ∴ ABD ∆的面积162ABD S ∆=⨯= 【点睛】本题主要考查了余弦定理，二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．（Ⅰ）证明见解析；n b n =（Ⅱ）2λ≥【解析】【分析】（Ⅰ）根据题中所给的条件，取倒数，即可证明，注意利用等差数列的定义和通项公式；（Ⅱ）用错位相减法求和，之后将恒成立问题转化为最值来处理即可得结果.【详解】证法一：解：（Ⅰ）由条件知，11111n n n na a a a ++==+， 所以，1111n na a +-=，所以11n nb b +-=， 又1111b a ==，所以，数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列， 故数列{}n b 的通项公式为：n b n =. 证法二：由条件，得111111n n n n n n n a b b a a a a +++-=-=- 1n na a == 又1111b a ==，所以，数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列， 故数列{}n b 的通项公式为：n b n =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12n n c n -=⋅，则01112222n n S n -=⋅+⋅++⋅L ，①12212222n n S n =⋅+⋅++⋅L ②由①-②得，0112222n n n S n --=+++-⋅L01222212n n n --⨯=-⋅- ()112n n =-+-⋅∴()112nn S n =+-⋅ ∵0n c >，∴1n n S c λ-≤恒成立，等价于1n nS c λ-≥对任意*n N ∈恒成立. ∵()11212222n n n n n S c n n ---==-<， ∴2λ≥.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的证明问题，等差数列的定义和等差数列的通项公式，应用错位相减法对数列求和，关于恒成立问题求参数的取值范围，保持思路清晰是正确解题的关键.21．（1）B=π4；（2）（-12，2）． 【解析】【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosBsinC=sinCsinB ，由sinC≠0，可求cosB=sinB ，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围．【详解】（1）由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB ，即sin （B+C ）=sinBcosC+sinCsinB ，故cosBsinC=sinCsinB ，因为sinC≠0，所以cosB=sinB ，因为0＜B ＜π，所以B=π4；（2）因为B=π4，所以sinC=sin （3π4-C ）sinC=sin 3π4cosC-cos 3π4cosC ，又因为0＜C ＜3π4，且cosC 在（0，3π4）上单调递减，所以sinC 的取值范围是（-12）． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．（1）121,2n n n a n b -=-=；（2）3(23)2nn T n =+-. 【解析】【分析】（1）先根据和项与通项公式求数列{}n a 通项公式，再根据等比数列定义求{}n b 的通项公式；（2）根据错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和.【详解】（1）因为数列{}n a 的前n 项和()2n S n n N +=∈，所以当1n =时，11a =；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；所以21,n a n =-因为11341,2b a b b ===，所以公比2q =,12n n b -= (2) 设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，则0121=1232(23)2(21)2n n n T n n L --⨯+⨯++-⨯+-⨯，1212=1232(23)2(21)2n n n T n n -⨯+⨯++-⨯+-⨯L相减得：011=122222(21)2n n n T n L --⨯+⨯++⨯--⨯1122(12)=1(21)212n n n T n -⨯--+--⨯-，即()3232n n T n =+- 【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.高考模拟数学试卷（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合|03}A x x =∈<<N ｛,1|21}x B x -=>｛,则A B =I（A ）∅ （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1,2 （2）已知i 为虚数单位,复数2i1i-的值是 （A ）1i -- （B ）1i + （C ）1i -+ （D ）1i -（3）若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）6（4）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为 （A ）p q ∨ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()()p q ⌝∨⌝（5）执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是 （ ）（A ）10 （B ）17 （C ）26 （D ）28（6）函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（A ）（B ）（C ） （D）（7）已知AB u u u r 和AC u u u r 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60o，则2AB AC -u u u r u u u r 与CA u u u r 的夹角是（A ）30o（B ）60o（C ）90o（D ）120o（8）如图，梯形ABCD 中，AD P BC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠=o,将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）抛物线28y x =的准线方程是 .（10）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高 分.（11）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =,2c =,60A ∠=o，则a = ；C ∠= . （12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 ．俯视图 CBA（13）已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B，若||AB ≥m 的取值范围是 .（14）将1，2，3，…，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数()2sin cos 2f x x x x =-. （Ⅰ）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率． （17）（本题满分14分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=o.（Ⅰ）求证：11A C ⊥平面11B BDD ； （Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ；（Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值.（18）（本小题满分13分）设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．（20）（本小题满分13分）已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>.（Ⅰ）若33a b =,比较2a 与2b 的大小关系； （Ⅱ）若2244,a b a b ==.（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）.1数一、选择题二、填空题三、解答题15. 解：（Ⅰ）因为π()sin 222sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f =由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤,k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………………8分 （Ⅱ）因为π0,2x ≤≤ 所以ππ2π2333x --≤≤.所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2. ……………………13分16. 解：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生， 则21()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． ……………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ,2324,,M M M M2526,M M M M ,343536,,M M M M M M ,454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生． 事件B 包括1516,M M M M ,2526,M M M M ,3536,M M M M ,454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==． 所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． ……………………………13分 17. 解：（Ⅰ）依题意, 因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ， 所以1BB ⊥底面1111A B C D .又11A C ⊂底面1111A B C D , 所以1BB ⊥11A C . 因为1111A B C D 为菱形，所以1111A C B D ⊥.而1111BB B D B =I ， 所以11A C ⊥平面11B BDD . ………………4分 （Ⅱ）连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E .依题意，1AA ∥1CC , 且11AA CC =，1AA AC ⊥, 所以11A ACC 为矩形. 所以1OC ∥AE . 又11112OC AC =,12AE AC =,11A C AC =, 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形， 则AO ∥1C E .又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ,所以AO ∥平面1BC D . ……………………………………………………………9分 （Ⅲ）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点.分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥.由于BD ∥11B D ,故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥,从而需ME BD ⊥. 又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E .1故M 点一定在线段1C E 上. 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值. 在直角三角形1OC E 中，1OE =,12OC =,12C E =,所以1min 1OC OE OM C E ⋅==…………………………………………………………………14分 18.解：(I)1()f x x '=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1ek =. 又(e)1f =，所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-,即1e y x = ………………4分 （Ⅱ）()ln 1F x x ax =--， 11()axF x a x x-'=-=，（0x >）.①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a<<. 综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a+∞. ………………9分（Ⅲ）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解.由（Ⅱ）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数,区间1(,)a+∞上为减函数，由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<，解得2e a ->.所以实数a 的取值范围为21(,)e+∞. …………………………………………………13分 19. 解：（Ⅰ）由题意得2222=3,131,4a b ab ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． ……………………………………4分 （Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，121222(2)14ky y k x x k-+=+-=+． 所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k-++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14k k+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k+=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +===++ 因为0k ≠，所以221331k<-<+． 所以||||AB PQ的取值范围为(4,． ………………………………14分20. 解：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠ （Ⅰ）2310b b q =>，1313222a ab b a ++==，2213b b b =，2b =当2b =22a b >；当2b =时，由平均值不等式132b b +，当且仅当13b b =时取等号，而13b b ≠，所以132b b +>即22a b >. 综上所述，22a b >．………………………………………………………5分（Ⅱ）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=-所以213,1q q q ++==或2q =-.因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-.令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =，所以10b 是{}n a 中的一项. （ⅱ）假设m k b a =，则111(1)m a k d b q-+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=-当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N .正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或. …………………………13分高考模拟数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}4A x N y x =∈=-，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B =I ( ) A.(],4-∞B.{}1,3C.{}1,3,5D.[]1,32.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3ie π表示的复数位于复平面中的( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在()0,+∞上单调递增，则( ) A.()()()320log 2log 3f f f >>- B.()()()32log 20log 3f f f >>- C.()()()23log 3log 20f f f ->>D.()()()23log 30log 2f f f ->>4.已知0a >，b R ∈，那么0a b +>是a b >成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设不等式组3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，若直线y kx =经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( ) A.1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω的值可以为( )A.1B.2C.3D.47.执行如图所示的程序框图，则输出的n 等于( )A.1B.2C.3D.48.设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()1f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为( )A.[)1,2-B.[]1,0-C.[]1,2D.[)1,+∞9.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )A.336+B.152C.63+D.810.函数()()()2sin xx e e x f x x e ππ-+=-≤≤的图象大致为( )ABCD11.已知12,F F 为双曲线()222:102x y C b b-=>的左右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，1AF 交左支于点B ，2AF B △是等腰直角三角形，22AF B π=∠，则双曲线C 的离心率为( )A.4B.23C.2312.已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)度的200公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若3cos cos 4αβ=，则v =( )A.60B.80C.100D.125二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()f x 在()0,+∞内可导，其导函数为()'f x ，且()ln ln f x x x =+，则()'1f =____________.14.已知平面向量()1,a m =r ，()4,b m =r，若()()20a b a b -⋅+=r r r r ，则实数m ____________.15.在圆224x y +=上任取一点，则该点到直线220x y +-的距离[]0,1d ∈的概率为____________.16.已知函数()3sin f x x x =+，若[]0,απ∈，,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()22f f παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2αβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4421S a =-，3321S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记216log 1n n b S ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求12n b b b +++…的最大值.(1) 求x 的值和乙班同学成绩的众数；(2) 完成表格，若有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AC 与BD 相交于点O ，AD BC ∥，AD AB ⊥，3AB BC AP ===，三棱锥P ACD -的体积为9.(1)求AD 的值；(2)过O 点的平面α平行于平面PAB ，α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点,,,E F G H ，求截面EFGH 的周长.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的下顶点为A ，右顶点为B ，离心率3e =，抛物线2:8x E y =的焦点为F ，P 是抛物线E 上一点，抛物线E 在点P 处的切线为l ，且l AB ∥. (1)求直线l 的方程；(2)若l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且FMN S △，求C 的方程. 21.已知函数()()ln x f x e a x e a =--∈R ，其中e 为自然对数的底数. (1)若()f x 在1x =处取到极小值，求a 的值及函数()f x 的单调区间； (2)若当[)1,x ∈+∞时，()f x 0≥恒成立，求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 的极坐标方程；(2)若直线12,l l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()2=3R πθρ∈，设直线12,l l 与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求OMN △的面积.23.已知()223f x x a =+.(1)当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；(2)对于任意实数x ，不等式()212x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.80404061192713346乙班甲班合计合计不优秀人数优秀人数MNDAPFGHNCS07项目第一次模拟测试卷文科数学 参考答案及评分标准一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二.13．e+1 14. 15.13 16.2三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由434S S a -=得，43422a a a -=, 所以432a a =，所以2q =. 又因为3321S a =-所以11112481a a a a ++=-， 所以11a =.所以12n n a -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122112n n n S -==--，所以4216)2log 2821n n n b n S -===-+， 12n n b b --=-，所以{}n b 是首项为6，公差为2-的等差数列，所以12346,4,2,0,b b b b ====当5n >时0n b <，所以当3n =或4n =时，12n b b b +++L 的最大值为12. 18. 【解析】（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为74， 所以775274x +=⨯，得3x = 由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为78,83（Ⅱ）依题意知2280(6271334) 3.382 2.70640401961K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯（表格2分，2K 计算4分） 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面. 19. 【解析】（Ⅰ）四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，//,AD BC AD AB ^，3AB BC AP ===，所以139322P ACD AB AD ADV AP -×=醋==，解得6AD =. （Ⅱ）【法一】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î， 平面PAB I 平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP , 因为//,2BC AD AD BC =, 所以BOC D ∽DOA D ，且12BC CO AD OA ==， 又因为COE D ∽AOF D ，AF BE =,所以2BE EC =， 同理2AF FD =,2PG GD =，123,233EF AB EH PB FG AP ====== 如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ==I I ,所以//,HN GM HN GM =， 故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =， （求GH 长2分，其余三边各1分） 在PMND 中，所以MN ==所以截面EFGH的周长为325+++【法二】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î，平面PAB I 平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP因为BC ∥,6,3AD AD BC == 所以BOC D ∽DOA D ，且12BC CO AD AO ==， 所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ==== 同理13CH EH CO PC PB CA ===，连接HO ，则有HO ∥PA ，所以HO EO ⊥，1HO =，所以13EH PB ==223FG PA ==，过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则GH =，所以截面EFGH的周长为325+++20. 【解析】（Ⅰ）因为222314b e a =-=， 所以12b a =， 所以12AB k =又因为l ∥AB ， 所以l 的斜率为12设2(,)8t P t ，过点P 与E 相切的直线l ，由28x y =得1'|442x t x t y ====，解得2t =所以1(2,)2P ， 所以直线l 的方程为210x y --=（Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ，由22221412x y b b x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩得2222140x x b -+-=，21212141,2b x x x x -+==，且248(14)0b D =-->，即218b >，所以12||x x -==【法一】:210l x y --=中，令0x =得12y =-，l 交y 轴于D , 又抛物线焦点(0,2)F ，所以15||222FD =+=所以1211||||22FMN S FD x x ∆=⋅-==24b =， 所以椭圆C 的方程221.164x y +=【法二】12|||MN x x =-= :210l x y --=，抛物线焦点(0,2)F，则F l d ®==所以11||22FMN F l S MN d ∆→=⋅==24b =， 所以椭圆C 的方程221.164x y += 21. 【解析】（Ⅰ）由()e ln e(R)xf x a x a =--?，得()e x af x x¢=- 因为(1)0f ¢=，所以e a =，所以e e e()e x xx f x x x-¢=-=令()e e xg x x =-，则()e (1)xg x x ¢=+， 当0x >时，()0g x ¢>，故()g x 在(0,)x ??单调递增，且(1)0,g = 所以当(0,1),()0x g x ?时，(1,),()0x g x ??时.即当(0,1)x Î时，'()0f x <，当(1,)x ??时，'()0f x >. 所以函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+?上递增.（Ⅱ）【法一】由()e ln e xf x a x =--，得()e x af x x¢=- （1）当0a £时，()e 0x af x x¢=->，()f x 在[1,)x ??上递增 min ()(1)0f x f ==（合题意）（2）当0a >时，()e 0x af x x¢=-=，当[1,)x ??时，e e x y =? ①当(0,e]a Î时，因为[1,)x ??，所以e a y x =?，()e 0x af x x¢=-?.()f x 在[1,)x ??上递增，min ()(1)0f x f ==（合题意）②当(e,)a ??时，存在0[1,)x ??时，满足()e 0x af x x¢=-= ()f x 在00[1,)x x Î上递减，0()x +?上递增，故0()(1)0f x f <=.不满足[1,)x ??时，()0f x ³恒成立综上所述，a 的取值范围是(,e]-?.【法二】由()e ln e xf x a x =--，发现(1)e ln e 0xf a x =--=由()e ln e 0xf x a x =--?在[1,)+?恒成立，知其成立的必要条件是(1)0f '≥而()e x af x x'=-， (1)e 0f a '=-≥，即e a ≤ ①当0a ≤时，()e 0x af x x'=->恒成立，此时()f x 在[1,)+?上单调递增，()(1)0f x f ?（合题意）.②当0e a <≤时，在1x ≥时，有101x <≤，知e 0aa x -≤-≤-<， 而在1x >时，e e x ≥，知()e 0x af x x'=-≥，所以()f x 在[1,)+?上单调递增，即()(1)0f x f ?（合题意）综上所述，a 的取值范围是(,e]-?.22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩得普通方程22(2)4x y +-=，所以极坐标方程2222cos sin 4sin 0r q r q r q +-=，即4sin r q =.（Ⅱ）直线()1π:R 6l q r =?与曲线C 的交点为,O M ，得||4sin 26M OM pr ===，又直线()22π:R 3l q r =?与曲线C 的交点为,O N ，得2||4sin 3N ON pr ===且2MON π∠=，所以11||||222OMN S OM ON D ==创=.23. 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-?，0223x x x ì<ïïíï-+-?ïî 得13x ?；02223x x x ì＃ïïíï+-?ïî 得12x＃；2223x x x ì>ïïíï+-?ïî得2x >， 所以()|2|2f x x +-?的解集为1(,][1,)3-?+?U . （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立， 又因为222|21||23||2123||31|x x a xx a a +-+?--=-，所以原不等式恒成立只需2|31|2a a -<，当0a <时，无解；当0a＃时，2132a a -<，解得13a <?；当a >时，2312a a -<1a <<. 所以实数a 的取值范围是1(,1)3.高考模拟数学试卷本试题卷共4页。