浙江省台州市2019-2020学年第一学期高一年级期末质量评估试题数学(含解析)

浙江省台州市2019-2020学年第一学期高一年级期末质量评估数 学1：已知全集{}1,0,1,2,5U =-，{}0,2,5A =，则U C A =（ ） A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.{}1,0,1-解析：{}1,1U C A =-，故选：C2：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第2题） 2：sin120=（ ）A.2B.12C.2-D.12-解析：sin1202=，故选：A. 3：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第3题）3：函数1()2f x x =-的定义域为（ ） A.()1,-+∞B.[)1,-+∞C.(1,2)(2,)-+∞UD.[1,2)(2,)-+∞U解析：10[1,2)(2,)2x x x +≥⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩U ，故选：D4：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第4题） 4：下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A.sin y x =B.2xy =C.2log y x =D.21y x=解析：对A 选项：sin y x =的值域为[]1,1-，A 错；对B 选项：2xy =的值域为()0,+∞，B 错；对C 选项：2log y x =的值域为[)0,+∞，C 正确；对D 选项：21y x=的值域为()0,+∞，D 错，故选C. 5：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第5题）5：本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A.3πB.3π-C.23πD.23π-解析：由于时针是顺时针转动，形成的角是负角，又由于时针转动1小时，转动的弧度数为6π-，因此时针转过2小时所形成的弧度数为3π-，故选：B. 6：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第6题）6：函数()log (2)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象经过定点（ ） A.()1,1--B.()1,0-C.()2,2-D.()2,0-解析：令21x +=，即1x =-时，故()11f -=-，故该图象经过定点()1,1--，故选：A. 7：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第7题）7：已知角α是锐角，若sin ,cos αα是关于x 的方程20x mx n ++=的两个实数根，则实数m 和n 一定满足（ ） A.240m n -=B.221m n =+C.10m n ++≤D.0mn >解析：（考察韦达定理，三角函数基本公式） 由题sin cos m αα⇒+=-，sin cos n αα=.22221sin cos (sin cos )2sin cos 2m n αααααα=+=+-=-，∴221m n =+故选B.8：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第8题）8：已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，若()f x 在()0,+∞上单调递减，且()10f -=，则不等式(1)()0x f x -≤的解集为（ ） A.{|10}x x -≤<B.{|1}x x ≥-C.{|100}x x x -≤<>或D.{ | 0}x x >解析：∵()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数在()0,+∞上单调递减，且()10f -=.不妨设2()1(0),f x x x =-≠，()(1)g x x =-.如图(1)()010x f x x -≤⇒-≤<或0x >，故选C.9：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第9题）9：若实数x 、y 满足2cos 1x y -=，则2cos x y +的取值范围是（ ） A.[)1,-+∞B.[]1,10-C.9,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.9,1016⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：∵2cos 112cos x y x y -=⇒=+，cos [1,1]y ∈-∴2229cos (12cos )cos 4cos 5cos 1,1016x y y y y y ⎡⎤+=++=++∈-⎢⎥⎣⎦.故选D. 10：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第10题）10：设函数2cos ,10()23,02x x x f x ax x a x --≤≤=+-<≤⎪⎩，若()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，则（ ）A.12a ≥-B.1123a -≤≤C.13a ≥D.102a -≤<或0a > 解析1：分类讨论当10x -≤≤时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，1,666x πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[]1,0-上单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在区间(]0,2上单调递增， 当0a >时，对称轴10x a =-<，此时()f x 在(]0,2上单调递增，且需满足31a -≥-，得103a <≤； 当0a =时，()2,(0,2]f x x x =∈，符合题意；当0a <时，对称轴10x a =->，此时()f x 在(]0,2上单调递增，且需满足3112a a -≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得102a -≤<；综上所述：1123a -≤≤，故选项B 正确. 解析2：特殊值排除当10x -≤≤时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，1,666x πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[]1,0-上单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在区间(]0,2上单调递增，必有31a -≥-，得13a ≤，排除选项A ，C ，D ，故选项B 正确.l1：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第11题）11：已知23a =，2log 5b =，则2b =____________，2a b +=_____________. 解析：由2log 5b =，得25b =，22215a b a b +=⋅=.故答案为5；15 12：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第12题） 12：设函数1()2f x x =+，则()1f =____________；若1(())3f f x =，则x =____________. 解析：11(1)123f ==+；由1(())3f f x =，即11()23f x =+，得()1f x =，由112x =+，解得1x =-.故答案为13，1- 13：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第13题）13cos 04παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 2cos αα-=____________，2sin cos 2cos ααα+=_______.方法提供与解析： 解析1：（代入消元）cos sin cos 0422πααααα⎫⎛⎫--=--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以sin 2cos 0αα-=；即sin 2cos αα=，所以222sin cos 5cos 1ααα+==，即21cos 5α=，所以224sin cos 2cos 4cos 5αααα+==.故答案为0；45.解析2：（转正切）同上可得，sin 2cos 0αα-=，所以tan 2α=，于是22222sin cos 2cos tan 24sin cos 2cos sin cos tan 15αααααααααα+++===++.故答案为0；45. 解析3：（利用平方和为1解方程组）同上可得，sin 2cos 0αα-=；由22sin 2cos 0sin cos 1αααα-=⎧⇒⎨+=⎩cos 5sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩cos 5sin αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以24sin cos 2cos 5ααα+=. 故答案为0；45. 14：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第14题）14：函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0A >，0ω>，02πϕ<<，则ω=__________，sin ϕ=______________.解析：由图知，2A =，22T t t ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以2ω=.()2sin(2)f x x ϕ=+. 又62sin()25f ππϕ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以3sin 5ϕ=.故答案为2；35.15：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第15题） 15：已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________.解析：因为22323(5)5123012mm f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-，或0m =.当1m =-时，2232m m +-=-，不符题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为0.16：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第16题）16：已知函数()f x 的最小正周期为2，当[0,2]x ∈时，2()23f x x x =-++.若[2018,2020]x ∈-，则满足()4f x ≥的所有x 取值的和为_____________.解析：在函数()f x 的一个周期内，即[0,2]x ∈时，22()23(1)44f x x x x =-++=--+≤，又因为()4f x ≥，所以()4f x =，且当且仅当1x =时取得()14f =.在[2018,2020]x ∈-内共有2019个周期，且每个周期内的x 取奇数时的函数值为4，故所有的x 值之和为(2017)(2015)(1)13201720192019=-+-++-+++++=L L .故答案为2019.17：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第17题）17：设函数()|1|2|2|f x x x =-+-，若不等式()a f x b ≤≤的解集为[],a b ，则是下列说法中，正确的序号是_______________. ①b a a b >；②11a b -<-；③函数1()ln f x x x=-在(),a b 上有零点；④函数()log x b f x a x =-在(0,)x ∈+∞上单调递增.解析：（数形结合）由不等式|1|2|2|a x x b ≤-+-≤的解集为[],a b ，由|1|2|2|x x -+-的单调性结合图形可得|1|2|2|x x b -+-=的两根为a ，b ，解得5652a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1b a a b <<得①不正确；13|1||1|62a b -=<=-故②正确；显然当1()ln f x x x=-时，556ln 0665f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，552ln 0225f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭故在(),a b 上有零点，所以③正确；因为(0,1)a ∈，1b >，所以x a 为减函数，log b x 为增函数，故()log xb f x a x =-为减函数，所以④不正确 故填②③18：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第18题） 18：设集合{ |12}A x x =-<<，{}2|230B x x x =+-<. （1）求A B I ；（2）设集合{|20}C x x a =->，若A C ⊆，求实数a 的取值范围. 解析：（1）依题：{|12}A x x =-<<，{|31}B x x =-<<，所以{|11}A B x x =-<<I （2）题意知{}|202a C x x a x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，由于A C ⊆，所以12a ≤-，即2a ≤- 19：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第19题）19.已知cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值；（2）设角β的终边与单位圆的交点为,10P y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,)βπ∈，求2αβ-的大小.解析：（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5α==，所以4sin 22sin cos 5ααα==.（2）令角β的终边与单位圆的交点为,10P y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则cos β=，因为(0,)βπ∈所以sin 10β==，由（Ⅰ）知4sin 25α=，223cos 2cos sin 5ααα=-= 所以4tan 23α=，1tan 7β=，则tan 2tan tan(2)11tan 2tan βαββ--==-由cos β=得0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0,2(0,)2πααπ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭，所以2,2παβπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以24παβ-=20：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第20题） 20：已知函数()(1)xxf x a a a -=->.（1）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）若对于任意的[1,3]x ∈，()21(5)0f x f mx -+-≥恒成立，求实数m 的最大值. （1）解析：（单调性定义）()f x 在R 上是增函数.正明：取任意的12,x x R ∈，且12x x < 则()()()()()112211222111xx x x x x x xf x f x a aa a a a a --+⎛⎫-=---=-+ ⎪⎝⎭，又1a >，12x x <，则120x x a a ->，12110x x a ++>，则()()210f x f x ->，故()f x 在R 上是增函数.（2）解析：（奇偶性+单调性）注意到()()f x f x =-，则()f x 为奇函数，则()()221(5)01(5)f x f mx f x f mx -+-≥⇒-≥-， 由（1）可知，()f x 在R 上是增函数，则()221(5)15f x f mx x mx -≥-⇒-≥-， 则原问题等价于对于任意的[1,3]x ∈，215x mx -≥-恒成立，求实数m 的最大值. 即[1,3]x ∈，4m x x ≤+恒成立，易知当[1,3]x ∈时，min 44x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m 的最大值为4.21：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第21题） 21：已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若把()f x 图象上所有的点向左平行移动3π个单位后，得到函数()g x 的图象（1）求函数()g x 的解析式，并写出()g x 的单调增区间； （2）设函数()()2()h x f x g x =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求满足3()2h x ⎡∈-⎢⎣⎦的实数x 的取值范围. （1）解析：平移变换 由题意得：()sin 2sin 2cos 2362g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令2202k x k πππ-+≤≤+，解得2k x k πππ-+≤≤，则单调增区间,,2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）解析：辅助角公式3()()2()sin 22cos 22cos 226223h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，又3()2h x ⎡∈-⎢⎣⎦，得到1sin 232x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，则2233x ππ+=-或2336x πππ-≤+≤或542633x πππ≤+≤， 解得2x π=-或312x ππ-≤≤-或42x ππ≤≤，即,,231242x πππππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤∈---⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦U U . 22：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第22题）22：如图，AB 是半圆的直径，C ，D 是半圆上的两点，AB CD P ，2AD BC ==，设2(AB x x =>，四边形ABCD 的周长为()f x .（1）求函数()f x 的解析式； （2）若关于x 的方程12()4f x m x-=在区间[]2,4上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （3）记ABC V 的面积为()g x 是否存在实数a ，对于任意的1[2,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得()()124f x g x a -≥+成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（1）解析：如图，在Rt ACB V 中，过点C 作CE AB ⊥于点E ，则2BC BE BA =⋅，所以2BE x =，42CD x x=-，所以1()41f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，)x ∈+∞；（2）解析： 由[2,4]x ∈，12()4f x m x -=，得121x m x x-+-=， 所以121x m x x -+-=±，即31m x x -=-或11m x x-=+，由方程12()4f x m x-=在区间[]2,4上有两个不相等的实数根， 得513124m ≤-≤，即实数的取值范围是717,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）解析：()g x =，x >()g x a +=由题意知min min (()4)()f x g x a -≥+，因为1()44f x x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭在[]2,3上单调递增，所以()4(2)6f x f -≥=.所以min ()6g x a +≤，假设存在实数a 满足条件，则至少存在一个2x满足2x a +3a +>3a >，又2()10x a +-≥，所以当1a ≥-时，在[2,3]x ∈上，2()10x a +-≥恒成立，所以()g x a +在[]2,3上单调递增，()(2)g x a g a +≥+=6≤，解得22a ≤≤，所以12a -≤≤；31a -<<-时，存在23x =，使得()()2222106x a x a g x a ⎧+>⎪⎪+-≥⎨⎪+≤⎪⎩都满足，所以符合.综上，实数a的取值范围是2].。