青海省西宁五中、四中、十四中三校联考2015年高考数学模拟试卷文(含解析)
青海省西宁四中2015-2016学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科) 含解析
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2015—2016学年青海省西宁四中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.复数(i是虚数单位)的实部是()A.B.C. D.2.曲线f(x)=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1,则p0点的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(﹣1,﹣4)D.(1,0)和(﹣1,﹣4)3.菱形的对角线相等,正方形是菱形,所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误 D.结论错误4.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,﹣1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y﹣1=0 B.x﹣y﹣1=0 C.x+y+1=0 D.x﹣y+1=05.观察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102根据上述规律,13+23+33+43+53+63=()A.192B.202C.212D.2226.复数的计算结果是()A.﹣i B.﹣i C.i D.i7.已知f(n)=+++…+,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有n2﹣n项,当n=2时,f(2)=++D.f(n)中共有n2﹣n+1项,当n=2时,f(2)=++8.函数的最大值为()A.e﹣1B.e C.e2D.9.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=()A.﹣1 B.2 C.﹣5 D.﹣310.下列求导数运算正确的是()A. B.C.(3x)'=3x log3e D.(x2cosx)’=﹣2xsinx11.函数y=x3﹣3x2﹣9x(﹣2<x<2)有()A.极大值5,极小值﹣27 B.极大值5,极小值﹣11C.极大值5,无极小值D.极小值﹣27,无极大值12.函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,)C.(0,+∞)D.(﹣∞,3)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.已知自由下落物体的路程为,则物体在t0时刻的瞬时速度为.14.下列表述:①综合法是执因导果法;②分析法是间接证法;③分析法是执果索因法;④反证法是直接证法.正确的语句是(填序号).15.函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是16.已知=2,=3,=4,…若=6,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t=.三、解答题(共6小题,满分70分)17.已知复数z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i,(1)当实数m取什么值时,复数z是:①零;②纯虚数;③z=2+5i.(2)若在复平面C内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.18.已知函数f﹙x﹚=x3﹣3x.(1)求函数f﹙x﹚的单调区间;(2)求函数f﹙x﹚在区间[﹣3,2]上的最值.19.用分析法证明不等式:﹣<﹣(a≥2)20.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.21.观察如图三角形数表:假设第n行的第二个数为a n(n≥2,n∈N*).(1)依次写出第八行的所有8个数字;(2)归纳出a n与a n之间的关系式,并求出a n的通项公式.+122.已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R).(1)当时a=﹣4时,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围.2015-2016学年青海省西宁四中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.复数(i是虚数单位)的实部是()A.B.C. D.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数的除法运算把给出的复数化为a+bi(a,b∈R)的形式,则复数的实部可求.【解答】解:=.所以复数的实部为.故选B.2.曲线f(x)=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1,则p0点的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(﹣1,﹣4)D.(1,0)和(﹣1,﹣4)【考点】导数的几何意义.【分析】先设切点坐标,然后对f(x)进行求导,根据导数的几何意义可求出切点的横坐标,代入到f(x)即可得到答案.【解答】解:设切点为P0(a,b),f'(x)=3x2+1,k=f’(a)=3a2+1=4,a=±1,把a=﹣1,代入到f(x)=x3+x﹣2得b=﹣4;把a=1,代入到f(x)=x3+x﹣2得b=0,所以P0(1,0)和(﹣1,﹣4).故选D.3.菱形的对角线相等,正方形是菱形,所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误 D.结论错误【考点】演绎推理的意义.【分析】根据演绎推理的方法进行判断,首先根据判断大前提的正确与否,若正确则一步一步往下推,若错误,则无需往下推.【解答】解:∵菱形四条边相等,对角线垂直,但对角线不一定相等,∴对于菱形的对角线相等,正方形是菱形,所以正方形的对角线相等这段推理,首先大前提错误,故选:A4.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,﹣1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y﹣1=0 B.x﹣y﹣1=0 C.x+y+1=0 D.x﹣y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】设出切点坐标,求出函数的导数,利用导数的几何意义即可得到结论.【解答】解:∵f(x)=xlnx,∴函数的导数为f′(x)=1+lnx,设切点坐标为(x0,x0lnx0),∴f(x)=xlnx在(x0,x0lnx0)处的切线方程为y﹣x0lnx0=(lnx0+1)(x﹣x0),∵切线l过点(0,﹣1),∴﹣1﹣x0lnx0=(lnx0+1)(﹣x0),解得x0=1,∴直线l的方程为:y=x﹣1.即直线方程为x﹣y﹣1=0,故选:B.5.观察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102根据上述规律,13+23+33+43+53+63=()A.192B.202C.212D.222【考点】归纳推理;等差数列与等比数列的综合.【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律.观察前几个式子的变化规律,发现每一个等式左边为立方和,右边为平方的形式,且左边的底数在增加,右边的底数也在增加.从中找规律性即可.【解答】解:∵所给等式左边的底数依次分别为1,2;1,2,3;1,2,3,4;右边的底数依次分别为3,6,10,(注意:这里3+3=6,6+4=10),∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6,右边的底数为10+5+6=21.又左边为立方和,右边为平方的形式,故有13+23+33+43+53+63=212.故选C.6.复数的计算结果是()A.﹣i B.﹣i C.i D.i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接计算.【解答】解:===﹣i.故选:B.7.已知f(n)=+++…+,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有n2﹣n项,当n=2时,f(2)=++D.f(n)中共有n2﹣n+1项,当n=2时,f(2)=++【考点】数列的求和.【分析】观察数列的通项公式,可得分母n,n+1,n+2…n2构成以n为首项,以1为公差的等差数列,从而可得项数为n2﹣n+1【解答】解:分母n,n+1,n+2…n2构成以n为首项,以1为公差的等差数列项数为n2﹣n+1故选D8.函数的最大值为()A.e﹣1B.e C.e2D.【考点】函数在某点取得极值的条件.【分析】先找出导数值等于0的点,再确定在此点的左侧及右侧导数值的符号,确定此点是函数的极大值点还是极小值点,从而求出极值.【解答】解:令,当x>e时,y′<0;当x<e时,y′>0,,在定义域内只有一个极值,所以,故答案选A.9.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=()A.﹣1 B.2 C.﹣5 D.﹣3【考点】函数在某点取得极值的条件;导数的运算.【分析】根据函数导数和极值之间的关系,求出对应a,b,c的关系,即可得到结论.【解答】解:由三次函数的图象可知,x=2函数的极大值,x=﹣1是极小值,即2,﹣1是f′(x)=0的两个根,∵f(x)=ax3+bx2+cx+d,∴f′(x)=3ax2+2bx+c,由f′(x)=3ax2+2bx+c=0,得2+(﹣1)==1,﹣1×2==﹣2,即c=﹣6a,2b=﹣3a,即f′(x)=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a(x﹣2)(x+1),则===﹣5,故选:C10.下列求导数运算正确的是()A. B.C.(3x)'=3x log3e D.(x2cosx)'=﹣2xsinx【考点】导数的运算.【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证,即可得到正确答案.【解答】解:因为(x+)’=x’+()’=1﹣,故A错误;(log2x)′=,故B正确;(3x)′=3x ln3,故C错误;(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx﹣x2sinx,故D错误.故选:B.11.函数y=x3﹣3x2﹣9x(﹣2<x<2)有()A.极大值5,极小值﹣27 B.极大值5,极小值﹣11C.极大值5,无极小值D.极小值﹣27,无极大值【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求出y的导函数得到x=﹣1,x=3(因为﹣2<x<2,舍去),讨论当x<﹣1时,y′>0;当x>﹣1时,y′<0,得到函数极值即可.【解答】解:y′=3x2﹣6x﹣9=0,得x=﹣1,x=3,当x<﹣1时,y′>0;当x>﹣1时,y′<0, =5;x取不到3,无极小值.当x=﹣1时,y极大值故选C12.函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,) C.(0,+∞)D.(﹣∞,3)【考点】函数在某点取得极值的条件.【分析】先对函数求导,函数在(0,1)内有极小值,得到导函数等于0时,求出x的值,这个值就是函数的极小值点,使得这个点在(0,1)上,求出a的值.【解答】解:根据题意,y’=3x2﹣2a=0有极小值则方程有解a>0x=±所以x=是极小值点所以0<<10<<10<a<故选B二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.已知自由下落物体的路程为,则物体在t0时刻的瞬时速度为gt0.【考点】变化的快慢与变化率.【分析】因为物体运动过程中的瞬时速度是位移关于时间的函数的导数,所以只需求导,再求t=t0的导数即可.【解答】解:∵s=,∴s′=gt∴物体在t0时刻的瞬时速度为gt0故答案为gt014.下列表述:①综合法是执因导果法;②分析法是间接证法;③分析法是执果索因法;④反证法是直接证法.正确的语句是①③(填序号).【考点】命题的真假判断与应用;综合法与分析法(选修);反证法与放缩法.【分析】针对证明方法的定义和特点以及分类,逐个选项验证即可.【解答】解:综合法是执因导果,从前到后,分析法是执果索因,从后往前,综合法和分析法都是直接证法,反证法是一种间接证法,故可判断①③正确,②④错误.故答案为:①③15.函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】先对函数进行求导,然后令导函数大于0求出x的范围即可.【解答】解:∵y=x3+x2﹣5x﹣5∴y'=3x2+2x﹣5令y’=3x2+2x﹣5>0 解得:x<﹣,x>1故答案为:(﹣∞,﹣),(1,+∞)16.已知=2,=3,=4,…若=6,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t=41.【考点】类比推理.【分析】观察所给的等式,等号右边是,,…第n个应该是,左边的式子,写出结果.【解答】解:观察下列等式=2,=3,=4,…照此规律,第5个等式中:a=6,t=a2﹣1=35a+t=41.故答案为:41.三、解答题(共6小题,满分70分)17.已知复数z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i,(1)当实数m取什么值时,复数z是:①零;②纯虚数;③z=2+5i.(2)若在复平面C内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】在复数a+bi中复数为0需满足a=b=0,为纯虚数需满足a=0,b≠0,复数对应的点在第四象限需满足a>0,b<0,逐个求解即可得答案.【解答】解:(1)复数z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i,①复数z是零,则,解得m=1;②复数z是纯虚数,则,解得m=0;③z=2+5i,则,解得:m=2.(2)在复平面C内,z所对应的点在第四象限,则,解得﹣3<m<0.18.已知函数f﹙x﹚=x3﹣3x.(1)求函数f﹙x﹚的单调区间;(2)求函数f﹙x﹚在区间[﹣3,2]上的最值.【考点】函数的单调性及单调区间;函数的最值及其几何意义.【分析】(1)求出导数,令导数大于0,得增区间.令导数小于0,得减区间;(2)求出函数的导数,求得极值和端点的函数值,比较即可得到最值.【解答】解:(1)函数f﹙x﹚=x3﹣3x的导数为f′(x)=3x2﹣3,令f′(x)>0,可得x>1或x<﹣1,令f′(x)<0,可得﹣1<x<1,即有f(x)的增区间为(1,+∞),(﹣∞,﹣1),减区间为(﹣1,1);(2)由f′(x)=3x2﹣3=0,可得x=±1,由(1)可得f(﹣1)为极大值,且为2,f(1)为极小值,且为﹣2,又f(﹣3)=﹣27+9=﹣18,f(2)=8﹣6=2,即有f(x)的最小值为﹣18,最大值为2.19.用分析法证明不等式:﹣<﹣(a≥2)【考点】综合法与分析法(选修).【分析】寻找使不等式成立的充分条件,直到使不等式成立的充分条件显然成立,要证的不等式得证.【解答】证明:要证﹣<﹣(a≥2),只要证+<+,即证a+1+a﹣2+2<a﹣1+a+2,即<,即(a+1)(a﹣2)<a(a﹣1),即a2﹣a﹣2<a2﹣a,即﹣2<0.而﹣2<0显然成立,故﹣<﹣(a≥2)成立.20.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)依题意有,f’(1)=0,f’(2)=0.求解即可.(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立⇔f(x)max<c2在区间[0,3]上成立,根据导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求c的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f’(x)=6x2+6ax+3b,因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f'(1)=0,f'(2)=0.即解得a=﹣3,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3﹣9x2+12x+8c,f'(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2).当x∈(0,1)时,f’(x)>0;当x∈(1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,3)时,f’(x)>0.所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x ∈[0,3],有f (x )<c 2恒成立,所以9+8c <c 2,解得c <﹣1或c >9,因此c 的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞).21.观察如图三角形数表:假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2,n ∈N *).(1)依次写出第八行的所有8个数字;(2)归纳出a n +1与a n 之间的关系式,并求出a n 的通项公式.【考点】数列的函数特性;归纳推理.【分析】(1)其规律:每行除首末数字与行数相同外,每个数等于其肩上两数字之和. (2)由已知:a n +1=n +a n (n ≥2,n ∈N +),再利用“累加求和”即可得出.【解答】解:(1)其规律:每行除首末数字与行数相同外,每个数等于其肩上两数字之和. ∴第八行为:8,29,63,91,91,63,29,8.(2)由已知:a n +1=n +a n (n ≥2,n ∈N +),∴a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1,a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2,…a 4﹣a 3=3,a 3﹣a 2=2,a 2=2 将以上各式相加的:∴a n 的通项公式为:.22.已知函数f (x )=x 2+2x +alnx(a ∈R ).(1)当时a=﹣4时,求f (x )的最小值;(2)若函数f (x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a 的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系.【分析】(1)当a=﹣时,f (x )=x 2+2x ﹣4lnx ,x >0.,由此能求出f (x )的极小值.(2)由f (x )=x 2+2x +alnx(a ∈R ),知,设g (x )=2x 2+2x +a,由函数f (x )在区间(0,1)上为单调函数,能求出实数a 的取值范围.【解答】解:(1)当a=﹣4时,f (x)=x 2+2x ﹣4lnx ,x >0,令f ′(x)=0,得x=﹣2(舍),或x=1,列表,得x (0,1) 1 (1,+∞)f′(x) ﹣0 +f(x)↓极小值↑∴f(x)的极小值f(1)=1+2﹣4ln1=3,∵f(x)=x2+2x﹣4lnx,x>0只有一个极小值,∴当x=1时,函数f(x)取最小值3.(2)∵f(x)=x2+2x+alnx(a∈R),∴,(x>0),设g(x)=2x2+2x+a,∵函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,∴g(0)≥0,或g(1)≤0,∴a≥0,或2+2+a≤0,∴实数a的取值范围是{a|a≥0,或a≤﹣4}.2016年11月3日。
2015-2016年青海省西宁四中高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
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2015-2016学年青海省西宁四中高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是()A.不存在x∈R,x3﹣x2+1≤0B.存在x∈R,x3﹣x2+1≤0C.对任意的x∈R,x3﹣x2+1>0D.存在x∈R,x3﹣x2+1>02.(5分)某四棱锥三视图如图所示,则该四棱锥体积为()A.B.16C.32D.3.(5分)若直线4x+3y+1=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则()A.k=﹣,b=B.k=﹣,b=﹣C.k=,b=D.k=,b=﹣4.(5分)圆(x+2)2+y2=4与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离5.(5分)命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆否命题是()A.若x2≥1,则x≥1或x≤﹣1B.若﹣1<x<1,则x2<1C.若x>1或x<﹣1,则x2>1D.若x≥1或x≤﹣1,则x2≥16.(5分)设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为()A.B.y=±2x C.D.7.(5分)若直线l:ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为()A.1B.﹣1C.﹣2或1D.﹣1或﹣2 8.(5分)已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,b∥α,则a∥α;③a∥α,b∥α,则a∥b;其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.39.(5分)设椭圆的标准方程为,若焦点在x轴上,则实数k的取值范围是()A.k>5B.5<k<9C.k<5D.k>910.(5分)已知=(2,3,5),=(3,x,y),若∥,则()A.B.x=9,y=15C.D.x=﹣9,y=﹣1511.(5分)如图,在三棱锥S﹣ABC中,E为棱SC的中点,若AC=2,SA=SB=AB=BC=SC=2,则异面直线AC与BE所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°12.(5分)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1C.D.二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)双曲线的离心率为.14.(5分)“x>1”是“x2>x”的条件.15.(5分)已知过A(﹣2,a),B(a,10)两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行,则a的值为.16.(5分)直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于.三.解答题:(本大题共6小题,共70分)17.(10分)求经过两直线l1:3x+4y﹣2=0与l2:2x+y+2=0的交点P且垂直于直线l3:x﹣2y﹣2=0的直线l的方程.18.(12分)已知a>0且a≠1,设命题p:函数y=log a x在区间(0,+∞)内单调递减;q:曲线y=x2+(2a﹣3)x+1与x轴有两个不同的交点,如果p∧q为真命题,试求a的取值范围.19.(12分)椭圆,其两焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且,求椭圆C的方程.20.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.21.(12分)过点(4,﹣3)作圆C:(x﹣3)2+(y﹣1)2=1的切线,求此切线的方程.22.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=(Ⅰ)求该抛物线的方程(Ⅱ)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.2015-2016学年青海省西宁四中高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是()A.不存在x∈R,x3﹣x2+1≤0B.存在x∈R,x3﹣x2+1≤0C.对任意的x∈R,x3﹣x2+1>0D.存在x∈R,x3﹣x2+1>0【解答】解:∵命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为:存在x∈R,x3﹣x2+1>0故选:D.2.(5分)某四棱锥三视图如图所示,则该四棱锥体积为()A.B.16C.32D.【解答】解:由三视图可知四棱锥为正四棱锥,棱锥的底面边长为4,棱锥的高为2.所以四棱锥的体积V==.故选:D.3.(5分)若直线4x+3y+1=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则()A.k=﹣,b=B.k=﹣,b=﹣C.k=,b=D.k=,b=﹣【解答】解:由直线方程3x+2y﹣6=0化为斜截式:y=﹣x﹣.可得斜率k=﹣,在y轴上的截距为b=﹣.故选:B.4.(5分)圆(x+2)2+y2=4与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离【解答】解:圆(x+2)2+y2=4的圆心C1(﹣2,0),半径r=2.圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的圆心C2(2,1),半径R=3,两圆的圆心距d==,R+r=5,R﹣r=1,R+r>d>R﹣r,所以两圆相交,故选:B.5.(5分)命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆否命题是()A.若x2≥1,则x≥1或x≤﹣1B.若﹣1<x<1,则x2<1C.若x>1或x<﹣1,则x2>1D.若x≥1或x≤﹣1,则x2≥1【解答】解:原命题的条件是““若x2<1”,结论为“﹣1<x<1”,则其逆否命题是:若x≥1或x≤﹣1,则x2≥1.故选:D.6.(5分)设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为()A.B.y=±2x C.D.【解答】解:由已知得到,因为双曲线的焦点在x轴上,故渐近线方程为;故选:C.7.(5分)若直线l:ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为()A.1B.﹣1C.﹣2或1D.﹣1或﹣2【解答】解:根据题意a≠0,由直线l:ax+y﹣2﹣a=0,令y=0,得到直线在x轴上的截距是,令x=0得到直线在y轴上的截距是2+a,根据题意得:=2+a,即a2+a﹣2=0,分解因式得:(a+2)(a﹣1)=0解得:a=﹣2或a=1.故选:C.8.(5分)已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,b∥α,则a∥α;③a∥α,b∥α,则a∥b;其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解答】解:对于①,若a⊂α,则结论不成立;对于②,若a⊂α,显然结论不成立;对于③,以三棱柱ABC﹣DEF为例,AB∥平面DEF,BC∥平面EDF,而AB与BC 不平行.故结论不成立.故选:A.9.(5分)设椭圆的标准方程为,若焦点在x轴上,则实数k的取值范围是()A.k>5B.5<k<9C.k<5D.k>9【解答】解:∵椭圆的标准方程为,焦点在x轴上,∴9﹣k>5﹣k>0,解得k<5.故选:C.10.(5分)已知=(2,3,5),=(3,x,y),若∥,则()A.B.x=9,y=15C.D.x=﹣9,y=﹣15【解答】解:由题意可得:=(2,3,5),=(3,x,y),并且∥,所以,所以,x=,.故选:A.11.(5分)如图,在三棱锥S﹣ABC中,E为棱SC的中点,若AC=2,SA=SB=AB=BC=SC=2,则异面直线AC与BE所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解答】解:取SA的中点F,连接EF,BF,则∵E为棱SC的中点,∴EF∥AC,∴∠BEF(或其补角)为异面直线AC与BE所成的角,∵AC=2,SA=SB=AB=BC=SC=2,∴BE=EF=BF=,∴∠BEF=60°.故选:C.12.(5分)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1C.D.【解答】解:∵F是抛物线y2=x的焦点,F()准线方程x=,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=,|BF|=,∴|AF|+|BF|==3解得,∴线段AB的中点横坐标为,∴线段AB的中点到y轴的距离为.故选:C.二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)双曲线的离心率为.【解答】解:因为双曲线的方程为,所以a2=4,a=2,b2=5,所以c2=9,c=3,所以离心率e=.故答案为.14.(5分)“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件.【解答】解:∵x2>x,∴x>1或x<0,∴x>1⇒x2>x,∴x>1是x2>x充分不必要,故答案为充分不必要.15.(5分)已知过A(﹣2,a),B(a,10)两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行,则a的值为2.【解答】解:由直线2x﹣y+1=0化为y=2x+1,可知其斜率为2.∵过A(﹣2,a),B(a,10)两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行,∴k AB=2,∴,解得a=2.故答案为:2.16.(5分)直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于4.【解答】解:过点A作AC⊥弦BD,垂足为C,连接AB,可得C为BD的中点.由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0,得(x﹣3)2+(y﹣1)2=25.知圆心A为(3,1),r=5.由点A(3,1)到直线x+2y=0的距离AC==.在直角三角形ABC中,AB=5,AC=,根据勾股定理可得BC===2,则弦长BD=2BC=4.故答案为:4三.解答题:(本大题共6小题,共70分)17.(10分)求经过两直线l1:3x+4y﹣2=0与l2:2x+y+2=0的交点P且垂直于直线l3:x﹣2y﹣2=0的直线l的方程.【解答】解:由,解得,由于点P的坐标是(﹣2,2).则所求直线l与x﹣2y﹣2=0垂直,可设直线l的方程为2x+y+m=0.把点P的坐标代入得2×(﹣2)+2+m=0,即m=2.所求直线l的方程为2x+y+2=0.18.(12分)已知a>0且a≠1,设命题p:函数y=log a x在区间(0,+∞)内单调递减;q:曲线y=x2+(2a﹣3)x+1与x轴有两个不同的交点,如果p∧q为真命题,试求a的取值范围.【解答】解:当P为真时,0<a<1,当Q为真时,△=(2a﹣3)2﹣4>0,即a>或a<,如果p∧q为真命题,则p,q均为真命题,∵“P且Q”为假,“P或Q”为真,∴P与Q必是一真一假,∴,∴0<a<.19.(12分)椭圆,其两焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且,求椭圆C的方程.【解答】解:由椭圆的定义可得:|PF1|+|PF2|=2a=3+5,又=,a2=b2+c2,解得a=4,c=2,b=2.∴椭圆C的方程为=1.20.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.【解答】解:方法一:(1)证明:连接AC,AC交BD于O,连接EO.∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,所以,PA∥平面EDB(2)证明:∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD.(3)解:由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角.由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB.设正方形ABCD的边长为a,则,.在Rt△PDB中,.在Rt△EFD中,,∴.所以,二面角C﹣PB﹣D的大小为.方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a.(1)证明:连接AC,AC交BD于G,连接EG.依题意得.∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为且.∴,这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB.(2)证明;依题意得B(a,a,0),.又,故.∴PB⊥DE.由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.(3)解:设点F的坐标为(x0,y0,z0),,则(x0,y0,z0﹣a)=λ(a,a,﹣a).从而x0=λa,y0=λa,z0=(1﹣λ)a.所以.由条件EF⊥PB知,,即,解得∴点F的坐标为,且,∴即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角.∵,且,,∴.∴.所以,二面角C﹣PB﹣D的大小为.21.(12分)过点(4,﹣3)作圆C:(x﹣3)2+(y﹣1)2=1的切线,求此切线的方程.【解答】解:设过P点的圆的切线为y+3=k(x﹣4),即kx﹣y﹣4k﹣3=0它与圆心(3,1)的距离等于半径,故=1.解得,k=,过P点的圆的切线方程:15x+8y﹣36=0当k不存在即过(4,﹣3)与x轴垂直的直线方程:x=4.故过P点的圆的切线方程为15x+8y﹣36=0或x=4.22.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=(Ⅰ)求该抛物线的方程(Ⅱ)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.【解答】解:(Ⅰ)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(,0),则直线AB的方程为y=2(x﹣),代入抛物线的方程,可得4x2﹣5px+p2=0,可得x1+x2=p,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p,由已知,得p+p=,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x;(Ⅱ)由p=2可得2x2﹣5x+2=0,可得x=2或,即有A(,﹣),B(2,2),设=(x 3,y3)=(,﹣)+λ(2,2)=(+2λ,﹣+2λ),即有x3=+2λ,y3=﹣+2λ,由y32=4x3,可得[(2λ﹣1)]2=4(+2λ),即(2λ﹣1)2=1+4λ,解得λ=0或2.赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减. (2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤; yxo(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.。
青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷文(含解析)
![青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷文(含解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/ba04f8f876a20029bd642db5.png)
2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|0≤x≤2},则A∩B=()A.[﹣1,0)B.[﹣1,0] C.[0,1] D.(﹣∞,1)∪[2,+∞)A啊2.已知向量=(1,﹣2),=(x,4),且∥,则•=()A.5 B.﹣5 C.10 D.﹣103.若复数z满足(1﹣i)z=1+i,则|z+i|=()A.0 B.1 C.2 D.34.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2﹣bc,bc=4,则△ABC 的面积为()A.B.1 C.D.25.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出S的值为()A.4 B.8 C.10 D.126.设a、b是两条不同直线,α、β是两个不同平面,则下列命题错误的是()A.若a⊥α,b∥α,则a⊥b B.若a⊥α,b∥a,b⊂β,则α⊥βC.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b D.若a∥α,a∥β,则α∥β7.已知x,y满足约束条件,若z=2x+y的最大值和最小值分别为a,b,则a+b=()A.7 B.6 C.5 D.48.正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,若存在a m,a n,使得a m•a n=16a12,则的最小值为()A.2 B.16 C.D.9.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x﹣的零点依次为a,b,c,则()A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c10.一个几何体的三视图如图所示,它的一条对角线的两个端点为A、B,则经过这个几何体的面,A、B间的最短路程是()A.5 B. C.4 D.311.点P在双曲线﹣=1(a>0,b>0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是()A.B.C.2 D.512.对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数:(i)对任意的x∈[0,1],恒有f(x)≥0;(ii)当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则下列三个函数中不是M函数的个数有()①f(x)=x2②f(x)=x2+1③f(x)=2x﹣1.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在题中的横线上.)13.已知函数f(x)=,则f(1)﹣f(3)= .14.已知实数a∈[﹣2,5],则a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为.15.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电原价是元.16.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为.三、解答题(本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a3=2,S5=a7.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n及S n;(Ⅱ)若a4,a4+m,a4+n(m,n∈N*)成等比数列,求n的最小值.18.教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一,“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题.某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度,从A,B,C,D四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查,每个区域选出的人数如条形图所示.为了了解学生家长的满意程度,对每位家长都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下面表格所示:(Ⅰ)若家长甲来自A区域,求家长甲的调查问卷被选中的概率;(Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出2人进行面谈,求这2人中至少有一人来自D区域的概率.19.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DE的中点.(Ⅰ)求证:BE∥平面ACF;(Ⅱ)求四棱锥E﹣ABCD的体积.20.(2009•山东)设椭圆E:过,两点,O为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B,且?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由.21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2﹣2x(a<0)(1)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;(2)若a=﹣且关于x的方程f(x)=﹣x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.《选修4-1:几何证明选讲》请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.(Ⅰ)求证:PM2=PA•PC;(Ⅱ)若⊙O的半径为2,OA=OM,求MN的长.《选修4-4:坐标系与参数方程》23.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以原点O为极点,以轴正半轴x为极轴,圆C的极坐标方程为(Ⅰ)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(2,0),试求的值.《选修4-5:不等式选讲》24.(选修4﹣5:不等式选讲)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|0≤x≤2},则A∩B=()A.[﹣1,0)B.[﹣1,0] C.[0,1] D.(﹣∞,1)∪[2,+∞)【考点】交集及其运算.【专题】集合.【分析】由A与B,求出A与B的交集即可.【解答】解:∵A=[﹣1,1],B=[0,2],∴A∩B=[0,1],故选:C.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.已知向量=(1,﹣2),=(x,4),且∥,则•=()A.5 B.﹣5 C.10 D.﹣10【考点】平面向量数量积的运算.【专题】平面向量及应用.【分析】首先利用向量平行得到x,然后利用数量积的坐标运算得到所求.【解答】解:因为向量=(1,﹣2),=(x,4),且∥,所以4+2x=0,解得x=﹣2,故•=﹣2﹣(﹣2)×4=﹣10;故选:D.【点评】本题考查了平面向量平行的坐标性质以及数量积的坐标运算;属于基础题.3.若复数z满足(1﹣i)z=1+i,则|z+i|=()A.0 B.1 C.2 D.3【考点】复数求模.【专题】计算题;数系的扩充和复数.【分析】根据复数的四则运算先求出复数z,再计算复数z+i的模长.【解答】解:∵(1﹣i)z=1+i,∴z===i,∴|z+i|=|2i|=2.故选:C.【点评】本题考查了复数的四则运算与求复数模长的应用问题,是基础题目.4.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2﹣bc,bc=4,则△ABC 的面积为()A.B.1 C.D.2【考点】余弦定理.【专题】解三角形.【分析】由已知及余弦定理可求cosA,从而可求sinA的值,结合已知由三角形面积公式即可得解.【解答】解:∵a2=b2+c2﹣bc,∴由余弦定理可得:cosA===,又0<A<π,∴可得A=60°,sinA=,∵bc=4,∴S△ABC=bcsinA==.故选:C.【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式的应用,解题时要注意角范围的讨论,属于基本知识的考查.5.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出S的值为()A.4 B.8 C.10 D.12【考点】循环结构.【专题】图表型.【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8,可得:进入循环的条件为i<8,即i=2,4,6,8.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.【解答】解:当i=2时,S=(1×2)=2,i=2+2=4,k=2;当i=4时,S=(2×4)=4,i=4+2=6,k=3;当i=6时,S=(4×6)=8,i=6+2=8,k=4;当i=8时,不满足i<8,退出循环,输出S=8.故选B.【点评】本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理.6.设a、b是两条不同直线,α、β是两个不同平面,则下列命题错误的是()A.若a⊥α,b∥α,则a⊥b B.若a⊥α,b∥a,b⊂β,则α⊥βC.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b D.若a∥α,a∥β,则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】证明题.【分析】由题设条件a、b是两条不同直线,α、β是两个不同平面,在此背景下,对四个选项中的条件与结论进行探讨,得出正确答案.【解答】解:A选项不正确,由于a⊥α,b∥α,可得出a⊥b,故此命题是正确命题B选项不是正确选项,若a⊥α,b∥a,可得出b⊥α,又b⊂β,由字定理知则α⊥β,故此命题是正确命题C选项不是正确选项,若a⊥α,b⊥β,α∥β两条直线分别垂直于两个平行平面,可得出a∥b,故此命题是正确命题D选项是正确选项,a∥α,a∥β,不能得出α∥β,因为平行于同一直线的两个平面可能相交故选D【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,解答本题关键是熟练掌握线面间位置关系的判断条件以及较好的空间想像能力.7.已知x,y满足约束条件,若z=2x+y的最大值和最小值分别为a,b,则a+b=()A.7 B.6 C.5 D.4【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(1,﹣1),B(3,0),化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z,由图可知,当直线y=﹣2x+z过A时,直线在y轴上的截距最小,z最小等于2×1﹣1=1;当直线y=﹣2x+z过B时,直线在y轴上的截距最大,z最大等于2×3﹣0=6.∴a+b=1+6=7.故选:A.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.8.正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,若存在a m,a n,使得a m•a n=16a12,则的最小值为()A.2 B.16 C.D.【考点】等差数列的性质;等比数列的通项公式.【专题】综合题;等差数列与等比数列.【分析】正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,知q=2,由存在两项a m,a n,使得a m a n=16a12,知m+n=6,由此问题得以解决.【解答】解:∵正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,∴a1q2=a1q+2a1,即:q2=q+2,解得q=﹣1(舍),或q=2,∵存在a m,a n,使得a m a n=16a12,∴a12•2m+n﹣2=16a12,∴m+n=6,∴=(m+n)()=(10++)≥(10+2)=∴的最小值为.故选:C.【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答.注意不等式也是高考的热点,尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查,两者都兼顾到了.9.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x﹣的零点依次为a,b,c,则()A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c【考点】函数零点的判定定理.【专题】函数的性质及应用.【分析】首先,在同一坐标系中作出函数的图象,然后观察得到它们图象的交点的横坐标,从而得到大小关系.【解答】解:函数f(x)=2x+x的零点为a,也就是说函数,图象的交点的横坐标,同理,g(x)=log3x+x,h(x)=x﹣的零点也就是函数的图象的交点的横坐标,在同一坐标系中作出函数的图象,如下图所示:故有a<b<c,故选:A.【点评】本题主要考查数形结合思想在解题中的灵活运用,注意常见函数的图象及其性质.10.一个几何体的三视图如图所示,它的一条对角线的两个端点为A、B,则经过这个几何体的面,A、B间的最短路程是()A.5 B. C.4 D.3【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题;简单空间图形的三视图.【专题】计算题;作图题.【分析】画出解答几何体的部分侧面展开图,容易解得AB的最小值.【解答】解:三视图复原几何体是长方体,AB侧面展开图以及数据如图,所以|AB|的最小值为:故选B.【点评】本题考查空集几何体的三视图,及其侧面展开图,是基础题.11.点P在双曲线﹣=1(a>0,b>0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是()A.B.C.2 D.5【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;等差数列与等比数列;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a,c=d,a=d,由离心率公式计算即可得到.【解答】解:设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知:m﹣(m﹣d)=2a,m+d=2c,(m﹣d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,c=d,a=d,故离心率e==5.故选D.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题.12.对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数:(i)对任意的x∈[0,1],恒有f(x)≥0;(ii)当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则下列三个函数中不是M函数的个数有()①f(x)=x2②f(x)=x2+1③f(x)=2x﹣1.A.0 B.1 C.2 D.3【考点】抽象函数及其应用.【专题】综合题;函数的性质及应用.【分析】利用已知条件函数的新定义,对选项逐一验证两个条件,判断即可.【解答】解:对于条件(i):在[0,1]上,三个函数都满足;条件(ii):x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1;对于①,f(x1+x2)﹣[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2﹣(x21+x22)=2x1x2≥0,满足条件(ii);对于②,f(x1+x2)﹣[f(x1)+f(x2)]=[(x1+x2)2+1]﹣[(x21+1)+(x22+1)]=2x1x2﹣1<0,不满足条件(ii).对于③,f(x1+x2)﹣[f(x1)+f(x2)]=﹣=()()≥0,满足条件(ii).故选:B.【点评】本题通过函数的运算与不等式的比较,另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案,本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在题中的横线上.)13.已知函数f(x)=,则f(1)﹣f(3)= ﹣11 .【考点】函数的值.【专题】函数的性质及应用.【分析】结合已知条件,利用分段函数的性质求解.【解答】解:∵函数f(x)=,∴f(1)﹣f(3)=(2×1﹣3)﹣(9+1)=﹣1﹣10=﹣11.故答案为:﹣11.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合理运用.14.已知实数a∈[﹣2,5],则a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为.【考点】几何概型;一元二次不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用;概率与统计.【分析】先化简集合{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0},再求对应的几何概率即可.【解答】解:∵{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}={x∈R|(x+1)(x﹣3)≤0}={x∈R|﹣1≤x≤3}=[﹣1,3],且a∈[﹣2,5];∴a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为P==.故答案为:.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了几何概型的概率计算问题,是基础题目.15.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电原价是2250 元.【考点】一次函数的性质与图象.【专题】应用题;函数的性质及应用.【分析】设出每台彩电的原价,从而可得方程,即可求得结论.【解答】解:设每台彩电的原价是x元,则有:(1+40%)x×0.8﹣x=270,解得:x=2250,故答案为:2250.【点评】本题考查一元一次方程的应用,关键在于找出题目中的等量关系,根据等量关系列出方程解答.16.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为.【考点】球内接多面体.【专题】空间位置关系与距离.【分析】设出球的半径,利用棱锥的体积公式,求解半径,然后求解半球的体积.【解答】解:连结AC,BD交点为0,设球的半径为r,由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r.则AB=,四棱锥的体积为: =,解得r=,半球的体积为: =.故答案为:.【点评】本题考查四棱锥SABCD的体积的计算,确定球的半径关系式是关键.三、解答题(本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a3=2,S5=a7.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n及S n;(Ⅱ)若a4,a4+m,a4+n(m,n∈N*)成等比数列,求n的最小值.【考点】等差数列的性质;等比数列的通项公式.【专题】综合题;等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)设公差为d,利用a3=2,S5=a7,建立方程组,求出a1=﹣2,d=2,即可求数列{a n}的通项公式a n及S n;(Ⅱ)若a4,a4+m,a4+n(m,n∈N*)成等比数列,可得,考察函数,知f(x)在(0,+∞)上单调递增,即可求n的最小值.【解答】解:(Ⅰ)设公差为d,由题意,得…解得a1=﹣2,d=2,…所以a n=﹣2+(n﹣1)×2=2n﹣4,….…(Ⅱ)因为a4,a4+m,a4+n成等比数列,所以,…即(2m+4)2=4(2n+4),…化简,得,…考察函数,知f(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为,f(2)=6,n∈N*,所以当m=2时,n有最小值6.…【点评】本题考查等差数列的通项与求和,考查等比数列的性质,确定数列的通项是关键.18.教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一,“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题.某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度,从A,B,C,D四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查,每个区域选出的人数如条形图所示.为了了解学生家长的满意程度,对每位家长都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下面表格所示:(Ⅰ)若家长甲来自A区域,求家长甲的调查问卷被选中的概率;(Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出2人进行面谈,求这2人中至少有一人来自D区域的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.【专题】概率与统计.【分析】(Ⅰ)通过频率分布直方图,来自A区域的家长为40人,通过分层抽样可得从A 区域的家长问卷中抽取的数目,然后求解概率.(II)设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人,至少有一人来自区域D”从填写不满意的学生中选出2人的基本事件个数,而事件N的个数,然后求解概率.【解答】(本小题共13分)解:(Ⅰ)由条形图可得,来自A,B,C,D四个区域的家长共有200人,…其中来自A区域的家长为40人,…由分层抽样可得从A区域的家长问卷中抽取了份.…设事件M=“家长甲被选中进行问卷调查”,…则.…(II)由图表可知,来自A,B,C,D四区域的家长分别接受调查的人数为4,5,6,5.其中不满意的家长人数分别为1,1,0,2个.…记来自A区域不满意的家长是a;来自B区域不满意的家长是b;来自D区域不满意的家长是c,d.…设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人,至少有一人来自区域D”…从填写不满意的学生中选出2人,共有:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件,…而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件,…故.…【点评】本题考查分层抽样,频率分布直方图以及古典概型的概率的求法,基本知识的考查.19.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DE的中点.(Ⅰ)求证:BE∥平面ACF;(Ⅱ)求四棱锥E﹣ABCD的体积.【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】综合题;空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)连结BD和AC交于O,连结OF,证明OF∥BE,即可证明BE∥平面ACF;(Ⅱ)证明EG⊥平面ABCD,即可求四棱锥E﹣ABCD的体积.【解答】(Ⅰ)证明:连结BD和AC交于O,连结OF,…∵ABCD为正方形,∴O为BD中点,∵F为DE中点,∴OF∥BE,…∵BE⊄平面ACF,OF⊂平面ACF,∴BE∥平面ACF.…(Ⅱ)解:作EG⊥AD于G,则∵AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,∴AE⊥CD,∵ABCD为正方形,∴CD⊥AD,∵AE∩AD=A,AD,AE⊂平面DAE,∴CD⊥平面DAE,…∴CD⊥EG,∵AD∩CD=D,∴EG⊥平面ABCD…∵AE⊥平面CDE,DE⊂平面CDE,∴AE⊥DE,∵AE=DE=2,∴,…∴四棱锥E﹣ABCD的体积V=××=…【点评】本题考查线面平行,考查线面垂直,考查四棱锥E﹣ABCD的体积,掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键.20.(2009•山东)设椭圆E:过,两点,O为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B,且?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由.【考点】圆与圆锥曲线的综合.【分析】(1)利用待定系数法,可求椭圆E的方程;(2)分类讨论,设出切线方程与椭圆方程联立,要使,需使x1x2+y1y2=0,结合韦达定理,即可求解.【解答】解:(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,所以,解得,所以,所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为y=kx+m.解方程组得x2+2(kx+m)2=8,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,则△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0,即8k2﹣m2+4>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则.要使,需使x1x2+y1y2=0,即,所以3m2﹣8k2﹣8=0,所以.又8k2﹣m2+4>0,所以,所以,即或,因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所以,所以,所以所求的圆为,此时圆的切线y=kx+m都满足或,而当切线的斜率不存在时,切线为与椭圆的两个交点为或,满足,综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.【点评】本题考查利用待定系数法求椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2﹣2x(a<0)(1)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;(2)若a=﹣且关于x的方程f(x)=﹣x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.【考点】函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数的极值.【专题】计算题.【分析】(1)对函数f(x)进行求导,令导数大于等于0在x>0上恒成立即可.(2)将a的值代入整理成方程的形式,然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题.【解答】解:(1)f'(x)=﹣(x>0)依题意f'(x)≥0 在x>0时恒成立,即ax2+2x﹣1≤0在x>0恒成立.则a≤=在x>0恒成立,即a≤[﹣1]min x>0当x=1时,﹣1取最小值﹣1∴a的取值范围是(﹣∝,﹣1](2)a=﹣,f(x)=﹣x+b∴设g(x)=则g'(x)=列表:∴g(x)极小值=g(2)=ln2﹣b﹣2,g(x)极大值=g(1)=﹣b﹣,又g(4)=2ln2﹣b﹣2∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.则,得ln2﹣2<b≤﹣.【点评】本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.《选修4-1:几何证明选讲》请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.(Ⅰ)求证:PM2=PA•PC;(Ⅱ)若⊙O的半径为2,OA=OM,求MN的长.【考点】与圆有关的比例线段.【专题】计算题;证明题.【分析】(Ⅰ)做出辅助线连接ON,根据切线得到直角,根据垂直得到直角,即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°,根据同角的余角相等,得到角的相等关系,得到结论.(Ⅱ)本题是一个求线段长度的问题,在解题时,应用相交弦定理,即BM•MN=CM•MA,代入所给的条件,得到要求线段的长.【解答】(Ⅰ)证明:连接ON,因为PN切⊙O于N,∴∠ONP=90°,∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON,∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O,∴∠OBN+∠BMO=90°,故∠BNP=∠BMO=∠PMN,PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC(Ⅱ)∵OM=2,BO=2,BM=4∵BM•MN=CM•MA=(2+2)(2﹣2)(2﹣2)=8,∴MN=2【点评】本题要求证明一个PM2=PA•PC结论,实际上这是一个名叫切割线定理的结论,可以根据三角形相似对应边成比例来证明,这是一个基础题.《选修4-4:坐标系与参数方程》23.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以原点O为极点,以轴正半轴x为极轴,圆C的极坐标方程为(Ⅰ)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(2,0),试求的值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【专题】坐标系和参数方程.【分析】(I)由,展开化为ρ2=(ρcosθ﹣ρsinθ),把代入即可得出.(II)把直线l的参数方程是(t为参数)代入圆的方程可得:,利用根与系数的关系可得|t1﹣t2|=.利用==即可得出.【解答】解:(I)由,展开化为ρ2=(ρcosθ﹣ρsinθ),化为x2+y2=4x﹣4y,即(x﹣2)2+(y+2)2=8.(II)把直线l的参数方程是(t为参数)代入圆的方程可得:,∴t1+t2=﹣2,t1t2=﹣4<0.|t1﹣t2|===2.∴====.【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.《选修4-5:不等式选讲》24.(选修4﹣5:不等式选讲)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法;函数单调性的性质.【专题】压轴题;不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数y的图象,数形结合可得结论.(Ⅱ)不等式化即1+a≤x+3,故x≥a﹣2对都成立.故﹣≥a﹣2,由此解得a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y=,它的图象如图所示:结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,故x≥a﹣2对都成立.故﹣≥a﹣2,解得a≤,故a的取值范围为(﹣1,].【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,函数的单调性的应用,体现了数形结合以及转化的数学思想,属于中档题.。
2020年青海省西宁四中、五中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)
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2020年青海省西宁四中、五中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(二)(4月份)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.设i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|≤0},B={0,1,2,3},则A∩B=()A. {-1,0,1}B. {0,1}C. {-1,0}D. {0}3.已知向量=(,||=,且⊥(-),则(+)•(-3)=()A. 15B. 19C. -15D. -194.已知平面α⊥平面β,交于直线l,且直线a⊂α,直线b⊂β,则下列命题错误的是()A. 若a∥b,则a∥l或b∥lB. 若a⊥b,则a⊥l且b⊥lC. 若直线a,b都不平行直线l,则直线a必不平行直线bD. 若直线a,b都不垂直直线l,则直线a必不垂直直线b5.给出下列四个命题:①命题p:;②的值为0;③若f(x)=x2-ax+1为偶函数,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y=2x.④已知随机变量ξ~N(1,1),若P(-1<ξ<3)=0.9544,则P(ξ<3)=0.9772.其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果,则二项式的展开式中常数项的系数是()A. -20B. 20C.D. 607.设实数x,y满足约束条件,则目标函数的取值范围是()A. B.C. D.8.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的表面积为()A.B. 8πC. 6πD.9.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数f′(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为()A. f(x)=4sin(x+π)B. f(x)=4sin(x+)C. f(x)=4sin(x+)D. f(x)=4sin(x+)10.已知命题p:若a>2且b>2,则a+b<ab;命题q:∃x>0,使(x-1)•2x=1,则下列命题中为真命题的是()A. p∧qB. (¬p)∧qC. p∧(¬q)D. (¬p)∧(¬q)11.点P在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是()A. B. C. 2 D. 512.如图所示的图形是弧三角形,又叫莱洛三角形,它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点,则此点取自等边三角形内的概率是A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.设随机变量X~B(6,),则P(X=3)=______.14.已知递减等差数列{a n}中,a3=-1,a4为a1,-a6等比中项,若S n为数列{a n}的前n项和,则S7的值为______.15.如图,在△ABC中,=,P是线段BD上一点,若=m+,则实数m的值为______.16.若函数f(x)=1+|x|+,则f(lg2)+f(lg)+f(lg5)+f(lg)=______.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.已知在△ABC中,2B=A+C,且c=2a.(1)求角A,B,C的大小;(2)设数列{a n}满足,前n项和为S n,若S n=20,求n的值.18.经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:年龄x2832384248525862收缩压y(单位114118122127129135140147 mmHg)其中:,,(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;(的值精确到0.01)(3)若规定,一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的1.06~1.12倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的1.12~1.20倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的1.20倍及以上,则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?19.在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,腰长为2,D、E分别是边AB、BC的中点,将△BDE沿DE翻折,得到四棱锥B-ADEC,且F为棱BC中点,BA=.(1)求证:EF⊥平面BAC;(2)在线段AD上是否存在一点Q,使得AF∥平面BEQ?若存在,求二面角Q-BE-A 的余弦值,若不存在,请说明理由.20.椭圆C:的左、右焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),若椭圆过点.(1)求椭圆C的方程;(2)若A,B为椭圆的左、右顶点,P(x0,y0)(y0≠0)为椭圆上一动点,设直线AP,BP分别交直线l:x=6于点M,N,判断线段MN为直径的圆是否经过定点,若是,求出该定点坐标;若不恒过定点,说明理由.21.已知函数f(x)=x2+(1-x)e x(e为自然对数的底数),g(x)=x-(1+a)ln x-,a<1.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数g(x)的极小值;(3)若对任意的x1∈[-1,0],总存在x2∈[e,3],使得f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围.22.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ;(Ⅰ)求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l与曲线C交点分别为A,B,点P(1,0),求的值.23.已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|,(Ⅰ)解不等式f(x)≤9;(Ⅱ)若不等式f(x)<2x+a的解集为A,B={x|x2-3x<0},且满足B⊆A,求实数a的取值范围.-------- 答案与解析 --------1.答案:B解析:解:=i(1+i)=-1+i,对应复平面上的点为(-1,1),在第二象限,故选:B.先化简复数,再得出点的坐标,即可得出结论.本题考查复数的运算,考查复数的几何意义,考查学生的计算能力,比较基础.2.答案:D解析:解:∵集合A={x|≤0}={x|-1≤x<1},B={0,1,2,3},∴A∩B={0}.故选:D.集合A={x|≤0}={x|-1≤x<1},B={0,1,2,3},A∩B.本题考查交集的求法,考查交集、不等式性质等基础知识,考查运用求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.3.答案:D解析:解:向量=(,||=,且⊥(-),可得,,(+)•(-3)==-=-4-15=-19.故选:D.利用向量的垂直以及向量的模,数量积化简求解即可.本题考查向量的数量积的求法,向量的模,考查转化思想以及计算能力.4.答案:B解析:解:由平面α⊥平面β,交于直线l,且直线a⊂α,直线b⊂β,知:若a∥b,则a∥l且b∥l,故A正确;若a⊥b,则a与l不一定垂直且b与l不一定垂直,故B错误;若直线a,b都不平行直线l,则由平行公理得直线a必不平行直线b,故C正确;若直线a,b都不垂直直线l,则由线面垂直的性质得直线a必不垂直直线b,故D正确.故选:B.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.5.答案:B解析:解:①命题p的¬p:∃x>2,x2-1≤0;故①错误,②=(2x-cos x)|=2π-cosπ-(-2π-cos(-π))=2π+1-(-2π+1)=4π;故②错误;③若f(x)=x2-ax+1为偶函数,则f(-x)=f(x),即x2+ax+1=x2-ax+1,即ax=-ax,则a=-a,即a=0,则f(x)=x2+1,则f(1)=2,f′(x)=2x,则f′(1)=2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y-2=2(x-1),即y=2x,故③正确.④已知随机变量ξ~N(1,1),若P(-1<ξ<3)=0.9544,则P(ξ≥3)=P(ξ≤-1)=(1-P(-1<ξ<3))=(1-0.9544)=0.0228,则P(ξ<3)=1-P(ξ≥3)=1-0.228=0.9772,故④正确,故正确的命题是③④,共两个,故选:B.①根据全称命题的否定是特称命题进行判断②根据积分的定义和公式进行计算③根据偶函数的定义先求出a=0,然后结合导数的几何意义进行求解判断④根据概率的对称性结合概率公式进行求解判断即可本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强,但难度不大.6.答案:A解析:解:模拟程序框图的运行过程,如下:i=0,s=1,i=1,i<4,是,s==-1;i=2,2<4,是,s==3;i=3,3<4,是,s==;i=4,4<4,否,退出循环,输出s的值为.∴二项式(-)6的展开式的通项是T r+1=•()6-r•(-)r=(-1)r••()6-2r•x3-r;令3-r=0,得r=3;∴常数项是T4=(-1)3••()0=-20.故选:A.模拟程序框图的运行过程,求出输出S的值,再求二项式的展开式中常数项的系数值.本题考查了程序框图的应用以及二项式定理的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,并利用二项式的通项公式进行计算,属于基础题.7.答案:D解析:解:由约束条件作出可行域如图,联立,得A(1,-1),联立,得B(1,3).由=,而.∴目标函数的取值范围是[,].故选:D.由约束条件作出可行域,再由目标函数的几何意义,即可行域内的点与定点(-1,0)连线的斜率求解.本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题.8.答案:B解析:【分析】本题考查了空间几何体三视图以及表面积的计算问题,是基础题.由三视图得出该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱,结合图中数据求出三棱柱的外接球的半径,然后求解表面积.【解答】解:由几何体的三视图可得:该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱,底面是等腰直角三角形,斜边长为2,高为1,棱柱的高为2.设底面外接圆半径为r,则r=1,三棱柱外接球的半径是,故外接球的半径为:.所以三棱柱外接球的表面积为:4=8π.故选:B.9.答案:B解析:解:根据题意,对函数f(x)=A sin(ωx+φ)求导,可得f′(x)=ωA cos(ωx+φ),由导函数的图象可得A=2,再由=•=-(-),求得ω=.则Aω=2,即A=4,∴导函数f′(x)=2cos(x+φ),把(,0)代入得:2cos(+φ)=0,且|φ|<π,解得φ=,故函数f(x)的解析式为f(x)=4sin(x+).故选:B.对函数f(x)=A sin(ωx+φ)求导,可得f′(x),由导函数f′(x)的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,从而求得函数的解析式.本题主要考查由函数y=A sin(ωx+∅)的部分图象求解析式,由函数的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,从而求得函数的解析式,属于中档题.10.答案:A解析:解:若a>2且b>2,则<且<,得+<1,即<1,从而a+b<ab,∴命题p为真.∵直线y=x-1与函数y=的图象在(0,+∞)内有唯一交点,则方程x-1=有正数解,即方程(x-1)•2x=1有正数解,∴命题q为真,∴p∧q为真命题.故选:A.利用基本不等式的性质判断p为真命题,由直线y=x-1与函数y=的图象在(0,+∞)内有唯一交点,可得命题q为真命题,再由复合命题的真假判断得答案.本题考查复合命题的真假判断,考查基本不等式的应用,考查函数零点的判定方法,是中档题.11.答案:D解析:解:设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知:m-(m-d)=2a,m+d=2c,(m-d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,c=d,a=d,故离心率e==5.故选:D.设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a,c=d,a=d,由离心率公式计算即可得到.本题主要考查等差数列的定义和性质,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题.12.答案:B解析:解:正三角形的边长为1,则圆的半径为1,三角形对应的扇形面积为=,正三角形的面积S==,则一个弓形面积S=-,则整个区域的面积为3(-)+=-,则在此图形内随机取一点,则此点取自等边三角形内的概率是=,故选:B.设正三角形的边长为1,求出正三角形的面积以及弓形面积,结合几何概型的概率公式进行计算即可.本题主要考查几何概型的概率的计算,根据条件求出对应图形的面积是解决本题的关键.13.答案:解析:解:∵随机变量X服从二项分布B(6,),∴P(X=3)=C36()3×(1-)3=.故答案为:.根据条件中所给的变量符合二项分布,写出变量取值不同时对应的概率公式,本题x=3,代入公式得到要求的概率.本题考查二项分布的概率计算公式,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.14.答案:-14解析:解:设递减等差数列{a n}的公差d<0,a3=-1,a4为a1,-a6等比中项,∴a1+2d=-1,=-a6×a1,即=-(a1+5d)×a1,联立解得:a1=1,d=-1.则S7=7-=-14.故答案为:-14.设递减等差数列{a n}的公差d<0,a3=-1,a4为a1,-a6等比中项,可得a1+2d=-1,=-a6×a1,即=-(a1+5d)×a1,联立解出即可得出.本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.答案:解析:解:∵;∴;又;∴;∵B,P,D三点共线;∴;∴.故答案为:.根据即可得出,代入即可得到,这样再根据B,P,D三点共线即可得出,解出m即可.考查向量数乘的几何意义,向量的数乘运算,以及三点共线的充要条件.16.答案:6解析:解:f(x)=1+|x|+,∴f(-x)+f(x)=2+2|x|,∵lg=-lg2,lg=-lg5,∴f(lg2)+f(lg)+f(lg5)+f(lg)=2×2+2(lg2+lg5)=6,故答案为:6根据指数与对数的运算的性质计算即可.本题考查了指数与对数的运算,考查了抽象概括能力和运算求解能力17.答案:解:(1)由已知2B=A+C,又A+B+C=π,所以,又由c=2a,所以,所以c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形,,(2)所以,由.解得2k+2=6,所以k=2,所以n=4或n=5.解析:(1)利用余弦定理以及已知条件求出三角形内角的大小即可.(2)化简数列的通项公式,通过数列求和,转化求解即可.本题考查数列与三角函数相结合,余弦定理的应用,数列求和,考查计算能力.18.答案:解:(1)由表中数据,可得散点图:(如下)(2)∴回归直线方程为.(3)根据回归直线方程的预测,年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.91×70+88.05=151.75(mmHg)∵∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群.解析:(1)根据表中数据即可得散点图.(2)由题意求出,,,,代入公式求值,从而得到回归直线方程;(3)将x=70带入计算,根据题干已知规定即可判断70岁的老人,属于哪类人群.本题考查了线性回归方程的求法及应用,属于基础题.19.答案:(1)证明:取AB中点H,连结DH、HF,在等腰Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,AB=AC=2,D、E分别是边AB、BC的中点,∴AD=BD=1,又∵翻折后,∴翻折后AD⊥BD,且△ADB为等腰直角三角形,则DH⊥AB,∵翻折后DE⊥AD,DE⊥BD,且AD∩BD=D,∴DE⊥平面ADB,∵DE∥AC,∴AC⊥平面ADB,则AC⊥DH,又AB∩AC=A,∴DH⊥平面ABC,又∵HF∥AC,DE∥AC,且HF=AC=DE,∴DEFH是平行四边形,则EF∥DH,∴EF⊥平面ABC;(2)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz.则A(0,1,0),B(0,0,1),E(1,0,0),C(2,1,0),,设Q(0,t,0)(0≤t≤1),则,设平面BQE的法向量为=(x,y,z),则由,取y=1,则=(t,1,t),要使AF∥平面BEQ,则须,∴,即线段AD上存在一点,使得AF∥平面BEQ,设平面BAE的法向量为=(x,y,z),则由,取y=1,则=(1,1,1),∴cos<>=,∵二面角Q-BE-A为锐二面角,∴其余弦值为,即线段AD上存在一点Q(点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点),使得AF∥平面BEQ,此时二面角Q-BE-A的余弦值为.解析:(1)取AB中点H,连结DH、HF,在等腰Rt△ABC中,由已知可得AD=BD=1,则DH⊥AB,由线面垂直的判定可得DE⊥平面ADB,进一步得到AC⊥平面ADB,则AC⊥DH,可得DH⊥平面ABC,然后证明DEFH是平行四边形,得EF∥DH,从而得到EF⊥平面ABC;(2)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz.求出A,B,E,C,F的坐标,设Q(0,t,0)(0≤t≤1),求出平面BQE的法向量,由=0求得,即线段AD 上存在一点,使得AF∥平面BEQ,再求出平面BAE的法向量为,由两法向量所成角的余弦值可得二面角Q-BE-A的余弦值.本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.20.答案:解:(1)由已知c=1,∴a2=b2+1①∵椭圆过点,∴②联立①②得a2=4,b2=3,∴椭圆方程为;(2)设P(x0,y0),已知A(-2,0),B(2,0),∵y0≠0,∴x0≠±2∴AP,BP都有斜率∴,∴,③∵,∴,④将④代入③得,设AP方程y=k(x-2),∴BP方程,∴,由对称性可知,若存在定点,则该定点必在x轴上,设该定点为T(t,0),则,∴,∴(6-t)2=24,∴,∴存在定点或以线段MN为直径的圆恒过该定点.解析:(1)由题意,椭圆C的焦点为(-1,0),(1,0),且过点(1,),由椭圆的定义,可得a的值,从而可求椭圆C的方程;(2)设P(x0,y0),已知A(-2,0),B(2,0),根据斜率公式,可得,求出直线AP,BP的方程,再根据向量的垂直即可求出.本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查恒过定点问题,考查分类讨论的数学思想,综合性强.21.答案:解:(1)∵f′(x)=x(1-e x),∴f′(1)=1-e,即切线的斜率是1-e,又f(1)=,则切点坐标是(1,),故f(x)在x=1处的切线方程是y-=(1-e)(x-1),即2(e-1)x+2y-2e+1=0;(2)∵g′(x)==,a<1,函数g(x)的定义域是{x|x>0},∴0<a<1时,令g′(x)>0,解得:0<x<a或x>1,令g′(x)<0,解得:a<x<1,∴g(x)在(0,a)递增,在(a,1)递减,在(1,+∞)递增,∴g(x)的极小值为g(1)=1-a,a≤0时,令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,解得:0<x<1,∴g(x)的极小值是g(1)=1-a,综上,函数g(x)的极小值是1-a;(3)若对任意的x1∈[-1,0],总存在x2∈[e,3],使得f(x1)>g(x2)成立,等价于f(x)在[-1,0]上的最小值大于函数g(x)在[e,3]上的最小值,x∈[-1,0]时,f′(x)=x(1-e x)≤0,当且仅当x=0时不等式取“=”,∴f(x)在[-1,0]上单调递减,∴f(x)在[-1,0]上的最小值是f(0)=1,由(2)得,g(x)在[e,3]递减,∴g(x)在[e,3]的最小值是g(e)=e-(a+1)-,故1>e-(a+1)-,解得:a>,又a<1,故a∈(,1).解析:(1)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),求出切线方程即可;(2)求出g(x)的导数,通过讨论a的范围,确定函数的单调区间,从而求出函数的极小值即可;(3)问题等价于f(x)在[-1,0]上的最小值大于函数g(x)在[e,3]上的最小值,分别求出f(x),g(x)的极小值,得到关于a的不等式,解出即可.本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、最值、极值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查转化思想、分类讨论思想,是一道综合题.22.答案:解:(Ⅰ)∵直线l的参数方程为(t为参数),∴直线l的直角坐标方程为l:x+y-1=0.------2分∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,∴曲线C的直角坐标方程为C:x2+y2-4x=0.--------4分(Ⅱ)将直线l的参数方程为(t为参数)代入曲线C的方程,得:,--------6分∴|t1-t2|==,------8分∴==.------10分.解析:(Ⅰ)直线l的参数方程消去参数,能求出直线l的直角坐标方程;由曲线C的极坐标方程,能求出曲线C的直角坐标方程.(Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C的方程,得,由此能求出的值.本题考查直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程、两线段的倒数和的求法,考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.23.答案:解:(Ⅰ)f(x)≤9可化为|2x-4|+|x+1|≤9,故,或,或;…(2分)解得:2<x≤4,或-1≤x≤2,或-2≤x<-1;…(4分)不等式的解集为[-2,4];…(5分)(Ⅱ)易知B=(0,3);…(6分)所以B⊆A,又|2x-4|+|x+1|<2x+a在x∈(0,3)恒成立;…(7分)⇒|2x-4|<x+a-1在x∈(0,3)恒成立;…(8分)⇒-x-a+1<2x-4<x+a-1在x∈(0,3)恒成立;…(9分)故…(10分)解析:(Ⅰ)通过讨论x的范围得到关于x的不等式组,解出即可;(Ⅱ)求出B,根据集合的包含关系求出a的范围即可.本题考查了解绝对值不等式问题,考查函数恒成立以及分类讨论思想,转化思想,是一道中档题.。
青海省西宁五中、四中、十四中2017届高三联考模拟试卷(文)(word版,附答案)
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青海省西宁五中、四中、十四中2017届高三联考模拟试卷(文)(时间:120分钟.满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.1.如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部是互为相反数,则a 的值等于( ) A .2B .1C .2-D .1-2、已知向量,a b满足||1,||1a b a b ==⋅= ,则a 与b 的夹角为 ( )A 、3πB 、34πC 、4πD 、6π3.在等差数列}{n a 中,69327a a a -=+,n S 表示数列}{n a 的前n 项和,则=11S ( )A .18B .99C .198D .2974.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( ) A .π32 B .π16 C .π12D .π85.已知点)43cos ,43(sinππP 落在角θ的终边上,且)2,0[πθ∈,则θ的值为( )A .4πB .43πC .45πD .47π6.按如下程序框图,若输出结果为170,则判断框内应补充的条件为( ) A .5i >B .7i ≥C .9i >D .9i ≥7.若平面向量)2,1(-=与的夹角是︒180,且53||=b ,则的坐标为( ) A .)6,3(- B .)6,3(- C .)3,6(- D .)3,6(-8.若函数)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图,其中b a ,为常数,则函数b a x g x+=)(的大致图像是( )9.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C:x225+y 29=1的左、右焦点分别是F 1、F 2,P 为椭圆C上的一点,且PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2的面积为 ( ) A 6 B 10 C 9 D 7 10.已知,是的导函数,即,,…,,,则( )A .B .C .D . 11. 等差数列{}n a 中,8776,S S S S ><,真命题有__________(写出所有满足条件的序号)①前七项递增,后面的项递减 ② 69S S <③1a 是最大项 ④7S 是n S 的最大项A .②④B .①②④C .②③④D .①②③④12. 已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数,当01x ≤≤时,2()f x x =,如果直线y x a =+与曲线()y f x =恰有两个交点,则实数a 的值为( )A .0B .2()k k Z ∈C .122()4k k k Z -∈或D .122()4k k k Z +∈或()1sin cos f x x x=+()1n f x +()n f x ()()21f x f x '=()()32f x f x '=()()1n n f x f x +'=*N n ∈()2015f x =sin cos x x +sin cos x x --sin cos x x -sin cos x x -+二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分。
青海省西宁五中片区大联考(四校联考)2014届下学期高三年级5月高考模拟试卷数学试卷(文科)
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青海省西宁五中片区大联考(四校联考)2014届下学期高三年级5月高考模拟试卷数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。
1.若集合}1|{},02|{2>=<-=x x B x xx A ,则B A 为( )A .}21|{<<x xB .}20|{<<x xC .}2|{>x xD .}1|{>x x2. 设i 为虚数单位,则复数2i i-=( ) A .12i + B .12i - C .12i --D .12i -+3. 阅读程序框图,输出的结果i 的值为( ) A .5 B .6 C .7 D .94. 下列函数,其中既是偶函数又在区间0,1()上单调递减的函数为( ) A .xy 1=B .x y cos =C .2x y =D .x y lg = 5.将函数3y sin(x )π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位,则所得函数图象对应的解析式为( )A 、123y sin(x )π=- B 、26y sin(x )π=- C 、12y sinx = D 、126y sin(x )π=- 6. 直线5x y +=和圆22: x 40O y y +-=的位置关系是( ) A .相离 B .相切 C .相交不过圆心D .相交过圆心7. 设向量(1,2),(2,),//,|3|a b y a b a b ==-+若则等于( ) A . 26 B .6CD .58.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A .13B .23C. 1D. 2 9. 如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++=( )A.14B.21C.28D.35 10. 对具有线性相关关系的变量x 和y ,测得一组数据如下表:若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5,这条回归直线的方程为( ) A.6.517y x =+ B. 6.517.5y x =+C.6.518y x =+ D. 6.527.5y x =+11. 函数121()()2xf x x =-的零点个数为( ) A .0B .1C .2D .312. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ,直线c a x 2=与其渐近线交于A ,B两点,且ABF ∆为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( )A.+∞,)B. (1,3)C.(+∞)D. (1,2)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =14. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-07202201y x y x y x ,则y x z +=的最大值是15.边长是ABC ∆内接于体积是的球O ,则球面上的点到平面ABC 的最大距离为 16. 下列说法:① “R x ∈∃,使x2>3”的否定是“R x ∈∀,使≤x23”;② 函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是π;③ “在ABC ∆中,若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题;④ “1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件;其中正确的说法是 (只填序号).三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.(1)求sin sin CA的值; (2)若cosB=14,b=2,ABC ∆的面积S 。
青海省西宁市五中、四中、十四中届高三数学下学期联考试题 理-课件
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西宁市2015--2016学年度三校联考数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间为120分钟,其中第Ⅱ卷22题-24题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一...项.是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1. 已知集合{11}A x x =-≤≤,2{20}B x x x =-≤,则A B =A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞2.已知复数z 满足z(1+i)2=1-i ,则复数z 对应的点在________上( )A .直线y =-12xB .直线y =12x C.直线y =-12 D .直线x =-123.已知1,==a b ,且()⊥-a a b ,则向量a 与向量b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 3πD. 23π4.已知实数a ,b ,c 满足不等式0<a <b <c <1,且M =2a,N =5-b,P =ln c ,则M ,N ,P 的大小关系为( )A . P <N <MB .P <M <NC .M <P <ND .N <P <M5.在递增的等比数列{a n }中,已知a 1+a n =34,a 3·a n -2=64,且前n 项和为S n =42,则n =( )A.6 B .5 C .4 D .36.已知ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-,4bc =,则ABC∆的面积为A.12B. 1D. 27.把函数f(x)=sin 2x-2sinxcosx+3cos 2x 的图像沿x 轴向左平移m(m>0)个单位,所得函数g(x)的图像关于直线x= π8对称,则m 的最小值为 ( )A.4π B.3π C.2π D.43π 8. 已知函数()0()210x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩,若函数()f x 在R 上有两个零点,则a 的取值范围是( )A .(),1-∞-B .(),0-∞C .()1,0-D .[)1,0- 9.已知双曲线x 2a 2 − y2b 2=1(a>0,b>0),过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于N M ,两点,O 是坐标原点,若ON OM ⊥则双曲线的离心率( )A .错误!未找到引用源。
2015-2016年青海省西宁四中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
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2015-2016学年青海省西宁四中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数(i是虚数单位)的实部是()A.B.C.D.2.(5分)曲线f(x)=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1,则p0点的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(﹣1,﹣4)D.(1,0)和(﹣1,﹣4)3.(5分)菱形的对角线相等,正方形是菱形,所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论错误4.(5分)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,﹣1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y﹣1=0B.x﹣y﹣1=0C.x+y+1=0D.x﹣y+1=0 5.(5分)观察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102根据上述规律,13+23+33+43+53+63=()A.192B.202C.212D.2226.(5分)复数的计算结果是()A.﹣i B.﹣i C.i D.i7.(5分)已知f(n)=+++…+,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有n2﹣n项,当n=2时,f(2)=++D.f(n)中共有n2﹣n+1项,当n=2时,f(2)=++8.(5分)函数的最大值为()A.B.e C.e2D.9.(5分)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=()A.﹣1B.2C.﹣5D.﹣310.(5分)下列求导数运算正确的是()A.B.C.(3x)'=3x log3e D.(x2cos x)'=﹣2x sin x11.(5分)函数y=x3﹣3x2﹣9x(﹣2<x<2)有()A.极大值5,极小值﹣27B.极大值5,极小值﹣11C.极大值5,无极小值D.极小值﹣27,无极大值12.(5分)函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,)C.(0,+∞)D.(﹣∞,3)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知自由下落物体的路程为,则物体在t0时刻的瞬时速度为.14.(5分)下列表述:①综合法是执因导果法;②分析法是间接证法;③分析法是执果索因法;④反证法是直接证法.正确的语句是(填序号).15.(5分)函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是16.(5分)已知=2,=3,=4,…若=6,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t=.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)已知复数z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i,(1)当实数m取什么值时,复数z是:①零;②纯虚数;③z=2+5i.(2)若在复平面C内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.18.(12分)已知函数f(x)=x3﹣3x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[﹣3,2]上的最值.19.(12分)用分析法证明不等式:﹣<﹣(a≥2)20.(12分)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.21.(12分)观察如图三角形数表:假设第n行的第二个数为a n(n≥2,n∈N*).(1)依次写出第八行的所有8个数字;(2)归纳出a n+1与a n之间的关系式,并求出a n的通项公式.22.(12分)已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R).(1)当时a=﹣4时,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围.2015-2016学年青海省西宁四中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数(i是虚数单位)的实部是()A.B.C.D.【解答】解:=.所以复数的实部为.故选:B.2.(5分)曲线f(x)=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1,则p0点的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(﹣1,﹣4)D.(1,0)和(﹣1,﹣4)【解答】解:设切点为P0(a,b),f'(x)=3x2+1,k=f'(a)=3a2+1=4,a=±1,把a=﹣1,代入到f(x)=x3+x﹣2得b=﹣4;把a=1,代入到f(x)=x3+x﹣2得b=0,所以P0(1,0)和(﹣1,﹣4).故选:D.3.(5分)菱形的对角线相等,正方形是菱形,所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论错误【解答】解:∵菱形四条边相等,对角线垂直,但对角线不一定相等,∴对于菱形的对角线相等,正方形是菱形,所以正方形的对角线相等这段推理,首先大前提错误,故选:A.4.(5分)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,﹣1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y﹣1=0B.x﹣y﹣1=0C.x+y+1=0D.x﹣y+1=0【解答】解:∵f(x)=xlnx,∴函数的导数为f′(x)=1+lnx,设切点坐标为(x0,x0lnx0),∴f(x)=xlnx在(x0,x0lnx0)处的切线方程为y﹣x0lnx0=(lnx0+1)(x﹣x0),∵切线l过点(0,﹣1),∴﹣1﹣x0lnx0=(lnx0+1)(﹣x0),解得x0=1,∴直线l的方程为:y=x﹣1.即直线方程为x﹣y﹣1=0,故选:B.5.(5分)观察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102根据上述规律,13+23+33+43+53+63=()A.192B.202C.212D.222【解答】解:∵所给等式左边的底数依次分别为1,2;1,2,3;1,2,3,4;右边的底数依次分别为3,6,10,(注意:这里3+3=6,6+4=10),∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6,右边的底数为10+5+6=21.又左边为立方和,右边为平方的形式,故有13+23+33+43+53+63=212.故选:C.6.(5分)复数的计算结果是()A.﹣i B.﹣i C.i D.i【解答】解:===﹣i.故选:B.7.(5分)已知f(n)=+++…+,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有n2﹣n项,当n=2时,f(2)=++D.f(n)中共有n2﹣n+1项,当n=2时,f(2)=++【解答】解:分母n,n+1,n+2…n2构成以n为首项,以1为公差的等差数列项数为n2﹣n+1故选:D.8.(5分)函数的最大值为()A.B.e C.e2D.【解答】解:令,当x>e时,y′<0;当x<e时,y′>0,,在定义域内只有一个极值,所以,故选:A.9.(5分)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=()A.﹣1B.2C.﹣5D.﹣3【解答】解:由三次函数的图象可知,x=2函数的极大值,x=﹣1是极小值,即2,﹣1是f′(x)=0的两个根,∵f(x)=ax3+bx2+cx+d,∴f′(x)=3ax2+2bx+c,由f′(x)=3ax2+2bx+c=0,得2+(﹣1)==1,﹣1×2==﹣2,即c=﹣6a,2b=﹣3a,即f′(x)=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a(x﹣2)(x+1),则===﹣5,故选:C.10.(5分)下列求导数运算正确的是()A.B.C.(3x)'=3x log3e D.(x2cos x)'=﹣2x sin x【解答】解:因为(x+)'=x'+()'=1﹣,故A错误;(log2x)′=,故B正确;(3x)′=3x ln3,故C错误;(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2x cos x﹣x2sin x,故D错误.故选:B.11.(5分)函数y=x3﹣3x2﹣9x(﹣2<x<2)有()A.极大值5,极小值﹣27B.极大值5,极小值﹣11C.极大值5,无极小值D.极小值﹣27,无极大值【解答】解:y′=3x2﹣6x﹣9=0,得x=﹣1,x=3,当x<﹣1时,y′>0;当x>﹣1时,y′<0,当x=﹣1时,y极大值=5;x取不到3,无极小值.故选:C.12.(5分)函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,)C.(0,+∞)D.(﹣∞,3)【解答】解:根据题意,y'=3x2﹣2a=0有极小值则方程有解a>0x=±所以x=是极小值点所以0<<10<<10<a<故选:B.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知自由下落物体的路程为,则物体在t0时刻的瞬时速度为gt0.【解答】解:∵s=,∴s′=gt∴物体在t0时刻的瞬时速度为gt0故答案为gt014.(5分)下列表述:①综合法是执因导果法;②分析法是间接证法;③分析法是执果索因法;④反证法是直接证法.正确的语句是①③(填序号).【解答】解:综合法是执因导果,从前到后,分析法是执果索因,从后往前,综合法和分析法都是直接证法,反证法是一种间接证法,故可判断①③正确,②④错误.故答案为:①③15.(5分)函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是【解答】解:∵y=x3+x2﹣5x﹣5∴y'=3x2+2x﹣5令y'=3x2+2x﹣5>0 解得:x<﹣,x>1故答案为:(﹣∞,﹣),(1,+∞)16.(5分)已知=2,=3,=4,…若=6,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t=41.【解答】解:观察下列等式=2,=3,=4,…照此规律,第5个等式中:a=6,t=a2﹣1=35a+t=41.故答案为:41.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)已知复数z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i,(1)当实数m取什么值时,复数z是:①零;②纯虚数;③z=2+5i.(2)若在复平面C内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.【解答】解:(1)复数z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i,①复数z是零,则,解得m=1;②复数z是纯虚数,则,解得m=0;③z=2+5i,则,解得:m=2.(2)在复平面C内,z所对应的点在第四象限,则,解得﹣3<m<0.18.(12分)已知函数f(x)=x3﹣3x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[﹣3,2]上的最值.【解答】解:(1)函数f(x)=x3﹣3x的导数为f′(x)=3x2﹣3,令f′(x)>0,可得x>1或x<﹣1,令f′(x)<0,可得﹣1<x<1,即有f(x)的增区间为(1,+∞),(﹣∞,﹣1),减区间为(﹣1,1);(2)由f′(x)=3x2﹣3=0,可得x=±1,由(1)可得f(﹣1)为极大值,且为2,f(1)为极小值,且为﹣2,又f(﹣3)=﹣27+9=﹣18,f(2)=8﹣6=2,即有f(x)的最小值为﹣18,最大值为2.19.(12分)用分析法证明不等式:﹣<﹣(a≥2)【解答】证明:要证﹣<﹣(a≥2),只要证+<+,即证a+1+a﹣2+2<a﹣1+a+2,即<,即(a+1)(a﹣2)<a(a﹣1),即a2﹣a﹣2<a2﹣a,即﹣2<0.而﹣2<0显然成立,故﹣<﹣(a≥2)成立.20.(12分)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=6x2+6ax+3b,因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f'(1)=0,f'(2)=0.即解得a=﹣3,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3﹣9x2+12x+8c,f'(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2).当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,3)时,f'(x)>0.所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,所以9+8c<c2,解得c<﹣1或c>9,因此c的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞).21.(12分)观察如图三角形数表:假设第n行的第二个数为a n(n≥2,n∈N*).(1)依次写出第八行的所有8个数字;(2)归纳出a n+1与a n之间的关系式,并求出a n的通项公式.【解答】解:(1)其规律:每行除首末数字与行数相同外,每个数等于其肩上两数字之和.∴第八行为:8,29,63,91,91,63,29,8.(2)由已知:a n+1=n+a n(n≥2,n∈N+),∴a n﹣a n﹣1=n﹣1,a n﹣1﹣a n﹣2=n﹣2,…a4﹣a3=3,a3﹣a2=2,a2=2将以上各式相加的:∴a n 的通项公式为:.22.(12分)已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R).(1)当时a=﹣4时,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)当a=﹣4时,f(x)=x2+2x﹣4lnx,x>0,令f′(x)=0,得x=﹣2(舍),或x=1,列表,得∴f(x)的极小值f(1)=1+2﹣4ln1=3,∵f(x)=x2+2x﹣4lnx,x>0只有一个极小值,∴当x=1时,函数f(x)取最小值3.(2)∵f(x)=x2+2x+alnx(a∈R),∴,(x>0),设g(x)=2x2+2x+a,∵函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,∴g(0)≥0,或g(1)≤0,∴a≥0,或2+2+a≤0,∴实数a的取值范围是{a|a≥0,或a≤﹣4}.第11页(共11页)。
青海省西宁五中片区大联考(四校联考)高三数学5月模拟
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青海省西宁五中片区大联考(四校联考)2014年高三下学期5月高考模拟试卷数学文科一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。
1.若集合}1|{},02|{2>=<-=x x B x xx A ,则B A I 为( )A .}21|{<<x xB .}20|{<<x xC .}2|{>x xD .}1|{>x x 2. 设i 为虚数单位,则复数2i i-=( ) A .12i + B .12i - C .12i -- D .12i -+3. i 的值为( )A .5B .6C .7D .94. 下列函数,其中既是偶函数又在区间0,1()上单调递减的函数为( )A .xy 1=B .x y cos =C .2x y =D .x y lg = 5.将函数3y sin(x )π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位,则所得函数图象对应的解析式为( ) A 、123y sin(x )π=- B 、26y sin(x )π=-C 、12y sin x =D 、126y sin(x )π=-6. 直线5x y +=和圆22: x 40O y y +-=的位置关系是( )A .相离B .相切C .相交不过圆心D .相交过圆心7. 设向量(1,2),(2,),//,|3|a b y a b a b ==-+r r r r r r若则等于( )A . 26B .6C 17D .58.若某空间几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的体积是( ) A .13 B .23 C. 1 D. 2开始1S =结束3i =100?S ≥i 输出2i i =+2iS S =⨯是否9. 如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++=( )A.14B.21C.28D.35 10. 对具有线性相关关系的变量x 和y ,测得一组数据如下表:A.$ 6.517y x =+B. $6.517.5y x =+C.$ 6.518y x =+ D.$ 6.527.5y x =+11. 函数121()()2xf x x =-的零点个数为( ) A .0B .1C .2D .312. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ,直线c a x 2=与其渐近线交于A ,B两点,且ABF ∆为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( )A. +∞,) B. (1,3) C. (+∞) D. (1,2) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =14. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-07202201y x y x y x ,则y x z +=的最大值是15. 边长是ABC ∆内接于体积是的球O ,则球面上的点到平面ABC 的最大距离为 16. 下列说法:① “R x ∈∃,使x2>3”的否定是“R x ∈∀,使≤x23”;② 函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是π; ③ “在ABC ∆中,若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题;④ “1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件;其中正确的说法是 (只填序号).三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.(1)求sin sin CA的值; (2)若cosB=14,b=2,ABC ∆的面积S 。
青海省西宁四高2015高三上第一次月考数学文试卷
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青海省西宁四高2015高三上第一次月考数学文试卷考试时间:120分钟一、选择题(5×12=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设全集为R ,集合}1log {},4{22≥=>=x x N x x M ,则=N M A .[-2,2] B .)2,(--∞ C .),2(+∞ D .),2(+∞- 2.若复数z 满足(34)43i z i -=+,则z 的虚部为A .45-B .45C .4-D .4 3.执行如图所示的程序框图,当输出值为4时,输入x 的值为 A .2 B .2± C .-2或-3 D .2或-34.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ,则y x z -=的最大值是A .-1B .0C .3D .4 5.1)cos (sin 2-+=x x y 是 A. 最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数6.三棱锥的三视图如图,正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则此三棱锥的体积为 AC7.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为26,则此双曲线的渐近线方程为A .x 2y ±=B .x y 2±=C .x y 22±= D .x y 21±= 8.已知等差数列{}n a 的前13项之和为39,则=++876a a a A. 6 B. 9C. 12D. 18侧视图正视图俯视图9.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分,用茎叶图表示(如右图).1s ,2s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差,则1s 2s .A . >B . <C . =D .不能确定 10.函数2()21log f x x x =-+的零点所在的一个区间是A. (18,14)B. (14,12)C. (12,1) D. (1,2)11.已知函数⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,)(5.02x x x x x x f , 若对于任意R x ∈,不等式14)(2+-≤t t x f 恒成立,则实数t 的取值范围是A. (][)+∞∞-,21,B. (][)+∞∞-,31,C.[]3,1D. (][)+∞∞-,32,12.已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数,对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立;当]3,0[,21∈x x ,且21x x ≠时,都有0)()(2121>--x x x f x f .给出下列四个命题:①0)3(=f ;②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴;③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数;④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点. 其中正确命题的个数为A .1B .2C .3D .4二、填空题(5×4=20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知b a ⊥,2=a ,3=b ,且b a 2+与b a-λ垂直,则实数λ的值为 .14.集合{}{}3,2,1,3,2==B A ,从集合B A ,中各任意取一个数,则这两个数的和等于4的概率是 . 15处的切线的斜率为 .16.数列}{n a 的前n 项和记为n S ,11=a ,)1(121≥+=+n S a n n ,则}{n a 的通项公式为 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,其面积为S ,且S a c b 334222=-+. (1)求A ; (2)若35=a ,54cos =B ,求c .第9题图18.如图五面体中,四边形11C CBB 为矩形,N ABB C B 111平面⊥,四边形N ABB 1为梯形, 且1BB AB ⊥,4211====BB AN AB BC . (1)求证:BN 11C B N ⊥平面; (2)求此五面体的体积.19. 近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联表: (1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?(2)为了研究三高疾病是否与性别有关,请计算出统计量2K ,并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关?下面的临界值表供参考:(参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++)20.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,左右焦点分别为12,F F ,且12||2F F =,点(1,23)在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,且2AF B ∆l 的方程. 21. 已知322()2f x x ax a x =+-+.(1)若1a =,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程;(2)若0,a ≠ 求函数()f x 的单调区间.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.《选修4-4:坐标系与参数方程》已知直线L 的参数方程:⎩⎨⎧x =t ,y =1+2t ,(t 为参数)和圆C 的极坐标方程:ρ=22sin(θ+π4)(θ为参数).(1)求圆C 的直角坐标方程. (2)判断直线L 和圆C 的位置关系.23.《选修4-5:不等式选讲》 已知函数52)(---=x x x f . (1)证明:3)(3≤≤-x f ;(2)求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集.西宁市第四高级中学2015届高三1模考试数学答案(文科)三、解答题:17. (本小题满分12分) 解:(1)由已知得:A bc A bc sin 21334cos 2⋅=………4分 3tan =∴A ………5分 由A 是内角,∴ 060=A ………6分 (2)由54cos =B 得53in =B s ………7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π………10分 由正弦定理得:343sin sin +==ACa c ………12分19. (本小题满分12分) 解……………3分在患三高疾病人群中抽9人,则抽取比例为41369= ∴女性应该抽取34112=⨯人. …………………6分 (2)∵24363030)1261824(6022⨯⨯⨯⨯-⨯=K ……………8分879.710>=, ……………10分那么,我们有99.5%的把握认为是否患三高疾病与性别有关系.……………12分20. (本小题满分12分)解:(1)22143x y +=2222(2):134120,(34)690l x ty x y t y ty =-+-=+--=设代入得()1221212121222226134,||||||92341,11t y y t y y S F F y y y y t t x y ⎧+=⎪⎪+∴∴-=∴=-==⎨-⎪=⎪+⎩∴=∴-+=所求圆为。
2015-2016学年青海省西宁四中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
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2015-2016学年青海省西宁四中高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)的值为()A.B.﹣C.D.﹣2.(5分)某西方国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的,是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3.(5分)下面是关于复数z=的四个命题:其中的真命题为(),p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为﹣1.A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p44.(5分)将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位,所得到的图象解析式是()A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x C.f(x)=sin4x D.f(x)=cos4x 5.(5分)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件6.(5分)曲线y=5x+lnx在点(1,5)处的切线方程为()A.4x﹣y+1=0B.4x﹣y﹣1=0C.6x﹣y+1=0D.6x﹣y﹣1=0 7.(5分)在极坐标系中,点(2,)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为()A.2B.C.D.8.(5分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表:则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性()A.甲B.乙C.丙D.丁9.(5分)设cos(﹣α)=,则sin2α=()A.﹣B.﹣C.D.10.(5分)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是()A.=﹣10x+200B.=10x+200C.=﹣10x﹣200D.=10x﹣200 11.(5分)若直线l:(t为参数)与曲线C:(θ为参数)相切,则实数m为()A.﹣4或6B.﹣6或4C.﹣1或9D.﹣9或1 12.(5分)已知函数f(x),(x∈R)上任一点(x0,y0)的切线方程为y﹣y0=(x0﹣2)(x02﹣1)(x﹣x0),那么函数f(x)的单调递减区间是()A.[﹣1,+∞)B.(﹣∞,2]C.(﹣∞,﹣1)和(1,2)D.[2,+∞)二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:,(t为参数)过椭圆C:(θ为参数)的右顶点,则常数a的值为.14.(5分)在△ABC中,若a=,b=,A=30°,则c=.15.(5分)若执行如图所示的程序框图,若•是i<6,则输出的S值为.16.(5分)f(x)=x(x﹣c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为.三.解答题:(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x )=.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递减区间.18.(12分)△ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=b cos C+c sin B.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.19.(12分)大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度,结果如表:(Ⅰ)试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率;(Ⅱ)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”,否则为“一般了解”.根据题意完成如表,并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关?附:K2=20.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围.21.(12分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交与A,B两点,|AB|=,求l的斜率.22.(12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.2015-2016学年青海省西宁四中高二(下)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.【解答】解:∵tan=tan(3π﹣)=﹣tan=﹣.故选:D.2.【解答】解:∵大前提的形式:“鹅吃白菜”,不是全称命题,大前提本身正确,小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确,但是不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比.∴不符合三段论推理形式,∴推理形式错误,故选:C.3.【解答】解:∵z===﹣1﹣i,∴,,p3:z的共轭复数为﹣1+i,p4:z的虚部为﹣1,故选:C.4.【解答】解:函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin,再向右平移个单位,得到y=sin=sin x故选:A.5.【解答】解:由分析法的定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法.可知A答案是正确故选:A.6.【解答】解:∵y=5x+lnx,∴y′=5+,则切线斜率k=y′|x=1=6,∴在点(1,5)处的切线方程为:y﹣5=6(x﹣1),即y=6x﹣1.即6x﹣y﹣1=0.故选:D.7.【解答】解:在直角坐标系中,点即(1,),圆即x2+y2=2x,即(x﹣1)2+y2=1,故圆心为(1,0),故点(2,)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为=,故选:D.8.【解答】解:在验证两个变量之间的线性相关关系中,相关系数的绝对值越接近于1,相关性越强,在四个选项中只有丁的相关系数最大,残差平方和越小,相关性越强,只有丁的残差平方和最小,综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性,故选:D.9.【解答】解:∵cos(﹣α)=,∴cos()=2cos2(﹣α)﹣1=﹣,由诱导公式可得sin2α=cos()=﹣,故选:A.10.【解答】解:由x与y负相关,可排除B、D两项,而C项中的=﹣10x﹣200<0不符合题意.故选:A.11.【解答】解:直线l:(t为参数)即2x+y﹣1=0.曲线C:(θ为参数)即x2+(y﹣m)2=5,表示以(0,m)为圆心,半径等于的圆.再根据圆心到直线的距离等于半径,可得=,求得m=﹣4或6,故选:A.12.【解答】解:因为函数f(x),(x∈R)上任一点(x0,y0)的切线方程为y﹣y0=(x0﹣2)(x02﹣1)(x﹣x0),即函数在任一点(x0,y0)的切线斜率为k=(x0﹣2)(x02﹣1),即知任一点的导数为f′(x)=(x﹣2)(x2﹣1).由f′(x)=(x﹣2)(x2﹣1)<0,得x<﹣1或1<x<2,即函数f(x)的单调递减区间是(﹣∞,﹣1)和(1,2).故选:C.二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.【解答】解:由直线l:,得y=x﹣a,再由椭圆C:,得,①2+②2得,.所以椭圆C:的右顶点为(3,0).因为直线l过椭圆的右顶点,所以0=3﹣a,所以a=3.故答案为3.14.【解答】解:∵a=,b=,A=30°,∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc cos A得:5=15+c2﹣3c,即c2﹣3c+10=0,解得:c=2或c=,则c=2或.故答案为:2或15.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是计算S=cos+1+cosπ+1+cos π+1+cos2π+1+cosπ+1+cos3π+1=5.故答案为:5.16.【解答】解:f(x)=x3﹣2cx2+c2x,f′(x)=3x2﹣4cx+c2,f′(2)=0⇒c=2或c=6.若c=2,f′(x)=3x2﹣8x+4,令f′(x)>0⇒x<或x>2,f′(x)<0⇒<x<2,故函数在(﹣∝,)及(2,+∞)上单调递增,在(,2)上单调递减,∴x=2是极小值点.故c=2不合题意,c=6.故答案为6三.解答题:(本大题共6小题,共70分)17.【解答】解:(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z),故求f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.∵f(x)==2cos x(sin x﹣cos x)=sin2x﹣cos2x﹣1=sin(2x﹣)﹣1∴f(x)的最小正周期T==π.(2)∵函数y=sin x的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z)∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+,(k∈Z)∴f(x)的单调递减区间为:[kπ+,kπ+](k∈Z)18.【解答】解:(Ⅰ)由已知及正弦定理得:sin A=sin B cos C+sin B sin C①,∵sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C②,∴sin B=cos B,即tan B=1,∵B为三角形的内角,∴B=;(Ⅱ)S△ABC=ac sin B=ac,由已知及余弦定理得:4=a2+c2﹣2ac cos≥2ac﹣2ac×,整理得:ac≤,当且仅当a=c时,等号成立,则△ABC面积的最大值为××=××(2+)=+1.19.【解答】解:(Ⅰ)由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为,据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为P=…..(5分)(Ⅱ)…..(8分)根据列联表数据得,所以没有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关.…..(12分)20.【解答】解:(1)f(x)=x3+ax2+x+1求导:f'(x)=3x2+2ax+1当a2≤3时,△≤0,f'(x)≥0,f(x)在R上递增当a2>3,f'(x)=0求得两根为即f(x)在递增,递减,递增(2)f'(x)=3x2+2ax+1≤0在恒成立.即在恒成立.可知在上为减函数,在上为增函数..所以a≥2.a的取值范围是[2,+∞).21.【解答】解:(Ⅰ)∵圆C的方程为(x+6)2+y2=25,∴x2+y2+12x+11=0,∵ρ2=x2+y2,x=ρcosα,y=ρsinα,∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0.(Ⅱ)∵直线l的参数方程是(t为参数),∴t=,代入y=t sinα,得:直线l的一般方程y=tanα•x,∵l与C交与A,B两点,|AB|=,圆C的圆心C(﹣6,0),半径r=5,圆心到直线的距离d=.∴圆心C(﹣6,0)到直线距离d==,解得tan2α=,∴tanα=±=±.∴l的斜率k=±.22.【解答】解:(I)当a=4时,f(x)=(x+1)lnx﹣4(x﹣1).f(1)=0,即点为(1,0),函数的导数f′(x)=lnx+(x+1)•﹣4,则f′(1)=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2,即函数的切线斜率k=f′(1)=﹣2,则曲线y=f(x)在(1,0)处的切线方程为y=﹣2(x﹣1)=﹣2x+2;(II)∵f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1),∴f′(x)=1++lnx﹣a,∴f″(x)=,∵x>1,∴f″(x)>0,∴f′(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f′(x)>f′(1)=2﹣a.①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(1)=0,满足题意;②a>2,存在x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函数f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,由f(1)=0,可得存在x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合题意.综上所述,a≤2.另解:若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,可得(x+1)lnx﹣a(x﹣1)>0,即为a <,由y =的导数为y ′=,由y=x ﹣﹣2lnx的导数为y′=1+﹣=>0,函数y在x>1递增,可得>0,则函数y =在x>1递增,则==2,可得>2恒成立,即有a≤2.第11页(共11页)。
青海省西宁五中、四中、十四中三校联考2015年高考数学模拟试卷理(含解析)
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2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合A={x∈N|x≤6},B={x∈R|x2﹣3x>0},则A∩B=()A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{x|3<x≤6}D.{x|3≤x<6}2.复数为纯虚数,则实数a=()A.﹣2 B.﹣C.2 D.3.已知是第二象限角,则=()A.B.C.D.4.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的x的值是()A.2 B.C.D.35.某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()A.种B.种C.种D.种6.对任意非零实数a、b,若a⊗b的运算原理如图所示,则log24⊗()﹣1的值为()A.B.1 C.D.27.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cosA等于()A.B.﹣C.D.﹣8.在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.若I为△ABC的内心,则•的值为()A.6 B.10 C.12 D.159.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°10.下列四个命题:①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(﹣l<ξ<0)=﹣p;④在回归直线方程y=0.lx+10中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加0.1个单位,其中正确的命题个数是()A..1个B.2个C..3个D..4个11.如图,已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q,若∠PAQ=60°且=3,则双曲线C的离心率为()A. B.C. D.12.定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函数y=f(x)﹣log a(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(0,)D.(0,)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设x,y满足,则z=x+y的最小值为.14.已知F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,且PF2垂直于x轴.若|F1F2|=2|PF2|,则该椭圆的离心率为.15.设a=(sinx+cosx)dx,则二项式(a﹣)6的展开式的常数项是.16.设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有3f(x)+xf′(x)>0,则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0的解集是.三、解答题:本大题共5小题,共计70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n;(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1,求数列的前n项和T n.18.某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按[0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如下:假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.(Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的a的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,,试比较与的大小;(只需写出结论)(Ⅱ)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;(Ⅲ)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求X的数学期望.19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC 与BD的交点,E为PB上任意一点.(I)证明:平面EAC⊥平面PBD;(II)若PD∥平面EAC,并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°,求PD:AD的值.20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标.21.已知函数f(x)=alnx+(a≠0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若{x|f(x)≤0}=[b,c](其中b<c),求a的取值范围,并说明[b,c]⊆(0,1).一、选修4-1:几何证明选讲请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.如图,△ABC内接于直径为BC的圆O,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P,∠BAC 的平分线分别交BC和圆O于点D、E,若PA=2PB=10.(1)求证:AC=2AB;(2)求AD•DE的值.一、选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.一、选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=|x﹣a|(Ⅰ)当a=2,解不等式f(x)≥4﹣|x﹣1|;(Ⅱ)若f(x)≤1的解集为{x|0≤x≤2}, +=a(m>0,n>0).求证:m+2n≥4.2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合A={x∈N|x≤6},B={x∈R|x2﹣3x>0},则A∩B=()A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{x|3<x≤6}D.{x|3≤x<6}【考点】交集及其运算.【专题】计算题.【分析】根据所给的两个集合,整理两个集合,写出两个集合的最简形式,再求出两个集合的交集.【解答】解:∵集合A={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},B={x∈R|x2﹣3x>0}={x∈R|x<0或x>3}∴A∩B={4,5,6}.故选B.【点评】本题考查集合的表示方法,两个集合的交集的定义和求法.化简A、B两个集合,是解题的关键.2.复数为纯虚数,则实数a=()A.﹣2 B.﹣C.2 D.【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【解答】解:∵复数==为纯虚数,∴2a﹣1=0,2+a≠0,解得a=.故选:D.【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,属于基础题.3.已知是第二象限角,则=()A.B.C.D.【考点】两角和与差的正切函数.【专题】三角函数的求值.【分析】由诱导公式化简可得,由平方关系和条件求出sinα,由商的关系求出tanα,利用两角和的正切函数求出的值.【解答】解:由得,,因为α是第二象限角,所以sinα==,则=,所以====,故选:A.【点评】本题考查两角和的正切函数,诱导公式,以及同角三角函数的基本关系的应用,注意三角函数值的符号,属于中档题.4.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的x的值是()A.2 B.C.D.3【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题.【分析】由三视图可知:原几何体是一个四棱锥,其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形,一条长为x的侧棱垂直于底面.据此可求出原几何体的体积.【解答】解:由三视图可知:原几何体是一个四棱锥,其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形,一条长为x的侧棱垂直于底面.则体积为=,解得x=.故选:C.【点评】本题考查了三视图,由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键.5.某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()A.种B.种C.种D.种【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】应用题;排列组合.【分析】确定参观甲博物馆的年级有种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得结论.【解答】解:因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得×54种情况,故选:D.【点评】本题考查排列组合知识的运用,考查乘法原理,比较基础.6.对任意非零实数a、b,若a⊗b的运算原理如图所示,则log24⊗()﹣1的值为()A.B.1 C.D.2【考点】程序框图.【专题】新定义;图表型;算法和程序框图.【分析】模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数a⊗b=的值,由已知比较两数的大小,从而即可得解.【解答】解:模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数a⊗b=的值,∵log24=2<()﹣1=3.∴log24⊗()﹣1==1.故选:B.【点评】本题主要考查了程序框图和新定义函数,正确得到程序框图的功能是解题的关键,属于基本知识的考查.7.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cosA等于()A.B.﹣C.D.﹣【考点】余弦定理.【专题】解三角形.【分析】由S+a2=(b+c)2,利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得:=2bccosA+2bc,化为sinA﹣4cosA=4,与sin2A+cos2A=1.解出即可.【解答】解:∵S+a2=(b+c)2,∴S=b2+c2﹣a2+2bc,∴=2bccosA+2bc,化为sinA﹣4cosA=4,与sin2A+cos2A=1.解得cosA=﹣或cosA=﹣1.cosA=﹣1舍去.∴cosA=.故选:D.【点评】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.若I为△ABC的内心,则•的值为()A.6 B.10 C.12 D.15【考点】平面向量数量积的运算.【专题】平面向量及应用.【分析】由题意可得,∠A=,cosC=,利用二倍角的余弦公式求得cos∠ICB的值.用面积法求得三角形的内切圆半径r,再利用直角三角形中的边角关系求得CI的值,可得•=||•||•cos∠ICB 的值.【解答】解:由题意可得,∠A=,cosC==,且I为三角形ABC三内角平分线的交点,∴∠ICB=∠C,∴cosC==2cos2∠ICB﹣1,求得cos∠ICB=.设内切圆的半径为r,由S△ABC=AB•AC=6=•(AB+AC+BC)r=×12×r,求得r=1.再根据sin∠ICB===,∴CI=.∴•=||•||•cos∠ICB=•5•=15,故选:D.【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系,二倍角的余弦公式,两个向量的数量积的定义,属于中档题.9.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°【考点】异面直线及其所成的角.【专题】常规题型.【分析】延长CA到D,根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,而三角形A1DB为等边三角形,可求得此角.【解答】解:延长CA到D,使得AD=AC,则ADA1C1为平行四边形,∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,又A1D=A1B=DB=AB,则三角形A1DB为等边三角形,∴∠DA1B=60°故选C.【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法,考查转化思想,属于基础题.10.下列四个命题:①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(﹣l<ξ<0)=﹣p;④在回归直线方程y=0.lx+10中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加0.1个单位,其中正确的命题个数是()A..1个B.2个C..3个D..4个【考点】命题的真假判断与应用.【专题】概率与统计;简易逻辑.【分析】①这样的抽样是系统抽样,即可判断正误;②利用方差的计算公式及其性质,即可判断正误;③利用正态分布的对称性可得:P(﹣l<ξ<0)=,即可判断正误;④利用斜率的意义,即可判断正误.【解答】解:①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是系统抽样,因此不正确;②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变,正确;③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(﹣l<ξ<0)==﹣p,正确;④在回归直线方程y=0.1x+10中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加0.1个单位,正确.其中正确的命题个数是3.故选:C.【点评】本题考查了概率统计的有关知识、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于中档题.11.如图,已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q,若∠PAQ=60°且=3,则双曲线C的离心率为()A. B.C. D.【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】确定△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理,即可得出结论.【解答】解:因为∠PAQ=60°且=3,所以△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=由勾股定理可得(2R)2﹣R2=()2,所以(ab)2=3R2(a2+b2)①在△OQA中, =,所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2,可得=.故选:B.【点评】本题考查双曲线的性质,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能力,属于中档题.12.定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函数y=f(x)﹣log a(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(0,)D.(0,)【考点】根的存在性及根的个数判断.【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用.【分析】由题意可判断函数f(x)是定义在R上的,周期为2的偶函数,令g(x)=log a (x+1),画出f(x)与g(x)在[0,+∞)的部分图象如下图,将y=f(x)﹣log a(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点可化为f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上至少有三个交点,从而解出a的取值范围.【解答】解:∵f(x+2)=f(x)﹣f(1),令x=﹣1,则f(1)=f(﹣1)﹣f(1),∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(1)=0.∴f(x)=f(x+2),则函数f(x)是定义在R上的,周期为2的偶函数,又∵当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,令g(x)=log a(x+1),则f(x)与g(x)在[0,+∞)的部分图象如下图y=f(x)﹣log a(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点可化为f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上至少有三个交点,g(x)在(0,+∞)上单调递减,则,解得:0<a<,故选A.【点评】本题考查了数形结合的思想,同时考查了学生的作图能力与转化能力,属于基础题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设x,y满足,则z=x+y的最小值为 2 .【考点】简单线性规划的应用.【专题】计算题;数形结合.【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入z=x+y中,求出z=x+y的最小值.【解答】解:满足约束条件的平面区域如图示:由图得当过点B(2,0)时,z=x+y有最小值2.故答案为:2.【点评】在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解.14.已知F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,且PF2垂直于x轴.若|F1F2|=2|PF2|,则该椭圆的离心率为.【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用椭圆的焦距与椭圆的通经相等列出方程,然后求解椭圆的离心率.【解答】解:由题意椭圆=1,P为椭圆上一点,且PF2垂直于x轴.若|F1F2|=2|PF2|,可知:2c=,可得b2=ac=﹣c2+a2,即:e=1﹣e2,解得e=.故答案为:.【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.15.设a=(sinx+cosx)dx,则二项式(a﹣)6的展开式的常数项是﹣160 .【考点】二项式系数的性质;定积分.【专题】导数的概念及应用;二项式定理.【分析】求定积分求得a的值,然后写出二项展开式的通项,由x得指数为0求得r值,代入通项求得常数项.【解答】解:a=(sinx+cosx)dx==2.∴(a﹣)6=.其通项==.由3﹣r=0,得r=3.∴二项式(a﹣)6的展开式的常数项是.故答案为:﹣160.【点评】本题考查了定积分,考查了二项式定理,关键是熟练掌握二项展开式的通项,是基础题.16.设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有3f(x)+xf′(x)>0,则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0的解集是(﹣2018,﹣2015).【考点】函数的单调性与导数的关系.【专题】函数思想;导数的概念及应用.【分析】根据题意,构造函数g(x)=x3f(x),x∈(﹣∞,0),利用导数判断g(x)的单调性,再把不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0化为g(x+2015)>g(﹣3),利用单调性求出不等式的解集.【解答】解:根据题意,令g(x)=x3f(x),其导函数为g′(x)=3x2f(x)+x3f′(x)=x2[3f(x)+xf′(x)],∵x∈(﹣∞,0)时,3f(x)+xf′(x)>0,∴g(x)>0,∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递增;又不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0可化为(x+2015)3f(x+2015)>(﹣3)3f(﹣3),即g(x+2015)>g(﹣3),∴0>x+2015>﹣3;解得﹣2015>x>﹣2018,∴该不等式的解集是为(﹣2018,﹣2015).故答案为:(﹣2018,﹣2015).【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目.三、解答题:本大题共5小题,共计70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n;(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1,求数列的前n项和T n.【考点】数列的求和;等差数列的性质.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)根据已知条件建立方程组,通过解方程求出首项和公差,进一步求出数列的通项公式.(Ⅱ)首先利用叠加法求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求数列的和. 【解答】解:(Ⅰ)法一:设正项等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,a n >0则,得∴a n =2n+1法二:∵{a n }是等差数列且,∴,又∵a n >0∴a 3=7.…∵,∴d=a 4﹣a 3=2,∴a n =a 3+(n ﹣3)d=2n+1. (Ⅱ)∵b n+1﹣b n =a n+1且a n =2n+1, ∴b n+1﹣b n =2n+3当n≥2时,b n =(b n ﹣b n ﹣1)+(b n ﹣1﹣b n ﹣2)+…+(b 2﹣b 1)+b 1 =(2n+1)+(2n ﹣1)+…+5+3=n(n+2), 当n=1时,b 1=3满足上式,b n =n (n+2)∴=.【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法,利用裂项相消法求数列的和,属于基础题型.18.某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按[0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如下:假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.(Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的a的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,,试比较与的大小;(只需写出结论)(Ⅱ)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;(Ⅲ)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求X的数学期望.【考点】离散型随机变量及其分布列;频率分布直方图;离散型随机变量的期望与方差.【专题】概率与统计.【分析】(Ⅰ)按照题目要求想结果即可.(Ⅱ)设事件A:在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于20箱;事件B:在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱;事件C:在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱.求出P(A),P(B),P(C).(Ⅲ)X的可能取值为0,1,2,3,求出概率,得到分布列,然后求解期望.【解答】(共13分)解:(Ⅰ)a=0.015;…s12>s22.…(Ⅱ)设事件A:在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于20箱;事件B:在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱;事件C:在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱.则P(A)=0.20+0.10=0.3,P(B)=0.10+0.20=0.3.…所以.…(Ⅲ)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3.…P(X=0)=C30×0.30×0.73=0.343,P(X=1)=C31×0.31×0.72=0.441,P(X=2)=C32×0.32×0.71=0.189,P(X=3)=C33×0.33×0.70=0.027.所以X的分布列为…所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法,独立重复试验概率的求法,考查计算能力.19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC 与BD的交点,E为PB上任意一点.(I)证明:平面EAC⊥平面PBD;(II)若PD∥平面EAC,并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°,求PD:AD的值.【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.【专题】计算题;证明题;空间角;空间向量及应用.【分析】(I)根据PD⊥平面ABCD,得到AC⊥PD,结合菱形ABCD中AC⊥BD,利用线面垂直判定定理,可得AC⊥平面PBD,从而得到平面EAC⊥平面PBD;(II)连接OE,由线面平行的性质定理得到PD∥OE,从而在△PBD中得到E为PB的中点.由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD,可证出平面EAC⊥平面ABCD,进而得到BO⊥平面EAC,所以BO⊥AE.过点O作OF⊥AE于点F,连接OF,证出AE⊥BF,由二面角平面角的定义得∠BFO 为二面角B﹣AE﹣C的平面角,即∠BFO=45°.分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义,算出OE=,由此即可得到PD:AD的值.【解答】解:(I)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PD∵菱形ABCD中,AC⊥BD,PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC,平面EAC⊥平面PBD;(II)连接OE,∵PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PBD=OE,PD⊂平面PBD∴PD∥OE,结合O为BD的中点,可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,又∵OE⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面ABCD,∵平面EAC∩平面ABCD=AC,BO⊂平面ABCD,BO⊥AC∴BO⊥平面EAC,可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F,连接OF,则∵AE⊥BO,BO、OF是平面BOF内的相交直线,∴AE⊥平面BOF,可得AE⊥BF因此,∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角,即∠BFO=45°设AD=BD=a,则OB=a,OA=a,在Rt△BOF中,tan∠BFo=,可得OF=Rt△AOE中利用等积关系,可得OA•OE=OF•AE即a•OE=a•,解之得OE=∴PD=2OE=,可得PD:AD=:2即PD:AD的值为.【点评】题给出一个特殊四棱锥,要我们证明面面垂直,并在已知二面角大小的情况下求线段的比值,着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识,属于中档题.20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标.【考点】抛物线的简单性质.【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式,结合等边三角形的性质,求出的p值;(2)设出点A的坐标,求出直线AB的方程,利用直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,求出点E的坐标,写出直线AE的方程,将方程化为点斜式,可求出定点.【解答】解:(1)由题意知F(,0),设D(t,0)(t>0),则FD的中点为(,0),因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知:3+=|t﹣|,解得t=3+p或t=﹣3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为C的方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),设A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1,∴D(x1+2,0),故直线AB的斜率为﹣,因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=﹣x+b,代入抛物线方程得y2+y﹣=0,由题意△=0,得b=﹣.设E(x2,y2),则x2=,y2=﹣.当y12≠4时,k AE=,可得直线AE的方程为y﹣y1=(x﹣x1),由y12=4x1,整理可得y=(x﹣1),直线AE恒过点F(1,0),当y12=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法,定点问题,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.21.已知函数f(x)=alnx+(a≠0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若{x|f(x)≤0}=[b,c](其中b<c),求a的取值范围,并说明[b,c]⊆(0,1).【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.【专题】导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过a的范围,判断导函数的符号,即可求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)利用(Ⅰ),直接求解 a>e.当a>e时.构造函数g(x)=x﹣2lnx(x≥e),求出导数,当x>e时,推出然后求解bc的范围,即可说明[b,c]⊆(0,1).【解答】(共13分)解:(Ⅰ).…(ⅰ)当a<0时,f′(x)<0,则函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞).…(ⅱ)当a>0时,令f′(x)=0,得.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所以 f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.…(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当a<0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内是减函数,所以,函数f(x)至多存在一个零点,不符合题意.…当a>0时,因为 f(x)在内是减函数,在内是增函数,所以要使{x|f(x)≤0}=[b,c],必须,即.所以 a>e.…当a>e时,.令g(x)=x﹣2lnx(x≥e),则.当x>e时,g′(x)>0,所以,g(x)在[e,+∞)上是增函数.所以当a>e时,g(a)=a﹣2lna>g(e)=e﹣2>0.所以.…因为,,f(1)=1>0,所以 f(x)在内存在一个零点,不妨记为b,在内存在一个零点,不妨记为c.…因为 f(x)在内是减函数,在内是增函数,所以 {x|f(x)≤0}=[b,c].综上所述,a的取值范围是(e,+∞).…因为,,所以[b,c]⊆(0,1).…【点评】本题考查函数的导数判断函数的单调性,函数的最值的求法,考查分类讨论以及分析问题解决问题的能力.一、选修4-1:几何证明选讲请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.如图,△ABC内接于直径为BC的圆O,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P,∠BAC 的平分线分别交BC和圆O于点D、E,若PA=2PB=10.(1)求证:AC=2AB;(2)求AD•DE的值.【考点】相似三角形的判定.【专题】推理和证明.【分析】(1)通过证明△ABP∽△CAP,然后证明AC=2AB;(2)利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值.【解答】解:(1)∵PA是圆O的切线∴∠PAB=∠ACB又∠P是公共角∴△ABP∽△CAP…∴∴AC=2AB…(2)由切割线定理得:PA2=PB•PC∴PC=20又PB=5∴BC=15…又∵AD是∠BAC的平分线∴∴CD=2DB∴CD=10,DB=5…又由相交弦定理得:AD•DE=CD•DB=50…【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用.属于基础题.一、选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.【考点】参数方程化成普通方程.【专题】坐标系和参数方程.【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程;(2)先将直l的参数方程是(t是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到α的三角方程,解方程得到α的值,要注意角α范围.【解答】解:(1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,∴(x﹣2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则,∴|AB|=|t1﹣t2|==,∵|AB|=,∴=.∴cos.∵α∈[0,π),∴或.∴直线的倾斜角或.【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,本题难度适中,属于中档题.一、选修4-5:不等式选讲 24.设函数f (x )=|x ﹣a|(Ⅰ)当a=2,解不等式f (x )≥4﹣|x ﹣1|;(Ⅱ)若f (x )≤1的解集为{x|0≤x≤2}, +=a (m >0,n >0).求证:m+2n≥4.【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】不等式.【分析】对第(1)问,将a=2代入函数的解析式中,利用分段讨论法解绝对值不等式即可;对第(2)问,先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a 值,再将“m+2n”改写为“(m+2n )(+)”,展开后利用基本不等式可完成证明.【解答】解:(I )当a=2时,不等式f (x )≥4﹣|x ﹣1|即为|x ﹣2|≥4﹣|x ﹣1|, ①当x≤1时,原不等式化为2﹣x≥4+(x ﹣1),得,故;②当1<x <2时,原不等式化为2﹣x≥4﹣(x ﹣1),得2≥5, 故1<x <2不是原不等式的解;③当x≥2时,原不等式化为x ﹣2≥4﹣(x ﹣1),得,故.综合①、②、③知,原不等式的解集为∪.(Ⅱ)证明:由f (x )≤1得|x ﹣a|≤1,从而﹣1+a≤x≤1+a,∵f(x )≤1的解集为{x|0≤x≤2},∴得a=1,∴ +=a=1.又m >0,n >0,∴m+2n=(m+2n )(+)=2+(),当且仅当即m=2n 时,等号成立,此时,联立+=1,得时,m+2n=4,故m+2n≥4,得证.【点评】1.已知不等式的解集求参数的值,求解的一般思路是:先将原不等式求解一遍,再把结果与已知解集对比即可获得参数的值.2.本题中,“1”的替换很关键,这是解决此类题型的一种常用技巧,应注意体会证明过程的巧妙性.。
新课标2015届高三第三次四校联考数学(文)试卷带答案
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2015届高三年级第三次四校联考数学(文)试题一、选择题(5×12=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.设全集为R ,集合A={}4|2<∈x R x ,B={}41|≤<-x x ,则 A =)(B C RA.()2,1-B.()1,2--C.(]1,2--D.()2,2- 2.已知复数iiz +-=11i (为虚数单位),则z 的共轭复数是 A.i B.i +1 C.i - D.i -13.若等比数列{}n a 满足2031=+a a ,4042=+a a ,则公比q = A.1 B.2 C.2- D.44.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21,则双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为A .x y 23±= B .x y 3±= C .x y 21±= D .x y ±= 5.已知命题:p ,x R ∃∈使23xx>;命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>,下列是真命题的是A.()p q ⌝∧B.()()p q ⌝∨⌝C.()p q ∧⌝D.()p q ∨⌝ 6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.π38 B.π316 C.π8 D.π364 7.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ,则PBC ∆的面积大于4S的概率为 A .41 B .43C .94D .1698.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是 A. 2016 B . 2C .12D .1- 9.已知函数133,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则函数(1)y f x =-的大致图象是10.在半径为cm 10的球面上有C B A ,,三点,如果38=AB ,060=∠ACB ,则球心O 到平面ABC 的距离为A .cm 2B .cm 4C .cm 6D .cm 8 11.已知函数)2||,0)(2cos()(πϕωπϕω<>-+=x x f 的部分图象如图所示,则)6(π+=x f y 取得最小值时x 的集合为A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,3ππC .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,62ππ D .⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,32ππ12.已知点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点,点B 为抛物线的焦点,P 在抛物线上且满足PB m PA =,当m 取最大值时,点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为A .215- B .212+ C .12+ D .15- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量),1(x =,)2,1(-=x ,若b a //,则=x .14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+--≤8201223y x y x x y ,则1-x y 的最小值是 .15.设数列{}n a 满足1042=+a a ,点),(n n a n P 对任意的+∈N n ,都有向量)2,1(1=+n n P P ,则数列{}n a 的前n 项和n S = .16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)0()0(3)(x x x x f x ,若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点,则实数b 的取值范围是 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上)17. (本小题满分12分)在ΔABC 中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若B A sin sin 4-2cos42BA -22-=. (1)求角C 的大小;(2)已知4sin sin =ABa ,ΔABC 的面积为8. 求边长c 的值.18. (本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道 数学题(满分12分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊, 记为x ,已知甲、乙两组的平均成绩相同. (1)求x 的值,并判断哪组学生成绩更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19. (本小题满分12分)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,矩形DCBE 所 在的平面垂直于圆O 所在的平面,4=AB ,1=BE . (1)证明:平面⊥ADE 平面ACD ;(2)当三棱锥ADE C -的体积最大时,求点C 到平面ADE的距离.0 1 甲 乙 9 9 1 18 9 x 2(18题图)(19题图)20. (本小题满分12分)已知点)0,1(A ,点P 是圆C :22(1)8x y ++=上的任意一点,,线段PA 的垂直 平分线与直线CP 交于点E . (1)求点E 的轨迹方程;(2)若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ,且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部,求实数m 的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数xkx x f +=ln )(,R k ∈. (1) 若曲线)(x f y =在点))(,(e f e 处的切线与直线02=-x 垂直,求)(x f 的单调递减区间和极小值(其中e 为自然对数的底数);(2)若对任意021>>x x ,2121)()(x x x f x f -<-恒成立,求k 的取值范围.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()f x =|2||2|x x ++-,R x ∈.不等式()6f x ≤的解集为M . (1)求M ;(22015四校三联文科数学试题答案一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC二填空题 13. 2或1- 14. 1 15. 2n 16. 210<<b 三解答题17.解:(1)由条件得B A sin sin 4=2(212cos 2--BA )2+ 即B A sin sin 4=)cos(2B A -2+=)sin sin cos (cos 2B A B A +2+ ………………2分化简得 =+)cos(B A 22-, ………………………4分 ∵π<+<B A 0 ∴ 43π=+B A 又π=++C B A ∴ C =4π………………………6分 (2)由已知及正弦定理得4=b ………………………8分又 S ΔABC =8,C=4π ∴ 128sin =C ab , 得24=a ………………………10分由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得 4=c . ………………………12分 18. (1) ,甲104111199=+++=x ,乙104012198=++++=x x ∴1=x ……………2分 , 又 1]10-111011()910()910[(4122222=+-+-+-=)()甲S25]10-121011()910()810[(4122222=+-+-+-=)()乙S ………………4分∴22乙甲S S <∴甲组成绩比乙组稳定。
青海省西宁市五中、四中、十四中届高三数学下学期联考试题 文-课件
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青海省西宁市五中、四中、十四中2016届高三数学下学期联考试题文注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合}{,,,,,U =123456,}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U 等于( )A .}{,,,1456B .}{4 C .}{,15D .}{,,,,123452、已知i 为虚数单位,复数122iz i-=-,则复数z 的虚部是( )A. 35i -B.35-C.45iD.453. 下列判断错误..的是( ) A .“22am bm <”是“a < b ”的充分不必要条件B .命题“x R ∀∈,3210x x --≤”的否定是“0x R ∃∈,3210x x -->”C .若p,q 均为假命题,则p q ∧为假命题D .若a > b ,则4.几何体的三视图如下,则它的体积是( )A .333a π+ B. 3712a π C. 331612a π+ D. 373a π5. 设3log a π=,13log b π=,3c π-=,则( )A. a b c>>B. b a c >>C. a c b >>D. c b a >>6.向量a ,满足12,()(2),=+⊥-a a b a b 则向量a 与b 的夹角为( ) A .45︒B . 60︒ C.90︒D . 120︒7. 执行右边的程序框图,则输出的S 是( )A. 5040B. 4850C.2450D.25508. 等比数列}{n a 的前321,2,4,a a a S n n 且项和为成等差数列,若=1,则为( )A. 15B. 8C. 7D. 169.如图,圆C 内切于扇形AOB ,∠AOB AOB 内任取一点,则该点在圆C 内的概率为( ).A 10. 将函数f (x)=sin ωx (其中ω>0)的图象向左平移 π 2个单位长度,所得图象关于x= π 6对称,则ω的最小值是( )A. 6B. 3 4C. 9 4D. 2 311. 双曲线221x y m-=的离心率e =,则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为( )A.C.12. 已知函数()0()210x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩,若函数()f x 在R 上有两个零点,则a 的取值范围是( )A .(),1-∞-B .(),0-∞C .()1,0-D .[)1,0-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上.13. 若变量x ,y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则2z x y =+的最大值等于14.在数列{}n a 中,已知1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-,则22212n a a a ++⋅⋅⋅+= 15.已知三棱锥P-ABC ,若PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA = 2,PB = PC = 1,则三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为__________。
青海省西宁市第四高级中学2015届高三上学期第一次月考数学(文)试题
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青海省西宁市第四高级中学2015届高三上学期第一次月考数学(文)试题考试时间:120分钟一、选择题(5×12=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设全集为R ,集合}1log {},4{22≥=>=x x N x x M ,则=N M A .[-2,2] B .)2,(--∞ C .),2(+∞ D .),2(+∞- 2.若复数z 满足(34)43i z i -=+,则z 的虚部为A .45-B .45C .4-D .4 3.执行如图所示的程序框图,当输出值为4时,输入x 的值为 A .2 B .2± C .-2或-3 D .2或-34.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ,则y x z -=的最大值是A .-1B .0C .3D .4 5.1)cos (sin 2-+=x x y 是 A. 最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数6.三棱锥的三视图如图,正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则此三棱锥的体积为 AC7.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为26,则此双曲线的渐近线方程为A .x 2y ±=B .x y 2±=C .x y 22±= D .x y 21±= 8.已知等差数列{}n a 的前13项之和为39,则=++876a a a A. 6 B. 9C. 12D. 189.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各随机抽取侧视图正视图俯视图第9题图了5名学生的学分,用茎叶图表示(如右图).1s ,2s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差,则1s 2s .A . >B . <C . =D .不能确定 10.函数2()21log f x x x =-+的零点所在的一个区间是A. (18,14)B. (14,12)C. (12,1) D. (1,2)11.已知函数⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,)(5.02x x x x x x f , 若对于任意R x ∈,不等式14)(2+-≤t t x f 恒成立,则实数t 的取值范围是A. (][)+∞∞-,21,B. (][)+∞∞-,31,C.[]3,1D. (][)+∞∞-,32, 12.已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数,对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立;当]3,0[,21∈x x ,且21x x ≠时,都有0)()(2121>--x x x f x f .给出下列四个命题:①0)3(=f ;②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴;③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数;④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点. 其中正确命题的个数为A .1B .2C .3D .4二、填空题(5×4=20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知b a ⊥,2=a ,3=b ,且b a 2+与b a-λ垂直,则实数λ的值为 . 14.集合{}{}3,2,1,3,2==B A ,从集合B A ,中各任意取一个数,则这两个数的和等于4的概15处的切线的斜率为 .16.数列}{n a 的前n 项和记为n S ,11=a ,)1(121≥+=+n S a n n ,则}{n a 的通项公式为 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,其面积为S ,且S a c b 334222=-+. (1)求A ; (2)若35=a ,54cos =B ,求c .18.如图五面体中,四边形11C CBB 为矩形,N ABB C B 111平面⊥,四边形N ABB 1为梯形, 且1BB AB ⊥,4211====BB AN AB BC . (1)求证:BN 11C B N ⊥平面; (2)求此五面体的体积.19. 近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联表:(1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?(2)为了研究三高疾病是否与性别有关,请计算出统计量2K ,并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关? 下面的临界值表供参考:(参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++)20.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,左右焦点分别为12,F F ,且12||2F F =,点(1,23)在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,且2AF B ∆l 的方程. 21. 已知322()2f x x ax a x =+-+.(1)若1a =,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (2)若0,a ≠ 求函数()f x 的单调区间.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.《选修4-4:坐标系与参数方程》已知直线L 的参数方程:⎩⎨⎧x =t ,y =1+2t ,(t 为参数)和圆C 的极坐标方程:ρ=22sin(θ+π4)(θ为参数).(1)求圆C 的直角坐标方程. (2)判断直线L 和圆C 的位置关系.23.《选修4-5:不等式选讲》 已知函数52)(---=x x x f . (1)证明:3)(3≤≤-x f ;(2)求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集.西宁市第四高级中学2015届高三1模考试数学答案(文科)三、解答题:17. (本小题满分12分) 解:(1)由已知得:A bc A bc sin 21334cos 2⋅=………4分 3tan =∴A ………5分 由A 是内角,∴ 060=A ………6分 (2)由54cos =B 得53in =B s ………7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π………10分 由正弦定理得:343sin sin +==ACa c ………12分19. (本小题满分12分)解……………3分在患三高疾病人群中抽9人,则抽取比例为41369= ∴女性应该抽取34112=⨯人. …………………6分 (2)∵24363030)1261824(6022⨯⨯⨯⨯-⨯=K (8)分879.710>=, ……………10分那么,我们有99.5%的把握认为是否患三高疾病与性别有关系.……………12分20. (本小题满分12分)解:(1)22143x y += 2222(2):134120,(34)690l x ty x y t y ty =-+-=+--=设代入得()122121212221222226134,||||||9273434341,11t y y t y y S F F y y t t y y t t x y ⎧+=⎪⎪+∴∴-=∴=-==⎨-++⎪=⎪+⎩∴=∴-+=所求圆为。
青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校高三数学4月联考试题 文
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2017年三校联考试题文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分,考试时间120分钟 注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上,考生要认真核对答题纸上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦净后,再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题纸上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)1.已知集合{}3,2,1,0,1-=A ,{}022>-=x x x B ,则=B A I ( ) A .{}3 B . {}3,1- C .{}3,2 D .{}2,1,0 2.若复数i R a iia z ,(213∈++=为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( ) A .6- B .2- C .4 D .63.函数2()2f x x x =-+,[1,3]x ∈-,则任取一点0[1,3]x ∈-,使得0()f x ≥0的概率为( )A.16B.13C. 23D. 124. 若向量(1,2)a =-r ,(1,1)b =--r,则42a b +r r 与a b -r r 的夹角等于( )A .4π-B .6πC .4πD .34π 5.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于( )A .30B .12C .24D .46. 若),(ππα2∈,且)4sin(2cos 3απα-=,则α2sin 的值为( )A.181 B. 181- C. 1817D. 1817-7. 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x 的值为,每次输入a 的值均为,输出s 的值为,则输入n 的值为( )A. 3B.4C. 5D. 68. 已知{}n a 是等比数列,且263a a +=, 61012a a +=,则812a a +等于( ) A. 122 B. 24 C. 242 D. 48 9.函数2ln y x x =+的图象大致为( )10.已知函数)(x f 在定义域R 上不是常函数,且)(x f 满足条件:对于任意的R x ∈都有)2()2(x f x f -=+,)()1(x f x f -=+则)(x f ( )A .是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数11.经过点)1,2(,且渐近线与圆1)2(22=-+y x 相切的双曲线的标准方程为( )A .11131122=-y x B .1222=-y x C .11131122=-x y D .13111122=-x y12.已知函数定义在上的奇函数,当时,,给出下列命题:①当时,②函数有个零点③的解集为④,都有,其中正确的命题是_________.A .①③B .②③C .③④D .②④第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22~23题为选考题,考生根据要求作答。
青海省西宁五中、四中、十四中联考高三数学模拟试卷理(含解析)
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2016年青海省西宁五中、四中、十四中联考高考数学模拟试卷(理科)一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上).1.已知集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x≤0},则A∩B=()A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.[0,1] D.(﹣∞,1]∪[2,+∞)2.已知复数z满足z(1+i)2=1﹣i,则复数z对应的点在()上.A.直线y=﹣x B.直线y=x C.直线y=﹣D.直线x=﹣3.已知||=1,||=,且⊥(﹣),则向量与向量的夹角为()A.B.C.D.4.已知实数a,b,c满足不等式0<a<b<c<1,且M=2a,N=5﹣b,P=lnc,则M、N、P的大小关系为()A.P<N<M B.P<M<N C.M<P<N D.N<P<M5.在递增的等比数列{a n}中,已知a1+a n=34,a3•a n﹣2=64,且前n项和为S n=42,则n=()A.3 B.4 C.5 D.66.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2﹣bc,bc=4,则△ABC 的面积为()A.B.1 C.D.27.把函数f(x)=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位,所得函数g(x)的图象关于直线x=对称,则m的最小值为()A.B.C.D.8.已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,0)C.(﹣1,0)D.[﹣1,0)9.已知双曲线=1(a>0,b>0),过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.10.已知实数x∈[1,10]执行如图所示的流程图,则输出的x不小于63的概率为()A .B .C .D .11.已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( )A .B .C .D .12.已知函数f (x )是R 上的偶函数,在(﹣3,﹣2)上为减函数且对∀x ∈R 都有f (2﹣x )=f (x ),若A ,B 是钝角三角形ABC 的两个锐角,则( ) A .f (sinA )<f (cosB ) B .f (sinA )>f (cosB ) C .f (sinA )=f (cosB )D .f (sinA )与与f (cosB )的大小关系不确定二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.若实数x ,y 满足则z=x+2y 的最大值是 .14.已知tanα=,则cos2α= .15.设a=sinxdx,则(2x+)6展开式的常数项为.16.已知三棱锥P﹣ABC,若PA,PB,PC两两垂直,且PA=2,PB=PC=1,则三棱锥P﹣ABC 的内切球半径为.三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,点(a,b)在4xcosB﹣ycosC=ccosB 上.(1)cosB的值;(2)若•=3,b=3,求a和c.18.如图,平面ABEF⊥平面ABC,四边形ABEF为矩形,AC=BC.O为AB的中点,OF⊥EC.(Ⅰ)求证:OE⊥FC:(Ⅱ)若=时,求二面角F﹣CE﹣B的余弦值.19.为了普及环保知识增强环保意识,某校从理工类专业甲班抽取60人,从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试(1)根据题目条件完成下面2×2列联表,并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与100分,优秀的同学得60分以上通过预选,非优秀的同学得80分以上通过预选,若每位同学得60分以上的概率为,得80分以上的概率为,现已知甲班有3人参加预选赛,其中1人为优秀学生,若随机变量X表示甲班通过预选的人数,求X的分布列及期望E(X).附:k2=,n=a+b+c+d20.已知椭圆的离心率,过点A(0,﹣b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(﹣1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.21.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g (x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.选做题[选修4-1:几何证明选讲]22.如图所示,AB为圆O的直径,CB,CD为圆O的切线,B,D为切点.(1)求证:AD∥OC;(2)若圆O的半径为2,求AD•OC的值.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.[选修4-5:不等式选讲]24.(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2;(2)已知a,b,c都是正数,求证:≥abc.2016年青海省西宁五中、四中、十四中联考高考数学模拟试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上).1.已知集合A={x|﹣1≤x ≤1},B={x|x 2﹣2x ≤0},则A∩B=( ) A .[﹣1,0] B .[﹣1,2] C .[0,1] D .(﹣∞,1]∪[2,+∞) 【考点】交集及其运算.【分析】直接由一元二次不等式化简集合B ,则A 交B 的答案可求. 【解答】解:∵B={x|x 2﹣2x ≤0}={x|0≤x ≤2},∴A∩B={x|﹣1≤x ≤1}∩{x|0≤x ≤2}={x|0≤x ≤1}. 则A∩B 的区间为:[0,1]. 故选C .2.已知复数z 满足z (1+i )2=1﹣i ,则复数z 对应的点在( )上.A .直线y=﹣xB .直线y=xC .直线y=﹣D .直线x=﹣【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【分析】化简可得z==﹣i ,从而确定答案.【解答】解:∵z (1+i )2=1﹣i ,∴z==﹣i ,故复数z 对应的点为(0,﹣),在直线y=﹣上, 故选:C .3.已知||=1,||=,且⊥(﹣),则向量与向量的夹角为( )A .B .C .D .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据已知条件即可得到,所以,从而求得cos =,根据向量夹角的范围即可得出向量的夹角.【解答】解:∵;;∴;∴;∴向量与的夹角为.故选B.4.已知实数a,b,c满足不等式0<a<b<c<1,且M=2a,N=5﹣b,P=lnc,则M、N、P的大小关系为()A.P<N<M B.P<M<N C.M<P<N D.N<P<M【考点】对数值大小的比较.【分析】由对数函数与指数函数的单调性,利用特值法比较大小.【解答】解:∵0<a<b<c<1,∴M=2a>20=1,N=5﹣b<50=1,且N>0;P=lnc<ln1=0,故P<N<M;故选:A.5.在递增的等比数列{a n}中,已知a1+a n=34,a3•a n﹣2=64,且前n项和为S n=42,则n=()A.3 B.4 C.5 D.6【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.【分析】由题意易得a1和a n是方程x2﹣34x+64=0的两根,结合数列递增可解得a1=2,a n=32,再由S n=42的q,可得n值.【解答】解:由等比数列的性质可得a1a n=a3•a n﹣2=64,又a1+a n=34,∴a1和a n是方程x2﹣34x+64=0的两根,解方程可得x=2或x=32,∵等比数列{a n}递增,∴a1=2,a n=32,∵S n=42,∴==42,解得q=4,∴32=2×4n﹣1,解得n=3故选:A6.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2﹣bc,bc=4,则△ABC 的面积为()A.B.1 C.D.2【考点】余弦定理.【分析】由已知及余弦定理可求cosA,从而可求sinA的值,结合已知由三角形面积公式即可得解.【解答】解:∵a2=b2+c2﹣bc,∴由余弦定理可得:cosA===,又0<A<π,∴可得A=60°,sinA=,∵bc=4,∴S△ABC=bcsinA==.故选:C.7.把函数f(x)=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位,所得函数g(x)的图象关于直线x=对称,则m的最小值为()A.B.C.D.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式化简f(x),平移后取x=得到,进一步得到,取k=0求得正数m的最小值.【解答】解:∵f(x)=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x=1﹣2sinxcosx+2cos2x=1+1+cos2x﹣sin2x=﹣(sin2x﹣cos2x)+2=.∴把函数f(x)的图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位,得到函数g(x)的图象的解析式为:g(x)=.∵函数g(x)的图象关于直线x=对称,∴,即.∴k=0时最小正数m的值为.故选:A.8.已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,0)C.(﹣1,0)D.[﹣1,0)【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】由函数的解析式作出函数的图象,分析可得结果.【解答】解:由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分,且随着a的变化而上下平移,右半部分为直线的一部分,且是固定的,作图如下:结合图象分析可得,当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意,而红线与y轴的焦点坐标为a+1,且只需0≤a+1<1,即﹣1≤a<0即可故选D9.已知双曲线=1(a>0,b>0),过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据题意可得|MF|=|OF|,再利用双曲线的几何性质表示出a,b,c的关系式,进而求得a和c的关系,则双曲线离心率可得.【解答】解:设右焦点为F,由条件可得,⇒由e>1可得,故选D.10.已知实数x∈[1,10]执行如图所示的流程图,则输出的x不小于63的概率为()A .B .C .D .【考点】程序框图.【分析】由程序可知:n=4>3,输出8x+7,由8x+7≥63,解得x .利用几何概率计算公式即可得出.【解答】解:输入x ,n=1≤3,则x←2x +1,n←1+1; n=2≤3,则x←2(2x+1)+1,n←2+1; n=3≤3,则x←4(2x+1)+3,n←3+1; n=4>3,输出8x+7, 由8x+7≥63, 解得x ≥7.∴输出的x 不小于63的概率P==.故选:A .11.已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( )A .B .C .D .【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥,画出其直观图,根据三视图的数据所对应的几何量,代入公式计算可得答案【解答】解:由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥,其直观图如图:其中AB=BC=2.AB⊥BC,D为侧棱的中点,侧棱长为2,∴几何体的体积V=×2×2×2﹣×=.故选:D.12.已知函数f(x)是R上的偶函数,在(﹣3,﹣2)上为减函数且对∀x∈R都有f(2﹣x)=f(x),若A,B是钝角三角形ABC的两个锐角,则()A.f(sinA)<f(cosB)B.f(sinA)>f(cosB)C.f(sinA)=f(cosB)D.f(sinA)与与f(cosB)的大小关系不确定【考点】抽象函数及其应用.【分析】根据条件判断函数的周期是2,利用函数奇偶性和周期性,单调性之间的关系进行转化即可得到结论.【解答】解:∵f(2﹣x)=f(x),且f(x)是R上的偶函数,∴f(x﹣2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,∵函数在(﹣3,﹣2)上f(x)为减函数,∴函数在(﹣1,0)上f(x)为减函数,在(0,1)上为增函数,∵A,B是钝角三角形ABC的两个锐角,∴A+B<,即0<A<﹣B<,则sinA<sin(﹣B)=cosB,∵f(x)在(0,1)上为增函数,∴f(sinA)<f(cosB),故选:A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.若实数x,y满足则z=x+2y的最大值是 2 .【考点】简单线性规划.【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x+2y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.【解答】解:满足题中约束条件的可行域如图所示.目标函数z=x+2y取得最大值,即使得函数在y轴上的截距最大.结合可行域范围知,当其过点P(0,1)时,Z max=0+2×1=2.故答案为:2.14.已知tanα=,则cos2α= .【考点】二倍角的余弦.【分析】利用cos2α=cos2α﹣sin2α=,可得结论.【解答】解:∵tanα=,∴cos2α=cos2α﹣sin2α====.故答案为:.15.设a=sinxdx,则(2x+)6展开式的常数项为160 .【考点】二项式系数的性质.【分析】由微积分基本定理可得a,再利用二项式定理的展开式的通项公式即可得出.【解答】解:a=sinxdx==1,则(2x+)6=的展开式的通项公式:T r+1==26﹣r x6﹣2r,令6﹣2r=0,解得r=3.∴展开式的常数项为:23=160.故答案为:160.16.已知三棱锥P﹣ABC,若PA,PB,PC两两垂直,且PA=2,PB=PC=1,则三棱锥P﹣ABC的内切球半径为.【考点】球的体积和表面积;棱锥的结构特征.【分析】利用三棱锥P﹣ABC的内切球的球心,将三棱锥分割成4个三棱锥,利用等体积,即可求得结论.【解答】解:由题意,设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r,球心为O,则由等体积V B﹣PAC=V O﹣PAB+V O﹣PAC+V O﹣ABC可得=++,∴r=.故答案为:.三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,点(a,b)在4xcosB﹣ycosC=ccosB 上.(1)cosB的值;(2)若•=3,b=3,求a和c.【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算;余弦定理.【分析】(1)由正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简即可求得cosB的值.(2)利用向量的数量积的运算求得ac的值,进而利用余弦定理求得a2+c2的值,进而联立方程求得a和c.【解答】解:(1)由题意得4acosB﹣bcosC=ccosB,由正弦定理得4sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB,整理得4sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∵sinA≠0,∴cosB=.(2)•=||•||cosB=ac=3,∴ac=12,由b2=a2+c2﹣2accosB,∴a2+c2=24,∴a2+c2﹣2ac=(a﹣c)2=0,∴a=c,∴a=c=2.18.如图,平面ABEF⊥平面ABC,四边形ABEF为矩形,AC=BC.O为AB的中点,OF⊥EC.(Ⅰ)求证:OE⊥FC:(Ⅱ)若=时,求二面角F﹣CE﹣B的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质.【分析】(Ⅰ)连结OC,则OC⊥AB,从而得到OC⊥OF,进而得到OF⊥OE,由此能证明OE⊥FC.(Ⅱ)由(I)得AB=2AF.不妨设AF=1,AB=2建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可.【解答】(Ⅰ)证明:连结OC,∵AC=BC,O是AB的中点,故OC⊥AB.又∵平面ABC⊥平面ABEF,故OC⊥平面ABE,于是OC⊥OF.又OF⊥EC,∵OF⊥平面OEC,∴OF⊥OE,又∵OC⊥OE,∴OE⊥平面OFC,∴OE⊥FC;(Ⅱ)解:由(I)得AB=2AF.不妨设AF=1,AB=2,∵=,∴AC=,则OC=建立以O为坐标原点,OC,OB,OD分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:则F(0,﹣1,1),E(0,1,1),B(0,1,0),C(,0,0),则=(﹣,1,1),=(0,﹣2,0),设平面FCE的法向量为=(x,y,z),则.∴=(1,0,),∵=(0,0,1),=(,﹣1,0),∴同理可得平面CEB的法向量为=(1,,0),∴cos<,>==,∵二面角F﹣CE﹣B是钝二面角,∴二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣.19.为了普及环保知识增强环保意识,某校从理工类专业甲班抽取60人,从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试(1)根据题目条件完成下面2×2列联表,并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与100分,优秀的同学得60分以上通过预选,非优秀的同学得80分以上通过预选,若每位同学得60分以上的概率为,得80分以上的概率为,现已知甲班有3人参加预选赛,其中1人为优秀学生,若随机变量X表示甲班通过预选的人数,求X的分布列及期望E(X).附:k2=,n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用.【分析】(1)由题设条件作出列联表,根据列联表中的数据,得到K2=≈7.8>6.635.由此得到有99%的把握认为环保知识测试与专业有关.(2)由题设知X的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和EX.K2=≈7.8>6.635,所以有99%的把握认为环保知识与专业有关(2)不妨设3名同学为小王,小张,小李且小王为优秀,记事件M,N,R分别表示小王,小张,小李通过预选,则P(M)=,P(N)=P(R)=随机变量X的取值为0,1,2,3所以P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(M+N+R)=××+××+××=,P(X=2)=P(MN+NR+M R)=××+××+××=,P(X=3)=P(MNR)=××=E(X)=0×+1×+2×+3×=20.已知椭圆的离心率,过点A(0,﹣b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(﹣1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.【考点】圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程.【分析】(1)直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:,由此能求出椭圆的方程.(2)假设存在这样的值.,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,再由根的判别式和根与系数的关系进行求解.【解答】解:(1)直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:,解得:a2=3,b=1,∴椭圆的方程为.(2)假设存在这样的值.,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,∴△=(12k)2﹣36(1+3k2)>0…①,设C(x1,y1),D(x2,y2),则而y1•y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,要使以CD为直径的圆过点E(﹣1,0),当且仅当CE⊥DE时,则y1y2+(x1+1)(x2+1)=0,∴(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0…③将②代入③整理得k=,经验证k=使得①成立综上可知,存在k=使得以CD为直径的圆过点E.21.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g (x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【考点】函数单调性的性质.【分析】(1)由函数f(x)在[1,2]上是减函数得在[1,2]上恒成立,即有h(x)=2x2+ax﹣1≤0成立求解.(2)先假设存在实数a,求导得=,a在系数位置对它进行讨论,结合x∈(0,e]分当a≤0时,当时,当时三种情况进行.【解答】解:(1)在[1,2]上恒成立,令h(x)=2x2+ax﹣1,有得,得(2)假设存在实数a,使g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值3, =当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍去),∴g(x)无最小值.当时,g(x)在上单调递减,在上单调递增∴,a=e2,满足条件.当时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍去),∴f(x)无最小值.综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.选做题[选修4-1:几何证明选讲]22.如图所示,AB为圆O的直径,CB,CD为圆O的切线,B,D为切点.(1)求证:AD∥OC;(2)若圆O的半径为2,求AD•OC的值.【考点】相似三角形的性质.【分析】(1)连接BD,OD,利用切线的性质,证明BD⊥OC,利用AB为直径,证明AD⊥DB,即可证明AD∥OC;(2)证明Rt△BAD∽Rt△COB,可得,即可求AD•OC的值【解答】(1)证明:连接BD,OD,∵CB,CD是圆O的两条切线,∴BD⊥OC,又AB为直径,∴AD⊥DB,∴AD∥OC.(2)解:∵AD∥OC,∴∠DAB=∠COB,∴Rt△BAD∽Rt△COB,∴,∴AD•OC=AB•OB=8.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】(I)先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得圆C的直角坐标方程,从而得到圆心C的直角坐标.(II)欲求切线长的最小值,转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值,故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值,再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.【解答】解:(I)∵,∴,∴圆C的直角坐标方程为,即,∴圆心直角坐标为.(II)∵直线l的普通方程为,圆心C到直线l距离是,∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是[选修4-5:不等式选讲]24.(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2;(2)已知a,b,c都是正数,求证:≥abc.【考点】不等式的证明.【分析】(1)由条件a≠b推出:a2﹣2ab+b2>0,通过变形,应用不等式的性质可证出结论;(2)利用基本不等式,再相加,即可证明结论.【解答】证明:(1)∵a≠b,∴a﹣b≠0,∴a2﹣2ab+b2>0,∴a2﹣ab+b2>ab.而a,b均为正数,∴a+b>0,∴(a+b)(a2﹣ab+b2)>ab(a+b)∴a3+b3>a2b+ab2成立;(2)∵a,b,c都是正数,∴a2b2+b2c2≥2acb2,a2b2+c2a2≥2bca2,c2a2+b2c2≥2abc2,三式相加可得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2abc(a+b+c),∴a2b2+b2c2+c2a2)≥abc(a+b+c),∴≥abc.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(5月模拟)数学(文)试题(A卷)_Word版含答案
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(模拟)数 学(文 科)本试题卷共4页,22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 设{010},{1,2,3,5,7,9}U U A B x N x A B ==∈≤≤=ð,则B 的非空真子集的个数为( )A. 5B. 31C. 30D. 322. 在去年足球甲联赛上,一队每场比赛平均失球数是1. 5, 全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队每场比赛平均失球数是2.1 ,全年失球个数的标准差为0.4,下列说法正确为() A. 平均来说一队比二队防守技术好 B. 二队比一队技术水平更稳定C. 一队有时表现很差,有时表现很好D. 二队很少失球 3. 右边框图是用数列1{}n n+的前100项和,矩形赋值框和菱形 判断框应分别填入( )A. 1,100i S S i i +=+≥? B. 1,101i S S i i +=+≥? C. ,1001i S S i i =+≥-? D. ,1011i S S i i =+≥-? 4. 一个四面体中如果有三条棱两两互相垂直,且垂足不是同一点, 这三条棱就象中国武术中的兵器——三节棍体. ABCD 的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为(0,0,0),(0,2,0),(4,2,0)A B C ,(0,0,2)D , 则此三节棍体外接球的体积为()A.B.C. D.5.把函数sin()6y x π=+图象上各点横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变), 再向右平移3π个单位,所得的图象的一条对称轴方程为( ) A.2x π=- B. 4x π=- C. 8x π= D. 4x π=6. 已知变量,x y 满足的不等式组0210x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k 的值为( )mA. 0或2-B. 12-C. 0或12-D. -27. 给出下列命题:①在区间(0,)+∞上,函数1y x -=,1232,(1),y x y x y x ==-=中有3个是增函数;②若log 3log 30,m n <<,则01n m <<<;③若函数()f x 是奇函数,则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称;④已知函数233,2()log (1),2x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩,则方程1()2f x =有2个实数根. 其中正确命题的个数为( ) A. 1B. 2C. 3D. 48. Rt ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c (其中c 为斜边),分别以,,a b c 边所在的直线为旋转轴,将ABC ∆旋转一周得到的几何体的体积分别是123,,V V V ,则( ) A. 123V V V +=B.123111V V V += C. 222123V V V += D.222123111V V V +=9. 已知(,0),(0)F c c ->是双曲线的左焦点,离心率为e ,过F 且平行双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ,且点P 在抛物线24y cx =上,则2e =( )A.B.C.D.10. 如图,半径为2的O 与直线MN 切于点P ,射线PK 从PN 出发,绕P 点逆时针旋转到PM ,旋转过程中, PK 交O 于Q ,设(02)POQ x x π∠=≤≤, 弓形PMQ 的面积为()S f x =,那么()f x 的图象大致为 ( )二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)D.24242424A.B.C.11. 设i是虚数单位,Z是复数Z的共轭复数,若321iZi=+,则Z=_________.12.()G x表示函数2cos3y x=+的导数,在区间[,]3ππ-上随机取值a,()1G a<的概率为___.13.在ABC∆中,已知4,3,AB AC BC BM MN NC⋅====,则AM AN⋅=____________.14.某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为______.15.已知函数3,0(),0xf xax b x≥=+<⎪⎩满足条件:()y f x=是R上的单调函数且()()4f a f b=-=,则(1)f-的值为_____.16.如果,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A到观察点P的仰角θ的大小,(仰角θ为直线AP与平面ABC(所成的角)),若15,25,30AB m AC m BCM==∠=,则tanθ的最大值是_______.17.给出下面命题:①双曲线2212yx-=的渐近线方程为y=;②命题:P“1,sin2sinx R xx+∀∈+≥”是真命题;③已知线性回归方程为32y x=+,当变量x增加2个单位时,其预报值平均增加4个单位;④已知262;2464+=--532;5434+=--711022,2,741410424-+=+=-----依照以上各式的规律,得到一般性的等式为82(4)4(8)4n nnn n-+=≠---,则正确命题的序号为_______(写出所有正确命题的序号)三、解答题(本大题共5小题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.(本题12分)ABC∆中,cos cosa Ab B=(1)判断ABC∆的形状;(2)设(sin1,cos)m A A=+,(sin1,cos)n B B=+,求m n⋅的范围.19.(本题12分)在如图所示的多面体ABCDE中,已知//,,AB DE AB AD ACD⊥∆是正三侧视图正视图14题俯视图AF平面BCE;(1)求证://(2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值;(3)求多面体ABCDE的体积.20.(本题13分)下图中正方形的个数依次构成数列{}n a 的前3项(1) 如果这个数列中,1n a +是n a 的一次正数,求出{}n a 的一个递推公式; (2)在(1)的条件下,求{}n a 的通项公式; (3)设171n n n n a b a a ++=,求数列{}n b 的前n 项和n S .21.(本题14分)从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰好为左焦点1F ,点A 是椭圆上的右顶点,12,B B是椭圆的上、下顶点,已知11//,AB OP F A =(1)求椭圆的方程;(2)设(,0),(,0)M m N n 是两定点,实数,m n 满足什么条件时,1B M 与2B N 的交点T 始终在椭圆上?22. (本题14分)已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[1,)+∞上为增函数,且(0,),θπ∈1()ln ,m f x mx x x-=--m R ∈. (1)求θ的值;(2)若()()f x g x -在[1,)+∞上为单调函数,求m 的取值范围; (3)设2()eh x x=,若在[1,]e 上至少存在一个0x ,使得000()()()f x g x h x ->成立,求m 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(模拟)数学(文科)A 卷参考答案一、选择题:1. C2. A3. B4. B5. A6. C7. C8. D9. D 10.D 二、填空题:11. 1i -+12.7813.614. 1492π+ 15. 3- 16.17. ①③④三、解答题18. 必修5 P10-B 组-2(1)ABC ∆为等腰∆或Rt ∆ ………………4分 (2)sin sin sin sin 1cos cos m n A B A B A B ⋅=++++cos()sin sin 1A B A B =-+++ ………………6分1. A B =时,2sin 2(0,)2m n A A π⋅=+∈sin (0,1)(2,4)A m n ∴∈∴⋅∈ ………………9分2. 2A B π+=时,cos(2)sin cos 12m n A A A π⋅=-+++2sin cos sin cos 1A A A A =+++设sin cos ,(1A A t t +=∈,22sin cos 1A A t =-2211(2,2m n t t t t ∴⋅=-++=+∈ ………………12分19. 解:第一步,取CE 中点M ,证明四边形ABMF 为平行四边形.(1)如图,取CE 的中点M ,连接,BM MF ,因F 为CD 的中点,所以1//2MF ED ,又1//2AF DE ,所以//MF AB ,四边形ABMF 为平行四边形,第二步,证明线面平行.所以//MF AF ,因为BM ⊂平面BCE ,AF ⊄平面BCE ,所以//AF 平面.BCE 第三步,证明AB ⊥平面.ACD(2)因为ACD ∆是正三角形,所以2AC AD CD ===,在ABC ∆中,1,2,5A B A C B ==,所以22A B A CB C +=,故A B A ⊥,又,,AB AD ACAD A ⊥=所以AB ⊥平面.ACD第四步,找出直线CE 与平面ABED 所成的角.取AD 的中点H ,连接,CH EH ,则AB CH ⊥,又AC CD =,所以CH AD ⊥,又ABAD A =,所以CH ⊥平面ABED ,所以CEH ∠是直线CE 与平面ABED 所成的角.第五步,求线面角.在Rt CHE ∆中,CH EH CE ===cos 4CEH ∠= 第六步,求几何体的体积.(3)由(2)知,CH 是四棱锥C ABED -的高,所以11(12)32ABCDE V =⨯⨯+=20.必修5-P34-B 组1及P47-4(1)1231,9,73a a a === 11181n na a a +=⎧⎨=+⎩………………4分(2)817n n a -=………………7分(3)11181718117497()8181(81)(81)818177n n n n n n n n n b +++-⋅+==⋅=-------⋅111177()178181n n n S ++∴=-=---………………12分21. 选修Ⅱ-1 P81-2 选修Ⅳ-4 P34-2(1)221105x y += ………………4分(2)12(0,5),(0,B B12:1,:1B M B N x x l l m n ∴=+= 设00(,)T x y2200(115x y mn ∴=-=-2222200100111,,10105510x y y x x mn mn +=∴-=∴=∴= ………………12分22. 解:(1)由题意,211()0sin g x x xθ'=-+≥⋅在[1,)+∞上恒成立, 即sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅在[1,)+∞上恒成立.因为(0,)θπ∈,所以sin 0θ>.故sin 10x θ⋅-≥在[1,)+∞上恒成立,只需sin 10x θ⋅-≥,即sin 1θ≥,又sin 1θ≤,所以sin 1θ=.结合(0,)θπ∈,得.2πθ=…………………………4分(2)设()()()x f x g x ϕ=-,由(1)得()2ln ,mx mx x xϕ=-- 所以222().mx x mx xϕ-+'= 因为()x ϕ在[1,)+∞上为单调函数,所以220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1,)+∞上恒成立. …………………………6分220mx x m -+≥等价于2(1)2m x x +≥,即221xm x≥+在[1,)+∞上恒成立, 而222111x x x x=≤++,所以1m ≥. 220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤,即221xm x≤+在[1,)+∞上恒成立, 而22(0,1]1xx ∈+,所以0.m ≤ 综上,m 的取值范围是(,0][1,).-∞+∞…………………………9分 (3)构造函数()()()()F x f x g x h x =--,则2()2ln .m e F x mx x x x=--- 当0m ≤时,因为[1,]x e ∈,所以20,2ln 0,m emx x x x-≤--< 所以在[1,]e 上不存在0x ,使得000()()()f x g x h x ->成立. ………………………11分当0m >时,22222222().m e mx x m eF x m x x x x-++'=+-+= 因为[1,]x e ∈,所以2220,0e x mx m -≥+>,所以()0F x '>在[1,]x e ∈上恒成立. 故()F x 在[1,]e 上单调递增,min max ()(1)20,()(2)4mF x F e F x F me e==-<==--,只要40m me e -->即可,解得24.1e m e >- 故m 的取值范围是24(,).1ee +∞-。
2015-2016学年青海省西宁五中、四中、十四联考高三(上)期末数学试卷(理科)含答案
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2015-2016学年青海省西宁五中、四中、十四联考高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合A={x|},B={x|﹣3<x<4,x∈Z},则A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3}B.{﹣2,﹣1,0,1,3}C.{﹣2,3}D.{3}2.(5分)设复数z满足(i为虚数单位),则z2016=()A.21008B.21008i C.﹣21008D.﹣21008i3.(5分)已知一次函数f(x)=ax﹣1满足a∈[﹣1,2]且a≠0,那么对于a,使得f(x)≤0在x∈[0,1]上成立的概率为()A.B.C.D.4.(5分)已知点P是抛物线y2=2x上的动点,定点Q(m,0),那么“m≤1“是“|PQ|的最小值为|m|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)在函数f(x)=(2t+1)dt的图象上,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n﹣2B.a n=n2+n﹣2C.a n=D.a n=6.(5分)如图为一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.6﹣B.6﹣C.3﹣D.3﹣7.(5分)如图,平行四边形ABCD中,AB=2AD=2,∠BAD=60°,E为DC的中点,那么与所成角的余弦值为()A.B.﹣C.D.﹣8.(5分)如果执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A.5B.7C.8D.139.(5分)实数x,y满足不等式组,则z=(x﹣1)2+(y﹣5)2的取值范围为()A.[,20]B.[,26]C.[10,20]D.[10,26] 10.(5分)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()A.x2cosx B.sinx2C.xsinx D.x2﹣x411.(5分)已知双曲线﹣=1(a,b>0)的一条渐近线向上平移两个单位长度后与抛物线y2=4x相切,则双曲线的离心率e=()A.B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),图象关于y 轴对称,且当x<0时,f′(x)恒成立,设a>1,则,2f (2),(a+1)f()的大小关系为()A.>2f(2)>(a+1)f()B.<2f(2)<(a+1)f()C.2f(2)>>(a+1)f()D.2f(2)<<(a+1)f()二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.(5分)(1+2x+3x2)(x+)5的展开式中x的系数为.14.(5分)已知定点A(3,0),动点M满足||=2||,那么落在圆C:(x ﹣1)2+(y﹣1)2=1上的点M连成的直线方程为.15.(5分)有6名同学参加演讲比赛,编号分别为1,2,3,4,5,6,比赛结果设特等奖一名,A,B,C,D四名同学对于谁获得特等奖进行预测:A说:不是1号就是2号获得特等奖;B说:3号不可能获得特等奖;C说:4,5,6号不可能获得特等奖;D说:能获得特等奖的是4,5,6号中的一个.公布的比赛结果表明,A,B,C,D,四人中只有一人判断正确.根据以上信息,获得特等奖的是号同学.16.(5分)已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=(2+cosnπ)(a n﹣1)+3,n∈N*.那么数列{a n}的通项公式为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinA+cosA=1﹣sin.(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)若c2﹣a2=2b,且sinB=3cosC,求b.18.(12分)《中国梦想秀》是浙江卫士推出的一档“真人秀”综艺节目,节目开播至今,有上百组的追梦人在这个舞台上实现了自己的梦想,某机构随机抽取100名参与节目的选手,以他们的年龄作为样本进行分析研究,并根据所得数据作出如下频数分布表:(Ⅰ)在表中作出这些数据的频率分布直方图;(Ⅱ)已知样本中年龄在[55,65]内的6位选手中,有4名女选手,2名男选手,现从中选3人进行回访,记选出的女选手的人数为X,求X的分布列、数学期望与方差.19.(12分)如图1,已知正三角形ABC,以AB、AC为边在同一平面内向外作正三角形ABE与ACD,F为CD中点,分别沿AB、AF将平面ABE、平面ADE 折成直二面角,连接EC、CD,如图2所示.(1)求证:CD∥平面ABE;(2)求二面角E﹣AC﹣B的余弦值.20.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),点B为圆O:x2+y2=a2与y轴的交点,过点B的直线l(斜率为正)与椭圆相切于点D,并交x轴于点C,O 为坐标原点,如图.(Ⅰ)若切点坐标为D(﹣1,),求椭圆E的方程;(Ⅱ)若直线l与圆O的另一交点为A,且满足=2,求椭圆E的离心率.21.(12分)已知f(x)=.(Ⅰ)若曲线f(x)在x=0处的切线与直线x﹣2y﹣2016=0垂直,求y=f(x)的极值;(Ⅱ)若关于t的方程(2x+1)2f′(x)=t3﹣12t在x时恒有3个不同的实数根,试求实数a的取值范围.请考生在22、23、24三道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,BC是圆O的直径,过C作圆O的切线AC,连接AB交圆O 于点D.(Ⅰ)若AC=3,圆O的半径为1,求AD;(Ⅱ)连接DO并延长交圆O于点E,连接CE,求证:CD2=AD•CE.选修4-4:坐标系与参数方程23.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立及坐标系.(Ⅰ)写出曲线C的极坐标方程和普通方程.(Ⅱ)过点A(m,0)作曲线C的两切线AP,AQ,切点分别为P,Q,求证:直线PQ过定点.选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=|x﹣a|+|x|.(Ⅰ)若a=1,解不等式f(x)>2;(Ⅱ)若存在x∈R,使得不等式f(x)对任意t>﹣1恒成立,求实数a 的取值范围.2015-2016学年青海省西宁五中、四中、十四联考高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合A={x|},B={x|﹣3<x<4,x∈Z},则A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3}B.{﹣2,﹣1,0,1,3}C.{﹣2,3}D.{3}【解答】解:由,得到>0,即(x+1)(x﹣2)>0,解得x<﹣1,或x>2,∴A=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞),∵B={x|﹣3<x<4,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={﹣2,3}.故选:C.2.(5分)设复数z满足(i为虚数单位),则z2016=()A.21008B.21008i C.﹣21008D.﹣21008i【解答】解:复数z满足,可得z﹣i=zi+i,∴z=,z2016===21008.故选:A.3.(5分)已知一次函数f(x)=ax﹣1满足a∈[﹣1,2]且a≠0,那么对于a,使得f(x)≤0在x∈[0,1]上成立的概率为()A.B.C.D.【解答】解:由题意可得f(x)=ax﹣1≤0在x∈[0,1]上恒成立,当x=0时,可得﹣1≤0,显然恒成立;当x∈(0,1]时,可化为a≤,而的最小值为1,故a≤1,结合a∈[﹣1,2]可得a∈[﹣1,1],故由几何概型可得P==故选:B.4.(5分)已知点P是抛物线y2=2x上的动点,定点Q(m,0),那么“m≤1“是“|PQ|的最小值为|m|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:设P,y∈R.|PQ|=,当m≤1时,y=0时,|PQ|的最小值为|m|;当m>1时,y2=2(m﹣1)时,|PQ|的最小值为.∴那么“m≤1“是“|PQ|的最小值为|m|”的充要条件.故选:C.5.(5分)已知数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)在函数f(x)=(2t+1)dt的图象上,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n﹣2B.a n=n2+n﹣2C.a n=D.a n=【解答】解:∵(2t+1)dt=x2+x﹣2,∴S n=n2+n﹣2,∴当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2n,又∵a1=S1=1+1﹣2=0不满足上式,∴a n=,故选:D.6.(5分)如图为一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.6﹣B.6﹣C.3﹣D.3﹣【解答】解:由三视图得,此几何体是长方体挖去了半个圆柱,且长宽高分别为2、1.5、1,圆柱的半径为1,母线长是1.5,所以此几何体的体积V=2×=3﹣,故选:D.7.(5分)如图,平行四边形ABCD中,AB=2AD=2,∠BAD=60°,E为DC的中点,那么与所成角的余弦值为()A.B.﹣C.D.﹣【解答】解:以AB所在直线为x轴,A为原点,建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B(2,0),C(,),D(,),E(,).∴=(,),=(,﹣),∴||==,||==1.==.∴cos<>==.故选:C.8.(5分)如果执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A.5B.7C.8D.13【解答】解:模拟执行程序框图,可得A1=0,A2=1,i=3第一次执行循环体后:A3=1,A1=1,A2=1,i=4不满足退出循环的条件;第二次执行循环体后:A3=2,A1=1,A2=2,i=5不满足退出循环的条件;第三次执行循环体后:A3=3,A1=2,A2=3,i=6不满足退出循环的条件;第四次执行循环体后:A3=5,A1=3,A2=5,i=7不满足退出循环的条件;第五次执行循环体后:A3=8,A1=5,A2=8,i=8满足退出循环的条件;故输出的结果为8,故选:C.9.(5分)实数x,y满足不等式组,则z=(x﹣1)2+(y﹣5)2的取值范围为()A.[,20]B.[,26]C.[10,20]D.[10,26]【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图,z的几何意义是区域内的点到点D(1,5)的距离的平方,则由图象知CD的距离最大,点D到直线AB:x﹣3y+4=0的距离最小,此时d==,此时最小值z=d2=10,由得,即C(2,0),此时z=(2﹣1)2+(0﹣5)2=1+25=26,故10≤z≤26,故选:D.10.(5分)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()A.x2cosx B.sinx2C.xsinx D.x2﹣x4【解答】解:若f(x)=x2cosx,则f()=0,不符合题意,排除A.若f(x)=sinx2,则f′(x)=2xcosx2,令f′(x)=0,x=0或x2=+kπ,∴f(x)的最小正极值点为<,符合题意.若f(x)=xsinx,则f′(x)=sinx+xcosx.令f′(x)=0,得x=﹣tanx,∴f(x)在(0,)内无极值点,不符合题意.排除C.若f(x)=x2﹣,则f′(x)=2x﹣x3,令f′(x)=0,得x=0或x=.∴f(x)的最小正极值点为,不符合题意,排除D故选:B.11.(5分)已知双曲线﹣=1(a,b>0)的一条渐近线向上平移两个单位长度后与抛物线y2=4x相切,则双曲线的离心率e=()A.B.C.D.【解答】解:(1)当双曲线﹣=1的一条渐近线方程为:,此渐近线向上平移两个单位可得,,则由得,,所以△=,化简得,,不成立;(2)当双曲线﹣=1的一条渐近线方程为:,此渐近线向上平移两个单位可得,,则由得,,所以△=,化简得,,则a=2b,所以c==,即e==,故选:A.12.(5分)已知函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),图象关于y 轴对称,且当x<0时,f′(x)恒成立,设a>1,则,2f (2),(a+1)f()的大小关系为()A.>2f(2)>(a+1)f()B.<2f(2)<(a+1)f()C.2f(2)>>(a+1)f()D.2f(2)<<(a+1)f()【解答】解:∵当x<0时,f′(x)>恒成立,∴xf′(x)<f(x),令g(x)=,∴g′(x)=,∴g′(x)<0,∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,∵f(﹣x)=f(x),∴g(﹣x)=﹣g(x),∴g(x)为奇函数,在(0,+∞)上单调递减.∵比较,2f(2),(a+1)f()的大小,∴=4ag(a+1),2f(2)=4ag(2),(a+1)f()=4ag(),∵a>1,∴a+1﹣2=(﹣1)2>0,∴a+1>2,a+1>,且<2,∴a+1>2>,∴g(a+1)<g(2)<g(),∴4ag(a+1)<4ag(2)<4ag(),即<2f(2)<(a+1)f().故选:B.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.(5分)(1+2x+3x2)(x+)5的展开式中x的系数为40.【解答】解:由题意和二项式系数的特点可得:(1+2x+3x2)(x+)5的展开式中含x的项为:1•++3x2•=40x,故答案为:40.14.(5分)已知定点A(3,0),动点M满足||=2||,那么落在圆C:(x ﹣1)2+(y﹣1)2=1上的点M连成的直线方程为2x﹣y﹣2=0.【解答】解:设M(x,y),∵动点M满足||=2||,∴=2,化为:(x+1)2+y2=4,与(x﹣1)2+(y﹣1)2=1相减可得:2x﹣y﹣2=0,由于此直线既经过此圆(x+1)2+y2=4的两个点,又经过圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的某两个点,即为过两圆的交点的直线方程.故答案为:2x﹣y﹣2=0.15.(5分)有6名同学参加演讲比赛,编号分别为1,2,3,4,5,6,比赛结果设特等奖一名,A,B,C,D四名同学对于谁获得特等奖进行预测:A说:不是1号就是2号获得特等奖;B说:3号不可能获得特等奖;C说:4,5,6号不可能获得特等奖;D说:能获得特等奖的是4,5,6号中的一个.公布的比赛结果表明,A,B,C,D,四人中只有一人判断正确.根据以上信息,获得特等奖的是3号同学.【解答】解:因为只有一人猜对,而C与D互相否定,故C、D中一人猜对.假设D对,则推出B也对,与题设矛盾,故D猜错,所以猜对者一定是C;于是B一定猜错,故获奖者是3号选手(此时A错).故答案为:3.16.(5分)已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=(2+cosnπ)(a n﹣1)+3,n∈N*.那么数列{a n}的通项公式为a n=.=(2+cosnπ)(a n﹣1)+3,n∈N*.【解答】解:a n+2∴当n=2k﹣1时,a n=a n+2,∴{a2k﹣1}是等差数列,首项为1,公差为2,∴a2k+2=1+2(k﹣1)=2k﹣1,即n为奇数时a n=n.﹣1=3a n,∴{a2k}是等比数列,首项为2,公比为3,∴a2k=2×3k﹣1,当n=2k时,a n+2即n为偶数时a n=.∴a n=.故答案为:a n=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinA+cosA=1﹣sin.(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)若c2﹣a2=2b,且sinB=3cosC,求b.【解答】解:(Ⅰ)已知等式整理得:2sin cos+1﹣2sin2=1﹣sin,即2sin cos﹣2sin2=﹣sin,∵sin≠0,∴2cos﹣2sin=﹣1,即cos﹣sin=﹣,整理得:(cos cos﹣sin sin)=﹣,即cos(+)=﹣,∴cos(A+)=2cos2(+)﹣1=﹣,则>>=﹣cos(A+)=;(Ⅱ)∵c2﹣a2=2b>0,可得:c>a,A为锐角,由(1)可得sinA=;∴cosA==,∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC=3cosC,∴可得:tanC=,从而可求cosC==,sinC=,∴sinB=3,∴a==,∵c2=a2+2b=a2+b2﹣2abcosC,解得:b2﹣2b﹣2abcosC=0,即:b2﹣2b﹣2××b×=0,∴整理可得:b(b﹣2)=0,解得:b=4或0(舍去).18.(12分)《中国梦想秀》是浙江卫士推出的一档“真人秀”综艺节目,节目开播至今,有上百组的追梦人在这个舞台上实现了自己的梦想,某机构随机抽取100名参与节目的选手,以他们的年龄作为样本进行分析研究,并根据所得数据作出如下频数分布表:(Ⅰ)在表中作出这些数据的频率分布直方图;(Ⅱ)已知样本中年龄在[55,65]内的6位选手中,有4名女选手,2名男选手,现从中选3人进行回访,记选出的女选手的人数为X,求X的分布列、数学期望与方差.【解答】解:(Ⅰ)由已知条件作出频率分布表:由频率分布表,作出频率分布直方图,如右图.(2)∵样本中年龄在[55,65]内的6位选手中,有4名女选手,2名男选手,现从中选3人进行回访,记选出的女选手的人数为X,∴X的可能取值为1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,∴X的分布列为:数学期望EX==2,方差DX=+=.19.(12分)如图1,已知正三角形ABC,以AB、AC为边在同一平面内向外作正三角形ABE与ACD,F为CD中点,分别沿AB、AF将平面ABE、平面ADE 折成直二面角,连接EC、CD,如图2所示.(1)求证:CD∥平面ABE;(2)求二面角E﹣AC﹣B的余弦值.【解答】(1)证明:取AB的中点O,连接EO,OC,则EO⊥AB,0C⊥AB,∵平面ABE⊥平面ABC,∴EO⊥平面ABC,∵平面ADE⊥平面ABC,F为CD中点,∴DF⊥AF,DF⊥CF,则DF⊥平面ABC,则DF∥OE,则DF∥平面ABE,∵CF∥AB,∴则CF∥平面ABE,∵DF∩CF=F,∴平面DEF∥平面ABE,∵CD⊂平面CDF∴CD∥平面ABE;(2)以O为原点,以OA,0C,0E为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设OB=1,则B(1,0,0),C(0,,0),A(﹣1,0,0),E(0,0,),则=(1,,0),=(1,0,)则平面ABC的法向量为=(0,0,1),设平面EAC的法向量为=(x,y,z),则,即,令x=,则y=﹣1,z=﹣1,即=(,﹣1,﹣1),则cos<,>===﹣由于二面角E﹣AC﹣B是锐二面角,∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值是.20.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),点B为圆O:x2+y2=a2与y轴的交点,过点B的直线l(斜率为正)与椭圆相切于点D,并交x轴于点C,O 为坐标原点,如图.(Ⅰ)若切点坐标为D(﹣1,),求椭圆E的方程;(Ⅱ)若直线l与圆O的另一交点为A,且满足=2,求椭圆E的离心率.【解答】解:(I)B(0,a),切线l的方程为:y=x+a,即y=x+a.联立,化为x2+x+a4﹣a2b2=0,∵直线与椭圆相切可得:△=﹣4(a4﹣a2b2)=0,.化为a2﹣b2﹣=0.∵切点D(﹣1,)在椭圆上,∴=1,联立,解得a2=4,b2=3.∴椭圆E的方程为.(II)B(0,a).设直线l的方程为:y=kx+a(k>0),联立,化为(b2+a2k2)x2+2a3kx+a4﹣a2b2=0,∵直线与椭圆相切,∴△=4a6k2﹣4(b2+a2k2)(a4﹣a2b2)=0,化为a2﹣b2=a2k2.解得c=ak,D(﹣c,)联立,化为(1+k2)x2+2kax=0,解得A.∵=2,∴x D=2(﹣x D),化为a2=3c2,解得e==.21.(12分)已知f(x)=.(Ⅰ)若曲线f(x)在x=0处的切线与直线x﹣2y﹣2016=0垂直,求y=f(x)的极值;(Ⅱ)若关于t的方程(2x+1)2f′(x)=t3﹣12t在x时恒有3个不同的实数根,试求实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=的导数为f′(x)=,即有f(x)在x=0处的切线斜率为2﹣2a,由切线与直线x﹣2y﹣2016=0垂直,可得2﹣2a=﹣2,解得a=2,即有f(x)=,f′(x)=,当﹣<x<﹣时,f′(x)>0,f(x)递增;当x>﹣时,f′(x)<0,f(x)递减.即有x=﹣处取得极大值,且为e;(Ⅱ)方程(2x+1)2f′(x)=t3﹣12t,即为2﹣2a﹣2ln(1+2x)=t3﹣12t,由x时,可得2﹣2a﹣2ln(1+2x)∈[﹣2﹣2a,﹣2a],由t3﹣12t的导数为3t2﹣12=3(t+2)(t﹣2),可得﹣2<t<2时,t3﹣12t递减;t>2或t<﹣2时,t3﹣12t递增.即有t=﹣2处取得极大值,且为16;t=2处取得极小值,且为﹣16.关于t的方程(2x+1)2f′(x)=t3﹣12t在x时恒有3个不同的实数根.即为2﹣2a﹣2ln(1+2x)=t3﹣12t在t∈R有三个实根,即有y=t3﹣12t与y=2﹣2a﹣2ln(1+2x)有三个零点.由题意可得﹣16<﹣2﹣2a<﹣2a<16,解得﹣8<a<7.则a的取值范围是(﹣8,7).请考生在22、23、24三道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,BC是圆O的直径,过C作圆O的切线AC,连接AB交圆O 于点D.(Ⅰ)若AC=3,圆O的半径为1,求AD;(Ⅱ)连接DO并延长交圆O于点E,连接CE,求证:CD2=AD•CE.【解答】(Ⅰ)解:由题意,BC⊥AC,BC=2,AC=3,∴AB=,由切割线定理,可得9=AD•AB,∴AD=;(Ⅱ)证明:∵BC是圆O的直径,∴CD⊥AB,∴CD2=AD•BD,∵△OBD≌△OCE,∴BD=CE,∴CD2=AD•CE.选修4-4:坐标系与参数方程23.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立及坐标系.(Ⅰ)写出曲线C的极坐标方程和普通方程.(Ⅱ)过点A(m,0)作曲线C的两切线AP,AQ,切点分别为P,Q,求证:直线PQ过定点.【解答】解:(I)将x=t代入y=t2+1,得y=x2+1,∴曲线C的普通方程为y=x2+1.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y=x2+1得ρsinθ=ρ2cos2θ+1.∴曲线C的极坐标方程为ρsinθ=ρ2cos2θ+1.(II)设过A(m,0)的直线y=k(x﹣m)与曲线y=x2+1相切,切点为(x,y)则,解得,或.∴直线PQ方程为=,即2mx﹣y+2=0.显然,当x=0时,y=2.∴直线PQ过定点(0,2).选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=|x﹣a|+|x|.(Ⅰ)若a=1,解不等式f(x)>2;(Ⅱ)若存在x∈R,使得不等式f(x)对任意t>﹣1恒成立,求实数a 的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=1,f(x)=|x﹣1|+|x|.不等式f(x)>2化为|x﹣1|+|x|>2.如图,由绝对值的几何意义可得:(Ⅱ)当t>﹣1时,t+1>0,=.当且仅当t+1=,即t=1时取等号;若存在x∈R,使得不等式f(x)对任意t>﹣1恒成立,即存在x∈R,使得不等式f(x)≤2成立.∴在x∈R,使|x﹣a|+|x|≤2成立.如图,由绝对值的几何意义可得:﹣2≤a≤2.。
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2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|0≤x≤2},则A∩B=()A.[﹣1,0)B.[﹣1,0] C.[0,1] D.(﹣∞,1)∪[2,+∞)A啊2.已知向量=(1,﹣2),=(x,4),且∠,则•=()A.5 B.﹣5 C.10 D.﹣103.若复数z满足(1﹣i)z=1+i,则|z+i|=()A.0 B.1 C.2 D.34.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2﹣bc,bc=4,则△ABC 的面积为()A.B.1 C.D.25.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出S的值为()A.4 B.8 C.10 D.126.设a、b是两条不同直线,α、β是两个不同平面,则下列命题错误的是()A.若a⊥α,b∠α,则a⊥b B.若a⊥α,b∠a,b⊂β,则α⊥βC.若a⊥α,b⊥β,α∠β,则a∠b D.若a∠α,a∠β,则α∠β7.已知x,y满足约束条件,若z=2x+y的最大值和最小值分别为a,b,则a+b=()A.7 B.6 C.5 D.48.正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,若存在a m,a n,使得a m•a n=16a12,则的最小值为()A.2 B.16 C.D.9.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x﹣的零点依次为a,b,c,则()A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c10.一个几何体的三视图如图所示,它的一条对角线的两个端点为A、B,则经过这个几何体的面,A、B间的最短路程是()A.5 B. C.4 D.311.点P在双曲线﹣=1(a>0,b>0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∟F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是()A.B.C.2 D.512.对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数:(i)对任意的x∈[0,1],恒有f(x)≥0;(ii)当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则下列三个函数中不是M函数的个数有()①f(x)=x2②f(x)=x2+1③f(x)=2x﹣1.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在题中的横线上.)13.已知函数f(x)=,则f(1)﹣f(3)= .14.已知实数a∈[﹣2,5],则a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为.15.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电原价是元.16.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为.三、解答题(本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a3=2,S5=a7.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n及S n;(Ⅱ)若a4,a4+m,a4+n(m,n∈N*)成等比数列,求n的最小值.18.教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一,“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题.某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度,从A,B,C,D四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查,每个区域选出的人数如条形图所示.为了了解学生家长的满意程度,对每位家长都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下面表格所示:(Ⅰ)若家长甲来自A区域,求家长甲的调查问卷被选中的概率;(Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出2人进行面谈,求这2人中至少有一人来自D区域的概率.19.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DE的中点.(Ⅰ)求证:BE∠平面ACF;(Ⅱ)求四棱锥E﹣ABCD的体积.20.(2009•山东)设椭圆E:过,两点,O为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B,且?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由.21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2﹣2x(a<0)(1)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;(2)若a=﹣且关于x的方程f(x)=﹣x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.《选修4-1:几何证明选讲》请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.(Ⅰ)求证:PM2=PA•PC;(Ⅱ)若⊙O的半径为2,OA=OM,求MN的长.《选修4-4:坐标系与参数方程》23.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以原点O为极点,以轴正半轴x为极轴,圆C的极坐标方程为(Ⅰ)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(2,0),试求的值.《选修4-5:不等式选讲》24.(选修4﹣5:不等式选讲)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|0≤x≤2},则A∩B=()A.[﹣1,0)B.[﹣1,0] C.[0,1] D.(﹣∞,1)∪[2,+∞)【考点】交集及其运算.【专题】集合.【分析】由A与B,求出A与B的交集即可.【解答】解:∵A=[﹣1,1],B=[0,2],∴A∩B=[0,1],故选:C.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.已知向量=(1,﹣2),=(x,4),且∠,则•=()A.5 B.﹣5 C.10 D.﹣10【考点】平面向量数量积的运算.【专题】平面向量及应用.【分析】首先利用向量平行得到x,然后利用数量积的坐标运算得到所求.【解答】解:因为向量=(1,﹣2),=(x,4),且∠,所以4+2x=0,解得x=﹣2,故•=﹣2﹣(﹣2)×4=﹣10;故选:D.【点评】本题考查了平面向量平行的坐标性质以及数量积的坐标运算;属于基础题.3.若复数z满足(1﹣i)z=1+i,则|z+i|=()A.0 B.1 C.2 D.3【考点】复数求模.【专题】计算题;数系的扩充和复数.【分析】根据复数的四则运算先求出复数z,再计算复数z+i的模长.【解答】解:∵(1﹣i)z=1+i,∴z===i,∴|z+i|=|2i|=2.故选:C.【点评】本题考查了复数的四则运算与求复数模长的应用问题,是基础题目.4.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2﹣bc,bc=4,则△ABC 的面积为()A.B.1 C.D.2【考点】余弦定理.【专题】解三角形.【分析】由已知及余弦定理可求cosA,从而可求sinA的值,结合已知由三角形面积公式即可得解.【解答】解:∵a2=b2+c2﹣bc,∴由余弦定理可得:cosA===,又0<A<π,∴可得A=60°,sinA=,∵bc=4,∴S△ABC=bcsinA==.故选:C.【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式的应用,解题时要注意角范围的讨论,属于基本知识的考查.5.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出S的值为()A.4 B.8 C.10 D.12【考点】循环结构.【专题】图表型.【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8,可得:进入循环的条件为i<8,即i=2,4,6,8.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.【解答】解:当i=2时,S=(1×2)=2,i=2+2=4,k=2;当i=4时,S=(2×4)=4,i=4+2=6,k=3;当i=6时,S=(4×6)=8,i=6+2=8,k=4;当i=8时,不满足i<8,退出循环,输出S=8.故选B.【点评】本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理.6.设a、b是两条不同直线,α、β是两个不同平面,则下列命题错误的是()A.若a⊥α,b∠α,则a⊥b B.若a⊥α,b∠a,b⊂β,则α⊥βC.若a⊥α,b⊥β,α∠β,则a∠b D.若a∠α,a∠β,则α∠β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】证明题.【分析】由题设条件a、b是两条不同直线,α、β是两个不同平面,在此背景下,对四个选项中的条件与结论进行探讨,得出正确答案.【解答】解:A选项不正确,由于a⊥α,b∠α,可得出a⊥b,故此命题是正确命题B选项不是正确选项,若a⊥α,b∠a,可得出b⊥α,又b⊂β,由字定理知则α⊥β,故此命题是正确命题C选项不是正确选项,若a⊥α,b⊥β,α∠β两条直线分别垂直于两个平行平面,可得出a∠b,故此命题是正确命题D选项是正确选项,a∠α,a∠β,不能得出α∠β,因为平行于同一直线的两个平面可能相交故选D【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,解答本题关键是熟练掌握线面间位置关系的判断条件以及较好的空间想像能力.7.已知x,y满足约束条件,若z=2x+y的最大值和最小值分别为a,b,则a+b=()A.7 B.6 C.5 D.4【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(1,﹣1),B(3,0),化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z,由图可知,当直线y=﹣2x+z过A时,直线在y轴上的截距最小,z最小等于2×1﹣1=1;当直线y=﹣2x+z过B时,直线在y轴上的截距最大,z最大等于2×3﹣0=6.∴a+b=1+6=7.故选:A.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.8.正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,若存在a m,a n,使得a m•a n=16a12,则的最小值为()A.2 B.16 C.D.【考点】等差数列的性质;等比数列的通项公式.【专题】综合题;等差数列与等比数列.【分析】正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,知q=2,由存在两项a m,a n,使得a m a n=16a12,知m+n=6,由此问题得以解决.【解答】解:∵正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,∴a1q2=a1q+2a1,即:q2=q+2,解得q=﹣1(舍),或q=2,∵存在a m,a n,使得a m a n=16a12,∴a12•2m+n﹣2=16a12,∴m+n=6,∴=(m+n)()=(10++)≥(10+2)=∴的最小值为.故选:C.【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答.注意不等式也是高考的热点,尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查,两者都兼顾到了.9.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x﹣的零点依次为a,b,c,则()A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c【考点】函数零点的判定定理.【专题】函数的性质及应用.【分析】首先,在同一坐标系中作出函数的图象,然后观察得到它们图象的交点的横坐标,从而得到大小关系.【解答】解:函数f(x)=2x+x的零点为a,也就是说函数,图象的交点的横坐标,同理,g(x)=log3x+x,h(x)=x﹣的零点也就是函数的图象的交点的横坐标,在同一坐标系中作出函数的图象,如下图所示:故有a<b<c,故选:A.【点评】本题主要考查数形结合思想在解题中的灵活运用,注意常见函数的图象及其性质.10.一个几何体的三视图如图所示,它的一条对角线的两个端点为A、B,则经过这个几何体的面,A、B间的最短路程是()A.5 B. C.4 D.3【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题;简单空间图形的三视图.【专题】计算题;作图题.【分析】画出解答几何体的部分侧面展开图,容易解得AB的最小值.【解答】解:三视图复原几何体是长方体,AB侧面展开图以及数据如图,所以|AB|的最小值为:故选B.【点评】本题考查空集几何体的三视图,及其侧面展开图,是基础题.11.点P在双曲线﹣=1(a>0,b>0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∟F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是()A.B.C.2 D.5【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;等差数列与等比数列;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a,c=d,a=d,由离心率公式计算即可得到.【解答】解:设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知:m﹣(m﹣d)=2a,m+d=2c,(m﹣d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,c=d,a=d,故离心率e==5.故选D.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题.12.对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数:(i)对任意的x∈[0,1],恒有f(x)≥0;(ii)当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则下列三个函数中不是M函数的个数有()①f(x)=x2②f(x)=x2+1③f(x)=2x﹣1.A.0 B.1 C.2 D.3【考点】抽象函数及其应用.【专题】综合题;函数的性质及应用.【分析】利用已知条件函数的新定义,对选项逐一验证两个条件,判断即可.【解答】解:对于条件(i):在[0,1]上,三个函数都满足;条件(ii):x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1;对于①,f(x1+x2)﹣[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2﹣(x21+x22)=2x1x2≥0,满足条件(ii);对于②,f(x1+x2)﹣[f(x1)+f(x2)]=[(x1+x2)2+1]﹣[(x21+1)+(x22+1)]=2x1x2﹣1<0,不满足条件(ii).对于③,f(x1+x2)﹣[f(x1)+f(x2)]=﹣=()()≥0,满足条件(ii).故选:B.【点评】本题通过函数的运算与不等式的比较,另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案,本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在题中的横线上.)13.已知函数f(x)=,则f(1)﹣f(3)= ﹣11 .【考点】函数的值.【专题】函数的性质及应用.【分析】结合已知条件,利用分段函数的性质求解.【解答】解:∵函数f(x)=,∴f(1)﹣f(3)=(2×1﹣3)﹣(9+1)=﹣1﹣10=﹣11.故答案为:﹣11.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合理运用.14.已知实数a∈[﹣2,5],则a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为.【考点】几何概型;一元二次不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用;概率与统计.【分析】先化简集合{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0},再求对应的几何概率即可.【解答】解:∵{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}={x∈R|(x+1)(x﹣3)≤0}={x∈R|﹣1≤x≤3}=[﹣1,3],且a∈[﹣2,5];∴a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为P==.故答案为:.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了几何概型的概率计算问题,是基础题目.15.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电原价是2250 元.【考点】一次函数的性质与图象.【专题】应用题;函数的性质及应用.【分析】设出每台彩电的原价,从而可得方程,即可求得结论.【解答】解:设每台彩电的原价是x元,则有:(1+40%)x×0.8﹣x=270,解得:x=2250,故答案为:2250.【点评】本题考查一元一次方程的应用,关键在于找出题目中的等量关系,根据等量关系列出方程解答.16.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为.【考点】球内接多面体.【专题】空间位置关系与距离.【分析】设出球的半径,利用棱锥的体积公式,求解半径,然后求解半球的体积.【解答】解:连结AC,BD交点为0,设球的半径为r,由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r.则AB=,四棱锥的体积为: =,解得r=,半球的体积为: =.故答案为:.【点评】本题考查四棱锥SABCD的体积的计算,确定球的半径关系式是关键.三、解答题(本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a3=2,S5=a7.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n及S n;(Ⅱ)若a4,a4+m,a4+n(m,n∈N*)成等比数列,求n的最小值.【考点】等差数列的性质;等比数列的通项公式.【专题】综合题;等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)设公差为d,利用a3=2,S5=a7,建立方程组,求出a1=﹣2,d=2,即可求数列{a n}的通项公式a n及S n;(Ⅱ)若a4,a4+m,a4+n(m,n∈N*)成等比数列,可得,考察函数,知f(x)在(0,+∞)上单调递增,即可求n的最小值.【解答】解:(Ⅰ)设公差为d,由题意,得…解得a1=﹣2,d=2,…所以a n=﹣2+(n﹣1)×2=2n﹣4,….…(Ⅱ)因为a4,a4+m,a4+n成等比数列,所以,…即(2m+4)2=4(2n+4),…化简,得,…考察函数,知f(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为,f(2)=6,n∈N*,所以当m=2时,n有最小值6.…【点评】本题考查等差数列的通项与求和,考查等比数列的性质,确定数列的通项是关键.18.教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一,“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题.某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度,从A,B,C,D四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查,每个区域选出的人数如条形图所示.为了了解学生家长的满意程度,对每位家长都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下面表格所示:(Ⅰ)若家长甲来自A区域,求家长甲的调查问卷被选中的概率;(Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出2人进行面谈,求这2人中至少有一人来自D区域的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.【专题】概率与统计.【分析】(Ⅰ)通过频率分布直方图,来自A区域的家长为40人,通过分层抽样可得从A 区域的家长问卷中抽取的数目,然后求解概率.(II)设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人,至少有一人来自区域D”从填写不满意的学生中选出2人的基本事件个数,而事件N的个数,然后求解概率.【解答】(本小题共13分)解:(Ⅰ)由条形图可得,来自A,B,C,D四个区域的家长共有200人,…其中来自A区域的家长为40人,…由分层抽样可得从A区域的家长问卷中抽取了份.…设事件M=“家长甲被选中进行问卷调查”,…则.…(II)由图表可知,来自A,B,C,D四区域的家长分别接受调查的人数为4,5,6,5.其中不满意的家长人数分别为1,1,0,2个.…记来自A区域不满意的家长是a;来自B区域不满意的家长是b;来自D区域不满意的家长是c,d.…设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人,至少有一人来自区域D”…从填写不满意的学生中选出2人,共有:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件,…而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件,…故.…【点评】本题考查分层抽样,频率分布直方图以及古典概型的概率的求法,基本知识的考查.19.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DE的中点.(Ⅰ)求证:BE∠平面ACF;(Ⅱ)求四棱锥E﹣ABCD的体积.【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】综合题;空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)连结BD和AC交于O,连结OF,证明OF∠BE,即可证明BE∠平面ACF;(Ⅱ)证明EG⊥平面ABCD,即可求四棱锥E﹣ABCD的体积.【解答】(Ⅰ)证明:连结BD和AC交于O,连结OF,…∵ABCD为正方形,∴O为BD中点,∵F为DE中点,∴OF∠BE,…∵BE⊄平面ACF,OF⊂平面ACF,∴BE∠平面ACF.…(Ⅱ)解:作EG⊥AD于G,则∵AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,∴AE⊥CD,∵ABCD为正方形,∴CD⊥AD,∵AE∩AD=A,AD,AE⊂平面DAE,∴CD⊥平面DAE,…∴CD⊥EG,∵AD∩CD=D,∴EG⊥平面ABCD…∵AE⊥平面CDE,DE⊂平面CDE,∴AE⊥DE,∵AE=DE=2,∴,…∴四棱锥E﹣ABCD的体积V=××=…【点评】本题考查线面平行,考查线面垂直,考查四棱锥E﹣ABCD的体积,掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键.20.(2009•山东)设椭圆E:过,两点,O为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B,且?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由.【考点】圆与圆锥曲线的综合.【分析】(1)利用待定系数法,可求椭圆E的方程;(2)分类讨论,设出切线方程与椭圆方程联立,要使,需使x1x2+y1y2=0,结合韦达定理,即可求解.【解答】解:(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,所以,解得,所以,所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为y=kx+m.解方程组得x2+2(kx+m)2=8,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,则△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0,即8k2﹣m2+4>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则.要使,需使x1x2+y1y2=0,即,所以3m2﹣8k2﹣8=0,所以.又8k2﹣m2+4>0,所以,所以,即或,因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所以,所以,所以所求的圆为,此时圆的切线y=kx+m都满足或,而当切线的斜率不存在时,切线为与椭圆的两个交点为或,满足,综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.【点评】本题考查利用待定系数法求椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2﹣2x(a<0)(1)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;(2)若a=﹣且关于x的方程f(x)=﹣x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.【考点】函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数的极值.【专题】计算题.【分析】(1)对函数f(x)进行求导,令导数大于等于0在x>0上恒成立即可.(2)将a的值代入整理成方程的形式,然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题.【解答】解:(1)f'(x)=﹣(x>0)依题意f'(x)≥0 在x>0时恒成立,即ax2+2x﹣1≤0在x>0恒成立.则a≤=在x>0恒成立,即a≤[﹣1]min x>0当x=1时,﹣1取最小值﹣1∴a的取值范围是(﹣∝,﹣1](2)a=﹣,f(x)=﹣x+b∴设g(x)=则g'(x)=列表:∴g(x)极小值=g(2)=ln2﹣b﹣2,g(x)极大值=g(1)=﹣b﹣,又g(4)=2ln2﹣b﹣2∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.则,得ln2﹣2<b≤﹣.【点评】本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.《选修4-1:几何证明选讲》请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.(Ⅰ)求证:PM2=PA•PC;(Ⅱ)若⊙O的半径为2,OA=OM,求MN的长.【考点】与圆有关的比例线段.【专题】计算题;证明题.【分析】(Ⅰ)做出辅助线连接ON,根据切线得到直角,根据垂直得到直角,即∟ONB+∟BNP=90°且∟OBN+∟BMO=90°,根据同角的余角相等,得到角的相等关系,得到结论.(Ⅱ)本题是一个求线段长度的问题,在解题时,应用相交弦定理,即BM•MN=CM•MA,代入所给的条件,得到要求线段的长.【解答】(Ⅰ)证明:连接ON,因为PN切⊙O于N,∴∟ONP=90°,∴∟ONB+∟BNP=90°∵OB=ON,∴∟OBN=∟ONB因为OB⊥AC于O,∴∟OBN+∟BMO=90°,故∟BNP=∟BMO=∟PMN,PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC(Ⅱ)∵OM=2,BO=2,BM=4∵BM•MN=CM•MA=(2+2)(2﹣2)(2﹣2)=8,∴MN=2【点评】本题要求证明一个PM2=PA•PC结论,实际上这是一个名叫切割线定理的结论,可以根据三角形相似对应边成比例来证明,这是一个基础题.《选修4-4:坐标系与参数方程》23.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以原点O为极点,以轴正半轴x为极轴,圆C的极坐标方程为(Ⅰ)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(2,0),试求的值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【专题】坐标系和参数方程.【分析】(I)由,展开化为ρ2=(ρcosθ﹣ρsinθ),把代入即可得出.(II)把直线l的参数方程是(t为参数)代入圆的方程可得:,利用根与系数的关系可得|t1﹣t2|=.利用==即可得出.【解答】解:(I)由,展开化为ρ2=(ρcosθ﹣ρsinθ),化为x2+y2=4x﹣4y,即(x﹣2)2+(y+2)2=8.(II)把直线l的参数方程是(t为参数)代入圆的方程可得:,∴t1+t2=﹣2,t1t2=﹣4<0.|t1﹣t2|===2.∴====.【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.《选修4-5:不等式选讲》24.(选修4﹣5:不等式选讲)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法;函数单调性的性质.【专题】压轴题;不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数y的图象,数形结合可得结论.(Ⅱ)不等式化即1+a≤x+3,故x≥a﹣2对都成立.故﹣≥a﹣2,由此解得a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y=,它的图象如图所示:结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,故x≥a﹣2对都成立.故﹣≥a﹣2,解得a≤,故a的取值范围为(﹣1,].【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,函数的单调性的应用,体现了数形结合以及转化的数学思想,属于中档题.。