河南省洛阳市2017届高三第3次统考考试数学(理科)
2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学理科含解析
2017年普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅲ理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={}22x y y x│,则A B=(,)(,)1│,B={}x y x y+=中元素的个数为A.3 B.2 C.1D.0【答案】B【解析】【考点】交集运算;集合中的表示方法。
【名师点睛】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件。
集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性。
2.设复数z 满足(1+i)z=2i ,则∣z ∣= A .12 BCD .2【答案】C 【解析】【考点】 复数的模;复数的运算法则 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质,注意运算性质有: (1)1212z zz z ±=± ;(2) 1212z z z z ⨯=⨯;(3)22z z z z⋅== ;(4)121212z z z z z z -≤±≤+ ;(5)1212z zz z =⨯ ;(6)1121z z z z =。
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】A【解析】动性大,选项D说法正确;故选D。
【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线,我们称这条折线为本组数据的频率折线图,频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距,即折线图是频率分布直方图的近似,他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。
河南省洛阳市2017-2018学年高三期中考试理数试题Word版含答案
洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试数学试卷(理) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|9,|2x A y y x B y y ==-==,则A B =I ( ) A .()3,3- B .[]3,3- C .(]0,3 D .[)0,32. 设复数z 满足()14z i i -=(i 是虚数单位),则z 的共轭复数z =( ) A . 22i -- B .22i -+ C .22i + D .22i -3.下列说法中正确的个数是( )①“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件; ②命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,cos 1x R x ∃∈≥”; ③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真. A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 4. 函数()()lg 1f x x =-的大致图象是( )A .B .C. D .5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A .83 B .43C. 482+.842+ 6. 等比数列{}n a 中,1102,4a a ==,函数()()()()1210f x x x a x a x a =---L ,则()0f '=( )A .62B .92 C. 122 D .152 7. 将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的取值不可能是( )A . 34π-B .4π- C. 4πD .54π 8. 向量,a b r r 均为非零向量,()()2,2a b a b a b -⊥-⊥r r r r r r ,则,a b r r的夹角为( )A .3π B . 2πC. 23π D .56π9. 已知数列{}n a的首项11=0,1n n a a a +=+,则20a =( ) A .99 B .101 C. 399 D .40110.在三棱锥S ABC -中,底面ABC ∆是直角三角形,其斜边4,AB SC =⊥平面ABC ,且3SC =,则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A .25π B .20π C. 16π D .13π11.已知函数()124,041,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩,若关于x 的方程()()2220f x af x a -++=有8个不等的实数根,则实数a 的取值范围是 ( ) A .181,7⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .91,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 182,7⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .92,4⎛⎫⎪⎝⎭ 12. 用[]x 表示不超过x 的最大整数(如[][]2,12,3,54=-=-).数列{}n a 满足()()*114,113n n n a a a a n N +=-=-∈,若12111n n S a a a =+++L ,则[]n S 的所有可能值的个数为( )A . 4B . 3 C. 2 D .1第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.设变量x y 、满足约束条件:222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则22z x y =+的最大值是 .14.若定义在[)1,-+∞上的函数()21143,1x f x x x x -≤≤=-+>⎪⎩,则()31f x dx -=⎰ .15.设x y 、均为正数,且1111212x y +=++,则xy 的最小值为 . 16.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,其导函数为()f x ',且当0x <时,()()20f x xf x '+<,则不等式()()()22017201710x f x f ----<的解集为 .三、解答题 :本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量(()sin ,,1,cos a x b x ==r r.(1)若a b ⊥r r,求tan 2x 的值;(2)令()f x a b =r rg ,把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半(纵坐标不变),再把所有图象沿x 轴向左平移3π个单位,得到函数()y g x =的图象,求函数()y g x =的单调增区间及图象的对称中心.18.已知数列{}n a 满足()1112,21n n n n a a a na n a ++=+=+,设n nn b a =. (1)求证:数列{}1n b -为等比数列,并求{}n a 的通项公式; (2)设1n nc b =,数列{}n c 的前n 项和为n S ,求证:2n S n <+. 19.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且()2cos cos tan tan 11A C A C -=. (1)求B 的大小;(2)若D 为AC 的中点,且1BD =,求ABC ∆面积的最大值.20. 已知函数()()2x f x x mx n e =++,其导函数()y f x '=的两个零点为-3和0. (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.21. 如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为梯形,PD ⊥底面ABCD ,//,,1,AB CD AD CD AD AB BC ⊥===(1)求证:平面PBD ⊥平面PBC ;(2)设H 为CD 上一点,满足23CH HD =u u u r u u u r,若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为H PB C --的余弦值. 22. 已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈.(1)若()f x 在其定义域内单调递增,求实数m 的取值范围; (2)若1752m <<,且()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,求()()12f x f x -取值范围. 试卷答案一、选择题1-5:CABBD 6-10: DBACA 11、12:CB 二、填空题 13. 8 14. 423π-15. 9216. {}|20162018x x x <>或 三、解答题17.(1)∵(()sin ,1,cos 0a b x x ==r rg g ,即sin 0x x =,∴tan x =∴22tan tan 21tan xx x==-. (2)由(1)得()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,从而()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 解222232k x k πππππ-≤+≤+得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, ∴()g x 的单调增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 由23x k ππ+=得()126x k k Z ππ=-∈,即函数()y g x =图象的对称中心为()1,026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭.18.(1)由已知易得0n a ≠,由()1121n n n n a a na n a +++=+, 得()1211n n n n a a +++=,即121n n b b +=+; ∴()11112n n b b +-=-, 又111112n b a -=-=-, ∴{}1n b -是以12-为首项,以12为公比的等比数列. 从而11111222n nn b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g ,即112nn n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,整理得221n n n n a =-g ,即数列{}n a 的通项公式为221nn n n a =-g .(2)∵112nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∴12112121112n n n n n c ===+--⎛⎫- ⎪⎝⎭, ∴23012111111111212121212222n n n S n n -=+++++≤+++++----L L , 11222n n n -=+-<+.19.(1)由()2cos cos tan tan 11A C A C -=,得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴()2sin sin cos cos 1A C A C -=,∴()1cos 2A C +=-, ∴1cos 2B =, 又0B π<<,∴3B π=.(2)在ABD ∆中由余弦定理得22121cos 22b b c ADB ⎛⎫=+-∠ ⎪⎝⎭g g ,在CBD ∆中由余弦定理得22121cos 22b b a CDB ⎛⎫=+-∠ ⎪⎝⎭g g ,二式相加得222222cos 2222b ac ac Ba c +-+=+=+, 整理得224a c ac +=-, ∵222a c ac +≥,∴43ac ≤,所以ABC ∆的面积114sin 223S ac B =≤=g .当且仅当3a c ==时“=”成立,∴ABC ∆面积的最大值为3. 20.(1)∵()()2x f x x mx n e =++,∴()()()()()2222x x xf x x m e x mx n e x m x m n e '⎡⎤=++++=++++⎣⎦,由()()3000f f '-=⎧⎪⎨'=⎪⎩知()()93200m m n m n ⎧-+++=⎨+=⎩,解得11m n =⎧⎨=-⎩,从而()()21x f x x x e =+-,∴()()23x f x x x e '=+, 所以()1f e =,∴()14f e '=,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()41y e e x -=-, 即43y ex e =-.(2)由于0x e >,当x 变化时,()(),f x f x '的变化情况如下表:故()f x 的单调增区间是(),3-∞-,()0,+∞,单调减区间是()3,0-, (3)由于()225f e =,()()201,2f f e -=--=,所以函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为25e ,最小值为-1. 21.(1)由,//,1AD CD AB CD AD AB ⊥==,可得BD =又4BC BDC π=∠=,∴BC BD ⊥,从而2CD =,∵PD ⊥底面ABCD ,∴BC PD ⊥.∵PD BD D =I ,∴BC ⊥平面PBD ,所以平面PBD ⊥平面PBC . (2)由(1)可知BPC ∠为PC 与底面PBD 所成的角.所以tan BPC ∠=,所以1PB PD ==, 又23CH HD =uuu r uuu r ,及2CD =,可得64,55CH DH ==,以D 点为坐标原点,,,DA DC DP 分别,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 则()()()41,1,0,0,0,1,0,2,0,0,,05B PC H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设平面HPB 的法向量为(),,n x y z =r,则由00n HP n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uu u r g r uu r g 得4050y z x y z ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩,取()1,5,4n =--r ,同理平面PBC 的法向量为()1,1,2m =u r.所以cos ,m n m n m n==u r ru r r g u r r又二面角H PB C --为锐角, 所以二面角H PB C --余弦值为7. 22.(1)()f x 的定义域为()0+∞,,()f x 在定义域内单调递增,()220f x x m x '=+-≥,即22m x x≤+在()0+∞,上恒成立, 由于224x x+≥,所以4m ≤,实数m 的取值范围是(],4-∞. (2)由(1)知()22222x mx f x x m x x -+'=+-=,当1752m <<时()f x 有两个极值点,此时1202mx x +=>,121x x =, ∴1201x x <<<, 因为1111725,2m x x ⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得11142x <<,由于211x x =,于是()()()()22121112222ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+ ()()()222121212112112ln ln 4ln x x m x x x x x x x =---+-=-+, 令()2214ln h x x x x =-+,则()()223210x h x x --'=<, ∴()h x 在1142⎛⎫⎪⎝⎭,上单调递减,()1124h h x h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即()()()()121141ln 2161ln 2416f x f x --<-<--, 故()()12f x f x -的取值范围为15255ln 216ln 2416⎛⎫-⎪⎝⎭-4,.。
河南省洛阳市2017届高三第三次统一考试5月 数学文试题
洛阳市2016-2017学年高中三年级第三次统一考试数学试卷(文)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合{}{}|110,,|A x x x N B x x a A =<<∈==∈,则A B =( )A .{1,2,3}B .{}|13x x <<C .{2,3}D .{|1x x << 2. 欧拉公式cos sin ixe x i x =+(i 为虚数单位,x R ∈)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系.它在复变函数论里有极其重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,若3iz e π=,则复数2z 在复平面中所对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知命题p :x R ∀∈,都有23x x<;命题q :0x R ∃∈,使得32001x x =-,则下列复合命题正确的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C . p q ∧⌝D . p q ⌝∧⌝4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2,则C 的两条渐近线的方程为( )A .y =B .y x = C.2y x =± D .12y x =±5.已知等比数列{}n a 满足12851,232a a a a ==+,则9a =( ) A .12-B .98 C.648 D .186.如图,在正方形ABCD 中,,M N 分别是,BC CD 的中点,若AC AM BN λμ=+,则λμ+的值为( )A .B . C.1 D .-1 7.若实数,x y 满足条件211x x y x ⎧≥-⎨≤+⎩,则z x y =+的最大值为( )A .-1B .12-C.5 D .7 8.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆2225x y +=内的个数为( )A .2B .3 C.4 D .59.已知函数()()221xxf x ax a R =+∈+,若()ln33f =,则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .-2 B .-3 C.0 D .110.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A .56π B .53π C. 13π+ D .213π+ 11.将函数()y f x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到()sin 2g x x =的图象,当12,x x 满足()()122f x g x -=时,12min3x x π-=,则ϕ的值为( )A .512π B .3π C.4π D .6π 12.若对任意实数[]0,1m ∈,总存在唯一实数[]1,1x ∈-,使得20xm x e a +-=成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[]1,e B .1(1,]e e +C.(0,]e D .1[1,]e e+ 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.“15a =”是“直线()2120ax a y +-+=与直线()1330a x ay +++=垂直”的 条件(从“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中选取一个填入).14.已知函数()ln2f x a x bx =+在1x =处取得最大值ln 21-,则a = ,b = .15.已知P 是抛物线24y x =上的动点,Q 在圆()()22:331C x y ++-=上,R 是P 在y 轴上的射影,则PQ PR +的最小值是 . 16.如图,四边形ABCD 为直角梯形,90,//,10,20ABC CB DA AB DA CB ∠=︒===,若AB 边上有一点P ,使C P D ∠最大,则AP = .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知数列{}n a 满足11313,1n n n a a a a +-==+. (1)证明;数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列,并求{}n a 的通项公式; (2)令12n n b a a a =,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18.在四棱柱1111ABCD A BC D -中,四边形ABCD 是平行四边形,1A A ⊥平面ABCD ,60BAD ∠=︒,12,1,AB BC AA ===,E 为11A B 中点.(1)求证:平面1A BD ⊥平面1A AD ; (2)求多面体1A E ABCD -的体积.19. 某销售公司为了解员工的月工资水平,从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查,得到如下的频率分布直方图:(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资;(2)该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的,一般认为,工资低于450。
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科) 有答案
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=()2(其中i为虚数单位),则=()A.1 B.﹣i C.﹣1 D.i2.已知集合M={x|+=1},N={y|+=1},M∩N=()A.∅B.{(3,0),(0,2)} C. D.3.已知a、b∈R,则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件4.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为()A.2 B.3 C.4 D.55.已知数列{a n}为等差数列,且a2016+a2018=dx,则a2017的值为()A.B.2πC.π2D.π6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h2)7.已知随机变量Z~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()附:若Z~N(μ,σ2),则 P(μ﹣σ<Z≤μ+σ)=0.6826;P(μ﹣2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544;P(μ﹣3σ<Z≤μ+3σ)=0.9974.A.6038 B.6587 C.7028 D.75398.已知实数x,y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a﹣3,则实数a的取值范围是()A.{a|﹣1≤a≤1} B.{a|a≤﹣1} C.{a|a≤﹣1或a≥1} D.{a|a≥1}9.若空间中四个不重合的平面a1,a2,a3,a4满足a1⊥a2,a2⊥a3,a3⊥a4,则下列结论一定正确的是()A.a1⊥a4B.a1∥a4C.a1与a4既不垂直也不平行D.a1与a4的位置关系不确定10.设(2﹣x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则的值为()A.﹣B.﹣C.﹣ D.﹣11.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.B. +1 C.D.﹣112.已知函数f(x)=,若在区间(1,∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1,x2,x3,…,x n,使得==…成立,则n的取值集合是()A.{2,3,4,5} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{2,3,4}二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知||=1,||=2,与的夹角为120°,,则与的夹角为.14.等比数列{a n}的前n项和为S n,S n=b(﹣2)n﹣1﹣a,则= .15.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为.16.已知函数f(x)=,点O为坐标原点,点A n(n,f(n))(n∈N*),向量=(0,1),θn是向量与的夹角,则使得+++…+<t恒成立的实数t的最小值为.三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)=cosx(sinx﹣cosx)+m(m∈R),将y=f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象,且y=g(x)在区间[,]内的最小值为.(1)求m的值;(2)在锐角△ABC中,若g()=﹣+,求sinA+cosB的取值范围.18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E是BC中点.(1)求证:A1B∥平面AEC1;(2)在棱AA1上存在一点M,满足B1M⊥C1E,求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.19.某市为了了解全民健身运动开展的效果,选择甲、乙两个相似的小区作对比,一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场,一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本,进行身体综合素质测试,测试得分分数的茎叶图(其中十位为茎,个们为叶)如图:(1)求甲小区和乙小区的中位数;(2)身体综合素质测试成绩在60分以上(含60)的人称为“身体综合素质良好”,否则称为“身体综合素质一般”.以样本中的频率作为概率,两小区人口都按1000人计算,填写下列2×2列联表,(附:k=)20.已知椭圆C : +=1(a >0,b >0)的离心率为,右焦点为F ,上顶点为A ,且△AOF 的面积为(O 为坐标原点).(1)求椭圆C 的方程;(2)若点M 在以椭圆C 的短轴为直径的圆上,且M 在第一象限,过M 作此圆的切线交椭圆于P ,Q 两点.试问△PFQ 的周长是否为定值?若是,求此定值;若不是,说明理由. 21.已知函数f (x )=asinx+ln (1﹣x ). (1)若a=1,求f (x )在x=0处的切线方程; (2)若f (x )在区间22.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=mcos θ(m >0),过点P (﹣2,﹣4)且倾斜角为的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; (2)若|AP|•|BP|=|BA|2,求m 的值.23.设不等式0<|x+2|﹣|1﹣x|<2的解集为M,a,b∈M(1)证明:|a+b|<;(2)比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小,并说明理由.2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=()2(其中i为虚数单位),则=()A.1 B.﹣i C.﹣1 D.i【考点】A7:复数代数形式的混合运算.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.【解答】解:z=()2==i,则=﹣i.故选:B.2.已知集合M={x|+=1},N={y|+=1},M∩N=()A.∅B.{(3,0),(0,2)} C. D.【考点】1E:交集及其运算.【分析】根据椭圆的定义得到集合M,根据直线方程得到集合N,再求交集即可.【解答】解:集合M={x|+=1}=,N={y|+=1}=R,则M∩N=,故选:D.3.已知a、b∈R,则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行,可得ab=1.反之不成立,例如a=b=1时,两条直线重合.【解答】解:由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行,可得ab=1.反之不成立,例如a=b=1时,两条直线重合.∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件.故选:C.4.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5【考点】EF:程序框图.【分析】由程序框图知,得出打印的点坐标,判定该点是否在圆内即可.【解答】解:由程序框图知,i=6时,打印第一个点(﹣3,6),在圆x2+y2=25外,i=5时,打印第二个点(﹣2,5),在圆x2+y2=25外,i=4时,打印第三个点(﹣1,4),在圆x2+y2=25内,i=3时,打印第四个点(0,3),在圆x2+y2=25内,i=2时,打印第五个点(1,2),在圆x2+y2=25内,i=1时,打印第六个点(2,1),在圆x2+y2=25内,∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个.故选:C.5.已知数列{a n}为等差数列,且a2016+a2018=dx,则a2017的值为()A.B.2πC.π2D.π【考点】84:等差数列的通项公式.【分析】根据定积分的几何意义求出a2016+a2018=dx=π,再根据等差中项的性质即可求出.【解答】解:dx表示以原点为圆心,以2为半径的圆的面积的四分之一,则a2016+a2018=dx=π,∵数列{a n}为等差数列,∴a2017=(a2016+a2018)=,故选:A6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h2)【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】由题意,首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,得到截面为圆环,明确其半径求面积.【解答】解:由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为2高为2,截面为圆环,小圆半径为r,大圆半径为2,设小圆半径为r,则,得到r=h,所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π(4﹣h2);故选D.7.已知随机变量Z~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()附:若Z~N(μ,σ2),则 P(μ﹣σ<Z≤μ+σ)=0.6826;P(μ﹣2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544;P(μ﹣3σ<Z≤μ+3σ)=0.9974.A.6038 B.6587 C.7028 D.7539【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】求出P阴影=P(0<X≤1)=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587,即可得出结论.【解答】解:由题意P阴影=P(0<X≤1)=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587,则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587.故选:B.8.已知实数x,y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a﹣3,则实数a的取值范围是()A.{a|﹣1≤a≤1} B.{a|a≤﹣1} C.{a|a≤﹣1或a≥1} D.{a|a≥1}【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合分类讨论进行求解.【解答】解:由z=ax+y得y=﹣ax+z,直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a,y轴上的截距为z的直线,作出不等式组对应的平面区域如图:则A(3,9),B(﹣3,3),C(3,﹣3),∵z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a﹣3,可知目标函数经过A取得最大值,经过C取得最小值,若a=0,则y=z,此时z=ax+y经过A取得最大值,经过C取得最小值,满足条件,若a>0,则目标函数斜率k=﹣a<0,要使目标函数在A处取得最大值,在C处取得最小值,则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1,即a≤1,可得a∈(0,1].若a<0,则目标函数斜率k=﹣a>0,要使目标函数在A处取得最大值,在C处取得最小值,可得﹣a≤k BA=1∴﹣1≤a<0,综上a∈故选:A.9.若空间中四个不重合的平面a1,a2,a3,a4满足a1⊥a2,a2⊥a3,a3⊥a4,则下列结论一定正确的是()A.a1⊥a4B.a1∥a4C.a1与a4既不垂直也不平行D.a1与a4的位置关系不确定【考点】LQ:平面与平面之间的位置关系.【分析】可得平面a1,a3平行或相交,而a3⊥a4,可得a1与a4的位置关系不确定,【解答】解:∵若空间中四个不重合的平面a1,a2,a3,a4满足a1⊥a2,a2⊥a3,a3⊥a4,∴平面a1,a3平行或相交,∵a3⊥a4,∴a1与a4的位置关系不确定,故选D.10.设(2﹣x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则的值为()A.﹣B.﹣C.﹣ D.﹣【考点】DB:二项式系数的性质.【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a1、a2、a3、a4的值,再计算.【解答】解:由(2﹣x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,且二项式展开式的通项公式为T r+1=•25﹣r•(﹣x)r,∴a1=﹣•24=﹣80,a2=•23=80,a3=﹣•22=﹣40,a4=•2=10;∴==﹣.故选C.11.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.B. +1 C.D.﹣1【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义,结合|PA|=m|PB|,可得=,设PA的倾斜角为α,则当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,求出P的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论.【解答】解:过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|∴=,设PA的倾斜角为α,则sinα=,当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,设直线PA的方程为y=kx﹣1,代入x2=4y,可得x2=4(kx﹣1),即x2﹣4kx+4=0,∴△=16k2﹣16=0,∴k=±1,∴P(2,1),∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2(﹣1),∴双曲线的离心率为=+1.故选B.12.已知函数f(x)=,若在区间(1,∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1,x2,x3,…,x n,使得==…成立,则n的取值集合是()A.{2,3,4,5} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{2,3,4}【考点】5B:分段函数的应用.【分析】由题意可知n为方程f(x)=kx的解的个数,判断f(x)的单调性,作出y=f(x)与y=kx的函数图象,根据图象交点个数判断.【解答】解:设==…=k,则方程有n个根,即f(x)=kx有n个根,f(x)=,∴f(x)在(1,)上单调递增,在(,2)上单调递减.当x>2时,f′(x)=e x﹣2(﹣x2+8x﹣12)+e x﹣2(﹣2x+8)=e x﹣2(﹣x2+6x﹣4),设g(x)=﹣x2+6x﹣4(x>2),令g(x)=0得x=3+,∴当2时,g(x)>0,当x>3+时,g(x)<0,∴f(x)在(2,3+)上单调递增,在(3+,+∞)上单调递减,作出f(x)与y=kx的大致函数图象如图所示:由图象可知f(x)=kx的交点个数可能为1,2,3,4,∵n≥2,故n的值为2,3,4.故选D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知||=1,||=2,与的夹角为120°,,则与的夹角为90°.【考点】9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【分析】利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解:∵||=1,||=2,与的夹角为120°,∴===﹣1.∵,∴,∴=,∴﹣(﹣1)=,∴=0.∴.∴与的夹角为90°.14.等比数列{a n}的前n项和为S n,S n=b(﹣2)n﹣1﹣a,则= ﹣.【考点】89:等比数列的前n项和.【分析】利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出.【解答】解:n=1时,a1=b﹣a.n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=b(﹣2)n﹣1﹣a﹣,上式对于n=1时也成立,可得:b﹣a=b+.则=﹣.故答案为:﹣.15.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为33π.【考点】LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;LG:球的体积和表面积.【分析】求出外接球的半径、内切球的半径,即可求出该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和.【解答】解:将三棱柱扩充为长方体,对角线长为=,∴外接球的半径为,外接球的表面积为29π,△ABC的内切圆的半径为=1,∴该三棱柱内切球的表面积4π,∴三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为29π+4π=33π,故答案为:33π.16.已知函数f(x)=,点O为坐标原点,点A n(n,f(n))(n∈N*),向量=(0,1),θn是向量与的夹角,则使得+++…+<t恒成立的实数t的最小值为.【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】根据题意知﹣θn是直线OA n的倾斜角,化==tan(﹣θn)=,再求出+++…+的解析式g(n),利用g(n)<t恒成立求出t的最小值.【解答】解:根据题意得,﹣θn是直线OA n的倾斜角,∴==tan(﹣θn)===﹣,∴+++…+=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1+﹣﹣=﹣﹣;要使﹣﹣<t恒成立,只须使实数t的最小值为.故答案为:.三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)=cosx(sinx﹣cosx)+m(m∈R),将y=f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象,且y=g(x)在区间[,]内的最小值为.(1)求m的值;(2)在锐角△ABC中,若g()=﹣+,求sinA+cosB的取值范围.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;HT:三角形中的几何计算.【分析】(1)根据二倍角公式化简f(x),利用平移规律得出g(x)的解析式,根据最小值列方程求出m;(2)根据条件求出C,用A表示出B,化简sinA+cosB得出关于A函数,根据A的范围得出正弦函数的性质得出sinA+cosB的范围.【解答】解:(1)f(x)=sinxcosx﹣cos2x+m=sin2x﹣cos2x+m﹣=sin(2x﹣)+m﹣,∴g(x)=sin+m﹣=sin(2x+)+m﹣,∵x∈[,],∴2x+∈[,],∴当2x+=时,g(x)取得最小值+m﹣=m,∴m=.(2)∵g()=sin(C+)+﹣=﹣+,∴sin(C+)=,∵C∈(0,),∴C+∈(,),∴C+=,即C=.∴sinA+cosB=sinA+cos(﹣A)=sinA﹣cosA+sinA=sinA﹣cosA=sin(A﹣).∵△ABC是锐角三角形,∴,解得,∴A﹣∈(,),∴<sin(A﹣)<,∴<sin(A﹣)<.∴sinA+cosB的取值范围是(,).18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E是BC中点.(1)求证:A1B∥平面AEC1;(2)在棱AA1上存在一点M,满足B1M⊥C1E,求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.【考点】MT:二面角的平面角及求法;LS:直线与平面平行的判定.【分析】(1)连结A1C交AC1于点O,连结EO,推导出EO∥A1B,由此能证明A1B∥平面AEC1.(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.【解答】证明:(1)连结A1C交AC1于点O,连结EO,∵ACC1A1是正方形,∴O为A1C的中点,又E为CB的中点,∴EO∥A1B,∵EO⊂平面AEC1,A1B⊄平面AEC1,∴A1B∥平面AEC1.解:(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,1,0),设M(0,0,m),(0≤m≤2),则=(﹣2,0,m﹣2),=(1,﹣1,﹣2),∵B1M⊥C1E,∴=﹣2﹣2(m﹣2)=0,解得m=1,∴M(0,0,1),=(1,1,﹣1),=(0,2,1),设平面MEC1的法向量=(x,y,z),则,取y=﹣1,得=(3,﹣1,2),∵AC⊥平面ABB1A1,∴取平面ABB1A1的法向量为=(0,2,0),∴cos<>==﹣,∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为.19.某市为了了解全民健身运动开展的效果,选择甲、乙两个相似的小区作对比,一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场,一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本,进行身体综合素质测试,测试得分分数的茎叶图(其中十位为茎,个们为叶)如图: (1)求甲小区和乙小区的中位数;(2)身体综合素质测试成绩在60分以上(含60)的人称为“身体综合素质良好”,否则称为“身体综合素质一般”.以样本中的频率作为概率,两小区人口都按1000人计算,填写下列2×2列联表,(附:k=)【考点】BO :独立性检验的应用.【分析】(1)利用茎叶图,可得甲小区和乙小区的中位数;(2)列出列联表,求出k ,与临界值比较,即可得出结论.【解答】解:(1)由题意,甲小区的中位数为55,乙小区的中位数为42.5; (2)2×2列联表,k=≈5.698>5.024,∴有97.5%把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关.20.已知椭圆C: +=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点为F,上顶点为A,且△AOF的面积为(O为坐标原点).(1)求椭圆C的方程;(2)若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上,且M在第一象限,过M作此圆的切线交椭圆于P,Q两点.试问△PFQ的周长是否为定值?若是,求此定值;若不是,说明理由.【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)由椭圆的离心率为,右焦点为F,上顶点为A,且△AOF的面积为(O为坐标原点),列出方程组,求出a=,b=1,由此能求出椭圆C的方程.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),,连结OM,OP,求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=,从而求出△PFQ的周长为定值2.【解答】解:(1)∵椭圆C: +=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点为F,上顶点为A,且△AOF的面积为(O为坐标原点).∴,解得a=,b=1,∴椭圆C的方程为.(2)设点P在第一象限,设P(x1,y1),Q(x2,y2),,∴|PF|=====,连结OM,OP,则|PM|====,∴|PF|+|PM|=,同理,|QF|+|QM|=,∴|PF|+|QF|+|PQ|=|PF|+|QF|+|PM|+|QM|=2,∴△PFQ的周长为定值2.21.已知函数f(x)=asinx+ln(1﹣x).(1)若a=1,求f(x)在x=0处的切线方程;(2)若f(x)在区间;(3)由(2)知,当a=1时,f(x)=sinx+ln(1﹣x)在(0,1)上单调递减,可得f(x)<f(0)=0,即sinx<ln,由<及=ln[]=<ln2.即可证得<ln2.则e<2,(n∈N*).【解答】(1)解:a=1时,f(x)=asinx+ln(1﹣x),f′(x)=cosx﹣,∴f′(0)=0,又f(0)=0,∴f(x)在x=0处的切线方程为y=0;(2)解:∵f(x)在区间;(3)证明:由(2)知,当a=1时,f(x)=sinx+ln(1﹣x)在(0,1)上单调递减,∴f(x)<f(0)=0,即sinx<ln,而∈(0,1),∴<,∴<,而=ln[]=<ln2.∴<ln2.∴e<2,(n∈N*).请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,用2B铪笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ(m>0),过点P(﹣2,﹣4)且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若|AP|•|BP|=|BA|2,求m的值.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ(m>0),即ρ2sin2θ=mρcosθ(m>0),利用互化公式可得直角坐标方程.过点P(﹣2,﹣4)且倾斜角为的直线l参数方程为:(t为参数).相减消去参数化为普通方程.(2)把直线l的方程代入曲线C的方程为:t2﹣(m+8)t+4(m+8)=0.由于|AP|•|BP|=|BA|2,可得|t1•t2|=,化为:5t1•t2=,利用根与系数的关系即可得出.【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ(m>0),即ρ2sin2θ=mρcosθ(m>0),可得直角坐标方程:y2=mx(m>0).过点P(﹣2,﹣4)且倾斜角为的直线l参数方程为:(t为参数).消去参数化为普通方程:y=x﹣2.(2)把直线l的方程代入曲线C的方程为:t2﹣(m+8)t+4(m+8)=0.则t1+t2=(m+8),t1•t2=4(m+8).∵|AP|•|BP|=|BA|2,∴|t1•t2|=,化为:5t1•t2=,∴20(m+8)=2(m+8)2,m>0,解得m=2.23.设不等式0<|x+2|﹣|1﹣x|<2的解集为M,a,b∈M(1)证明:|a+b|<;(2)比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小,并说明理由.【考点】R5:绝对值不等式的解法;72:不等式比较大小.【分析】(1)先求出M,再利用绝对值不等式证明即可;(2)利用作差方法,比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小.【解答】(1)证明:记f(x)=|x+2|﹣|1﹣x|=,∴由0<2x+1<2,解得﹣<x<,∴M=(﹣,)∴|a+b|≤|a|+|b|=<;(2)解:由(1)可得a2<,b2<,∴(4ab﹣1)2﹣4(b﹣a)2=(4a2﹣1)(4b2﹣1)>0,∴|4ab﹣1|>2|b﹣a|.。
河南省洛阳市2017届高三第三次统一
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洛阳市2016-2017学年高中三年级第三次统一考试
数学试卷(文)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1已知集合A
x|1x10,x N,B x|x a A,则A B()
A.{1,2,3} B.x|1x3 C.{2,3} D
.x|1x
2. 欧拉公式e cosx isinx(i为虚数单位,x R)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系.它在复变函数论里
ix有极其重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,若z e3,则复数z在复平面中所对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
xx3.已知命题p:x R,都有23;命题q:x0R,使得x031x02,则下列复i2
合命题正确的是()
A.p q B.p q C. p q D.p q
x2y2
4.已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为2,则C的两条渐近线的方程为ab
()
A
.y B
.y 5.已知等比数列an满足a1
A.1x C.y2x D.y x 21,a2a82a53,则a9() 219 B. C.648 D.18 28
6.如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC AM BN,则
的值为()。
(全优试卷)河南省洛阳市高三第三次统一考试数学(理)试题Word版含答案
洛阳市2017-2018学年高中三年级第三次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.)A.4 B. 8 C. 16 D.322.)A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限3.)A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件4.)Nμσ(,Xμ<<+A5.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,现自上而下取第1,3,9节,则这3节的容积之和为()A B升 D6.不正确...的是()AD7.则该双曲线的离心率为()A.2 B8.)A.3 B.9.2017+)20172018A.1 C. 0 D10.接球的表面积为()A11.)A12.4个不同的交点,的取值范围是()A第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.的值为.14.的最大值为 .15.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .16.,则此椭圆的方程为 .三、解答题 :本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(1(218..(1(2.19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目,每位同学从中随机抽取3个题目进行作答,已知这6个题目中,甲只能正确作答其中的4甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率;(2答对一题得15分,乙答对一题得10.20.(1(2.21.(1(2)证明:. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程.(1(2.23.选修4-5:不等式选讲(1(2.试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12:AC 二、填空题三、解答题17.(1(218.(1)(2直角坐标系,如图所示.由(1(23,n ||||m n19.(1)由题意可知共答对3题可以分为3种情况:甲答对1题乙答对2题;甲答对2题乙答对1题;甲答对3题乙答对0题.故所求的概率(21,2,3.(3,)320.(1(2.21.(112①②..(2...从而原不等式成立.22.解:(1(2..23.解:(1.(2.所以{|y y=-31|x+|(3≥由(1。
河南省洛阳市2017届高三第三次统一考试(5月)文数试题Word版含解析
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则()A. {1,2,3}B.C. {2,3}D.【答案】C【解析】,,所以,故选C.2. 欧拉公式(为虚数单位,)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系.它在复变函数论里有极其重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,若,则复数在复平面中所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B3. 已知命题:,都有;命题:,使得,则下列复合命题正确的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】当时,,所以命题是假命题;和有交点,所以命题是真命题,那么复合以后是真命题,故选B.4. 已知双曲线的离心率为2,则的两条渐近线的方程为()A. B. C. D.【答案】A【解析】,所以,那么双曲线的渐近线方程是,故选A.5. 已知等比数列满足,则()A. B. C. 648 D. 18【答案】D6. 如图,在正方形中,分别是的中点,若,则的值为()A. B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】设正方形的边长为2,以点为原点,分别为轴,建立平面直角坐标系,,所以,,所以,解得,所以,故选A.7. 若实数满足条件,则的最大值为()A. -1B.C. 5D. 7【答案】C8. 利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆内的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】时,打印点不在圆内,,是;打印点不在圆内,,是;打印点在圆内,,是;打印点在圆内,,是;打印点在圆内,,是;打印点在圆内,,否,结束,所以共4个点在圆内,故选C.9. 已知函数,若,则()A. -2B. -3C. 0D. 1【答案】A10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A. B. C. D.【答案】C【解析】此几何体是由四分之一球和三棱锥组合而成,球的半径是1,三棱锥的底面是等腰直角三角形,斜边为2,三棱锥的高是1,则,故选C.11. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象,当满足时,,则的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】向右平移个单位后,得到函数,,即中其中一个是最大值,另一个是最小值,不妨设,即,,两式相减得到,即,当时,的最小值是,因为,所以,故选D.点睛:的图象和图象变换以及函数的性质函数考察的重点,综合性强,而本题题干非常新颖,本题也可这么想,首先函数的周期是,所以最大值和最小值之间横坐标的差值是,函数向左平移个单位,最值点也向左平行个单位,根据图象可得,最大值和最小值之间的横坐标的差值的最小值是,这样就会简单很多,但对识图的要求比较高.12. 若对任意实数,总存在唯一实数,使得成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B点睛:本题考查了函数的单调性,不等式的恒成立和存在问题,属于中档题型,,,使,即函数的值域是值域的子集,若使,即说明的最小值大于函数的最小值,就转化求两个函数最值的问题.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. “”是“直线与直线垂直”的_________条件(从“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中选取一个填入).【答案】充分不必要【解析】若两条直线垂直,则,解得:或,所以“” 是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.14. 已知函数在处取得最大值,则__________,__________.【答案】(1). (2).【解析】,时,,当时,函数取得最大值,即,解得 .15. 已知是抛物线上的动点,在圆上,是在轴上的射影,则的最小值是__________.【答案】3点睛:本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题,考查了转化与化归能力,圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径,最大值是距离加半径,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值,即三点共线时距离最小.16. 如图,四边形为直角梯形,,若边上有一点,使最大,则__________.【答案】点睛:本题考查了利用所学知识解决平面几何中的角的最值问题,考查了转化与化归能力,以及计算能力,如果直接用内的边表示,得到的式子会比较麻烦,而利用和它相关的直角三角形表示会比较简单,或是建立坐标系,以点为原点建立坐标系,表示,所以的最大值是,而此时,这样做会更简单.学%三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知数列满足.(1)证明;数列是等差数列,并求的通项公式;(2)令,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)根据已知条件构造出(常数),根据等差数列求的通项公式,再求的通项公式;(2)由(1)可知,,而,根据裂项相消法求和.试题解析:解(1)∵,∴.∴.∴.点睛:数列求和的一些方法:(1)分组转化法,,而数列可以直接求和,那就用分钟转化法求和,举例;(2)裂项相消法,能够将数列列为的形式,再用累加法求和,举例,,或是等;(3)错位相加法,,而是等差数列,是等比数列,适用于错位相减法求和,举例;(4)倒序相加法,,而,两个式子相加得到一个常数列,即可求得数列的和,举例,满足;(6)其他方法.18. 在四棱柱中,四边形是平行四边形,平面,,,为中点.(1)求证:平面平面;(2)求多面体的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析:(1)根据余弦定理求,底面满足勾股定理,所以,又可证明,所以平面,即证明面面垂直;(2)取的中点,分别连接,这样多面体可分割为三棱柱和三棱锥,所以分别求体积.试题解析:(2)设的中点分别为,连接,∵分别为的中点,∴多面体为三棱柱.∵平面,∴为三棱柱的高.,三棱柱体积为.在四棱锥中,. ∴底面.,四棱锥的体积为,∴多面体的体积为.19. 某销售公司为了解员工的月工资水平,从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查,得到如下的频率分布直方图:(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资;(2)该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的,一般认为,工资低于4500。
河南省洛阳市高中2017届三年级统一考试数学理(含答案)word版
河南省洛阳市2016—2017学年高三年级统一考试数 学 试 题(理)本试卷共100分,考试时间90分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将答题卷上对应题目答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。
3.非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接写在答题卷上锊题对应的答题区域内,答在武题卷上无效。
4.考试结束后,请将答题卷上交。
—、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ,集合2{|230},U M x x x C M =--≤=则( )A .{|13}x x -≤≤B .{|31}x x -≤≤C .{|3,1}x x x <->或D .{|1,3}x x x <->或 2.已知复数121,1z i z bi =+=+,若12z z 为纯虚数,则实数b 的值是 ( ) A .1 B .-1 C .2 D .-23.若命题:(,)22p x ππ∀∈-,tan sin x x >,则命题:p ⌝ ( ) A 000(,),tan sin 22x x x ππ∃∈-≥ B 000(,),tan sin 22x x x ππ∃∈-> C .000(,),tan sin 22x x x ππ∃∈-≤ D .000(,)(,),tan sin 22x x x ππ∃∈-∞-+∞>4.已知α,β是两个不同的平面,m ,n 是两条不重合的直线,下列命题中正确的是 ) A .若//,,//m n m n ααβ= 则 B .若,,//m m n n αα⊥⊥则C .若,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥则D .若,,,nm n m αβαββ⊥=⊥⊥ 则 5.函数2cos (sin cos )y x x x =+的最大值和最小正周期分别是( )A .2,π B1,π C .2,2π D1,2π6.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆),则该几何体的表面积是 ( )A .203π+B .243π+C .204π+D .244π+7.如果执行右下面的程序框图,则运行结果为 ( )A .12-B .-1C .12D .28.若cos 21,2sin()4ααπα=+则sin2的值为 ( )A .78-B .78 C .47- D .47 9.设F 1,F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点, 若双曲线的右支上存在一点P ,使120PF PF ⋅= ,且12FPF ∆ 的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为( )ABC .2D .510.函数()f x 的定义域是R ,(0)2f =,对任意,()'()1x R f x f x ∈+>,则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为( )A .{|0}x x >B .{|0}x x <C .{|1,1}x x x <->或D .{|1,01}x x x <-<<或 11.已知P 为锐角三角形ABC 的AB 边上一点,60,A =︒AC=4,则|3|P A P C + 的最小值为 )A.B.C .6 D.12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,|1|21,02,()1(2), 2.2n x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和等于( )A .7B .8C .9D .10第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
河南省洛阳市高三数学第三次统一考试试题 理(含解析)
洛阳市2017-2018学年高中三年级第三次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. )A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】分析:求出集合A,B........................故选C.点睛:本题考查集合的运算以及子集的个数,属基础题.2. 已知复数)A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】A则的共轭复数对应的点在第四象限.故选A.点睛:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.”是“)A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析:利用指数函数与对数函数的单调性即可得出m,n的大小关系,进而判断出结论.,∴“故选C.点睛:本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4. ,其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形)D.【答案】B【解析】分析:根据正态分布的定义,可以求出阴影部分的面积,利用几何概型即可计算.点睛:本题考查了正态分布、几何概型,正确理解正态分布的定义是解题的关键,属于中档题.5. 《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,现自上而下取第1,3,9节,则这3节的容积之和为()升 D.【答案】B4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,利用等差数列通项公式列出方程组,求出由此能求出自上而下取第1,3,9节,则这3节的容积之和.,公差为∵上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,,解得,∴自上而下取第1,3,9节,则这3节的容积之和为:升).故选B.点睛:本题考查等比数列中三项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运用求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.6. ...的是()在区间是图像的一条对称轴 D.【答案】D得到函数图象的解析式故A正确;在区间B正确;不是图象的一条对称轴,故C正确;,是图像的一个对称中心,故D错误.故选D.型函数的图象和性质,是基础题.7. 设双曲线作倾斜角为的直线与和双曲线的右支分别交于点、,则该双曲线的离心率为()【答案】C的坐标,代入双曲线方程可得,化简整理即可求出的中点,由题意可得直线方程为整理可得故选C.点睛:本题考查了直线和双曲线的位置关系,以及直线方程,中点坐标公式,属于中档题8. 所在直线分别交于点)D.【答案】A【解析】分析:,根据三点共线得出的最小值.详解:当且仅当即时等号成立故选A.点睛:考查向量减法的几何意义,共线向量基本定理,以及平面向量基本定理,以及基本不等式的应用,属中档题.9.()B. 1C. 0D.【答案】D详解:根据,故选D.点睛:此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值,特别是解决二项式的系数问题时,常采取赋值法,属于基础题.10. 在三棱锥所成角的最大值为,则三棱锥)【答案】B【解析】分析:根据题意画出图形,外接球的球心,求出外接球的半径,再计算它的表面积.详解:所成角为由题意的最小值为∴的最小值是的距离为的外接圆圆心为的中点,的外接球的表面积是故选B.点睛:本题考查了几何体外接球的应用问题,解题的关键求外接球的半径,是中档题.11. 项和为)B. C. D.【答案】A由此可得又可得数列的奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别为1,2,由此的奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别为1,2,则故选A..12. 已知函数4围是()【答案】C4有4个不同的实根,由可得,讨论其性质可得.详解:4个不同的交点,即4个不同的实(且,则则在上单调递减,但且),故的值域为,设此时,在上单调递减,在上单调递增,由图像可知,在上单调递减,在函数4个不同的交点,则实数的取值范围为.故选C.点睛:本题考查利用导数眼函数零点问题,注意数形结合思想的应用,解题时注意函数的定义域,属难题.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13. __________.【答案】4;第三次循环,,退出循环,此时输出的值为4故答案为4:点睛:本题考查循环结构,考查学生的读图能力,解题的关键是读懂循环结构.14. __________.【答案】1【解析】分析:由约束条件作出可行域,可知z恒大于等于0,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.详解:由约束条件作出可行域,可知z恒大于等于0,则目标范围,由可行域可知直线故答案为1 .点睛:本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.15. 已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________.【解析】分析:由三视图可得:该几何体为左右两部分组成,右边为三棱锥.利用体积计算公式即可得出.点睛:本题考查了圆锥与三棱锥的三视图、体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.16. 已知椭圆的焦点为,,为坐标原点,当的面积最小时,则此椭圆的方程为__________.【解析】分析:先根据定积分求出为坐标原点)的面积最小,可得切点坐标,利用三角形的,问题得以解决.当且仅当时取等号,此时由余弦定理可得,点睛:本题考查三角形面积的计算,考查直线与椭圆是位置关系,考查余弦定理的运用,基本不等式,椭圆的切线方程,属于难题三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1(2【答案】(1);【解析】分析:(1(2详解:(1(2)由正弦定理,,∴,解得.点睛:本题考查正弦定理以及余弦定理三角形的面积的求法,考查计算能力.18..(1(2.【答案】(1)见解析【解析】试题分析:(1)先证明所以平面(2标系,用向量法求解即可.试题解析:(1,所以平面所以平面(2)方法1:在矩形DM∩DE=D..方法2:以点为原点,线段角坐标系,如图所示.,所以,所以,.设平面的一个法向量为,则的一个法向量为,.所以求二面角的余弦值为.点睛:此题考查二面角余弦值的计算,向量坐标的运算等.向量法在解决立体几何中二面角问题的一般步骤是:1.建系,根据图形特点建立合理的空间直角坐标系;2.标点,把所涉及到的点的坐标找出来,并计算相应向量的坐标;3.求法向量,通过向量的运算,把二面角的两个半面的法向量计算出来;4.代入公式求值,利用向量的数量积公式,求出两个法向量的夹角,从而求二面角的相关值.19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目,每位同学从中随机抽取3个题目进行作答,已知这6个题目中,甲只能正确作答其中的4个,且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率;(2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是,对一题得15分,乙答对一题得10分,求甲乙两人得分之和.【答案】【解析】分析:(1)由题意可知共答对3题可以分为3种情况:甲答对1题乙答对2题;甲答对2题乙答对1题;甲答对3题乙答对0题.由此能求出甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率.(2)1,2,3.分别求出相应的概率,.利用详解:(1)由题意可知共答对3题可以分为3种情况:甲答对1题乙答对2题;甲答对2题乙答对1题;甲答对3题乙答对0题.故所求的概率(2)的所有取值有1,2,3.由题意可知,故而,所以点睛:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、二项分布等基础知识,考查运用求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.20. ,,.(1)求直线(2.【答案】【解析】分析:(1的范围得出(2,的方程得出点坐标,根据距离公式计算,关于函数,再根据函数单调性得出最大值.详解:,故直线(2)直线坐标为,,令,则上单调递减.点睛:本题考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查弦长公式与距离公式的应用,属于中档题.21. 已知函数(1)讨论函数的单调性;(2.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析:(1(2)问题转化为证明要证明g(x1+x2)>g(x1-x2)对任意x1∈R,x2∈(0,+∞)恒成立,详解:(112时,由..(2)依题意恒成立.只需证明即可.,当,.从而原不等式成立.点睛:本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,考查不等式的证明,是一道综合题.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程的参数方程为.(1)求直线的普通方程;(2关于直线.【答案】(1)见解析;(2)6.【解析】试题分析: (1)利用,,利;(2) 在直线的最小值与,求出点P到圆心的距离减去半径即可.试题解析:(1,∴直线的直角坐标方程为(2)∵点在直线.的最小值为.23. 选修4-5:不等式选讲(1(2)若存在,使得.【答案】【解析】试题分析:(1)分,,和.(2)成立,即1,所以,可解得.试题解析:(1,得,无解;,得,即时,.综上,(2,使得由(1)可知,,解得.的取值范围为.。
2017届河南省洛阳市高三第三次统一练习(三模)理科数学试题及答案 精品
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为()A.﹣3﹣i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.﹣2+2i2.要得到函数y=2sin(2x﹣)的图象,只需将函数y=2sin2x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位3.(已知集合A={x||x+1|<1},B{x|y=},则A∩B=()A.(﹣2,﹣1)B.(﹣2,﹣1] C.(﹣1,0)D.[﹣1,0)4.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()A. 60种B.63种C.65种D.66种5.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是()A.B.C.8﹣2πD.6.若函数f(x)=x3﹣x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为α,则的值是()A.B.C.﹣D.7.双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆M:(x﹣8)2+y2=25截得的弦长为6,则双曲线的离心率为()A. 2 B.C. 4 D.8.已知函数f(x)=e x+x,g(x)=lnx+x,h(x)=x﹣的零点依次为a,b,c,则()A. c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<a<c9.已知实数x,y满足约束条件,若y≥kx﹣3恒成立,则实数k的数值范围是()A. [﹣,0] B.[0,]C.(﹣∞,0]∪[,+∞)D.(﹣∞,﹣]∪[0,+∞)10.(若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为()A. 64πB.16πC.12πD.4π11.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值为()A.B.9 C.D.﹣9 12.执行如图所示的一个程序框图,若f(x)在[﹣1,a]上的值域为[0,2],则实数a的取值范围是()A.(0,1] B.[1,] C.[1,2] D.[,2]二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.(5分)(2017•洛阳三模)命题“∃x>0,x2+x﹣2≥0”的否定是_________ .14.(5分)(2017•洛阳三模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,C=45°,1+=,则边c的值为_________ .15.(5分)(2017•洛阳三模)已知P是抛物线y2=4x上的动点,过P作抛物线准线的垂线,垂足为M、N是圆(x﹣2)2+(y﹣5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是_________ .16.(5分)(2017•洛阳三模)已知x∈R,y∈[0,5],我们把满足方程x2+8xsin(x+y)π+16=0的解(x,y)组成的集合记为M,则集合M中的元素个数是_________ .三、解答题:本题共5小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(12分)(2017•洛阳三模)已知{a n}的各项均为正数的数列,其前n 项和为S n,若2S n=a n2+a n(n≥1),且a1、a3、a7成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)令b n=2,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n+4=2b.18.(12分)(2017•洛阳三模)现有一个寻宝游戏,规则如下:在起点P 处有A、B、C三条封闭的单向线路,走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟,游戏主办方将宝物放置在B线路上(参赛方并不知晓),开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序,若没有寻到宝物,重新回到起点后,再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝,直到寻到宝物并将其带回至P处,期间所花费的时间记为X.(1)求X≤30分钟的概率;(2)求X的分布列及EX的值.19.(12分)(2017•洛阳三模)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于E点,F,G分别为AD,BC的中点,AB=2,∠DAB=60°,沿对角线BD将△ABD折起,使得AC=.(1)求证:平面ABD⊥平面BCD;(2)求二面角F﹣DG﹣C的余弦值.20.(12分)(2017•洛阳三模)如图,A,B是双曲线﹣y2=1的左右顶点,C,D是双曲线上关于x轴对称的两点,直线AC与BD的交点为E.(1)求点E的轨迹W的方程;(2)若W与x轴的正半轴,y轴的正半轴的交点分别为M,N,直线y=kx (k>0)与W的两个交点分别是P,Q(其中P是第一象限),求四边形MPNQ 面积的最大值.21.(12分)(2017•洛阳三模)已知函数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是5x﹣4y+1=0.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)设g(x)=2ln(x+1)﹣mf(x),若当x∈[0,+∞)时,恒有g(x)≤0,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-1:几何证明选项】22.(10分)(2017•洛阳三模)如图,已知AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,以C为切点的切线交AB的延长线于点P,AM⊥CP,垂足为M,CD⊥AB,垂足为D.(1)求证:AD=AM;(2)若⊙O的直径为2,∠PCB=30°,求PC的长.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2017•洛阳三模)已知直线l的参数方程为,(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos(θ﹣).(1)求直线l的参数方程化为普通方程,将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求圆C上的点到直线l距离的取值范围.【选修4-5:不等式选项】24.(2017•洛阳三模)已知函数f(x)=2|x+1|﹣|x﹣3|(1)求不等式f(x)≥5的解集;(2)当x∈[﹣2,2]时,关于x的不等式f(x)﹣|2t﹣3|≥0有解,求实数t的取值范围.三、解答题:本题共5小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17、解:(Ⅰ)∵2S n=a n2+a n(n≥1),∴n≥2时,2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1,两式相减,得2a n=﹣+a n﹣a n﹣1,整理,得(a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1﹣1)=0,∵a n+a n﹣1≠0,∴)a n﹣a n﹣1=1,又4s 1=+a1,即﹣a 1=0,解得:a1=1,∴{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列.又a1、a3、a7成等比数列.∴=a 1a7,即=a1(a1+6),解得a1=2,∴a n=2+(n﹣1)•1=n+1.(2)证明:由(1)得b n==2n+1,∴T n=22+23+…+2n+1==2n+2﹣4,∴T n+4=2n+2=2b n.18.解:(1)X≤30分钟的概率:P(X≤30)=P(B)+P(AB)==.(2)由题意知X的所有可能取值为20,30,50,60,P(X=20)=P(B)=,P(X=30)=P(AB)==,P(X=50)=P(CB)==,P(X=60)=P(ABC)+P(CAB)=,∴X的分布列为:X 20 30 50 60P∴EX=20×+30×+50×+60×=40(分).19.(1)证明;在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,∴△ABD,△CBD 为等边三角形,∵E是BD的中点,∴AE⊥BD,AE=CE=,∵AC=,∴AE2+CE2=AC2,∴AE⊥EC,∴AE⊥平面BCD,又∵AE⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面BCD;(2)解:由(1)可知建立以E为原点,EC为x轴,ED为y轴,EA为z 轴的空间直角坐标系E﹣xyz,则D(0,1,0),C(,0,0),F(0,,)G(﹣,1,),平面CDG的一个法向量=(0,0,1),设平面FDG的法向量=(x,y,z),=(0,﹣,),=(﹣,1,)∴,即,令z=1,得x=3,y=,故平面FDG的一个法向量=(3,,1),∴cos==,∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣.20.解:(1)由已知A(﹣2,0),B(2,0),设C(x0,y0),D(x0,﹣y0),则,①由两点式分别得直线AC,BD的方程为:直线AC:,直线BD:,两式相乘,得,②由①,得﹣=,代入②,得:,整理,得﹣4y2=x2﹣4,∴点E的轨迹W的方程.(2)由(1)及已知得M(2,0),N(0,1),联立,得(4k2+1)x2=4,∴P(),Q(﹣),四边形MPNQ的面积S=S△QOM+S△DMP+S△NOP+S△NOQ=2(S△QMP+S△QNP),∴S==2y P+x P==2=2==2,∵k>0,∴4k+≥4,故当且仅当,即k=时,四边形MPNQ的面积取最大值为2.21.解:(Ⅰ)求导函数,可得.∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是5x﹣4y+1=0.∴,∴,∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,∴,则,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)令h(x)=﹣mx2+(2﹣2m)x+2﹣2m,当m=0时,h(x)=2x+2,在x∈[0,+∞)时,h(x)>0,∴g′(x)>0,即g(x)在[0,+∞)上是增函数,则g(x)≥g(0)=0,不满足题设.当m<0时,∵且h(0)=2﹣2m>0∴x∈[0,+∞)时,h(x)>0,g′(x)>0,即g(x)在[0,+∞)上是增函数,则g(x)≥g(0)=0,不满足题设.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)当0<m<1时,则△=(2﹣2m)2+4m(2=2m)=4(1﹣m2)>0,由h(x)=0得;则x∈[0,x2)时,h(x)>0,g′(x)>0即g(x)在[0,x2)上是增函数,则g(x2)≥g(0)=0,不满足题设.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)当m≥1时,△=(2﹣2m)2+4m(2=2m)=4(1﹣m2)≤0,h(x)≤0,g′(x)≤0,即g(x)在[0,+∞)上是减函数,则g(x)≤g(0)=0,满足题设.综上所述,m∈[1,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-1:几何证明选项】22.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∵CD⊥AB,∴∠ABC+∠BCD=90°,∴∠ACD=∠ABC,∵以C为切点的切线交AB的延长线于点P,∴∠MCA=∠ABC=∠ACD,∵∠AMC=∠ADC=90°,AC=AC,∴△AMC≌△ADC,∴AD=AM;(2)解:∵∠PCB=30°,以C为切点的切线交AB的延长线于点P,∴∠PAC=∠PCB=30°,在Rt△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,∴BC=1,∠ABC=60°,∴∠BPC=30°,∴∠BPC=∠BCP,BC=BP=1,由切割线定理得PC2=PB•PA=PB(PB+BA)=3,∴PC=.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.解:(1)由(t为参数)得直线l的普通方程为又∵,∴,∴,即;(2)由得圆心C(1,),半径r=2.∴圆心C到直线l的距离d=.直线l与圆C相离.∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是.【选修4-5:不等式选项】24、解:(1)f(x)=2|x+1|﹣|x﹣3|=,由式f(x)≥5,可得①,或②,或.解①求得x≥3,解②求得 2≤x<3,解③求得 x≤﹣10.故不等式的解集为[2,+∞)∪(﹣∞,﹣10].(2)当x∈[﹣2,2]时,f(x)∈[﹣4,5],∵关于x的不等式f(x)﹣|2t﹣3|≥0有解,∴5﹣|2t﹣3|≥0,即﹣5≤2t﹣3≤5,求得﹣1≤t≤4,故t的范围为[﹣1,4].。
【全国市级联考】河南省洛阳市2017届高三第三次统一考试(5月)文数(原卷版)
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则()A. {1,2,3}B. 错误!未找到引用源。
C. {2,3}D. 错误!未找到引用源。
2. 欧拉公式错误!未找到引用源。
(错误!未找到引用源。
为虚数单位,错误!未找到引用源。
)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系.它在复变函数论里有极其重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,若错误!未找到引用源。
,则复数错误!未找到引用源。
在复平面中所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题错误!未找到引用源。
:错误!未找到引用源。
,都有错误!未找到引用源。
;命题错误!未找到引用源。
:错误!未找到引用源。
,使得错误!未找到引用源。
,则下列复合命题正确的是()A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
4. 已知双曲线错误!未找到引用源。
的离心率为2,则错误!未找到引用源。
的两条渐近线的方程为()A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
5. 已知等比数列错误!未找到引用源。
满足错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
()A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 648D. 186. 如图,在正方形错误!未找到引用源。
中,错误!未找到引用源。
分别是错误!未找到引用源。
的中点,若错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
的值为()A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 1D. -17. 若实数错误!未找到引用源。
满足条件错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
的最大值为()A. -1B. 错误!未找到引用源。
河南省洛阳市2017届高三上学期期中考试数学(理)试题.doc
【考试时间:2016年10月13日15:00~17:00】洛阳市2016—2017学年高中三年级期中考试数 学 试 卷(理)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择),考生作答时,须将答案答答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题,共60分注意事项:1.必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}Z x x x A ∈=,<<3log 12,{}95<x x B ≤=,则=⋂B A ( ) A .),5[2e B.]7,5[ C .}7,6,5{ D .}8,7,6,5{2.复数i i++12的共扼复数是( ) A .i 2123+- B .i 2123-- C.i 2123- D .i 2123+3.设n m ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,下列命题是真命题的是( ) A .若α//m ,β//m ,则βα// B .若α//m ,βα//,则β//m C .若α⊂m ,β⊥m ,则βα⊥ D .若α⊂m ,βα⊥,则β⊥m 4.函数)42cos(ln π+=x y 的一个单调递减区间是( )A .)8,85(ππ--B .)8,83(ππ--C .)8,8(ππ--D .)83,8(ππ-5.O 为△ABC 内一点,且02=++OC OB OA ,AC t AD =,若D O B ,,三点共线,则t 的值为( ) A .41B .31C .21 D.32 6.一个几何体的三视图都是边长为1的正方形,如图,则该几何体的体积是( ) A .121 B .31 C .42 D.217.由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是( )A .12ln +B .2ln 2-C .212ln - D.212ln +8.直角△ABC 中,∠C =90°,D 在BC 上,CD =2DB ,tan ∠BAD =51,则BAC ∠sin =( ) A .22 B .23 C .13133 D.22或13133 9.已知函数)(x f 是R 上的奇函数,且满足)()2(x f x f -=+,当]1,0[∈x 时,x x f =)(,则方程182)(+-=x x x f 在 ),0(+∞解的个数是( )A .3B .4C .5 D.6 10.已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,14,2248==S S ,则=2016S ( ) A .22252- B .22253- C .221008- D.222016-11.已知三棱锥ABC P -中,1===AC PB PA ,⊥PA 面ABC ,∠BAC =32π,则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为( )A .π3B .π4C .π5 D.π8 12.定义在R 上的函数)(x f 满足:xe x xf x f ∙=-')()(,且21)0(=f ,则)()(x f x f '的最大值为( )A .0B .21C .1 D.2第Ⅱ卷(非选择题,共90分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡题目所指示的答题区域内作答。
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河南省洛阳市2017届高三第3次统考考试数学(理科)
一、选择题(共12小题;共60分)
1. 已知是虚数单位,复数满足,则的模是
A. B. C. D.
2. 化简的值为
A. B. C. D.
3. 命题“对任意都有”的否定是
A. 对任意,都有
B. 不存在,使得
C. 存在,使得
D. 存在,使得
4. 设某批产品合格率为,不合格率为,现对该产品进行测试,设第次首次取到正品,则
等于
A. B.
C. D.
5. 设,是双曲线的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点,使
(为坐标原点)且,则的值为
A. B. C. D.
6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米石,验得米
内夹谷,抽样取米一把,数得粒内夹谷粒,则这批米内夹谷约为
A. 石
B. 石
C. 石
D. 石
7. 已知若,,则向量与
A. 一定共线
B. 一定不共线
C. 仅当与共线时共线
D. 仅当时共线
8. 设函数的最小正周期为,且,
则 ( )
A. 在单调递减
B. 在单调递减
C. 在单调递增
D. 在单调递增
9. 执行如图所示的程序框图,则输出的值为
A. B. C. D.
10. 的展开式中项的系数为
A. B. C. D.
11. 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是
A. B. C. D.
12. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,.若
,,则实数的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(共4小题;共20分)
13. 已知函数,若实数,满足,则
.
14. 已知双曲线:的一条渐近线与直线:垂直,的一个
焦点到的距离为,则的方程为.
15. 已知实数,满足,则的取值范围是.
16. 如图为了测量,两点间的距离,选取同一平面上,两点,测出四边形各边的长度
(单位:):,,,,如图所示,且,,,四点共圆,则的长为.
三、解答题(共8小题;共104分)
17. 设数列的前项和为,已知.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
18. 如图,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,
.点是边的中点,点,分别在线段,上,且,.
(1)证明:;
(2)求二面角的正切值;
(3)求直线与直线所成角的余弦值.
19. 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入(单位:千元)的数据如下表:
,.
(1)求关于的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
20. 已知椭圆的离心率为,点和点都在椭圆
上,直线交轴于点.
(1)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);
(2)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
21. 设函数,其中为实数.
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
22. 如图,过平行四边形的三个顶点,,,且与相切,交的延长线于点.
(1)求证:;
(2),是的三等分点,且,求.
23. 在直角坐标系中,以原点为极点,以轴非负半轴为极轴,与直角坐标系取相同的
长度单位,建立极坐标系.设曲线的参数方程为为参数,直线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)设曲线与直线的交点为,两点,求(为坐标原点)的面积.
24. 已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的解集包含,求的取值范围.
答案
第一部分
1. C 【解析】由,得,
所以,
所以.
2. A
3. D
4. C 【解析】根据题意,即第次首次取到正品的概率;
若第次首次取到正品,即前两次取到的都是次品,第次取到正品,则.
5. A
6. B 【解析】由题意,这批米内夹谷约为石.
7. C 8. A 【解析】,所以.
又因为为偶函数,
所以,又,所以,
所以.
9. C 【解析】执行程序框图,可得,,,,
不满足条件,,,;不满足条件,,,;不满足条件,,,;不满足条件,,,;不满足条件,,,;满足条件,退出循环,输出的值为 .
10. B
11. D 12. B 【解析】函数.在时的解析式等价于
因此根据奇函数的图象关于原点对称作出函数在上的大致图象如下,
由,,可得,解得.
第二部分
13.
14.
15.
【解析】画出满足条件的平面区域,如图示:
设,则,当直线过时,最小为,
当直线过时,最大为,
所以.
16.
【解析】因为,,,四点共圆,所以,
在和中,由余弦定理可得:,将代入可得.
第三部分
17. (1)由可得,
,
而,则.
(2)由及可得.
.
.
所以.
18. (1)方法一:
在中,为的中点,且,.
又平面平面,且平面平面,平面.
又平面,.
方法二:
在中,为的中点,且,,
又平面平面,且平面平面,平面.
平面.取的中点,连接.
四边形是长方形,,如图2,以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,
,,,,,
,,,,,,.
,,且,
,即.
(2)方法一:
由(1)知平面,且平面,.
又四边形是长方形,
.
又,
平面,
,
为二面角的平面角.
,.
在中,,
,
所求二面角的正切值为.
方法二:
平面,
平面的法向量为.
设平面的一个法向量为,,,
由于即
令,则,,
.
由图可知二面角是锐角,设为,则,
,.
(3)方法一:
如图1,连接,
在中,,,
,
由异面直线所成角的定义,知直线与直线所成角的大小等于的大小.
在中,,,,
,
直线与直线所成角的余弦值为.
方法二:
,,设直线与直线所成角为,
则.
直线与所成角的余弦值为.
19. (1)由所给数据计算得
.
.
所求回归方程为.
(2)由(1)知,,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加千元.
将2015年的年份代号代入(1)中的回归方程,得,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为千元.
20. (1)由题意得
解得
故椭圆的方程为
设.
因为,
所以.
直线的方程为,
所以,即.
(2)因为点与点关于轴对称,
所以.
设,则.
“存在点使得”等价于“存在点使得”,即满足,
因为,,,
所以.
所以或.
故在轴上存在点,使得,点的坐标为)或.21. (1)令
考虑到的定义域为,故,进而解得
即在上是单调减函数.
同理,在上是单调增函数.
由于在上是单调减函数,故
从而,即.令
得
当时,;当时,.
又在上有最小值,所以,即
综上可知,.
(2)当时,必为单调增函数;当时,令
解得,即
因为在上是单调增函数,类似(1)有,即.
结合上述两种情况,得
①当时,由以及,
得存在唯一的零点;
②当时,由于
且函数在上的图象连续,所以在上存在零点.
另外,当时,
故在上是单调增函数,所以只有一个零点.
③当时,令
解得
当时,;当时,,所以,是的最大值点,且最大值为
a.当,即时,有一个零点.
b.当,即时,有两个零点.
实际上,对于,由于
且函数在上的图象连续,所以在上存在零点.
另外,当时,
故在上是单调增函数,所以在上只有一个零点.
下面考虑在上的情况.
先证
为此,我们要证明:当时,.
设,则
再设,则
当时,
所以在上是单调增函数.
故当时,
从而在上是单调增函数,
进而当时,
即当时,.当,即时,
又,且函数在上的图象连续,
所以在上存在零点.
又当时,
故在上是单调减函数,
所以在上只有一个零点.
综合①②③可知,当或时,的零点个数为,当时,的零点个数为.
22. (1)因为,,
所以,
所以.
又因为,
所以.
(2)取中点,连接,.
由(1)知,
所以.
因为,为的中点,
所以.
所以,,三点共线,为的直径.
所以.
所以.
23. (1)由得曲线的普通方程为,
由,
得,
即得直线的直角坐标方程为:.
(2)将的方程代入(消)可得,解得或,
所以.
24. (1)当时,原函数可化为
当时,由得,解得;
当时,无解;
当时,由得,解得.
所以的解集为或.
(2)由题意可知,所以
因此,的解集包含等价于,
当时,恒成立.
经过求解可得,
由条件得且,
即,
故满足条件的的取值范围为.。