N1样本空间与随机事件FF

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概率论随机试验与样本空间

考试有技巧，学习无捷径。平时的学习要注重知识点的掌握，踏踏实实，这才是方法中的方法。古人云：“梅花香自苦寒来” “书山有路勤为径”。相信自己，你会成为河南理工大的传说！
概率论与数理统计
第1章概率论基础
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率世纪30年代，前苏联的数学家柯尔莫戈洛夫以勒贝格的测度论为基础，给出了概率论的公理化体系，影响颇大。柯尔莫戈洛夫
【概率论简史】
我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者是许宝騄先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是工科，经济类学科学生的公共课。
许宝騄先生
王梓坤院士
陈木法院士
彭实戈院士
严加安院士马志明院士
关于数理统计统计学的英文词 statistics 源出于拉丁文，是由 status（状态、国家）和statista（政治家）衍化而来的,可见起源很早并和国家事务的管理需求有关。
在中国，周朝就设有统计官员18名，5个层次，5个级别，其官职叫“司书”，东北师范大学校长史宁中先生请该校历史教授考证：司书就是做统计的官员。
贝叶斯
皮尔逊
现代数理统计作为一门独立学科的奠基人是英国的数学家费希尔(R.A.Fisher) 1946年，瑞典数学家克拉默(H.Cramer)发表了《统计学的数学方法》，系统总结了数理统计的发展，标志着现代数理统计学的成熟。
费希尔
克拉默
图是10马克的德国纸币，纸币上的这个人就是高斯。而纸币上印有一个函数表达式、还画一个曲线的，这个函数曲线是正态随机变量的概率密度函数曲线，正态分布又叫“高斯分布”。没有高斯和正态分布，统计就没有今天的辉煌。

19-20 第10章 10.1.1 有限样本空间与随机事件

2．写试验的样本空间要注意些什么？ [提示] 要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果．
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【例2】指出下列试验的样本空间： (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球； (2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差． [思路探究] 根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空间．
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2．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω
＝
.
{12,13,23} [从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：12, 13, 23，
所以Ω＝{12,13,23}．]
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3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事
件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
第十章概率
10.1 随机事件与概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件
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学习目标
核心素养
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(重点) 2．理解随机事件与样本点的关系．(重点、难点)
1.通过对随机事件、必然事件、不可能事件概念的学习，培养学生数学抽象素养． 2. 通过写出试验的样本空间，培养学生数学建模素养.
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(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
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[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件． (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件． (4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．

1-2节样本空间和随机事件

(3) 分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ),
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中必不发生,称为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是一个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S

1.2样本空间、随机事件

二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件, 简称事件.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生.
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
样本空间 S包含所有的样本 , 它点是S自身的子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事件.
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长
不合格”与“直径不度合格”的并.
n
推广称 A k为 n个事 A 1,A 2 件 , ,A n的和事 k1
件, 称 A k为可列 A 1,A 个 2, 的事和件 . 事件 k1
3 . 事 A B x x 件 A 且 x B , 称为事件A
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.
所以在具体问题的研究中, 描述随机现象的第一步就是建立样本空间.
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A S
A B S 且 A B
对立
事件间的运算规律设A,B,C为事,件则有
(1)交换律 AB BA; AB BA.
(2)结合律 A(BC) (AB)C; A(BC) (AB)C.
(3)分配律 A(BC) (A B ) (A C ); A(BC) (A B ) (A C ).

有限样本空间和随机事件教学设计,教学反思与点评(续)

有限样本空间和随机事件教学设计,教学反思与点评(续)
教学反思和点评是教师在为学生提供有效学习环境的重要组成部分，教学反思有助于教师审视课堂管理的活动，以及在实施教学的过程中发现的可能存在的问题。

有限样本空间和随机事件教学设计作为一种新的教学方法，也需要教师的进一步反思和点评。

首先，教师需要反思和点评有限样本空间和随机事件所采用的教学方法，特别是要考虑学生的能力和经验。

此外，反思和点评也应考虑学生在学习过程中的学习表现情况以及教学活动的执行过程。

仅仅重点关注课程目标是不够的，教师需要及时地反思和评估学生在接受教学活动后是否理解所学知识，学习是否有效。

另外，教师还需要反思和点评有限样本空间和随机事件教学的相关课程内容，确保有助于学生学习的活动和资源得到充分的利用。

同时，要考虑教学活动的分配是否是有效的，能否根据学生的不同能力水平进行调整和优化。

通过反思和点评有限样本空间和随机事件教学，教师可以及时发现和改进教学活动中存在的问题，进而有效地帮助学生学习并达到教学目标。

只有教师对有限样本空间和随机事件教学设计中存在的问题有所了解，才能进行有效的教学反思和点评，为学生的有效学习提供有力的支持。

概率_随机事件的概率.板块一.事件及样本空间.学生版

版块一：事件及样本空间1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．版块二：随机事件的概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤．当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合． 5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+ 若事件12nA A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．知识内容板块一.事件及样本空间事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ．有()1()P A P A =-． <教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率． 3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件：独立事件：次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵ 互斥事件有一个发生的概率； ⑶ 相互独立事件同时发生的概率；⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率； ⑹ 对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．题型一事件及样本空间典例分析【例1】 (2010安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A ，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）．① ()25P B =；②()15|11P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立； ④1A ，2A ，3A 两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关．【例2】下列事件：①同学甲竞选班长成功； ②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同； ④若集合A B C ，，，满足A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆；⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签； ⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数；其中属于随机事件的有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【例3】指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”； ⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”； ⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”； ⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化； ⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现； ⑸买彩票中一等奖；⑹若平面α平面m β=，n β∥，n α∥，则m n ∥．【例5】将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数； ⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； ⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件；⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件；【例7】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x ，转盘②得到的数为y ，结果为()x y ，．⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“5x y +=”这一事件包含哪几个基本事件？“3x <且1y >”呢？ ⑷“4xy =”这一事件包含哪几个基本事件？“x y =”呢？【例8】在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（）A ．明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水B ．明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水C ．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水D ．明天该地区降水的可能性为85%【例9】同时掷两枚骰子，点数之和在2~12点间的事件是事件，点数之和为12点的事件是事件，点数之和小于2或大于12的事件是事件，点数之差为6点的事件是事件．。

随机事件与样本空间

随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。

一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。

由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。

样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。

[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义：设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。

[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。

概率论与数理统计—古典概型

2023/8/17
3
3.排列：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的排列数，记为
Pnm n (n 1) (n m 1)
4.组合：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，记为
有m1种不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法，…… 在第n类中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
M m1 m2 mn
2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤. 做第1步
有m1种不同的方法, 做第2步有m2种不同的方法，…… 做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
P( A) C9153 C52 0.1377 C15
100
2023/8/17
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例3.袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，
(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样
求第i(i=1,2,…,)人取到白球(记为事件B)的概率（设k ≤ a+b）.
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Cnm
n (n
1)
(n m!
m
1)
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例1将. n只球随机地装入N个盒子中去，问每个盒子至多装一只球的概率（设盒子容量不限,n≤N）. 解：设A为每个盒子至多装一只球， n只球随机地装入N个盒子共有 N N N N n 每个盒子至多装一只球，则第一只球共有N种装法，
第二只球有N-1种装法，……，第n只球有N-n+1 种，
故N(A)=NP((NA)-1)N…((NN-n+1)1N),n于(N是 n 1)

北邮概率论与数理统计样本空间及随机事件1.1

§1.1 随机事件及其运算1.随机现象自然界和社会上发生的现象多种多样.有些现象,我们可以准确预言他们在一定条件会出现何种结果,例如“在标准大气压下,纯水加热到C ︒100时必定沸腾”等等,这类现象我们称为确定性现象.然而自然界和社会上还有许多现象,他们在一定条件下，并不总是出现相同结果,而且事先我们无法准确预言会出现何种结果, 这类现象我们称为随机现象.随机现象随处可见。

如抛一枚硬币，其结果可能是正面朝上,也可能反面朝上,而且在出现结果之前无法准确预言会出现何种结果.再比如用一仪器在相同条件下测量一物体的质量,各次测量结果会有差异,等等。

有的随机现象可以在相同条件下重复,也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.对于这类随机现象，我们常常通过多次重复的随机试验，观察其出现的结果，以期发现随机现象的规律性。

长期的实践经验表明，在大量重复试验下,随机现象的结果的出现往往呈现出某种规律性.例如大量重复抛一枚硬币,正面出现的次数与反面出面出现的次数大致相当,等等.这种在大量重复试验中所呈现的规律性就是我们以后常说的统计规律性.概率论与数理统计的研究对象是随机现象,研究和揭示随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象.2.样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。

在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，这一原始概念又联系着另一原始概念“随机试验”.概率论中所说的随机试具有下述特点:(1)可以在相同条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先能明确试验的所有可能的结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪个结果会发生.随机试验的可能结果称为样本点，用ω表示样本点；而随机试验的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为}{ω=Ω.在具体问题中,认清“样本空间是哪些样本点构成的”是十分重要的. 有些随机试验凭“经验”可确定样本点和样本空间,有些随机试验需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间.样本点和样本空间的确定也与研究目的有关,或者说与观察或记录的是什么有关.看下面一些例子.例 1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为}6,5,4,3,2,1{=Ω.如果我们只是观察出现奇数点还是偶数点,那么样本空间可以确定为{=Ω出现奇数点,出现偶数点}.例 2 考虑试验:观察一天内进入某商场的人数. 一天内进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为},3,2,1,0{⋅⋅⋅=Ω,即样本空间确定为全体非负整数构成的集合.例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地确定为),0[+∞=Ω.例 4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反面出现的情况,则样本空间为},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH =Ω;若我们记录正面出现的次数,则样本空间为}3,2,1,0{=Ω.若样本空间中的元素个数是有限个,我们称此样本空间为有限样本空间. 若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3.随机事件有了样本空间后,我们可以给出随机事件的概念.直观上, 随机事件是随机现象或随机试验中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生应当能由试验出现的结果判定,因此一个事件可以由使其发生的那些样本点组成，换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.设随机试验E 的样本空间为}{ω=Ω,我们称样本空间为}{ω=Ω的子集为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,…表示.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间Ω本身.空集Φ作为样本空间Ω的子集也是事件,称此事件为不可能事件. 显然, 必然事件在每次试验中是必定发生的,不可能事件在任一次试验中都不会发生.这两种情况已无随机性可言,但我们把它们视为随机事件的特例.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，随机事件就是该样本空间的子集。

1.1(随机试验与样本空间)

在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济研究、金融和管理等领域．
第1章概率论基础
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 必然现象随机现象
概括许多内容大不相同的实际问题.
例如只包含两个样本点的样本空间
Ω {H, T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排
队的模型等.
1.1.2 样本空间
在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步就是建立样本空间.
在一定条件下必然出现的现象，
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
1827 ）、高斯（ Gauss, 德 ,1777-1855 ）和泊松
（Poisson,法,1781-1840）等一批数学家对概率论作了奠基性的贡献．
【概率论简史】
1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了
从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的
新时期．
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的产生和应用奠定了基础．契比谢夫（Chebyhev，俄， 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立

新教材高中数学第七章概率1随机现象与随机事件1-1随机现象1-2样本空间1-3随机事件1-4随机事件

进一步C是不可能事件,D是必然事件.
探究点三互斥事件与对立事件的判定
【例3】某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判
断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
名师点睛
随机现象的两个特点
(1)结果至少有两种;
(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
过关自诊
以下现象是随机现象的是(
)
A.过了冬天就是春天
B.物体只在重力作用下自由下落
C.不共线的三点确定一个平面
D.下一届奥运会中国获得30枚金牌
答案 D
解析 A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
知识点2 样本空间
红球,故C∩A=A.
角度2事件运算的综合问题
【例5】抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰
子出现3点”为事件B,分别判断下列两对事件是否为互斥事件:
(1)事件A与事件AB;
(2)事件B与事件A B .
解由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件
第七章
1.1 随机现象 1.2 样本空间
1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
课标要求
1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念.
2.理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确地求出事件包含的样本点的
个数,并会写出相应的样本空间.
3.理解事件的关系与运算,并会简单应用.
4.理解互斥事件与对立事件的概念及二者之间的关系.

1-1随机试验随机事件和样本空间

23
概率论与集合论有关概念的对应关系
概率论
样本点
样本空间
集合论
元素
全集
记号
e
S
随机事件
基本事件
子集
单点集
A , B , C ……
{e}
不可能事件
空集
Φ
24
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例１、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还是反面，则样本空间为： S={正面，反面｝例２、设试验为从装有三个白球(记为1，2,3号) 与两个黑球(记为4,5号)的袋中任取两个球． (１)观察取出的两个球的颜色，则样本空间为： S={e00, e11, e01} e00 表示“取出两个白球”， e11 表示“取出两个黑球”， e01 表示“取出一个白球与一个黑球”
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五、随机数学简史
古——艺术及文学作品，游戏、决策
古希腊——哲学与宗教的思考文艺复兴——数学讨论
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15
第一章概率论的基本概念
§1.1 随机试验、随机事件和样本空间
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现
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19
(2)
试验的所有可能结果:
正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能故为随机试验. 确定哪一个结果会出现.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.
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20
3. 记录某公共汽车站某

随机事件与样本空间的关系

随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。

理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。

本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。

一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。

它是样本空间中的一个子集。

例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。

在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。

二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。

它包含了实验中的每一个可能结果。

以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。

样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。

三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。

它们之间的关系可以用包含关系来描述。

具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。

相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。

四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。

随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。

1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。

例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。

2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。

例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。

交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。

差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。

3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。

例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第1章概率论的基本概念

（3）分配律：A ∩ （B∪C）= （A∩B）∪（ A ∩ C ）
（4）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（5）
概率论与数理统计
02
第2节概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率定义1.1
在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值称为事件A在n次实验中发生的频率，记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104

0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质：
（1）对于任一事件A，有（2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB

A B
AB

AB
A B

AB
A B

AB
A B

概率论与数理统计
A
AB
B

A
A

概率论与数理统计

1.1 随机试验、样本空间.1.2 随机事件 (1)

n
n
Cm n

即

n m

:
从n个相异元中取m个元素并成一组
P C P m m m(先取后排）
n
n
m
Pmn n (n 1) (n 2)
(n m 1)
n! (n m)
!

0！ 0.
m
P m Cn
n m

n(n
1)L (n m!
抽查式考勤，缺三次平时成绩为零，取消考试资格（学校规定），希望遵守公德：不迟到 • 5.须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分 • 6.复习微积分，保证学习正常进行 • 7注：平时成绩大于30分；别因中学“学过”而大意，应当重新审视这门课。
4
预备知识（排列组合） • 1. 两个基本原理 • 2. 排列、组合的意义 • 3. 排列数、组合数计算公式 • 4. 例题
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） C62 C24 P33 540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
引言
•概率是什么？
•1.概率是频率：
P A
fn
ALeabharlann nA 频数 n 试验次数
.
•2.概率是比例：
序
一、概率论简史及概率论的应用
1. 概率论简史
1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m 局就算赢，全部赌本就归谁．但是当其中一个人赢了a 局，另一个人赢了b 局的时候，赌博中止．问：赌本应该如何分法才合理？” ．

随机事件和样本空间

由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。因为不可能事件不含有任何，所以对任一事件 A，我们约定 A
图中的阴影部分是事件“AB”如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3}
则 A B={球的标号为 1，2，3，4，，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或积），记作 A B（或ＡＢ），它对应图１．３种的阴影部分：如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则

，也就是说 A 与 B 互不
A
B

Байду номын сангаас图 1.5

7 . 若 A 是一个事件,令 A =

A 是 A 的对立事件或逆事 — A，称

件。容易知道在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然）即A与有 A A =

A
二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而
A

A

=

（A B） C=（A C）（ B C）（1.5）
（4）德摩根定理（对偶原则）： ________
n
A =
i
_______ n i 1
Ai A = i 1
i i 1
n
__
（1.6）
A
i 1
n
__ i
（1.7）
证明：（略）.
n
Ai
An ；若“ A1 ，A2 ，…，
同时发生” ，这样的事件称作A1 ， A2 ，…，An 的交，记作
A 1
A2 …
An
或 i 1
n
Ai

《样本空间与事件》示范课教学设计【高中数学教案】

1．通过实例理解样本点与样本空间，了解随机事件与随机事件的概率．2．从集合的观点，用符号语言表示样本空间、随机事件，初步了解概率公理化定义．3．了解随机事件在生活中的应用，提升数学抽象和数学建模等核心素养．教学重点：理解样本点、样本空间、随机事件的定义以及它们之间的关系教学难点：理解样本点、样本空间、随机事件的定义以及它们之间的关系．PPT课件．一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容．预设的答案：本节课要学的内容是样本空间与事件，本节内容是本章第二部分概率的第一节内容，本节内容强调了数学抽象的层次性和多样性，给出了事件的集合描述，强化了学生对随机事件发生的概率的直观理解，在用概率解决具体问题的过程中，描述随机现象的第一步往往都是给出样本空间，故本节内容是为后面学习概率打下了理论基础，既要加强学生对随机现象和随机试验的理解，又要让学生体会用集合语言描述一些数学概念的优越性。

设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：生活中，我们往往会遇到以下一些现象：（1）某人练习投篮5次，结果投中了3次；（2）每天早晨太阳都从东边升起；（3）某人一个小时内接到10个电话；（4）将一石块抛向空中，石块掉落下来；（5）走到一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯；（6）实心铁球丢进水里，铁球会沉到水底；（7）买一张福利彩票，没中奖．1：凭直觉，上述现象有那些特征，你能将上述现象进行分类吗？师生活动：学生自己根据直觉，作出分类，老师给出答案。

预设的答案：（1）（3）（5）（7）是一类，因为这些现象发生的结果事先不能确定；（2）（4）（6）（8）是一类，这些现象发生的结果事先能够确定．2：请你按照上述现象的类别，分别给两类现象起个名字．师生活动：师生共同讨论、归纳出随机现象、必然现象的定义。

“样本点、样本空间和随机事件的表达”教学设计

一、教学内容解析概率与统计是高中数学课程的四条主线之一.概率为人们从不确定性的角度认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法.本节课作为高中概率的起始课，承载着“绪论”与“预备”的双重任务.“绪论”即教材的章引言部分，主要介绍概率的研究对象.概率是各类学科中唯一一门专门研究随机现象规律性的学科.研究对象的特殊性决定了思维方法的特殊性，特别是如何看待和处理随机规律性，是其他学科中没有的.“预备知识”包括样本点、样本空间、随机事件的概念.这是概率论中最基本且重要的概念，新教材将其引入高中数学课程，使得学生能够更加准确、理性地认识随机现象.例如，当给定一个试验时，其所有可能的基本结果（样本点）构成样本空间，各种随机事件都可以看成是样本空间的子集，概率也可以看成样本空间映射到实数集的一个“集函数”.因此，本节课是在初中概率学习的基础上，进一步研究如何用数学语言准确刻画随机现象和随机事件.引入样本点、样本空间的概念，将随机事件看成样本空间的子集，是利用集合语言对试验结果进行准确描述，相当于建立随机现象的数学模型，为后续类比集合的关系与运算理解事件的关系与运算，以及类比函数的研究路径研究概率奠定了基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解样本点、样本空间和随机事件的概念，会用集合语言表示一个试验的样本空间与随机事件.二、教学目标设置本节课教学目标设置如下.（1）了解随机现象、随机试验的特征.（2）理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点、样本空间的关系.（3）能够准确、规范地写出实际情境中的样本空间、随机事件，提高抽象表征能力.达成上述教学目标的标志如下.达成目标（1）的标志：结合情境，感受到客观世界的不确定性，归纳概括出随机现象、随机试验的特征.能够举出生活中随机现象的例子，初步运用随机的观念看待周围的事物，体会随机思想.达成目标（2）的标志：经历随机现象数学化的过程，借助集合的语言和工具，抽象出样本点、样本空间的概念.结合具体实例，用集合语言表示随机事件，结合事件发生的含义建构出随机事件的概念.收稿日期：2020-12-23基金项目：山东省教育科学“十三五”规划2020年度课题——信息技术支撑下的高中数学建模教学实践研究（2020ZC044）.作者简介：邱瑶（1991—），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究.“样本点、样本空间和随机事件的表达”教学设计邱摘要：按照“情境问题—实例探究—抽象表征—建立概念—刻画深构—迁移应用”的模式展开，在每个环节充分暴露学生的思维，在理解上注重升华引领，在落实上注重规范表达，在问题探究上注重过程性.关键词：有限样本空间；随机事件；抽象表征达成目标（3）的标志：能够结合树状图、列表，用适当的符号准确写出常见随机试验的样本空间.三、学生学情分析学生已有的认知基础包括初中的“概率初步”和上一章的“统计”，但是概率统计研究的是不确定性数学，其思想方法与确定性数学存在巨大差异.要想建立起科学的概率统计思维，还需要经过长期学习.本节课的样本点、样本空间、用集合定义随机事件是学生首次接触.那么，为什么要用集合语言刻画随机现象和随机事件呢？学生对此可能会有疑问.换言之，从初中描述性的概念到高中准确的数学表达，学生在理解上可能会有困难.而起始概念的建立需要扎实到位，才能有利于后续的学习.此外，面对一个实际情境，学生未必能够很好地表示出试验的样本空间、随机事件，主要表现在不知道选用什么样的符号和形式来表达样本点，这需要经过一定的训练和指导.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：用适当的符号（如数对、数串等）表达样本点；理解随机事件是样本空间的子集.四、教学策略分析通过创设情境、直观感知、抽象概括的过程，建构概念，并进行规范的表达，具体如下.（1）结合丰富、典型的实例，加强学生对随机现象的随机性及随机性中表现出来的统计规律性的直观感知.选择贴近学生实际生活的案例和概率论中的部分经典案例，分析其中的不确定性，以及随着观测次数的增加随机现象呈现出来的规律性.（2）在抽象样本点的概念之前，先设计合适的试验（试验结果分别采用文字、字母、数字表示），让学生尝试表达试验结果.得到概念后，再次强化文字、字母、数字三种形式的相互转化.再借助例1（二维样本点）、例2（三维样本点）的训练，指导学生分析实际问题、选用恰当的符号形式，规范表达样本点、样本空间与随机事件，提高数学表征能力.（3）注重知识的内在逻辑，从“随机现象、随机试验”到“样本点、样本空间”，再到“随机事件”，都做到过渡自然、衔接连贯，搭建清晰的知识网络.按照“情境问题—实例探究—抽象表征—建立概念—刻画深构—迁移应用”的模式展开教学，设置问题串引导学生思考，让学生体会用集合语言表达随机事件更加准确、严谨、抽象，是将随机现象数学化的关键步骤，是后续研究的基础.五、教学过程设计1.呈现问题情境，体验随机现象问题1：从今天开始，我们学习“概率”，那么概率的研究对象是什么呢？我们先来看几个例子.（1）播放篮球比赛视频，让学生决策把球传给哪位球员.出示该球员的投篮命中率.引导学生认识到：一次投篮能否投中无法预知，但通过大量的统计分析可以大致估计进球的可能性.（2）展示教师早上6：30左右从家去学校的路线图，学生预测教师从家去学校的路上需要的时间.出示最近三周的统计表和直方图.引导学生发现：教师每天上班所需时间无法提前预知，但通过大量的统计分析可以发现一定的分布规律.（3）计算机模拟试验（图1）：用抽签法从全班随机抽取5名学生，谁会被抽到？如果大量重复抽取，会发现什么规律？图1（4）现场摸球试验：让学生从装有一些红球和黑球的箱子中随机摸出一个，观察摸出的球的颜色.指导学生思考：如何在不打开箱子的情况下，估计箱子中红球和黑球的比例？进行计算机模拟试验（图2）：有放回摸球多次，让学生观察规律.图2（5）计算机模拟试验（图3）：抛掷一枚骰子，会掷出几点？如果大量重复抛掷，会发现什么规律？追问1：这些现象的共同特征是什么？学生归纳概括.就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性；但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性.教师指出，这类现象叫做随机现象.追问2：你还能举出随机现象的例子吗？学生举例.教师指出，大千世界充满了随机现象，如果我们能够掌握其中的规律，就可以更好地做出选择和决策.利用数学方法研究随机现象的数量规律，就是概率的任务.【设计意图】篮球投篮和到校所需时间这两个例子是受到很多随机因素干扰的真实的生活情境，既体现出随机现象的特点，又体现出利用概率进行决策的思想.抽签、摸球和掷骰子这三个例子是概率论中的经典案例，通过计算机模拟试验及学生现场参与活动，让学生的思考更充分.再通过学生自己举例，让学生用随机的思想看待周围的事物，感受随机现象的普遍性.最后教师指出研究随机现象的必要性，揭示概率的研究内容.2.问题探究，抽象表征，形成概念问题2：如何对随机现象展开研究？学生在前面实例的基础上做出回答.有一些随机现象（如上述抽签、掷骰子的例子），每个可能结果的概率可以通过理论计算得到；而有一些随机现象（如上述篮球投篮、到校所需时间、随机摸球的例子），则需要进行大量重复试验来统计分析，从而估计每个可能结果的概率.教师给出随机试验的定义：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E 表示.追问：随机试验具有哪些特点？教师引导学生结合前面的例子，归纳出随机试验的特点：从结果上看，试验具有可知性（所有可能的结果明确可知）和随机性（事先不能确定出现哪一个结果）；从过程上看，试验具有可重复性（能够在相同条件下重复进行）.【设计意图】在上一个环节丰富实例的基础上，归纳出随机试验的特点.试验是我们探求未知世界的常用方法.问题3：我们研究随机现象，进行随机试验，自然就要观测试验的所有可能结果.那么，就应当先用某种方式对试验结果进行表示.如何表示出下列三个试验的所有可能结果？试着多用几种方式.E 1：抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上.E 2：随机选择一个有新生儿的家庭，观察婴儿的性别.E 3：抛掷一枚骰子，观察朝上一面的点数.将三个试验的所有可能结果填入下表.随机试验E 1E 2E 3试验的所有可能结果学生讨论交流.教师投影学生的表示方法，指出常用文字、字母、数字三种形式表示可能的结果.在此基础上，抽象概括出样本点、样本空间的概念：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.现阶段只研究有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn ，则称Ω={}ω1，ω2，…，ωn为有限样本空间.教师指出，利用集合的语言和工具来刻画试验的结果，引入样本点和样本空间的概念，实际上相当于建立了随机现象的数学模型，这是我们用数学方法研究随机现象的基础.追问：以上述“E3：抛掷一枚骰子，观察掷出的点数”为例，你能规范地写出试验的样本空间吗？师生共同总结、完善三种语言表达形式，规范书写格式，特别强调在用字母和数字形式表示时，要交代字母和数字的含义.例1抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.投影学生的解答过程，师生共同评析：该试验的样本点是二维的，可以用数串或数对来表示；为了保证不重不漏，可以借助树状图来帮助列举；对比三种语言表述，从文字到字母再到数字，抽象化的程度逐步提高（采用0和1表示具有更多的好处，在今后的学习中会有所体会）.教师出示例1的规范解答，师生共同总结书写格式：首先，要交代样本点的形式（如二维样本点可用数对()x，y表示）；其次，对x和y进行“赋值”，如赋值0和1，交代数字所代表的意义；最后，规范写出样本空间.【设计意图】样本点、样本空间的概念是本节课的重点，也是难点，因此设计了四个步骤来突破：尝试表示—建构概念—规范表示—强化提高.“尝试表示”的三个试验是有考量的，分别预设了文字（正面朝上，反面朝上）、字母（B表示男孩，G表示女孩）、数字（1，2，3，4，5，6）三种形式.但实际上学生不一定这样表示，重要的是让学生有一个尝试的过程，也为下一步建构概念做铺垫.因为从第一步到第二步本身也是从特殊到一般的抽象概括过程.在有了样本点、样本空间的概念之后，再回头来看刚才写的试验结果，重新进行规范的表达.最后通过例1进行强化提高.经过这四步，学生基本能够掌握样本点、样本空间的概念和表示.3.集合刻画，概念深构问题4：仍以上述“E3：抛掷一枚骰子，观察掷出的点数”为例，思考：（1）“掷出奇数点”是随机事件吗？（2）“掷出的点数为3的倍数”是随机事件吗？（3）如果用集合的形式来表示它们，如何表示？这些集合与样本空间有什么关系？（4）运用样本点、样本空间的概念，如何看待和定义随机事件？对于前两个问题，引导学生回忆初中所学随机事件的定义（在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件），那么上述两个事件显然是随机事件.对于问题（3），引导学生思考这两个事件发生的含义，进行双向互推：当“掷出奇数点”时，意味着集合{}1，3，5中的一个样本点发生；反之，若集合{}1，3，5中的一个样本点出现，则意味着事件“掷出奇数点”发生.因此，可以用集合{}1，3，5表示事件“掷出奇数点”.第二个例子同理.从而得出随机事件与样本点、样本空间的关系.在以上问题的基础上，回答问题（4）：我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当事件A中某个样本点出现时，称为事件A发生.追问：我们在学习数学概念时，往往要关注其中的特殊情形.大家思考，样本空间的子集中有哪些比较特殊？学生容易想到空集和样本空间自身.教师引导学生，只包含一个样本点的事件也是比较特殊的，结合样本点的含义，这类事件应该叫基本事件.结合初中所学，样本空间自身应该叫做必然事件，空集应该叫做不可能事件.教师引导学生利用事件发生的含义进行解释，并让学生以掷骰子为例来举出必然事件和不可能事件，直观、正确地来理解这两个概念.教师指出，必然事件和不可能事件是不具有随机性的，这里是将它们作为随机事件的两个极端情形，以方便统一处理.【设计意图】随机事件是概率研究的核心概念之一，初中所学的随机事件的概念是描述性的，而高中阶段则用集合语言进行刻画，这是本节课的重点和难点.本环节依托初中的知识基础设置问题串，分析具体实例，归纳出事件发生的含义，发现随机事件与样本点、样本空间的关系，从而重新建构随机事件的概念.在此过程中，希望学生能够体会到数学概念螺旋式上升的过程，就像当初学习函数的概念一样.最后，进一步对特殊情形进行说明.至此，就完成了随机事件的数学表达.4.模型构建，迁移应用例2如图4，一个电路中有A ，B ，C 三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.图4（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件：M =“恰好两个元件正常”；N =“电路是通路”；T =“电路是断路”.投影学生的解答过程，师生共同评析：面对复杂的实际情境，要先分析试验的所有可能结果，然后选择恰当的符号形式，按照规范步骤写出样本空间.例如，该题的试验结果可用三维数组表示，借助树状图可以更加直观、有序地写出所有可能结果.再分析具体的随机事件，用集合表示出来.追问：观察事件N 和事件T 的集合表示，你能发现什么？学生容易发现两个集合互为补集，教师引导：后面我们将类比集合的关系与运算研究事件的关系与运算.我们还会研究随机事件的概率，构建概率模型，最终解决实际问题.【设计意图】考查学生面对复杂的现实情境能否准确写出试验的样本空间和随机事件，巩固所学知识，总结方法.同时，借助该题的第（2）小题引出后续研究内容，大致构建本章的知识结构.5.回顾总结，提升能力以思维导图的形式，师生一起回顾本节课所学的主要内容.教师引导学生思考以下问题.（1）如何得到随机现象、随机试验的特点？（2）面对一个实际问题，如何准确写出试验的样本空间？（3）初中已经学过随机事件的概念，为何高中还要学？两者有何不同？学生总结、思考，并回答.针对问题（1），教师引导学生体会研究数学对象的一般过程：情境背景—抽象本质—建构概念—数学表示—实际应用.针对问题（2），引导学生回顾方法步骤，注意严谨表达.针对问题（3），引导学生体会集合语言的准确性、严谨性、抽象性，并让学生带着这个问题继续学习后面的概率知识，将会有更深刻的体会.【设计意图】对学习内容和学习方法进行总结、反思、升华，促进学生对本节课所学内容和方法的理解和认识.6.分层要求，拓宽视野简单介绍概率的起源与应用.布置作业：完成教材中本小节的练习题；查阅资料，了解更多概率论的起源与应用.【设计意图】介绍概率的起源和应用，主要是为了渗透数学文化，让学生体会概率应用的广泛性，增加学生对这门学科的了解，从而调动学生对概率的兴趣和重视程度.布置基础性练习作业是为了巩固学生的基础知识和基本技能.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M ］.北京：人民教育出版社，2020.。

§1.1随机事件与样本空间

§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。

⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。

例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。

若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。

1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。

因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。

2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。

也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。

在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。

例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。

例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。

随机事件与样本空间 PPT

有关古典概率及条件概率的概念的理解及计算
第一节随机事件的概念
一、随机现象二、随机试验三、样本空间样本点四、随机事件的概念
五、事件的关系与运算
一、随机现象
自然界所观察到的现象:
1.确定性现象
确定性现象随机现象
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
实确例定性现象的特征
条件完全决定结果
HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
S {0, 1, 2, 3}.
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.
例如只包含两个样本点的样本空间
S {H,T} 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可短.
说明
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性（也称随机性). 或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.
3.但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.
第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计