最新高考数学(文)考点通关训练第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 38 及答案
高考数学一轮复习 第一部分 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试36 合
考点测试36 合情推理与演绎推理高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理3．了解合情推理和演绎推理的联系和差异一、基础小题1．对于大于或等于2的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…根据以上规律，若m，p均为正整数且m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解式中的最小正整数为21，则m＋p＝( )A．9 B．10C．11 D．12答案 C解析∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29.∵p3的分解式中最小的正整数是21，∴p3＝53，p＝5，∴m＋p＝6＋5＝11，故选C.2．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2019层正方体的个数为( )A．2018 B．4028C．2037171 D．2039190答案 D解析 设第n 层正方体的个数为a n ，则a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12(n ≥2)，故a 2019＝1010×2019＝2039190，故选D.3．某演绎推理的“三段论”分解如下：①函数f (x )＝13x 是减函数；②指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数；③函数f (x )＝13x 是指数函数．则按照演绎推理的“三段论”模式，排序正确的是( )A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①答案 D解析 易知大前提是②，小前提是③，结论是①.故排列的次序应为②→③→①.故选D. 4．甲、乙、丙、丁四名同学参加某次过关考试，甲、乙、丙三个人分别去老师处询问成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论一定正确的是( )A ．甲没过关B ．乙过关C ．丙过关D ．丁过关 答案 C解析 基于他们说的都是真的情况下，因为，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以，可以推出，他们四人中一定只有两人过关，再由丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．所以得到，丙一定过关，故选C.5．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下．依次类推，已知六十四卦中的“屯”卦的符号为“”，则其表示的十进制数是( )卦名 符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽011 3C ．36D ．35答案 B解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.6．已知P 是圆x 2＋y 2＝R 2上的一个动点，过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线，切点分别为M ，N ，MN 的中点为E .若曲线C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且R 2＝a 2＋b 2，则点E 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b2.若曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且R 2＝a 2－b 2，则点E 的轨迹方程是( ) A.x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b 2 B ．x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b 2 C.x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b2 D ．x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b2 答案 B解析 由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点E 的轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b 2.7．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋nB ．d n ＝c 1·c 2·…·nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，所以b n ＝a 1＋n －12d ＝d2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{}是等比数列，则c 1·c 2·…·＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn n －12，所以d n ＝n c 1·c 2·…·＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列．故选D. 8．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆的半径r ＝a 2＋b 22，把上面的结论推广到空间，则类似的结论为__________________．答案 取空间中有三条侧棱两两垂直的三棱锥A －BCD ，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，三棱锥的外接球的半径r ＝a 2＋b 2＋c 22解析 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A －BCD ，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，可以将四面体补成一个长方体，则体对角线即为外接球的直径，即2r ＝a 2＋b 2＋c 2，所以r ＝a 2＋b 2＋c 22.则此三棱锥的外接球的半径r ＝a 2＋b 2＋c 22.9．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．答案5＋12解析 类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)，所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．易知FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0，又e ＞1，所以e ＝5＋12. 10．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案 1∶8解析 由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8.11．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．答案 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2解析 设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，如图所示，所以AC 1与下底面所成角为∠C 1AC ，记为α，AC 1与平面A 1D 1DA 所成的角记为β，AC 1与平面A 1B 1BA 所成的角记为γ，所以cos 2α＝AC 2AC 21＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c 2，同理cos 2β＝a 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c2，所以cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2.12．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2020f 2019＝________.答案 2020解析 因为f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，令b ＝1，则f a ＋1f a ＝f (1)＝2，所以f 2f 1＝f 4f 3＝…＝f 2020f 2019＝2.所以原式＝2＋2＋…＋21010个＝2020. 二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙答案 A解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与已知矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.14．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩答案 D解析由题意可知，“甲看乙、丙的成绩后，不知道自己的成绩”，说明乙、丙两人中一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.15．(2016·高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.解法二：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有(n－k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(k－s)个，丙盒中共有(n－k)个球，其中红球有(n－k－s)个，黑球有(n－k)－(n－k－s)＝s个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.16．(2017·高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设线段A i B i 的中点为C i (x i ，y i )．(1)由题意知Q i ＝2y i ，i ＝1,2,3，由题图知y 1最大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1. (2)由题意知p i ＝2y i 2x i ＝y ix i，i ＝1,2,3.y ix i的几何意义为点C i (x i ，y i )与原点O 连线的斜率． 比较OC 1，OC 2，OC 3的斜率，由题图可知OC 2的斜率最大，即p 2最大．17．(2016·全国卷Ⅱ)有三X 卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析 由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.18．(2015·某某高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5解析 因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k ＝5.三、模拟小题19．(2019·某某二模)已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，利用类比的方法可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是( )A ．各面内某边的中点B ．各面内某条中线的中点C ．各面内某条高的三等分点D ．各面内某条角平分线的四等分点 答案 C解析 平面上关于正三角形的内切圆的性质可类比为空间中关于正四面体的内切球的性质，可以推断，在空间几何中有“正四面体的内切球与各面相切，切点是各面的中心”，即各面内某条高的三等分点．故选C.20．(2019·某某一模)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n >2，n ∈N )，经计算可得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可得出的一般结论是( )A ．f (2n )>2n ＋12(n ≥2，n ∈N )B ．f (n 2)≥n ＋22(n ≥2，n ∈N )C ．f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N ) D ．f (2n )≥n ＋22(n ≥2，n ∈N )答案 C解析 不等式f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，可化为f (22)>2＋22，f (23)>3＋22，f (24)>4＋22，f (25)>5＋22，…，由此归纳，可得f (2n)>n ＋22，故选C. 21．(2019·某某联考)有一个由奇数组成的数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含有两个数{3,5}，第3组含有三个数{7,9,11}，…，则第n 组各数之和为( )A ．n 2B ．n 3C ．n 4D ．n (n ＋1)答案 B解析 第一组各数之和为1＝13，第2组各数之和为8＝23，第3组各数之和为27＝33，…，观察规律，归纳可得，第n 组各数之和为n 3.故选B.22．(2019·某某高三调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．甲B．乙C．丙D．丁答案 B解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．23．(2019·某某模拟)如图，将一X等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作( )A．31次B．32次C．33次D．34次答案 C解析由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个，……，由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.故共需要操作33次．24．(2019·某某一模)某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是( )A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演答案 C解析由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C.25．(2019·某某吕梁一模)在某次语文考试中，A ，B ，C 三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C 说：“A 没有得优秀”；B 说：“我得了优秀”；A 说：“C 说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．答案 C解析 假如A 说的是假话，则C 说的也是假话，不成立；假如B 说的是假话，即B 没有得优秀，又A 没有得优秀，故C 得优秀；假如C 说的是假话，即A 得优秀，则B 说的也是假话，不成立；故得优秀的同学为C .26．(2019·株洲二模)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若88n＝88n具有“穿墙术”，则n ＝________.答案 63 解析 因为223＝223＝221×2＋1，338＝338＝332×3＋2，4415＝4415＝443×4＋3，5524＝5524＝554×5＋4，则88n＝88n＝887×8＋7＝8863.即n ＝63.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·某某某某模拟)设f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2(其中a ＞0，且a ≠1)．(1)请你由5＝2＋3推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由于f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22 ＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52，因此g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，得g (2＋3)＝f (3)·g (2)＋g (3)f (2)， 于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2， 所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －x ＋y 2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y 2， 所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a －x ＋y2＝g (x ＋y )．2．(2019·某某期末)已知i 为虚数单位，观察下列各等式：(cos1＋isin1)(cos2＋isin2)＝cos3＋isin3；(cos3＋isin3)(cos4＋isin4)＝cos7＋isin7；(cos5＋isin5)(cos6＋isin6)＝cos11＋isin11；(cos7＋isin7)(cos8＋isin8)＝cos15＋isin15.记f (α)＝cos α＋isin α，α∈R .(1)根据以上规律，试猜想f (α)，f (β)，f (α＋β)成立的等式，并加以证明；(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 6. 解 (1)猜想f (α)f (β)＝f (α＋β)，证明：f (α)f (β)＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(sin αcos β＋cos αsin β)i＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝f (α＋β)．(2)因为f (α)f (β)＝f (α＋β)，所以f n(α)＝f (α)·f (α)·…·f (α)＝f (nα)＝cos nα＋isin nα， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π66＝cosπ＋isinπ＝－1.。
高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 33 word版含答案
考点测试33 一元二次不等式及其解法一、基础小题1．不等式(x －1)(3－x )<0的解集是( ) A ．(1,3)B ．C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．{x |x ≠1且x ≠3}答案 C解析 根据题意，(x －1)(3－x )<0⇔(x －1)(x －3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}答案 B解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0.综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}．4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪∪ C ．∪(0，＋∞)D ．∪(0，＋∞)．6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)，故选A.7．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为(－2，0)，(2，0)，则ax 2＋bx ＋c >0的解的情况是( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x >2或x <－2}C ．{x |x ≠±2}D ．不确定，与a 的符号有关答案 D解析 当a >0时，解集为{x |x >2或x <－2}；当a <0时，解集为{x |－2<x <2}，故选D.8．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．上是减函数，∴－2a －12×3≥1，解得a ≤－2.故选C.9．设a ∈R ，关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0的解集有下列四个命题：①原不等式的解集不可能为∅；②若a ＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；③若a <－12，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，2；④若a >0，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ∪(2，＋∞)．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)>0.当a ＝0时，不等式化为x －2>0，得x >2.当a ≠0时，方程(ax ＋1)(x －2)＝0的两根分别是2和－1a ，若a <－12，解不等式得－1a<x <2；若a ＝－12，不等式的解集为∅；若－12<a <0，解不等式得2<x <－1a ；若a >0，解不等式得x <－1a或x >2.故①为假命题，②③④为真命题．10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪ 解析 由题意知，对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则Δ＝a 2－4×1×1＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，故选D.11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(7，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案 A解析 由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知f (0)＝a ＋3，f (1)＝4，又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0，知Δ＝a 2－4(a ＋3)>0，即a <－2或a >6.又g (x )＝ax －2a 的图象恒过(2,0)，故当a >6时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图1所示，当a <－2时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示．由函数的图象知，当a >6时，g (x 0)<0⇔x 0<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >6，f2<0，∴a >7.当a <－2时，g (x 0)<0⇔x 0>2，此时函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a2<0，故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上为增函数，又f (1)＝4，∴f (x 0)<0不成立．综上，实数a 的取值范围为a >7，故选A.12．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间内的所有零点之和等于________．答案 4解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，再令x 取x ＋1可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间内的所有零点之和为12×2×4＝4.二、高考小题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝f －2，f －1＝f －3，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9.14．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0,4] B ．答案 B解析 由题意可得M ＝{x |－1<x <4}，所以M ∩N ＝{x |0≤x <4}．15．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A ．5B ．7C ．154D ．152答案 A解析 解法一：∵由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)， 得(x －4a )(x ＋2a )<0，即－2a <x <4a ， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15， ∴a ＝52.故选A.解法二：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， 故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.16．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)．答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.17．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1<0，fm ＋1＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为x <2是x 2－3x ＋2<0成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由x 2－3x ＋2<0，解得1<x <2，再根据已知条件易知选A. 20．关于x 的不等式x －a x －bx －c≥0的解为－1≤x <2或x ≥3，则点P (a ＋b ，c )位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 由不等式的解集可知－1,3是方程(x －a )(x －b )＝0的两个根，且c ＝2，不妨设a ＝－1，b ＝3，∴a ＋b ＝2，即点P (a ＋b ，c )的坐标为(2,2)，位于第一象限．21．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2,2)D ．(－2,2]答案 D解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0，恒成立；当a －2≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，4a －22＋16a －2<0，解得－2<a <2，∴－2<a ≤2.故选D.22．“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，即关于x的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.参考上述解法：若关于x 的不等式bx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式b x －a －x －bx －c>0的解集为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D ． ⎛⎪⎫－∞，－12∪ ⎛⎪⎫13，＋∞( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞) 答案 D解析 画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x .解得－3<x <1，∴－3<x ≤－ 3.(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立． (3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴直线x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1.(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3. 综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)． 24．已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )的值域为已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.2．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒m ＝0或－4<m <0⇒－4<m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]． (2)∵f (x )<－m ＋5⇒m (x 2－x ＋1)<6， ∵x 2－x ＋1>0， ∴m <6x 2－x ＋1对于x ∈恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈，记h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈上为增函数．则g (x )在上为减函数， ∴min ＝g (3)＝67，∴m <67.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.3．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}． 4．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R . (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)解不等式f (x )>1(a ∈R )．解 (1)当a ≥0时不合题意，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2－1＋4a 24a ，当a <0时，f (x )有最大值，且－1＋4a 24a ＝178，解得a ＝－2或－18.(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， ①当a ＝0时，{x |x >1}；②当a >0时，(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a >0，即⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >1或x <－1－1a ；③当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅；④当－12<a <0时，(x －1)·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a <0，。
2021高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试33一元二次不
考点测试33 一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥32答案 A解析 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x x －1≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2或x ≤13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <2 D ．{x |x <2}答案 C解析 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，－∞) B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．{k |0＜k ≤1} B ．{k |k ＜0或k ＞1} C ．{k |0≤k ≤1} D ．{k |k ＞1}答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，36k 2－4k k ＋8≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)．故选A.7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．－1答案 C解析 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1－m －3m <0，f1＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx－3m ≥0，则m ≤12，所以m 的最大值为12.故选C.8．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115 B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，115C.⎝⎛⎭⎪⎫2，115D ．[－1,3]答案 A解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，f 1≥0，f 3≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________． 答案 {x |0<x <2}解析 不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}．10．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值范围为________．答案 m ≤9解析 由①②得2<x <3，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2,3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上大于9，所以实数m ≤9.11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________． 答案 [45,80)解析 因为关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤a5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80，所以实数a 的取值范围是[45,80)．12．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析 因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．二、高考小题13．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，23解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)． 答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝2m 2－1<0，f m ＋1＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 16．(经典四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2019·武汉二模)若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .18．(2019·石家庄二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)．故选B.19．(2019·山东实验中学诊断)不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}答案 B解析 原不等式化为|x |2－|x |－2>0，所以(|x |－2)·(|x |＋1)>0.因为|x |＋1>0，所以|x |－2>0，即|x |>2，解得x <－2或x >2.故选B.20．(2019·鄂尔多斯第一中学模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.154B ．72C ．52D ．152答案 C解析 因为x 2－2ax －8a 2<0(a >0)，所以(x ＋2a )·(x －4a )<0(a >0)，得－2a <x <4a .又x 2－x 1＝15，所以6a ＝15，解得a ＝52.故选C.21．(2019·新疆高三一模)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是( ) A.63B ．233C ．433D ．－433答案 D解析 ∵不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a .∵a <0，∴－⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋13a ≥2－4a ·－13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433.故选D.22．(2019·苏北四市、苏中三市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ≤0，则不等式f (x )>f (－x )的解集为________．答案 (－2,0)∪(2，＋∞)解析 若x ≥0，则f (x )＝x 2－2x ，f (－x )＝－x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得x 2－2x >－x 2＋2x ⇒x >2，故x >2.若x <0，则f (x )＝－x 2－2x ，f (－x )＝x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得，－x 2－2x >x 2＋2x ⇒－2<x <0，故－2<x <0.综上，不等式f (x )>f (－x )的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·广州模拟)对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 2．(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围．解 因为函数f (x )是偶函数，故函数f (x )的图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立， 化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝0≤0，ha ＋1＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 3．(2019·沈阳八校联考)已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＞0.(1)若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，求实数a 的值；(2)若a ∈R ，解这个关于x 的不等式． 解 (1)∵不等式(ax －1)(x ＋1)＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，∴方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根是－1，－12；∴－12a －1＝0，∴a ＝－2.(2)∵(ax －1)(x ＋1)＞0，∴当a ＜0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0.若a ＜－1，则1a ＞－1，解得－1＜x ＜1a；若a ＝－1，则1a＝－1，不等式的解集为∅； 若－1＜a ＜0，则1a ＜－1，解得1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式为－(x ＋1)＞0，解得x ＜－1.当a ＞0时，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，∵1a ＞－1，∴解不等式得x ＜－1或x ＞1a.综上，当a ＜－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜1a ；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞1a .4．(2019·河北正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1,1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1,1]， ①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，实数a 的取值范围为(1－2，＋∞)． (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0， 即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， 因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0， 因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <－a ＋1a ； 当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a ＋1a <x <1. 5．(2019·天津河东一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )． 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0,1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
【最新】-2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练课件 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复
最大值是( A．2
) B．3
C．4
D．5
则 x＋3y 的
3．已知实数 x，y 满足约束条件
x＋3y－7≤0，
x≥1，
则|y－x|的最大值是(
)
y≥1，
A．2 2 C．4
32 B. 2 D．3
x≥1，
4．若点 P(x，y)的坐标满足条件y≥x， y≤－x＋4，
y2 的最大值为(
)
A. 10
B．8
C．16
C．1≤a≤43 D．0<a≤1 或 a≥43
22．[2016·山东三校联考]已知变量 x，y 满足约束条件
x＋2y－3≤0，
x＋3y－3≥0， y－1≤0，
若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(1,1)
处取得最大值，则 a 的取值范围为(
)
A．(0,2)
B.0，12
C.0，13
D.13，12
高考总复习首选用卷·
第一部分 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、
算法初步与复数
考点测试34 二元一次不等式组与简单的线 性规划
第1步 狂刷小题·练基础
一、基础小题
x≥0，
1．不等式组x＋3y≥4， 3x＋y≤4
于(
)
3
2
A.2
B.3
4
3
C.3
D.4
所表示的平面区域的面积等
y≤1，
2．若变量 x，y 满足约束条件x≤2， x－y≥0，
23．[2017·湖北襄阳联考]已知实数 x，y 满足约束条件
x－y＋1≥0，
4x＋3y－12≤0， y－2≥0，
则 z＝2x－ x＋y＋ 1 1的最大值为(
高考数学考点练习第五章不等式推理与证明算法初步与复数35基本不等式试题文
考点测试35 基本不等式一、基础小题 1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a >0且b >0⇒a ＋b2≥ab ，但a ＋b2≥ab ⇒/ a >0且b >0，只能推出a ≥0且b ≥0.2．函数f (x )＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x ·1－x＝－2.3．设0<x <2，则函数y ＝x 4－2x 的最大值为( )A ．2B ．22C ． 3D ． 2答案 D解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号．4．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象的最低点的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)答案 D解析 y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当x ＝0时取最小值．5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误，故选B.6．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 7．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 解析 ∵xy ≤x ＋y24，x >0，y >0，∴1xy≥4x ＋y2，x ＋y xy ≥4x ＋y ，∴x ＋y ＋4x ＋y≤5. 设x ＋y ＝t ，即t ＋4t≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设甲乙两地相距为s ， 则v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b. 由于a <b ，∴1a ＋1b <2a，∴v >a .又1a ＋1b >21ab，∴v <ab .故a <v <ab ，故选A.9．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 1x ＋1y ＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝16，y ＝13时等号成立，此时x ，y 值存在，所以1x ＋1y的最小值为9，故选C.10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均存储时间为x8天，且每件产品每天的存储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析 若每批生产x 件产品， 则每件产品的生产准备费用是800x元，存储费用是x8元，总的费用y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8时取等号，得x ＝80(件)，故选B.11．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．2 5D ．5答案 B 解析 2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝2a 2＋a －b ＋b ab a －b －10ac ＋25c 2＝2a 2＋1ba －b－10ac ＋25c 2≥2a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”)＝2a 2＋4a2－10ac ＋25c 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝25时取“＝”，故选B.12．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，且a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则M 的取值范围是________．答案 [8，＋∞) 解析 M ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．二、高考小题13．[2015·福建高考]若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析 因为直线x a＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2 a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 14．[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 C解析 依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C.15．[2014·重庆高考]若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a >0，b >0，∴a ＝4bb －3，由a >0，得b >3.∴a ＋b ＝b ＋4b b －3＝b ＋4b －3＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a＋b 的最小值为7＋4 3.16．[2014·福建高考]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析 设底面的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号) 故该容器的最低总造价是160元．17．[2015·重庆高考]设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 令t ＝a ＋1＋b ＋3， 则t 2＝(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋1·b ＋3 ≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18， 当且仅当a ＋1＝b ＋3时， 即a ＝72，b ＝32时，等号成立．即t 的最大值为3 2.18．[2015·山东高考]定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析 由x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy .因为x >0，y >0，所以x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 三、模拟小题19．[2016·兰州一模]在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x＋4e x －2答案 D解析 当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错误；因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x＋1cos x >2，故B 错误；因为x 2＋2≥2，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号取不到，故C 错误；因为e x >0，所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x ·4e x －2＝2，当且仅当e x ＝4ex ，即e x＝2时等号成立，故选D.20．[2017·长春质检]设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A ．1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值12C ．a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22答案 C解析 由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大值2，故选C.21．[2017·浙江金丽衢联考]若函数f (x )＝2x 2－ax －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a 的值为( )A ．0B ．32C ．1D ．12答案 B解析 由题意得f (x )＝2x 2－a x －1＝2x －12＋4x －1＋2－ax －1＝2(x －1)＋2－ax －1＋4≥22x －1·2－ax －1＋4＝24－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－ax －1，即x ＝1＋2－a 2时，等号成立，所以24－2a ＋4＝6，即a ＝32，故选B. 22．[2016·广州一模]设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 答案 A解析 对任意的正实数x ，y ，由于a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy ＋2xy >p xy ，且p xy ＋xy >2xy ，且p xy ＋2xy >xy ，解得1<p <3，故实数p 的取值范围是(1,3)，故选A.23．[2017·江苏调研]已知a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．答案 3解析 令log a b ＝t ，由a >b >1，得0<t <1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2 a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．24．[2016·杭州一模]设x >0，y >0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.答案 12解析 ∵x >0，y >0，∴当x ＋1y取最小值时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2xy，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x ≥24x y ·16y x ＝16，∴x ＋1y≥4，当且仅当4x y＝16y x，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y2＋2×2y y ＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·湖南浏阳月考]已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解 由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. ∴3xy －2xy －1≥0， 即3(xy )2－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0.∴xy ≥1，∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.∴x ＋y ≥2. 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.2．[2017·河南驻马店月考]某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？ 解 (1)设需要修建k 个增压站， 则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x ) ＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x()x 2＋x＝96000x＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96000x＋240x －160≥296000x·240x －160＝2×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．3．[2017·保定月考]某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．[2016·南京质检]为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x－4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综合得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． (2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4≥214－x ·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。
高考考点完全题数学(理)考点通关练课件 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 40ppt版本
(
)
A．3
B．6
C．2
D．m
解析 当 a＝3，b＝6，c＝2 时，依据算法设计，执行 后，m＝a＝3<b＝6，c＝2<a＝3＝m，∴c＝2＝m，即输出 m 的值为 2，故选 C.
4．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是(
)
A．50
B．49
C．100
D．99
解析 从程序框图反映的算法是 S＝2＋4＋6＋8＋…，i
一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3,2，则输出 v 的值为(
)
A．9 C．20
B．18 D．35
解析 执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v ＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2 ＋0＝18，i＝－1<0，结束循环，输出 v＝18.故选 B.
C.34
D.45
解析 分别计算 i 与相应的 m，n 取值依次为 i＝2，m＝
1，n＝12；i＝3，m＝2，n＝23；i＝4, m＝3，n＝34，此时由判 断框可知程序结束，故输出 n＝34，故选 C.
11．为了求满足 1＋2＋3＋…＋n<2013 的最大的自然数
n，程序框图如图所示，则输出框中应填输出(
24．[2017·河南三市联考]执行如图所示的程序框图，如
果输入 m＝30，n＝18，则输出的 m 的值为(
)
A．0
B．6
C．12
D．18
解析 如果输入 m＝30，n＝18，第一次执行循环体后，
r＝12，m＝18，n＝12，不满足输出条件；第二次执行循环
体后，r＝6，m＝12，n＝6，不满足输出条件；第三次执行
所以应该输出 62，即 i－2.故选 A.
最新高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 32 Word版含答案
第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试32 不等关系与不等式一、基础小题1．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为( ) A．A<B B．A＝BC．A>B D．不确定答案 A解析因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，故A<B.2．下列不等式：①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析显然①②正确；对③，m≤0时不成立；对④，m≤0时不成立．故选B. 3．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( ) A．ad>bc B．ac>bdC．a－c>b－d D．a＋c>b＋d答案 D解析 由不等式性质知：a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d . 4．已知a <b ，则下列不等式正确的是( ) A ．1a >1bB ．a 2>b 2C ．2－a >2－bD ．2a>2b答案 C解析 ∵a <b ，∴－a >－b ，∴2－a >2－b .5．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N答案 A解析 由题意知，M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝(a －1)2＋2>0恒成立，所以M >N ，故选A.的大小关系为( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．c <b <a答案 A解析 因为a ，b ，c ∈R ＋，由ca ＋b <ab ＋c，得cb ＋c 2<a 2＋ab ，整理得(c －a )(a ＋b ＋c )<0，所以c <a ，同理由ab ＋c <ba ＋c，得a <b ，所以c <a <b .11．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④答案 C解析 因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.12．现给出三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b －32；③7＋10>3＋14.其中恒成立的不等式共有________个．答案 2解析 因为a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a 2＋b 2－2a ＋2b ＋3＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(7＋10)2－(3＋14)2＝270－242>0，且7＋10>0，3＋14>0，所以7＋10>3＋14，即③恒成立．二、高考小题13．已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln (x 2＋1)>ln (y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3<1，∴x >y ，∴x 3>y 3. d <0，则一定有( ) 答案 D解析 ∵c <d <0，∴－c >－d >0，∴0<1－c <1－d ，即1－d >1－c >0.又∵a >b >0，∴a －d >b －c ，∴a d <b c. 15．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A ．1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒/ xy >1⇒/ ln (xy )>0⇒/ ln x ＋ln y >0，故D 错误．16．已知实数a ，b ，c .( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 答案 D解析 利用特值法验证．令a ＝3，b ＝3，c ＝－11.5，排除A ；令a ＝4，b ＝－15.5，c ＝0，排除B ；令a ＝11，b ＝－10.5，c ＝0，排除C ，故选D.17．设x ∈R ，表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得＝1，＝2，…，＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 若n ＝3，则1≤t 6<64，8≤t 6<27，9≤t 6<16，得9≤t 6<16，即当，＝2，＝3， ∴n ＝3符合题意．若n ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ 33≤t <34，4≤t 4<5，即⎩⎪⎨⎪⎧34≤t 12<44，43≤t 12<53，得34≤t 12<53，即当33≤t <45时，有＝1，＝2，＝3，＝4，故n ＝4符合题意．若n ＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧33≤t <45，5≤t 5<6，即⎩⎨⎧33≤t <45，55≤t <56，①∵63<35，∴56<33，故①式无解，即n ＝5不符合题意，则正整数n 的最大值为4.三、模拟小题18．已知1a <1b<0，则下列结论错误的是( )A ．a 2<b 2B ．b a ＋a b>2 C ．ab >b 2D ．lg a 2<lg (ab )答案 C解析 ∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －b ab>0，∴a －b >0，∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab <b 2，故选C.19．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0答案 D解析 当b ≥0时，a ＋b <0，当b <0时，a －b <0，∴a ＋b <0，故选D. 20．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( A ．若a >b ，则|a |>|b | C ．若|a |>b ，则a 2>b 22>b 2答案 D解析 当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>21．下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<b c2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案 C解析 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ∴B 错误；∵a c 2<b c2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．故选C.22．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.故选C.23．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b ≤cB ．b ≤c <aC ．b <c <aD ．b <a <c答案 A解析 由c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，得b ≤c ，再由b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，得2b ＝2＋2a 2，因为1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，所以b ＝1＋a 2>a ，所以a <b ≤c .24．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)． 答案 ②③④⑤解析 若c >0，则①不成立；由ac 2>bc 2，知c ≠0，则a >b ，②成立；由a <b <0，知a 2>ab ，ab >b 2，即a 2>ab >b 2，③成立；由c >a >b >0，得0<c －a <c －b ，故a c －a >bc －b，④成立；若a >b ，1a －1b ＝b －a ab>0，则ab <0，故a >0，b <0，⑤成立．故所有的真命题为②③④⑤.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求ca的取值范围． 解 ∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. ∴b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ， ∴a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0.∴1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >ca. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12.2．设集合A ＝{x |0≤x <1}，B ＝{x |1≤x ≤2}，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ∈A ，4－2x ，x ∈B ，x 0∈A 且f ∈A ，求x 0的取值范围．解 因为x 0∈A ，所以f (x 0)＝2x0，而0≤x 0<1⇒1≤2x0<2，所以f ＝4－2·2x0.因为f ∈A ，所以0≤4－2·2x0<1，解得log 232<x 0<1.3．已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .∵xx ＋a －yy ＋b＝bx －ayx ＋a y ＋b，又∵1a >1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b >a >0.又∵x >y >0，∴bx >ay >0. ∴bx －ay x ＋a y ＋b >0，∴x x ＋a >yy ＋b.4．设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小． 解 解法一：当a >1时，由0<x <1知， log a (1－x )<0，log a (1＋x )>0， ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)， ∵0<1－x 2<1，∴log a (1－x 2)<0，从而－log a (1－x 2)>0， 故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.当0<a <1时，同样可得|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|. 解法二：平方作差|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝2－2＝log a (1－x 2)·log a 1－x 1＋x＝log a (1－x 2)·log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x >0.∴|log a (1－x )|2>|log a (1＋x )|2， 故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.。
届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试复数含解析新人教B版
考点测试41 复数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度 考纲研读1.理解复数的根本概念 2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义 4．会进行复数代数形式的四那么运算 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、根底小题1．(－1＋i)(2i ＋1)＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3－i D ．－3＋i答案 C解析 由题意，得(－1＋i)(2i ＋1)＝－2i －1－2＋i ＝－3－i ，应选C.2．m 为实数，i 为虚数单位，假设m ＋(m 2－4)i>0，那么m ＋2i 2－2i＝( )A ．iB ． 1C ．－iD ．－ 1答案 A解析 因为m ＋(m 2－4)i>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4＝0，可得m ＝2，故m ＋2i 2－2i ＝21＋i21－i＝i.应选A.3．复数z ＝1－i3＋4i (其中i 为虚数单位)，那么|z |的值为( )A.225B ．225 C ．25 D ．25答案 D解析 解法一：因为z ＝1－i3＋4i＝1－i 3－4i 3＋4i 3－4i＝－1－7i25，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7252＝25.应选D. 解法二：因为z ＝1－i 3＋4i ，所以|z |＝|1－i 3＋4i |＝|1－i||3＋4i|＝25.应选D.4．复数z ＝(1＋a i)(1－2i)(a ∈R )为纯虚数，那么实数a ＝( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12答案 D解析 z ＝(1＋2a )＋(a －2)i ，由得1＋2a ＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，应选D.5．以下各式的运算结果为实数的是( ) A ．－i(1＋i) B ．i(1－i) C ．(1＋i)－(1－i) D ．(1＋i)(1－i)答案 D解析 对于A ，－i(1＋i)＝1－i ；对于B ，i(1－i)＝1＋i ；对于C ，(1＋i)－(1－i)＝2i ；对于D ，(1＋i)(1－i)＝2.应选D.6．复数z ＝31－2i (i 是虚数单位)，那么z 的实部为( )A ．－35B ．35 C ．－15D ．15 答案 B解析 ∵z ＝31－2i＝31＋2i 1－2i 1＋2i ＝35＋65i ，∴z 的实部为35.应选B.7．假设复数z ＝i 1＋i (i 为虚数单位)，那么z ·z －＝( )A.12i B ．－14C ．14D ．12答案 D解析 解法一：∵z ＝i 1＋i＝i1－i 2＝1＋i 2＝12＋12i ，∴z －＝12－12i ，∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i ＝12，应选D. 解法二：∵z ＝i 1＋i ，∴|z |＝1|1＋i|＝22，∴z ·z －＝|z |2＝12，应选D.8．复数z ＝21＋i (i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(－1，－1)。
高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 37 word版含答案
考点测试37 直接证明与间接证明一、基础小题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( ) A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案 B解析因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．2．用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”，应假设( )A．三个内角至多有一个大于60°B．三个内角都不大于60°C．三个内角都大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案 C解析“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形内角都大于60°”．故选C.3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此证法是( )A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法答案 B解析由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，则P、Q的大小关系是( )A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析令a＝0，则P＝7≈2.6，Q＝3＋4≈3.7，∴P<Q.据此猜想a≥0时P<Q.证明如下：要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证2a＋7＋2a a＋7<2a＋7＋2a＋3a＋4，只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．故选C.6．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A.48,49 B ．62,63 C ．75,76 D ．84,85答案 D解析 由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 符合条件．7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③ 解析 ①⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β，又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确； ②l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直α时， 则l 必与m 相交，故②错误； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确； ④若α∩β＝n ，且m ∥n 时，l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误．8．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则S 与1的大小关系是________．答案 S <1解析 ∵1210＋1<1210，1210＋2<1210，…，1211－1＝1210＋210－1<1210， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.二、高考小题9．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 “方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．三、模拟小题10．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案 B解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B. 11．设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3答案 C解析 ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．12．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案 D解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，则有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6.因为a ，b ，c 都是正数， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b＋2c ·1c＝6与a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a<6矛盾．故假设不成立，所以a ＋1a ，b ＋1b ，c ＋1a至少有一个不小于2，故选D.13．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________． 答案 n >m解析 解法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，则m <n . 解法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．一、高考大题1．设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈．证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34<f (x )≤32.证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－－x41－－x＝1－x 41＋x， 由于x ∈，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1，得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝x －12x ＋12x ＋1＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.2．设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故 |a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n－1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1<1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m >n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m－1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1<12n －1，故|a n |<⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1＋12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.从而对于任意m >n ，均有|a n |<2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n. ①由m 的任意性得|a n |≤2.否则，存在n 0∈N *，有|a n 0|>2，取正整数m 0>log 34|a n 0|－22n且m 0>n 0，则2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34m 0<2n0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 34 |a n 0|－22n0 ＝|a n 0|－2，与①式矛盾， 综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.3．记U ＝{1,2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝a t 1＋a t 2＋…＋a t k .例如：T ＝{1,3,66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2,4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1,2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . 解 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.于是当T ＝{2,4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)证明：因为T ⊆{1,2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k.因此，S T <a k ＋1. (3)下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅. 于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知S E <a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k，所以l －1<k ，即l ≤k .又k ≠l ，故l ≤k－1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③，得S C ＋S C ∩D ≥2S D . 二、模拟大题4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解 (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，，＋1.①，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．。
高考数学考点通关练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试39复数高三全册数学
D．
2 5
1－i 1－i3－4i －1－7i 解法一：因为 z＝3＋4i＝3＋4i3－4i＝ 25 ，所以|z|＝
－2152＋－2752＝ 52.故选 D.
解法二：因为
1－i
1－i |1－i|
z＝3＋4i，所以|z|＝|3＋4i|＝|3＋4i|＝
52.故选
D.
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解析 答案
4．已知复数 z＝(1＋ai)(1－2i)(a∈R)为纯虚数，则实数 a＝( )
A. 3
B． 5
C．3
D．5
解析 ∵z＝2＋i，∴－z ＝2－i.∴z·－z ＝(2＋i)(2－i)＝5.故选 D.
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解析 答案
1－i 17．(2018·全国卷Ⅰ)设 z＝1＋i＋2i，则|z|＝( )
A．0
B．12
C．1
D． 2
1－i
1－i2
－2i
解析 因为 z＝ 1＋i＋2i＝ 1＋i1－i＋2i＝ 2 ＋2i＝ i， 所以|z|＝
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第1步 基础练 狂刷小题 · (xiǎo tí)
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一、基础小题
1．(－1＋i)(2i＋1)＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－3－i
D．－3＋i
解析 由题意，得(－1＋i)(2i＋1)＝－2i－1－2＋i＝－3－i，故选 C.
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解析 答案
2．已知 m 为实数，i 为虚数单位，若 m＋(m2－4)i>0，则m2－＋22ii＝(
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解析 答案
二、高考小题
13．(2019·全国卷Ⅰ)设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x，
高考数学 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数单元质量测试 理-人教版高三全册数学
单元质量测试(五)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2017·某某某某质检]设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案 C 解析a ＋i 2－i＝2a －1＋a ＋2i5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．[2016·某某测试]若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i＝－3i3＝－i.3．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1B ．log 12 b <log 12 a <0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab <1答案 C解析 ∵y ＝2x是单调递增函数，且0<b <a <1， ∴2b<2a<21，即2b <2a<2.4．命题p ：∃α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；命题q ：∀m ∈R ，m ＋1m≥2，则下列结论正确的是()A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧q 是假命题D ．(綈p )∨q 是真命题答案 C解析 存在α、β满足题意，例如α＝0，β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．而m ＋1m≥2必须在m >0时才能成立，所以p 真q 假．所以选C.5．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4) D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)答案 B解析 ①当x －2>0，即x >2时，原不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，原不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.6．[2016·某某某某调研]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，x －y ≤2，若不等式ax －y ≤3恒成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，4]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D ．[2,4]答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图所示，不等式ax －y ≤3恒成立，即y ≥ax －3恒成立，平面区域ABC 在直线y ＝ax －3上及上方，由图可知得A (1,1)，B (2,0)，C (1，－1)三点在直线上及上方，满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤4，2a ≤3，a ＋1≤3，得a ≤32，故答案为B.7．[2017·某某调研]按下图所示的程序框图，若输入a ＝110011，则输出的b ＝( )A ．51B ．49C ．47D ．45答案 A解析 由题意知b ＝1×20＋1×21＋0×22＋0×23＋1×24＋1×25＝51.故选A.8．[2017·某某调研]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ≤y ，x ＋y ≤4，则1x ＋2y的最大值为( )A.53 B ．2C.32D ．3答案 D解析 要求1x ＋2y的最大值，只要使x ，y 同时取得最小值即可，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图知x ，y 在点B 处同时取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y max ＝11＋21＝3，故选D. 9．不等式x 2＋2x <a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值X 围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4,2) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析 不等式x 2＋2x <a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min ，由于a b＋16ba ≥2a b ·16b a＝8(当a ＝4b 时等号成立)，∴x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选C. 10．[2016·某某黄冈检测]在程序框图中，输入N ＝8，按程序运行后输出的结果是( )A ．6B ．7C ．10D ．12答案 C解析 由于程序中根据k 的取值不同，产生的T 值也不同，故可将程序中的k 值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)．∵当k 为偶数时，T ＝k 2；当k ＋12为偶数，即k ＝4n ＋3，n ∈Z 时，T ＝k ＋14；否则，即k ＝4n ＋1，n ∈Z 时，T ＝－k ＋34.故可知：每组的4个数中，偶数值乘以12累加至S ，但两个奇数对应的T 值相互抵消，即S ＝12(2＋4＋6＋8)＝10，故选C.11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.127D.164答案 C解析 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切球与外接球球心．则AE ＝33a ，DE ＝63a ， 设OA ＝R ，OE ＝r ， 则OA 2＝AE 2＋OE 2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫63a －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2，∴R ＝64a ，r ＝612a .∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1.故正四面体P －ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2之比等于127，故选C.12．[2017·某某调研]若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49答案 A解析 因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4b －1＋16a －1a －1b －1＝4b ＋16a －20ab －a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2b a ·4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号． 所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·某某名校联考]观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122.14．[2016·某某某某摸底]已知某程序框图如图所示．若a ＝0.62，b ＝30.5，c ＝log 0.55，则输出的数是________．答案 3解析 由程序框图可知，程序的功能是求三个数中的最大值，a ＝0.62＝0.36<1，b ＝30.5>1，c ＝log 0.55<0，故c <a <b ，所以输出的数为b ＝ 3.15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．16．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 答案 4解析 依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 由(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1－2＝1－i1＋i ，即z 1＝1－i 1＋i ＋2＝1－i21＋i 1－i ＋2＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.18．(本小题满分12分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )≤lg 10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5yx ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 19．(本小题满分12分)设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a 、b 、c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc 都是正数．∴bc a ＋ca b≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2⎝⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋abc ≥2(a ＋b ＋c )，即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时等号成立．20．[2016·苏锡常镇调研](本小题满分12分)记f n(x，y)＝(x＋y)n－(x n＋y n)，其中x，y为正实数，n∈N*.给定正实数a，b满足a＝bb－1.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，f n(a，b)≥f n(2,2)．证明欲证不等式为(a＋b)n－a n－b n≥22n－2n＋1.(*)(1)当n＝1时，不等式(*)左边＝0，右边＝0，不等式(*)成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式(*)成立，即(a＋b)k－a k－b k≥22k－2k＋1.由a>0，b>0及a＝bb－1，得a＋b＝ab.∵a>0，b>0，∴a＋b≥2ab，从而ab≥4，a＋b＝ab≥4.进而a k b＋ab k≥2ab k＋1≥24k＋1＝2k＋2，则当n＝k＋1(k∈N*)时，不等式(*)左边＝(a＋b)k＋1－a k＋1－b k＋1＝(a＋b)[(a＋b)k－a k－b k]＋a k b＋ab k≥4[(a＋b)k－a k－b k]＋2k＋2≥4×(22k－2k＋1)＋2k＋2＝22(k＋1)－2(k＋1)＋1＝不等式(*)右边，∴当n＝k＋1时，不等式(*)成立．由(1)(2)知，对n∈N*，不等式(*)成立，即原不等式成立．21．(本小题满分12分)已知不等式mx2－2x－m＋1<0.(1)是否存在m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值X围；若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值X围．解(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m ＝0时，f (x )＝1－2x ，不满足f (x )<0恒成立；当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，要使f (x )<0恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝4－4m 1－m <0，则m 无解．综上可知，不存在这样的m .(2)设g (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，则g (m )为一个以m 为自变量的一次函数，其图象是直线．由题意知，当－2≤m ≤2时，g (m )的图象为在x 轴下方的线段，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g －2<0，g 2<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0， ②解①得x <－1－72或x >－1＋72， 解②得1－32<x <1＋32. 由①②，得－1＋72<x <1＋32. ∴x 的取值X 围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1＋72<x <1＋32. 22．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在某某召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x －200＝200(400≤x ≤600)，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立．故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000 ＝－12x 2＋300x －80000 ＝－12(x －300)2－35000. ∵400≤x ≤600，∴S max ＝－12(400－300)2－35000＝－40000. 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.。
2020高考数学第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试38算法初步文(含解析)
考点测试 38算法初步高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1. 认识算法的含义，认识算法的思想2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：次序、条件、循环3．认识几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义一、基础小题1．给出如图程序框图，其功能是()A ．求 a － b 的值B ．求 b － a 的值C ．求 | a － b | 的值D ．以上都不对答案C分析求 |a －b | 的值．2．已知一个算法：① m ＝ a ；②假如③假如b <m ，则c <m ，则m ＝ b ，输出m ＝ c ，输出m ，结束算法；不然履行第 m .3 步；假如 a ＝ 3， b ＝6， c ＝ 2，那么履行这个算法的结果是( )A 3B 6C 2D m答案C分析 当 a ＝ 3， b ＝ 6， c ＝2＝3，∴ m ＝c ＝ 2，即输出 m 的值为时，依照算法设计，履行后，2. 应选 C.m ＝ a ＝ 3<b ＝ 6， c ＝2<m ＝ a3．阅读下边的程序：INPUT xIF x<0 THENx＝－ xEND IFPRINT xEND则程序履行的目的是()A．务实数x 的绝对值 B ．务实数x 的相反数C．求一个负数的绝对值 D ．求一个负数的相反数答案A分析由程序可知，当输入的x<0时，取其相反数再赋值给x，其余状况x 不变，而后输出x，则程序履行的目的是务实数x 的绝对值，应选 A.4．阅读程序框图，该算法的功能是输出()A．数列 {2 n－ 1} 的第 4 项B．数列 {2 n－ 1} 的第 5 项C．数列 {2 n－ 1} 的前 4 项和D．数列 {2 n－ 1} 的前 5 项和答案B分析依程序框图，有下表：A1371531i23456因为5．当6>5，跳出循环，故输出A＝31，而31＝25－1，选m＝5， n＝2时，履行图中所示的程序框图，输出的B.S值为()A．20 B ．42 C ．60 D ．180答案C分析当 m＝5， n＝2时，程序框图的运算过程以下表所示：k5432S152060故输出 S＝60，应选 C.6．以下图程序框图的功能是：给出以下十个数：5， 9， 80， 43， 95， 73， 28， 17，60， 36，把大于60 的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是()A．x>60？，i＝i－ 1 B ．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋ 1 D ．x<60？，i＝i－1答案C分析关于 A， D，因为i＝i－1，则会进入死循环，而关于B，选出的数小于60. 应选C.7．在十进制中，2004＝4×10 0＋0×10 1＋0×10 2＋2×10 3，那么在五进制中数码2004折合成十进制为()A． 29 B ．254 C ．602 C ． 2004答案B分析0123，故 B. 2004＝4×5＋0×5＋0×5＋2×5＝ 2548．当x＝ 0.2 ，用秦九韶算法算多式 f ( x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1的，需要做乘法和加法的次数分是()A．6，6 B ． 5，6 C ．5，5 D ．6， 5答案A分析由f (x) ＝(((6＋ 5)x＋4)x＋⋯＋1)x＋0，所以共需要 6 次加法和 6 次乘法，a x a a a a故 A.9．已知一个算法的程序框如所示，当出的果0 ，入的数x 的()A．－3 B ．－3或 9C．3或－9 D ．－9或－3答案B1x－ 8，x≤0，分析本算法框的本求函数y＝22－ log 3x，x>0的零点，分状况求此分段函数的零点，易解得x＝－3或 x＝9，故 B.10．如所示的程序框的算法思路源于我国古代有名的“ 子节余定理”，此中“Mod(N，m) ＝n”表示正整数N除以正整数 m后的余数 n，比如：Mod(10，3)＝1.行程序框，出的 i ＝()A．23 B ．38 C ．44 D ．58答案A分析查验选项A：i＝23， Mod(23， 3) ＝2， Mod(23，5) ＝ 3，Mod(23， 7) ＝ 2，知足题意，应选 A.11．如图是“二分法”解方程的流程图，在①～④处应填写的内容分别是()A．f ( a) f ( m)<0 ；a＝m；是；否B．f ( b) f ( m)<0 ；b＝m；是；否C．f ( b) f ( m)<0 ；m＝b；是；否D．f ( b) f ( m)<0 ；b＝m；否；是答案B分析因为题图是“二分法”解方程的流程图，所以判断框的内容是根的存在性定理的应用，所以填 f ( b) f ( m)<0；是，则直接考证精度，否，则先在赋值框中实现b＝ m 的互换，再考证精度，知足精度则输出结果，结束程序，所以③处填“是”，④处填“否”，在①～④处应填写的内容分别是f ( )( )<0；＝；是；否．b f m b m12．下列图是用模拟方法预计圆周率π值的程序框图， P 表示预计结果，则图中空白框内填入 ()A．P＝NB ．P＝4N 10001000 M4MC．P＝1000 D ．P＝1000答案D分析利用几何概型，结构一个 1 的正方形及其内一个半径1、心角 90°M 12M4M的扇形，易知扇形的面S≈1000，又由面公式得S＝4π ×1≈1000，解得π ≈1000，故D.二、高考小13．(2018 ·全国卷Ⅱ ) 算11111＝1－＋－＋⋯＋－，了下边的程序框，S2*******在空白框中填入()A．i＝i＋ 1 B ．i＝i＋ 2C．i＝i＋ 3 D ．i＝i＋ 4答案B1 1 111分析 由 S ＝ 1－2＋ 3－ 4＋⋯＋ 99－ 100，知程序框 先 奇数 累加，偶数 累加，最后再相减．所以在空白框中 填入i ＝i ＋ 2，B.14．(2018 ·北京高考) 行如 所示的程序框 ， 出的s ()1 5 7 7 A.2 B. 6 C. 6 D.12答案B11 1 1 1 21分析 k ＝ 1，s ＝ 1；s ＝ 1＋ ( － 1) ×1＋ 1＝ 1－ 2＝ 2，k ＝ 2，2<3；s ＝2＋ ( － 1)×1＋ 2＝1 1 55＋ ＝ ， k ＝3，此 跳出循 ，所以 出 .故 B.2 36615．(2018 ·天津高考 ) 下 的程序框 ，运转相 的程序，若 入N 的 20，出 T 的 ()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B分析第一次循环T＝1，i＝ 3；第二次循环T＝1，i＝ 4；第三次循环T＝2，i＝ 5，满足条件i≥5，结束循环．应选 B.16. (2017 ·全国卷Ⅰ) 右边程序框图是为了求出知足3n－ 2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，能够分别填入()A．A>1000？和n＝n＋ 1B．A>1000？和n＝n＋ 2C．A≤1000？和n＝n＋ 1D．A≤1000？和n＝n＋ 2答案D分析此题求解的是知足3n－ 2n>1000 的最小偶数n，可判断出循环结构为当型循环结构，即知足条件要履行循环体，不知足条件要输出结果，所以判断语句应为A≤1000？，另外，所求为知足不等式的偶数解，所以中语句应为n＝ n＋2.应选 D.17．(2017 ·全国卷Ⅲ) 履行下边的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整()数 N的最小值为A．5 B．4 C．3 D．2答案D分析要求的是最小值，察看选项，发现选项中最小的为2，不如将 2 代入查验．当输入的N 为 2 时，第一次循环，＝ 100，＝－ 10，＝ 2；第二次循环，＝ 90，＝ 1，＝ 3，S M t S Mt此时退出循环，输出S＝90，切合题意．应选 D.18．(2017 ·天津高考 ) 阅读下边的程序框图，运转相应的程序，若输入N 的值为24，则输出 N的值为()A．0 B．1 C．2 D．3答案C分析履行程序框图，输入N的值为24 时， 24 能被 3 整除，履行是，N＝8，8≤3不可立，持续履行循环体；8 不可以被3 整除，履行否，N＝7，7≤3不建立，持续履行循环体；7不可以被3 整除，履行否，N＝6，6≤3不建立，持续履行循环体； 6 能被3 整除，履行是，N＝2，2≤3建立，退出循环，输出N的值为2. 应选C.19．(2017 ·山东高考) 履行两次以下图的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为()A．0，0 B ． 1，1 C ．0，1 D ．1， 0答案D分析第一次输入 x＝7，判断条件，4>7不建立，履行否，判断条件，7÷2＝7， 7 不2能被 2 整除，履行否，b＝ 3，判断条件， 9>7 建立，履行是，输出a＝1.第二次输入 x＝9，判断条件，4>9不建立，履行否，判断条件，99÷2＝2， 9不可以被2整除，履行否， b＝3，判断条件，9>9不建立，履行否，判断条件，9÷3＝3，9能被3整除，履行是，输出a＝0.应选D.三、模拟小题20．(2018 ·衡阳二模)1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：关于每一个正整数，假如它是奇数，对它乘 3 再加1，假如它是偶数，对它除以2，这样循环，最后结果都能获得 1. 固然该猜想看上去很简单，但有的数学家以为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步”．如图是依据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为()A．a是偶数？6B ．a是偶数？8C．a是奇数？5D ．a是奇数？7答案D分析阅读考拉兹提出的猜想，联合程序框图可得①处应填写的条件是“ a 是奇数？”，运转状况为a105168421i1234567所以输出的结果为i ＝7.应选D.21．(2018 ·郑州质检一) 我国古代数学文籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相遇？”现用程序框图描绘，以下图，则输出结果n＝()A．5 B．4 C．3 D．2答案B分析初始 a＝1， A＝1，S＝0，n＝1，第一次循环： S＝0＋1＋1＝2， S 小于10，进入下一次循环；第二次循环：119n＝ n＋1＝2，a＝， A＝2， S＝2＋＋ 2＝，S小于 10，进入下22219135一次循环；第三次循环：n＝ n＋1＝3，a＝4，A＝4，S＝2＋4＋4＝4，S 小于10，进入下一次循环；第四次循环：n ＝n1351n＝ 4，＋1＝4，＝，＝8，＝4＋＋8≥10，循环结束，此时a 8AS8应选 B.22.(2018 ·合肥质检一 ) 履行以下图程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是()1 1A．2 B ．－3 C．－2 D. 3答案C1＋2分析a＝2，i ＝1，知足 i ≤n＝10，进入循环体，第一次循环：a＝＝－3，i＝2；1－2足 i ≤ n ＝ 10，第二次循 ： a ＝1＋－ 3＝－1，i ＝ 3； 足 i ≤ n ＝ 10，第三次循 ： a ＝1－ －32111＋－11＋2 ＝ 4； 足i≤ ＝10，第四次循 ： ＝3＝ 5；⋯可看出a 的取 周＝ ， ＝ 2，13ina1i1－－1－23期性 化， 且周期 4. 可知当 i ＝ 11 与 i ＝ 3 a 的取 同样，即1a ＝－ ，此 ，不 足21i ≤ n ＝ 10，跳出循 体， 出a ＝－ 2，故 C.23．(2018 · 阳模 ) 我国明朝数学家程大位著的 《算法 宗》 里有一道 名世界的目：“一百 一百僧大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如 所示的程序框 反应了此 的一个求解算法， 出n 的 ( )A ．20B ．25C ．30D ．35 答案 B分析开始： ＝ 20；第一步：＝ 80， ＝ 60＋ 80n ＝21；第二步：＝79， ＝≠100，nm S3 mS797863＋ 3 ≠100， n ＝ 22；第三步： m ＝ 78， S ＝ 66＋ 3 ＝92≠100， n ＝ 23；第四步： m ＝ 77， S＝69 ＋ 77 ≠100， ＝ 24；第五步：＝ 76， ＝ 72＋76≠100， n ＝ 25；第六步：＝ 75， ＝753 n mS3mS75＝ 100，此 S ＝ 100 退出循 ， 出n ＝ 25. 故 B.＋ 324．(2018 ·南昌摸底 ) 行如 所示的程序框 ， 出 n 的 ()A．1 B．2 C．3 D．4答案C分析依照框图，可知n＝1时， f ( x)＝( x)′＝1，它是偶函数，知足 f ( x)＝ f (－x)，又方程 f ( x)＝0无解，则 n＝1＋1＝2；此时， f ( x)＝( x2)′＝2x，不知足 f ( x)＝ f (－x)，则 n＝2＋1＝3；再次循环， f ( x)＝( x3)′＝3x2，知足 f ( x)＝ f (－x)，且方程 f ( x)＝0有解x＝0，跳出循环体，则输出n 的值为3，应选 C.25．(2018 ·深圳调研) 九连环是我国一种传统的智力玩具，其结构如图 1 所示，要将9个圆环所有从框架上解下( 或套上) ，不论是哪一种情况，都需要按照必定的规则．解下( 或套上) 所有9 个圆环所需的最少挪动次数可由如图 2 所示的程序框图获得，履行该程序框图，则输出的结果为()A．170 B ．256 C ． 341 D ．682答案C分析由算法框图，可知i ， S 的变化状况以下：i23456789S2510214285170341应选 C.26．(2018 ·邯郸摸底) 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不断”，其意思为：一尺的木棍，每日截取一半，永久都截不完．现将该木棍依此规律截取，以下图的程序框图的功能就是计算该木棍被截取7 天后所剩的长度( 单位：尺) ，则①②③处可分别填入的是()①②③1A i ≤7？s＝ s－ i i ＝i ＋1B≤128？1＝ 2i s ＝ s － ii i1Ci ≤7？ s ＝ s － 2ii ＝i ＋ 1 Di ≤128？1 i ＝ 2is ＝ s －2i答案B分析程序框 的功能是 算木棍被截取7 天后节余部分的 度，在程序运转 程111中， 有：第1 次循 ，s ＝ 1－ 2，i ＝ 4；第2 次循 ，s ＝ 1－2－ 4，i ＝ 8；第3 次循 ，1 1 1s ＝ 1－ 2－4－ 8， i＝ 16；⋯；第7 次循 ，1 1 1s ＝ 1－ 2－ 4－⋯－ 128， i＝ 256，此 跳出循1体，据此判断可知在判断框① 填入“ i≤128？”， 行框② 填入“s ＝ s － i ”，③填入“ i ＝ 2i ”，故 B.本考点在近三年高考取未波及此 型．。
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考点测试38 算法初步一、基础小题1．给出如下图程序框图，其功能是( )A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b|的值D．以上都不对答案 C解析 求|a －b |的值．2．执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入角θ＝( )A ．π6B ．－π6C ．π3D ．－π3答案 D解析 由输出y ＝－3<0，排除A ，C ，又当θ＝－π3时，输出y ＝－3，故选D.3．已知一个算法： ①m ＝a ；②如果b <m ，则m ＝b ，输出m ，结束算法；否则执行第3步； ③如果c <m ，则m ＝c ，输出m .如果a ＝3，b ＝6，c ＝2，那么执行这个算法的结果是( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．m 答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，执行后，m＝a＝3<b＝6，c ＝2<a＝3＝m，∴c＝2＝m，即输出m的值为2，故选C.4．如图所示的程序框图中，循环体执行的次是( )A．50 B．49C．100 D．99答案 B解析从程序框图反映的算法是S＝2＋4＋6＋8＋…，i的初始值为2，由i ＝i＋2知，执行了49次时，i＝100，满足i≥100，退出循环．5．程序：若输入a ＝10，则输出的结果是( ) A ．20 B ．10 C ．100 D ．200答案 C解析 程序所表示的函表达式为y ＝⎩⎨⎧2a a，a 2a ，∴当a ＝10时，y ＝102＝100.6．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，把大于60的找出，则框图中的①②应分别填入的是( )A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1答案 C解析对于A，D，由于i＝i－1，则会进入死循环，而对于B，选出的小于60，故选C.7．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制中码2004折合成十进制为( )A．29 B．254C．602 D．2004答案 B解析2004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254，故选B.8．当x＝0.2时，用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1的值时，需要做乘法和加法的次分别是( )A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A解析由f(x)＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋…＋a1)x＋a0，所以共需要6次加法和6次乘法，故选A.9．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y 的值为( )A．0.5 B．1C．2 D．4答案 C解析当x＝－4时，|－4|>3，所以x＝|－4－3|＝7.又|7|>3，所以x＝|7－3|＝4.又|4|>3，所以x＝|4－3|＝1.又|1|<3，所以输出y＝21＝2.故选C.10．如图，程序框图中的算法输出的结果为( )A．12B．23C．34D．45答案 C解析分别计算i与相应的m，n取值依次为i＝2，m＝1，n＝12；i＝3，m＝2，n＝23；i＝4, m＝3，n＝34，此时由判断框可知程序结束，故输出n＝34，故选C.11．为了求满足1＋2＋3＋…＋n<2013的最大的自然n，程序框图如图所示，则输出框中应填输出( )A．i－2 B．i－1C．i D．i＋1答案 A解析依次执行程序框图：S＝0＋1，i＝2；S＝0＋1＋2，i＝3；S＝0＋1＋2＋3，i＝4；……由此可得S＝1＋2＋3＋…＋n时，i＝n＋1；经检验知当S＝1＋2＋3＋…＋62＝1953时，i＝63，满足条件进入循环；S＝1＋2＋3＋…＋62＋63＝2016时，i＝64，不满足条件，退出循环．所以应该输出62，即i－2.故选A.12．下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A．P＝N1000B．P＝4N1000C．P＝M1000D．P＝4M1000答案 D解析利用几何概型，构造一个边长为1的正方形及其内一个半径为1、圆心角为90°的扇形，易知扇形的面积S≈M1000，又由面积公式得S＝14π×12≈M1000，解得π≈4M1000，所以选D.二、高考小题13．下边程序框图的算法思路于我国古代学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析开始：a＝14，b＝18，第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4；第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；第五次循环：a＝2，b＝2.此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.14．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B解析k＝0，b＝1.a＝－12，k＝1；a＝－11－12＝－2，k＝2；a＝－11－2＝1，满足a＝b，故输出k＝2，故选B.15．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析S＝4，n＝1；S＝8，n＝2；S＝2，n＝3；S＝4，n＝4，结束循环，输出S＝4，故选B.16．执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析第一次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第二次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第三次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第四次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.结束循环，输出n的值为4，故选B.17．秦九韶是我国南宋时期的学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x 的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2＋0＝18，i＝－1<0，结束循环，输出v＝18.故选B.18．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析k＝0，s＝0，输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，输出s＝17.故选C.19．执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x 答案 C解析x＝0，y＝1，n＝1；x＝0，y＝1，n＝2；x＝12，y＝2，n＝3；x＝32，y＝6，此时x2＋y2>36，输出x＝32，y＝6，满足y＝4x.故选C.20．设a是一个各位字都不是0且没有重复字的三位，将组成a的3个字按从小到大排成的三位记为I(a)，按从大到小排成的三位记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.答案495解析设组成a的三个字是m、n、p，其中1≤m<n<p≤9，∴b＝D(a)－I(a)＝100p＋10n＋m－100m－10n－p＝99(p－m)＝100(p－m)－(p－m)＝100(p－m－1)＋90＋(10－p＋m)，即b的十位字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a的十位字就是9，设a的另两个字是x、y，其中1≤y<x≤8，此时，D(a)＝900＋10x＋y，I(a)＝100y＋10x＋9，b＝891－99y，若891－99y＝100x＋90＋y，则801＝100(x＋y)，无解．若891－99y ＝100y＋90＋x，则801＝199y＋x，解得x＝5，y＝4.所以b＝495.三、模拟小题21．如图，若f(x)＝log3x，g(x)＝log2x，输入x＝0.25，则输出的h(x)＝( )A．0.25 B．2log32C．－12log23 D．－2答案 D解析当x＝0.25时，f(x)＝log314∈(－2，－1)，g(x)＝log214＝－2，∴f(x)>g(x)，故选D.22．如图所示程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．3 B．11C．38 D．123答案 D解析第一步：a＝12＋2＝3<12；第二步：a＝32＋2＝11<12；第三步：a＝112＋2＝123>12，跳出循环，输出a＝123.故选D.23．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．2016 B．2015C．1008 D．1007答案 C解析 根据题意，该程序运行的是当k <2016时，计算S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)k －1·k .∴该程序运行后输出的是S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)2014·2015＝12×(2015＋1)＝1008.故选C.24．执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为( )A ．0B ．6C ．12D ．18答案 B解析 如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.故选B.25．如图是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中在判断框内可填入的条件是( )A．i<10 B．i>10C．i<20 D．i>20答案 B解析要实现所求算法，框图中最后一次执行循环体时i的值应为10，结合不满足条件时执行循环体知当i＝11>10时就会终止循环，所以判断框内的条件可为i>10.故选B.26．如图甲所示的茎叶图为高三某班60名学生某次学模拟考试的成绩，算法框图(图乙)中输入的a i为茎叶图中学生的成绩，则输出的m，n，k分别是( )图甲图乙A．m＝18，n＝31，k＝11 B．m＝18，n＝33，k＝9C．m＝20，n＝30，k＝9 D．m＝20，n＝29，k＝11答案 B解析根据程序框图，可知m表示学成绩a i<90的学生人，则m＝18；n表示学成绩90≤a i≤120的学生人，则n＝33；k表示学成绩a i>120的学生人，则k＝9.故选B.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。