华师大版数学八年级上册14.2《勾股定理的应用(2)》导学案

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华师大版数学八年级上册第14章勾股定理14.2勾股定理的运用教学设计

4.设计丰富的课堂练习，让学生在实践操作中巩固勾股定理的应用，培养学生的动手能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.增强学生对勾股定理的兴趣，激发学生探索数学问题的热情。
2.培养学生勇于面对挑战，克服困难的精神，提高学生在解决问题过程中的自信心。
3.使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的数学应用意识。
（3）课堂练习：15分钟，设计不同难度的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用。
（4）小组合作：10分钟，组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力。
（5）总结与拓展：5分钟，对本节课的学习内容进行总结，并提出拓展性问题，激发学生的思考。
4.教学评价：
（1）课堂问答：通过提问，了解学生对勾股定理应用方法的掌握程度，及时给予指导和鼓励。
（2）讲授新课：结合实际案例，引导学生运用勾股定理解决问题，通过分析、讲解、总结，使学生掌握勾股定理的应用方法。
（3）课堂练习：设计具有层次性的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用，提高解题能力。
（4）小组合作：组织学生进行小组讨论和交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活中的实际问题为背景，创设情境，引导学生运用勾股定理解决问题。
1.教学内容：对本节课的学习内容进行总结，强调勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学过程：
a.学生分享学习心得，总结勾股定理的应用方法；
b.教师点评学生的表现，强调勾股定理在数学中的重要地位；
c.提出拓展性问题，激发学生对勾股定理的深入思考。
五、作业布下作业题：
拓展作业旨在激发学生的探究兴趣，提高学生的数学应用意识。
4.作业要求：
（1）作业需独立完成，要求书写规范，步骤清晰；

华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用优秀教学案例

2.培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力和创新能力。
3.通过对勾股定理的应用，培养学生独立思考、解决问题的习惯，培养学生的团队合作精神。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的热爱，树立学生的自信心。
2.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，共同解决问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力，例如：分组讨论如何运用勾股定理测量建筑物的高度。
2.教师给予适当的指导和支持，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ助学生克服困难，例如：在学生解决问题过程中，教师提供必要的数学知识和方法。
（四）反思与评价
1.引导学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足，例如：让学生反思自己在解决勾股定理应用问题时，哪些方法有效，哪些需要改进。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的场景为导入，例如测量房间的高度，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计具有挑战性和启发性的问题，引发学生的思考，例如：“如果已知直角三角形的两条直角边，如何求斜边的长度？”
3.操作情境：让学生动手操作，亲自体验勾股定理的应用，例如：用硬纸板制作直角三角形，测量其边长，验证勾股定理。
考虑到学生的年龄特点和认知水平，本节课通过设计丰富的教学活动，引导学生运用勾股定理解决实际问题。在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、合作交流意识和创新能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握勾股定理的应用。
为了提高教学效果，教师在课前充分准备，搜集了与勾股定理相关的实际问题，设计了多样化的教学活动。同时，注重与学生的互动，引导他们积极参与课堂讨论，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

【最新】华师大版八年级数学上册14.2 勾股定理的应用学案

新华师大版八年级数学上册14.2 勾股定理的应用学案学习目标:1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中,感受数学的"转化"思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题),进一步发展有条理思考和有条理表达的能力,体会数学的应用价值.学习重点:实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中学习难点:"转化"思想的应用学习关键点：在现实情境中建立直角三角形模型，确定好直角三角形之后，再应用勾股定理. 学习过程一、知识回顾1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,如果b=15,c=17,求a.2. 问:(1)什么叫勾股定理?(2) 我们以前已学过了中哪几种判断直角三角形的方法?勾股定理的逆定理是：.二、自我测试1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB222ACBC++的值是（）A.2B.4C.6D.82.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为1∶2∶1B.三边之比为1∶2∶5C.三边之比为3∶2∶5D. 三个内角比为1∶2∶33. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．4.已知一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？5. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?6. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.三、课后拓展1.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对2. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．3.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c ，则此三角形为三角形.4.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了m 3500到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地C 点.（1）求A 、C 两点之间的距离.（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向.4题图5.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?6.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？A 1B 1 D 1C 1 2 1 46题图参考答案一、自我测试1.A 提示：根据勾股定理得122=+AC BC ，所以AB 222AC BC ++=1+1=22.C3.4 提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216=+=+=AC AB BC ,所以BC=20m ,20+12=32(m ),故旗杆在断裂之前有32m 高.5. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米), 所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时) 6. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E.在R 90,=∠∆CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ），CE=)(3060.21cm =⨯，由勾股定理，得C F=)(3416302222cm EF CE =+=+三、课后拓展 1.C 提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=;1026222=+当6为斜边时，第三边为直角边=242622=- 2.1360 提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x 3.直角4.解：（1）过B 点作BE//AD ，如图5∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°即△ABC 为直角三角形由已知可得：BC=500m ，AB=m 3500由勾股定理可得：222AB BC AC += 所以)m (1000)3500(500AB BC AC 2222=+=+=（2）在Rt △ABC 中，∵BC=500m ，AC=1000m∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C 在点A 的北偏东30°的方向5. 解：根据勾股定理求得水平长为m 1251322=-，地毯的总长为12+5=17（m ），地毯的面积为17×2=34（)2m ，铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）6.分析：蚂蚁由A 点沿长方体的表面爬行到C 1点，有三种方式①沿ABB 1A 1和A 1 B 1C 1D 1②ABB 1A 1和BC C 1 B 1③AA 1 D 1D 和A 1 B 1C 1 D 1把三种方式分别展成平面图行如下：解：①在Rt △ABC 1中 AC 2= AB 2+ BC 2= 42+ 32=25∴AC=25 ＝5②在Rt △ACC 1中 AC 12= AC 2+ CC 12= 62+ 12=37∴AC 1=37③在Rt △AB 1C 1中AC 12= AB 12+ B 1C 12 = 52+ 22=29① 2 1 B 1A B A 1 D 1 C 1 4 ② 1 2 4 A B B 1 C A 1 C 1 1 A B 1 D 1 D A 1 C 1 ③ 4 2∵25＜29＜37∴沿图①的方式爬行最短，最短的路线是5.。

华师大版-数学-八年级上册-14.2.2 勾股定理在数学中的应用学案设计

14.2.2 勾股定理在数学中的应用课前知识管理1、常规计算型：在直角三角形中，已知任意两边，利用勾股定理可求第三边，此时常直接用勾股定理的根号形式，如22b c a -=等；有时不是已知直角三角形的两边，而是已知一边和另两边的关系，或者已知三边的关系要求边长，则常需要设未知数，再结合勾股定理列方程.设未知数求解三角形的边长时，常用勾股定理的平方形式，如222c b a =+等.2、综合型：把勾股定理与平方差公式、完全平方公式、方程和轴对称等相结合，运用数形结合思想可以解决许多难度较大的综合型题目，在几何图形中，创造条件，把非直角三角形转化为直角三角形则是解决问题的根本.名师导学互动典例精析：知识点1：勾股定理的实际应用例1、如图，正四棱柱的底面边长为1.5cm ，侧棱长为4cm ，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到C 1处的最短路程的长.【解题思路】要求最短路程，需要将正四棱柱展开成平面图形，再利用勾股定理求解，由于从A 点到点C 1的面上有两种情况，故需分类讨论.【解】将正四棱柱展开成平面图形，从下面两个图形中分别求得AC 1，然后再比较其大小.如图，AC 12=AC 2+CC 12=（1.5+1.5）2+42=25=52，如图，AC 12=AB 2+BC 12=1.52+（4+1.5）2=1.52+5.52.∵52＜1.52+5.52，所以最短路程为5cm.【方法归纳】本题着重考查勾股定理在实际问题中的应用，以及转化思想，分类讨论思想的应用.对应练习：如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短路径长为 ( )21π+ 214π+ 21π+ 24π+知识点2：阅读理解探索型问题例2、已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的位置时，2222PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为____________________________________．对图（3）的探究结论为_____________________________________．【解题思路】本题是一道和勾股定理有关的阅读理解探索型试题，特殊情形下的结论为探究一般情形下的规律设计了可借鉴的过程.【解】结论均是PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2证明：如图2过点P 作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ，因为AD ∥BC ，MN ⊥AD ，所以MN ⊥BC ，在Rt △AMP 中，PA 2＝PM 2＋MA 2，在Rt △BNP 中，PB 2＝PN 2＋BN 2，在Rt △DMP 中，PD 2＝DM 2＋PM 2，在Rt △CNP 中，PC 2＝PN 2＋NC 2，所以PA 2＋PC 2＝PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2，PB 2＋PD 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2.因为MN ⊥AD ，MN ⊥NC ，DC ⊥BC ，所以四边形MNCD 是矩形，所以MD ＝NC ，同理AM ＝ BN ，所以PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2，即PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.【方法归纳】本题主要考查同学们从具体、特殊的情形出发去探究一般规律的能力，体现了转化的数学思想和类比方法的运用.对应练习：如图，一只鸭子要从边长分别为16m 和6m 的长方形水池一角M•游到水池另一边中点N ，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？知识点：材料阅读题例3、阅读下列题目的解题过程：己知a, b,c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-试判断△ABC 的形状．解： ()()()()()()C b a c B b a b a b a c A b a c b c a 2222222222442222+=∴-+=-∴-=-∴△ABC 是直角三角形：问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：（2）错误的原因为（3）本题正确的结论为【解题思路】在由442222b a c b c a -=-得到等式()()()2222222b a b ab ac -+=-没有错．错在将这个等式两边同除以了一个可能为零的式22b a -．若022=-b a 则有()()0=-+b a b a 从而得a=b ，这时△ABC 为等腰三角形．【解】（1）选C ；（2）没有考虑022=-b a ；（3）△ABC 是直角三角形或等腰三角形.【方法归纳】材料阅读题是近年来中考的热点，题型多种多样，本题属判断纠错型题目，集中考查了因式分解、勾股定理等知识．对应练习：如果△ABC 的三边长a 、b 、c 满足关系0|30||18|)602(2=-+-+-+c b b a ，则△ABC 是______三角形，最大角________的度数为________.知识点4：方位角问题例4、在一次实践活动中，小兵从A 地出发，沿北偏东︒45的方向行进了35千米到达B 地，然后再沿北偏西︒45方向行进了千米到达目的地C ．（1）求A,C 两地之间的距离；（2）试确定目的地C 在点A 的什么方向（在直角三角形中︒30角所对的直角边为斜边的一半）？【解题思路】解本题的关键在于根据题意画出图形，这样有利于将问题具体化.【解】（1）由题意知，︒=∠45ABN ，又因为︒=∠45CBN ，所以︒=∠90ABC ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，因为,5,35==BC AB 所以10257522=+=+=BC AB AC （千米）.（2）在Rt △ABC 中因为AC=2BC,所以︒=∠30BAC ，所以C 在点A 北偏东︒=︒-︒153045的方向上．【方法归纳】勾股定理有着广泛应用．如求线段的长、说明一个角是直角、说明线段的平方关系问题、求作长为n （n 为正整数）的线段等等，请同学们在平时学习时注意练习．对应练习：某人骑自行车从Ａ地出发,向南行20ｋｍ到达Ｂ地,再向西行21ｋｍ到达Ｃ地,此时Ｃ、Ａ两地间的距离的平方是________.知识点5：图形拼接与勾股定理例5、如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C 在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形．如图所示. 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）【解题思路】要在Rt △ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定．【解】下图中的四种拼接方法供参考．【方法归纳】要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．对应练习：正方形网格中，小格的顶点叫格点，按下列要求作图：（1）在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一直线上.（2）连线三个格点，使之构成直角三角形.小华在下面的正方形网格中作出了Rt △ABC,请你按照同样的要求,在右边的两个正方形网格中各画一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等.知识点6：网格与勾股定理例6、如图在66⨯的网格（小正方形的边长为1）中有一个三角形ABC ，则三角形ABC 的周长是（精确到0.001）.【解题思路】由图易知AC=2,BC=3，由勾股定理得：13322222=+=+=BCACAB，所以△ABC的周长是：AB+AC+BC=606.83213≈++.【解】填8.606.【方法归纳】以网格为背景的试题，近年来成为中考的热点问题，解决的关键是熟悉各类网格的特点.对应练习：如图所示为一个6×6的网格，在△ABC、△A’B’C’、△A’’B’’C’’三个三角形中，直角三角形有（）A、3个B、2个C、1个D以上都不对知识点7：图形面积与勾股定理例7、如图，分别以直角ΔABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（）A. S1＝S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. 无法确定【解题思路】直线AB左边阴影部分的面积为：228122ABABππ=⎪⎭⎫⎝⎛，直线AB右边阴影部分的面积为：()2222812222BCACBCAC+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛πππ.∵ΔABC是直角三角形，根据勾股定理有：222ABBCAC=+，故S1＝S2.【解】选A.【方法归纳】将阴影部分的面积表示出来，再观察所列代数式与直角三角形三边长的关系可得答案.对应练习：如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______.。

新华师大版八年级上册初中数学 14-2 勾股定理的应用教案

第十四章勾股定理14.2 勾股定理的应用【知识与技能】(1)能用勾股定理解决实际问题.(2)能利用勾股定理和其逆定理综合解决相关问题.【过程与方法】(1)在解决实际问题的过程中培养学生建立数学模型的意识和能力.(2)在解决问题中体会转化思想的意义.【情感态度与价值观】(1)通过对勾股定理的逆定理的探究,体会从特殊到一般的研究方法,培养良好的学习习惯.(2)在自主探究运用逆定理解决实际问题中感受数学价值,增强学好数学的信心.运用勾股定理和其逆定理解决实际问题.把实际问题转化为数学问题的思维过程.多媒体课件.思考下面的问题:1.直角三角形的性质有哪些?2.勾股定理的内容是什么?勾股定理的逆定理如何运用?3.两点之间的最短路线是什么?如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A 在AC 上运动，量的滑竿下端B 距C 点的距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米时，求滑竿顶端A 下滑多少米？【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形ACB 中利用勾股定理求出AC 的长，然后再在直角三角形ECD 中利用勾股定理求出CE 的长，即可求出AE 的长.【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件中的直角构造，二是作垂线构造.（1）勾股定理只在直角三角形中成立，运用时，必须分清斜边、直角边，然后在使用；若没有明确告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解。

（2）勾股定理将“形”转化为“数”，而这对于实际问题的解决起着积极的作用。

（3）勾股定理的应用：1.已知直角三角形任意两边，求第三边；2.已知直角三角形的一边，求另两边的关系；3.用于说明平方关系；4.作长为n 的线段。

【正式作业】教材118P 习题1.14 6。

201x版八年级数学上册 14.2 勾股定理的应用(2)导学案华东师大版

2019版八年级数学上册 14.2 勾股定理的应用（2）导学案（新版）华东师大版学习内容勾股定理的应用（2）学习目标1、准确理解勾股定理及其逆定理。

2、掌握定理的应用方法，体会数学的数行结合思想3、培养学数学的兴趣。

学习重点1、正确选用勾股定理及其逆定理。

2、从实际问题中找出可应用的直角三角形。

学习难点1、正确选用勾股定理及其逆定理。

2、从实际问题中找出可应用的直角三角形。

导学过程复备栏【温故互查】：勾股定理及其逆定理的内容是什么？【设问导读】：阅读课本例3：1、你认为以AB为边的等腰三角形可以有几种情况？2、如何画？（小组交流，画图）。

3、以AB为腰的三角形在方格中无法画出来，而以AB为底的三角形有个，另一个顶点在4、要符合另一个顶点在格点上呢？独立思考：有个5、另两边的长度分别是多少?计算：有两个三角形的另两边的长度都是，有两个三角形的另两边的长度都是。

6、符合另两边的长度都为无理数的三角形有几个？阅读课本例4思考问题：图中阴影部分的面积是一个不规则的图形面积，首先考虑如何转化为规则图形面积的和、差的形式，即S阴影=的面积—的面积。

由∠ADC =900，CD=6m,AD=8m，易求出Rt△ADC的面积，且根据勾股定理可求出AC= 。

知道了△ABC的三边长，根据，可以判断出它是直角三角形，∠ACB是直角，就可以求出△ABC的面积。

所以S阴影= m2【自学检测】：1、在△ＡＢＣ中，如果AC=3，BC=4,AB=5,那么△ＡＢＣ一定是三角形，且∠是直角；如果仅使AB的长度增加到5.1，那么原来的∠C被“撑成”的角是角。

2、在△ＡＢＣ中，如果a=10,b=24,c=26,则△ＡＢＣ的面积为。

10的线段，可以作一个直角三角形，使其一条3、为了作出长为直角边的长为1，则另一条直角边的长为。

【巩固训练】3厘米和5厘米的线段．1、利用勾股定理，分别画出长度为2、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2m,求这里的水深是多少米? （提示:画出图形建立直角三角形）【拓展延伸】1、若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，试求出x的所有可能值．2、如图，已知∠D = ∠ ACB = 90°，AD=3，AB=13，BC=12，求、线段AC的长和四边形ABCD的面积。

华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用(2)》

华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用（2）》一. 教材分析《14.2勾股定理的应用（2）》这一节内容，是在学生已经掌握了勾股定理的基础上进行学习的。

本节课主要让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了勾股定理的基本知识，对于运用勾股定理解决一些简单问题已经没有太大的困难。

但是，学生在解决实际问题时，可能会因为对题目的理解不够深入，而导致无法正确运用勾股定理。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解题目，找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过例题和练习题，培养学生的解题能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学兴趣。

四. 教学重难点1.重点：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用。

2.难点：如何引导学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解例题和解析练习题，引导学生掌握勾股定理的应用。

2.引导法：教师通过提问和引导，帮助学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。

3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相应的教学材料和课件。

2.学生准备：学生需要预习本节课的内容，了解勾股定理的应用，准备好笔记本和文具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“一个直角三角形的两条直角边长分别为3米和4米，求这个直角三角形的斜边长。

”让学生思考并讨论如何解决这个问题，从而引出勾股定理的应用。

华师数学·八年级上教案14.2 勾股定理的应用(2课时)

14.2勾股定理的应用第1课时勾股定理的应用(一)一、基本目标1．学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题．2.在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法的理解．二、重难点目标【教学重点】将实际问题转化为直角三角形模型．【教学难点】应用勾股定理解决实际问题．环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P120～P121的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400 m 到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．【互动探索】(引发学生思考)把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】如图，过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500 m，即A、C两点间的距离为500 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．活动2巩固练习(学生独学)1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？解：已知A是甲、乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点．则AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km)．在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132，所以BC＝13 km.故甲、乙两人相距13 km.2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．解：如图，利用展开图中两点之间线段最短可知，AB2＝152＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25米．3．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近桶边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒的长在什么范围内？解：设伸入油桶中的长度为x m．则伸入长度最长时，x2＝1.52＋22，x＝2.5.所以这根铁棒最长是2.5＋0.5＝3(m)．伸入长度最短时，x＝1.5.所以这根铁棒最短是1.5＋0.5＝2(m)．即：这根铁棒的长应在2～3 m之间．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．【解答】如图1，在Rt△DD′B′中，由勾股定理，得B′D2＝32＋42＝25.如图2，在Rt△DC′B′中，由勾股定理，得B′D2＝22＋52＝29.因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.图1 图2【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理在现实生活中的应用请完成本课时对应练习！第2课时勾股定理的应用(二)一、基本目标会应用勾股定理及其逆定理解决数学问题．二、重难点目标【教学重点】结合勾股定理及其逆定理解决数学问题．【教学难点】结合勾股定理及其逆定理解决数学问题．环节1 自学提纲、生成问题【5 min 阅读】阅读教材P122的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( A ) A ．1.5,2,2.5 B ．4,5,6 C ．2,3,4D ．1，3，32．已知△ABC 的三边分别是6,8,10，则△ABC 的面积是( A ) A ．24 B ．30 C ．40D ．483．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝16，AB ＝20，CD ⊥AB 于点D . (1)求BC 的长； (2)求CD 的长．解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝16，AB ＝20， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝12.(2)S △ABC ＝12×12×16＝12×CD ×20，解得CD ＝9.6.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知四边形ABCD 中，∠A 为直角，AB ＝16，BC ＝25，CD ＝15，AD ＝12，求四边形ABCD 的面积．【互动探索】(引发学生思考)利用勾股定理可求出BD ，再根据勾股定理逆定理求出∠CDB 为直角，然后求出△ABD 和△BDC 的面积，相加即可得解．【解答】∵∠A 为直角，∴BD 2＝AD 2＋AB 2.∵AD ＝12，AB ＝16，∴BD ＝20.∵BD 2＋CD 2＝202＋152＝252＝BC 2，∴∠CDB 为直角．∴△ABD 的面积为12×16×12＝96，△BDC 的面积为12×20×15＝150，∴四边形ABCD 的面积为96＋150＝246.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，是基础题，熟记两个定理并求出∠CDB 为直角是解题关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，将△ABC 放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A 、B 、C 恰好在网格图中的格点上，那么△ABC 中BC 边上的高的长为( A )A ．102 B ．104C ．105D ． 52．下图阴影部分是一个等腰直角三角形，则此等腰直角三角形的面积为12.5 cm 2.3．已知△ABC 的三边a ＝m －n (m ＞n ＞0)，b ＝m ＋n ，c ＝2mn . (1)求证：△ABC 是直角三角形；(2)利用第(1)题的结论，写出两组m 、n 的值，使三角形的边长均为整数．解：(1)∵a ＝m －n (m ＞n ＞0)，b ＝m ＋n ，c ＝2mn ，∴a 2＋c 2＝(m －n )2＋(2mn )2＝m 2＋n 2－2mn ＋4mn ＝(m ＋n )2＝b 2，∴△ABC 是直角三角形． (2)当m ＝4，n ＝1时，三角形的边长为3,4,5；当m ＝9，n ＝4时，三角形的边长为5,12,13.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】中国古代对勾股定理有深刻的认识．(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a 、b ，求( a ＋b )2的值．(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法为：第一步s6＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3,4,5乘以k ，得三边长．当面积S等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．【互动探索】(1)根据勾股定理可以求得a 2＋b 2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2即可求解；(2)先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．【解答】(1)根据勾股定理，得a 2＋b 2＝13.四个直角三角形的面积是12ab ×4＝13－1＝12，即2ab ＝12 ，则(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝13＋12＝25，即(a ＋b )2＝25.(2)当S ＝150时，k ＝m ＝s 6＝1506＝25＝5，所以三边长分别为：3×5＝15,4×5＝20,5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长分别为15,20,25.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a 2＋b 2和ab 的值是关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 勾股定理在数学中的应用请完成本课对应练习！。

华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教案

课题：14.2 勾股定理的应用总第 4 课时设计者：学校:【教学目标】知识与技能：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情。

【教学重点难点】重点：勾股定理及逆定理的应用难点：勾股定理的正确使用【教具应用】三角板圆规圆柱的侧面展开图【教学过程】一、提出问题、创设情景一圆柱体的底面积为20cm ，高为4cm ，BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从A 点出发，沿着圆柱的侧面爬行到C 点，你能求出它爬行的最短路程吗？二、自学练习：（动手试一试）（1）自制一个圆柱，尝试从A 点到C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为那条线最短呢？（2）沿AB 点将圆柱的侧面剪开，展开成一个长方形。

从A 点到C 点的最短路线是什么？你画对了吗？( 3）蚂蚁从点A 出发到C 点，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？教师点拨：引导学生动手操作。

通过感性认识来突破学生空间想象的难点。

让学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，1此时学生发现“两点之间线段最短”这个结论，进而解决问题。

三、合作交流：沿AB 将圆柱侧面剪开，展开成一个长方形，如图，则⊿ABC 是__________三角C D B C形AB=_________,BC=_________AC=___________ .四、应用：1、见课本58页例2.学生交流，讨论解决本例：厂门宽度足够，卡车能否通过关键是卡车位于厂门正中间时，其高度是否小于CH ，O 为AB 中点，OD=0.8米，CD ⊥AB ,与地面交于H是直角三角形，OC=1米，运用勾股定理求出CD ,进而求出CH.再和卡车高度2.5米比较测评：1. 从电线杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B 的距离。

2.求出下图中字母所代表的小结：由学生分小组进行总结，教师从几个方面给予知识点的补充:1.勾股定理及逆定理2.定理的应用方法3.本节所用到的教学思想方法作业：P60页1 、3题选作：有一块砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ,CD 上的点B AB N DC B距地面BD=8cm ，地面上A处的一只小虫子到B处吃食物，需爬行的最短路程是多少？【教后反思】。

华师版数学八年级上册14 勾股定理的应用(2课时)教案与反思

14.2 勾股定理的应用祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。

《老子·五十八章》涵亚学校陈冠宇第1课时勾股定理的应用(一)一、基本目标1．学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题．2.在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法的理解．二、重难点目标【教学重点】将实际问题转化为直角三角形模型．【教学难点】应用勾股定理解决实际问题．环节1 自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P120～P121的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400 m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．【互动探索】(引发学生思考)把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】如图，过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC ＝500 m，即A、C两点间的距离为500 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)此类问题解题的键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．活动2 巩固练习(学生独学)1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？解：已知A是甲乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点．则AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km)．在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132，所以BC＝13 km.故甲、乙两人相距13 km.2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．解：如图，利用展开图中点之间线段最短可知，AB2＝152＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25米．3．有一个高为15 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近桶边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒的长在什么范围内？解：设伸入油桶中的长度为x m．则伸长度最长时，x2＝1.52＋22，x＝2.5.所以这根铁棒最长是2.5＋0.5＝3(m)．伸入长度最短时，x＝1.5.所以这根铁棒最短是1.5＋0.5＝2(m)．即：这根铁棒的长应在2～3 m之间．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．【解答】如图1，在Rt△DD′B′中，由勾股定理，得B′D2＝32＋42＝25.如图2，在Rt△DC′B′中，由勾股定理，得B′D2＝22＋52＝29.因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.图1 图2【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理在现实生活中的应用请完成本课时对应练习！第2课时勾股定理的应用(二)一、基本目标会应用勾股定理及其逆定理解决数学问题．二、重难点目标【教学重点】结合勾股定理及其逆定理解决数学问题．【教学难点】结合勾股定理及其逆定理解决数学问题．环节1 自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P122的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( A )A．1.5,2,2.5 B．4,5,6C．2,3,4 D．1，3，32．已知△ABC的三边分别是6,8,10，则△ABC的面积是( A )A．24 B．30C．40 D．483．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，CD⊥AB于点D.(1)求BC的长；(2)求CD的长．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，∴BC＝AB2－AC2＝12.(2)S△ABC＝12×12×16＝12×CD×20，解得CD＝9.6.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知四边形ABCD中，∠A为直角，AB＝16，BC＝25，CD＝15，AD＝12，求四边形ABCD的面积．【互动探索】(引发学生思考)利用勾股定理可求出BD，再根据勾股定理逆定理求出∠CDB为直角，然后求出△ABD和△BDC的面积，相加即可得解．【解答】∵∠A为直角，∴BD2＝AD2＋AB2.∵AD＝12，AB＝16，∴BD＝20.∵BD2＋CD2＝202＋152＝252＝BC2，∴∠CDB为直角．∴△ABD的面积为12×16×12＝96，△BDC的面积为12×20×15＝150，∴四边形ABCD的面积为96＋150＝246.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，是基础题，熟记两个定理并求出∠CDB为直角是解题关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高的长为( A )A．102B．104C．105D． 52．下图阴影部分是一个等腰直角三角形，则此等腰直角三角形的面积为12.5 cm2.3．已知△ABC的三边a＝m－n(m＞n＞0)，b＝m＋n，c＝2mn.(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)利用第(1)题的结论，写出两组m、n的值，使三角形的边长均为整数．解：(1)∵a＝m－n(m＞n＞0)，b＝m＋n，c＝2mn，∴a2＋c2＝(m－n)2＋(2mn)2＝m2＋n2－2mn＋4mn＝(m＋n)2＝b2，∴△ABC是直角三角形．(2)当m＝4，n＝1时，三角形的边长为3,4,5；当m＝9，n＝4时，三角形的边长为5,12,13.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】中国古代对勾股定理有深刻的认识．(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，求( a＋b)2的值．(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步s6＝m；第二步：m＝k；第三步：分别用3,4,5乘以k，得三边长．当面积S等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．【互动探索】(1)根据勾股定理可以求得a2＋b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2即可求解；(2)先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．【解答】(1)根据勾股定理，得a2＋b2＝13.四个直角三角形的面积是12ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12 ，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25.(2)当S＝150时，k＝m＝s6＝1506＝25＝5，所以三边长分别为：3×5＝15,4×5＝20,5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长分别为15,20,25.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2＋b2和ab的值是关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理在数学中的应用请完成本课对应练习！【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。

八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用导学案新版华东师大版word版本

14.2勾股定理的应用【学习目标】1.正确运用勾股定理及逆定理2.经历研究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形联合”的思想来解决。

3.培育合情推理能力，提升合作沟通意识，领会勾股定理的应用价值。

【学习重难点】1、掌握勾股定理及逆定理2、正确运用勾股定理及逆定理【学习过程】一、课前准备1、已知Rt △ ABC中，∠ C=90°，若 BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4， BC=则AC=________．2、一个直角三角形的模具，量得此中两边的长分别为5cm、 3cm， ?则第三边的长是_________．3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m． ?问起码需要多长的梯子？二、学习新知自主学习：1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短行程．（精准到0.01cm）（ 1）自制一个圆柱，试试从 A 点到 C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你以为哪条路线最短呢？（ 2）如图，将圆柱侧面剪展开成一个长方形，从 A 点到 C 点的最短行程是什么？你画对了吗？（ 3）蚂蚁从 A 点出发，想吃到 C 点上的食品，它沿圆柱侧面爬行的最短行程是多少？学习领会：我们知道勾股定理揭露了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就能够依照勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实质问题中，我们进一步认22 2识到把直角三角形中三边关系“ a +b =c ”当作一个方程，只需依照问题的条件把它转变为我们会解的方程，就把解实质问题转变为解方程．实例剖析：例 1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如左图的某工厂，问这辆卡车可否经过该工厂的厂门?例 2、如图，在 5× 5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按以下要求画出图形：从点 A 出发一条线段AB 使它的另一端点 B 在格点（即小正方形的极点）上，且长度为 2 2画出全部的以（ 1）中的 AB为边的等腰三角形，使另一个极点在格点上，且另两边的长度都是无理数例 3：已知 CD=６ m， AD=８ m，∠ ADC=90°， BC=24m，AB=26m。

八年级数学上册第十四章勾股定理 14.2 勾股定理的应用(2)教案 (新版)华东师大版

14.2勾股定理的应用（2）教学目标：1.会用勾股定理解决较综合的问题.2.树立数形结合的思想.教学重点勾股定理的综合应用.教学难点勾股定理的综合应用.教学过程一、课前预习1.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．解：设底边长为2x，则腰长为16-x，有（16-x）2=82+x2，x=6，∴S=×2x×8=48．2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）使三角形的三边长分别为；（2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．甲乙二、合作探究问题探究1：边长为无理数例1：如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）画出所有从点A出发，另一端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为5的线段；（2）画出所有的以（1）中所画线段为腰的等腰三角形.教师分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．解：（1）如下图中，AB.AC.AE.AD的长度均为5．（2）如下图中△ABC.△ABE.△ABD.△ACE.△ACD.△AED就是所要画的等腰三角形．问题探究2：不规则图形面积的求法例2：如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中阴影部分的面积．解：在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝62＋8＝100（勾股定理），∴AC＝10m.∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝AB2，∴△ACB为直角三角形（如果三角形的三边长A.B.c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形），∴S阴影部分＝S△ACB－S△ACD23 ＝12×10×24－12×6×8＝96（m 2）．三、课堂巩固（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图甲，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积；（2）现有一张长为6.5cm ，宽为2cm 的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．乙解：（1）设较长直角边为b ，较短直角边为a ，则小正方形的边长为：a -b ．而斜边即为大正方形边长，且其平方为13，即a 2+b 2=13①，由a +b =5，两边平方，得a 2+b 2+2ab =25．将①代入，得2ab =12．所以（b -a ）2=b 2+a 2-2ab =13-12=1．即小正方形面积为1；（2）由（2）题中矩形面积为6.5×2=13与（1）题正方形面积相等，仿照甲图可得，算出其中a =2，b =3，如图．四、课堂小结1.我们学习了什么？2.还有什么疑惑吗？五、课后作业习题4。

2019八年级数学上册第14章勾股定理 14.2 勾股定理的应用教案2 (新版)华东师大版

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勾股定理的应用
正确运用勾股定理及其逆定理．
走到离树离相等，试问这棵
良好的数学思维习惯，
发展数学应用
如图
只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．
例4如图14.2.7m， AD＝８m，∠ADC
＝２４m，ＡＢ＝２６．求图中阴影部分的面积．
已有的经验，鼓励学生
四.课堂练习：P117练习第1，2题
五.课后小结：股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问
题，通常应用化归思想，将不规则问
题转换成规则何题来解决．解题中，注意辅助线的使用．特别是
“经验辅助线”的使用．
六.课后作业：。

华师大版-数学-八年级上册-华师大版八年级上册数学14.2.2 勾股定理的应用(二) 学案

14.2 勾股定理的应用（二）班级：姓名：小组:【学习目标】：1. 能利用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．经历勾股定理的应用，明确应用的条件，掌握应用的方法，体会数形结合的思想。

【学习重点】：勾股定理及逆定理的应用【学习难点】：勾股定理的正确使用【学习过程】一、单元导入，明确目标预习课本122----123页内容，初步认识利用勾股定理解决实际问题二、新知导学，合作探究自学指导一求面积问题例1、如图，四边形ABCD中，AB=3c m，AD=4cm，BC =13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积14.2 勾股定理的应用(二）达标检测班级：姓名：评价：___ __1、如图，在四边形ABCD中,AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°, 则∠A+ ∠ C=______D2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时梯子底部距墙7m, 如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底端B也将向右平滑多少米?ACO B D14.2 勾股定理的应用(一）作业班级：姓名：分数:1、已知CD＝6m， AD＝8m，∠ADC＝90°， BC＝２４m， AB＝26m．求图中阴影部分的面积．2、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC梯子问题例2 、一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2.2米，则发生火灾的窗口距地面有多少米?折叠问题例3 如图所示，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长。

C /F E D C AA CE F D。

2021-2022学年华东师大版八年级上册数学《勾股定理的应用》导学案

华师版数学八年级上14.2.2勾股定理的应用导学案课题14.2.2 勾股定理的应用单元第14章学科数学年级八年级学习目标1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.树立数形结合的思想.重点难点用勾股定理解决简单的实际问题导学环节导学过程自主学习预习课本，完成下列各题：1.有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？2、如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使∠ABC 是直角．测得AC的长为85m，BC的长为75m，那么点A与点B的距离是多少？合作探究探究一：例3 如,在3x3的方格图中，每个小方格的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:(1) 画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为5的线段;(2) 画出所有以题(1)中所画线段为腰的等腰三角形.探究二：例4 如,已知CD=6m,AD=8m, ∠ADC=90°, BC=24m, AB=26m. 求图中着色部分的面积.在解决勾股定理的应用问题时，关键是把实际问题中的量转化到直角三角形的三边中把实际问题中的数值转化为直角三角形的三边长。

当堂检测1、我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈=10尺，那么折断处离地面的高度是______尺．2、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．3、如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）4、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D （A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA=6.5千米，CD=6千米，AD=2.5千米．（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线BC的长．5、如图，将四边形ABCD的土地绿化，测得AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m，且AB⊥BC，若每平方米草皮120元，问共需多少钱？课勾股定理的应用有哪些？堂小结参考答案自主学习：1、解：设水深x尺，那么荷花径的长为（x+1）尺，由匀股定理得：x2+32=（x+1）2．解得：x=4．答：水池的水深有4尺．2、解：由题意得，AC=85米，BC=75米，在Rt△ABC中，AB===40米即A、B两点间的距离为40米．合作探究：探究一：分析只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求.解: (1)中,AB、AC、AE、AD的长度均为.(2)中,△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.探究二：解在Rt△ADC中，AC2 = AD2 + CD2(勾股定理)82+62= 100，AC= 10.AC2+ BC2 = 102+242= 676 = 262= AB2.△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理)，S阴影部分=S△ACB一S△ACD=21×10×24-21×6×8=96( m2 ).当堂检测：1、解：1丈=10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2解得：x=4.55．答：折断处离地面的高度为4.55尺．故答案为：4.55．2、解：如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=CD=6m，EC=BD=8mAE=AB-EB=12-6=6m，在Rt△AEC中，AC=10m，故小鸟至少飞行10m．3、解：作AB⊥L于B，则AB=30m，AD=50m．∴BD=40m．设CD=x，则CB=40-x，x2=（40-x）2+302，x2=1600+x2-80x+302，80x=2500，x≈31，4、解：（1）是，理由：∵62+2.52=6.52，∴CD2+AD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，∴CD⊥AB，∴CD是从村庄C到河边最近的路；（2）设BC=x千米，则BD=（x-2.5）千米，∵CD⊥AB，∴62+（x-2.5）2=x2，解得：x=8.45，答：路线BC的长为8.45千米．5、解：连接AC，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=202+152=400+225=625=252，所以AC=25，又因为AD2+CD2=242+72=576+49=625=AC2所以∠ADC=90°，所以S S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×20×15+×7×24cm2=234cm2．所以需要的钱数为120×234元=28080元．故共需28080元钱．课堂小结：1、最短路线的问题往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离2、生活中的实际问题面积树高路长问题。

华东师大版八年级数学上册14.2-勾股定理的应用导学案(无答案)

B
C
3/3
2/3
3. 如图，一棵大树受台风袭击于离地面 5 米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为 7 米，则这棵大树折断前有__________高.
5 米
7米
最短路程问题
1.一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到 CD 的中点 O，试求出爬行的最短路程。（精确到 0.1）
B
3
C
B
C
展开
⑵在 Rt△ABC 中，一直角边分别为 5，斜边为 13，求另一直角边的 C
长是
.若 AC=5，BC+AB=25，则 AB= .
⑶已知直角三角形 ABC 中,∠C=90°，AC=8,AB=10,则 S△ABC=
.
【用途二】构造出直角三角形，再用勾股定理求边
探究案
P120 教材例 1
教材例 2
例 3 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求△ABC 的面积.
4.小明要外出旅游，他带的行李箱长 40cm，宽 30cm，高 60cm，一把 70cm 长的雨伞能否装进这个行李箱？
5.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2m，求这里的水深是多少米？
第 2 课时 14. 2 勾股定理的应用⑵ 1.P122 例 3、 P59 例 4 教材 P123 练习：1,2 题 1.如何求出图中的 x、y、z ?
2.如何画出 5、 6、 7的线段呢?
2.提问：如何得到(构造)直角三角形的？
1 1
yz 1x
1
3.教材习题
练习案
B
C
1.已知等腰△ABC 的周长为 26，AB=AC，且 AB=BC+4，求: ⑴底边 BC 上的高.⑵△ABC 的面积和一腰上的高.

华师大版勾股定理的应用2导学案

【学习目标】1、准确理解勾股定理及其逆定理。

2、掌握定理的应用方法，体会数学的数行结合思想和应用价值。

3、培养学数学的兴趣。

【重点】：正确选用勾股定理及其逆定理。

【难点】：从实际问题中找出可应用的直角三角形。

预习案预习课本P122-123内容，完成下列问题1、我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示2、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面已知红莲移动的水平距离为2m,求这里的水深是多少米?（提示:画出图形建立直角三角形）预习自测：若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x ，试求出x 的所有可能值.【我的疑惑】5 ● ● ● ● ● ●O 1 2 3 4探究案探究一、例1、在一棵树的10米高的D处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃到池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？探究二、例2、如课本P122例3，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点上，且长度为课堂小结：训练案1、已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =6，AC =4，BC =8，求BD ，DC 的长.2、已知矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一平面内C ’处，BC ’与AD 交于点E ， AD=6，AB =4，求DE 的长.3、已知：如图，四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°, ∠B =∠D =90°. 求四边形ABCDD A B 21864C A D C'E 321A CE D B 60︒12石狮五中八年级数学科导学案NO-42使用说明一、二、教材分析：勾股定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点。