0405年上学期高三单元测试数学(函数单调性与反函数)(附答案)

《函数单调性与反函数》测试题
一、选择题
1.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )
(A)y=-3x+1 (B)y=|x+2| (C)y=x
4
(D)y=x 2-4x+3
2.函数f(x)=x 2
+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )
(A)[3，+∞ ) (B)(-∞，-3] (C){-3} (D)(-∞，5]
3.已知函数f(x)=2x 2-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2) 时是减函数，则f(1)等于( )
(A)-3 (B)13 (C)7 (D)由m 而决定的常数． 4.函数f(x)在(-2，3)上是增函数，则f(x-5)的递增区间是( ) (A)(3，8) (B)(-7，-2) (C)(-2，3) (D)(0，5)． 5.函数y=245x x --的递增区间是( )
(A)(-∞，-2) (B)[-5，-2] (C)[-2，1]． (D)[1，+∞)． 6.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意t 都有f(2+t)=f(2-t)，那么( ) (A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)
(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)
7.函数y=f(x)的图象与直线y=x 有一个交点，则y=f -1(x)与y=x 的交点个 数为( )
(A)O 个 (B)1个 (C)2个 (D)不确定
8.奇函数y=f(x)(x∈R)的反函数为y=f -1(x)，则必在y=f -1(x)的图象上的点是( )
(A)(-f(a)，a) (B)(-f(a)，-a) (C)(-a ，-f(a)) (D)(a ，f -1(a)) 9.若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=2c(c 为常数)( ) (A)有且只有一个实根 (B)至少有一个实根 (C)至多有一个实根 (D)没有实根
10.函数f(x)=21
x+b 与g(x)=ax-5互为反函数，则a ，b 的值分别为( )
(A)a=2，b=25 (B)a=25，b=2 (C)a=21，b=-5 (D)a=-5，b=21
11.已知函数y=-24x -的反函数f -1(x)=24x -，则f(x)的定义域为( ) (A)(-2，0) (B)[-2，2] (C)[-2，0] (D)[0,2]
12.如果函数y=f(x)的图象过点(0，1)，则y=f -1(x)+2的图象必过点( ) (A) (1,2) (B)(2,1) (C) (0,1) (D)(2,0) 二、填空题
13.函数y=x x 22-的单调递增区间是_______________
14.已知函数f(x)=x 2-2ax+a 2+b ，(1)若f(x)在(-∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是______；(2)若对于任意x∈R 恒有f(x)≥0，则b 的取值范围是____ 15.函数y=3m(x-1)的反函数图象必过定点 _____________
16.函数y=-(x-1)2(x≤O)的反函数为 ___________ 三、解答题
17.求函数f(x)=x+x
1
在(0，+∞)上的单调性．
18.设函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，且有f(2a 2+a+1)<f(3a 2-2a+1)，求实数a 的取值范围．
19.已知函数f(x)=x+x 21+，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求证：f(x)在其定义域内是增函数； (3)求f(x)的值域．
20.已知f(x)=f -1(x)=a
x x ++1
2(x≠-a)，求实数a ．
21.求函数y=1
2+x x
，x∈(-1，+∞)的图象与其反函数y=f -1(x)图象的交点坐标．
22.已知函数f(x)=11-+x x ，函数g(x)=f -1(x
1
)．试判断g(x)在(1，+∞)上的单
调性，并加以证明． 参考答案 一、选择题
1. B ；
2.B ；
3.B ；
4.A ；
5.B ；
6.A ；
7.B ；
8.B ；
9.C ；10.A ；11.D ；12.A ； 1.提示：y=|x+2|在[-2，十∞]上是增函数，在(0，2)上也必定是增函数．故选B ．
2.提示：∵f(x)=x 2+2(a-1)x+2的图象开口向上，对称轴方程为x=1-a ，且在区间(-∞，4)上是减函数,∴1-a≥4．解得a≤-3．故选B ．
3.提示：∵f(x)在(-2，+∞)上是增函数，在(-∞，-2)上是减函数,∴f(x)
的对称轴方程为x=4
m
=-2,∴m=-8．这时f(x)=2x 2+8x+3,∴f(1)=13．故选B ．
4.提示：由已知得-2<x-5<3，∴-3<x<8故选A.
5.提示：由5-4x-x 2≥O ，得函数的定义域为{x|-5≤x≤1}．∵y=5-4x-x 2=(x 2+4x+4)+9=-(x+2)2+9，对称轴方程为x=-2，抛物线开口向下， ∴函数的递增区间为[-5，-2]．故选B ．
6.提示：由条件知，抛物线的开口向上，对称轴方程为x=2，因此，离对称轴越远的点对应的函数值越大，∴f(2)<f(1)<f(4)．故选A ．
7. 提示：f(x)与f -1(x)的图像关于y=x 对称,且函数y=f(x)的图象与直线y=x 有一个交点，则y=f -1(x)与y=x 的交点个有一个. 故选B.
8.提示：∵(a,f(a))在y=f(x)上,则(f(a),a) 在y=f -1(x)上.∵y=f(x)(x∈R)是 奇函数.∴(-a,-f(a)) 在y=f(x)上,则(-f(a),-a) 在y=f -1(x)上, 故选B.
9. 提示：∵y=f(x)存在反函数.∴函数y=f(x)的图象上的点一一对应. f(x)=2c,c 为常数,2c 为常数,∴方程f(x)=2c(c 为常数)至多有一个实根. 故选C.
10. 提示：∵（0，-5）在g （x ）上，函数f(x)=2
1
x+b 与g(x)=ax-5互为
反函数，∴（-5，0）在f （x ）上。

∴-
25+b=0,b=2
5
.由答案知故选A. 11. 提示：根据题意4-x 2≥0,∴-2≤x ≤2.又∵f -1(x)=24x -≥0,反函数的值域是原函数的定义域.∴x ∈[0,2]. 故选D.
12. 提示：y=f -1(x)+2是函数y=f -1(x)的图像向上平移二个单位而成,∵函数y=f(x)的图象过点(0，1),∴函数y=f -1(x)的图像过(1,0),∴y=f -1(x)+2的图象必过点(1,2). 故选A.
二、填空题
13.[2,+∞)；14.（1）a ≥1，（2）b ≥0； 15. （1，1）； 16.y=-x -+1 （x ≤-1）
13.提示：由x 2
-2x>O ，得函数的定义域为(-∞，0]∪[2，+∞)．又抛物线开口向上，对称轴方程为x=1，故递增区间为[2，+∞]．
14.提示：由已知条件知a≤1．∵f(x)=(x-a)2+b≥0恒成立,∴b ≥0，故(1)填a≤1，(2)填b≥0．
15. 提示：y=3m(x-1),x=1时,y=1.∴y=3m(x-1)
的图像必过(1,1)点.其反函数图像必过(1,1)点.
16. 提示：∵y ≤-1,∴-y=(x-1)2.∴x=1±y -,∵x ≤0,∴x=1-y -. ∴其反函数为y=1-x -.
三、解答题
17.证明：设x 1，x 2∈(O，+∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)-f(x 2)=x 1+
11x -x 2-21x =(x 1-x 2)+2112x x x x -=(x 1-x 2)(1-2
11
x x )
∴当1≤x 1<x 2时，x 1-x 2<0，x 1x 2>l ，0<
2
11
x x <1， ∴1-
211x x >0,∴(x 1-x 2)(1-2
11x x )<0，∴f(x 1)<f(x 2)
∴f(x)在[1，+∞]上是增函数． 当0<x 1<x 2≤l 时，x 1-x 2<0，0<x 1x 2<1，l-2
11
x x <0， (x 1-x 2)(1-2
11
x x )>0，∴f(x 1)>f(x 2)， ∴f(x)在(O ，1)上是减函数． 即f(x)=x+
x
1
在(0，1)上是减函数，在[1，+∞)上是增函数． 18.解：2a 2+a+1=2(a 2+2a +161)+87=2(a+41)2+8
7
>0，
3a 2
-2a+1=3(a 2
-32a+91)+32=3(a-31)2+3
2
>0． 又∵f(x)在(0，+∞)上是减函数，
∴原不等式可变形为2a 2+a+l>3a 2-2a+1． 整理，得a 2-3a<0．解得0<a<3． 19.解：(1)要使函数有意义，须l+2x>O ，解得定义域为x≥-2
1． (2)任取x 1,x 2∈[-
2
1，+∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=x 1+121x +-x 2-221x + = (x 1-x 2)+121x +-221x += (x 1-x 2)+
2
1212121)(2x x x x +++-
= (x 1-x 2)(1+
2
121212
x x +++).
∵-
21≤x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,又∵1+2
121212x x +++>0 ∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在[-
21
，+∞]上是增函数． (3)由(2)知f(x)min =f(-21)=-21， ∴y=f(x)的值域为[-21
，+∞)．
20. 解：由y=a
x x ++1
2，得xy+ya=2x+1，x(y-2)=l-ay,
x=21--y ay ．交换x ，y ，得y=21--x ax ， 即f -1(x)= 2
1--x ax
．又∵f(x)=f -1(x)， ∴
2112--=++x ax a x x ，即2112--=
++x ax
a x x ，对x≠2的任意实数x 恒成立． ∴a=-2． 21.解：由y=
1
2+x x
；得xy+y=2x ，x(y-2)=-y ，x=y y -2．
交换x ，y 得y=
12+x x 的反函数为y=x x -2．代入y=12+x x 得x x -2=1
2+x x
， 12+x x +x x -2=0， x(2
1
12-++x x )=0, x ·)2)(1(142-+++-x x x x =0
x ·
)
2)(1(3
3-+-x x x =0 ∴x 1=0,x 2=1, 0,1∈(-1,+∞)
分别代入y=
1
2+x x
,得y 1=0,y 2=1
∴函数y=
1
2+x x
，x∈(-1，+∞)与其反函数的交点为(0，0)和(1，1) 22.解:由y=f(x)1
1
-+x x ,得yx-y=x+1,x(y-1)=y+1,x=11-+y y ,交换x,y 得
f -1(x)=
1
1
-+x x (x ≠1) g(x)=f -1(x 1)=111
1-+x x =x x -+11=-11-+x x =-121-+-x x =-1-12-x ∴g(x)=12
--x -1在(1，+∞)上是增函数．
证明：设1<x 1<x 2，则g(x 1)-g(x 2)=-1-121-x +1+122-x =122-x -1
2
1-x =
)
1)(1(2
2221221--+--x x x x . ∵1<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1-1>0,x 2-1>0.
∴
)
1)(1()
(22121---x x x x <0, ∴g(x 1)-g(x 2)<0 即g(x 1)<g(x 2)．
由函数单调性的定义知：g(x)=
1
2
--x -1在区间(1，+∞)上是增函数.。